F x 3x 2 este primitiv. Funcția și vizualizarea generală

Lecția și prezentarea pe subiect: "Funcția pred-ca fiind graficul funcțiilor"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să părăsiți comentariile, recenzii, dorințe! Toate materialele sunt verificate de programul antivirus.

Manuale de instruire și simulatoare în magazinul online "Integral" pentru clasa 11
Sarcini algebrice cu parametri, 9-11 clase
"Sarcini interactive pentru construirea în spațiu pentru orele de 10 și 11 clase"

Funcția de imprimare. Introducere

Băieți, puteți găsi funcții derivate utilizând diverse formule și reguli. Astăzi vom învăța operațiunea de a inversa derivatul. Conceptul de derivat este adesea folosit viata reala. Permiteți-mi să vă reamintesc: un derivat este viteza schimbării funcției la un punct specific. Procesele asociate cu mișcarea și viteza sunt bine descrise în acești termeni.

Să luăm în considerare această sarcină: "Viteza mișcării obiectului, într-o linie dreaptă, este descrisă de Formula $ V \u003d GT $. Este necesar să restabilească legea mișcării.
Decizie.
Știm bine o formulă: $ s "\u003d v (t) $, unde este legea mișcării.
Sarcina noastră este redusă la căutarea funcției $ s \u003d s (t) $, derivatele căruia este $ GT $. Privind cu atenție, puteți ghici că $ s (t) \u003d \\ frac (G * t ^ 2) (2) $.
Vom verifica corectitudinea soluționării acestei probleme: $ s "(t) \u003d (\\ t ^ 2) (2))" \u003d \\ frac (g) (2) * 2t \u003d g * t $.
Cunoașterea funcției derivate, am găsit funcția în sine, adică au efectuat o operațiune inversă.
Dar merită acordarea atenției acestui moment. Soluția sarcinii noastre necesită clarificări Dacă funcția găsită este adăugată la orice număr (constant), valoarea derivatului nu se va schimba: $ s (t) \u003d \\ frac (g * t ^ 2) (2) + c, C \u003d const $.
$ S "(t) \u003d (\\ frac (g * t ^ 2) (2))" + c "\u003d g * t + 0 \u003d g * t $.

Băieți, vă rugăm să rețineți: Sarcina noastră are un set infinit de soluții!
Dacă sarcina nu este specificată, inițială sau altă afecțiune, nu uitați să adăugați o constantă la soluție. De exemplu, în sarcina noastră, poziția corpului nostru de la începutul mișcării poate fi stabilită. Apoi, nu este dificil să se calculeze constanta, substituind zero la ecuația rezultată, obținem valoarea constantă.

Care este numele unei astfel de operații?
Operarea Diferențierea inversă se numește integrare.
Găsirea unei funcții pentru o anumită derivată - integrare.
Funcția însăși va fi numită primitivă, adică imaginea, apoi a fost obținută funcția derivată.
Primul care înregistrează litera mare $ y \u003d f "(x) \u003d f (x) $.

Definiție. Funcția $ y \u003d f (x) $ se numește funcția primitivă $ y \u003d f (x) $ în decalaj, în cazul în care egalitatea $ f '(x) \u003d f (x) $ este efectuată pentru orice $ xεx $.

Să facem un tabel primitiv pentru funcții diferite. Trebuie să fie tipărită ca o notă și învățare.

În masa noastră acolo condiții inițiale Nu a fost setat. Aceasta înseamnă că fiecare expresie din partea dreaptă a mesei ar trebui să adauge o constantă. Mai târziu, clarificăm această regulă.

Reguli de constatare primară

Să scriem câteva reguli care să ne ajute la găsirea primitivă. Toate acestea sunt similare cu regulile de diferențiere.

Regula 1. Cantitatea de primă formă este egală cu cantitatea de primitivă. $ F (x + y) \u003d f (x) + f (y) $.

Exemplu.
Găsiți primul care funcționează $ y \u003d 4x ^ 3 + cos (x) $.
Decizie.
Cantitatea de primă formă este egală cu cantitatea de primitivă, atunci este necesar să se găsească un primar pentru fiecare dintre caracteristicile prezentate.
$ F (x) \u003d 4x ^ 3 $ \u003d\u003e $ f (x) \u003d x ^ $ 4.
$ f (x) \u003d cos (x) $ \u003d\u003e $ f (x) \u003d păcat (x) $.
Apoi funcția sursă primitivă va fi: $ y \u003d x ^ 4 + păcat (x) $ sau orice funcție de tip $ y \u003d x ^ 4 + păcat (x) + c $.

Regula 2. Dacă $ F (x) $ este un primitiv pentru $ f (x) $, apoi $ k * f (x) $ este un primitiv pentru funcția $ k * F (x) $. (Coeficientul poate suporta în siguranță funcția).

Exemplu.
Găsiți funcții primare:
a) $ y \u003d 8sin (x) $.
b) $ y \u003d - \\ frac (2) (3) cos (x) $.
c) $ y \u003d (3x) ^ 2 + 4x + $ 5.
Decizie.
a) primar pentru $ păcat (x) $ este minus $ cos (x) $. Apoi funcția sursă primitivă ia forma: $ y \u003d -8COS (x) $.

B) primar pentru $ cos (x) $ este $ păcat (x) $. Apoi funcția sursă primitivă ia forma: $ y \u003d - \\ frac (2) (3) păcat (x) $.

C) Primul pentru $ x ^ 2 $ servește $ \\ frac (x ^ 3) (3) $. Primul pentru x este $ \\ frac (x ^ 2) (2) $. Pinlu pentru 1 servește X. Apoi funcția sursă primitivă va lua forma: $ y \u003d 3 * \\ frac (x ^ 3) (3) + 4 * \\ frac (x ^ 2) (2) + 5 * x \u003d x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x $.

Regula 3. Dacă $ y \u003d f (x) $ este o valoare primitivă pentru funcția $ y \u003d f (x) $, apoi primul pentru funcția $ y \u003d f (kx + m) $ este funcția $ y \u003d \\ frac ( 1) (k) * f (kx + m) $.

Exemplu.
Găsiți următoarele funcții următoare:
a) $ y \u003d cos (7x) $.
b) $ y \u003d păcat (\\ frac (x) (2)) $.
c) $ y \u003d (- 2x + 3) ^ $ 3.
d) $ y \u003d e ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $.
Decizie.
a) primar pentru $ cos (x) $ este $ păcat (x) $. Apoi prima funcție $ y \u003d cos (7x) $ va fi funcția $ y \u003d \\ frac (1) (7) * păcat (7x) \u003d \\ frac (păcat (7x)) (7) $.

B) Un primar pentru $ păcat (x) $ este minus $ cos (x) $. Apoi, primul care funcționează $ y \u003d păcat (\\ frac (x) (2)) $ va fi funcția $ y \u003d - \\ frac (1) (\\ frac (1) (2)) cos (\\ frac (x) (2)) \u003d - 2COS (\\ frac (x) (2)) $.

C) primitivul pentru $ x ^ 3 $ este $ \\ frac (x ^ 4) (4) $, apoi funcția sursă primitivă este $ y \u003d - \\ frac (1) (2) * \\ frac ((- 2x + 3)) ^ 4) (4) \u003d - \\ frac (((- 2x + 3) ^ 4) (8) $.

D) simplifică ușor expresia la gradul de $ \\ frac (2x + 1) (5) \u003d \\ frac (2) (5) x + \\ frac (1) (5) $.
Funcția exponențială primară este ea însăși functie exponentiala. Funcția sursă primitivă va fi $ y \u003d \\ frac (1) (\\ frac (2) (5)) e ^ (\\ frac (2) (5) x + \\ frac (1) (5)) \u003d \\ frac ( 5) (2) * E ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $.

Teorema. Dacă $ y \u003d f (x) $ este un $ $ pentru funcția $ y \u003d f (x) $ la interval, atunci funcția este $ y \u003d f (x) $ este infinit de multe primitive, și toate au a Formați $ y \u003d f (x) + cu $.

Dacă în toate exemplele care au fost considerate mai sus, ar fi necesar să se găsească mulți foarte primitivi, apoi peste tot ar urma constanta S.
Pentru funcția $ y \u003d cos (7x) $, toate primele care au forma: $ y \u003d \\ frac (păcat (7x)) (7) + c $.
Pentru funcția $ y \u003d (- 2x + 3) ^ 3 $, toate primele care au forma: $ y \u003d - \\ frac ((- 2x + 3) ^ 4) (8) + c $.

Exemplu.
Conform legii date de schimbare a corpului corpului din când în când $ V \u003d -3sin (4T) $, pentru a găsi legea mișcării $ s \u003d s (t) $, dacă organismul a avut o coordonată de 1.75 în momentul inițial al timpului.
Decizie.
Deoarece $ v \u003d s '(t) $, trebuie să găsim o viteză primitivă.
$ S \u003d -3 * \\ frac (1) (4) (- cos (4t)) + c \u003d \\ frac (3) (4) cos (4t) + c $.
În această sarcină, este dată o condiție suplimentară - momentul inițial al timpului. Aceasta înseamnă că $ t \u003d 0 $.
$ S (0) \u003d \\ frac (3) (4) cos (4 * 0) + c \u003d \\ frac (7) (4) $.
$ \\ Frac (3) (4) cos (0) + c \u003d \\ frac (7) (4) $.
$ \\ Frac (3) (4) * 1 + c \u003d \\ frac (7) (4) $.
$ C \u003d 1 $.
Apoi, legea mișcării este descrisă cu formula: $ s \u003d \\ frac (3) (4) cos (4t) + 1 $.

Sarcini pentru soluții de sine

1. Găsiți funcții primare:
a) $ y \u003d -10sin (x) $.
b) $ y \u003d \\ frac (5) (6) cos (x) $.
c) $ y \u003d (4x) ^ 5 + (3x) ^ 2 + 5x $.
2. Găsiți următoarele funcții:
a) $ y \u003d cos (\\ frac (3) (4) x) $.
b) $ y \u003d păcat (8x) $.
c) $ y \u003d ((7x + 4)) ^ $ 4.
d) $ y \u003d e ^ (\\ frac (3x + 1) (6)) $.
3. În conformitate cu legea dată de schimbare a corpului corpului din când în când $ V \u003d 4COS (6T) $ pentru a găsi legea de mișcare $ s \u003d s (t) $, dacă organismul are o coordonată de 2 la momentul inițial al timpului.

Soluția de integrare este sarcina este ușoară, dar numai pentru cei aleși. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integriile, dar nu știe nimic despre ei sau aproape nimic. Integral ... De ce este necesar? Cum să-l calculezi? Ce este un anumit și nedefinit integrat? Dacă singura aplicație integrală cunoscută este să obțineți un croșetat sub formă de pictogramă integrală, ceva util din locurile greu accesibile, apoi bun venit! Aflați cum să rezolvați integrale și de ce fără ea este imposibil de făcut.

Studiem conceptul de "integral"

Integrarea a fost cunoscută încă în Egiptul antic. Desigur, nu în video modern., dar inca. De atunci, Matematica a scris o mulțime de cărți pe această temă. Deosebit de distinse Newton. și Leibnits. Dar esența lucrurilor nu sa schimbat. Cum să înțelegeți integralele de la zero? În niciun caz! Pentru a înțelege acest subiect, cunoașterea de bază a bazelor de analiză matematică va avea nevoie încă. Informații despre cele necesare și pentru înțelegerea integrelor, avem deja în blogul nostru.

Intecer integrat

Să avem un fel de funcție f (x) .

Funcție integrată incertă f (x) Această caracteristică este numită F (x) , al cărui derivat este egal cu funcția f (x) .

Cu alte cuvinte, integralul este un derivat dimpotrivă sau primitiv. Apropo, despre cum să citiți în articolul nostru.

Predictive există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, semnul constant este adesea adăugat la primar, deoarece derivații diferă în coincide constantă. Procesul de găsire a integrării se numește integrare.

Simplu exemplu:

Pentru a nu calcula în mod constant funcțiile elementare primitive, este convenabil să le conduceți în tabel și să utilizați valorile gata făcute.

Masa completă integrală pentru studenți

Anumite integrale

Având o înțelegere cu conceptul de integrare, avem de-a face cu valori infinit de mici. Integralul va ajuta la calcularea figurii figurii, a trecut masa corpului inhomogene mișcare neuniformă Calea și mai mult. Trebuie amintit că integrale este suma numărului infinit de mare de termeni infinit de mici.

De exemplu, imaginați-vă un program al unei anumite funcții. Cum să găsiți o zonă de cifre limitate de un grafic al funcției?

Cu ajutorul integratului! Împărțim trapezul curbiliniar, limitat de axele de coordonate și graficul funcției, pe segmente infinit mici. Astfel, cifra va fi împărțită în coloane subțiri. Suma zonei coloanelor va fi zona trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat exemplar. Cu toate acestea, cu atât segmentele mai mici vor fi deja, cu atât mai exactă va fi calculul. Dacă le reducem într-o asemenea măsură încât lungimea se va strădui pentru zero, cantitatea de segmente se va strădui pentru zona figurii. Acesta este un anumit integral care este scris după cum urmează:

Punctele A și B se numesc limite de integrare.

Baria Alibasov și grupul "Integral"

Apropo! Pentru cititorii noștri acum există o reducere de 10%

Reguli pentru calcularea integrelor pentru manechine

Proprietățile unui integrat incert

Cum de a rezolva un integral nedefinit? Aici vom lua în considerare proprietățile unui integrat incert, care vor fi utile la rezolvarea exemplelor.

Derivatul integral este egal cu funcția Integrand:

Constata poate fi făcută din semnul integral:

Integralul din sumă este egal cu cantitatea de integrale. De asemenea, pentru diferența:

Proprietățile unui anumit integral

Linearitate:

Semnul integrat se modifică dacă limitele de integrare sunt schimbate:

Pentru orice Puncte a., b. și din:

Am aflat deja că un anumit integral este limita sumei. Dar cum să obțineți o valoare specifică la rezolvarea exemplului? Pentru aceasta, există o formulă Newton-Leibnic:

Exemple de soluții de integrare

Mai jos vor lua în considerare câteva exemple de găsire a integrelor incerte. Vă sugerăm să înțelegem în mod independent subtilitățile soluției, iar dacă ceva este incomprehensibil, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a asigura materialul, a se vedea videoclipul despre modul în care sunt rezolvate integrale în practică. Nu disperați dacă integralul nu este dat imediat. Contactați serviciul dvs. profesional pentru studenți, iar orice integrare triplă sau curbilineară pe o suprafață închisă va deveni forțe.

Definiția primitivă.

Funcția primitivă f (x) de pe interval (A; b) se numește o astfel de funcție f (x), care este efectuată pentru orice x din spațiul specificat.

Dacă luați în considerare faptul că derivatul constant C este zero, atunci egalitatea are dreptate . Astfel, funcția F (x) are multe materiilor primitive F (X) + C, pentru o constantă arbitrară C, iar aceste primele formate diferă unul de celălalt într-o valoare constantă arbitrară.

Definiția unui integral nedefinit.

Toate multe funcții primare F (x) sunt numite intecer integrat Această funcție este indicată .

Expresia este chemată o expresie concretă, și f (x) - funcție integrată. Integranda este funcția diferențială f (x).

Acțiunea de a găsi o funcție necunoscută în funcție de diferențialul său definit se numește incert Integrare, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție f (x), dar setul de primitiv F (x) + c.

Pe baza proprietăților derivatului, puteți formula și dovedi proprietățile unui integrat incert (Proprietăți în formă de proph).

Interimarea egală cu prima și a doua proprietate a unui integral incert sunt date explicației.

Pentru a dovedi proprietățile a treia și a patra, este suficient să se găsească derivați din partea dreaptă a egalității:

Acești derivați sunt egali cu funcțiile inhibitoare, care sunt dovezi în virtutea primei proprietăți. Se utilizează în ultimele tranziții.

Astfel, sarcina de integrare este problema diferențierii inverse și există o relație foarte strânsă între aceste sarcini:

prima proprietate vă permite să verificați integrarea. Pentru a verifica corectitudinea integrării efectuate, este suficient să se calculeze derivatul rezultatului obținut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii va fi egală cu funcția Integrand, acest lucru va însemna că integrarea se efectuează corect;
a doua proprietate a unui integral nedefinit vă permite să găsiți funcția sa primitivă pe o diferență bine-cunoscută. Pe această proprietate, se bazează calculul direct al integrelor incerte.

Luați în considerare un exemplu.

Exemplu.

Găsiți o funcție primitivă a cărei valoare este unită la X \u003d 1.

Decizie.

Știm din calculul diferențial (Este suficient să priviți derivații de masă ai principalelor funcții elementare). În acest fel, . Potrivit celei de-a doua proprietăți . Adică, avem multe primitive. La X \u003d 1, avem o valoare. Cu condiție, această valoare ar trebui să fie egală cu una, prin urmare, c \u003d 1. Primitivul dorit va arunca o privire.

Exemplu.

Găsiți un integral nedefinit Și rezultatul verifică diferențierea.

Decizie.

Conform formulei sinusiste a unui unghi dublu de trigonometrie , asa de

Una dintre diferențierea operațiunilor este fundamentul instrumentului derivat (diferențial) și aplicarea funcțiilor studiului.

Nu mai puțin important este sarcina opusă. Dacă comportamentul funcției este cunoscut în vecinătatea fiecărui punct al determinării sale, atunci cum să restabiliți funcția ca întreg, adică. În întreaga zonă a definiției sale. Această sarcină este subiectul studiat așa-numitul calcul integrat.

Integrarea este efectul diferențierii inverse. Sau restabilirea funcției F (x) pentru acest derivat F` (x). Cuvântul latin "Intero" înseamnă recuperare.

Exemplu №1..

Fie (f (x)) "\u003d 3x 2. Găsiți f (x).

Decizie:

Bazându-se pe regulile de diferențiere, nu este dificil să ghiciți că F (x) \u003d x 3, pentru

(x 3) '\u003d 3x 2 Cu toate acestea, se poate observa cu ușurință că F (x) este ambiguă. Ca F (x), puteți lua f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3, etc.

pentru că Derivatorul fiecăruia este 3X 2. (Constanta derivată este 0). Toate aceste funcții diferă de ceilalți termeni constanți. prin urmare decizia comună Sarcinile pot fi scrise sub formă de F (x) \u003d x 3 + C, unde c este orice număr valabil constant.

Oricare dintre funcțiile găsite F (x) este numită În formă de predo Pentru funcția f` (x) \u003d 3x 2

Definiție.

Funcția f (x) este numită primitivă pentru funcția f (x) la spațiul specificat J, dacă pentru toate x din acest spațiu F` (x) \u003d f (x). Astfel încât funcția f (x) \u003d x 3 este primitivă pentru f (x) \u003d 3x2 pe (- ∞; ∞). Deoarece, pentru toate x ~ r, egalitatea este adevărată: F` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

După cum am observat deja, această funcție are un set infinit de primitiv.

Exemplul nr. 2.

Funcția este primitivă pentru toate pe intervalul (0; + ∞), deoarece Pentru toate h din acest decalaj, se efectuează egalitatea.

Sarcina de integrare este de a găsi toate funcțiile sale primitive pentru o anumită funcție. În rezolvarea acestei sarcini, următoarea declarație joacă un rol important:

Semnul funcției constante. Dacă f "(x) \u003d 0 la unele goluri i, atunci funcția f este permanentă la acest interval.

Dovezi.

Fixați unele x 0 din spațiul I. Apoi, pentru orice număr de un astfel de decalaj datorită formulei Lagrange, puteți specifica un astfel de număr C închis între x și x 0

F (x) - f (x 0) \u003d f "(c) (x - x 0).

Sub starea f '(c) \u003d 0, deoarece cu ∈1, prin urmare,

F (x) - f (x 0) \u003d 0.

Deci, pentru toți x de la intervalul I

t e. Funcția F păstrează o valoare constantă.

Toate funcțiile primitive f pot fi scrise cu o singură formulă numită vedere comună a primului la funcții f. Fair Următoarea teoremă ( proprietatea de bază este primitivă):

Teorema. Orice mai întâi pentru funcția F la intervalul pot fi înregistrat ca

F (x) + c, (1) unde f (x) este una dintre funcțiile primitive f (x) la intervalul I și C este o constantă arbitrară.

Să explicăm această afirmație în care două proprietăți sunt formulate pe scurt:

indiferent de numărul de punere în expresia (1) în loc să utilizați, primim un primitiv pentru f în intervalul I;
oricare ar fi primitiv F pentru F pentru intervalul de care nu iau, puteți ridica un astfel de număr C că pentru toți X din intervalul I vor fi făcute egalitatea

Dovezi.

Cu condiție, funcția f este un primitiv pentru F la intervalul I. Prin urmare, f "(x) \u003d f (x) pentru orice x∈1, prin urmare (F (x) + c)" \u003d f "(x) + C "\u003d F (x) + 0 \u003d F (x), adică F (x) + C este primitiv pentru funcția f.
Fie f (x) una dintre funcțiile primitive pentru funcția f la același gol i, adică f "(x) \u003d f (x) pentru toate x∈i.

Apoi (f (x) - f (x)) "\u003d f" (x) -f '(x) \u003d f (x) -f (x) \u003d 0.

De aici urmează. Forța unui semn al constanței funcționează că diferența F (X) - F (x) este o funcție care necesită o valoare constantă din intervalul I.

Astfel, pentru toate X din decalajul I, egalitatea F (x) - F (x) \u003d C, care trebuia să demonstreze. Proprietatea principală a proprietății primare poate fi dată sensul geometric: graficele oricărei două funcții primitive sunt obținute unul de celălalt prin transferul paralel de-a lungul axei OU.

Întrebări la abstract

Funcția F (x) este un primitiv pentru funcția f (x). Găsiți F (1) dacă F (x) \u003d 9x2 - 6x + 1 și F (-1) \u003d 2.

Găsiți toate cele mai importante la funcții

Pentru o funcție (X) \u003d COS2 * SIN2X, găsiți primitivul F (X) dacă F (0) \u003d 0.

Pentru o funcție, găsiți primitivul, al cărui grafic trece prin punct

Pentru fiecare acțiune matematică există un efect opus. Pentru diferențiere (găsirea funcțiilor derivate), există și acțiune inversă - Integrare. Prin integrare, acestea sunt găsite (restabilite) funcția în funcție de derivatul sau diferențialul său. Funcția găsită este numită În formă de predo.

Definiție. Funcție diferențială F (x) Numit primitiv pentru funcția F (x) La un anumit interval, dacă pentru toți h. Egalitatea este corectă din acest decalaj: F '(x) \u003d f (x).

Exemple. Găsiți funcții primare: 1) F (x) \u003d 2x; 2) f (x) \u003d 3cos3x.

1) Deoarece (x²) '\u003d 2x, prin definiție, funcția f (x) \u003d x² va fi primitivă pentru funcția f (x) \u003d 2x.

2) (SIN3X) '\u003d 3COS3X. Dacă desemnați F (x) \u003d 3COS3X și F (X) \u003d SIN3X, atunci, prin definiție, este primitiv, avem: f '(x) \u003d f (x), și, înseamnă F (x) \u003d SIN3X este un primitiv pentru f (x) \u003d 3cos3x.

Rețineți că și (SIN3X +5 )′= 3COS3X., și (SIN3X -8,2 )′= 3COS3X.... În general, puteți scrie: (SIN3X + S.)′= 3COS3X.Unde DIN - o anumită valoare permanentă. Aceste exemple indică ambiguitatea acțiunii de integrare, spre deosebire de acțiunea de diferențiere, atunci când orice funcție diferențiată, există un singur derivat.

Definiție. Dacă funcția. F (x) este o funcție primară pentru f (x) La un interval, apoi setul de toate primar Aceste caracteristici este:

F (x) + cunde c este orice număr valid.

Combinația tuturor funcției primitive F (X) + C F (X) pe intervalul examinat este numită integrală incertă și indicată de simbol ∫ (semn integrat). Record: ∫F (x) dx \u003d f (x) + c.

Expresie ∫F (x) dx Ei citesc: "Integralul EF de la x pe de x".

f (x) dx - concrentist,

f (x) - funcția integrat,

h. - Integrare variabilă.

F (x) - Perfect pentru funcția f (x),

DIN - o anumită valoare permanentă.

Acum, exemplele considerate pot fi scrise după cum urmează:

1) ∫ 2xdx \u003d x² + c. 2) ∫ 3COS3XDX \u003d SIN3X + C.

Ce înseamnă semnul D?

d - Semnul diferențial - are un scop dublu: În primul rând, acest semn separă funcția integrată din variabila de integrare; În al doilea rând, tot ceea ce stă după ce acest semn este implicit diferit și înmulțit de funcția Integrand.

Exemple. Găsiți integral: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) După pictograma diferențială d. merită h. H., dar r.

∫ 2Khrdx \u003d px² + p. Comparați cu exemplul 1).

Sa verificam. F '(x) \u003d (px² + c)' \u003d p · (x²) '+ c' \u003d p · 2x \u003d 2px \u003d f (x).

4) După pictograma diferențială d. merită r.. Deci, variabila de integrare R., și multiplicatorul h. Ar trebui considerată o anumită valoare constantă.

∫ 2Hrdr \u003d ² + s. Comparați cu exemplele 1) și 3).

Sa verificam. F '(p) \u003d (p²x + c)' \u003d x · (p²) '+ c' \u003d x · 2p \u003d 2px \u003d f (p).