Prezentarea segmentelor de linie proporțională pentru a defini triunghiuri similare. Prezentare despre „Identificarea triunghiurilor similare”

Slide 8

Segmente de linie proporțională. Definirea triunghiurilor asemănătoare Raportul ariilor triunghiurilor similare Primul test pentru asemănarea triunghiurilor (Dovada) Al doilea test pentru asemănarea triunghiurilor (Dovada) Al treilea test pentru asemănarea triunghiurilor (Dovada) Aplicație practică

Slide 9

Continuare

Informații de bază Măsurarea lucrărilor la sol Determinarea înălțimii obiectului Determinarea distanței până la un punct inaccesibil Determinarea distanței prin construirea de triunghiuri similare (1) (2) (5) (4) (3)

Slide 10

Segmente de linie proporțională

Raportul dintre segmentele AB și CD este raportul dintre lungimile lor, adică AB / CD. Se spune că segmentele AB și CD sunt proporționale cu segmentele A1 B1 și C1 D1, dacă AB / A1B1 = CD / C1D1. Conceptul de proporționalitate este introdus și pentru un număr mare de segmente

Slide 11

Definiția triunghiurilor similare.

Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt.

Slide 12

Raportul ariilor triunghiurilor similare

Teorema Raportul ariilor a doua triunghiuri asemanatoare este egal cu patratul coeficientului de asemanare

Slide 13

Dovada.

Fie triunghiurile ABC și A1B1C1 similare și coeficientul de asemănare egal cu r. Să notăm cu literele S și S1 ariile acestor triunghiuri. Deoarece unghiul A = unghiul A1, atunci S / S1 = AB * AC / A1B1 * A1C1 (conform teoremei privind raportul ariilor raportului de asemănare a triunghiurilor cu unghi egal). Prin formulele (2) avem: AB / A1B1 = R, AC / A1C1 = R, deci S / S = R 2

Slide 14

Primul semn al asemănării triunghiurilor

Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altuia, atunci astfel de triunghiuri sunt egale cu A B C

Slide 15

Al doilea semn al asemănării triunghiurilor

Dacă cele două laturi ale altui triunghi sunt proporționale cu cele două laturi ale celuilalt triunghi și unghiurile dintre aceste laturi sunt egale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Slide 16

Al treilea semn de asemănare a triunghiurilor

Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele trei laturi ale celuilalt, atunci astfel de triunghiuri sunt similare. A B C

Slide 17

Dovada (1)

Având în vedere: ABC și A1B1C1 sunt două triunghiuri în care unghiul A = unghiul A1, unghiul B = unghiul B1 Să demonstrăm că triunghiul ABC este triunghiul A! B1C1

Slide 18

Dovada.

Conform teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi, unghiul C = 180 de grade-unghi A-unghi B, unghiul C = 180 de grade-unghi A este unghiul B, deci unghiul C = unghi C. Astfel, unghiurile ale triunghiului ABC sunt, respectiv, egale cu unghiurile triunghiului ABC 1 1 1 1 1 1 1

Slide 19

Să demonstrăm că laturile triunghiului ABC sunt proporționale cu laturile similare ale triunghiului AB C. Deoarece unghiul A = unghiul A și unghiul C = unghiul C, atunci S abc / Sa c = AB * AC / AB * ACS abc / Sa b c = CA * SV / C A * C B. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slide 20

Din aceste egalități rezultă că AB / AB = BC / BC În mod similar, folosind egalitățile unghiul A = unghiul A Unghiul B = unghiul B, obținem BC / BC = CA / C A. Deci laturile triunghiului ABC sunt proporționale cu laturile asemanatoare ale triunghiului A In C. Se demonstreaza teorema. 1 1 1 1 1 1 1 1

Slide 21

Dovada (2)

Se dau: două triunghiuri ABC și ABC, pentru care AB / AB = AC / AC, unghiul A = unghiul A. B = colțul B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slide 22

Să considerăm un triunghi ABC, în care unghi1 = unghiA, unghi2 = unghi B. Triunghiurile ABC ABC sunt asemănătoare în primul semn de asemănare a triunghiurilor, deci AB / AB = AC / AC C. Pe de altă parte, conform condiției AB / AB = AC / A C. Din aceste două egalități obținem AC = AC. 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2

Slide 23

Triunghiurile ABC și ABC sunt egale pe două laturi între ele (AB este o latură comună, AC = AC și unghiul A = unghiul 1, deoarece unghiul A = unghiul A și unghiul 1 = unghiul A). Rezultă că unghiul B = unghiul 2, iar din moment ce unghiul 2 = unghiul B, atunci unghiul B = unghiul B. Se demonstrează teorema. 2 2 1 1 1 1

Slide 24

Dovada (3)

Având în vedere: laturile triunghiurilor ABC și ABC sunt proporționale. Să demonstrăm că triunghiul ABC la triunghiul ABC 1 1 1

Slide 25

Dovada

Pentru aceasta, ținând cont de al doilea semn al asemănării triunghiurilor, este suficient să demonstrăm că unghiul A = unghiul A. Să considerăm un triunghi ABC, în care unghiul 1 = unghiul A, unghiul 2 = unghiul B. Triunghiurile ABC și ABC sunt similare în primul semn de asemănare a triunghiurilor, prin urmare AB / А В = ВС / В С = С А / С A.

Slide 26

Comparând aceste egalități cu egalitățile (1) obținem: BC = BC, CA = C A. Triunghiurile ABC și ABC sunt egale pe trei laturi. Rezultă că unghiul A = unghiul 1 și întrucât unghiul 1 = unghiul A, atunci unghiul A = unghiul A. Se demonstrează teorema. 2 2 2 1 1

Slide 27

Aplicații practice ale asemănării triunghiurilor

Când se rezolvă multe probleme de construcție a triunghiurilor, se folosește așa-numita metodă a similitudinii. Constă în faptul că mai întâi, pe baza unor date, există un triunghi asemănător celui dorit, iar apoi, folosind restul datelor, se construiește triunghiul dorit.

Slide 28

Problema numarul 1

Construiți un triunghi având două unghiuri și o bisectoare la vârful celui de-al treilea unghi

Slide 29

Soluţie

Mai întâi, să construim un fel de triunghi similar cu cel pe care îl căutăm. Pentru a face acest lucru, desenați un segment arbitrar A B și stați un triunghi A B C, în care unghiurile A și, respectiv, B sunt egale cu unghiurile date.

Slide 30

Continuare

În continuare, construim bisectoarea unghiului C și punem pe ea segmentul CD, egal cu acest segment. Desenați o dreaptă prin punctul D paralel cu A B. Intersectează laturile unghiului C în unele puncte A și B. triunghiul ABC este triunghiul dorit

Slide 31

De fapt, deoarece AB este paralel cu AB, atunci unghiul A = unghiul A, unghiul B = unghiul B și, prin urmare, cele două unghiuri ale triunghiului ABC sunt, respectiv, egale cu aceste unghiuri. Prin construcție, bisectoarea CD a triunghiului ABC este egală cu acest segment, astfel triunghiul ABC satisface toate condițiile problemei.

Slide 32

Elemente de bază (1)

1. Triunghiul ABC este similar cu triunghiul ABC dacă și numai dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții echivalente. 1 1 1

Slide 33

Condiții

A) AB: BC: CA = AB: BC: C A; B) AB: BC = AB: BC și unghiul ABC = unghiul ABC; B) unghiul ABC = unghiul A B C și unghiul BAC = unghiul B A C. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slide 34

Bazele (2)

2) dacă drepte paralele decupează triunghiurile AB C și AB C din colțul cu vârful A, atunci aceste triunghiuri sunt similare și AB: AB = AC: AC (punctele B și B se află pe o parte a colțului, C și C). pe de altă parte). 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Slide 35

Elemente de bază (3)

3) linia de mijloc a triunghiului este segmentul care leagă punctele medii ale laturilor laterale. Acest segment este paralel cu a treia latură și este egal cu jumătate din lungime. Linia de mijloc a unui trapez este segmentul care leagă punctele medii ale laturilor trapezului. Acest segment este paralel cu bazele și este egal cu jumătate din suma lungimilor acestora

Slide 36

Bazele (4)

4) raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine, adică pătratul raportului dintre lungimile laturilor corespunzătoare. Aceasta rezultă, de exemplu, din formula Savs = 0,5 * AB * ACsinA.

Slide 37

Informații cheie (5)

Poligoanele А А ... А și В В ... В se numesc similare dacă А А: А А: ...: А А = В В: В В: ... В В și unghiurile la vârfurile А . .., A. Sunt egale cu unghiurile de la vârfurile А, …., A sunt egale Raportul diagonalelor corespunzătoare ale poligoanelor similare este egal cu coeficientul de asemănare; pentru poligoane similare descrise, raportul dintre razele cercurilor înscrise este, de asemenea, egal cu coeficientul de similitudine 1 2 n 1 2 n 1 2 2 3 n 1 1 2 2 3 n 1 1 n 1 n

Slide 38

Lucrari de masurare la sol

Proprietățile unor astfel de triunghiuri pot fi utilizate pentru a efectua diferite măsurători pe sol. Vom lua în considerare două sarcini: determinarea înălțimii unui obiect pe sol și a distanței până la un punct inaccesibil.

Slide 39

Problema numarul 1

Determinarea înălțimii unui obiect

Slide 40

Continuare

Să presupunem că trebuie să determinăm înălțimea unui obiect, de exemplu, înălțimea stâlpului telegrafic AC, pentru aceasta punem un stâlp AC cu o bară rotativă la o anumită distanță de stâlp și direcționăm bara către punctul de sus A. a coloanei.Și A se intersectează cu suprafața pământului. 1 1 1 1

Slide 41

Triunghiurile dreptunghiulare A C B și ACB sunt similare în primul semn al triunghiurilor (unghiul C = unghiul C = 90 de grade, unghiul B - comun). Din asemănarea triunghiurilor rezultă А С / АС = ВС / ВС, de unde А С = АС * ВС / ВС măsurand distanța dintre ВС și ВС și cunoscând lungimea polului АС, determinăm înălțimea С după formula obținută С a stâlpului de telegraf 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slide 42

Provocare (2)

Determinarea distanței până la un punct inaccesibil

Slide 43

Continuare

Să presupunem că trebuie să găsim distanța de la punctul A la un punct inaccesibil B. Pentru a face acest lucru, selectați punctul C de pe sol, fixați segmentul AC și măsurați-l. Apoi, folosind astrolabul, măsurăm unghiurile A și C. Pe o foaie de hârtie construim un fel de triunghi ABC, în care unghiul A = unghiul A, unghiul C = unghiul C și măsuram lungimile laturilor. AB și AC ale acestui triunghi. 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slide 44

Deoarece triunghiul ABC și ABC sunt similari (prin primul semn al asemănării triunghiurilor), atunci AB / AB = AC AC, de unde obținem AB = AC * AB / AC C. Această formulă permite distanțele cunoscute AC, AC și A B, găsiți distanța AB. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slide 45

Pentru a simplifica calculele, este convenabil să construiți un triunghi ABC în așa fel încât AC: AC = 1: 1000. de exemplu, dacă АС = 130m, atunci distanța АС este luată egală cu 130mm. În acest caz AB = AC / A C * A B = 1000 * A B, prin urmare, după măsurarea distanței AB în milimetri, obținem imediat distanța AB în metri 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slide 46

Exemplu

Fie AC = 130m, unghiul A = 73 grade, unghiul C = 58 grade.Pe hârtie construim un triunghi ABC astfel încât unghiul A = 73 grade, unghiul C = 58 grade, AC = 130mm și măsuram segmentul A B. Acesta este egală cu 153 mm, prin urmare, distanța necesară este devreme de 153 m. 1 1 1 1 1

Slide 47

Determinarea distanței prin construirea de triunghiuri similare

Când determinați distanța până la obiecte îndepărtate sau inaccesibile, puteți utiliza următoarea tehnică. La un meci obișnuit, diviziunile de doi milimetri trebuie aplicate cu cerneală sau un creion. De asemenea, trebuie să cunoașteți înălțimea aproximativă a obiectului până la care este determinată distanța. Deci, înălțimea unei persoane este de 1,7-1,8 m, o roată de mașină este de 0,5 m, un călăreț are 2,2 m, un stâlp de telegraf are 6 m, o casă cu un etaj fără acoperiș are 2,5-4 m.

Slide 48

Continuare

Să presupunem că trebuie să determinați distanța până la post. Îndreptăm un chibrit asupra lui pe un braț întins, a cărui lungime este de aproximativ 60 cm, să presupunem că înălțimea stâlpului arată ca două diviziuni ale chibritului, i.e. 4 mm. Având astfel de date, vom compune proporția: 0,6 / x = 0,004 / 6,0;x = (0,6 * 6) /0y004 = 900. Astfel, până la stâlp este 900m.

Vizualizați toate diapozitivele

"Geometrie" Triunghiuri similare "" - Identitate trigonometrică de bază. Al doilea semn al asemănării triunghiurilor. Sinus, cosinus și tangentă. Valori sinus, cosinus și tangente pentru unghiuri de 30 °, 45 °, 60 °. Triunghiuri similare. Asemănarea triunghiurilor dreptunghiulare. Continuarea laturilor. Segmente de linie proporțională. O teoremă asupra raportului dintre ariile triunghiurilor similare. Valori sinus, cosinus și tangente. Cele două laturi ale triunghiului erau legate printr-un segment care nu era paralel cu al treilea.

„Găsirea zonei trapezului” - Rezultate. Proprietățile triunghiului dreptunghic. Găsiți aria trapezului. Compara pătratele. Indicați bazele. Sarcini de autocontrol. Zona trapezului. Repetarea materialului trecut. Capcană. Scrieți formulele. Formați capacitatea de a aplica formula. Găsiți zona. Zona celulară. Soluția la problema. Să rezumam. Pătrat.

„Cadrilatere, semnele și proprietățile lor” - Rombul. Patraunghiuri, semnele și proprietățile lor. Introduceți tipurile de patrulatere. Dreptunghi. Proprietățile paralelogramului. Un dreptunghi cu toate laturile egale. Un patrulater ale cărui vârfuri sunt la mijlocul laturilor. Diagonale. Tipuri de patrulatere. Teste. Care două triunghiuri egale pot fi pliate într-un pătrat. Tipuri de trapeze. Colțurile rombului. Pătrat. Semne de paralelogram. Patraunghiuri.

„Teorema unghiului înscris” – Raza cercului este de 4 cm. Răspuns. Colt ascutit. Consolidarea materialului studiat. Actualizarea cunoștințelor elevilor. Actualizare de cunoștințe. Învățarea de materiale noi. Raza cercului. Cum se numește unghiul cu vârful în centrul cercului. Găsiți unghiul dintre coarde. Conceptul de unghi înscris. Triunghi. Găsiți unghiul dintre ele. Soluţie. Verifică-te. Răspuns corect. Cercurile se intersectează. Teorema unghiului înscris.

„Teorema lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic” - Triunghi dreptunghic. Numele lui Pitagora. O combinație a două principii contradictorii. Herodot. Enunțul teoremei. Autorii antici. Pitagora din Samos. Monedă cu imaginea lui Pitagora. Teorema lui Pitagora. Doctrina lui Pitagora.

„Conceptul ariei unui poligon” - Laturile adiacente ale unui paralelogram. Aria unui triunghi. Dictarea matematică. Paralelogram. Zona rombului. Conceptul de zonă de poligon. Aria dreptunghiului. Zona trapezului. Înălțimi. Zona poligoanelor. Aria unui triunghi dreptunghic. Teorema. Colt ascutit. Zona paralelogramului. Calculați aria rombului. Aflați aria unui triunghi dreptunghic. Triunghiuri. Unități de zonă.

TRIANGURI ASEMĂNATE

Gimnaziul MBOU №14

Profesor de matematică: E.D. Lazareva

Segmente de linie proporțională

Atitudine al segmentelor AB și CD se numește raportul lungimii lor, adică.

Secțiunile AB și CD proporţional segmentele A 1 B 1 şi C 1 D 1, dacă

Definirea triunghiurilor similare

Cele două triunghiuri se numesc ca, dacă unghiurile lor sunt, respectiv, egale și laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt.

Se numește numărul k, egal cu raportul laturilor similare ale triunghiurilor coeficient de similitudine

B 1

A 1

C 1

Raportul ariilor triunghiurilor similare

Raportul ariilor a două triunghiuri similare este coeficientul de similitudine pătrat

Bisectoarea unui triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente ale triunghiului.

B 1

A 1

C 1

eu

Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

 A =  A 1,  B =  B 1

Dovedi:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Semne de asemănare a triunghiurilor

II asemănarea triunghiurilor

Dacă cele două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele două laturi ale celuilalt triunghi și unghiurile dintre aceste laturi sunt egale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Dovedi:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Semne de asemănare a triunghiurilor

III asemănarea triunghiurilor

Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Dovedi:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Linia de mijloc a unui triunghi

Linia de mijloc a unui triunghi este segmentul care leagă punctele mijlocii a două laturi.

Linia de mijloc a unui triunghi

paralel cu una dintre laturile sale

și este egal cu jumătate din această latură

 ABC, MN - linie de mijloc

Dovedi:

MN  AC, MN = AC

Medianele triunghiului se intersectează într-un punct, care împarte fiecare mediană cu un raport de 2: 1, numărând de la vârf

A 1

C 1

B 1

Aplicarea similitudinii la rezolvarea problemelor

Înălțimea unui triunghi dreptunghic, desenată din vârful unghiului drept, împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghiulare similare, fiecare dintre ele similar cu acest triunghi.

 ABC  ACD,

Aplicarea similitudinii la demonstrațiile teoremei

1. Înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasă din vârful unghiului drept, este media proporțională dintre segmentele în care se împarte ipotenuza la această înălțime

Aplicarea similitudinii la demonstrațiile teoremei

2. Catemul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și segmentul ipotenuzei, cuprins între catete și înălțimea trasă din vârful unghiului drept.

1.1. Segmente proporționale Definirea triunghiurilor similare 1.2. Definirea triunghiurilor similare 1.3. Raportul ariilor triunghiurilor similare Raportul ariilor triunghiurilor similare Proprietăți de asemănare.

1.1 Segmente de linie proporțională. Raportul dintre segmentele AB și CD este raportul dintre lungimile lor, adică se spune că segmentele AB și CD sunt proporționale cu segmentele A 1 B 1 și C 1 D 1, dacă EXEMPLU 1. Secțiunile AB și CD, lungimile de care au 2 cm și 1 cm, proporționale cu segmentele A 1 B 1 și C 1 D 1, ale căror segmente sunt egale cu 3 cm și 1,5 cm. Intr-adevar,

1.2. Definiția triunghiurilor similare. În viața de zi cu zi, există obiecte de aceeași formă, dar de dimensiuni diferite, cum ar fi o minge de fotbal și de tenis, o farfurie rotundă și o farfurie mare și rotundă. În geometrie, figurile de aceeași formă sunt de obicei numite similare. Deci, oricare două pătrate, oricare două cercuri sunt similare. Să introducem conceptul de triunghiuri similare.

1.2. Definiția triunghiurilor similare. LIKE, un concept geometric care caracterizează prezența aceleiași forme în figurile geometrice, indiferent de dimensiunea acestora. Două figuri F1 și F2 sunt numite similare dacă se poate stabili o corespondență unu-la-unu între punctele lor, în care raportul distanțelor dintre orice perechi de puncte corespunzătoare figurilor F1 și F2 este egal cu aceeași constantă k, numit coeficient de similitudine. Unghiurile dintre liniile corespunzătoare ale figurilor similare sunt egale. Forme similare F1 și F2.

Definiție. Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt triunghi. Cu alte cuvinte, două triunghiuri sunt similare dacă pot fi notate cu literele ABC și A 1 B 1 C 1 astfel încât A = A 1, B = B 1, C = C 1, Numărul k, egal cu raportul dintre laturile similare ale triunghiurilor, se numeste coeficient de asemanare...

1.3. Raportul ariilor triunghiurilor similare. Teorema. Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine. Dovada. Fie triunghiurile ABC și A1B1C1 similare, iar coeficientul de asemănare este k. Să notăm cu literele S și S1 ariile acestor triunghiuri. Deoarece A = A1, atunci

Proprietăți de similitudine. Problema 2. Demonstrați că bisectoarea unui triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente ale triunghiului Rezolvare. Fie AD bisectoarea triunghiului ABC. Să demonstrăm că triunghiurile ABD și ACD au înălțimea comună AH, deci 12 A H B D C

Demonstrație: Conform teoremei privind suma unghiurilor: C = A - B, și C 1 = A 1 - B 1, atunci C = C 1. Deoarece A = A 1 și C = C 1 rezultă din aceasta: Se pare că asemănările sunt proporționale. Dat: ABC și A 1 B 1 C 1 A = A 1 B = B 1 Demonstrați: ABC A 1 B 1 C 1 A C B A1A1 B1B1 C1C1

ABC 2 A 1 B 1 C 1 (după primul criteriu), ceea ce înseamnă, pe de altă parte, din aceste egalități, AC = = AC 2. ABC = ABC 2 - pe două laturi și unghiul dintre ele (AB- partea comună, AC = AC 2 și, deoarece i). Deci și, atunci ABC A1B1C1 Dat: ABC și A 1 B 1 C 1 D-th: Demonstrație: Se consideră ABC 2, în care și

Dovada: A 1 B 1 este linia de mijloc, iar A 1 B 1 // AB, prin urmare și înseamnă AOB A 1 OV 1 (în două colțuri), apoi Dar AB = A 1 B 1, deci AO = 2A 1 O și BO = 2B 1 O. Deci punctul O- intersecția medianelor AA 1 și BB 1 împarte fiecare dintre ele în raport de 2: 1, numărând de sus. În mod similar, se demonstrează că punctul O - intersecția medianelor BB 1 și CC 1 împarte fiecare dintre ele în raport de 2: 1, numărând de sus. Deci punctul O - intersecția medianelor AA 1, BB 1 și CC 1 le împarte într-un raport de 2: 1, numărând de sus.

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont Google (cont) și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Triunghiuri similare

Figuri similare Se obișnuiește să se numească figuri similare dacă au aceeași formă (asemănătoare ca aspect).

Similaritate în viață (hărți ale zonei)

Liniile proporționale Definiție: Se spune că liniile sunt proporționale dacă sunt proporționale cu lungimea lor. 12 6 8 4 A 1 B 1 AB C 1 K 1 SC Se spune că segmentele A 1 B 1 și C 1 K 1 sunt proporționale cu segmentele AB și SK. Sunt segmentele AB și SK proporționale cu segmentele EP și NT dacă: a) AB = 15 cm, SK = 2,5 cm, EP = 3 cm, NT = 0,5 cm? b) AB = 12 cm, SK = 2,5 cm, EP = 36 cm, NT = 5 cm? c) AB = 24cm, SK = 2,5cm, EP = 12cm, NT = 5cm? da nu nu А В 6 cm С К 4 cm А 1 В 1 12 cm С 1 8 cm К 1

b Segmente proporționale Test 1. Indicați afirmația corectă: a) segmentele AB și PH sunt proporționale cu segmentele CK și ME; b) segmentele ME și AB sunt proporționale cu segmentele PH și SK; c) segmentele AB și ME sunt proporționale cu segmentele PH și SK. А В 3 cm С К 2cm М Е 9 cm Р Н 6 cm Anexă: egalitatea ME AB PH SK mai poate fi scrisă în trei egalităţi: PH SK ME AB; ME RN AB SK; AV SK ME RN.

linii proporționale 2. Test F Y Z R L S N 1 cm 2 cm 4 cm 2 cm 3 cm Care segment trebuie introdus pentru ca afirmația să fie adevărată: segmentele FY și YZ sunt proporționale cu segmentele LS și ……. a) RL; b) RS; c) SN a) RL

Segmente de linie proporțională (proprietate dorită) Bisectoarea unui triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente ale triunghiului. N dat: ABC, AK - bisectoare. Demonstrație: 1 A B K C 2 Deoarece AK este bisectoare, atunci 1 = 2, ceea ce înseamnă că AVK și ASK au un unghi egal, deci Demonstrați: VK AV KS AS S AVK S ASK AV ∙ AK AS ∙ AK AB AC AVK și ASK au o înălțime comună AH, ceea ce înseamnă că S ABK S ASK VK KC AB AC BK KC VK AV KS AS Prin urmare, Să efectuăm AN VS.

Triunghiuri similare Definiție: Se spune că triunghiurile sunt similare dacă unghiurile unui triunghi sunt egale cu unghiurile celuilalt triunghi și laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt. A 1 B 1 C 1 A B C Laturile similare din triunghiuri similare sunt laturile care se află opuse unghiurilor egale. А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1 AB ВС АС k A 1 B 1 C 1 ABC K - coeficient de similitudine ~

Triunghiuri similare A 1 B 1 C 1 A B C Proprietate dorită: A 1 = A, B 1 = B, C 1 = C, AB BC AC A 1 B 1 B 1 C 1 A 1 C 1 1 k ABC ~ A 1 B 1 C 1, - coeficient de similitudine 1 k A 1 B 1 C 1 ABC, K - coeficient de similaritate ~

Rezolvați problemele 3. Conform datelor din desen, găsiți laturile AB și B 1 C 1 ale triunghiurilor similare ABC și A 1 B 1 C 1: A B C A 1 C 1 B 1 6 3 4 2,5? ? Aflați laturile А 1 В 1 С 1, similar cu ABC, dacă AB = 6, BC = 12. AC = 9 și k = 3. 2. Aflați laturile А 1 В 1 С 1, similar cu ABC, dacă AB = 6, BC = 12. AC = 9 și k = 1/3.

Teorema 1. Raportul perimetrelor triunghiurilor similare este egal cu coeficientul de asemănare. M K E A B C Dat: MKE ~ ABC, K - coeficient de similitudine. Demonstrați: R MKE: P ABC = k Demonstrați: K, MK AB KE VS ME AS Deci, MK = k ∙ AB, KE = k ∙ VS, ME = k ∙ AS. Deoarece conform condiției MKE ~ ABC, k este coeficientul de similitudine, atunci P MKE = MK + KE + ME = k ∙ AB + k ∙ BC + k ∙ AC = k ∙ (AB + BC + AC) = k ∙ R ABC. Prin urmare, P MKE: P ABC = k.

Teorema 2. Raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul coeficientului de asemănare a. M K E A B C Dat: MKE ~ ABC, K - coeficient de similitudine. Demonstrați: S MKE: S ABC = k 2 Demonstrarea: Deoarece conform condiției MKE ~ ABC, k este coeficientul de asemănare, atunci M = A, k, MK AB ME AC înseamnă MK = k ∙ AB, ME = k ∙ AC . S MKE S ABC MK ∙ ME AB ∙ AC k ∙ AB ∙ k ∙ АС AB ∙ АС k 2

Rezolvați problemele Două laturi similare ale triunghiurilor similare au 8 cm și 4 cm.Perimetrul celui de-al doilea triunghi este de 12 cm.Care este perimetrul primului triunghi? 24 cm 2. Două laturi similare ale triunghiurilor similare sunt de 9 cm și 3 cm. Aria celui de-al doilea triunghi este de 9 cm 2. Care este aria primului triunghi? 81 cm 2 3. Două laturi similare ale triunghiurilor similare sunt de 5 cm și 10 cm. Aria celui de-al doilea triunghi este de 32 cm 2. Care este aria primului triunghi? 8 cm 2 4. Arii a două triunghiuri similare sunt 12 cm 2 și 48 cm 2. Una dintre laturile primului triunghi are 4 cm.Care este latura similară a celui de-al doilea triunghi? 8 cm

Rezolvarea problemei Arii a două triunghiuri similare sunt de 50 dm 2 și 32 dm 2, suma perimetrelor lor este de 117 dm 2. Aflați perimetrul fiecărui triunghi. Aflați: P ABC, P REC Rezolvare: Deoarece prin condiție triunghiurile ABC și REC sunt similare, atunci: Având în vedere: ABC, REC sunt similare, S ABC = 50 dm 2, S REC = 32 dm 2, P ABC + P REC = 117dm. S ABC S REK 50 32 25 16 K 2. Prin urmare, k = 5 4 K, P ABC P REC P ABC P REC 5 4 1.25 Deci, P ABC = 1.25 R REC Fie P ABC = x dm, apoi P ABC = 1.25 x dm T. k prin condiția P ABC + P REK = 117 dm, apoi 1,25 x + x = 117, x = 52. Deci, P REK = 52 dm, P ABC = 117 - 52 = 65 (dm). Răspuns: 65 dm, 52 dm.

„Matematica trebuie predată abia atunci, că pune mintea în ordine” MV Lomonosov Îți doresc succes în studii! Mihailova L.P. GOU TsO nr. 173.