Întinderea graficului y = sinx de-a lungul axei y. Graficul funcției y = sin x Graficul funcției y sinx 3

Lecție și prezentare pe tema: "Funcția y = sin (x). Definiții și proprietăți"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să vă lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Manuale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa 10 de la 1C
Rezolvăm probleme în geometrie. Sarcini interactive de clădire pentru clasele 7-10
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:

Proprietățile funcției Y = sin (X).
Graficul funcțional.
Cum se construiește un grafic și scara acestuia.
Exemple.

Proprietăți sinusoidale. Y = păcat (X)

Băieți, ne-am familiarizat deja cu funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric. Îți amintești de ele?

Să aruncăm o privire mai atentă la funcția Y = sin (X)

Să notăm câteva proprietăți ale acestei funcții:
1) Domeniul definiției - un set de numere reale.
2) Funcția este ciudată. Să ne amintim definiția unei funcții ciudate. Funcția se numește impar dacă egalitatea se menține: y (-x) = - y (x). După cum ne amintim din formulele fantomelor: sin (-x) = - sin (x). Definiția a fost îndeplinită, deci Y = sin (X) este o funcție ciudată.
3) Funcția Y = sin (X) crește pe segment și scade pe segment [π / 2; π]. Când ne deplasăm de-a lungul primului sfert (în sens invers acelor de ceasornic), ordonata crește, iar când ne deplasăm de-a lungul celui de-al doilea sfert, aceasta scade.

4) Funcția Y = sin (X) este delimitată deasupra și dedesubt. Această proprietate rezultă din faptul că
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) Cea mai mică valoare a funcției este -1 (la x = - π / 2 + πk). Cea mai mare valoare a funcției este 1 (la x = π / 2 + πk).

Să folosim proprietățile 1-5 pentru a grafica funcția Y = sin (X). Vom construi graficul nostru secvențial folosind proprietățile noastre. Să începem să construim un grafic pe un segment.

O atenție deosebită trebuie acordată scalei. Pe axa ordonatelor este mai convenabil să se ia un segment de unitate egal cu 2 celule, iar pe axa absciselor - să se ia un segment de unitate (două celule) egal cu π / 3 (vezi figura).

Traseți funcția sinus x, y = sin (x)

Să calculăm valorile funcției pe segmentul nostru:

Să construim un grafic pe baza punctelor noastre, luând în considerare a treia proprietate.

Tabel de conversie pentru formule fantomă

Să folosim a doua proprietate, care spune că funcția noastră este ciudată, ceea ce înseamnă că poate fi reflectată simetric despre origine:

Cunoaștem păcatul (x + 2π) = sin (x). Aceasta înseamnă că pe segmentul [- π; π] graficul arată la fel ca pe segmentul [π; 3π] sau sau [-3π; - π] și așa mai departe. Rămâne să redesenăm cu atenție graficul din figura anterioară pe întreaga axă a absciselor.

Graficul funcției Y = sin (X) se numește sinusoid.

Să scriem încă câteva proprietăți conform graficului construit:
6) Funcția Y = sin (X) crește pe orice segment al formei: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k este un număr întreg și scade pe orice interval de formă: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k este un număr întreg.
7) Funcția Y = sin (X) este o funcție continuă. Să analizăm graficul funcției și să ne asigurăm că funcția noastră nu are discontinuități, ceea ce înseamnă continuitate.
8) Gama de valori: segmentul [- 1; 1]. Acest lucru este, de asemenea, clar văzut din graficul funcției.
9) Funcția Y = sin (X) este o funcție periodică. Să privim din nou graficul și să vedem că funcția ia aceleași valori la anumite intervale.

Exemple de probleme sinusale

1. Rezolvați ecuația sin (x) = x-π

Soluție: Să construim 2 grafice ale funcției: y = sin (x) și y = x-π (vezi figura).
Graficele noastre se intersectează la un punct A (π; 0), acesta este răspunsul: x = π

2. Trasează funcția y = sin (π / 6 + x) -1

Soluție: Graficul dorit este obținut prin deplasarea graficului funcției y = sin (x) cu π / 6 unități spre stânga și 1 unitate în jos.

Soluție: Să construim un grafic al funcției și să considerăm segmentul nostru [π / 2; 5π / 4].
Graficul funcției arată că cele mai mari și cele mai mici valori sunt atinse la capetele segmentului, la punctele π / 2 și respectiv 5π / 4.
Răspuns: sin (π / 2) = 1 este cea mai mare valoare, sin (5π / 4) = cea mai mică valoare.

Probleme sinale pentru soluție independentă

Rezolvați ecuația: sin (x) = x + 3π, sin (x) = x-5π
Funcția grafică y = sin (π / 3 + x) -2
Funcția grafică y = sin (-2π / 3 + x) +1
Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y = sin (x) pe un interval
Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y = sin (x) pe segmentul [- π / 3; 5π / 6]

Am aflat că comportamentul funcțiilor și funcțiilor trigonometrice y = sin x în special, pe linia numerelor întregi (sau pentru toate valorile argumentului NS) este complet determinată de comportamentul său în interval 0 < NS < π / 2 .

Prin urmare, în primul rând, vom trasa funcția y = sin x tocmai în acest interval.

Să alcătuim următorul tabel cu valorile funcției noastre;

Marcând punctele corespunzătoare pe planul de coordonate și conectându-le cu o linie netedă, obținem curba prezentată în figură

Curba rezultată ar putea fi construită geometric, fără a compila un tabel de valori ale funcției y = sin x .

1. Împarte primul sfert al unui cerc de rază 1 în 8 părți egale. Ordonatele punctelor de diviziune ale cercului sunt sinusurile unghiurilor corespunzătoare.

2. Primul sfert al unui cerc corespunde unghiurilor de la 0 la π / 2 ... Prin urmare, pe axă NS ia un segment și împarte-l în 8 părți egale.

3. Să trasăm linii drepte paralele cu axele NS, iar din punctele de diviziune, vom restabili perpendicularele la intersecția cu liniile orizontale.

4. Conectați punctele de intersecție cu o linie netedă.

Acum să trecem la interval π / 2 < NS < π .
Fiecare valoare a argumentului NS din acest interval poate fi reprezentat ca

X = π / 2 + φ

Unde 0 < φ < π / 2 ... Prin formule de reducere

păcat ( π / 2 + φ ) = cos φ = păcat ( π / 2 - φ ).

Punctele axei NS cu abscise π / 2 + φ și π / 2 - φ simetrice între ele în jurul punctului axei NS cu abscisa π / 2 , iar sinusurile din aceste puncte sunt aceleași. Acest lucru vă permite să obțineți un grafic al funcției y = sin x în intervalul [ π / 2 , π ] prin simpla afișare simetrică a graficului acestei funcții în intervalul relativ la linia dreaptă NS = π / 2 .

Acum folosim proprietatea funcție ciudată y = sin x,

păcat (- NS) = - păcat NS,

este ușor de trasat această funcție în intervalul [- π , 0].

Funcția y = sin x este periodică cu o perioadă de 2π ;. Prin urmare, pentru a trasa întregul grafic al acestei funcții, curba prezentată în figură este suficientă, continuați la stânga și la dreapta periodic cu o perioadă 2π .

Curba rezultată se numește sinusoidal ... Este graficul funcției y = sin x.

Figura ilustrează bine toate acele proprietăți ale funcției. y = sin x , care au fost dovedite anterior de noi. Să ne amintim aceste proprietăți.

1) Funcția y = sin x definit pentru toate valorile NS , astfel încât domeniul definiției sale este colecția tuturor numerelor reale.

2) Funcția y = sin x limitat. Toate valorile pe care le ia sunt cuprinse între -1 și 1, inclusiv aceste două numere. Prin urmare, intervalul de variație al acestei funcții este determinat de inegalitatea -1 < la < 1. Când NS = π / 2 + 2k π funcția ia cele mai mari valori egal cu 1 și pentru x = - π / 2 + 2k π - cele mai mici valori egale cu - 1.

3) Funcția y = sin x este ciudat (sinusoidul este simetric față de origine).

4) Funcția y = sin x periodic cu perioada 2 π .

5) În intervalele 2n π < X < π + 2n π (n este orice număr întreg) este pozitiv, iar în intervale π + 2k π < NS < 2π + 2k π (k este orice număr întreg) este negativ. Pentru x = k π funcția dispare. Prin urmare, aceste valori ale argumentului x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) sunt numite zerouri ale funcției y = sin x

6) În intervale - π / 2 + 2n π < NS < π / 2 + 2n π funcţie y = păcat X crește monoton, și în intervale π / 2 + 2k π < NS < 3π / 2 + 2k π scade monoton.

Acordați o atenție specială comportamentului funcției. y = sin x punctul apropiat NS = 0 .

De exemplu sin 0,012 ≈ 0,012; păcat (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2 ° = sin π 2 / 180 = păcat π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

În același timp, trebuie remarcat faptul că pentru orice valori de x

| păcat X| < | x | . (1)

Într-adevăr, raza cercului prezentat în figură să fie 1,
A / AОВ = NS.

Atunci păcatul X= AC. Dar AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол NS... Lungimea acestui arc este evident egală cu NS, deoarece raza cercului este 1. Deci, la 0< NS < π / 2

păcat x< х.

Prin urmare, datorită ciudățeniei funcției y = sin x este ușor să arăți asta pentru - π / 2 < NS < 0

| păcat X| < | x | .

În cele din urmă, la X = 0

| sin x | = | x |.

Astfel, pentru | NS | < π / 2 inegalitatea (1) este dovedită. De fapt, această inegalitate este valabilă și pentru | X | > π / 2 datorită faptului că | păcat NS | < 1, a π / 2 > 1

Exerciții

1. Funcția de programare y = sin x determinați: a) păcatul 2; b) păcatul 4; c) păcat (-3).

2. Funcția de programare y = sin x determinați care este numărul din interval
[ - π / 2 , π / 2 ] are un sinus egal cu: a) 0,6; b) -0,8.

3. După programul funcțional y = sin x determina ce numere au un sinus,
egal cu 1/2.

4. Găsiți aproximativ (fără a utiliza tabele): a) sin 1 °; b) păcat 0,03;
c) păcat (-0.015); d) păcat (-2 ° 30 ").

Cum se trasează funcția y = sin x? În primul rând, să privim graficul sinusoidal din interval.

Luăm un singur segment cu o lungime de 2 celule ale unui notebook. Marcați unul pe axa Oy.

Pentru comoditate, rotunjim numărul π / 2 la 1,5 (și nu la 1,6, așa cum este cerut de regulile de rotunjire). În acest caz, un segment de lungime π / 2 corespunde a 3 celule.

Pe axa Ox, marcăm nu segmente unitare, ci segmente de lungime π / 2 (la fiecare 3 celule). În consecință, un segment de lungime π corespunde la 6 celule, un segment de lungime π / 6 - 1 celulă.

Cu această alegere a unui segment de unitate, graficul descris pe o foaie de caiet într-o cutie corespunde cât mai mult posibil graficului funcției y = sin x.

Să alcătuim un tabel cu valori sinusoidale în interval:

Marcăm punctele obținute pe planul de coordonate:

Deoarece y = sin x este o funcție ciudată, graficul sinusoidal este simetric față de origine - punctul O (0; 0). Luând în considerare acest fapt, vom continua să trasăm graficul la stânga, apoi punctele -π:

Funcția y = sin x este periodică cu o perioadă T = 2π. Prin urmare, graficul funcției, luat pe intervalul [-π; π], se repetă de un număr infinit de ori la dreapta și la stânga.

„Colegiul de tehnologii de servicii Yoshkar-Ola”

Construcția și studiul graficului funcției trigonometrice y = sinx într-un procesor de masăDOMNIȘOARĂ excela

/ dezvoltare metodică /

Yoshkar - Ola

Temă. Trasarea și cercetarea unui grafic de funcții trigonometricey = sinx în procesorul de foi de calcul MS Excel

Tipul lecției- integrat (dobândirea de noi cunoștințe)

Obiective:

Scop didactic - explorați comportamentul graficelor funcțiilor trigonometricey= sinxîn funcție de cotele folosind un computer

Educational:

1. Aflați schimbarea în graficul funcției trigonometrice y= păcat Xîn funcție de coeficienți

2. Arătați introducerea tehnologiilor informatice în predarea matematicii, integrarea a două discipline: algebră și informatică.

3. Să-și formeze abilitățile de utilizare a tehnologiilor informatice în lecțiile de matematică

4. Consolidați abilitățile de cercetare a funcțiilor și construirea graficelor acestora

În curs de dezvoltare:

1. Să dezvolte interesul cognitiv al elevilor pentru disciplinele academice și capacitatea de a-și aplica cunoștințele în situații practice

2. Dezvoltă abilitatea de a analiza, compara, evidenția principalul lucru

3. Promovați îmbunătățirea nivel general dezvoltarea elevilor

Educație :

1. Pentru a aduce independența, acuratețea, diligența

2. Încurajează o cultură a dialogului

Forme de lucru în lecție - combinate

Echipamente și echipamente didactice:

1. Calculatoare

2. Proiector multimedia

4. Material de prezentare

5. Diapozitive de prezentare

În timpul orelor

Eu. Organizarea începutului lecției

Salutări de la studenți și invitați

Inspirație pentru lecție

II... Stabilirea obiectivelor și actualizarea subiectului

Este nevoie de mult timp pentru a studia o funcție și a-i face graficul, trebuie să efectuați o mulțime de calcule greoaie, nu este convenabil, tehnologiile informatice vin în ajutor.

Astăzi vom învăța cum să construim grafice ale funcțiilor trigonometrice în mediul foii de calcul MS Excel 2007.

Tema lecției noastre este „Construcția și studiul graficului unei funcții trigonometrice y= sinxîntr-un procesor de masă "

Din cursul algebrei, cunoaștem schema pentru studierea unei funcții și reprezentarea graficului acesteia. Să ne amintim cum să facem acest lucru.

Slide 2

Diagrama de studiu a funcțiilor

1. Domeniul funcției (D (f))

2. Gama de valori a funcției E (f)

3. Determinarea parității

4. Frecvența

5. Zero ale funcției (y = 0)

6. Intervalele de constanță (y> 0, y<0)

7. Intervalele de monotonie

8. Extrema funcției

III. Asimilarea primară a noului material educațional

Deschideți MS Excel 2007.

Trasează funcția y = sin X

Complotarea într-un procesor de foi de calculDOMNIȘOARĂ excela 2007

Graficul acestei funcții va fi reprezentat grafic pe segment XЄ [-2π; 2π]

Valorile argumentelor vor fi luate cu un pas , pentru a face graficul mai precis.

Deoarece editorul funcționează cu numere, să transformăm radianii în numere, știind asta P ≈ 3.14 ... (tabel de traducere în fișă).

1. Găsiți valoarea funcției la punctul respectiv x = -2P. Pentru restul argumentului, editorul calculează automat valorile corespunzătoare ale funcției.

2. Acum avem un tabel cu valorile argumentului și funcției. Cu aceste date, trebuie să trasăm această funcție folosind Expertul pentru diagrame.

3. Pentru a construi un grafic, trebuie să selectați intervalul de date necesar, linii cu valorile argumentului și funcției

4..jpg "width =" 667 "height =" 236 src = ">

Scriem concluziile într-un caiet (Slide 5)

Ieșire. Graficul unei funcții de forma y = sinx + k este obținut din graficul funcției y = sinx folosind o traducere paralelă de-a lungul axei OY de k unități

Dacă k> 0, atunci graficul este deplasat în sus cu k unități

Dacă k<0, то график смещается вниз на k единиц

Construirea și examinarea unei funcții a formeiy =k* sinx,k- const

Sarcina 2. La locul de muncă Liste2 grafic funcții într-un singur sistem de coordonate y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, pe interval (-2π; 2π) și vedeți cum se schimbă vizualizarea graficului.

(Pentru a nu reseta valoarea argumentului, să copiem valorile existente. Acum trebuie să setați formula și să construiți un grafic din tabelul rezultat.)

Comparăm graficele rezultate. Să analizăm împreună cu elevii comportamentul graficului funcției trigonometrice în funcție de coeficienți. (Diapozitivul 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif "width =" 16 "height =" 41 src = "> x , pe interval (-2π; 2π) și vedeți cum se modifică vizualizarea graficului.

Comparăm graficele rezultate. Să analizăm împreună cu elevii comportamentul graficului funcției trigonometrice în funcție de coeficienți. (Diapozitivul 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg "width =" 649 "height =" 281 src = ">

Scriem concluziile într-un caiet (Slide 11)

Ieșire. Graficul unei funcții de forma y = sin (x + k) este obținut din graficul funcției y = sinx folosind o traducere paralelă de-a lungul axei OX de k unități

Dacă k> 1, atunci graficul este deplasat spre dreapta de-a lungul axei OX

Dacă 0

IV... Consolidarea primară a cunoștințelor dobândite

Carduri diferențiate cu o sarcină de construire și cercetare a unei funcții folosind un grafic


	Y = 6* păcat (x)	Y =1-2 păcatNS	Y =- păcat(3x +)
1. Domeniu
2. Interval de valori
3. Paritate
4. Periodicitate
5. Intervale de constanță


6. Lacunemonotonie
Funcția crește
Funcţie scade
7. Funcția extrema
Minim
Maxim

V... Organizarea temelor

Trasați funcția y = -2 * sinx + 1, investigați și verificați corectitudinea graficării în mediul foii de calcul Microsoft Excel. (Diapozitivul 12)

VI... Reflecţie

Întinderea graficului y = sinx de-a lungul axei y. Funcția y = 3sinx este dată. Pentru a-i reprezenta graficul, trebuie să întindeți graficul y = sinx astfel încât E (y): (-3; 3).

Imaginea 7 din prezentarea „Construiți un grafic al unei funcții” la lecții de algebră pe tema „Graficul unei funcții”

Dimensiuni: 960 x 720 pixeli, format: jpg. Pentru a descărca gratuit o imagine pentru o lecție de algebră, faceți clic dreapta pe imagine și faceți clic pe „Salvați imaginea ca ...”. Pentru a afișa imagini în lecție, puteți descărca gratuit prezentarea „Plot function graph.ppt” gratuit cu toate imaginile într-o arhivă zip. Dimensiunea arhivei este de 327 KB.

Descărcați prezentarea

Graficul funcțional

„Construiți un grafic al unei funcții” - Cuprins: Se întinde graficul y = sinx de-a lungul axei y. Funcția y = 3sinx este dată. O funcție este dată y = sinx + 1. Funcția y = 3cosx este dată. Complotați funcția. Graficul funcției y = m * cos x. Finalizat de: grupul de antrenament Cadet 52 Alexey Levin. Decalaje verticale ale graficului y = cosx. Pentru a accesa exemple de sarcini, faceți clic pe l. cu butonul mouse-ului.

„Sistem de coordonate în spațiu” - Șurubul este închis. Înălțime, lățime, adâncime. Sistem de coordonate dreptunghiulare în spațiu. Coordonatele unui punct din spațiu. Opera lui M. Escher reflectă ideea introducerii unui sistem de coordonate dreptunghiulare în spațiu. Boi este axa absciselor, Oy este axa ordonatelor, Oz este axa aplicată. Cu Pitagora ascultați sferele sonatei, atomii contează ca Democrit.

„Planul de coordonate nota 6” - U. Matematica nota 6. 1. Găsiți și scrieți coordonatele punctelor A, B, C, D: O. X. Planul de coordonate. -3. 1.

"Funcții și graficele lor" - Exemple de funcții impare: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y (1) = 13 = 1; y (-1) = (-1) 3 = -1; y (-1) = -y (1)). 3. Dacă k? 0 și b? 0, apoi y = kx + b. Funcția este definită pe setul tuturor numerelor reale. O funcție liniară de forma y = kx se numește proporționalitate directă. Grad. y = sin x. Periodicitate.

"Funcția de cercetare" - Funcții. Dorokhova Yu.A. Să ne amintim ... Planul de lucru pentru lecție. Folosind schema de studiu a funcției, finalizați sarcina: p. 24; Nr. 296 (a; b), Nr. 299 (a; b). Știați că ... Obiectivul lecției: Folosirea unui derivat. Exercițiu. Lucrare de verificare: Efectuați verbal: Pentru funcția f (x) = x3 determinați D (f), paritate, creștere, scădere.

„Funcții crescătoare și descrescătoare” - Funcții crescătoare și descrescătoare. Să aruncăm o privire la un exemplu cu funcții crescătoare și descrescătoare. Deoarece funcția sinus este periodică, este suficient să se efectueze dovada pentru intervalul [-? / 2; ? / 2]. Să luăm un alt exemplu. Dacă -? / 2? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

În total sunt 25 de prezentări