Vizualizați ecuația.

Expresie D. \u003d B. 2 - 4 AC. Apel discriminator ecuația pătrată. În cazul în care un D. \u003d 0, ecuația are o rădăcină valabilă; Dacă D. \u003e 0, ecuația are două rădăcini valide.
În cazul în care D. = 0 Uneori spun că ecuația pătrată are două rădăcini identice.
Folosind desemnarea D. \u003d B. 2 - 4 AC. , puteți rescrie formula (2) ca

În cazul în care un B. \u003d 2 K. Formula (2) ia forma:

unde K. \u003d B. / 2 .
Ultima formulă este deosebit de convenabilă în cazurile în care B. / 2 - Integer, adică coeficient B. - număr par.
Exemplul 1: Rezolvați ecuația 2 X. 2 - 5 X. + 2 = 0 . Aici a \u003d 2, B \u003d -5, C \u003d 2. Avea D. \u003d B. 2 - 4 AC. = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . La fel de D. > 0 , Ecuația are două rădăcini. Găsiți-le cu formula (2)

asa de X. 1 \u003d (5 + 3) / 4 \u003d 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
adică X. 1 = 2 și X. 2 = 1 / 2 - Rădăcinile ecuației specificate.
Exemplul 2: Rezolvați ecuația 2 X. 2 - 3 X. + 5 = 0 . Aici a \u003d 2, B \u003d -3, C \u003d 5. Noi găsim discriminator D. \u003d B. 2 - 4 AC. = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . La fel de D. 0 Ecuația nu are rădăcini valide.

Ecuații incomplete pătrate. Dacă în ecuația pătrată TOPOR. 2 + Bx. + C. =0 Al doilea coeficient B. sau pula liberă C. egală cu zero, atunci ecuația pătrată este numită incomplet. Ecuațiile incomplete sunt izolate deoarece pentru a-și găsi rădăcinile, este posibil să nu se utilizeze formula rădăcină a ecuației pătrate - este mai ușor să rezolvați ecuația prin metoda de descompunere a părții stângi a factorilor.
Exemplul 1: Rezolvați ecuația 2 X. 2 - 5 X. = 0 .
Avea X. (2 x. - 5) = 0 . Ori X. = 0 fie 2 X. - 5 = 0 , adică X. = 2.5 . Deci, ecuația are două rădăcini: 0 și 2.5
Exemplul 2: Rezolvați ecuația 3 X. 2 - 27 = 0 .
Avea 3 X. 2 = 27 . În consecință, rădăcinile acestei ecuații - 3 și -3 .

Teorema Vieta. Dacă ecuația pătrată redusă X. 2 + px. + Q. =0 are rădăcini valide, atunci suma lor este egală - P. , iar lucrarea este egală Q. , adică

x 1 + x 2 \u003d -P,
x 1 x 2 \u003d q

(Suma rădăcinilor ecuației pătrate este egală cu cel de-al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu un membru liber).

ÎN societate modernă Abilitatea de a efectua acțiuni cu ecuațiile care conțin variabila ridicată în piață poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizat pe scară largă în practică în domeniul științific și evoluții tehnice. Dovada acestui lucru poate servi designul vaselor marine și fluviale, aeronavelor și rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, traiectoriile mișcării diferitelor corpuri, inclusiv obiectele spațiale. Exemple cu decizia ecuații pătrate. Găsiți aplicații nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția de clădiri, dar și în cele mai obișnuite circumstanțe de zi cu zi. Acestea pot fi necesare în campanii turistice, în sport, în magazinele comerciale și în alte situații foarte frecvente.

Ne rupem expresia pe componentele multiplicatorilor

Gradul de ecuație este determinat de valoarea maximă a gradului în variabilă, care conține această expresie. În cazul în care acesta este 2, atunci o astfel de ecuație este doar chemată pătrată.

Dacă limba formulelor exprimă, atunci expresiile indicate, indiferent de modul în care arată, pot fi întotdeauna cauzate de forma atunci când partea stângă a expresiei constă din trei termeni. Dintre acestea: AX 2 (adică variabila ridicată într-un pătrat cu coeficientul său), BX (necunoscut fără un pătrat cu coeficientul său) și C (componentă liberă, care este numărul obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care nu există nici o componentă a termenilor, cu excepția axului 2, se numește o ecuație pătrată incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de sarcini, valoarea variabilelor în care este ușor de găsit, ar trebui luată în considerare în primul rând.

Dacă expresia apare în formular se uită în așa fel încât două, mai precis, axa 2 și bx, expresia de pe expresia de pe partea dreaptă, este mai ușor de găsit o variabilă pentru paranteze. Acum, ecuația noastră va arăta astfel: x (ax + b). Apoi, devine evident că sau x \u003d 0 sau sarcina este redusă la găsirea unei variabile din următoarea expresie: AX + B \u003d 0. A dictat una dintre proprietățile de multiplicare. Regula spune că produsul a doi factori dă ca rezultat al 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x \u003d 0 sau 8x - 3 \u003d 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest tip pot descrie mișcarea corpurilor sub influența gravitației, care a început mișcarea dintr-un anumit punct adoptat la începutul coordonatelor. Aici, înregistrarea matematică ia următoarea formă: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Înlocuirea valorilor necesare, echivalând partea dreaptă 0 și găsirea unor posibile necunoscute, puteți afla timpul care trece din momentul creșterii corpului până la cădere, precum și multe alte valori. Dar vom vorbi mai târziu.

Descompunerea expresiei asupra multiplicatorilor

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea sarcinilor specificate și în cazuri mai complexe. Luați în considerare exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătrate de acest tip.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Acest triplu patrat este complet. Pentru a începe cu, transformăm expresia și descompun-o pentru multiplicatori. Acestea sunt obținute două: (X-8) și (X-25) \u003d 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemple cu soluționarea ecuațiilor pătrate în clasa 9 permit această metodă să găsească o variabilă în expresii nu numai a doua, ci chiar și a treia și a patra ordine.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Cu descompunerea părții drepte a multiplicatorilor cu o variabilă, acestea sunt obținute trei, adică (x + 1), (x-3) și ( X + 3).

Ca rezultat, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -unu; 3.

Extrage rădăcină pătrată

Un alt caz al ecuației incomplete a celei de-a doua ordine este expresia, în limba literelor prezentate în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele Axului 2 și C. Aici, pentru valoarea variabilei, membrul liber este transferat la partea dreapta, iar apoi din ambele părți ale egalității sunt extrase rădăcină pătrată. Trebuie remarcat faptul că, în acest caz, rădăcinile ecuației de obicei două. O excepție poate fi egală numai cu egalitatea, în general care nu conține termenul C, în cazul în care variabila este zero, precum și opțiunile pentru expresiuni, când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, soluțiile nu există deloc, deoarece acțiunea de mai sus nu poate fi produsă cu rădăcini. Trebuie luate în considerare exemple de soluții de ecuații pătrate de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi -4 și 4.

Calculul unui teren de teren

Nevoia de astfel de calcule a apărut în antichitate profundă, deoarece dezvoltarea matematicii în multe privințe în acele vremuri îndepărtate se datorează necesității de a determina cea mai mare precizie a zonei și a perimetrului terenurilor.

Exemple cu rezolvarea ecuațiilor pătrate elaborate pe baza sarcinilor de acest tip ar trebui să fie luate în considerare.

Deci, să spunem că există un teren dreptunghiular, lungimea căreia este de 16 metri mai mult decât lățimea. Ar trebui să se găsească o lungime, lățime și perimetru al site-ului, dacă se știe că zona sa este egală cu 612 m 2.

Pornind o chestiune, mai întâi face ecuația necesară. Denotă de x lățimea site-ului, apoi lungimea sa va fi (x + 16). Din scris rezultă că zona este determinată de expresia X (X + 16), care, în funcție de starea problemei noastre, este de 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) \u003d 612.

Soluția ecuațiilor pătrate complete și această expresie este tocmai aceia, nu poate fi efectuată în același mod. De ce? Deși partea stângă a acestuia conține încă doi factori, produsul nu este deloc egal cu 0, astfel încât alte metode sunt folosite aici.

Discriminator

În primul rând, vom produce convertirea necesară, atunci apariția acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Aceasta înseamnă că avem o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătrate prin intermediul discriminatorului. Aici, calculele necesare sunt realizate conform schemei: D \u003d B 2 - 4AC. Această valoare auxiliară nu face doar posibilă găsirea valorilor dorite în ecuația a doua comenzi, determină numărul opțiuni posibile. În cazul d\u003e 0, există două; Când D \u003d 0, există o singură rădăcină. În cazul D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminatorul este: 256-4 (-612) \u003d 2704. Acest lucru sugerează că există răspunsul din sarcina noastră. Dacă știți, K, soluția de ecuații pătrate trebuie să fie continuată utilizând formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că, în cazul prezentat: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. A doua versiune din această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în valori negative, înseamnă X (adică lățimea site-ului) este de 18 m. De aici, calculează lungimea: 18 + 16 \u003d 34 și perimetrul 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Exemple și obiective

Continuăm să studiem ecuațiile pătrate. Exemple și o soluție detaliată a mai multor dintre aceștia vor fi administrate în continuare.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Transferim totul în partea stângă a egalității, vom face o transformare, adică obținem forma ecuației numită standard și o egalizăm cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

După pliere, definim discriminatorul: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Deci, ecuația noastră va avea două rădăcini. Calculăm-le în funcție de formula de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele este de 4/3, iar al doilea.

2) Acum dezvăluie ghicitul unui alt fel.

Aflați, există vreo rădăcină aici x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Pentru a obține un răspuns cuprinzător, oferim un polinom pentru familiaritatea adecvată și calculul discriminatorului. În exemplul specificat, soluția ecuației pătrate nu este necesară, deoarece esența sarcinii nu este deloc acest lucru. În acest caz, D \u003d 16 - 20 \u003d 4, ceea ce înseamnă că nu există nici o rădăcină.

Teorema Vieta.

Ecuațiile pătrate sunt soluționate convenabil prin formulele de mai sus și discriminante atunci când rădăcina pătrată este extrasă din ultima valoare. Dar nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține variabile în acest caz. Exemplu: Soluții de ecuații pătrate pe teorema Vieta. Ea este numită după care a trăit în secolul al XVI-lea în Franța și a făcut o carieră strălucită datorită talentului său matematic și curți. Portretul se poate observa în articol.

Modelul pe care notatul faimosul francez a fost după cum urmează. El a dovedit că rădăcinile ecuației în cantitate sunt numeric egale cu -p \u003d b / a, iar produsul lor corespunde cu Q \u003d C / A.

Acum, luați în considerare sarcinile specifice.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Pentru simplitate, transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Folosim teorema Vieta, ne va da următoarele: cantitatea de rădăcini este -7 și munca lor -18. De aici, obținem că rădăcinile ecuațiilor sunt numere -9 și 2. După ce au făcut o verificare, asigurați-vă că aceste valori ale variabilelor sunt într-adevăr potrivite în expresie.

Graficul și ecuația parabolei

Concepte Funcția patratic și ecuațiile pătrate sunt strâns legate. Exemple de acest lucru au fost deja prezentate mai devreme. Acum luați în considerare câteva ghicitori matematice puțin mai mult. Orice ecuație a tipului descris poate fi imaginată. O dependență similară trasă sub forma unui grafic se numește parabola. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică punctul din care ies ramurile sale. În cazul în care un\u003e 0, ei lasă ridicat în infinit și când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Imaginile vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv pătrate. Această metodă este numită grafică. Iar valoarea variabilei X este coordonatul Abscisa la punctele în care graficul graficului trece de la 0X. Coordonatele vârfurilor pot fi găsite conform unei singure formule x 0 \u003d -b / 2a. Și, înlocuind valoarea rezultată la ecuația inițială a funcției, puteți învăța Y 0, adică a doua coordonată a vârfului de pearabol aparținând axei ordonate.

Traversând ramurile parabolei cu axa Abscisa

Exemple cu soluții de ecuații pătrate sunt foarte mult, dar există modele generale. Ia în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x la A\u003e 0 este posibilă numai dacă 0 primește valori negative. Și pentru A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. În caz contrar D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Potrivit graficului, parabolele pot fi definite și rădăcini. Opusul este, de asemenea, adevărat. Asta este, dacă obțineți o imagine vizuală a unei funcții patrate, nu este ușor, puteți echivala partea dreaptă a expresiei la 0 și rezolvați ecuația obținută. Și cunoașterea punctelor de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construim un program.

Din istorie

Cu ajutorul ecuațiilor care conțin variabila ridicată în piață, în vechile zile nu numai că a făcut calcule matematice și a determinat zona de figuri geometrice. Calcule similare ale vechiului au fost necesare pentru descoperiri mari în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a compila prognozele astrologice.

Pe măsură ce cifrele științifice moderne sugerează, printre primele soluții de ecuații pătrate, locuitorii Babilonului au luat-o. Sa întâmplat în patru secole înainte de debutul epocii noastre. Desigur, calculele lor în rădăcină diferă de acum adoptate și s-au dovedit a fi mult primitive. De exemplu, matematicienii mezopotamian nu aveau nicio idee despre existența unor numere negative. Străinii aveau și alte subtilități de la cei care cunosc orice student al timpului nostru.

Poate că au fost angajați oameni de știință mai devreme din Babilon, soluția de ecuații pătrate, un salvie de India Budhoyama. Sa întâmplat în aproximativ opt secole înainte de epoca lui Hristos. Adevărat, ecuația ordinii a doua, metodele de rezolvare pe care le-a condus a fost cea mai simultană. În plus față de el, astfel de întrebări au fost interesate de matematicienii vechi și chinezi. În Europa, ecuațiile pătrate au început să rezolve numai la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în munca lor atât de mari oameni de știință ca Newton, Descartes și multe altele.

Ecuații patrate. Discriminator. Soluție, exemple.

Atenţie!
Acest subiect are suplimentar
Materiale într-o secțiune specială 555.
Pentru cei care sunt puternic "nu foarte ..."
Și pentru cei care sunt "foarte ...")

Tipuri de ecuații pătrate

Ce este o ecuație pătrată? Cu ce \u200b\u200bseamănă? În termeni ecuația patrată Cuvântul cheie este. "Pătrat". Înseamnă că în ecuație inainte de Trebuie să fie la pătrat în piață. În afară de el, în ecuația poate fi (și nu poate fi!) Pur și simplu X (în primul grad) și doar numărul (membru gratuit). Și nu ar trebui să existe IC-uri într-o diplomă, mai mult.

Vorbind prin limba matematică, ecuația pătrată este ecuația formei:

Aici a, B și cu - Unele numere. b și C. - toate, și dar- Oricine, dar zero. De exemplu:

Aici dar =1; b. = 3; c. = -4

Aici dar =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Aici dar =-3; b. = 6; c. = -18

Ei bine, ai înțeles ...

În aceste ecuații pătrate, stânga este prezentă set complet membrii. X pătrat cu un coeficient dar,x în primul grad cu coeficientul b. și dick gratuit cu.

Astfel de ecuații pătrate sunt numite deplin.

Ce-ar fi dacă b. \u003d 0, ce facem? Avem x este primul grad dispar. De la multiplicare la zero se întâmplă.) Se pare, de exemplu:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Etc. Și dacă atât coeficientul, b. și c. Egal cu zero, este încă mai simplu:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Astfel de ecuații în care lipsește ceva ecuații incomplete pătrate. Ce este destul de logic.) Vă rog să observați că X este prezent în pătrat în toate ecuațiile.

Apropo, de ce dar Nu poate fi zero? Și înlocuiți în schimb dar Nolik.) Vom dispărea în piață! Ecuația va deveni liniară. Și este deja rezolvată destul de diferit ...

Sunt toate tipurile principale de ecuații pătrate. Plin și incomplet.

Soluția de ecuații pătrate.

Rezolvarea ecuațiilor pline pătrate.

Ecuațiile pătrate sunt pur și simplu rezolvate. În conformitate cu formulele și reguli simple. În prima etapă, o ecuație dată trebuie adusă la forma standard, adică. În minte:

Dacă ecuația vă este dată deja în acest formular - prima etapă nu este necesară.) Principalul lucru este să definiți corect toți coeficienții, dar, b. și c..

Formula pentru găsirea rădăcinilor ecuației pătrate arată astfel:

Expresia sub semnul rădăcinii este numită discriminator. Dar despre asta - de mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi ICA, folosim doar a, b și cu. Acestea. Coeficienții ecuației pătrate. Doar înlocuiți cu ușurință valorile a, B și cu În această formulă și luăm în considerare. Substitui cu semnele tale! De exemplu, în ecuație:

dar =1; b. = 3; c. \u003d -4. Aici și scrieți:

Un exemplu este practic rezolvată:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce credeți că este imposibil să faceți o greșeală? Ei bine, da, cum ...

Cele mai frecvente greșeli - confuzie cu semne de valori a, B și cu. Mai degrabă, nu cu semnele lor (unde există confuz?), Dar cu înlocuirea valorilor negative în formula pentru calcularea rădăcinilor. Iată o intrare detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculul, face acest lucru!

Să presupunem că trebuie să rezolvați acest lucru:

Aici a. = -6; b. = -5; c. = -1

Să presupunem că știți că rareori aveți răspunsuri din prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Scrieți o linie excesivă va dura secunde 30. Și numărul de erori tăiat brusc. Aici scriem în detaliu, cu toate paranteze și semne:

Se pare incredibil de dificil, atat de atent vopsea. Dar se pare doar. Încerca. Ei bine, sau alegeți. Ce este mai bun, rapid sau corect? De asemenea, te voi lovi. După un timp, va dispărea atât de atent pentru a picta totul. Ea însăși va avea dreptate. Mai ales dacă aplicați tehnici practice, care sunt descrise chiar mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri va fi rezolvat cu ușurință și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătrate arată puțin diferit. De exemplu, astfel:

Aflați?) Da! aceasta ecuații incomplete pătrate.

Decizia ecuațiilor incomplete pătrate.

Ele pot fi, de asemenea, rezolvate de formula generală. Este necesar doar să vă imaginați corect ce este egal cu a, B și cu.

Corectate? În primul exemplu a \u003d 1; b \u003d 4; dar c.? Nu există nimeni deloc! Ei bine, da, dreapta. În matematică, aceasta înseamnă asta c \u003d 0. Fotografiile! Asta e tot. Înlocuim în loc în formula zero c, Și totul se va dovedi. În mod similar, cu al doilea exemplu. Doar zero aici nu din, dar b. !

Dar ecuațiile pătrate incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără formule. Luați în considerare prima ecuație incompletă. Ce se poate face acolo în partea stângă? Puteți face ca este pentru paranteze! Să scoatem.

Și la asta? Și faptul că lucrarea este zero atunci și numai atunci când unii dintre multiplicatori sunt egali la zero! Nu crede? Ei bine, veniți cu două numere non-zero, care vor da zero cu multiplicare!
Nu funcționează? Asta e ceva ...
În consecință, puteți scrie cu încredere: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Tot. Aceasta va fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele sunt potrivite. Când înlocuiți oricare dintre ele în ecuația inițială, obținem o identitate fidelă 0 \u003d 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât formula generală. Eu, notă, apropo, care X va fi primul și care a doua este absolut indiferentă. Convenabil să înregistreze în câteva, x 1. - Ce este mai puțin și x 2. - Ce este mai mult.

A doua ecuație poate fi de asemenea rezolvată pur și simplu. Noi purtăm 9 în partea dreaptă. Primim:

Rămâne rădăcina de a extrage din 9, și asta este. Se pare:

De asemenea, două rădăcini . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Astfel încât toate ecuațiile pătrate incomplete sunt rezolvate. Fie prin intermediul unei suporturi, fie prin transferarea pur și simplu a numărului spre dreapta, urmată de extracția rădăcinii.
Este extrem de dificil să se confunde aceste tehnici. Pur și simplu pentru că, în primul caz, va trebui să extrageți rădăcina de la XCA, ceea ce este într-un fel nu este clar, iar în al doilea caz, nu este nimic pentru paranteze ...

Discriminator. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminator Fotografiile! Un student de liceu rar nu a auzit cuvântul! Expresia "decide prin discriminator" va insufla încrederea și încurajează. Pentru că nu este necesar să așteptați trucurile de la discriminator! Este simplu și fără probleme în circulație.) Vă amintesc de cea mai generală formulă pentru rezolvare orice Ecuații pătrate:

Expresia sub semnul rădăcinii este numită discriminantă. De obicei, discriminanța este indicată de scrisoare D.. Formula discriminantă:

D \u003d B 2 - 4AC

Și care este expresia demn de remarcat? De ce a meritat un nume special? In ce Înțeles discriminant? La urma urmelor -b, sau 2a. În această formulă, ei nu numesc în mod specific ... scrisori și litere.

Lucrul este ceea ce. La rezolvarea unei ecuații pătrate pentru această formulă, este posibil total trei cazuri.

1. Discriminanța pozitivă. Aceasta înseamnă că este posibil să extrageți rădăcina. Bună rădăcină este extrasă sau rău - întrebarea este diferită. Este important ca acesta să fie extras în principiu. Apoi ecuația dvs. pătrată are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminanța este zero. Apoi obțineți o soluție. Deoarece scăderea zero a număratorului nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice. Dar, în versiunea simplificată, este obișnuit să vorbim despre o soluție.

3. Discriminanța este negativă. Din numărul negativ, rădăcina pătrată nu este îndepărtată. Bine, bine. Aceasta înseamnă că nu există soluții.

Pentru a fi sincer, cu o simplă soluție de ecuații pătrate, conceptul de discriminant nu este necesar în mod special. Înlocuim valorile coeficienților în formula, da, credem. Totul se întâmplă totul, ambele rădăcini, cât și una, și nu una. Cu toate acestea, atunci când rezolvă sarcini mai complexe, fără să știe Înțeles și formula discriminantă insuficient. Mai ales - în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt cel mai înalt pilot pe Gia și EGE!)

Asa de, cum de a rezolva ecuațiile pătrate Prin discriminator vă amintiți. Sau a aflat că nu este, de asemenea, rău.) Știu cum să stau corect a, B și cu. Cunoştinţe cu grija înlocuiți-le în formula rădăcină și cu grija numărați rezultatul. Ai înțeles că cuvântul cheie este aici - cu grija?

Și acum ia notă de tehnici practice care reduc dramatic numărul de erori. Cel mai mult din cauza neatenției. ... pentru care se întâmplă apoi rănit și rănit ...

Primul recepție . Nu fi leneși înainte de a rezolva ecuația pătrată pentru ao aduce la forma standard. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după toate transformările, ați primit o astfel de ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape probabil, confunda coeficienții A, B și S. Construiți un exemplu corect. În primul rând, X este în piață, apoi fără un pătrat, apoi o pula liberă. Ca aceasta:

Și nu vă grăbiți din nou! Minusul din fața IX din piață poate fi sănătos să vă deranjeze. Uită-te ușor ... scapă de un minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Este necesar să se multiplice întreaga ecuație pe -1. Primim:

Dar acum puteți înregistra în siguranță formula pentru rădăcini, luați în considerare discriminalul și exemplul. Douiți-vă. Trebuie să aveți rădăcini 2 și -1.

Recepția a doua. Verificați rădăcinile! Pe teorema Vieta. Nu sperie, voi explica totul! Verifica ultimul lucru ecuația. Acestea. Că am înregistrat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) Coeficient a \u003d 1., Verificați ușor rădăcinile. Suficient pentru a le multiplica. Ar trebui să existe un membru gratuit, adică. În cazul nostru -2. Notă, nu 2, și -2! Dick gratuit cu semnul dvs. . Dacă nu a funcționat, înseamnă undeva au acumulat. Căutați o eroare.

Dacă sa întâmplat - este necesar să pliați rădăcinile. Ultima și verificarea finală. Trebuie să se întâmple coeficientul b. din opus semn. În cazul nostru -1 + 2 \u003d +1. Și coeficientul b.care este în fața IX, egală cu -1. Deci, totul are dreptate!
Este păcat că este atât de simplu pentru exemple, unde X este curat, cu un coeficient a \u003d 1. Dar cel puțin verificați astfel de ecuații! Vor fi mai puține erori.

Luând al treilea . Dacă în ecuația dvs. există coeficienți fracționari, - scapa de fracțiuni! Desenați o ecuație pentru un numitor comun, așa cum este descris în lecția "Cum de a rezolva ecuațiile? Conversii identice". Când lucrați cu fracțiuni de eroare, din anumite motive și urcați ...

Apropo, am promis un exemplu rău cu o grămadă de minusuri pentru a simplifica. Cu plăcere! Aici este.

Pentru a nu fi confundat în minusuri, ecuația pe -1 este dominantă. Primim:

Asta e tot! Decideți - o plăcere!

Deci, rezumați subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de rezolvare, oferim o ecuație pătrată formei standard, construi-o dreapta.

2. Dacă un coeficient negativ merită un coeficient negativ înainte de X, eliminați multiplicarea întregii ecuații pe -1.

3. Dacă coeficienții fracționari elimină fracțiunea prin înmulțirea întregii ecuații cu multiplicatorul corespunzător.

4. Dacă X este în pătrat - curat, coeficientul este egal cu unul, soluția poate fi ușor verificată de teorema Vieta. Fă-o!

Acum este posibil să se calculeze.)

Rezolvați ecuațiile:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Răspunsuri (în tulburare):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x - orice număr

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

nu există soluții

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Totul converge? Excelent! Ecuațiile pătrate nu sunt durerea de cap. Primele trei s-au dovedit, iar restul - nu? Atunci problema nu este în ecuații pătrate. Problema este în transformările identice ale ecuațiilor. Plimbare prin referință, este util.

Nu se întâmplă cu adevărat? Sau nu funcționează deloc? Apoi trebuie să ajutați partiția 555. Există toate aceste exemple dezasamblate în jurul oaselor. Arătând. principal Erori în rezolvare. Este descris, desigur, utilizarea transformărilor identice în rezolvarea diferitelor ecuații. Ajută mult!

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am un alt cuplu de site-uri interesante pentru tine.)

Acesta poate fi accesat în rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificarea instantanee. Aflați - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu caracteristici și derivați.

Școala secundară de la Copsevskaya

10 moduri de a rezolva ecuațiile pătrate

Lider: Patrikeva Galina Anatolyevna,

profesor matematic

s.kopievo, 2007.

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătrate

1.1 Ecuații pătrate în Babilonul vechi

1.2 Așa cum a reprezentat și a rezolvat ecuațiile pătrate diofante

1.3 Ecuații pătrate în India

1.4 ecuații pătrate în alcool

1.5 Ecuații pătrate în Europa XIII - XVII secole

1.6 Despre Teorema Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuațiilor pătrate

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătrate

1.1 Ecuații pătrate în Babilonul vechi

Nevoia de a rezolva ecuațiile nu numai primele, ci și în al doilea grad în antichitate, a fost cauzată de necesitatea de a rezolva sarcinile legate de localizarea zonelor de teren și cu lucrări de terasament de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei și matematica însăși. Ecuațiile pătrate au putut rezolva aproximativ 2000 de ani înainte. e. Babilonian.

Aplicând o înregistrare algebrică modernă, putem spune că în textele lor clinox există, cu excepția celor incomplete și astfel, de exemplu, ecuații pline pătrate:

X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5

Regula de rezolvare a acestor ecuații prezentate în textele babiloniene coincide, în esență, cu modern, dar nu se știe cum babilonienii au atins această regulă. Aproape toate textele de cultură au fost găsite până în prezent, numai sarcinile cu decizii stabilite sub formă de rețete, fără indicație cu privire la modul în care au fost găsite.

În ciuda nivelului ridicat de dezvoltare a algebrei în Babilon, conceptul de un număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătrate lipsește în textele clinoxului.

1.2 Așa cum a condus și a rezolvat ecuațiile pătrate cu foioase.

În "aritmetica" diofanta nu există o prezentare sistematică a algebrei, dar conține un număr sistematic de sarcini însoțite de explicații și rezolvată cu pregătirea ecuațiilor de diferite grade.

La întocmirea ecuațiilor diofante pentru a simplifica soluția alege cu îndemânare necunoscută.

Aici, de exemplu, una dintre sarcinile sale.

Sarcina 11. "Găsiți două numere, știind că suma lor este de 20, iar lucrarea este de 96"

Diofant argumentează după cum urmează: Din starea problemei, rezultă că numerele dorite nu sunt egale, deoarece acestea erau egale, atunci munca lor nu ar fi 96 și 100. Astfel, unul dintre ei va fi mai mult de jumătate din suma lor, adică. 10 + H. Cealaltă este mai puțin, adică 10 - H. . Diferența dintre ele 2x. .

Prin urmare, ecuația:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

X 2 - 4 \u003d 0 (1)

De aici x \u003d 2. . Unul dintre numerele dorite este 12 , Alte 8 . Decizie x \u003d -2. Nu există pentru DioPhanta, deoarece matematica greacă știa doar numere pozitive.

Dacă decidem această sarcină, alegerea unuia dintre numerele dorite ca un necunoscut, vom ajunge să rezolvăm ecuația

y (20 - y) \u003d 96,

în 2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

Este clar că, alegând ca un joc necunoscut al numerelor dorite, Diofantul simplifică decizia; El poate reduce sarcina de a rezolva o ecuație incompletă pătrată (1).

1.3 Ecuații pătrate în India

Sarcinile pe ecuații pătrate sunt deja găsite în tractul astronomic "Ariabhatti", compilate în 499. Matematician Indian și Astronomer Ariabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul VII), a subliniat regula generală de rezolvare a ecuațiilor pătrate administrate unei singure forme canonice:

AH 2 +. b. x \u003d S, A\u003e 0. (1)

În ecuația (1) coeficienți, cu excepția dar poate fi negativă. Regula Brahmagupta coincide în mod esențial cu noi.

În India antică, concursurile publice au fost distribuite în rezolvarea sarcinilor dificile. Într-una din vechile cărți indiene, se spune despre astfel de concursuri după cum urmează: "Ca soarele cu sclipire, veșmintele de stele, astfel încât omul de știință este dornic decât faima altui în Adunarea Poporului, oferind și rezolvarea și rezolvarea și rezolvarea sarcini algebrice" Sarcinile se bucură adesea într-o formă poetică.

Iată una dintre sarcinile celebrului secol al matematicii indiene. Bhaskara.

Sarcina 13.

"Stai că maimuțe și doisprezece pe Lianam ...

Puterea orientării orientate, care se distrează. A început să sară, agățat ...

Ei se află în partea stângă a celui de-al optulea câte maimuțe erau,

În poiana a fost amuzată. Spuneți-mi, în acest stack?

Decizia Bhaskara mărturisește faptului că știa despre dublarea rădăcinilor ecuațiilor pătrate (figura 3).

Sarcina corespunzătoare 13 Ecuația:

( x. /8) 2 + 12 = x.

Bhaskara scrie sub masca:

x 2 - 64X \u003d -768

și pentru a completa partea stângă a acestei ecuații cu pătratul adaugă la ambele părți 32 2 , primind apoi:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 Ecuații pătrate în Al-Khorezmi

În tratatul algebric al - Khorezmi oferă clasificarea ecuațiilor liniare și pătrate. Autorul include 6 specii de ecuații, exprimându-le după cum urmează:

1) "pătrate sunt rădăcini", adică AH 2 + C \u003d b. x.

2) "pătrate sunt egale cu numărul", adică. AH 2 \u003d s.

3) "Rădăcinile sunt egale cu numărul", adică. Ah \u003d s.

4) "Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile", adică. AH 2 + C \u003d b. x.

5) "pătrate și rădăcini sunt egale cu numărul", adică. AH 2 +. bx. \u003d s.

6) "Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătrate", adică. bx. + C \u003d AH 2.

Pentru Al-Khorezmi, evitând utilizarea numerelor negative, membrii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt componentele și nu sunt scoase. În același timp, nu este în mod evident luat în considerare ecuațiile care nu au soluții pozitive. Autorul stabilește modalități de a rezolva aceste ecuații, folosind tehnicile lui Al - Jabr și Al-Mukabala. Deciziile sale, desigur, nu coincide cu noi. Deja să nu mai vorbim că este pur retorică, trebuie remarcat, de exemplu, că atunci când rezolvați o ecuație pătrată incompletă a primului tip

al-Khorezmi, ca toată matematica până la secolul al XVII-lea, ia în considerare soluția zero, probabil pentru că nu contează în sarcini practice specifice. La rezolvarea ecuațiilor complete de piețe al-treburi pe exemple numerice private, acesta stabilește regulile de decizie și apoi dovezi geometrice.

Sarcina 14. "Piața și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina » (Se înțelege ca rădăcina ecuației x 2 + 21 \u003d 10x).

Decizia autorului citește ceva de genul acesta: împărtășim numărul de rădăcini, veți obține 5, vă veți înmulți pe dvs., de la o lucrare de la unu 21, va rămâne 4. Scoaterea rădăcinii din 4, veți primi 2 . Onde 2 ot5, vei primi 3, va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 până la 5, care va da 7, are și o rădăcină.

Tratatul Al-Khorezmi este primul, care a venit la noi cartea în care clasificarea ecuațiilor pătrate stabilite sistematic și formulele sunt date.

1,5 ecuații pătrate în Europa XIII. - XVII. Bb.

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătrate pentru al-Khorezmi din Europa au fost mai întâi prezentate în "Cartea Abaka", scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare amănunțită, care reflectă efectul matematicii, ambele țări ale islamului și Grecia antică, distins atât prin completarea și claritatea prezentării. Autorul sa dezvoltat independent unele noi exemple algebrice Rezolvarea problemelor și primele din Europa a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a promovat răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe provocări din "Book Abaka" au trecut aproape toate manualele europene XVI - XVII secole. și parțial XVIII.

Regula generală de rezolvare a ecuațiilor pătrate date aceleiași forme canonice:

x 2 +. bx. \u003d C,

pentru tot felul de combinații de semne coeficiente b. , din A fost formulată în Europa numai în 1544 M. Rigeli.

Ieșirea formulei pentru rezolvarea ecuației pătrate în general Există o Vieta, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartalia, Kardano, Bombally printre primele din secolul al XVI-lea. Dat, în plus față de rădăcinile pozitive și negative. Numai în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătrate ia un aspect modern.

1.6 Despre Teorema Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții ecuației pătrate și rădăcinile sale, care este numele Vieta, a fost formulată pentru prima dată în 1591 după cum urmează: "Dacă B. + D. înmulțit cu A. - A. 2 bine Bd. T. A. in aceeasi masura ÎN Și egal D. ».

Pentru a înțelege Vieta, trebuie să vă amintiți asta DAR ca orice scrisoare de vocală însemna că are un necunoscut (nostru h.), vocale ÎN, D. - Coeficienții de la necunoscutul. În limba algebrei moderne de mai sus, formularea Vieta înseamnă: dacă există

(A +. b. ) x - x 2 \u003d ab. ,

x 2 - (A + b. ) x + a b. = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b. .

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor cu formule comune înregistrate folosind simboluri, Viștatea a stabilit uniformitatea în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul Vietului este încă departe de vedere modernă. El nu a recunoscut numerele negative și pentru aceasta, la rezolvarea ecuațiilor, considerate doar cazuri în care toate rădăcinile sunt pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuațiilor pătrate

Ecuațiile pătrate sunt o bază pe care se odihnește clădirea maiestuoasă a algebrei. Ecuațiile pătrate sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, orientative, logaritmice, iraționale și transcendentale și inegalități. Știm cu toții cum să rezolvăm ecuațiile pătrate de la banca școlară (gradul 8), înainte de sfârșitul universității.

Provocările pe ecuația pătrat sunt studiate în programul școlii și în universități. Sub ele înțeleg ecuațiile formei A * x ^ 2 + B * x + C \u003d 0, unde x - variabilă, a, b, c - constante; A.<>0. Sarcina este de a găsi rădăcinile ecuației.

Semnificația geometrică a ecuației pătrate

Graficul funcției, reprezentat de ecuația pătrată este parabola. Soluțiile (rădăcinile) ecuației pătrate sunt punctele de intersecție a parabolei cu axa Abscisa (X). Din aceasta rezultă că există trei cazuri posibile:
1) Parabola nu are puncte de intersecție cu o axă Abscisa. Aceasta înseamnă că este în planul superior cu ramuri în sus sau de jos cu ramuri în jos. În astfel de cazuri, ecuația pătrată nu are rădăcini valide (are două rădăcini complexe).

2) Parabola are un punct de intersecție cu axa Oh. Un astfel de punct se numește vertexul de pearabol, iar ecuația pătrată în ea dobândește valoarea minimă sau maximă. În acest caz, ecuația pătrată are o rădăcină valabilă (sau două rădăcini identice).

3) Ultimul caz În practică, există mai interesante - există două puncte de intersecție a parabolei cu axa Abscisa. Aceasta înseamnă că există două rădăcini de ecuație valide.

Pe baza analizei coeficienților în gradele variabilelor, este posibil să se facă concluzii interesante despre plasarea parabolei.

1) Dacă coeficientul este mai zero, parabola este îndreptată în sus, dacă este negativă - ramurile parabolei sunt direcționate în jos.

2) Dacă coeficientul B este mai mare decât zero, atunci partea superioară a parabolei se află în jumătatea planului stângă, dacă este nevoie de o valoare negativă - atunci în dreapta.

Ieșirea formulei pentru rezolvarea unei ecuații pătrate

Transferim constanta din ecuația pătrată

pe semn de egalitate, obținem expresie

Multiplicați ambele părți pe 4a

Pentru a obține partea stângă a pătratului complet adăugați în ambele părți B ^ 2 și implementați transformarea

De aici pentru a găsi

Formula discriminatorului și rădăcinilor ecuației pătrate

Discriminanța se numește valoarea expresiei condiționate, este pozitivă, ecuația are două rădăcini valide calculate prin formula La un discriminant zero, ecuația pătrată are o soluție (două rădăcini coincidente), care poate fi ușor de obținut din formula de mai sus pentru D \u003d 0, cu un discriminator negativ al ecuației rădăcinilor valide. Cu toate acestea, pentru a menține soluțiile ecuației pătrate în planul complex și valoarea lor este calculată prin formula

Teorema Vieta.

Luați în considerare două rădăcini ale ecuației pătrate și construiți pe baza lor ecuația pătrată. Recordul în sine este ușor urmat de teorema Vieta în sine: dacă avem o ecuație pătrată de tip suma rădăcinilor sale este egală cu coeficientul P, luată cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber Q. Înregistrările formulelor de mai sus vor fi observate în ecuația clasică a unei constante A este diferită de zero, atunci toată ecuația trebuie împărțită în ea și apoi aplicați teorema Vieta.

Programul unei ecuații pătrate pentru multiplicatori

Lăsați sarcina: descompune ecuația pătrată pe multiplicatori. Pentru ao îndeplini, vom rezolva mai întâi ecuația (găsim rădăcinile). În plus, rădăcinile constatate substituite în formula de descompunere a ecuației pătrate Această sarcină va fi permisă.

Ecuație pătrată.

Sarcina 1. Găsiți rădăcinile ecuației pătrate

x ^ 2-26x + 120 \u003d 0.

Soluție: scriem coeficienții și înlocuim în formula discriminatorului

Rădăcina acestei valori este de 14, este ușor să o găsiți cu un calculator sau să vă amintiți cu utilizare frecventă, totuși, pentru confort, la sfârșitul articolului, vă voi oferi o listă de numere de pătrate care se pot întâlni adesea astfel de sarcini.
Fundația este substituită în formula rădăcină

Si ia

Sarcina 2. Rezolvați ecuația

2x 2 + x-3 \u003d 0.

Soluție: Avem o ecuație pătrată completă, scriem coeficienții și găsim discriminatorul


Conform formulelor celebre găsim rădăcinile ecuației pătrate

Sarcina 3. Rezolvați ecuația

9x 2 -12x + 4 \u003d 0.

Soluție: Avem o ecuație pătrată completă. Determină discriminanța

Am primit un caz când rădăcinile coincid. Găsiți valorile rădăcinilor cu formula

Sarcina 4. Rezolvați ecuația

x ^ 2 + x-6 \u003d 0.

Soluție: în cazurile în care există coeficienți mici la x, este recomandabil să se aplice teorema Vieta. Potrivit ei, primim două ecuații

Din a doua condiție, obținem că lucrarea ar trebui să fie egală cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcini este negativă. Avem următoarele perechi de soluții posibile (-3; 2), (3; -2). Luând în considerare prima condiție, a doua pereche de soluții resping.
Ecuațiile rădăcinilor sunt egale

Sarcina 5. Găsiți lungimile lateraletului dreptunghiului, dacă perimetrul său este de 18 cm, iar zona este de 77 cm2.

Soluție: jumătate din perimetrul dreptunghiului este egal cu suma laturilor vecine. Denotați de x - cea mai mare parte, apoi 18-X este o parte mai mică. Zona dreptunghiului este egală cu produsul acestor lungimi:
x (18-X) \u003d 77;
sau
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Noi găsim discriminalul ecuației

Calculați rădăcinile ecuației

În cazul în care un x \u003d 11,acea 18H \u003d 7, Dimpotrivă, este adevărat (dacă x \u003d 7, apoi 21-x \u003d 9).

Sarcina 6. pătrat pătrat 10x 2 -11x + 3 \u003d 0 ecuații pentru multiplicatori.

Soluție: Calculați rădăcinile ecuației, pentru că noi găsim discriminator

Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcină și calculați

Aplicați formula de descompunere a ecuației pătrate de-a lungul rădăcinilor

Amenajarea suportului va primi identitate.

Pătrat ecuație cu parametrul

Exemplul 1. În ce valori ale parametrului dar , Ecuația (A-3) x 2 + (3-A) X-1/4 \u003d 0 are o singură rădăcină?

Soluție: o substituție directă a valorii a \u003d 3 Vedem că nu are nicio soluție. Apoi, folosim acest lucru la zero discriminanța, ecuația are o singură rădăcină de multiplicitate 2. Bea discriminator

Simplificați-l și echivalează cu zero

A primit o ecuație pătrată pe parametrul A, a cărui soluție este ușor de obținut pe teorema Vieta. Cantitatea rădăcinilor este de 7 și lucrările lor 12. Bustul simplu prin instalarea că numerele 3.4 vor fi ecuații înrădăcinate. De la soluția A \u003d 3, am respins deja la începutul calculelor, singurul drept va fi - a \u003d 4.Astfel, când a \u003d 4, ecuația are o singură rădăcină.

Exemplul 2. În ce valori ale parametrului dar , ecuația a (A + 3) x ^ 2 + (2A + 6) X-3A-9 \u003d 0are mai mult de o singură rădăcină?

Soluție: Luați în considerare primele puncte singulare, acestea vor fi valori A \u003d 0 și A \u003d -3. Când a \u003d 0, ecuația va fi simplificată la forma 6x-9 \u003d 0; x \u003d 3/2 și va exista o singură rădăcină. Când a \u003d -3, obținem identitatea 0 \u003d 0.
Calcula discriminator

și găsiți valori și în care este pozitiv

Din prima condiție vom primi un\u003e 3. Pentru al doilea, găsim discriminanța și rădăcinile ecuației


Definim golurile în care funcția are valori pozitive. Figura punct a \u003d 0 obține 3>0 . Deci, dincolo de interval (-3; 1/3), funcția este negativă. Nu uitați de acest punct a \u003d 0,acest lucru ar trebui exclus deoarece ecuația inițială în el are o singură rădăcină.
Ca rezultat, obținem două intervale care satisfac starea sarcinii

Vor fi multe sarcini similare în practică, încercați să vă ocupați de sarcinile dvs. și să nu uitați să luați în considerare condițiile care se exclud reciproc. Citiți bine formula pentru rezolvarea ecuațiilor pătrate, acestea sunt adesea necesare atunci când se calculează în diferite sarcini și științe.