Nivel mediu

Triunghi dreptunghic. Ghidul complet ilustrat (2019)

TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.

În sarcini, un unghi drept nu este deloc necesar - stânga jos, așa că trebuie să învățați cum să recunoașteți un triunghi dreptunghic în această formă,

si in asa ceva,

si in asa ceva

La ce bun un triunghi dreptunghic? Ei bine... în primul rând, există nume deosebite drăguțe pentru petrecerile sale.

Atentie la desen!

Amintiți-vă și nu confundați: catete - două, iar ipotenuza - doar una(unicul și cel mai lung)!

Ei bine, numele au fost discutate, acum cel mai important lucru: teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora.

Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora într-un mod complet Timpuriu imemoriale iar de atunci a fost de mare folos celor care o cunosc. Și cel mai bun lucru la ea este că este simplă.

Asa de, Teorema lui Pitagora:

Îți amintești de gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?

Să desenăm aceiași pantaloni pitagoreici și să ne uităm la ei.

Nu seamănă cu un fel de pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, mai exact, de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat-o astfel:

"Sumă pătrate construit pe picioare este egal cu suprafata patrata construit pe ipotenuză”.

Nu sună puțin diferit? Și așa, atunci când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, s-a dovedit o astfel de imagine.

În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh și a inventat această glumă despre pantalonii pitagoreici.

De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?

A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?

Vezi tu, în vremurile străvechi nu exista... algebră! Nu existau desemnări și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de îngrozitor a fost pentru bieții discipoli din vechime să memoreze totul cu cuvinte? Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm ​​din nou pentru a ne aminti mai bine:

Ar trebui să fie ușor acum:

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Ei bine, cea mai importantă teoremă despre un triunghi dreptunghic a fost discutată. Dacă sunteți interesat de modul în care se dovedește, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să mergem mai departe... în pădurea întunecată... a trigonometriei! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.

De fapt, nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definițiile „reale” ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui găsite în articol. Dar chiar nu vreau, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

De ce este totul despre colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!

1.
De fapt, sună așa:

Și ce zici de colț? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Bineînțeles că au! Acesta este un picior!

Dar ce zici de unghi? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Prin urmare, pentru unghi, piciorul este adiacent și

Acum, atenție! Uite ce avem:

Vezi ce grozav:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum o pot scrie acum în cuvinte? Ce este piciorul în raport cu colțul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Și piciorul? Adiacent colțului. Deci ce am făcut?

Vedeți că numărătorul și numitorul sunt inversate?

Și acum din nou colțurile și am făcut schimbul:

rezumat

Să scriem pe scurt tot ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Teorema principală despre un triunghi dreptunghic este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vedeți cât de inteligent i-am împărțit părțile în lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.

Care este aria pătratului mai mare? Dreapta, . O zonă mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că le-am luat câte doi și le-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „restelor” este egală cu.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic, sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unghi ascutit egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Și încă o dată, toate acestea sunt sub formă de farfurie:

Este foarte confortabil!

Teste de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare

I. Pe două picioare

II. Pe picior și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. Pe un picior și un colț ascuțit

A)

b)

Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă este așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au unul din același unghi ascuțit.

Trebuie sa în ambele triunghiuri, piciorul era adiacent, sau în ambele triunghiuri, opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Aruncați o privire la subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite” aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu-i așa?

Situația este aproximativ aceeași cu semnele asemănării triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne ale asemănării triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe un colţ ascuţit

II. Pe două picioare

III. Pe picior și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

Luați în considerare un întreg dreptunghi în loc de un triunghi dreptunghic.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a dovedit că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.

La ce poți obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem:, adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTrul CERCULUI DESCRIS. Deci ce s-a întâmplat?

Să începem cu acest „în afară de...”

Să ne uităm la și.

Dar au triunghiuri asemănătoare toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce beneficii se poate deduce din această asemănare „trilă”.

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Să notăm relația părților respective:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Deci, să aplicăm asemănarea:.

Ce se intampla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Ambele formule trebuie reținute foarte bine și care este mai convenabil de aplicat. Să le scriem din nou

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:.

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua picioare:
• pe picior și ipotenuză: or
• de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne ale asemănării triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colţ ascuţit: sau
• din proporționalitatea celor două picioare:
• din proporţionalitatea catetei şi a ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de cel alăturat:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și cel opus:.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă de la vârf unghi drept, este egal cu jumătate din ipotenuză:.

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin picioare:

Una dintre ramurile matematicii cu care elevii fac față celor mai mari dificultăți este trigonometria. Nu este surprinzător: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, capacitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente prin formule, simplifica expresii și puteți utiliza pi în calcule. În plus, trebuie să fiți capabil să aplicați trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deduce lanțuri logice complexe.

Originile trigonometriei

Cunoașterea acestei științe ar trebui să înceapă cu determinarea sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi, dar mai întâi trebuie să vă dați seama ce face trigonometria în general.

Din punct de vedere istoric, triunghiurile dreptunghiulare au fost obiectul principal de cercetare în această ramură a științei matematice. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii în cauză pe două laturi și un colț sau pe două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească în mod activ în construcția de clădiri, navigație, în astronomie și chiar în artă.

Primul stagiu

Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în Viata de zi cu zi a acestei secţiuni de matematică.

Studiul trigonometriei la școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care cunoștințele dobândite sunt folosite de studenți la fizică și rezolvarea abstractelor. ecuații trigonometrice, muncă cu care începe în liceu.

Trigonometrie sferică

Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică reguli diferite, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să știți despre existența ei măcar pentru că suprafața pământului, iar suprafața oricărei alte planete este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj al suprafeței va fi în interior spatiu tridimensional"Arcuit".

Luați globul și sfoara. Atașați sfoara la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Atenție - a luat forma unui arc. Geometria sferică, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate, se ocupă de astfel de forme.

Triunghi dreptunghic

După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinus, cosinus, tangentă, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți în acest caz.

Primul pas este să înțelegeți conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Este cel mai lung. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.

De exemplu, dacă cele două laturi au 3, respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei este de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta în urmă cu aproximativ patru mii și jumătate de ani.

Cele două laturi rămase, care formează un unghi drept, se numesc picioare. În plus, trebuie amintit că suma unghiurilor din triunghi în sistem dreptunghiular coordonatele este egală cu 180 de grade.

Definiție

În cele din urmă, cu o înțelegere fermă a bazei geometrice, se poate apela la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (adică latura opusă unghiului dorit) și ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă. Indiferent de cât de lungă catetul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă aveți un sinus sau cosinus cu o valoare mai mare de 1 în răspunsul la o problemă, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este cu siguranță greșit.

În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Împărțirea sinusului la cosinus va da același rezultat. Uite: conform formulei, împărțim lungimea laturii cu ipotenuză, apoi împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem aceeași relație ca și în definiția tangentei.

Cotangenta, respectiv, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unitatea la tangentă.

Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce este sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și putem face formulele.

Cele mai simple formule

În trigonometrie, nu puteți face fără formule - cum să găsiți sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Dar exact acest lucru este necesar atunci când rezolvați probleme.

Prima formulă pe care trebuie să o cunoașteți atunci când începeți să învățați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă vrei să cunoști unghiul, nu latura.

Mulți elevi nu își pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: la urma urmei, aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, reguli de transformare și câteva formule de bazăîn orice moment veți putea afișa mai multe necesare formule complexe pe o bucată de hârtie.

Formule cu unghi dublu și adăugare de argumente

Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinusului și cosinusului pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțite de ambele ori, iar în al doilea, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus se adaugă.

Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca antrenament, încercați să le obțineți singur, luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.

În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi transformate pentru a reduce gradul de sinus, cosinus și tangentă alfa.

Teoreme

Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și mărimea fiecărei laturi etc.

Teorema sinusului spune că împărțirea lungimii fiecărei laturi a unui triunghi la valoarea unghiului opus dă același număr. Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele triunghiului dat.

Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora prin proiectarea ei pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor, înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent acestora - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.

Erori neatenționate

Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii atenției sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să aruncăm o privire la cele mai populare.

În primul rând, nu ar trebui să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale până când nu se obține rezultatul final - puteți lăsa răspunsul sub forma fracție comună cu excepția cazului în care se prevede altfel în condiție. O astfel de transformare nu poate fi numită eroare, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a sarcinii pot apărea noi rădăcini, care, conform ideii autorului, ar trebui scurtate. În acest caz, veți pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau doi, deoarece se găsesc în probleme la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.

Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți produsul dublu al laturilor, înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o lipsă totală de înțelegere a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.

În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusul este de 30 de grade egal cu cosinusul 60 și invers. Este ușor să le confundați, în urma căruia veți obține inevitabil un rezultat eronat.

Aplicație

Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să învețe trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul aplicat al acesteia. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte datorită cărora puteți calcula distanța până la stelele îndepărtate, puteți prezice căderea unui meteorit, puteți trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe o suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.

In cele din urma

Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.

Întregul punct al trigonometriei se rezumă la faptul că parametrii necunoscuți ai triunghiului trebuie să fie calculați folosind parametrii cunoscuți. Există șase dintre acești parametri: lungimile celor trei laturi și mărimile celor trei unghiuri. Toată diferența dintre sarcini este că sunt date diferite intrări.

Acum știți cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangenta pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei. Deoarece acești termeni nu înseamnă altceva decât un raport, iar un raport este o fracție, scopul principal al unei probleme trigonometrice este de a găsi rădăcinile unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici matematica școlară obișnuită te va ajuta.

Ceea ce este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi va ajuta la înțelegerea unui triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuza și catetele: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru, aceasta este latura \ (AC \)); picioarele sunt cele două laturi rămase \ (AB \) și \ (BC \) (cele care sunt adiacente unghiului drept), iar dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghiul \ (BC \), atunci piciorul \ ( AB \) este picior alăturat, iar piciorul \ (BC \) este opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: care sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Unghiul sinusoid Este raportul dintre catetul opus (distant) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\ [\ sin \ beta = \ dfrac (BC) (AC) \]

Cosinusul unui unghi Este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\ [\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) \]

Tangenta unghiului Este raportul dintre piciorul opus (depărtat) și piciorul adiacent (închis).

În triunghiul nostru:

\ [tg \ beta = \ dfrac (BC) (AB) \]

Unghi cotangent Este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și piciorul opus (depărtat).

În triunghiul nostru:

\ [ctg \ beta = \ dfrac (AB) (BC) \]

Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a fi mai ușor să vă amintiți ce picior să împărțiți în ce, trebuie să vă dați seama clar de asta tangentăși cotangense numai picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusși cosinus... Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinus → atingere → atingere → adiacent;

Cotangent → atingere → atingere → adiacent.

În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ca rapoarte ale laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la un unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unghiului \ (\ beta \). Prin definiție, din triunghiul \ (ABC \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) = \ dfrac (4) (6) = \ dfrac (2) (3) \), dar putem calcula cosinusul unghiului \ (\ beta \) și din triunghiul \ (AHI \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AH) (AI) = \ dfrac (6) (9) = \ dfrac (2) (3) \)... Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă v-ați dat seama de definiții, atunci mergeți mai departe și remediați-le!

Pentru triunghiul \ (ABC \) prezentat în figura de mai jos, găsim \ (\ sin \ \ alpha, \ \ cos \ \ alpha, \ tg \ \ alpha, \ ctg \ \ alpha \).

\ (\ begin (matrice) (l) \ sin \ \ alpha = \ dfrac (4) (5) = 0,8 \\\ cos \ \ alpha = \ dfrac (3) (5) = 0,6 \\ tg \ \ alpha = \ dfrac (4) (3) \\ ctg \ \ alpha = \ dfrac (3) (4) = 0,75 \ end (matrice) \)

Ei bine, ai înțeles? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghiul \ (\ beta \).

Raspunsuri: \ (\ sin \ \ beta = 0,6; \ \ cos \ \ beta = 0,8; \ tg \ \ beta = 0,75; \ ctg \ \ beta = \ dfrac (4) (3) \).

Cerc unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu \ (1 \). Un astfel de cerc se numește singur... Este foarte util atunci când învățați trigonometria. Prin urmare, să ne oprim asupra ei mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit într-un sistem de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la origine, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei \ (x \) (în exemplul nostru, acesta este raza \ (AB \)).

Fiecare punct al cercului corespunde a două numere: coordonata de-a lungul axei \ (x \) și coordonata de-a lungul axei \ (y \). Și care sunt aceste numere-coordonate? Și în general, ce legătură au ei cu subiectul luat în considerare? Pentru a face acest lucru, trebuie să vă amintiți despre triunghiul dreptunghic considerat. În imaginea de mai sus, puteți vedea două triunghiuri întregi dreptunghiulare. Luați în considerare triunghiul \ (ACG \). Este dreptunghiular deoarece \ (CG \) este perpendicular pe axa \ (x \).

Ce este \ (\ cos \ \ alpha \) din triunghi \ (ACG \)? În regulă \ (\ cos \ \ alpha = \ dfrac (AG) (AC) \)... În plus, știm că \ (AC \) este raza cerc unitar, și prin urmare \ (AC = 1 \). Înlocuiți această valoare în formula cosinusului. Iată ce se întâmplă:

\ (\ cos \ \ alpha = \ dfrac (AG) (AC) = \ dfrac (AG) (1) = AG \).

Ce este \ (\ sin \ \ alpha \) din triunghi \ (ACG \)? Ei bine, desigur, \ (\ sin \ alpha = \ dfrac (CG) (AC) \)! Înlocuiți valoarea razei \ (AC \) în această formulă și obțineți:

\ (\ sin \ alpha = \ dfrac (CG) (AC) = \ dfrac (CG) (1) = CG \)

Deci, ne puteți spune care sunt coordonatele punctului \ (C \) aparținând cercului? Ei bine, în niciun caz? Și dacă îți dai seama că \ (\ cos \ \ alpha \) și \ (\ sin \ alpha \) sunt doar numere? Cu ce ​​coordonată corespunde \ (\ cos \ alpha \)? Ei bine, desigur, coordonata \ (x \)! Și cărei coordonate corespunde \ (\ sin \ alpha \)? Așa e, coordonată \ (y \)! Deci ideea \ (C (x; y) = C (\ cos \ alpha; \ sin \ alpha) \).

Și atunci ce sunt \ (tg \ alpha \) și \ (ctg \ alpha \)? Așa este, folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și obținem asta \ (tg \ alpha = \ dfrac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) = \ dfrac (y) (x) \), A \ (ctg \ alpha = \ dfrac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha) = \ dfrac (x) (y) \).

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? Iată, de exemplu, ca în această figură:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, întoarceți-vă din nou la un triunghi dreptunghic. Considerăm un triunghi dreptunghic \ (((A) _ (1)) ((C) _ (1)) G \): unghi (ca adiacent unghiului \ (\ beta \)). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi \ (((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = 180 () ^ \ circ - \ beta \ \)? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

\ (\ begin (matrice) (l) \ sin \ angle ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (( (A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (1) = ((C) _ (1)) G = y; \\\ cos \ angle ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (1) = ((A) _ (1)) G = x; \\ tg \ unghi ((C) ) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (((A) _ (1)) G) = \ dfrac (y) ( x); \\ ctg \ unghi ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((C) _ (1) )) G) = \ dfrac (x) (y) \ end (matrice) \)

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei \ (y \); valoarea cosinusului unghiului - coordonata \ (x \); și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricăror rotații ale vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei \ (x \). Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar dacă l-am roti în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, se va dovedi și un unghi de o anumită mărime, dar numai el va fi negativ. Astfel, când rotiți vectorul rază în sens invers acelor de ceasornic, obțineți unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că întreaga revoluție a vectorului rază într-un cerc este \ (360 () ^ \ circ \) sau \ (2 \ pi \). Este posibil să rotiți vectorul rază cu \ (390 () ^ \ circ \) sau \ (- 1140 () ^ \ circ \)? Sigur ca poti! În primul caz, \ (390 () ^ \ circ = 360 () ^ \ circ +30 () ^ \ circ \) astfel, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția \ (30 () ^ \ circ \) sau \ (\ dfrac (\ pi) (6) \).

În al doilea caz, \ (- 1140 () ^ \ circ = -360 () ^ \ circ \ cdot 3-60 () ^ \ circ \), adică vectorul rază va face trei ture complete și se va opri în poziția \ (- 60 () ^ \ circ \) sau \ (- \ dfrac (\ pi) (3) \).

Astfel, din exemplele de mai sus, putem concluziona că unghiurile care diferă cu \ (360 () ^ \ circ \ cdot m \) sau \ (2 \ pi \ cdot m \) (unde \ (m \) este orice număr întreg) corespund la aceeași poziție a vectorului rază.

Figura de mai jos arată unghiul \ (\ beta = -60 () ^ \ circ \). Aceeași imagine corespunde colțului \ (- 420 () ^ \ circ, -780 () ^ \ circ, \ 300 () ^ \ circ, 660 () ^ \ circ \) etc. Lista continuă și continuă. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală \ (\ beta +360 () ^ \ circ \ cdot m \) sau \ (\ beta +2 \ pi \ cdot m \) (unde \ (m \) este orice număr întreg)

\ (\ begin (matrice) (l) -420 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-1); \\ - 780 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-2); \\ 300 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 1; \\ 660 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 2. \ end (matrice) \)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți cu ce valori sunt egale:

\ (\ begin (matrice) (l) \ sin \ 90 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 90 () ^ \ circ =? \\\ text (tg) \ 90 () ^ \ circ =? \\\ text (ctg) \ 90 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi =? \\\ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi =? \\\ text (tg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (tg) \ \ pi =? \\\ text (ctg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (ctg) \ \ pi =? \\\ sin \ 270 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 270 () ^ \ circ =? \\\ text (tg) \ 270 () ^ \ circ =? \\\ text (ctg) \ 270 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 360 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 360 () ^ \ circ =? \\\ text (tg) \ 360 () ^ \ circ =? \\\ text (ctg) \ 360 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 450 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 450 () ^ \ circ =? \\\ text (tg) \ 450 () ^ \ circ =? \\\ text (ctg) \ 450 () ^ \ circ =? \ end (matrice) \)

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci, știm că:

\ (\ begin (matrice) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x); ) (y). \ end (matrice) \)

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri ale unghiului. Ei bine, să începem în ordine: colțul înăuntru \ (90 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (2) \) potrivește punctul cu coordonatele \ (\ stânga (0; 1 \ dreapta) \), prin urmare:

\ (\ sin 90 () ^ \ circ = y = 1 \);

\ (\ cos 90 () ^ \ circ = x = 0 \);

\ (\ text (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (y) (x) = \ dfrac (1) (0) \ Săgeată la dreapta \ text (tg) \ 90 () ^ \ circ \)- nu exista;

\ (\ text (ctg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (x) (y) = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile în \ (180 () ^ \ circ, \ 270 () ^ \ circ, \ 360 () ^ \ circ, \ 450 () ^ \ circ (= 360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ) \ \ ) corespund punctelor cu coordonate \ (\ stânga (-1; 0 \ dreapta), \ text () \ stânga (0; -1 \ dreapta), \ text () \ stânga (1; 0 \ dreapta), \ text () \ stânga (0 ; 1 \ dreapta) \), respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

\ (\ displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi = 0 \)

\ (\ displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi = -1 \)

\ (\ text (tg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (tg) \ \ pi = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ text (ctg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (ctg) \ \ pi = \ dfrac (-1) (0) \ Săgeată la dreapta \ text (ctg) \ \ pi \)- nu exista

\ (\ sin \ 270 () ^ \ circ = -1 \)

\ (\ cos \ 270 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ text (tg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (-1) (0) \ Săgeată la dreapta \ text (tg) \ 270 () ^ \ circ \)- nu exista

\ (\ text (ctg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ sin \ 360 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ cos \ 360 () ^ \ circ = 1 \)

\ (\ text (tg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \)

\ (\ text (ctg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ Săgeată la dreapta \ text (ctg) \ 2 \ pi \)- nu exista

\ (\ sin \ 450 () ^ \ circ = \ sin \ \ stânga (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ dreapta) = \ sin \ 90 () ^ \ circ = 1 \)

\ (\ cos \ 450 () ^ \ circ = \ cos \ \ stânga (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ dreapta) = \ cos \ 90 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ text (tg) \ 450 () ^ \ circ = \ text (tg) \ \ stânga (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ dreapta) = \ text (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ Săgeată la dreapta \ text (tg) \ 450 () ^ \ circ \)- nu exista

\ (\ text (ctg) \ 450 () ^ \ circ = \ text (ctg) \ left (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ right) = \ text (ctg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

Astfel, putem întocmi următorul tabel:

Nu este necesar să ne amintim toate aceste semnificații. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

\ (\ left. \ begin (array) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x) (y). \ end (matrice) \ dreapta \) \ \ text (Trebuie să-ți amintești sau să poți scoate !! \) !}

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor la și \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4) \) prezentate în tabelul de mai jos, trebuie să rețineți:

Nu vă fie teamă, acum vom arăta unul dintre exemplele de memorare destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri ale unghiului ( \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4), \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi ) (3) \)), precum și valoarea tangentei unghiului în \ (30 () ^ \ circ \). Cunoscând aceste \ (4 \) valori, este destul de ușor să restabiliți întregul tabel în ansamblu - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

\ (\ begin (matrice) (l) \ sin 30 () ^ \ circ = \ cos \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (2) \ \ \\\ sin 45 () ^ \ circ = \ cos \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \\\ sin 60 () ^ \ circ = \ cos \ 30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (3) )) (2) \ \ end (matrice) \)

\ (\ text (tg) \ 30 () ^ \ circ \ = \ dfrac (1) (\ sqrt (3)) \), știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru \ (\ text (tg) \ 45 () ^ \ circ, \ text (tg) \ 60 () ^ \ circ \)... Numătorul „\ (1 \)” se va potrivi cu \ (\ text (tg) \ 45 () ^ \ circ \ \), iar numitorul „\ (\ sqrt (\ text (3)) \)” se va potrivi cu \ (\ text (tg) \ 60 () ^ \ circ \ \). Valorile cotangentelor sunt reportate conform săgeților din figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți numai valorile \ (4 \) din tabel.

Coordonatele punctului pe un cerc

Este posibil să găsim un punct (coordonatele lui) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza și unghiul de rotație al acestuia? Ei bine, bineînțeles că poți! Să derivăm o formulă generală pentru a găsi coordonatele unui punct. Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:

Ni se dă acel punct \ (K (((x) _ (0)); ((y) _ (0))) = K (3; 2) \) este centrul cercului. Raza cercului este \ (1,5 \). Este necesar să se găsească coordonatele punctului \ (P \) obținute prin rotirea punctului \ (O \) cu \ (\ delta \) grade.

După cum puteți vedea din figură, coordonata \ (x \) a punctului \ (P \) corespunde lungimii segmentului \ (TP = UQ = UK + KQ \). Lungimea segmentului \ (UK \) corespunde coordonatei \ (x \) a centrului cercului, adică este egală cu \ (3 \). Lungimea segmentului \ (KQ \) poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

\ (\ cos \ \ delta = \ dfrac (KQ) (KP) = \ dfrac (KQ) (r) \ Săgeată la dreapta KQ = r \ cdot \ cos \ \ delta \).

Atunci avem că pentru punctul \ (P \) coordonata \ (x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta = 3 + 1,5 \ cdot \ cos \ \ delta \).

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punctul \ (P \). În acest fel,

\ (y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 2 + 1,5 \ cdot \ sin \ delta \).

Deci in vedere generala coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

\ (\ begin (matrice) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta \ end (matrice) \), Unde

\ (((x) _ (0)), ((y) _ (0)) \) - coordonatele centrului cercului,

\ (r \) - raza cercului,

\ (\ delta \) - unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero, iar raza este egală cu unu:

\ (\ begin (matrice) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ cos \ \ delta = \ cos \ \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ sin \ \ delta = \ sin \ \ delta \ end (array) \)

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a face calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!

Se numește raportul dintre catetul opus și ipotenuză unghi acut sinusal triunghi dreptunghic.

\ sin \ alpha = \ frac (a) (c)

Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre catetul din apropiere și ipotenuză se numește cosinusul unui unghi ascuțit triunghi dreptunghic.

\ cos \ alpha = \ frac (b) (c)

Tangenta acuta a unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent se numește tangenta unui unghi ascutit triunghi dreptunghic.

tg \ alpha = \ frac (a) (b)

Cotangente a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus se numește unghi ascuțit cotangent triunghi dreptunghic.

ctg \ alpha = \ frac (b) (a)

Sinusul unui unghi arbitrar

Se numeste ordonata unui punct de pe cercul unitar caruia ii corespunde unghiul \alpha sinusul unui unghi arbitrar rotatie \ alfa.

\ sin \ alpha = y

Cosinusul unui unghi arbitrar

Se numește abscisa punctului de pe cercul unitar căruia îi corespunde unghiul \alfa cosinus al unui unghi arbitrar rotatie \ alfa.

\ cos \ alpha = x

Tangenta unghiului arbitrar

Raportul dintre sinusul unui unghi arbitrar de rotație \ alfa și cosinusul său se numește tangenta unui unghi arbitrar rotatie \ alfa.

tg \ alpha = y_ (A)

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)

Cotangenta unui unghi arbitrar

Raportul dintre cosinusul unui unghi arbitrar de rotație \ alfa și sinusul său se numește cotangenta unui unghi arbitrar rotatie \ alfa.

ctg \ alpha = x_ (A)

ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)

Un exemplu de găsire a unui unghi arbitrar

Dacă \alpha este un unghi AOM, unde M este un punct al cercului unitar, atunci

\ sin \ alpha = y_ (M), \ cos \ alpha = x_ (M), tg \ alpha = \ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ alpha = \ frac (x_ (M)) (y_ (M)).

De exemplu, dacă \ unghi AOM = - \ frac (\ pi) (4), atunci: ordonata punctului M este egală cu - \ frac (\ sqrt (2)) (2), abscisa este \ frac (\ sqrt (2)) (2) si de aceea

\ sin \ stânga (- \ frac (\ pi) (4) \ dreapta) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);

\ cos \ stânga (\ frac (\ pi) (4) \ dreapta) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);

tg;

ctg \ stânga (- \ frac (\ pi) (4) \ dreapta) = - 1.

Tabelul valorilor sinusurilor cosinusurilor tangentelor cotangentelor

Valorile principalelor unghiuri comune sunt date în tabel:

	0 ^ (\ circ) (0)	30 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (\ pi) (6) \ dreapta)	45 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (\ pi) (4) \ dreapta)	60 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (\ pi) (3) \ dreapta)	90 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (\ pi) (2) \ dreapta)	180 ^ (\ circ) \ stânga (\ pi \ dreapta)	270 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (3 \ pi) (2) \ dreapta)	360 ^ (\ circ) \ stânga (2 \ pi \ dreapta)
\ sin \ alfa	0	\ frac12	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac (\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\ cos \ alfa	1	\ frac (\ sqrt 3) (2)	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac12	0	−1	0	1
tg \ alfa	0	\ frac (\ sqrt 3) (3)	1	\ sqrt3	—	0	—	0
ctg \ alfa	—	\ sqrt3	1	\ frac (\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

Instrucțiuni

Videoclipuri similare

Notă

Când se calculează laturile unui triunghi dreptunghic, cunoașterea caracteristicilor acestuia poate juca:
1) Dacă catetul unui unghi drept este opus unui unghi de 30 de grade, atunci este egal cu jumătate din ipotenuză;
2) Ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât oricare dintre catete;
3) Dacă un cerc este circumscris în jurul unui triunghi dreptunghic, atunci centrul său ar trebui să se afle în mijlocul ipotenuzei.

Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unui unghi de 90 de grade. Pentru a-i calcula lungimea este suficient să cunoaștem lungimea unuia dintre catete și dimensiunea unuia dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului.

Instrucțiuni

Anunțați-ne unul dintre picioare și colțul adiacent acestuia. Pentru certitudine, să fie picior | AB | și unghiul α. Apoi putem folosi formula pentru raportul cosinus - cosinus trigonometric al catetei adiacente la. Acestea. în notația noastră cos α = | AB | / | AC |. Din aceasta se obține lungimea ipotenuzei | AC | = | AB | / cos α.
Dacă știm piciorul | BC | și unghiul α, atunci vom folosi formula pentru a calcula sinusul unghiului - sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză: sin α = |BC | / | AC |. Obținem că lungimea ipotenuzei se găsește ca | AC | = | BC | / cos α.

Pentru claritate, luați în considerare un exemplu. Fie lungimea piciorului | AB | = 15. Și unghiul α = 60 °. Primim | AC | = 15 / cos 60 ° = 15 / 0,5 = 30.
Luați în considerare cum puteți verifica rezultatul folosind teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm lungimea celui de-al doilea picior | BC |. Folosind formula tangentei unghiului tan α = | BC | / | AC |, obținem | BC | = | AB | * tan α = 15 * tan 60 ° = 15 * √3. Apoi aplicăm teorema lui Pitagora, obținem 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 = 30 ^ 2 => 225 + 675 = 900. Verificarea este finalizată.

Sfat util

După calcularea ipotenuzei, verificați dacă valoarea rezultată satisface teorema lui Pitagora.

Surse:

• Un tabel cu numere prime de la 1 la 10000

Picioarele numiți cele două laturi scurte ale unui triunghi dreptunghic care alcătuiesc acel vârf, a cărui valoare este de 90 °. A treia latură a unui astfel de triunghi se numește ipotenuză. Toate aceste laturi și unghiuri ale triunghiului sunt legate între ele prin anumite rapoarte, care fac posibilă calcularea lungimii catetei, dacă sunt cunoscuți câțiva alți parametri.

Instrucțiuni

Utilizați teorema lui Pitagora pentru cateta (A) dacă cunoașteți lungimea celorlalte două laturi (B și C) ale unui triunghi dreptunghic. Această teoremă afirmă că suma pătratului lungimii catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. De aici rezultă că lungimea fiecăruia dintre picioare este egală cu rădăcină pătrată din lungimile ipotenuzei și ale catetei secunde: A = √ (C²-B²).

Utilizați definiția funcției trigonometrice directe „sinus” pentru un unghi ascuțit, dacă cunoașteți valoarea unghiului (α), care se află opus catetei calculate, și lungimea ipotenuzei (C). Aceasta afirmă că sinusul acestui cunoscut este raportul dintre lungimea catetei dorite și lungimea ipotenuzei. Aceasta este că lungimea catetei dorite este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și sinusul unghiului cunoscut: A = C ∗ sin (α). Pentru aceleași valori cunoscute, puteți utiliza cosecanta și calcula lungimea necesară împărțind lungimea ipotenuzei la cosecanta unghiului cunoscut A = C / cosec (α).

Folosiți definiția funcției cosinus trigonometric direct dacă, pe lângă lungimea ipotenuzei (C), este cunoscută și valoarea unghiului ascuțit (β) adiacent celui dorit. Cosinusul acestui unghi ca raport dintre lungimile catetei dorite și ale ipotenuzei și din aceasta putem concluziona că lungimea catetei este egală cu produsul lungimii ipotenuzei cu cosinusul unghiului cunoscut: A = C ∗ cos (β). Puteți folosi definiția funcției secante și calcula valoarea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la secantei unghiului cunoscut A = C / sec (β).

Deduceți formula dorită dintr-o definiție similară pentru derivata funcției trigonometrice a tangentei, dacă, pe lângă unghiul ascuțit (α), care se află opus catetului dorit (A), lungimea celui de-al doilea catet (B) este cunoscut. Tangenta unghiului opus piciorului dorit este raportul dintre lungimea acestui picior și lungimea celui de-al doilea picior. Aceasta înseamnă că valoarea necesară va fi egală cu produsul lungimii catetei cunoscute cu tangenta unghiului cunoscut: A = B ∗ tg (α). O altă formulă poate fi derivată din aceleași mărimi cunoscute dacă folosim definiția funcției cotangente. În acest caz, pentru a calcula lungimea piciorului, va fi necesar să găsim raportul dintre lungimea piciorului cunoscut și cotangentei unghiului cunoscut: A = B / ctg (α).

Videoclipuri similare

Cuvântul „catet” a venit în rusă din greacă. În traducere exactă, înseamnă un plumb, adică o perpendiculară pe suprafața pământului. În matematică, catetele sunt numite laturi care formează un unghi drept al unui triunghi dreptunghic. Latura opusă acestui colț se numește ipotenuză. Termenul „picior” este folosit și în arhitectură și tehnologia de sudare.

Secanta unui unghi dat se obține prin împărțirea ipotenuzei la catetul adiacent, adică secCAB = c / b. Rezultă inversul cosinusului, adică poate fi exprimat prin formula secCAB = 1 / cosSAB.
Cosecanta este egală cu câtul împărțirii ipotenuzei la catetul opus și aceasta este reciproca sinusului. Poate fi calculat folosind formula cosecCAB = 1 / sinCAB

Ambele picioare sunt conectate între ele și cotangente. V în acest caz tangenta este raportul dintre latura a și latura b, adică piciorul opus celui alăturat. Acest raport poate fi exprimat prin formula tgCAB = a/b. În consecință, relația inversă va fi cotangenta: ctgCAB = b / a.

Raportul dintre dimensiunile ipotenuzei și ambele picioare a fost determinat de grecul antic Pitagora. Teorema, numele lui, oamenii încă o folosesc. Se spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică c2 = a2 + b2. În consecință, fiecare catete va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catete. Această formulă poate fi scrisă ca b = √ (c2-a2).

Lungimea piciorului poate fi exprimată și prin relațiile pe care le cunoașteți. Conform teoremelor sinusurilor și cosinusurilor, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și una dintre aceste funcții. Îl puteți exprima și sau cotangent. Piciorul a poate fi găsit, de exemplu, prin formula a = b * tan CAB. În același mod, în funcție de tangenta specificată sau, se determină și al doilea picior.

Termenul „picior” este folosit și în arhitectură. Se aplică pe capitalul ionic și se prăbușește prin mijlocul spatelui. Adică, în acest caz, acest termen este o perpendiculară pe o dreaptă dată.

În tehnologia sudării există un „picior de sudură filet”. Ca și în alte cazuri, aceasta este distanța cea mai scurtă. Aici este vorba despre golul dintre una dintre piesele care urmează a fi sudate la marginea cusăturii situată pe suprafața celeilalte părți.

Videoclipuri similare

Surse:

• ce este catetul și ipotenuza în 2019