Cum se efectuează acțiuni cu fracții obișnuite. Matematică: acțiuni cu fracții

1.Adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor

Când se adună fracții cu aceiași numitori, numărătorii se adună și

La scaderea fracțiilor cu același numitor, numărătorul celei de-a doua fracții se scade din numărătorul primei fracții și numitorul rămâne același.

Exemple: A) ; b)

2.Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiti

Pentru a adăuga (scădea) fracții cu numitori diferiți, aveți nevoie de:

reduceți aceste fracții la cel mai mic numitor comun

adunați (scădeți) fracțiile rezultate (ca în paragraful 1)

Exemple: A)
; b)

3.Adunarea și scăderea numerelor mixte

Pentru a adăuga numere mixte, aveți nevoie de:

reduceți părțile fracționale ale acestor numere la cel mai mic numitor comun;

se efectuează separat adăugarea de părți întregi și separat de părți fracționale. Dacă, la adăugarea părților fracționale, obțineți o fracție incorectă, selectați întreaga parte din această fracție și adăugați-o la întreaga parte rezultată.

Exemple: A)
; b)

Pentru a scădea numere mixte, trebuie să:

reduceți părțile fracționale ale acestor numere la cel mai mic numitor comun; daca partea fractionara a celei reduse este mai mica decat partea fractionara a celei scadete, transformati-o intr-o fractiune neregulata, micsorand intreaga parte cu unu;

efectuați separat scăderea părților întregi și a părților fracționale separat.

Exemple: A)
; b)

4 înmulțirea fracțiilor

A) Pentru a înmulți o fracție cu numar natural , trebuie să-i înmulțiți numărătorul cu acest număr și să lăsați numitorul neschimbat

Exemple:

b) Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, necesar:

1) scrieți produsul numărătorilor în numărător și produsul numitorilor în numitor;

2) efectuați o reducere (dacă este posibil);

3) efectuați înmulțirea

Exemple: A)
; b)

c) Pentru a înmulți numere mixte, trebuie să le scrieți sub formă de fracții improprii și apoi să folosiți regula pentru înmulțirea fracțiilor.

Exemple:

5 împărțirea fracțiilor

Pentru a împărți o fracție la alta, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului

Acțiuni cu fracții. În acest articol, vom analiza exemple, totul este detaliat cu explicații. Vom lua în considerare fracțiile obișnuite. În viitor, vom analiza zecimale. Vă recomand să vizionați totul și să le studiați secvențial.

1. Suma fracțiilor, diferența de fracții.

Regula: atunci când se adună fracții cu numitori egali, rezultatul este o fracție - al cărei numitor rămâne același, iar numărătorul ei va fi egal cu suma numărătorilor fracțiilor.

Regula: atunci când se calculează diferența de fracții cu aceiași numitori, obținem o fracție - numitorul rămâne același, iar numărătorul celei de-a doua se scade din numărătorul primei fracții.

Notarea formală a sumei și diferenței fracțiilor cu numitori egali:

Exemple (1):

Este clar că atunci când sunt date fracții obișnuite, atunci totul este simplu, dar dacă se amestecă? Nimic complicat...

Opțiunea 1- le puteți converti în altele obișnuite și apoi le puteți calcula.

Opțiunea 2- puteți „lucra” separat cu părțile întregi și fracționale.

Exemple (2):

Inca:

Ce se întâmplă dacă diferența dintre două fracții mixte este dată și numărătorul primei fracții este mai mic decât numărătorul celei de-a doua? De asemenea, puteți acționa în două moduri.

Exemple (3):

* Tradus în fracții obișnuite, calculat diferența, convertit fracția incorectă rezultată într-una mixtă.

* Împărțit în părți întregi și fracționale, a obținut un trei, apoi a prezentat 3 ca sumă a lui 2 și 1, prin care unitatea a fost reprezentată ca 11/11, apoi a găsit diferența dintre 11/11 și 7/11 și a calculat rezultatul. Sensul transformărilor de mai sus este să luăm (selectăm) o unitate și să o reprezentăm ca o fracție cu numitorul de care avem nevoie, apoi putem scădea alta din această fracție.

Alt exemplu:

Concluzie: există o abordare universală - pentru a calcula suma (diferența) fracțiilor mixte cu numitori egali, puteți oricând să le traduceți în cele incorecte, apoi să efectuați acțiunea necesară. După aceea, dacă în rezultat obținem o fracție incorectă, o transformăm într-una mixtă.

Mai sus, ne-am uitat la exemple cu fracții care au numitori egali. Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? În acest caz, fracțiile sunt reduse la același numitor și se efectuează acțiunea specificată. Pentru a schimba (transforma) o fracție, se folosește proprietatea principală a unei fracții.

Să ne uităm la câteva exemple simple:

În aceste exemple, vedem imediat cum una dintre fracții poate fi transformată pentru a obține numitori egali.

Dacă desemnăm modalități de reducere a fracțiilor la un numitor, atunci acesta va fi numit METODA 1.

Adică, imediat când „evaluați” fracția, trebuie să estimați dacă această abordare va funcționa - verificăm dacă numitorul mai mare este împărțit la cel mai mic. Și dacă este împărțit, atunci efectuăm transformarea - înmulțim numărătorul și numitorul astfel încât numitorii ambelor fracții să devină egali.

Acum uită-te la aceste exemple:

Această abordare nu este aplicabilă lor. Există, de asemenea, modalități de a aduce fracții la un numitor comun, luați în considerare.

Metoda A DOUA.

Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei:

* De fapt, aducem fracții la forma când numitorii devin egali. În continuare, folosim regula pentru adăugarea cămășilor cu numitori egali.

Exemplu:

* Această metodă poate fi numită universală și funcționează întotdeauna. Singurul dezavantaj este că, după calcule, este posibil să obțineți o fracție care va trebui redusă în continuare.

Să luăm în considerare un exemplu:

Se poate observa că numărătorul și numitorul sunt divizibile cu 5:

Metoda A TREIA.

Aflați cel mai mic multiplu comun (MCM) al numitorilor. Acesta va fi numitorul comun. Ce este acest numar? Acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre numere.

Uite, aici sunt două numere: 3 și 4, există multe numere care sunt divizibile cu ele - acestea sunt 12, 24, 36, ... Cel mai mic dintre ele este 12. Sau 6 și 15, sunt divizibil cu 30, 60, 90.... Cel mai mic 30. Întrebarea este - cum se determină acest cel mai mic multiplu comun?

Există un algoritm clar, dar adesea se poate face imediat, fără calcule. De exemplu, conform exemplelor de mai sus (3 și 4, 6 și 15), nu este nevoie de un algoritm, am luat numere mari (4 și 15) și le-am dublat și am văzut că sunt divizibile cu al doilea număr, dar perechi de numere. pot fi altele, de exemplu 51 și 119.

Algoritm. Pentru a determina cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, trebuie:

- descompuneți fiecare dintre numere în factori PRIMARI

- scrieți descompunerea celor mai multe dintre ele

- înmulțiți-l cu factorii LIPSĂ ai altor numere

Să ne uităm la câteva exemple:

50 și 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

extinderea unui număr mai mare lipsește unul cinci

=> LCM (50,60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 5 ∙ 5 = 300

48 si 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

extinderea unui număr mai mare lipsește doi și trei

=> LCM (48,72) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 = 144

* Cel mai mic multiplu comun al doi numere prime este egal cu produsul lor

Întrebare! Și de ce este util să găsiți cel mai mic multiplu comun, deoarece puteți utiliza a doua metodă și pur și simplu anulați fracția rezultată? Da, poți, dar nu este întotdeauna convenabil. Uită-te care va fi numitorul numerelor 48 și 72 dacă le înmulți pur și simplu 48 ∙ 72 = 3456. Fii de acord că este mai plăcut să lucrezi cu numere mai mici.

Să ne uităm la câteva exemple:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

la extinderea unui număr mai mare lipsește un triplu

=> LCM (51.119) = 3 ∙ 7 ∙ 17

Acum să aplicăm prima metodă:

* Uită-te la diferența dintre calcule, în primul caz există un minim, iar în al doilea trebuie să lucrezi separat pe o bucată de hârtie și chiar și fracțiunea pe care ai primit-o trebuie redusă. Găsirea LCM simplifică considerabil munca.

Mai multe exemple:

* În al doilea exemplu, este deja clar că cel mai mic număr care este divizibil cu 40 și 60 este 120.

TOTAL! ALGORITM GENERAL DE CALCUL!

- reducem fracțiile la cele obișnuite, dacă există o parte întreagă.

- aducem fractiile la un numitor comun (mai intai ne uitam daca un numitor este impartit la altul, daca este impartit, apoi inmultim numaratorul si numitorul acestei alte fractii; daca nu este impartit, actionam prin cealalta metodele indicate mai sus).

- primind fracții cu numitori egali, efectuăm acțiuni (adunare, scădere).

- daca este necesar, reducem rezultatul.

- dacă este necesar, selectați întreaga parte.

2. Produsul fracțiilor.

Regula este simplă. La înmulțirea fracțiilor, numărătorii și numitorii lor se înmulțesc:

Exemple:

Acest articol oferă o privire generală asupra fracțiilor. Aici vom formula și justifica regulile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și exponențiere a fracțiilor generale A/B, unde A și B sunt niște numere, expresii numerice sau expresii cu variabile. Ca de obicei, vom furniza materialul cu exemple explicative cu descrieri detaliate ale soluțiilor.

Navigare în pagină.

Reguli generale pentru efectuarea acțiunilor cu fracții numerice

Să fim de acord prin fracții numerice generale să însemne fracții în care numărătorul și/sau numitorul pot fi reprezentate nu numai prin numere naturale, ci și prin alte numere sau expresii numerice. Pentru claritate, vom da mai multe exemple de astfel de fracții:, .

Cunoaștem regulile după care sunt executate. Conform acelorași reguli, puteți efectua acțiuni cu fracții generale:

Rațiunea regulilor

Pentru a fundamenta valabilitatea regulilor de efectuare a acțiunilor cu fracții numerice generale, se poate porni de la următoarele puncte:

• bara fracțională este în esență un semn de divizare,
• împărțirea cu un număr diferit de zero poate fi considerată ca înmulțire cu inversul divizorului (acest lucru explică imediat regula împărțirea fracțiilor),
• proprietățile acțiunilor cu numere reale,
• și înțelegerea sa generalizată,

Ele vă permit să efectuați următoarele transformări, justificând regulile de adunare, scădere a fracțiilor cu aceiași și diferiți numitori, precum și regula de înmulțire a fracțiilor:

Exemple de

Vom da exemple de realizare a acțiunilor cu fracții generale conform regulilor învățate în paragraful anterior. Să spunem imediat că, de obicei, după efectuarea acțiunilor cu fracții, fracția rezultată necesită simplificare, iar procesul de simplificare a unei fracții este adesea mai complicat decât efectuarea acțiunilor anterioare. Nu ne vom opri asupra simplificării fracțiilor (transformările corespunzătoare sunt discutate în articolul despre conversia fracțiilor), pentru a nu fi distras de la subiectul care ne interesează.

Să începem cu exemple de adunare și scădere a fracțiilor numerice cu același numitor. Mai întâi, adăugați fracțiile și. Evident, numitorii sunt egali. Conform regulii corespunzătoare, notăm o fracție, al cărei numărător este egal cu suma numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul rămâne același, avem. Adunarea este finalizată, rămâne să simplificați fracția rezultată: ... Asa de, .

A fost posibil să se efectueze o soluție diferit: mai întâi, faceți tranziția la fracțiile obișnuite și apoi efectuați adunarea. Cu această abordare, avem .

Acum să scădem din fracție fracțiune ... Numitorii fracțiilor sunt egali, prin urmare, acționăm conform regulii de scădere a fracțiilor cu aceiași numitori:

Să trecem la exemple de adunare și scădere de fracții cu numitori diferiți. Principala dificultate aici constă în aducerea fracțiilor la un numitor comun. Pentru fracțiile generale, acesta este un subiect destul de extins, îl vom analiza în detaliu într-un articol separat. numitor comun al fracțiilor... Acum să ne limităm la un cuplu recomandari generale din moment ce in acest moment ne interesează mai mult tehnica efectuării acţiunilor cu fracţii.

În general, procesul este similar cu reducerea fracțiilor comune la un numitor comun. Adică numitorii sunt reprezentați sub formă de produse, apoi toți factorii sunt luați de la numitorul primei fracții și li se adaugă factorii lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții.

Când numitorii fracțiilor adăugate sau scăzute nu au factori comuni, atunci este logic să luăm produsul lor ca numitor comun. Să dăm un exemplu.

Să presupunem că trebuie să adunăm fracții și 1/2. Aici, ca numitor comun, este logic să luăm produsul numitorilor fracțiilor originale, adică. În acest caz, factorul suplimentar pentru prima fracție va fi 2. După înmulțirea numărătorului și numitorului cu acesta, fracția va lua forma. Iar pentru a doua fracție, factorul suplimentar este expresia. Cu ajutorul ei, fracția 1/2 se reduce la forma. Rămâne să adunăm fracțiile rezultate cu aceiași numitori. Iată un rezumat al întregii soluții:

În cazul fracțiilor generale, nu mai vorbim de cel mai mic numitor comun, la care se reduc de obicei fracțiile obișnuite. Deși în această chestiune este încă de dorit să se străduiască un oarecare minimalism. Prin aceasta, vrem să spunem că nu ar trebui să luați produsul numitorilor fracțiilor originale ca numitor comun. De exemplu, nu este deloc necesar să luăm numitorul comun al fracțiilor și al produsului ... Aici, putem lua ca numitor comun.

Ne întoarcem la exemple de înmulțire a fracțiilor generale. Să înmulțim fracțiile și. Regula pentru efectuarea acestei acțiuni ne îndrumă să scriem o fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul este produsul numitorilor. Avem ... Aici, ca în multe alte cazuri când înmulțiți fracții, puteți anula fracția: .

Regula împărțirii fracțiilor vă permite să treceți de la împărțire la înmulțire prin reciprocă. Aici trebuie să rețineți că, pentru a obține inversul fracției date, trebuie să rearanjați numărătorul și numitorul acestei fracții. Iată un exemplu de trecere de la împărțirea generală a fracțiilor numerice la înmulțire: ... Rămâne să efectuați înmulțirea și să simplificați fracția rezultată (dacă este necesar, vedeți transformarea expresiilor iraționale):

Încheind informațiile din acest paragraf, reamintim că orice număr sau expresie numerică poate fi reprezentată ca o fracție cu numitorul 1, prin urmare, adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea unui număr și a unei fracții pot fi considerate ca efectuând acțiunea corespunzătoare. cu fracții, dintre care una are o unitate la numitor... De exemplu, înlocuirea în expresie rădăcină a trei fracții, vom trece de la înmulțirea unei fracții cu un număr la înmulțirea a două fracții: .

Efectuarea de acțiuni asupra fracțiilor care conțin variabile

Regulile din prima parte a acestui articol sunt aplicate și pentru a efectua acțiuni cu fracții care conțin variabile. Să o justificăm pe prima dintre ele - regula adunării și scăderii fracțiilor cu aceiași numitori, restul se dovedește absolut în același mod.

Să demonstrăm că pentru orice expresii A, C și D (D nu este identic zero) egalitatea pe gama sa de valori admisibile ale variabilelor.

Să luăm un set de variabile din ODV. Fie că pentru aceste valori ale variabilelor expresiile A, C și D iau valorile a 0, c 0 și d 0. Apoi, înlocuirea valorilor variabilelor din mulțimea selectată în expresie o transformă în suma (diferența) fracțiilor numerice cu aceiași numitori ai formei, care, conform regulii de adunare (scădere) a fracțiilor numerice. fracții cu aceiași numitori, este egală cu. Dar înlocuirea valorilor variabilelor din setul selectat în expresie o transformă în aceeași fracție. Aceasta înseamnă că pentru setul selectat de valori variabile din ODZ, valorile expresiilor și sunt egale. Este clar că valorile acestor expresii vor fi egale pentru orice alt set de valori ale variabilelor din ODZ, ceea ce înseamnă că expresiile și sunt identic egale, adică egalitatea care se dovedește este corectă. .

Exemple de adunare și scădere de fracții cu variabile

Când numitorii fracțiilor adăugate sau scăzute sunt aceiași, atunci totul este destul de simplu - numărătorii se adună sau se scad, iar numitorul rămâne același. Este clar că fracția obținută după aceasta este simplificată dacă este necesar și posibil.

Rețineți că uneori numitorii fracțiilor diferă doar la prima vedere, dar de fapt sunt expresii identice, cum ar fi, și, sau și. Și uneori este suficient să simplificați fracțiile inițiale pentru ca numitorii lor identici să apară.

Exemplu.

, b) , v) .

Soluţie.

a) Trebuie să scădem fracții cu aceiași numitori. Conform regulii corespunzătoare, lăsăm numitorul neschimbat și scădem numărătorii, avem ... Acțiune finalizată. Dar puteți extinde în continuare parantezele din numărător și dați termeni similari: .

b) Evident, numitorii fracțiilor adăugate sunt aceiași. Prin urmare, adunați numărătorii și lăsați numitorul același:. Adăugarea este completă. Dar este ușor de observat că fracția rezultată poate fi anulată. Într-adevăr, numărătorul fracției rezultate poate fi convolut prin formula pătratului sumei ca (lgx + 2) 2 (vezi formulele de înmulțire abreviată), astfel, au loc următoarele transformări: .

c) Fracții în sumă au numitori diferiți. Dar, după ce ați transformat una dintre fracții, puteți trece la adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori. Vom arăta două soluții.

Prima cale. Numitorul primei fracții poate fi factorizat folosind formula diferenței de pătrate și apoi anulați această fracție: ... Prin urmare, . Încă nu strica să scapi de iraționalitate în numitorul fracției: .

A doua cale. Înmulțirea numărătorului și numitorului celei de-a doua fracții cu (această expresie nu dispare pentru nicio valoare a variabilei x din ODZ pentru expresia originală) vă permite să atingeți două obiective simultan: să scăpați de iraționalitate și să treceți la adunare. a fracțiilor cu aceiași numitori. Avem

Răspuns:

A) , b) , v) .

Ultimul exemplu ne-a condus la problema reducerii fracțiilor la un numitor comun. Acolo am ajuns aproape accidental la aceiași numitori, simplificând una dintre fracțiile adăugate. Dar, în cele mai multe cazuri, atunci când adăugați și scădeți fracții cu numitori diferiți, trebuie să aduceți intenționat fracțiile la un numitor comun. Pentru aceasta, numitorii fracțiilor sunt de obicei reprezentați sub formă de produse, toți factorii sunt luați de la numitorul primei fracții și li se adaugă factorii lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții.

Exemplu.

Efectuați acțiuni cu fracții: a) , b), c) .

Soluţie.

a) Nu este nevoie să faceți nimic cu numitorii fracțiilor. Ca numitor comun, luăm produsul ... În acest caz, expresia este factorul suplimentar pentru prima fracție, iar numărul 3 pentru a doua fracție. Acești factori suplimentari aduc fracțiile la un numitor comun, care ulterior ne permite să realizăm acțiunea de care avem nevoie, avem

b) În acest exemplu, numitorii sunt deja reprezentați ca produse și nu sunt necesare transformări suplimentare. Evident, factorii din numitori diferă doar în exponenți, prin urmare, ca numitor comun, luăm produsul factorilor cu cei mai mari exponenți, adică ... Apoi, factorul suplimentar pentru prima fracție va fi x 4, iar pentru a doua - ln (x + 1). Acum suntem gata să facem scăderea fracțiilor:

c) A c acest caz mai întâi, să lucrăm cu numitorii fracțiilor. Formulele pentru diferența de pătrate și pătratul sumei vă permit să treceți de la suma inițială la expresia ... Acum este clar că aceste fracții pot fi reduse la un numitor comun ... Cu această abordare, soluția va arăta astfel:

Răspuns:

A)

b)

v)

Exemple de înmulțire a fracțiilor cu variabile

Înmulțirea fracțiilor dă o fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul este produsul numitorilor. Aici, după cum puteți vedea, totul este familiar și simplu și nu putem decât să adăugăm că fracția obținută în urma efectuării acestei acțiuni este adesea anulabilă. În aceste cazuri, se reduce, dacă, desigur, este necesar și justificat.

În matematică, de la începuturile lor au fost studiate diferite tipuri de numere. Există multe seturi și subseturi de numere. Printre acestea, se numără numere întregi, raționale, iraționale, naturale, pare, impare, complexe și fracționale. Astăzi vom analiza informații despre ultima mulțime - numere fracționale.

Definirea fracțiilor

Fracțiile sunt numere formate din părți întregi și fracții de unu. La fel ca numerele întregi, există un număr infinit de fracții între două numere întregi. În matematică, acțiunile cu fracții sunt efectuate ca și cu numere întregi și numere naturale. Este destul de simplu și poate fi învățat în câteva lecții.

Articolul prezintă două tipuri

Fracții ordinare

Fracțiile obișnuite sunt partea întreagă a și două numere separate prin bara fracțională b / c. Fracțiile obișnuite pot fi extrem de utile dacă partea fracțională nu poate fi reprezentată într-o notație zecimală rațională. În plus, este mai convenabil să efectuați operații aritmetice prin bara fracțională. Partea superioară se numește numărător, partea inferioară se numește numitor.

Acțiuni fracționale: exemple

Proprietatea principală a unei fracții. Laînmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr diferit de zero are ca rezultat un număr egal cu cel dat. Această proprietate a unei fracții ajută perfect la aducerea numitorului pentru adunare (asta va fi discutată mai jos) sau la reducerea fracției, pentru a o face mai convenabilă pentru numărare. a / b = a * c / b * c. De exemplu, 36/24 = 6/4 sau 9/13 = 18/26

Reducerea la un numitor comun. Pentru a aduce numitorul unei fracții, este necesar să se reprezinte numitorul sub formă de factori, apoi să se înmulțească cu numerele care lipsesc. De exemplu, 7/15 și 12/30; 7/5 * 3 și 12/5 * 3 * 2. Vedem că numitorii diferă în doi, așa că înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 2. Obținem: 14/30 și 12/30.

Fracții compuse- fracții ordinare cu o parte întreagă evidențiată. (A b / c) Pentru a reprezenta o fracție compusă ca o fracție obișnuită, trebuie să înmulțiți numărul din fața fracției cu numitorul, apoi să îl adăugați cu numărătorul: (A * c + b) / c.

Operații aritmetice cu fracții

Nu va fi de prisos să luăm în considerare binecunoscutele operații aritmetice doar atunci când lucrați cu numere fracționale.

Adunare si scadere. Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este la fel de ușor ca și adunarea numerelor întregi, cu excepția unei dificultăți - prezența unei bare fracționale. Când se adună fracții cu același numitor, este necesar să se adună doar numărătorii ambelor fracții, numitorii rămânând neschimbați. De exemplu: 5/7 + 1/7 = (5 + 1) / 7 = 6/7

Dacă numitorii a două fracții sunt numere diferite, mai întâi trebuie să le aduceți la unul comun (așa cum am discutat mai sus). 1/8 + 3/2 = 1/2 * 2 * 2 + 3/2 = 1/8 + 3 * 4/2 * 4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Scăderea urmează exact același principiu: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Înmulțirea și împărțirea. Acțiuni cu fracţiile prin înmulţire apar după următorul principiu: numărătorii şi numitorii se înmulţesc separat. V vedere generala formula de înmulțire arată astfel: a / b * c / d = a * c / b * d. În plus, pe măsură ce înmulțiți, puteți reduce fracția eliminând aceiași factori de la numărător și numitor. Cu alte cuvinte, numărătorul și numitorul sunt împărțite la același număr: 4/16 = 4/4 * 4 = 1/4.

Pentru a împărți o fracție obișnuită la alta, trebuie să schimbați numărătorul și numitorul divizorului și să înmulțiți două fracții, conform principiului discutat mai devreme: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5 * 11 /11 * 25 = 1/5

Fracții zecimale

Fracțiile zecimale sunt versiunea mai populară și mai frecvent utilizată a numerelor fracționale. Este mai ușor să le scrieți într-o linie sau să le reprezentați pe computer. Structura fracției zecimale este următoarea: mai întâi se scrie un număr întreg, apoi, după virgulă zecimală, se scrie partea fracțională. În miezul ei zecimale- acestea sunt fracții ordinare compuse, dar partea lor fracțională este reprezentată de un număr împărțit la un multiplu de 10. De aici provine numele lor. Operațiile cu fracții zecimale sunt similare cu operațiile cu numere întregi, deoarece sunt scrise și în notație zecimală. De asemenea, spre deosebire de fracțiile obișnuite, zecimalele pot fi iraționale. Aceasta înseamnă că pot fi nesfârșite. Sunt scrise ca 7, (3). Se citește următorul record: șapte puncte, trei zecimi în perioada.

Operații de bază cu numere zecimale

Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale. Efectuarea operațiilor cu fracții nu este mai dificilă decât cu numere naturale întregi. Regulile sunt absolut asemănătoare cu cele folosite la adunarea sau scăderea numerelor naturale. Ele pot fi considerate ca o coloană în același mod, însă, dacă este necesar, înlocuiți locurile lipsă cu zerouri. De exemplu: 5,5697 - 1,12. Pentru a efectua scăderea într-o coloană, trebuie să egalizați numărul de numere după virgulă zecimală: (5,5697 - 1,1200). Deci, valoarea numerică nu se va modifica și se va putea număra într-o coloană.

Acțiunile cu fracții zecimale nu pot fi efectuate dacă una dintre ele este irațională. Pentru a face acest lucru, trebuie să traduceți ambele numere în fracții și apoi să utilizați tehnicile descrise mai devreme.

Înmulțirea și împărțirea.Înmulțirea zecimală este similară cu înmulțirea naturală. Ele pot fi, de asemenea, înmulțite într-o coloană, pur și simplu fără a fi atent la virgulă, și apoi separa cu o virgulă în valoarea finală același număr de cifre ca și suma după ce virgulă a fost în două fracții zecimale. De exemplu, 1,5 * 2,23 = 3,345. Totul este foarte simplu și nu ar trebui să fie dificil dacă ați stăpânit deja înmulțirea numerelor naturale.

Împărțirea coincide și cu împărțirea numerelor naturale, dar cu o ușoară abatere. Pentru a împărți cu un număr zecimal într-o coloană, trebuie să renunțați la virgula din divizor și să înmulțiți dividendul cu numărul de zecimale din divizor. Apoi faceți împărțirea ca în cazul numerelor naturale. În cazul împărțirii incomplete, puteți adăuga zerouri la dividendul din dreapta, adăugând și un zero în răspuns după virgulă.

Exemple de acțiuni cu fracții zecimale. Fracțiile zecimale sunt un instrument foarte util pentru calcularea aritmetică. Ele combină comoditatea numerelor naturale, a numerelor întregi și a preciziei fracțiilor comune. În plus, este destul de ușor să traduci unele fracții în altele. Acțiunile cu fracții nu diferă de acțiunile cu numere naturale.

1. Adunare: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Scădere: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Înmulțire: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Diviziune: 3,6: 0,6 = 6

În plus, zecimale sunt potrivite pentru reprezentarea procentelor. Deci, 100% = 1; 60% = 0,6; și invers: 0,659 = 65,9%.

Asta e tot ce trebuie să știi despre fracții. Articolul a luat în considerare două tipuri de fracții - ordinare și zecimale. Ambele sunt destul de simplu de calculat, iar dacă ai stăpânit complet numerele naturale și operațiunile cu ele, poți începe în siguranță să înveți numerele fracționale.

1º. numere întregi- acestea sunt numere folosite pentru numărare. Mulțimea tuturor numerelor naturale se notează cu N, adică. N = (1, 2, 3, ...).

Fracțiune numit număr format din mai multe părți ale unuia. Fracție ordinară se numește un număr de formă, unde un număr natural n arată în câte părți egale este împărțită unitatea și numărul natural m arată câte astfel de părți egale sunt luate. Numerele mși n sunt numite în consecință numărătorși numitor fractii.

Dacă numărătorul mai mic decât numitorul, atunci se numește fracția obișnuită corect; dacă numărătorul este egal sau mai mare decât numitorul, atunci se numește fracția gresit... Se numește un număr format din părți întregi și fracționale număr mixt.

De exemplu, - fracții regulate, - fracții neregulate, 1 - număr mixt.

2º. La efectuarea acțiunilor peste fracții obișnuite amintiți-vă următoarele reguli:

1)Proprietatea de bază a fracției... Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, obțineți o fracție egală cu cea dată.

De exemplu, a); b) .

Se numește împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu divizorul lor comun, altul decât unul reducerea fracției.

2) Pentru a reprezenta numărul mixt ca o fracție improprie, trebuie să înmulțiți întreaga sa parte cu numitorul părții fracționale și să adăugați numărătorul părții fracționale la produsul rezultat, notați suma rezultată ca numărător al fracției , și lăsați numitorul același.

În mod similar, orice număr natural poate fi scris ca o fracție improprie cu orice numitor.

De exemplu, a), deoarece; b) etc.

3) Pentru a scrie o fracție incorectă ca număr mixt (adică, selectați întreaga parte din fracția incorectă), trebuie să împărțiți numărătorul la numitor, luați câtul de diviziune ca parte întreagă, restul ca numărător , lăsați numitorul același.

De exemplu, a), din 200: 7 = 28 (restul 4);
b), din moment ce 20: 5 = 4 (restul 0).

4) Pentru a aduce fracțiile la cel mai mic numitor comun, trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) al numitorilor acestor fracții (acesta va fi cel mai mic numitor comun al acestora), împărțiți cel mai mic numitor comun la numitorii acestor fracții (adică găsiți factori suplimentari pentru fracții), înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.

De exemplu, să aducem fracțiile la cel mai mic numitor comun:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Mijloace, ; ; .

5) Reguli pentru operații aritmetice cu fracții ordinare:

a) Adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor se efectuează conform regulii:

b) Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți se efectuează conform regulii a), având în prealabil reduse fracțiile la cel mai mic numitor comun.

c) Când adăugați și scădeți numere mixte, le puteți transforma în fracții improprii, iar apoi efectuați acțiunile conform regulilor a) și b),