Înmulțirea a trei fracții cu numitori diferiți. Fracții
O altă acțiune pe care o puteți face cu fracțiile este multiplicarea. Vom încerca să explicăm regulile sale de bază atunci când rezolvăm probleme, arătăm cum se înmulțește o fracție obișnuită cu numar naturalși cum să multiplicați corect trei fracții sau mai multe.
Să notăm mai întâi regula de bază:
Definiția 1
Dacă înmulțim o fracție obișnuită, atunci numărătorul fracției rezultate va fi egal cu produsul numeratorilor fracțiilor originale, iar numitorul va fi egal cu produsul numitorilor lor. În formă literală, pentru cele două fracții a / b și c / d, aceasta poate fi exprimată ca a b c d = a c b d.
Să vedem un exemplu de aplicare corectă a acestei reguli. Să presupunem că avem un pătrat a cărui latură este egală cu o unitate numerică. Apoi aria figurii va fi de 1 mp. unitate. Dacă împărțim pătratul în dreptunghiuri egale cu laturi egale cu 1 4 și 1 8 ale unei unități numerice, obținem că acum este format din 32 de dreptunghiuri (deoarece 8 4 = 32). În consecință, aria fiecăruia dintre ele va fi egală cu 1 32 din aria întregii figuri, adică 1 32 mp unități.
Avem un fragment umbrit cu laturi egale cu 5 8 unități numerice și 3 4 unități numerice. În consecință, pentru a-i calcula aria, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua. Va fi egal cu 5 8 · 3 4 mp. unități. Dar putem număra pur și simplu câte dreptunghiuri sunt incluse în fragment: sunt 15 dintre ele, ceea ce înseamnă asta suprafata totala este de 15 32 unități pătrate.
Deoarece 5 3 = 15 și 8 4 = 32, putem scrie următoarea egalitate:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Este o confirmare a regulii formulate de noi pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite, care se exprimă ca a b c d = a c b d. Funcționează la fel atât pentru fracțiile regulate, cât și pentru cele neregulate; folosindu-l, puteți înmulți fracțiile cu diferiți și aceiași numitori.
Să analizăm soluțiile la mai multe probleme de multiplicare pentru fracțiile obișnuite.
Exemplul 1
Înmulțiți 7 11 cu 9 8.
Soluţie
În primul rând, să calculăm produsul numărătorilor fracțiilor indicate înmulțind 7 cu 9. Avem 63. Apoi calculăm produsul numitorilor și obținem: 11 8 = 88. Să alcătuim cele două numere ale acestora răspunsul: 63 88.
Întreaga soluție poate fi scrisă astfel:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Răspuns: 7 11 9 8 = 63 88.
Dacă în răspuns am obținut o fracție anulabilă, trebuie să aducem calculul la final și să efectuăm anularea acestuia. Dacă obținem o fracțiune incorectă, trebuie să selectăm întreaga parte din ea.
Exemplul 2
Calculați produsul fracțiilor 4 15 și 55 6.
Soluţie
Conform regulii studiate mai sus, trebuie să înmulțim numărătorul cu numărătorul, iar numitorul cu numitorul. Înregistrarea soluției va arăta astfel:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Avem o fracție anulabilă, adică una care are o divizibilitate cu 10.
Să reducem fracția: 220 90 GCD (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Ca rezultat, am obținut o fracțiune incorectă, din care selectăm întreaga parte și obținem un număr mixt: 22 9 = 2 4 9.
Răspuns: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Pentru comoditatea calculului, putem reduce și fracțiile originale înainte de a efectua operația de multiplicare, pentru care trebuie să reducem fracția la forma a · c b · d. Să descompunem valorile variabilelor în factori primi și să îi reducem pe aceiași.
Să ne explicăm cum arată folosind datele unei sarcini specifice.
Exemplul 3
Calculați produsul 4 15 55 6.
Soluţie
Să scriem calculele pe baza regulii înmulțirii. Vom primi:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Deoarece 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 și 6 = 2 3, atunci 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Răspuns: 4 15 55 6 = 2 4 9.
O expresie numerică în care are loc multiplicarea fracțiilor obișnuite are o proprietate de deplasare, adică, dacă este necesar, putem schimba ordinea factorilor:
a b c d = c d a b = a c b d
Cum se înmulțește o fracție cu un număr natural
Să notăm regula de bază imediat și apoi să încercăm să o explicăm în practică.
Definiția 2
Pentru a înmulți o fracție obișnuită cu un număr natural, trebuie să înmulțiți numărătorul acestei fracții cu acest număr. În acest caz, numitorul fracției finale va fi egal cu numitorul originalului fracție comună... Înmulțirea unei fracții a b cu un număr natural n poate fi scrisă ca o formulă a b n = a n b.
Este ușor de înțeles această formulă dacă vă amintiți că orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu un numitor egal cu unul, adică:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Să ne clarificăm gândul cu exemple specifice.
Exemplul 4
Calculați produsul de 2 27 la 5.
Soluţie
Ca rezultat al înmulțirii numărătorului fracției originale cu al doilea factor, obținem 10. În virtutea regulii de mai sus, obținem 10 27 ca rezultat. Întreaga soluție este dată în acest post:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Răspuns: 2 27 5 = 10 27
Când înmulțim un număr natural cu o fracție obișnuită, de multe ori trebuie să prescurtăm rezultatul sau să îl reprezentăm ca număr mixt.
Exemplul 5
Stare: Calculați produsul de 8 cu 5 12.
Soluţie
Conform regulii de mai sus, înmulțim numărul natural cu numeratorul. Ca rezultat, obținem că 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Fracția finală are semne de divizibilitate cu 2, deci trebuie să o reducem:
LCM (40, 12) = 4, deci 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Acum trebuie doar să selectăm întreaga parte și să notăm răspunsul final: 10 3 = 3 1 3.
În această intrare, puteți vedea întreaga soluție: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Am putea, de asemenea, să reducem fracția, luând în calcul numeratorul și numitorul în factori primi, iar rezultatul ar fi exact același.
Răspuns: 5 12 8 = 3 1 3.
O expresie numerică în care un număr natural este înmulțit cu o fracție are și proprietatea de a se deplasa, adică ordinea factorilor nu afectează rezultatul:
a b n = n a b = a n b
Cum se multiplică trei sau mai multe fracții
Putem extinde la acțiunea multiplicării fracțiilor obișnuite aceleași proprietăți care sunt caracteristice multiplicării numerelor naturale. Acest lucru rezultă din însăși definiția acestor concepte.
Datorită cunoașterii proprietăților de combinație și de deplasare, este posibil să se înmulțească trei fracții sau mai mult. Este permis să rearanjați multiplicatorii în locuri pentru mai multă comoditate sau să aranjați parantezele, deoarece va fi mai ușor de numărat.
Să arătăm cu un exemplu cum se face acest lucru.
Exemplul 6
Înmulțiți cele patru fracții 1 20, 12 5, 3 7 și 5 8.
Soluție: mai întâi, să facem o înregistrare a piesei. Obținem 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8. Trebuie să înmulțim împreună toți numeratorii și toți numitorii: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8.
Înainte de a începe să ne înmulțim, îl putem ușura un pic și putem calcula unele numere în factori primi pentru o reducere ulterioară. Acest lucru va fi mai ușor decât reducerea fracției rezultate.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Răspuns: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9 280.
Exemplul 7
Înmulțiți 5 numere 7 8 12 8 5 36 10.
Soluţie
Pentru comoditate, putem grupa fracția 7 8 cu numărul 8 și numărul 12 cu fracția 5 36, deoarece în acest caz viitoarele abrevieri ne vor fi evidente. Drept urmare, obținem:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
Răspuns: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter
În secolul al V-lea î.Hr., filosoful grec antic Zenon din Elea și-a formulat faimoasele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Ahile și broasca țestoasă”. Așa sună:Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât o broască țestoasă și se află la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa va târâ cu o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a parcurs o sută de pași, broasca țestoasă va târâi încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urma țestoasei.
Acest raționament a venit ca un șoc logic pentru toate generațiile ulterioare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert ... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporiile lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât „ ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună despre esența paradoxurilor ... analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei. ; niciuna dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la întrebare ...„[Wikipedia, Aporia lui Zenon”]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege care este înșelăciunea.
Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la magnitudine la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților variabile de măsură fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm unități constante de măsurare a timpului la reciproc. Din punct de vedere fizic, pare o dilatare a timpului până când se oprește complet în momentul în care Ahile este la nivel de broască țestoasă. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși broasca țestoasă.
Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul se încadrează în loc. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel precedent. În consecință, timpul petrecut pentru a o depăși este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Ahile va prinde la infinit rapid țestoasa”.
Cum poți evita această capcană logică? Rămâneți în unități de timp constante și nu mergeți înapoi. În limba lui Zenon, arată așa:
În timpul în care Ahile va alerga o mie de pași, broasca țestoasă va târâ cu o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar broasca țestoasă va târâ cu o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași în fața broaștei țestoase.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără paradoxuri logice. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre insuperabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia Zenon „Ahile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Și soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
Săgeata zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment al timpului este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment al timpului, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că, în fiecare moment al timpului, o săgeată zburătoare se sprijină în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Un alt punct ar trebui menționat aici. Dintr-o singură fotografie a unei mașini pe drum, este imposibil să se determine fie faptul mișcării sale, fie distanța față de aceasta. Pentru a determina faptul mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii, făcute din același punct în momente diferite, dar distanța nu poate fi determinată de acestea. Pentru a determina distanța față de mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din puncte diferite din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul de mișcare de la acestea (desigur, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta) . Ceea ce vreau să atrag o atenție specială este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite pentru cercetare.
Miercuri, 4 iulie 2018
Distincția dintre set și multiset este foarte bine descrisă în Wikipedia. Ne uitam.
După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-un set”, dar dacă există elemente identice într-un set, un astfel de set se numește „multiset”. O astfel de logică a absurdului nu va fi niciodată înțeleasă de ființele raționale. Acesta este nivelul de papagali vorbitori și maimuțe dresate, cărora le lipsește inteligența din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca antrenori obișnuiți, predicându-ne ideile lor absurde.
Odată inginerii care au construit podul au fost într-o barcă sub pod în timpul încercărilor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul incompetent a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul ar putea rezista la sarcină, un inginer talentat ar construi alte poduri.
Indiferent de modul în care matematicienii se ascund în spatele expresiei „cu, sunt în casă”, sau mai bine zis „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care îi leagă indisolubil de realitate. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria matematică a mulțimilor înșiși.
Am studiat matematica foarte bine și acum stăm la casă, oferind salarii. Aici vine un matematician pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și așezăm pe masa noastră în diferite grămezi, în care punem facturi cu aceeași denumire. Apoi luăm câte o factură din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul salarial matematic”. Să explicăm matematica că va primi restul facturilor doar atunci când va demonstra că un set fără elemente identice nu este egal cu un set cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Poți aplica acest lucru altora, nu poți să aplici și mie!” Mai mult, vom începe să ne asigurăm că există numere diferite de denumire pe facturile cu aceeași denumire, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic fizica: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și dispunerea atomilor în fiecare monedă este unică ...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința nu se afla nicăieri pe aici.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu același teren. Zona câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, deoarece numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cum este corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne spună fie despre set, fie despre multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: în ce fel diferă elementele unui set de elementele unui alt set? Vă voi arăta, fără nici un „gândit ca nu un singur întreg” sau „care nu poate fi gândit ca un întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor numărului este un dans al șamanilor cu un tamburin, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, în lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea sunt șamani pentru a-și învăța urmașii abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii vor dispărea pur și simplu.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina Suma cifrelor unui număr. Nu există. Nu există nicio formulă în matematică prin care să puteți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice, cu ajutorul cărora scriem numere și în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice reprezentând orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii - este elementară.
Să vedem ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Deci, să avem numărul 12345. Ce ar trebui făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să parcurgem toți pașii în ordine.
1. Notăm numărul pe o bucată de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul în simbolul grafic al numărului. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Am tăiat o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere separate. Tăierea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” din șamanii folosiți de matematicieni. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem numeric scriem numărul. Deci, în diferite sisteme numerice, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca un indiciu în dreapta numărului. Cu un număr mare 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, ia în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme numerice binare, octale, zecimale și hexazecimale. Nu vom privi fiecare pas sub microscop, am făcut deja acest lucru. Să vedem rezultatul.
După cum puteți vedea, în diferite sisteme numerice, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nicio legătură cu matematica. Este la fel ca și cum ai obține rezultate complet diferite atunci când ai determinat aria unui dreptunghi în metri și centimetri.
Zero în toate sistemele numerice arată la fel și nu are nicio sumă de cifre. Acesta este un alt argument pentru faptul că. O întrebare pentru matematicieni: cum este desemnat ceva care nu este un număr în matematică? Ce, pentru matematicieni, nu există altceva decât numerele? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oamenii de știință - nu. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut trebuie considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu diferite unități de măsură. Dacă aceleași acțiuni cu unități de măsură diferite ale aceleiași cantități conduc la rezultate diferite după comparația lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de magnitudinea numărului, de unitatea de măsură utilizată și de cine efectuează această acțiune.
Vai! Nu este aceasta o toaletă pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nediscriminatorii a sufletelor în timpul înălțării la cer! Halo deasupra și săgeata îndreptată în sus. Ce altă toaletă?
Femelă ... Nimbul de deasupra și săgeata în jos este mascul.
Dacă o piesă de artă de acest gen clipeste în fața ochilor de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător faptul că în mașina dvs. găsiți brusc o pictogramă ciudată:
Personal, fac un efort asupra mea, astfel încât, într-o persoană care pooping (o imagine), pot vedea minus patru grade (o compoziție a mai multor imagini: un semn minus, numărul patru, desemnarea gradelor). Și nu cred că această fată este o proastă care nu cunoaște fizica. Are doar un stereotip de percepție a imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață constant acest lucru. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul caca” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Oamenii care lucrează în mod constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca un singur simbol grafic.
) și numitorul de către numitor (obținem numitorul produsului).
Formula pentru multiplicarea fracțiilor:
De exemplu:
Înainte de a începe să înmulțiți numeratorii și numitorii, trebuie să verificați posibilitatea reducerii fracției. Dacă puteți reduce fracția, atunci vă va fi mai ușor să faceți alte calcule.
Împărțirea unei fracții obișnuite într-o fracție.
Împărțirea fracțiilor cu participarea unui număr natural.
Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertiți un număr întreg într-o fracție cu una în numitor. De exemplu:
Înmulțirea fracțiilor mixte.
Regulile pentru multiplicarea fracțiilor (mixte):
- convertirea fracțiilor mixte în neregulate;
- înmulțiți numeratorii și numitorii fracțiilor;
- reducem fracția;
- dacă este primit fracțiune necorespunzătoare, apoi convertim fracția necorespunzătoare la una mixtă.
Notă! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le aduceți sub formă de fracții necorespunzătoare, apoi să înmulțiți în conformitate cu regula înmulțirii fracțiilor obișnuite.
A doua modalitate de a multiplica o fracție cu un număr natural.
Poate fi mai convenabil să se utilizeze a doua metodă de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.
Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției cu acest număr și să lăsați numeratorul neschimbat.
Din exemplul de mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul fracției este împărțit fără rest cu un număr natural.
Fracții cu mai multe etaje.
În liceu, se găsesc adesea fracțiuni cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:
Pentru a aduce o astfel de fracție la forma sa obișnuită, utilizați împărțirea prin 2 puncte:
Notă!În împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Aveți grijă, este ușor să vă confundați aici.
Notă, De exemplu:
Când se împarte una la orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, numai inversată:
Sfaturi practice pentru multiplicarea și împărțirea fracțiilor:
1. Cel mai important lucru în lucrul cu expresii fracționate este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrieți câteva rânduri suplimentare în schiță decât să vă confundați cu calculele din cap.
2. În sarcini cu diferite tipuri de fracții - mergeți la forma fracțiilor obișnuite.
3. Reduceți toate fracțiile până când devine imposibil de redus.
4. Expresiile fracționate cu mai multe etaje sunt convertite în expresii obișnuite, folosind împărțirea prin 2 puncte.
5. Împărțiți unitatea într-o fracție mentală, pur și simplu prin răsturnarea fracției.
Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cel mai dificil moment din acțiunile respective a fost reducerea fracțiilor la numitor comun.
Acum este timpul să ne ocupăm de multiplicare și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai ușor de realizat decât adunarea și scăderea. Pentru început, luați în considerare cel mai simplu caz când există două fracții pozitive fără o parte întreagă dedicată.
Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numeratorii și numitorii. Primul număr va fi numeratorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.
Pentru a separa două fracții, prima fracție trebuie înmulțită cu a doua „inversată”.
Desemnare:
Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la multiplicare. Pentru a „răsturna” o fracție, este suficient să schimbați pozițiile numărătorului și numitorului. Prin urmare, întreaga lecție o vom lua în considerare în principal înmulțirea.
Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea o fracție anulabilă (care apare adesea) - ea, desigur, trebuie anulată. Dacă, după toate contracțiile, fracția sa dovedit a fi incorectă, ar trebui selectată întreaga parte în ea. Dar ceea ce nu se va întâmpla exact cu multiplicarea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, factori cei mai mari și multiplii cei mai puțin comuni.
Prin definiție, avem:
Înmulțirea fracțiilor întregi și a fracțiilor negative
Dacă există o parte întreagă în fracțiuni, acestea trebuie convertite în altele incorecte - și numai apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.
Dacă există un minus în numeratorul unei fracții, în numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din gama de multiplicare sau chiar eliminat conform următoarelor reguli:
- Plus și minus oferă un minus;
- Două negative fac afirmativă.
Până acum, aceste reguli erau întâlnite doar la adăugarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpați de toată partea. Pentru producție, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:
- Tăiați minusurile în perechi până când dispar complet. Într-un caz extrem, un minus poate supraviețui - cel pentru care nu a existat nicio pereche;
- Dacă nu mai există minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe multiplicarea. Dacă ultimul minus nu este tăiat, deoarece nu a găsit o pereche, îl mutăm în afara limitelor de multiplicare. Obțineți o fracție negativă.
O sarcină. Găsiți semnificația expresiei:
Traducem toate fracțiile în altele incorecte, apoi mutăm minusurile în afara intervalului de multiplicare. Ceea ce a rămas se înmulțește cu regulile uzuale... Primim:
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care se află în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție și nu doar la partea ei întreagă (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).
De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când se înmulțesc, acestea sunt încadrate între paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de multiplicare și pentru a face întreaga notație mai precisă.
Reducerea fracțiilor din mers
Înmulțirea este o operație care necesită mult timp. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica sarcina, puteți încerca să reduceți și mai mult fracțiunea înainte de multiplicare... Într-adevăr, în esență, numeratorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, pot fi anulați folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncați o privire la exemple:
O sarcină. Găsiți semnificația expresiei:
Prin definiție, avem:
În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce a rămas din ele sunt marcate cu roșu.
Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii au fost reduși complet. În locul lor, există doar câteva care, în general, nu pot fi scrise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar cantitatea totală de calcul a scăzut.
Cu toate acestea, în niciun caz nu utilizați această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare acolo pe care doriți doar să le reduceți. Aici, aruncați o privire:
Nu poți face asta!
Eroarea apare datorită faptului că la adăugare apare o sumă în numeratorul unei fracții și nu un produs de numere. În consecință, proprietatea principală a fracției nu poate fi aplicată, deoarece în această proprietate este vorba este vorba despre multiplicarea numerelor.
Pur și simplu nu există alt motiv pentru reducerea fracțiilor, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:
Decizia corectă:
După cum puteți vedea, răspunsul corect sa dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.
Înmulțirea fracțiilor comune
Să vedem un exemplu.
Fie $ \ frac (1) (3) $ să fie o parte a mărului pe farfurie. Trebuie să găsiți partea $ \ frac (1) (2) $ din ea. Partea necesară este rezultatul înmulțirii fracțiilor $ \ frac (1) (3) $ și $ \ frac (1) (2) $. Rezultatul înmulțirii a două fracții este o fracție obișnuită.
Înmulțirea a două fracții
Regula pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite:
Rezultatul înmulțirii unei fracții cu o fracție este o fracție, al cărei numărător este egal cu produsul numeratorilor fracțiilor înmulțite, iar numitorul este egal cu produsul numitorilor:
Exemplul 1
Efectuați multiplicarea fracțiilor obișnuite $ \ frac (3) (7) $ și $ \ frac (5) (11) $.
Soluţie.
Să folosim regula pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite:
\ [\ frac (3) (7) \ cdot \ frac (5) (11) = \ frac (3 \ cdot 5) (7 \ cdot 11) = \ frac (15) (77) \]
Răspuns:$ \ frac (15) (77) $
Dacă, ca urmare a multiplicării fracțiilor, se obține o fracție anulabilă sau neregulată, atunci trebuie să o simplificați.
Exemplul 2
Înmulțiți fracțiile $ \ frac (3) (8) $ și $ \ frac (1) (9) $.
Soluţie.
Folosim regula pentru multiplicarea fracțiilor obișnuite:
\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) \]
Ca rezultat, am obținut o fracție anulabilă (prin împărțire cu 3 $. Împărțim numărătorul și numitorul fracției cu 3 $, obținem:
\ [\ frac (3) (72) = \ frac (3: 3) (72: 3) = \ frac (1) (24) \]
Soluție scurtă:
\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) = \ frac (1) (24) \]
Răspuns:$ \ frac (1) (24). $
Când înmulțiți fracțiile, puteți reduce numeratorii și numitorii până când găsiți produsul lor. În acest caz, numărătorul și numitorul fracției se descompun în factori primi, după care factorii care se repetă sunt anulați și rezultatul este găsit.
Exemplul 3
Calculați produsul fracțiilor $ \ frac (6) (75) $ și $ \ frac (15) (24) $.
Soluţie.
Să folosim formula pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite:
\ [\ frac (6) (75) \ cdot \ frac (15) (24) = \ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) \]
Evident, numeratorul și numitorul conțin numere care pot fi anulate în perechi prin numerele 2 $, 3 $ și 5 $. Să extindem numeratorul și numitorul în factori primi și să efectuăm anularea:
\ [\ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) = \ frac (2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5) (3 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (1) (5 \ cdot 2 \ cdot 2) = \ frac (1) (20) \]
Răspuns:$ \ frac (1) (20). $
Când înmulțiți fracțiile, puteți aplica legea deplasării:
Înmulțirea unei fracții obișnuite cu un număr natural
Regula pentru înmulțirea unei fracții ordinare cu un număr natural:
Rezultatul înmulțirii unei fracții cu un număr natural este o fracție în care numărătorul este egal cu produsul numărătorului fracției care se înmulțește cu un număr natural, iar numitorul este egal cu numitorul fracției care se înmulțește:
unde $ \ frac (a) (b) $ este o fracție obișnuită, $ n $ este un număr natural.
Exemplul 4
Înmulțiți $ \ frac (3) (17) $ cu $ 4 $.
Soluţie.
Să folosim regula înmulțirii unei fracții obișnuite cu un număr natural:
\ [\ frac (3) (17) \ cdot 4 = \ frac (3 \ cdot 4) (17) = \ frac (12) (17) \]
Răspuns:$ \ frac (12) (17). $
Nu uitați să verificați rezultatul înmulțirii prin anularea unei fracții sau cu o fracție necorespunzătoare.
Exemplul 5
Înmulțiți fracția $ \ frac (7) (15) $ cu 3 $ $.
Soluţie.
Să folosim formula pentru înmulțirea unei fracții cu un număr natural:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) \]
Împărțind la numărul de $ 3 $), puteți determina că fracția rezultată poate fi redusă:
\ [\ frac (21) (15) = \ frac (21: 3) (15: 3) = \ frac (7) (5) \]
Drept urmare, am obținut o fracțiune incorectă. Să selectăm întreaga parte:
\ [\ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]
Soluție scurtă:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (cinci)\]
De asemenea, a fost posibil să se reducă fracțiile prin înlocuirea numerelor din numărător și numitor cu descompunerea lor în factori primi. În acest caz, soluția ar putea fi scrisă după cum urmează:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (7 \ cdot 3) (3 \ cdot 5) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]
Răspuns:$ 1 \ frac (2) (5). $
Când înmulțiți o fracție cu un număr natural, puteți utiliza legea deplasării:
Împărțirea fracțiilor obișnuite
Operația de divizare este inversul înmulțirii și rezultatul ei este o fracție prin care trebuie să înmulțiți o fracție cunoscută pentru a obține produsul cunoscut din două fracții.
Împărțirea a două fracții
Regula pentru împărțirea fracțiilor obișnuite: Evident, numărătorul și numitorul fracției rezultate pot fi extinse în factori primi și reduse:
\ [\ frac (8 \ cdot 35) (15 \ cdot 12) = \ frac (2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 7) (3 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (2 \ cdot 7) (3 \ cdot 3) = \ frac (14) (9) \]
Ca rezultat, am obținut o fracțiune incorectă, din care selectăm întreaga parte:
\ [\ frac (14) (9) = 1 \ frac (5) (9) \]
Răspuns:$ 1 \ frac (5) (9). $
