Înmulțirea fracțiilor neregulate cu diferiți numitori. Înmulțirea fracțiilor, împărțirea fracțiilor
Vom lua în considerare înmulțirea fracțiilor obișnuite în mai multe moduri.
Înmulțirea unei fracții obișnuite cu o fracție
Acesta este cel mai simplu caz în care trebuie să utilizați următoarele reguli de multiplicare pentru fracții.
La înmulțiți o fracție cu o fracție, necesar:
- înmulțiți numeratorul primei fracții cu numeratorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul lor în numeratorul noii fracții;
- numitorul primei fracții este înmulțit cu numitorul celei de-a doua fracții și produsul lor este scris în numitorul fracției noi;
- Adăugarea de fracții cu același numitor
- Adăugarea de fracții cu diferiți numitori
Înainte de a înmulți numeratorii și numitorii, verificați dacă fracțiile pot fi anulate. Reducerea fracțiilor din calcule vă va face calculele mult mai ușoare.
Înmulțind o fracție cu un număr natural
La fracțiune înmulțit cu numar natural trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acest număr și să lăsați numitorul fracției neschimbat.
Dacă, ca urmare a multiplicării, se obține o fracțiune incorectă, nu uitați să o transformați într-un număr mixt, adică selectați întreaga parte.
Înmulțirea numerelor mixte
Pentru a multiplica numerele mixte, trebuie mai întâi să le transformați în fracții necorespunzătoare și apoi să le înmulțiți conform regulii înmulțirii fracțiilor obișnuite.
O altă modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural
Uneori, atunci când calculăm, este mai convenabil să folosim o altă metodă de multiplicare fracție comună după număr.
Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției cu acest număr și lăsați numeratorul la fel.
După cum puteți vedea din exemplu, această versiune a regulii este mai convenabilă de utilizat dacă numitorul fracției este divizibil cu un număr natural fără rest.
Acțiuni fracționate
Adăugarea de fracții cu același numitor
Există două tipuri de adăugare de fracții:
În primul rând, să studiem adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, adăugați numeratorii lor și lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, adăugați fracțiile și. Adăugați numeratorii și lăsați numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, primiți pizza:
Exemplul 2. Adăugați fracții și.
Din nou, adăugați numeratorii și lăsați numitorul neschimbat:
Răspunsul este o fracțiune incorectă. Dacă vine sfârșitul sarcinii, atunci de la fracțiuni neregulate se obișnuiește să scapi. Pentru a scăpa de fracțiunea incorectă, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru, întreaga parte se distinge ușor - două împărțite la două este egală cu una:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în două părți. Dacă adăugați pizza la pizza, primiți o pizza întreagă:
Exemplul 3... Adăugați fracții și.
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați pizza la pizza, primiți pizza:
Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat în același mod ca și cele precedente. Numeratorii trebuie adăugați și numitorul trebuie lăsat neschimbat:
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la pizza și adăugați pizza, atunci primiți 1 pizza întreagă și mai multe.
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat să adăugați fracții cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegem următoarele reguli:
- Pentru a adăuga fracții cu același numitor, adăugați numeratorii lor și lăsați numitorul la fel;
- Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracțiune incorectă, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.
- Găsiți LCM al numitorilor fracțiilor;
- Împarte LCM la numitorul fiecărei fracții și obține un factor suplimentar pentru fiecare fracție;
- Înmulțiți numeratorii și numitorii fracțiilor cu factorii dvs. suplimentari;
- Adăugați fracții cu același numitor;
- Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracțiune incorectă, atunci selectați întreaga sa parte;
- Scăderea fracțiilor cu același numitor
- Scăderea fracțiilor cu diferiți numitori
Adăugarea de fracții cu diferiți numitori
Acum să învățăm cum să adăugăm fracții cu diferiți numitori. La adunarea fracțiilor, numitorii acelor fracții ar trebui să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.
De exemplu, fracțiile și pot fi adăugate, deoarece au aceiași numitori.
Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Există mai multe moduri de a aduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea dificile pentru un începător.
Esența acestei metode este că mai întâi se caută cel mai mic multiplu comun (MCM) al numitorilor ambelor fracții. Atunci LCM este împărțit la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Faceți același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar.
Apoi, numeratorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile cu numitori diferiți sunt transformate în fracții cu aceiași numitori. Și știm deja cum să adăugăm astfel de fracții.
Exemplul 1... Adăugați fracțiile și
Aceste fracții au numitori diferiți, deci trebuie să le aduceți la același numitor (comun).
În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6
LCM (2 și 3) = 6
Acum ne întoarcem la fracțiuni și. În primul rând, împărțiți LCM la numitorul primei fracții și obțineți primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împarte 6 la 3, obținem 2.
Numărul 2 rezultat este primul factor suplimentar. Îl scriem la prima fracțiune. Pentru a face acest lucru, faceți o mică linie oblică deasupra fracției și scrieți factorul suplimentar găsit deasupra ei:
La fel facem cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împarte 6 la 2, obținem 3.
Numărul rezultat 3 este al doilea factor suplimentar. Îl notăm la a doua fracție. Din nou, trasăm o mică linie oblică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:
Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să multiplicați numeratorii și numitorii fracțiilor cu factorii dvs. suplimentari:
Uită-te atent la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile cu numitori diferiți s-au transformat în fracții cu aceiași numitori. Și știm deja cum să adăugăm astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu până la capăt:
Astfel, exemplul se termină. Se pare că adaugă.
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la pizza, primiți o pizza întreagă și încă o a șasea pizza:
Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și cu ajutorul unei imagini. Reducând fracțiile și la un numitor comun, avem fracții și. Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență este că de data aceasta vor fi împărțite în acțiuni egale (reduse la același numitor).
Prima imagine ilustrează o fracție (patru din șase piese), iar a doua imagine înfățișează o fracție (trei din șase piese). Punând aceste bucăți împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracțiune este incorectă, așa că am selectat întreaga parte din ea. Drept urmare, am obținut (o pizza întreagă și încă o a șasea pizza).
Rețineți că am descris acest exemplu în prea multe detalii. ÎN institutii de invatamant nu se obișnuiește să scrii atât de extensiv. Trebuie să puteți găsi rapid MCM atât al numitorilor, cât și al factorilor suplimentari pentru aceștia, precum și să multiplicați rapid factorii suplimentari găsiți cu numeratorii și numitorii dvs. În timpul școlii, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:
Dar există și un dezavantaj al monedei. Dacă, în primele etape ale studierii matematicii, nu faceți note detaliate, atunci încep să apară întrebări de acest gen „De unde vine acea cifră?” „De ce fracțiile se transformă brusc în fracțiuni complet diferite? «.
Pentru a ușura adăugarea fracțiilor cu diferiți numitori, puteți utiliza următoarele instrucțiuni pas cu pas:
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii 
.
Să folosim schema pe care am prezentat-o mai sus.
Pasul 1. Găsiți LCM pentru numitorii fracțiilor
Găsiți LCM pentru numitorii ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4. Trebuie să găsiți LCM pentru aceste numere:
Pasul 2. Împarte LCM la numitorul fiecărei fracții și obține un factor suplimentar pentru fiecare fracție
Împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împarte 12 la 2, obținem 6. Primim primul factor suplimentar 6. Îl scriem peste prima fracție:
Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împarte 12 la 3, obținem 4. Primim al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:
Acum împărțim LCM la numitorul fracției a treia. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împarte 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:
Pasul 3. Înmulțiți numeratorii și numitorii fracțiilor cu factorii dvs. suplimentari
Înmulțim numeratorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:
Pasul 4. Adăugați fracții cu același numitor
Am ajuns la concluzia că fracțiile cu numitori diferiți s-au transformat în fracții cu aceiași numitori (comuni). Rămâne să adăugați aceste fracții. Adaugam:
Adăugarea nu se potrivea pe o linie, așa că am mutat expresia rămasă pe linia următoare. Acest lucru este permis în matematică. Când o expresie nu se potrivește pe o linie, aceasta este transferată pe linia următoare și este necesar să puneți un semn egal (=) la sfârșitul primei linii și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care era pe prima linie.
Pasul 5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracțiune incorectă, atunci selectați întreaga sa parte
Am primit o fracțiune greșită în răspunsul nostru. Trebuie să selectăm întreaga parte din ea. A scoate in evidenta:
Am primit un răspuns
Scăderea fracțiilor cu același numitor
Există două tipuri de scădere a fracțiilor:
În primul rând, să studiem scăderea fracțiilor cu același numitor. Totul este simplu aici. Pentru a scădea alta dintr-o fracție, trebuie să scăpați numeratorul celei de-a doua fracții din numeratorul primei fracții și lăsați numitorul la fel.
De exemplu, să găsim valoarea unei expresii. Pentru a rezolva acest exemplu, trebuie să scăpați numărătorul celei de-a doua fracții din numeratorul primei fracții și lăsați numitorul la fel. Deci hai sa o facem:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza din pizza, primiți pizza:
Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei.
Din nou, scade numeratorul celei de-a doua fracții din numeratorul primei fracții și lasă la fel numitorul:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă vă gândiți la pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza din pizza, primiți pizza:
Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat în același mod ca și cele precedente. Din numeratorul primei fracții, trebuie să scăpați numeratorii fracțiilor rămase:
Răspunsul este o fracțiune incorectă. Dacă exemplul este complet, atunci este obișnuit să scăpați de fracțiunea incorectă. Să și scăpăm de fracțiunea greșită din răspuns. Pentru aceasta, selectați întreaga sa parte:
După cum puteți vedea, nu este nimic dificil în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegem următoarele reguli:
Scăderea fracțiilor cu diferiți numitori
De exemplu, puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au același numitor. Dar nu puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Numitorul comun se găsește în conformitate cu același principiu pe care l-am folosit atunci când adăugăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Atunci LCM este împărțit la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care este scris peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care este scris peste a doua fracție.
Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor operații, fracțiile cu numitori diferiți sunt transformate în fracții cu aceiași numitori. Știm deja să scădem astfel de fracții.
Exemplul 1. Găsiți valoarea unei expresii:
În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12
LCM (3 și 4) = 12
Acum înapoi la fracțiuni și
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împarte 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:
La fel facem cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împarte 12 la 4, obținem 3. Scrieți cele trei peste a doua fracție:
Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să multiplicați fracțiile cu factorii dvs. suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile cu numitori diferiți s-au transformat în fracții cu aceiași numitori. Știm deja să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu până la capăt:
Am primit un răspuns
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza din pizza, primiți pizza
Aceasta este o versiune detaliată a soluției. În școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:
Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi reprezentată, de asemenea, folosind figura. Aducând aceste fracții la un numitor comun, am obținut fracții și. Aceste fracțiuni vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor):
Primul desen ilustrează o fracțiune (opt din douăsprezece piese), iar al doilea desen reprezintă o fracțiune (trei din douăsprezece piese). Decupând trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fraction și descrie aceste cinci piese.
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii 
Aceste fracții au numitori diferiți, deci mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).
Găsiți LCM al numitorilor acestor fracții.
Numitorii fracțiilor sunt 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30
LCM (10, 3, 5) = 30
Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împarte 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împarte LCM la numitorul fracției a doua. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împarte 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împarte LCM la numitorul fracției a treia. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împarte 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:
Acum totul este pregătit pentru scădere. Rămâne să multiplicați fracțiile cu factorii dvs. suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile cu numitori diferiți s-au transformat în fracții cu aceiași numitori (comuni). Știm deja să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.
Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o singură linie, așa că transferăm continuarea pe linia următoare. Nu uitați de semnul egal (=) pe o nouă linie:
Răspunsul s-a dovedit a fi fracția corectă și totul pare să ne convină, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să fie mai simplu și mai plăcut din punct de vedere estetic. Ce se poate face? Puteți scurta această fracție. Amintiți-vă că abolirea unei fracții este împărțirea numărătorului și numitorului cu cel mai mare factor comun al numărătorului și numitorului.
Pentru a reduce corect fracția, trebuie să împărțiți numeratorul și numitorul ei cu cel mai mare divizor comun (GCD) al numerelor 20 și 30.
GCD nu trebuie confundat cu NOC. Cea mai frecventă greșeală pe care o fac mulți începători. GCD este cel mai mare numitor comun. Găsim că reduce fracția.
Iar LCM este cel mai mic multiplu comun. O găsim pentru a aduce fracții la același numitor (comun).
Acum vom găsi cel mai mare divizor comun (GCD) al numerelor 20 și 30.
Deci, găsim GCD pentru numerele 20 și 30:
GCD (20 și 30) = 10
Acum reveniți la exemplul nostru și împărțiți numărătorul și numitorul fracției la 10:
Am primit un răspuns frumos
Înmulțind o fracție cu un număr
Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul acestei fracții cu acest număr și să lăsați numitorul la fel.
Exemplul 1... Înmulțiți fracția cu 1.
Înmulțiți numeratorul fracției cu 1
Înregistrarea poate fi înțeleasă ca luând o jumătate de timp. De exemplu, dacă luați pizza de 1 dată, primiți pizza
Din legile multiplicării, știm că dacă multiplicatorul și multiplicatorul sunt inversate, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca, atunci produsul va fi în continuare egal. Din nou, regula pentru înmulțirea unui număr întreg și a unei fracțiuni funcționează:
Această înregistrare poate fi înțeleasă ca luând jumătate din una. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:
Exemplul 2... Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numeratorul fracției cu 4
Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.
Și dacă schimbăm multiplicatorul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:
Înmulțirea fracțiilor
Pentru a multiplica fracțiile, trebuie să le înmulțiți numeratorii și numitorii. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracțiune incorectă, trebuie să selectați întreaga parte din el.
Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei.
Am primit un răspuns. Este de dorit să scurtați această fracțiune. Fracția poate fi redusă cu 2. Atunci decizia finală va lua următoarea formă:
Expresia poate fi înțeleasă ca luând pizza din jumătate din pizza. Să presupunem că avem o jumătate de pizza:
Cum să obțineți două treimi din această jumătate? Mai întâi, trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:
Și ia două din aceste trei piese:
Vom face pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza când este împărțită în trei părți:
O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:
Cu alte cuvinte, este vorba cam de aceeasi marime de pizza. Prin urmare, valoarea expresiei este
Exemplul 2... Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțim numărătorul primei fracții cu numeratorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:
Răspunsul este o fracțiune incorectă. Să selectăm întreaga parte din el:
Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii
Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție corectă, dar va fi bine dacă îl reduceți. Pentru a reduce această fracție, aceasta trebuie împărțită la GCD al numărătorului și numitorului. Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:
GCD pentru (105 și 150) este 15
Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD:
Reprezentarea fracțiunii unui număr întreg
Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca. Din aceasta, cei cinci nu își vor schimba valoarea, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unul”, iar acest lucru, după cum știți, este egal cu cinci:
Numere inversate
Acum vom face cunoștință cu un subiect foarte interesant în matematică. Se numește „numere din spate”.
Definiție. Inversul numărului A este un număr care, atunci când este înmulțit cu A dă una.
Să înlocuim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:
Inversul numărului 5 este un număr care, atunci când este înmulțit cu 5 dă una.
Este posibil să găsiți un număr care, atunci când este înmulțit cu 5, dă unul? Se pare că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:
Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numeratorul și numitorul. Cu alte cuvinte, înmulțiți fracția cu ea însăși, numai inversată:
Care va fi rezultatul? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:
Aceasta înseamnă că inversul lui 5 este un număr, deoarece 5 este înmulțit cu unul.
Reciprocitatea poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.
- inversul lui 3 este fracția
- inversul lui 4 este fracția
Puteți găsi, de asemenea, reciproc pentru orice altă fracțiune. Pentru a face acest lucru, întoarce-l.
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât o broască țestoasă și se află la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, broasca țestoasă va târâ cu o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a parcurs o sută de pași, broasca țestoasă va târâi încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urma țestoasei.
Acest raționament a venit ca un șoc logic pentru toate generațiile ulterioare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert ... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporiile lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât „ ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună despre esența paradoxurilor ... analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei. ; niciuna dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la întrebare ...„[Wikipedia, Aporia lui Zenon”]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege care este înșelăciunea.
Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la magnitudine la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților variabile de măsură fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm unități constante de măsurare a timpului la reciproc. Din punct de vedere fizic, pare o dilatare a timpului până când se oprește complet în momentul în care Ahile este la nivel de broască țestoasă. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși broasca țestoasă.
Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul se încadrează în loc. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel precedent. În consecință, timpul petrecut pentru a o depăși este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Ahile va prinde la infinit rapid țestoasa”.
Cum poți evita această capcană logică? Rămâneți în unități de timp constante și nu mergeți înapoi. În limba lui Zenon, arată așa:
În timpul în care Ahile va alerga o mie de pași, broasca țestoasă va târâ cu o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar broasca țestoasă va târâ cu o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași în fața broaștei țestoase.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă la problemă. Afirmația lui Einstein despre insuperabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zenon „Ahile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Și soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
Săgeata zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment al timpului este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment al timpului, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că, în fiecare moment al timpului, o săgeată zburătoare se sprijină în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Un alt punct ar trebui menționat aici. Dintr-o singură fotografie a unei mașini pe drum, este imposibil să se determine fie faptul mișcării sale, fie distanța față de aceasta. Pentru a determina faptul mișcării unei mașini, sunt necesare două fotografii, făcute din același punct în momente diferite, dar nu pot fi utilizate pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din puncte diferite din spațiu în același timp, dar este imposibil să se determine faptul de mișcare de la acestea (desigur, sunt necesare date suplimentare pentru calcule, trigonometria va ajuta tu). Ceea ce vreau să atrag o atenție specială este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite pentru cercetare.
Miercuri, 4 iulie 2018
Distincția dintre set și multiset este foarte bine descrisă în Wikipedia. Ne uitam.
După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-un set”, dar dacă există elemente identice într-un set, un astfel de set se numește „multiset”. O astfel de logică a absurdului nu va fi niciodată înțeleasă de ființele raționale. Acesta este nivelul de papagali vorbitori și maimuțe dresate, cărora le lipsește inteligența din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, predicându-ne ideile lor absurde.
Odată inginerii care au construit podul au fost într-o barcă sub pod în timpul încercărilor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul incompetent a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul ar putea rezista la sarcină, un inginer talentat ar construi alte poduri.
Indiferent de modul în care matematicienii se ascund în spatele expresiei „cu, sunt în casă”, sau mai bine zis „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care îi leagă indisolubil de realitate. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria matematică a mulțimilor înșiși.
Am studiat matematica foarte bine și acum stăm la casă, oferind salarii. Aici vine un matematician pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și așezăm pe masa noastră în diferite grămezi, în care punem facturi cu aceeași denumire. Apoi luăm câte o factură din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul salarial matematic”. Explicăm matematica că va primi restul facturilor doar atunci când va demonstra că un set fără elemente identice nu este egal cu un set cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Îl poți aplica altora, nu mi-l poți aplica!” Mai mult, vom începe să ne asigurăm că există numere diferite de denumire pe facturile cu aceeași denumire, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic fizica: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și dispunerea atomilor în fiecare monedă este unică ...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința nu se afla nicăieri pe aici.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu același teren. Zona câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, deoarece numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cum este corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne spună fie despre set, fie despre multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: în ce fel diferă elementele unui set de elementele unui alt set? Vă voi arăta, fără nici un „gândibil ca nu un singur întreg” sau „care nu poate fi gândit ca un întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor numărului este un dans al șamanilor cu un tamburin, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, în lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea sunt șamani pentru a-și învăța urmașii abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii vor dispărea pur și simplu.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina Suma cifrelor unui număr. Nu există. Nu există nicio formulă în matematică prin care să puteți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu ajutorul cărora scriem numere și în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice reprezentând orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii - este elementară.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Deci, să avem numărul 12345. Ce ar trebui făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să parcurgem toți pașii în ordine.
1. Notăm numărul pe o bucată de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul în simbolul grafic al numărului. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Am tăiat o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere separate. Tăierea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamanii folosiți de matematicieni. Dar asta nu este tot.
Din punctul de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem numeric scriem numărul. Deci, în diferite sisteme numerice, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca un indiciu în dreapta numărului. Cu un număr mare 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, ia în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme numerice binare, octale, zecimale și hexazecimale. Nu vom privi fiecare pas sub microscop, am făcut deja acest lucru. Să vedem rezultatul.
După cum puteți vedea, în diferite sisteme numerice, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nicio legătură cu matematica. Este la fel ca și cum ai obține rezultate complet diferite atunci când ai determinat aria unui dreptunghi în metri și centimetri.
Zero în toate sistemele numerice arată la fel și nu are nicio sumă de cifre. Acesta este un alt argument pentru faptul că. O întrebare pentru matematicieni: cum este desemnat ceva care nu este un număr în matematică? Ce, pentru matematicieni, nu există altceva decât numerele? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oamenii de știință - nu. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut trebuie considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu diferite unități de măsură. Dacă aceleași acțiuni cu unități de măsură diferite ale aceleiași cantități conduc la rezultate diferite după comparația lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de magnitudinea numărului, de unitatea de măsură utilizată și de cine efectuează această acțiune.
Vai! Nu este aceasta o toaletă pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nediscriminatorii a sufletelor în timpul înălțării la cer! Halo deasupra și săgeata îndreptată în sus. Ce altă toaletă?
Femelă ... Nimbul de deasupra și săgeata în jos este mascul.
Dacă o piesă de artă de acest gen strălucește în fața ochilor de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător faptul că în mașină găsiți brusc o pictogramă ciudată:
Personal, fac un efort asupra mea, astfel încât, într-o persoană care pooping (o imagine), pot vedea minus patru grade (o compoziție de mai multe imagini: semn minus, numărul patru, desemnarea de grade). Și nu cred că această fată este o proastă care nu cunoaște fizica. Are doar un stereotip de percepție a imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață constant acest lucru. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul caca” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Oamenii care lucrează în mod constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca pe un singur simbol grafic.
Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Atenţie!
Există și alte
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte ...”
Și pentru cei care sunt „foarte egali ...”)
Această operațiune este mult mai plăcută decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numeratorii (acesta va fi numeratorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Adică:
De exemplu:
Totul este extrem de simplu... Și vă rog să nu căutați numitor comun! Nu am nevoie de el aici ...
Pentru a împărți o fracție într-o fracție, trebuie să răsturnați al doilea(acest lucru este important!) fracțiune și înmulțiți-le, adică:
De exemplu:
Dacă întâlnești înmulțirea sau împărțirea cu numere întregi și fracții - este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracțiune cu una în numitor dintr-un număr întreg - și plecăm! De exemplu:
În liceu, trebuie să vă confruntați adesea cu fracțiuni cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:
Cum să aduceți această fracțiune la un aspect decent? E foarte simplu! Utilizați împărțirea în două puncte:
Dar nu uitați ordinea divizării! Spre deosebire de multiplicare, aici este foarte important! Desigur, 4: 2 sau 2: 4, nu vom confunda. Dar într-o fracțiune cu trei etaje este ușor să greșești. Rețineți, de exemplu:
În primul caz (expresia din stânga):
În al doilea (expresia din dreapta):
Simți diferența? 4 și 1/9!
Și ce determină ordinea divizării? Sau paranteze sau (ca aici) lungimea barelor orizontale. Dezvoltați un ochi. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:
apoi împărțim-înmulțim în ordine, de la stânga la dreapta!
Și încă un truc foarte simplu și important. În acțiunile cu grade, vă va fi de folos! Împărțiți unitatea cu orice fracție, de exemplu, cu 13/15:
Fracțiunea sa transformat! Și întotdeauna. Când se împarte 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, numai inversată.
Asta-i tot pentru fracțiuni. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Notă sfaturi practice, și vor fi mai puține (erori)!
Sfaturi practice:
1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționate este acuratețea și grija! Acestea nu sunt cuvinte generale, nu urări de bine! Aceasta este o necesitate cumplită! Faceți toate calculele la examen ca o sarcină deplină, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrieți două rânduri suplimentare într-o schiță decât să le încurcați atunci când calculați în cap.
2. În exemple cu diferite tipuri de fracții - mergeți la fracțiile obișnuite.
3. Toate fracțiile sunt reduse pentru a se opri.
4. Expresiile fracționate cu mai multe etaje sunt reduse la cele obișnuite, folosind împărțirea prin două puncte (urmăriți ordinea divizării!).
5. Împărțiți unitatea într-o fracție mentală, întorcând pur și simplu fracția.
Iată sarcinile pe care trebuie să le rezolvați cu siguranță. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele pe această temă și sfaturi practice. Luați în considerare câte exemple ați putut rezolva corect. Prima dată! Fără calculator! Și faceți concluziile corecte ...
Amintiți-vă - răspunsul corect este primit de la a doua (în special a treia) dată - nu contează! Aceasta este o viață dură.
Asa de, rezolvăm în modul examen ! Apropo, aceasta este deja pregătirea pentru examen. Rezolvăm exemplul, îl verificăm, îl rezolvăm pe următorul. Am decis totul - am verificat din nou de la primul la ultimul. Doar daca Apoi uită-te la răspunsuri.
Calculati:
Ai rezolvat-o?
Căutăm răspunsuri care să se potrivească cu ale tale. Le-am notat în mod deliberat într-o mizerie, departe de tentație, ca să zic așa ... Iată-le, răspunsurile, separate prin punct și virgulă.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Și acum tragem concluzii. Dacă totul a funcționat, mă bucur pentru tine! Calculele de bază cu fracțiuni nu sunt problema ta! Puteți face lucruri mai serioase. Dacă nu...
Deci aveți una dintre cele două probleme. Sau ambele simultan.) Lipsa de cunoștințe și / sau neatenție. Dar asta rezolvabil Probleme.
Dacă vă place acest site ...
Apropo, am câteva site-uri mai interesante pentru dvs.)
Puteți exersa rezolvarea de exemple și aflați nivelul dvs. Testare de validare instantanee. Învățare - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Pentru a înmulți corect o fracție cu o fracție sau o fracție cu un număr, trebuie să cunoașteți reguli simple. Vom analiza acum aceste reguli în detaliu.
Înmulțirea unei fracții obișnuite cu o fracție.
Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să calculați produsul numărătorilor și produsul numitorilor acestor fracții.
\ (\ bf \ frac (a) (b) \ times \ frac (c) (d) = \ frac (a \ times c) (b \ times d) \\\)
Să luăm în considerare un exemplu:
Înmulțim numărătorul primei fracții cu numeratorul celei de-a doua fracții și înmulțim și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții.
\ (\ frac (6) (7) \ times \ frac (2) (3) = \ frac (6 \ times 2) (7 \ times 3) = \ frac (12) (21) = \ frac (4 \ ori 3) (7 \ ori 3) = \ frac (4) (7) \\\)
Fracția \ (\ frac (12) (21) = \ frac (4 \ times 3) (7 \ times 3) = \ frac (4) (7) \\\) a fost redusă cu 3.
Înmulțirea unei fracții cu un număr.
În primul rând, să ne amintim regula orice număr poate fi reprezentat ca o fracție \ (\ bf n = \ frac (n) (1) \).
Să folosim această regulă atunci când înmulțim.
\ (5 \ times \ frac (4) (7) = \ frac (5) (1) \ times \ frac (4) (7) = \ frac (5 \ times 4) (1 \ times 7) = \ frac (20) (7) = 2 \ frac (6) (7) \\\)
Fracție neregulată \ (\ frac (20) (7) = \ frac (14 + 6) (7) = \ frac (14) (7) + \ frac (6) (7) = 2 + \ frac (6) ( 7) = 2 \ frac (6) (7) \\\) a fost convertit într-o fracție mixtă.
Cu alte cuvinte, atunci când înmulțiți un număr cu o fracție, numărul este înmulțit cu numărătorul, iar numitorul rămâne neschimbat. Exemplu:
\ (\ frac (2) (5) \ times 3 = \ frac (2 \ times 3) (5) = \ frac (6) (5) = 1 \ frac (1) (5) \\\\\) \ (\ bf \ frac (a) (b) \ times c = \ frac (a \ times c) (b) \\\)
Înmulțirea fracțiilor mixte.
Pentru a multiplica fracțiile mixte, trebuie mai întâi să reprezentați fiecare fracție mixtă ca o fracție incorectă, apoi să utilizați regula de multiplicare. Numărătorul se înmulțește cu numărătorul, numitorul se înmulțește cu numitorul.
Exemplu:
\ (2 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (5) (6) = \ frac (9) (4) \ times \ frac (23) (6) = \ frac (9 \ times 23) (4 \ ori 6) = \ frac (3 \ ori \ culoare (roșu) (3) \ ori 23) (4 \ ori 2 \ ori \ culoare (roșu) (3)) = \ frac (69) (8) = 8 \ frac (5) (8) \\\)
Înmulțirea fracțiilor și numerelor reciproce.
Fracția \ (\ bf \ frac (a) (b) \) este inversa lui \ (\ bf \ frac (b) (a) \), cu condiția a ≠ 0, b ≠ 0.
Fracțiile \ (\ bf \ frac (a) (b) \) și \ (\ bf \ frac (b) (a) \) se numesc fracții reciproce. Produsul fracțiilor reciproce este 1.
\ (\ bf \ frac (a) (b) \ times \ frac (b) (a) = 1 \\\)
Exemplu:
\ (\ frac (5) (9) \ times \ frac (9) (5) = \ frac (45) (45) = 1 \\\)
Întrebări pe această temă:
Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?
Răspuns: Produsul fracțiilor obișnuite este înmulțirea numărătorului cu numărătorul, numitorul cu numitorul. Pentru a obține produsul fracțiilor mixte, trebuie să le convertiți într-o fracție necorespunzătoare și să le înmulțiți conform regulilor.
Cum înmulțesc fracțiile cu diferiți numitori?
Răspuns: nu contează dacă fracțiile au aceiași numitori sau diferiți, multiplicarea are loc conform regulii de găsire a produsului numărătorului cu numărătorul, numitorul cu numitorul.
Cum se multiplică fracțiile mixte?
Răspuns: în primul rând, trebuie să traduceți fracția mixtă într-o fracție necorespunzătoare și apoi să găsiți produsul conform regulilor de înmulțire.
Cum se înmulțește un număr cu o fracție?
Răspuns: înmulțim numărul cu numărătorul și lăsăm același numitor.
Exemplul nr. 1:
Calculați produsul: a) \ (\ frac (8) (9) \ times \ frac (7) (11) \) b) \ (\ frac (2) (15) \ times \ frac (10) (13) \)
Soluţie:
a) \ (\ frac (8) (9) \ times \ frac (7) (11) = \ frac (8 \ times 7) (9 \ times 11) = \ frac (56) (99) \\\\ \)
b) \ (\ frac (2) (15) \ times \ frac (10) (13) = \ frac (2 \ times 10) (15 \ times 13) = \ frac (2 \ times 2 \ times \ color ( roșu) (5)) (3 \ ori \ culoare (roșu) (5) \ ori 13) = \ frac (4) (39) \)
Exemplul 2:
Calculați produsele unui număr și unei fracții: a) \ (3 \ times \ frac (17) (23) \) b) \ (\ frac (2) (3) \ times 11 \)
Soluţie:
a) \ (3 \ times \ frac (17) (23) = \ frac (3) (1) \ times \ frac (17) (23) = \ frac (3 \ times 17) (1 \ times 23) = \ frac (51) (23) = 2 \ frac (5) (23) \\\\\)
b) \ (\ frac (2) (3) \ times 11 = \ frac (2) (3) \ times \ frac (11) (1) = \ frac (2 \ times 11) (3 \ times 1) = \ frac (22) (3) = 7 \ frac (1) (3) \)
Exemplul nr. 3:
Scrieți reciprocul fracției \ (\ frac (1) (3) \)?
Răspuns: \ (\ frac (3) (1) = 3 \)
Exemplul # 4:
Calculați produsul a două fracții reciproce: a) \ (\ frac (104) (215) \ times \ frac (215) (104) \)
Soluţie:
a) \ (\ frac (104) (215) \ times \ frac (215) (104) = 1 \)
Exemplul # 5:
Fracțiile reciproce pot fi:
a) în același timp cu fracții regulate;
b) în același timp cu fracții incorecte;
c) numere naturale simultane?
Soluţie:
a) pentru a răspunde la prima întrebare, să dăm un exemplu. Fracția \ (\ frac (2) (3) \) este corectă, reciprocă va fi \ (\ frac (3) (2) \) este o fracție necorespunzătoare. Raspunsul este nu.
b) pentru aproape toată enumerarea fracțiilor, această condiție nu este îndeplinită, dar există unele numere care îndeplinesc condiția de a fi în același timp o fracție necorespunzătoare. De exemplu, fracția necorespunzătoare \ (\ frac (3) (3) \), reciprocă este \ (\ frac (3) (3) \). Obținem două fracții neregulate. Răspuns: nu întotdeauna în anumite condiții, când numeratorul și numitorul sunt egali.
c) numerele naturale sunt numere pe care le folosim atunci când numărăm, de exemplu, 1, 2, 3,…. Dacă luăm numărul \ (3 = \ frac (3) (1) \), atunci reciprocitatea acestuia este \ (\ frac (1) (3) \). Fracția \ (\ frac (1) (3) \) nu este un număr natural. Dacă repetăm toate numerele, reciprocul este întotdeauna o fracție, cu excepția 1. Dacă luăm numărul 1, atunci reciprocul său va fi \ (\ frac (1) (1) = \ frac (1) (1) = 1 \). Numărul 1 este un număr natural. Răspuns: pot fi numere naturale în același timp numai într-un singur caz, dacă acest număr este 1.
Exemplul nr. 6:
Efectuați produsul fracțiilor mixte: a) \ (4 \ times 2 \ frac (4) (5) \) b) \ (1 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (2) (7) \ )
Soluţie:
a) \ (4 \ times 2 \ frac (4) (5) = \ frac (4) (1) \ times \ frac (14) (5) = \ frac (56) (5) = 11 \ frac (1 ) (cinci) \\\\ \)
b) \ (1 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (2) (7) = \ frac (5) (4) \ times \ frac (23) (7) = \ frac (115) ( 28) = 4 \ frac (3) (7) \)
Exemplul # 7:
Pot fi două numere invers reciproce numere mixte în același timp?
Să vedem un exemplu. Luați o fracție mixtă \ (1 \ frac (1) (2) \), găsiți-o reciprocă, pentru aceasta o convertim într-o fracție necorespunzătoare \ (1 \ frac (1) (2) = \ frac (3) (2) ) \). Fracția sa inversă va fi \ (\ frac (2) (3) \). Fracția \ (\ frac (2) (3) \) este o fracție regulată. Răspuns: două fracții reciproc inverse nu pot fi numere mixte în același timp.
) și numitorul de către numitor (obținem numitorul produsului).
Formula pentru multiplicarea fracțiilor:
De exemplu:
Înainte de a începe să înmulțiți numeratorii și numitorii, trebuie să verificați posibilitatea reducerii fracției. Dacă puteți reduce fracția, atunci vă va fi mai ușor să faceți alte calcule.
Împărțirea unei fracții obișnuite într-o fracție.
Împărțirea fracțiilor cu participarea unui număr natural.
Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertiți un număr întreg într-o fracție cu una în numitor. De exemplu:
Înmulțirea fracțiilor mixte.
Regulile pentru multiplicarea fracțiilor (mixte):
- convertirea fracțiilor mixte în neregulate;
- înmulțiți numeratorii și numitorii fracțiilor;
- reducem fracția;
- dacă ați obținut o fracție incorectă, atunci convertiți fracția incorectă într-una mixtă.
Notă! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le aduceți sub forma unor fracții necorespunzătoare, apoi să vă înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.
A doua modalitate de a multiplica o fracție cu un număr natural.
Poate fi mai convenabil să se utilizeze a doua metodă de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.
Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției cu acest număr și să lăsați numeratorul neschimbat.
Din exemplul de mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul fracției este împărțit fără rest cu un număr natural.
Fracții cu mai multe etaje.
În liceu, se găsesc adesea fracțiuni cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:
Pentru a aduce o astfel de fracție la forma sa obișnuită, folosiți împărțirea prin 2 puncte:
Notă!În împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Aveți grijă, este ușor să vă confundați aici.
Notă, De exemplu:
Când se împarte una la orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, numai inversată:
Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
1. Cel mai important lucru în lucrul cu expresii fracționate este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrieți câteva rânduri suplimentare în schiță decât să vă confundați cu calculele din cap.
2. În sarcini cu diferite tipuri de fracții - mergeți la forma fracțiilor obișnuite.
3. Reduceți toate fracțiile până când devine imposibil de redus.
4. Expresiile fracționate cu mai multe etaje sunt convertite în expresii obișnuite, folosind împărțirea prin 2 puncte.
5. Împărțiți unitatea într-o fracție mentală, întorcând pur și simplu fracția.
