Cele mai recente exemple de logaritmi de activitate. Logaritmi: exemple și soluții

Accentul acestui articol este - logaritm... Aici vom da definiția unui logaritm, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom spune despre logaritmi naturali și zecimali. După aceea, luați în considerare identitatea logaritmică de bază.

Navigare în pagină.

Definiția logaritmului

Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, când trebuie să găsiți un exponent dintr-o valoare cunoscută a gradului și o bază cunoscută.

Dar destule prefațe, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să oferim o definiție adecvată.

Definiție.

Baza logaritmică a lui b, unde a> 0, a ≠ 1 și b> 0 este exponentul la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține b ca rezultat.

În această etapă, observăm că cuvântul vorbit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări rezultate: „ce număr” și „din ce motiv”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, dar există doar logaritmul unui număr într-o anumită bază.

Intră imediat notare logaritmică: logaritmul numărului b la baza a este de obicei notat ca log a b. Logaritmul numărului b la baza e și logaritmul la baza 10 au propriile lor denumiri speciale lnb și respectiv lgb, adică scriu nu log e b, ci lnb și nu log 10 b, ci lgb.

Acum puteți aduce:.
Și înregistrările nu are sens, deoarece în primul dintre ele sub semnul logaritmului există un număr negativ, în al doilea - un număr negativ la bază, iar în al treilea - atât un număr negativ sub semnul logaritmului, cât și unul la bază.

Acum să spunem despre reguli pentru citirea logaritmilor... Jurnalul a b se citește ca „logaritm al lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul a trei la baza 2 și este logaritmul a două două treimi întregi la bază Rădăcină pătrată din cinci. Se numește baza logaritmului e logaritm natural iar lnb citește „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al șapte și îl citim ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul baza 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal, iar intrarea lgb citește „jurnal zecimal b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal al unuia, iar lg2.75 este logaritmul zecimal al două puncte șaptezeci și cinci de sutimi.

Merită să stați separat în condițiile a> 0, a ≠ 1 și b> 0, în care este dată definiția logaritmului. Să ne explicăm de unde provin aceste restricții. Pentru a face acest lucru, vom fi ajutați de o egalitate a formei, numită, care rezultă direct din definiția logaritmului dată mai sus.

Să începem cu un ≠ 1. Deoarece unul este egal cu unu la orice grad, egalitatea poate fi adevărată numai pentru b = 1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, se presupune că a ≠ 1.

Să justificăm oportunitatea condiției a> 0. Pentru a = 0, prin definiția logaritmului, am avea egalitate, ceea ce este posibil doar pentru b = 0. Dar apoi log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece zero în orice grad diferit de zero este zero. Condiția a ≠ 0 permite evitarea acestei ambiguități. Și pentru un<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

În cele din urmă, condiția b> 0 rezultă din inegalitatea a> 0, deoarece, iar valoarea gradului cu o bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.

În concluzia acestui paragraf, spunem că definiția vocală a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este un anumit grad al bazei. Într-adevăr, definiția unui logaritm ne permite să afirmăm că dacă b = a p, atunci logaritmul lui b la baza a este p. Adică, logul de egalitate a a p = p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 = 8, apoi log 2 8 = 3. Vom vorbi mai multe despre acest lucru în articol.

Astăzi vom vorbi despre formule de logaritmși da indicativ exemple de soluții.

Prin ele însele, ele implică șabloane de decizie în conformitate cu proprietățile de bază ale logaritmilor. Înainte de a aplica formulele logaritmilor pentru soluție, vă reamintim, mai întâi toate proprietățile:

Acum, pe baza acestor formule (proprietăți), vă prezentăm exemple de rezolvare a logaritmilor.

Exemple de rezolvare a logaritmilor pe bază de formule.

Logaritm un număr pozitiv b în baza a (notat cu log a b) este exponentul la care trebuie crescut a pentru a obține b, în timp ce b> 0, a> 0 și 1.

Conform definiției, log a b = x, care este echivalent cu a x = b, deci log a a x = x.

Logaritmi, exemple:

log 2 8 = 3, deoarece 2 3 = 8

log 7 49 = 2, deoarece 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, deoarece 5 -1 = 1/5

Logaritm zecimal este logaritmul obișnuit, la baza căruia este 10. Se notează ca lg.

log 10 100 = 2, deoarece 10 2 = 100

Logaritm natural- de asemenea logaritmul obișnuit este logaritmul, dar deja cu baza e (e = 2.71828 ... este un număr irațional). Este desemnat ca ln.

Este recomandabil să ne amintim formulele sau proprietățile logaritmilor, deoarece vom avea nevoie de ele în viitor atunci când rezolvăm logaritmi, ecuații logaritmice și inegalități. Să încercăm din nou fiecare formulă cu exemple.

Identitate logaritmică de bază
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1 * 10) = log 3 81 = 4
Logaritmul coeficientului este egal cu diferența dintre logaritmi
log a (b / c) = log a b - log a c
9 log 5 50/9 log 5 2 = 9 log 5 50-log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Proprietățile puterii unui logaritm și a bazei unui logaritm
Exponentul logaritmului numărului log a b m = mlog a b

Exponentul bazei logaritmului log a n b = 1 / n * log a b

log a n b m = m / n * log a b,

dacă m = n, obținem log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Trecerea la o nouă fundație
log a b = log c b / log c a,
dacă c = b, obținem log b b = 1

apoi log a b = 1 / log b a

log 0,8 3 * log 3 1,25 = log 0,8 3 * log 0,8 1,25 / log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

După cum puteți vedea, formulele pentru logaritmi nu sunt atât de complicate pe cât par. Acum, având în vedere exemple de rezolvare a logaritmilor, putem trece la ecuații logaritmice. Vom lua în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice în detaliu în articol: "". Nu ratați!

Dacă mai aveți întrebări despre soluție, scrieți-le în comentariile articolului.

Notă: am decis să urmăm educația într-o altă clasă, să studiem în străinătate ca opțiune pentru dezvoltarea evenimentelor.

Unul dintre elementele algebrei primitive este logaritmul. Numele provine din limba greacă din cuvântul „număr” sau „grad” și înseamnă gradul în care este necesar să se ridice numărul din bază pentru a găsi numărul final.

Tipuri de logaritmi

log a b - logaritmul numărului b la baza a (a> 0, a ≠ 1, b> 0);
lg b - logaritm zecimal (baza logaritmului 10, a = 10);
ln b - logaritm natural (baza logaritmului e, a = e).

Cum rezolvați logaritmii?

Baza logaritmică a lui b este un exponent, care necesită creșterea bazei a la b. Rezultatul se pronunță astfel: „logaritmul lui b la baza a”. Soluția la problemele logaritmice este că trebuie să determinați gradul dat de numerele de numerele indicate. Există câteva reguli de bază pentru determinarea sau rezolvarea logaritmului, precum și pentru transformarea intrării în sine. Folosindu-le, se face soluția ecuațiilor logaritmice, se găsesc derivate, se rezolvă integralele și se efectuează multe alte operații. Practic, soluția logaritmului în sine este notația simplificată. Mai jos sunt formulele și proprietățile de bază:

Pentru orice a; a> 0; a ≠ 1 și pentru orice x; y> 0.

a log a b = b - identitate logaritmică de bază
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x / y = log a x - log a y
log a 1 / x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1 / k log a x, pentru k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x / log b a - formula pentru trecerea la o bază nouă
log a x = 1 / log x a

Cum se rezolvă logaritmi - instrucțiuni pas cu pas pentru rezolvare

În primul rând, scrieți ecuația necesară.

Vă rugăm să rețineți: dacă logaritmul de bază este 10, atunci intrarea este scurtată, se obține logaritmul zecimal. Dacă merită numar natural e, apoi notăm, reducându-ne la logaritmul natural. Înseamnă că rezultatul tuturor logaritmilor este puterea la care se ridică numărul de bază pentru a obține numărul b.

În mod direct, soluția este de a calcula acest grad. Înainte de a rezolva o expresie cu un logaritm, aceasta trebuie simplificată conform regulii, adică folosind formule. Puteți găsi principalele identități revenind puțin în articol.

Când se adaugă și se scade logaritmi cu două numere diferite, dar cu aceleași baze, se înlocuiește cu un logaritm cu produs sau, respectiv, cu divizarea lui b și c. În acest caz, puteți aplica formula de tranziție pe o altă bază (a se vedea mai sus).

Dacă utilizați expresii pentru a simplifica logaritmul, există câteva limitări de luat în considerare. Și asta este: baza logaritmului a este doar un număr pozitiv, dar nu egal cu unul. Numărul b, ca și a, trebuie să fie mai mare decât zero.

Există cazuri în care, simplificând expresia, nu puteți calcula logaritmul numeric. Se întâmplă ca o astfel de expresie să nu aibă sens, deoarece multe grade sunt numere iraționale. În această condiție, lăsați puterea numărului sub formă de notație logaritmică.

Logaritmul lui b (b> 0) pentru a baza a (a> 0, a ≠ 1) Este exponentul la care trebuie să măriți numărul a pentru a obține b.

Logaritmul de la b la baza 10 poate fi scris ca lg (b), iar logaritmul la baza e (logaritm natural) este ln (b).

Adesea folosit la rezolvarea problemelor cu logaritmi:

Proprietățile logaritmilor

Există patru principale proprietățile logaritmilor.

Fie a> 0, a ≠ 1, x> 0 și y> 0.

Proprietate 1. Logaritmul produsului

Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Proprietatea 2. Logaritmul coeficientului

Logaritmul coeficientului este egal cu diferența de logaritmi:

log a (x / y) = log a x - log a y

Proprietatea 3. Logaritmul gradului

Logaritmul gradului este egal cu produsul puterii de către logaritm:

Dacă baza logaritmului este în putere, atunci funcționează o altă formulă:

Proprietatea 4. Logaritmul rădăcinii

Această proprietate poate fi obținută din proprietatea logaritmului gradului, deoarece rădăcina gradului n este egală cu gradul 1 / n:

Formula pentru trecerea de la un logaritm într-o bază la un logaritm într-o altă bază

Această formulă este, de asemenea, adesea utilizată la rezolvarea diferitelor probleme pentru logaritmi:

Un caz special:

Compararea logaritmilor (inegalități)

Să presupunem că avem 2 funcții f (x) și g (x) sub logaritmi cu aceleași baze și că există un semn de inegalitate între ele:

Pentru a le compara, trebuie mai întâi să vă uitați la baza logaritmilor unui:

Dacă a> 0, atunci f (x)> g (x)> 0
Dacă 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cum se rezolvă probleme cu logaritmi: exemple

Sarcini de logaritm inclus în USE în matematică pentru clasa a 11-a în sarcina 5 și sarcina 7, puteți găsi sarcini cu soluții pe site-ul nostru web în secțiunile relevante. De asemenea, sarcinile cu logaritmi se găsesc în banca de sarcini din matematică. Toate exemplele pot fi găsite prin căutarea pe site.

Ce este un logaritm

Logaritmii au fost întotdeauna considerați un subiect dificil în curs de scoala matematică. Există multe definiții diferite ale logaritmului, dar majoritatea manualelor le folosesc cumva pe cele mai dificile și nefericite.

Vom defini logaritmul simplu și clar. Pentru a face acest lucru, să creăm un tabel:

Deci, avem în față puteri a două.

Logaritmi - proprietăți, formule, cum să rezolvați

Dacă luați numărul din linia de jos, atunci puteți găsi cu ușurință gradul în care trebuie să ridicați doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridici două la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici două la a șasea putere. Acest lucru poate fi văzut de la masă.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

baza a din argumentul x este puterea la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul x.

Notare: log a x = b, unde a este baza, x este argumentul, b este de fapt ceea ce este logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (baza logaritmică 2 din 8 este de trei, deoarece 2 3 = 8). Cu același jurnal de succes 2 64 = 6, din moment ce 2 6 = 64.

Se numește operațiunea de găsire a logaritmului unui număr într-o bază dată. Deci, să adăugăm o nouă linie la tabelul nostru:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Din păcate, nu toți logaritmii sunt calculați atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți jurnalul 2 5. Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul se va afla undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere sunt numite iraționale: numerele de după punctul zecimal pot fi scrise la infinit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să îl lăsați astfel: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important să înțelegem că logaritmul este o expresie cu două variabile (bază și argument). La început, mulți sunt confuzi cu privire la locul de bază și unde este argumentul. Pentru a evita neînțelegerile enervante, aruncați o privire asupra imaginii:

În fața noastră nu este altceva decât definiția logaritmului. Tine minte: logaritmul este gradul la care trebuie ridicată baza pentru a obține argumentul. Baza este ridicată la putere - în imagine este evidențiată cu roșu. Se pare că baza este întotdeauna în partea de jos! Le spun elevilor mei această regulă minunată chiar la prima lecție - și nu apare nicio confuzie.

Cum se numără logaritmii

Am descoperit definiția - rămâne să învățăm cum să numărăm logaritmii, adică scapă de semnul jurnalului. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

Argumentul și radioul trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Acest lucru rezultă din definiția gradului de către un indicator rațional, la care se reduce definiția logaritmului.
Baza trebuie să fie diferită de una, deoarece una este încă una în orice grad. Din această cauză, întrebarea „în ce măsură trebuie ridicat unul pentru a obține doi” nu are sens. Nu există un astfel de grad!

Astfel de restricții sunt numite gama de valori valabile(ODZ). Se pare că ODZ-ul logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒x> 0, a> 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există nicio restricție asupra numărului b (valoarea logaritmului). De exemplu, logaritmul poate fi negativ: log 2 0,5 = -1, deoarece 0,5 = 2 -1.

Cu toate acestea, acum luăm în considerare doar expresii numerice, unde nu este necesară cunoașterea ODV a logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de compilatorii de sarcini. Dar când vor intra ecuațiile și inegalitățile logaritmice, cerințele DHS vor deveni obligatorii. Într-adevăr, la bază și în argument pot exista construcții foarte puternice care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum ia în considerare schemă generală calculând logaritmi. Se compune din trei pași:

Prezentați radioul a și argumentul x ca o putere cu cea mai mică rază mai mare decât una. Pe parcurs, este mai bine să scapi de fracțiile zecimale;
Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b;
Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acest lucru se va vedea deja la primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât una este foarte relevantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică mult calculele. În mod similar cu fracții zecimale: dacă le traduceți imediat în cele obișnuite, vor exista de câteva ori mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă cu exemple specifice:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de cinci: 5 = 5 1; 25 = 5 2;

Să compunem și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

A primit răspunsul: 2.

Sarcină. Calculați logaritmul:

Sarcină. Calculați jurnalul: log 4 64

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a două: 4 = 2 2; 64 = 2 6;
Să compunem și să rezolvăm ecuația:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
A primit răspunsul: 3.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a două: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
Să compunem și să rezolvăm ecuația:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
A primit răspunsul: 0.

Sarcină. Calculați jurnalul: jurnal 7 14

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de șapte: 7 = 7 1; 14 nu este reprezentat ca o putere de șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu este numărat;
Răspunsul nu este nicio modificare: log 7 14.

O mică notă asupra ultimului exemplu. Cum vă asigurați că un număr nu este o putere exactă a unui alt număr? Este foarte simplu - descrieți-l în factori primi. Dacă factorizarea conține cel puțin doi factori diferiți, numărul nu este o putere exactă.

Sarcină. Aflați dacă puterile exacte ale numărului sunt: 8; 48; 81; 35; paisprezece.

8 = 2 2 2 = 2 3 - gradul exact, deoarece există un singur factor;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nu este un grad exact, deoarece există doi factori: 3 și 2;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - gradul exact;
35 = 7 · 5 - din nou nu un grad exact;
14 = 7 2 - din nou nu un grad exact;

Rețineți, de asemenea, că primii înșiși sunt întotdeauna puteri exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unele logaritmi sunt atât de frecvente încât au un nume și o denumire specială.

argumentului x este logaritmul bazei 10, adică puterea la care trebuie crescut numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x.

De exemplu, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când apare o expresie de genul „Găsiți lg 0,01” într-un manual, ar trebui să știți: aceasta nu este o greșeală de scriere. Acesta este logaritmul zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți obișnuiți cu o astfel de desemnare, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru zecimal.

Logaritm natural

Există un alt logaritm care are propria sa notație. Într-un fel, este chiar mai important decât zecimalul. Este despre logaritmul natural.

argumentului x este baza logaritmului e, adică puterea la care trebuie crescut numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x.

Mulți vor întreba: ce altceva este numărul e? Acesta este un număr irațional, sensul său exact nu poate fi găsit și notat. Voi da doar primele sale cifre:
e = 2.718281828459 ...

Nu vom aprofunda în ce este acest număr și de ce este necesar. Amintiți-vă doar că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional este irațional. Cu excepția, desigur, a unităților: ln 1 = 0.

Pentru logaritmii naturali, sunt adevărate toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți.

Vezi si:

Logaritm. Proprietățile logaritmului (puterea logaritmului).

Cum pot reprezenta un număr ca logaritm?

Folosim definiția unui logaritm.

Logaritmul este exponentul la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul sub semnul logaritmului.

Astfel, pentru a reprezenta un număr c sub forma unui logaritm la baza a, este necesar să puneți puterea cu aceeași bază ca baza logaritmului sub semnul logaritmului și să scrieți acest număr c în exponentul:

Sub forma unui logaritm, poate fi reprezentat absolut orice număr - pozitiv, negativ, întreg, fracțional, rațional, irațional:

Pentru a nu confunda a și c în condiții stresante ale unui control sau examen, puteți utiliza următoarea regulă pentru a memora:

ceea ce este jos coboară, ceea ce este deasupra urcă.

De exemplu, ați putea dori să reprezentați numărul 2 ca logaritm la baza 3.

Avem două numere - 2 și 3. Aceste numere sunt baza și exponentul, pe care le vom scrie sub semnul logaritmului. Rămâne să se determine care dintre aceste numere trebuie notate, la baza gradului și care - până la exponent.

Baza 3 din logaritm se află în partea de jos, ceea ce înseamnă că atunci când reprezentăm două sub forma unui logaritm la baza 3, 3 vor fi, de asemenea, notate la bază.

2 se află deasupra celor trei. Și scriind puterea a doi, o scriem deasupra celor trei, adică în exponent:

Logaritmi. Primul nivel.

Logaritmi

Logaritm număr pozitiv b prin rațiune A, Unde a> 0, a ≠ 1, se numește exponentul la care trebuie crescut numărul A, A obtine b.

Definiția logaritmului poate fi scris pe scurt astfel:

Această egalitate este valabilă pentru b> 0, a> 0, a ≠ 1. De obicei se numește identitate logaritmică.
Se numește acțiunea de a găsi logaritmul unui număr prin luarea logaritmului.

Proprietăți logaritmice:

Logaritmul produsului:

Logaritmul coeficientului diviziunii:

Înlocuirea bazei logaritmului:

Logaritmul diplomei:

Logaritmul rădăcinii:

Logaritmul puterii:

Logaritmi zecimali și naturali.

Logaritm zecimal numerele apelează logaritmul de bază 10 al acestui număr și scrieți & nbsp lg b
Logaritm natural numerele apelează logaritmul de bază al acelui număr e, Unde e- un număr irațional, aproximativ egal cu 2,7. În acest caz, ei scriu ln b.

Alte note despre algebră și geometrie

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adăugate, scăzute și transformate în orice mod. Dar, deoarece logaritmii nu sunt tocmai numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți de bază.

Este imperativ să cunoaștem aceste reguli - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare două logaritmi cu aceleași baze: log a x și log a y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți, punctul cheie aici este - temeiuri identice... Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când unele dintre părțile sale nu sunt numărate (a se vedea lecția „Ce este un logaritm”). Aruncați o privire la exemple - și vedeți:

Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumă:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 2 48 - log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 3 135 - log 3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, așa că avem:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt compuse din logaritmi „răi”, care nu sunt numărați separat. Dar după transformări, se obțin numere destul de normale. Mulți sunt construiți pe acest fapt. hârtii de testare... Dar ce control - astfel de expresii cu toată seriozitatea (uneori - practic neschimbate) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum, să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul logaritmului se bazează pe un grad? Apoi exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului în conformitate cu următoarele reguli:

Este ușor de văzut că ultima regulă urmează primele două. Dar este mai bine să ne amintim la fel - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcul.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODL-ul logaritmului: a> 0, a ≠ 1, x> 0. Și încă un lucru: învățați să aplicați toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers , adică puteți introduce numerele din fața semnului logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmi

Aceasta este ceea ce este cel mai adesea necesar.

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 7 49 6.

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți semnificația expresiei:

Rețineți că numitorul conține logaritmul, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Avem:

Cred că ultimul exemplu are nevoie de o clarificare. Unde au dispărut logaritmii? Pana cand ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului care stătea acolo sub formă de grade și am scos indicatorii - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția de bază. Numărătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem anula fracția - numitorul rămâne 2/4. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod specific că acestea funcționează doar pentru aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte ale aceluiași număr?

Formule pentru trecerea la o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să se dea logaritmul jurnalul a x. Apoi, pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c ≠ 1, se menține următoarea egalitate:

În special, dacă punem c = x, vom obține:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „inversată”, adică logaritmul apare în numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se estimeze cât de convenabile sunt acestea numai la rezolvarea ecuațiilor logaritmice și a inegalităților.

Cu toate acestea, există sarcini care în general nu sunt rezolvate decât prin trecerea la o nouă fundație. Luați în considerare câteva dintre acestea:

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambelor logaritmi conțin grade exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Acum să „răsucim” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă de la permutarea factorilor, am înmulțit calm cei patru și cei doi și apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 9 100 · lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt grade exacte. Să scriem acest lucru și să scăpăm de valori:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la noua bază:

Identitate logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca un logaritm pentru o bază dată.

În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponentul în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numește așa :.

Într-adevăr, ce se întâmplă dacă numărul b este ridicat la o astfel de putere încât numărul b al acestei puteri dă numărul a? Așa este: obțineți chiar acest număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca formulele pentru tranziția la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți semnificația expresiei:

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - tocmai a mutat pătratul din bază și argumentul logaritm. Luând în considerare regulile pentru înmulțirea gradelor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, a fost o problemă reală la examen 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă sunt consecințe ale definiției logaritmului. Ele sunt întâlnite în mod constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru studenții „avansați”.

log a a = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul pentru orice bază a din această bază este egal cu una.
log a 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece un 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Astea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că practicați punerea lor în practică! Descărcați foaia de trișare la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Deci, avem în față puteri a două. Dacă luați numărul din linia de jos, atunci puteți găsi cu ușurință gradul în care trebuie să ridicați doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridici două la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici două la a șasea putere. Acest lucru poate fi văzut de la masă.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

Baza logaritmică a argumentului x este puterea la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul x.

Notare: log a x = b, unde a este baza, x este argumentul, b este de fapt ceea ce este logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (baza log 2 din 8 este trei, deoarece 2 3 = 8). Cu același jurnal de succes 2 64 = 6, din moment ce 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr într-o bază dată se numește logaritm. Deci, să adăugăm o nouă linie la tabelul nostru:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Am descoperit definiția - rămâne să învățăm cum să numărăm logaritmii, adică scapă de semnul jurnalului. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

Argumentul și radioul trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Acest lucru rezultă din definiția gradului de către un indicator rațional, la care se reduce definiția logaritmului.
Baza trebuie să fie diferită de una, deoarece una este încă una în orice grad. Din această cauză, întrebarea „în ce măsură trebuie ridicat unul pentru a obține doi” nu are sens. Nu există un astfel de grad!

Astfel de restricții sunt numite gama de valori valabile(ODZ). Se pare că ODZ-ul logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există nicio restricție asupra numărului b (valoarea logaritmului). De exemplu, logaritmul poate fi negativ: log 2 0,5 = -1, deoarece 0,5 = 2 -1.

Acum să ne uităm la schema generală pentru calcularea logaritmilor. Se compune din trei pași:

Prezentați radioul a și argumentul x ca o putere cu cea mai mică rază mai mare decât una. Pe parcurs, este mai bine să scapi de fracțiile zecimale;
Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b;
Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acest lucru se va vedea deja la primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât una este foarte relevantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică mult calculele. În mod similar, cu fracții zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor exista de multe ori mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă cu exemple specifice:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de cinci: 5 = 5 1; 25 = 5 2;

Să compunem și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

A primit răspunsul: 2.

Sarcină. Calculați logaritmul:

Sarcină. Calculați jurnalul: log 4 64

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a două: 4 = 2 2; 64 = 2 6;
Să compunem și să rezolvăm ecuația:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
A primit răspunsul: 3.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a două: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
Să compunem și să rezolvăm ecuația:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
A primit răspunsul: 0.

Sarcină. Calculați jurnalul: jurnal 7 14

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de șapte: 7 = 7 1; 14 nu este reprezentat ca o putere de șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu este numărat;
Răspunsul nu este nicio modificare: log 7 14.

Sarcină. Aflați dacă puterile exacte ale numărului sunt: 8; 48; 81; 35; paisprezece.

Rețineți, de asemenea, că primii înșiși sunt întotdeauna puteri exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unele logaritmi sunt atât de frecvente încât au un nume și o denumire specială.

Logaritmul zecimal al lui x este logaritmul de bază 10, adică puterea la care trebuie crescut numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x.

De exemplu, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru zecimal.

Logaritm natural

Există un alt logaritm care are propria sa notație. Într-un fel, este chiar mai important decât zecimalul. Acesta este logaritmul natural.

Logaritmul natural al lui x este baza logaritmului e, adică puterea la care trebuie crescut numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x.

Mulți vor întreba: ce altceva este numărul e? Acesta este un număr irațional, sensul său exact nu poate fi găsit și notat. Voi da doar primele sale cifre:
e = 2.718281828459 ...

Nu vom aprofunda în ce este acest număr și de ce este necesar. Amintiți-vă doar că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Pentru logaritmii naturali, sunt adevărate toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți.