Înmulțind numerele naturale și proprietățile sale. Muncă (matematică)
Dacă sala de concerte este iluminată cu 3 candelabre 25 becuri de lumină, apoi becurile din aceste candelabre vor fi de 25 + 25 + 25, adică 75.
Cantitatea în care toate componentele sunt egale între ele sunt scrise pe scurt: în loc de 25 + 25 + 25 Scrie 25 3. Deci, 25 3 \u003d 75 (figura 43). Se numește numărul 75 muncă Numbers 25 și 3 și numere 25 și 3 numite multiplicatori.
Smochin. 43. Produsul de numere 25 și 3
Multiplicați multiplicarea M la numărul natural n este de a găsi cantitatea de N din termenii, fiecare dintre care este M.
Expresia M N și valoarea acestei expresii sunt numite muncă numerem.șin.. Numere care modifică apelul multiplicatori. Acestea. M și n - multiplicatori.
Lucrările 7 4 și 4 7 sunt egale cu același număr 28 (figura 44).
Smochin. 44. Producția 7 4 \u003d 4 7
1. Produsul a două numere nu se schimbă atunci când multiplicatorii permit.
circulaţie
a. × b. = b. × a. .
Produce (5 3) 2 \u003d 15 2 și 5 (3 2) \u003d 5 6 au aceeași valoare 30. SO, 5 (3 2) \u003d (5 3) 2 (figura 45).
Smochin. 45. Lucrări (5 3) 2 \u003d 5 (3 2)
2. Pentru a multiplica numărul de lucrări de două numere, îl puteți înmulți mai întâi pe primul multiplicator, iar apoi produsul rezultat este înmulțit cu al doilea factor.
Această proprietate de multiplicare este numită combinând. Cu ajutorul scrisorilor, este scris:
dar (b. c) \u003d (șib. din).
Suma N a termenilor, fiecare dintre care este 1, egală cu n. Prin urmare, egalitatea 1 n \u003d n este adevărată.
Suma N a termenilor, fiecare dintre care este zero, este zero. Prin urmare, egalitatea este 0 n \u003d 0.
Pentru ca programul de multiplicare să fie corect atunci când n \u003d 1 și n \u003d 0, sa convenit ca m 1 \u003d m și m 0 = 0.
În fața multiplicării literelor, semnul de multiplicare de obicei: în loc de 8 h. Scrieți 8. h., in schimb darb. scrie darb..
Coborâți semnul multiplicării și în fața parantezelor. De exemplu, în loc de 2 ( a +.b.) scrie 2. (A +.b.) , Și în schimb ( h. + 2) (Y + 3) Scrieți (x + 2) (Y + 3).
In loc de ab.) C scrie abc..
Când nu există paranteze în înregistrări, multiplicarea este efectuată în ordine de la stânga la dreapta.
Funcționează citite, apelând la fiecare multiplicator în cazul părintești. De exemplu:
1) 175 60 - lucrează la o sută șaptezeci și cinci și șaizeci;
2) 80 (h. + 1 7) - Producția R.P. R.P.
optzeci și sumă de x și șaptesprezece
Vom rezolva sarcina.
Câte numere de trei cifre (fig.46) pot fi făcute din numerele 2, 4, 6, 8, dacă numerele din înregistrările numerice nu sunt repetate?
Decizie.
Primul număr de numere poate fi oricare dintre ele patru.numerele de date, al doilea - oricare dintre ele treialții, și al treilea - oricare dintre acestea douărămas. Se pare:
Smochin. 46. \u200b\u200bLa problema comprimării numerelor de trei cifre
Totalul acestor numere pot fi 4 3 2 \u003d 24 cele trei cifre.
Vom rezolva sarcina.
Consiliul companiei include 5 persoane. Din compoziția sa, consiliul ar trebui să aleagă președintele și vicepreședintele. Câte moduri se poate face acest lucru?
Decizie.
Președintele companiei poate fi ales unul dintre 5 persoane:
Presedintele:
După alegerea președintelui, vicepreședintele poate alege oricare dintre cei patru membri rămași ai consiliului (fig.47):
|
Smochin. 47. La problema alegerilor
Deci, puteți alege președintele cu cinci moduri și pentru fiecare președinte al președintelui, patru moduri puteți alege vicepreședintele. Prin urmare, numărul total Modalități de a alege Președintele și vicepreședintele firmei sunt: \u200b\u200b5 4 \u003d 20 (vezi figura 47).
Vom încerca încă.
Din satul Anikseevo, patru drumuri se desfășoară în satul Bolsharo și trei drumuri din satul Vinogradov - trei drumuri (figura 48). Câte moduri pot fi accesate de la Anikeev în Vinogradov prin satul Bolovo?
Smochin. 48. Până la sarcina drumurilor
Decizie.
Dacă ajungeți pe primul drum de la A din B, atunci există trei moduri de a continua calea (figura 49).
Smochin. 49. Opțiuni de cale
În același mod, obținem trei modalități de a continua calea, începând să ajungem în a 2-a și 3, iar pe drumul 4. Deci, se dovedește a fi 4 3 \u003d 12 moduri de a ajunge de la Anikeev în Vinogradov.
Decidem o altă sarcină.
O familie formată din bunica, tata, mama, fiicele și fiul, a prezentat 5 cești diferite. Câte moduri pot fi împărțite cu cupe între membrii familiei?
Decizie. La primul membru al familiei (de exemplu, bunicile) Există 5 opțiuni pentru alegerea, următoarele (să fie tatăl) rămâne 4 opțiuni. Următorul (de exemplu, mama) va alege de la 3 cești, următoarele - dintre cele două, acesta din urmă primește o ceașcă rămasă. Arătăm aceste metode în diagrama (figura 50).
Smochin. 50. Schema de rezolvare a problemei
Au primit că fiecare alegere a unei cești de bunică corespunde a patru alegeri posibile de tată, adică. Total 5 4 moduri. După ce tata a ales o ceașcă, mama are trei alegeri, fiica are două, fiul este unul, adică. Total 3 2 1 moduri. În cele din urmă, obținem acest lucru pentru a rezolva problema că este necesar să găsiți un produs 5 4 3 2 1.
Rețineți că avem un produs al tuturor numerelor naturale de la 1 la 5. Astfel de lucrări sunt scrise pe scurt:
5 4 3 2 1 \u003d 5! (Citiți: "Cinci factorial").
Numerele factoriale - Produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la acest număr.
Deci, răspunsul este: 5! \u003d 120, adică Cupele între membrii familiei pot fi distribuite în douăzeci de moduri.
În acest articol, vom aborda cum multiplicarea numerelor întregi. Mai întâi introducem termeni și notații, precum și găsim semnificația multiplicării a două numere întregi. După aceasta, obținem regulile pentru multiplicarea a două întregi pozitive, întregi negative și întregi cu diferite semne.. În acest caz, vom da exemple cu o explicație detaliată a deciziei soluției. De asemenea, ridicăm cazuri de multiplicare a numerelor întregi atunci când unul dintre multiplicatori este egal cu unul sau zero. Apoi vom învăța să verificăm rezultatul de multiplicare rezultat. Și în cele din urmă, să vorbim despre multiplicarea a trei, patru și mai multe numere întregi.
Navigarea paginii.
Termeni și notație
Pentru a descrie multiplicarea numerelor numerelor, vom folosi aceiași termeni cu care am descris înmulțirea numerelor naturale. Amintiți-le.
Numerele multiplicate sunt numite multiplicatori. Rezultatul multiplicării se numește muncă. Înmulțirea de acțiune este indicată de un semn care se înmulțește tipul "·". În unele surse puteți satisface desemnarea de multiplicare prin semne "*" sau "×".
Multiplice numeroase A, B și rezultatul multiplicării lor C este înregistrat convenabil folosind egalitatea formei A · b \u003d c. În această înregistrare, un număr întreg A este primul factor, un număr întreg B - al doilea factor, iar numărul C este o lucrare. Specia A · B va fi, de asemenea, numită lucrarea, precum și valoarea acestei expresii c.
Rulați înainte, observăm că produsul a două numere întregi este un număr întreg.
Semnificația multiplicării numerelor întregi
Multiplicarea numerelor pozitive întregi
Numerele pozitive întregi sunt numere naturale, deci multiplicarea numerelor pozitive întregi Se efectuează în conformitate cu toate regulile de multiplicare a numerelor naturale. Este clar că, ca urmare a multiplicării a două numere pozitive integrate, va fi obținut un număr întreg pozitiv (număr natural). Luați în considerare câteva exemple.
Exemplu.
Care este produsul întregului numere pozitive 127 și 5?
Decizie.
Primul factor 107 va fi prezentat sub forma sumei termenelor de descărcare, adică sub formă de 100 + 20 + 7. După aceea, folosim regula de multiplicare a numărului de numere pentru acest număr: 127 · 5 \u003d (100 + 20 + 7) · 5 \u003d 100 · 5 + 20,5 + 7 · 5. Rămâne numai pentru a termina calculul: 100 · 5 + 20,5 + 7 · 5 \u003d 500 + 100 + 35 \u003d 600 + 35 \u003d 635.
Astfel, produsul acestor numere pozitive integrate 127 și 5 este 635.
Răspuns:
127 · 5 \u003d 635.
Pentru multiplicarea numerelor pozitive multiple, este convenabil să utilizați o metodă de multiplicare printr-o coloană.
Exemplu.
Multiplicați un număr pozitiv cu trei cifre 712 per număr întreg de două cifre pozitive 92.
Decizie.
Efectuați înmulțirea datelor numerelor pozitive ale numerelor pozitive în coloană: 
Răspuns:
712 · 92 \u003d 65 504.
Regula de multiplicare a întregi cu semne diferite, exemple
Pentru a formula o regulă de multiplicare a numeroaselor cu diferite semne, ne va ajuta cu următorul exemplu.
Calculăm produsul unui număr întreg negativ -5 și un număr întreg pozitiv 3 bazat pe semnificația multiplicării. Asa de (-5) · 3 \u003d (- 5) + (- 5) + (- 5) \u003d - 15. Pentru a păstra validitatea proprietății de multiplicare, trebuie efectuată egalitatea (-5) · 3 \u003d 3 · (-5). Adică produsul 3 · (-5) este, de asemenea, egal cu -15. Este ușor de văzut că -15 este egal cu produsul modulelor inițiale multiplicatoarelor, de unde rezultă că produsul numerelor inițiale cu semne diferite este egal cu produsul modulelor inițiale multiplicatoare luate cu un semn minus.
Așa că am ajuns regula de multiplicare a numerelor întregi cu semne diferite: Pentru a multiplica două numere întregi cu semne diferite, trebuie să multiplicați modulele acestor numere și să puneți un semn minus înainte de numărul primit.
Din regula exprimată, se poate concluziona că produsul întregi cu semne diferite este întotdeauna un număr întregului negativ. Într-adevăr, ca urmare a multiplicării modulelor multiplicatoare, vom primi un număr întreg pozitiv și dacă aveți un semn minus înainte de acest număr, acesta va deveni un întreg negativ.
Luați în considerare exemplele de calcul al produsului întregi cu semne diferite utilizând rezultatul primit.
Exemplu.
Multiplicarea numărului integer pozitiv 7 la un număr întreg negativ -14.
Decizie.
Folosim regula de multiplicare a numerelor întregi cu semne diferite. Modulele multiplicatoare sunt egale, respectiv, 7 și 14. Calculați produsul modulelor: 7 · 14 \u003d 98. Rămâne înainte ca numărul primit să pună un semn minus: -98. Deci, 7 · (-14) \u003d - 98.
Răspuns:
7 · (-14) \u003d - 98.
Exemplu.
Calculați produsul (-36) · 29.
Decizie.
Trebuie să calculam produsul întregi cu semne diferite. Pentru a face acest lucru, calculează produsul de magnitudine absolute de multiplicatori: 36 · 29 \u003d 1 044 (multiplicarea este mai bine să cheltuiți în coloană). Acum puneți semnul minus în fața numărului 1 044, primim -1 044.
Răspuns:
(-36) · 29 \u003d -1 044.
În încheierea acestui paragraf, demonstrăm justiția egalității A · (-b) \u003d - (a · b), în cazul în care A și -B sunt întregi arbitrari. Un caz special al acestei egalități este o regulă exprimată de multiplicarea numeroaselor cu semne diferite.
Cu alte cuvinte, trebuie să demonstrăm că valorile expresiilor A · (-b) și A sunt numere opuse. Pentru a dovedi acest lucru, vom găsi suma A · (-b) + a · b și vom asigura că este zero. În virtutea proprietăților de distribuție ale multiplicării numerelor întregi în raport cu adăugarea, egalitatea A · (-b) + a · b \u003d a · ((- b) + b). Suma (-b) + b este zero ca suma numeroaselor numere, apoi a · ((- b) + b) \u003d a · 0. Ultima lucrare este zero de proprietatea multiplicării unui număr întreg pe zero. Astfel, a · (-b) + a · B \u003d 0, prin urmare, A · (-b) și A sunt numere opuse, unde urmează egalitatea A · (-b) \u003d (a · b). În mod similar, se poate demonstra că (-a) · b \u003d - (a · b).
Regulă de multiplicare a numeroaselor negative, exemple
Pentru a obține o regulă de multiplicare a două numere negative întregi ne va ajuta egalitatea (-a) · (-b) \u003d a · B, pe care o demonstrăm acum.
La sfârșitul paragrafului anterior am arătat că a · (-b) \u003d - (a · b) și (-a) · b \u003d - (a · b), astfel încât să putem scrie următorul lanț de egalități (-A) · (-b) \u003d - (a · (-b)) \u003d - (- (a · b)). Și expresia rezultată - (- (a · b)) nu este altceva decât a · B datorită definiției numerelor opuse. Deci (-a) · (-b) \u003d a · b.
Egalitatea dovedită (-a) · (-b) \u003d a · b vă permite să formulați regulă de multiplicare a numerelor negative întregi: Produsul a două numere negative este egal cu produsul modulelor acestor numere.
Din regula exprimată, rezultă că rezultatul multiplicării a două numere negative întregi este un număr pozitiv integer.
Luați în considerare aplicarea acestei reguli atunci când efectuați multiplicarea întregului numere negative.
Exemplu.
Calculați produsul (-34) · (-2).
Decizie.
Trebuie să mulăm înmulți două numere întregi negative -34 și -2. Folosim regula relevantă. Pentru aceasta găsim modulele multiplicatoare: și. Rămâne să calculați produsul numerelor 34 și 2, pe care le putem face. Pe scurt, toată soluția poate fi scrisă SO (-34) · (-2) \u003d 34 · 2 \u003d 68.
Răspuns:
(-34) · (-2) \u003d 68.
Exemplu.
Înmulțirea numărului negativ al integerului -1 041 la un număr întreg negativ -538.
Decizie.
Conform regulii de multiplicare a numerelor negative întregi, munca dorită este egală cu produsul modulelor multiplicatoare. Modulele multiplicatoare sunt egale, respectiv 1 041 și 538. Efectuați o multiplicare prin scenă: 
Răspuns:
(-1 041) · (-538) \u003d 560 058.
Înmulțirea unui număr întreg pe unitate
Multiplicarea oricărui număr întreg A pe unitate are ca rezultat numărul A. Am menționat deja acest lucru când am discutat despre semnificația multiplicării a două numere întregi. Astfel încât a · 1 \u003d a. Datorită proprietăților de transmitere a multiplicării, egalității A · 1 \u003d 1 · A ar trebui să fie corectă. În consecință, 1 · a \u003d a.
Argumentele de mai sus ne conduc la regula de multiplicare a două numere întregi, dintre care unul este egal cu unul. Produsul a două numere întregi în care unul dintre multiplicatori este unitatea egală cu un alt multiplicator.
De exemplu, 56 · 1 \u003d 56, 1,0 \u003d 0 și 1 · (-601) \u003d - 601. Dăm câteva exemple mai multe. Produsul întregi -53 și 1 este -53, iar rezultatul multiplicării unei unități și un număr negativ -989 981 este numărul -989 981.
Înmulțirea unui număr întreg la zero
Am fost de acord că produsul oricărui număr întreg A la zero este zero, adică A · 0 \u003d 0. Varietatea multiplicării ne face să acceptăm egalitatea 0 · A \u003d 0. În acest fel, produsul a două numere întregi în care cel puțin unul dintre multiplicatori este zero, egal cu zero. În special, rezultatul multiplicării zero la zero este zero: 0,0 \u003d 0.
Dăm câteva exemple. Produsul numărului pozitiv al întregului 803 și zero este zero; Rezultatul multiplicării zeroului la un număr întregului negativ -51 este zero; De asemenea (-90 733) · 0 \u003d 0.
De asemenea, menționăm că produsul a două numere întregi și numai atunci este zero, când cel puțin unul dintre multiplicatori este zero.
Verificarea rezultatului multiplicării numerelor întregi
Verificați rezultatul înmulțirea a două numere întregi efectuate de diviziune. Este necesar să se împartă lucrarea rezultată pe unul dintre factorii dacă se obține numărul egal cu un alt multiplicator, atunci a fost îndeplinită multiplicarea. Dacă un număr este diferit de alt complex, atunci o eroare a fost făcută undeva.
Luați în considerare exemplele în care este verificată rezultatul multiplicării numerelor întregi.
Exemplu.
Ca urmare a multiplicării a două numere întregi -5 și 21, numărul -115 a fost obținut, lucrarea este calculată corect?
Decizie.
Efectuați un cec. Pentru a face acest lucru, împărțim produsul calculat -115 pe factor, de exemplu, pe -5., Verificați rezultatul. (-17) · (-67) \u003d 1 139.
Înmulțirea a trei și mai multe numere întregi
Proprietatea combinată a multiplicării numerelor întregi ne permite să determinăm cu siguranță produsul a trei, patru și mai multe numere întregi. În același timp, proprietățile rămase ale multiplicării numerelor fac posibilă afirmarea faptului că produsul a trei și mai multe numere întregi nu depinde de metoda de aranjare a parantezelor și de procedura de urmărire a multiplicatorilor din lucrare. Declarații similare pe care le-am justificat când au vorbit despre multiplicarea celor trei și mai multe numere naturale. În cazul unor factori întregi, rațiunea este complet coincidată.
Luați în considerare soluția exemplului.
Exemplu.
Calculați produsul a cinci numere întregi 5, -12, 1, -2 și 15.
Decizie.
Putem constant din stânga la dreapta pentru a înlocui doi factori adiacenți prin lucrarea lor: 5 · (-2) · 1 · (-2) · 15 \u003d (-60) · (-2) · 15 \u003d (-60) · (-2) · 15 \u003d 120 · 15 \u003d 1 800. Această opțiune pentru calcularea lucrării corespunde următoarei metode de fixare a parantezelor: (((5 · (-12)) · 1) · (-2)) · 15.
Putem rearanja și niște locuri de factor și aranjăm suporturile altfel, dacă face posibilă calcularea produsului acestor cinci numere întregi mai rațional. De exemplu, a fost posibilă rearanjarea multiplicatorilor în ordinea următoare 1 · (-12) · (-2) · 15, după care parantezele aranjează acest lucru ((1 · 5) · (-12)) · ((- 2) · 15). În acest caz, calculele vor fi astfel: ((1 · 5) · (-12)) · ((- 2) · 15) \u003d (5 · (-12)) · ((- 2) · 15) \u003d (-60) · (-30) \u003d 1 800.
După cum puteți vedea diferite variante Aranjamentele parantezelor și ordinea diferită a factorilor ne-au condus la același rezultat.
Răspuns:
5 · (-12) · 1 · (-2) · 15 \u003d 1 800.
Separat, observăm că dacă în lucrarea a trei, patru, etc. În numere întregi, cel puțin unul dintre factori este zero, atunci lucrarea este zero. De exemplu, produsul a patru numere întregi 5, -90 321, 0 și 111 este zero; Rezultatul înmulțirea a trei numere întregi 0, 0 și -1 983 este, de asemenea, zero. Declarația inversă este, de asemenea, adevărată: dacă lucrarea este zero, atunci cel puțin unul dintre multiplicatori este zero.
Vom analiza conceptul de multiplicare prin exemplul:
Turiștii au fost pe drum timp de trei zile. În fiecare zi au trecut aceeași cale de 4200 m. La ce distanță au trecut timp de trei zile? Să decidă sarcina în două moduri.
Decizie:
Luați în considerare sarcina în detaliu.
În prima zi, turiștii au trecut 4200m. Zi de zi cu zi, aceeași cale a fost turiștii de 4200 de metri și în a treia zi - 4200m. Scriu limba matematică:
4200 + 4200 + 4200 \u003d 12600m.
Vedem numarul de model 4200 repetiti de trei ori, prin urmare, puteți inlocui suma prin multiplicare:
4200⋅3 \u003d 12600m.
Răspuns: Turiștii au trecut 12.600 de metri timp de trei zile.
Luați în considerare un exemplu:
Pentru a nu scrie o intrare lungă, îl puteți scrie sub formă de multiplicare. Numărul 2 se repetă de 11 ori. Prin urmare, un exemplu cu multiplicare va arăta astfel:
2⋅11=22
Rezuma. Ce este multiplicarea?
Multiplicare- aceasta este o acțiune care înlocuiește repetarea n ori termenul M.
Înregistrarea M⋅N și rezultatul acestei expresii este numit producția de numere, iar numerele M și N sunt numite multiplicatori.
Luați în considerare ceea ce sa spus cu privire la exemplul:
7⋅12=84
Expresia 7⋅12 și rezultatul 84 sunt numite producția de numere.
Numerele 7 și 12 sunt numite multiplicatori.
În matematică există mai multe legi de multiplicare. Luați în considerare:
Multiplicare a legii.
Luați în considerare sarcina:
Am dat două mere prietenilor noștri. Înregistrarea matematică va arăta astfel: 2⋅5.
Sau am dat 5 mere celor doi prieteni noștri. Înregistrarea matematică va arăta astfel: 5⋅2.
În primul și al doilea caz, vom distribui aceeași cantitate de mere egală cu 10 bucăți.
Dacă multiplicăm 2⋅5 \u003d 10 și 5⋅2 \u003d 10, rezultatul nu va fi schimbat.
Proprietatea mișcării de multiplicare:
Din schimbarea locurilor de multiplicatori, lucrarea nu se schimbă.
m.⋅
n.\u003d N⋅.m.
Legea combinată a multiplicării.
Luați în considerare exemplul:
(2⋅3) ⋅4 \u003d 6⋅4 \u003d 24 sau 2⋅ (3⋅4) \u003d 2⋅12 \u003d 24 Obțineți,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a.⋅
b.) ⋅
c.=
a.⋅(b.⋅
c.)
Proprietatea unei legi combinate a multiplicării:
Pentru a multiplica numărul de două numere, îl puteți înmulți mai întâi la primul factor, iar apoi produsul rezultat este înmulțit cu al doilea.
Prin schimbarea mai multor multiplicatori în locuri și prin introducerea lor în paranteze, rezultatul sau munca nu se va schimba.
Aceste legi sunt valabile pentru orice numere naturale.
Înmulțirea oricărui număr natural pe unitate.
Luați în considerare un exemplu:
7⋅1 \u003d 7 sau 1⋅7 \u003d 7
a.⋅1 \u003d a sau 1⋅a.=
a.
Când multiplicarea oricărui număr natural pe unitate, lucrarea va fi întotdeauna aceeași.
Înmulțirea oricărui număr natural la zero.
6⋅0 \u003d 0 sau 0⋅6 \u003d 0
a.⋅0 \u003d 0 sau 0⋅a.=0
Când multiplicarea oricărui număr natural la zero, produsul va fi zero.
Întrebări la tema "Multiplicare":
Care este numărul de numere?
Răspuns: Numărul de numere sau multiplicarea numerelor se numește expresia M⋅N, unde M este termenul, iar N este numărul de repetări ale acestui termen.
De ce aveți nevoie de multiplicare?
Răspuns: Pentru a nu scrie o mulțime de numere, ci pentru a scrie abreviat. De exemplu, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \u003d 3⋅6 \u003d 18
Care este rezultatul multiplicării?
Răspuns: Valoarea lucrării.
Ce înseamnă înregistrarea de multiplicare 3⋅5?
Răspuns: 3⋅5 \u003d 5 + 5 + 5 \u003d 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \u003d 15
Dacă multiplicați un milion la zero, ceea ce va fi lucrarea egală?
Răspuns: 0.
Exemplu numărul 1:
Înlocuiți cantitatea de lucru: a) 12 + 12 + 12 + 12 + 12 B) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
Răspuns: a) 12⋅5 \u003d 60 b) 3⋅9 \u003d 27
Exemplu numărul 2:
Notați sub forma unei lucrări: a) A + A + A + A B) C + C + C + C + C + C + C
Decizie:
a) A + A + A + A \u003d 4⋅a
b) C + C + C + C + C + C + C \u003d 7⋅s
Numărul de sarcină 1:
Mama a cumpărat 3 casete de bomboane. În fiecare cutie de 8 bomboane. Câte bomboane au cumpărat mama?
Decizie:
Într-o cutie de 8 bomboane și avem astfel de cutii de 3 bucăți.
8 + 8 + 8 \u003d 8⋅3 \u003d 24 bomboane
Răspuns: 24 bomboane.
Numărul de sarcină 2:
Desenul profesor a spus să-i pregătească opt studenți pentru șapte creioane pe lecție. Câte creioane împreună erau copii?
Decizie:
Puteți calcula suma sarcinii. Primul student avea 7 creioane, al doilea student avea 7 creioane etc.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Înregistrarea sa dovedit inconfortabilă și lungă, înlocuiți suma de lucru.
7⋅8=56
Răspundeți la 56 de creioane.
Pentru a rezolva multe sarcini "la maxim și minim", adică În locația celor mai mari și mai mici valori variabile, puteți utiliza cu succes unele declarații algebrice cu care ne vom întâlni acum.
x y.
Luați în considerare următoarea sarcină:
Ce două părți ar trebui să fie defalcate de acest număr, astfel încât munca lor este cea mai mare?
Permiteți acest numărdar. Apoi părți pe care numărul este ruptdar, puteți desemna
A / 2 + x și A / 2 - x;
număr h. arată pentru care magnitudinea aceste piese diferă de la jumătate din număr dar. Lucrarea ambelor părți este egală
( A / 2 + x) · ( A / 2 - x) \u003d un 2/4 - x 2.
Este clar că piesele luate va crește prin scădere h.. Cu o scădere a diferenței dintre aceste părți. Cea mai mare lucrare va fi cu x \u003d.0, adică În cazul în care ambele părți sunt egale A / 2..
Asa de,
produsul a două numere a cărui sumă este neschimbată va fi cea mai mare atunci când aceste numere sunt egale unul cu celălalt.
x · y · z
Luați în considerare aceeași întrebare pentru cele trei numere.
Ce trei părți trebuie să spargă acest număr astfel încât munca lor să fie cea mai mare?
La rezolvarea acestei sarcini, ne vom baza pe cea anterioară.
Lăsați numărul dar rupt în trei părți. Să presupunem că nici una dintre părți nu este egală A / 3.. Apoi există unele dintre ele, mari A / 3. (Toate cele trei nu pot fi mai mici A / 3.); Denotă-o prin ea
A / 3 + x.
În același mod printre care există o parte, mai puțin A / 3.; Denotă-o prin ea
A / 3 - Y.
Numere h. și w. pozitiv. A treia parte va fi evident egală cu
A / 3 + Y - X.
Numere A / 3. și A / 3 + X - Y au aceeași sumă ca primele două părți ale numărului dar, și diferența dintre ele, adică. x Y., mai puțin decât diferența dintre primele două părți, care a fost egală x + y.. După cum știm din decizia sarcinii anterioare, rezultă că lucrarea
A / 3. · ( A / 3 + X - Y)
mai mult decât munca primelor două părți ale numărului dar.
Deci, dacă primele două părți ale numărului dar înlocuiți numerele
A / 3. și A / 3 + X - Y,
Și a treia nu este o schimbare, munca va crește.
Lăsați acum una dintre părți să fie deja egală A / 3.. Apoi celelalte două sunt
A / 3 + Z și A / 3 - Z.
Dacă facem aceste două părți cu egal A / 3. (de ce suma nu se va schimba), atunci lucrarea va crește din nou și va deveni egală
A / 3 · A / 3 · A / 3 \u003d A 3/27 .
Asa de,
dacă numărul A este împărțit în 3 părți, nu egal unul cu celălalt, atunci produsul acestor părți este mai mic de 3/2 27, adică decât un produs de trei egali în factori, în cantitatea de componente a.
În mod similar, puteți dovedi această teoremă pentru patru multiplicatori, pentru cinci, etc.
x p q Q Q Q
Luați în considerare acum un caz mai general.
Sub ce valori x și y Expresia x p în q este cea mai mare, dacă x + y \u003d e?
Este necesar să se găsească, cu ce valoare x expresie
x r ·(a - H.) Q.
atinge cea mai mare valoare.
Înmulțiți această expresie asupra numărului 1 / P Q Q Q Q. Avem o nouă expresie
x p / p p · (a - X. ) Q / q q,
care, evident, atinge cea mai mare valoare în același timp la inițial.
Imaginați-vă că expresia obținută acum în formă
(a - X.) / · (a - X.) / · ... · (a - X.) / Q. ,
unde se repetă multiplicatorii de primul tip p. O dată, și al doilea - q. timp.
Suma tuturor factorilor acestei expresii este egală
X / P + X / P + ... + X / P + (a - X.) / Q +. (a - X.) / Q + ... + (a - X.) / Q. =
\u003d px / p + q ( A - X.) / q \u003d x + a - x \u003d a ,
acestea. Mărimea este constantă.
Pe baza dovedită anterior, concluzionăm că lucrarea
x / p · x / p · ... · x / p · (a - X.) / · (a - X.) / · ... · (a - X.) / Q.
maxima ajunge la egalitatea tuturor factorilor săi individuali, adică. cand
x / p \u003d (a - X.) / Q..
Știind ce a - X \u003d Y, primim, retragem membrii, proporțional
X / y \u003d p / q.
Asa de,
produsul X P Y Q este constant cantitatea de x + y ajunge la cea mai mare valoare când
x: Y \u003d P: Q.
În același mod, puteți dovedi acest lucru
muncă
x p y q z r, x p y Q z r t u, etc.
cu constanța sumelor x + Y + Z, x + Y + Z + T etc. obțineți cea mai mare valoare când
x: Y: Z \u003d P: Î: R, X: Y: Z: T \u003d P: Î: R: U etc.
Termeni identici. De exemplu, o intrare de 5 * 3 indică "5 ori cu dvs. de 3 ori, adică este pur și simplu o înregistrare scurtă pentru 5 + 5 + 5. Rezultatul multiplicării se numește muncă, și multiplicarea numerelor - multiplicatori sau de fapt. Există, de asemenea, tabele de multiplicare.
Record
Multiplicarea este indicată de un asterisc *, încrucișat sau punct. Intrări
denotă același lucru. Semnul de multiplicare este adesea ratat dacă nu duce la confuzie. De exemplu, în schimb, ei scriu de obicei.
Dacă există mulți factori, atunci unele dintre ele pot fi înlocuite cu mult. De exemplu, produsul numerelor întregi de la 1 la 100 poate fi scris ca
Scrisoarea lucrării este, de asemenea, aplicată în înregistrarea literei: 
Vezi si
Fundația Wikimedia. 2010.
Urmăriți ce este "Muncă (matematică)" în alte dicționare:
- (matematică) rezultatul multiplicării. Piesă de artă. Compoziție muzicală. Munca audiovizuală. Serviciu de lucru ... wikipedia
Lucrarea a două sau mai multe obiecte este o generalizare în teoria categoriilor de concepte cum ar fi cartesovo, un produs direct al grupurilor și un produs de spații topologice. Lucrarea familiei de obiecte este în ... ... Wikipedia
Este indicat produsul operației binare Koncher asupra matricelor de dimensiuni arbitrare. Rezultatul este o matrice bloc. Produsul macrouului nu trebuie confundat cu multiplicarea obișnuită a matricelor. Operațiunea este numită după ... ... Wikipedia
Istoria științei pe matematică Stiintele Naturii ... Wikipedia.
I. Determinarea subiectului matematicii, legătura cu alte științe și tehnologii. Matematică (Matematica greacă, din Máthema Cunoștințe, Știință), Știința relațiilor cantitative și forme spațiale pace valabilă. "Curat ... Enciclopedia sovietică mare
Teoria categoriilor Secțiunea de matematică care studiază proprietățile relațiilor dintre obiecte matematicenu depinde de structura interna obiecte. Unii matematicieni [care?] Luați în considerare teoria categoriilor prea abstracte și necorespunzătoare pentru ... ... Wikipedia
Vectorul acestui termen există și alte valori, vezi vectorul ... Wikipedia
Acest termen are alte valori, a se vedea funcția. Solicitarea "Afișaj" este redirecționată aici; Vedeți și alte valori ... Wikipedia
Acest termen are alte valori, a se vedea operațiunea. Afișaj de funcționare, conform cu unul sau mai multe elemente ale setului (argumente) alt element (valoare). Termenul "operație" este de obicei aplicat la ... ... Wikipedia
Acest termen are alte semnificații, vezi rotorul. Rotor sau operator diferențial vector de vârtej pe un câmp vectorial. Denotă (în literatura rusă) sau (în literatura de limbă engleză), precum și multiplicarea vectorilor ... Wikipedia
Cărți
- Set de tabele. Matematică. Clasa a IV-a. 8 tabele + tehnici ,. 8 album de formare (format de 68 x 98 cm): - acțiuni. - Multiplicarea și împărțirea numărului pe muncă. - adăugarea și scăderea valorilor. - multiplicarea și divizarea valorilor. - Înmulțirea de scriere pe ...
- Kirik Novgorodets - om de știință rus al secolului al XII-lea în cultura de carte internă, Simonov Ra. Cartea este dedicată vieții și activităților primei celebre matematice și calendare, Novgorod Monk Kirik (1110 - după 1156), care a scris o știință științifică Tratatul din 1136, ...
