VIDEO TUTORIAL 2: Soluția de ecuații pătrate

Lectura: Ecuații patrate

Ecuația

Ecuația - Aceasta este o anumită egalitate, în expresiile cărora există o variabilă.

Rezolvați ecuația - Înseamnă a găsi un astfel de număr în locul unei variabile care o va conduce la egalitatea reală.

Ecuația poate avea o singură soluție sau mai multe sau să nu aibă deloc.

Pentru a rezolva orice ecuație, ar trebui să fie ușor simplificată formularului:

Liniar: A * x \u003d b;

Pătrat: a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

Aceasta este, orice ecuație înainte ca soluția să fie convertită într-o specie standard.

Orice ecuație poate fi rezolvată în două moduri: analitică și grafică.

Pe grafic prin rezolvarea ecuației, sunt considerate puncte în care programul traversează axa Oh.

Ecuații patrate

Ecuația poate fi numită pătrat dacă dobândește punctul de vedere când este simplificat:

a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

În care a, B, C sunt coeficienți de ecuație care diferă de zero. DAR "X" - rădăcina ecuației. Se crede că ecuația pătrată are două rădăcini sau nu poate avea soluții deloc. Rădăcinile obținute pot fi aceleași.

"dar" - Coeficientul care stă înaintea rădăcinii din pătrat.

"B" - Este înainte de a fi necunoscută la primul grad.

"din" - membru liber al ecuației.

Dacă, de exemplu, avem ecuația formularului:

2x 2 -5x + 3 \u003d 0

În ea, "2" este un coeficient cu un membru superior al ecuației, "-5" - cel de-al doilea coeficient și "3" - un membru gratuit.

Decizie ecuație pătrată.

Există un set uriaș de modalități de a rezolva o ecuație pătrată. Cu toate acestea, în cursul școlii de matematică, soluția este studiată pe teorema Vietei, precum și cu ajutorul discriminatorului.

Decizie privind discriminanța:

Când se rezolvă cu aceasta metoda Este necesar să se calculeze discriminatorul prin formula:

Dacă, atunci când calcule, ați obținut că discriminatorul este mai mic de zero, înseamnă că această ecuație nu are soluții.

Dacă discriminatorul este zero, ecuația are două soluții identice. În acest caz, polinomul poate fi prăbușit prin formula multiplicării abreviare în pătratul cantității sau diferenței. După aceea, pentru ao rezolva, ca ecuație liniară. Sau să profite de formula:

Dacă discriminatorul este mai mare decât zero, atunci este necesar să se utilizeze următoarea metodă:

Teorema Vieta.

Dacă este dată ecuația, aceasta este, coeficientul din elementul superior este egal cu unul, atunci puteți utiliza teorema Vieta..

Deci, să presupunem că ecuația arată:

Rădăcinile ecuației sunt după cum urmează:

Ecuație pătrată incompletă

Există mai multe opțiuni pentru obținerea unei ecuații pătrate incomplete, tipul de care depinde de prezența coeficienților.

1. Dacă al doilea și al treilea coeficient este zero (B \u003d 0, c \u003d 0)Ecuația pătrată se va uita la:

Această ecuație va avea o singură soluție. Egalitatea va fi corectă numai atunci când ecuația este zero ca o soluție.

Formulele rădăcinilor ecuației pătrate. Sunt luate în considerare cazuri de rădăcini valabile, multiple și complexe. Descompunerea multiplicatorilor pătrați cu trei șuruburi. Interpretarea geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și descompunerii multiplicatorilor.

Formule de bază

Luați în considerare o ecuație pătrată:
(1) .
Ecuația pătrat (1) sunt determinate prin formule:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când sunt cunoscute rădăcinile ecuației pătrate, polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca o lucrare a factorilor (descompuneți pe multiplicatori):
.

Apoi, credem că - numerele reale.
Considera ecuația pătratică discriminantă:
.
Dacă discriminatorul este pozitiv, atunci ecuația pătrată (1) are două rădăcini diferite valide:
; .
Apoi descompunerea pătratului trei scăderi ale factorilor are forma:
.
Dacă discriminatorul este zero, atunci ecuația pătrată (1) are două rădăcini multiple (egale) valide:
.
Factorizare:
.
Dacă discriminatorul este negativ, atunci ecuația pătrată (1) are două rădăcini conjugate cuprinzătoare:
;
.
Aici - unitatea imaginară;
Și - părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Atunci

.

Interpretarea grafică

Dacă construiți funcția de programare
,
care este parabola, atunci punctul de intersecție al graficului cu axa va fi rădăcini ale ecuației
.
Când, programul traversează axa Abscisa (Axa) la două puncte.
Când graficul se referă la axa Abscisa la un moment dat.
Când, programul nu intersectează axa Abscisa.

Mai jos sunt exemple de astfel de grafice.

Formule utile asociate cu ecuația pătrată

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Ieșirea formulei pentru rădăcinile ecuației pătrate

Realizăm transformări și aplicăm formule (F.1) și (F.3):




,
Unde
; .

Deci, avem o formulă pentru un polinom al celui de-al doilea grad sub forma:
.
De aici se poate observa că ecuația

efectuată la
și.
Adică, rădăcinile ecuației pătrate sunt rădăcini
.

Exemple de determinare a rădăcinilor ecuației pătrate

Exemplul 1.

(1.1) .

Decizie

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Noi găsim discriminator:
.
Deoarece discriminatorul este pozitiv, ecuația are două rădăcini valide:
;
;
.

De aici avem o descompunere a unui pătrat trei mize pe multiplicatori:

.

Funcția de programare y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Traversează axa abscisa la două puncte.

Construim un program de funcții
.
Programul acestei funcții este parabola. Ea plasează axa Abscisa (axa) la două puncte:
și.
Aceste puncte sunt rădăcini ale ecuației inițiale (1.1).

Răspuns

;
;
.

Exemplul 2.

Găsiți rădăcinile ecuației pătrate:
(2.1) .

Decizie

Scriem ecuația pătrată în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Noi găsim discriminator:
.
Deoarece discriminatorul este zero, ecuația are două (egale) rădăcină:
;
.

Apoi descompunerea a trei decizii privind multiplicatorii are forma:
.

Funcție grafic Y \u003d x 2 - 4 x + 4 Solicită Axis Abscisa la un moment dat.

Construim un program de funcții
.
Programul acestei funcții este parabola. Se referă la axa Abscisa (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină intră în expansiunea multiplicatorilor de două ori:
,
Că o astfel de rădăcină este numită multiplă. Adică, se crede că există două rădăcini egale:
.

Răspuns

;
.

Exemplul 3.

Găsiți rădăcinile ecuației pătrate:
(3.1) .

Decizie

Scriem ecuația pătrată în formă generală:
(1) .
Rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparați C (1), găsim valorile coeficienților:
.
Noi găsim discriminator:
.
Discriminanța este negativă. Prin urmare, nu există rădăcini valide.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Atunci


.

Graficul funcției nu traversează axa Abscisa. Nu există rădăcini valide.

Construim un program de funcții
.
Programul acestei funcții este parabola. Nu intersectează axa Abscisa (Axa). Prin urmare, nu există rădăcini valide.

Răspuns

Nu există rădăcini valide. Roții sunt integrate:
;
;
.

Cu acest program matematic puteți rezolvați ecuația pătrată.

Programul nu numai că dă sarcina de răspuns, ci și afișează procesul de soluție în două moduri:
- cu ajutorul discriminatorului
- Utilizarea teoremei Vieta (dacă este posibil).

Mai mult, răspunsul este de ieșire precis, nu aproximativ aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\), răspunsul este de ieșire în acest formular:

$$ x_1 \u003d \\ frac (8+ \\ sqrt (145)) (81), quad x_2 \u003d \\ frac (8-1 \\ sqrt (145)) (81) $$ și nu în acest: \\ (x_1 \u003d 0.247 ; \\ quad x_2 \u003d -0.05 \\)

Acest program poate fi util pentru studenții de liceu în pregătirea pentru controlul muncii Și examene, atunci când verificați cunoștințele înainte de examen, părinții să controleze soluția multor probleme în matematică și algebră. Sau poate că sunteți prea scump să angajați un tutore sau să cumpărați noi manuale? Sau vrei doar să faci cât mai curând posibil teme pentru acasă în matematică sau algebră? În acest caz, puteți utiliza, de asemenea, programele noastre cu o soluție detaliată.

Astfel, puteți efectua propria instruire și / sau instruirea fraților sau surorilor mai tineri, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor rezolvate crește.

Dacă nu sunteți familiarizați cu regulile de a intra într-un polinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ei.

Reguli de intrare polinomice pătrate

Ca o variabilă poate fi orice scrisoare latină.
De exemplu: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\), etc.

Numerele pot intra în întregime sau fracționate.
Mai mult, numerele fracționate pot fi administrate nu numai sub formă de zecimal, ci și sub forma unei fracții obișnuite.

Regulile de introducere a fracțiilor zecimale.
În fracțiunile zecimale, partea fracțională a întregului poate fi separată ca punct și virgulă.
De exemplu, puteți intra fracțiuni zecimale Deci: 2.5x - 3.5x ^ 2

Reguli pentru intrarea în fracțiuni obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și o întreagă parte a fracției.

Numitorul nu poate fi negativ.

La intrarea într-o fracțiune numerică, numitorul separat de numitor al mărcii de fisiune: /
Întreaga parte este separată de semnul Fraray Ampersand: &
Intrare: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultat: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

Când intri în expresie puteți utiliza paranteze. În acest caz, la rezolvarea ecuației pătrate, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2 (Y - 1) (Y + 1) - (5Y-10 & 1/2)

=0

Decide

Se constată că unele scripturi necesare pentru rezolvarea acestei sarcini nu sunt încărcate, iar programul nu poate funcționa.
Este posibil să aveți ADBLOCK inclus.
În acest caz, deconectați-l și actualizați pagina.

Aveți execuția JavaScript în browser-ul dvs.
Pentru a face soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiunile, cum să activați JavaScript în browser-ul dvs.

pentru că Dorind să rezolve sarcina este foarte mult, cererea dvs. este în linie.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Te rog asteapta Sec ...

daca tu a observat o greșeală în rezolvarePuteți scrie despre el în formularul de feedback.
Nu uita specificați ce sarcină Voi decideți și ce introduceți în câmp.

Jocurile noastre, puzzle-uri, emulatori:

Un pic de teorie.

Ecuația pătrată și rădăcinile sale. Ecuații incomplete pătrate

Fiecare dintre ecuații
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
Are apariția
\\ (Ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
unde x este variabilă, numere A, B și C.
În prima ecuație a \u003d -1, b \u003d 6 și c \u003d 1,4, în cel de-al doilea A \u003d 8, B \u003d7 și C \u003d 0, în al treilea A \u003d 1, B \u003d 0 și C \u003d 4/9. Aceste ecuații sunt numite ecuații pătrate..

Definiție.
Ecuație pătrată. Ecuația formei axului 2 + BX + C \u003d 0, unde X este variabila, A, B și C sunt unele numere și \\ (A \\ Neq 0 \\).

Numerele A, B și C sunt coeficienții ecuației pătrate. Numărul A se numește primul coeficient, numărul B este al doilea coeficient și numărul C - un membru gratuit.

În fiecare dintre ecuațiile formularului axei 2 + BX + C \u003d 0, unde \\ (A \\ Neq 0 \\), cel mai mare grad de variabilă X-pătrat. Prin urmare, numele: ecuația pătrată.

Rețineți că ecuația pătrată este numită și ecuația gradului al doilea, deoarece partea stângă are un polinom al doilea grad.

Ecuația pătrată în care coeficientul de la X2 este 1, numit având în vedere ecuația pătrată. De exemplu, ecuațiile pătrate date sunt ecuații
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

Dacă în axul de ecuație pătrat 2 + bx + c \u003d 0, cel puțin unul dintre coeficienții B sau C este zero, atunci se numește o astfel de ecuație ecuație pătrată incompletă. Deci, ecuațiile -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 sunt ecuații pătrate incomplete. În primul dintre ele b \u003d 0, în al doilea c \u003d 0, în al treilea b \u003d 0 și c \u003d 0.

Ecuațiile incomplete pătrate sunt trei specii:
1) AX 2 + C \u003d 0, unde \\ (C \\ Neq 0 \\);
2) AX 2 + BX \u003d 0, unde \\ (b \\ neq 0 \\);
3) AX 2 \u003d 0.

Luați în considerare soluția ecuațiilor fiecărei specii.

Pentru a rezolva o ecuație pătrată incompletă a formularului Ax 2 + C \u003d 0, cu \\ (C \\ Neq 0 \\), acesta este transferat membrului său liber în partea dreaptă și face ambele părți ale ecuației pe:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ dreaptarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

Deoarece \\ (C \\ Neq 0 \\), atunci \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

Dacă \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), ecuația are două rădăcini.

Dacă \\ (- Frac (C) (a), pentru a rezolva o ecuație incompletă a formularului axul 2 + bx \u003d 0, cu \\ (b \\ neq 0 \\), ei refuză partea stângă la multiplicatori și să primească ecuația
\\ (X (ax + b) \u003d 0 \\ dreapta \\ stânga \\ (\\ începe (matrice) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta. \\ Dreapta \\ stânga \\ (\\ începe (Matrice) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ capătul (matrice) \\ dreapta. \\)

Deci, o ecuație incompletă pătrată a formularului Ax 2 + BX \u003d 0 cu \\ (B \\ Neq 0 \\) are întotdeauna două rădăcini.

O ecuație pătrată incompletă a formularului axul 2 \u003d 0 este echivalentă cu ecuația x 2 \u003d 0 și, prin urmare, are singura rădăcină 0.

Formula rădăcină a ecuației pătrate

Luați în considerare modul în care s-au rezolvat ecuațiile pătrate în care atât coeficienții cu un membru necunoscut, cât și cel liber, sunt diferiți de zero.

Spestați ecuația pătrată în general și, ca urmare, obținem formula rădăcină. Apoi, această formulă poate fi utilizată la rezolvarea oricărei ecuații pătrate.

Resisister Square Ecuație AX 2 + BX + C \u003d 0

Separând ambele părți ale acestuia pe A, obținem echivalentul ecuației pătrate prezentate
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

Transformăm această ecuație, subliniind pătratul Bounced:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2- \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ dreaptaRrow \\)

\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 \u003d \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 - \\ frac (c) (a) \\ dreapta \\) \\ (\\ stânga (x + \\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \\ frac (c) (a) \\ dreapta \\ stânga (x + \\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \\ dreapta \\) \\ (x + \\ Frac (b) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (b ^ 2-4Ac) (4a ^ 2)) \\ dreaptarrow x \u003d - \\ frac (b) (2a) + \\ frac (\\ pm \\ sqrt ( b ^ 2 -4Ac)) (2a) \\ dreapta \\) \\ (x \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \\)

Expresia ghidată este numită ecuația pătratică discriminantă AX 2 + BX + C \u003d 0 ("Discriminant" în latină este un distinctor). Acesta este notat de litera D, adică.
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Acum, folosind desemnarea discriminatorului, rescrie formula pentru rădăcinile ecuației pătrate:
\\ (X_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (d)) (2a) \\), unde \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\)

Este evident că:
1) Dacă d\u003e 0, ecuația pătrată are două rădăcini.
2) Dacă d \u003d 0, ecuația pătrată are o rădăcină \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Dacă d este, în funcție de valoarea discriminantă, ecuația pătrată poate avea două rădăcini (cu d\u003e 0), o rădăcină (la d \u003d 0) sau să nu aibă rădăcini (cu D, când rezolvați ecuația pătrată Această formulă, este recomandabilă să se aplice în felul următor:
1) Calculați discriminanța și comparați-o cu zero;
2) Dacă discriminatorul este pozitiv sau egal cu zero, utilizați formula rădăcină, dacă discriminatorul este negativ, apoi scrieți rădăcinile.

Teorema Vieta.

Axa de ecuație pătrată prezentată 2 -7x + 10 \u003d 0 are rădăcini 2 și 5. Cantitatea rădăcinilor este de 7, iar produsul este 10. Vedem că cantitatea rădăcinilor este egală cu cel de-al doilea coeficient luat cu opusul semn, și produsul rădăcinilor este egal cu un membru gratuit. O astfel de proprietate are o ecuație pătrată având o rădăcină.

Suma rădăcinilor ecuației pătrate prezentate este egală cu cel de-al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu un membru gratuit.

Acestea. Teorema Vieta susține că rădăcinile X1 și X2 din ecuația patratului sau X 2 + Px + Q \u003d 0 au o proprietate:
\\ (\\ stânga \\ (\\ început (matrice) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d Q \\ capătul (matrice) \\ dreapta. \\)

Ecuația pătrată - este rezolvată pur și simplu! * Înainte în textul "Ku".Prietenii aparent, ar putea fi mai ușor în matematică decât o soluție la o astfel de ecuație. Dar ceva mi-a sugerat că mulți au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii la cerere pe lună dă Yandex. Asta sa întâmplat, vezi:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de persoane pe lună caută aceste informații, care este în această vară și ce va fi printre an scolar - Cererile vor fi de două ori mai mult. Nu este surprinzător, pentru că acei tipi și fete care au absolvit mult timp de la școală și se pregătesc pentru examen, caută aceste informații, iar elevii încearcă să o reîmprospăteze în memorie.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri în care este descris cum să rezolve această ecuație, am decis să-mi fac contribuția și să publicăm materialul. În primul rând, vreau să vin la site-ul meu pentru această cerere, iar vizitatorii au venit pe site-ul meu; În al doilea rând, în alte articole, atunci când discursul "KU" va da o trimitere la acest articol; În al treilea rând, vă voi spune despre decizia sa puțin mai mult decât de obicei stabilește pe alte site-uri. Baister!Conținutul articolului:

Ecuația pătrată este ecuația formularului:

unde coeficienții ab. și cu numere arbitrare, cu ceva de ≠ 0.

În cursul școlii, materialul este dat în formularul de mai jos - separarea ecuațiilor pe trei clase este condiționată condiționat:

1. Aveți două rădăcini.

2. * Există doar o singură rădăcină.

3. Nu aveți rădăcini. Este demn de remarcat aici că nu au rădăcini valide

Cum sunt calculate rădăcinile? Pur şi simplu!

Calculați discriminatorul. Sub acest cuvânt "teribil" se află destul de simplă formulă:

Formulele de root au următoarea formă:

* Aceste formule trebuie să știe prin inimă.

Puteți scrie imediat și decideți:

Exemplu:

1. Dacă d\u003e 0, ecuația are două rădăcini.

2. Dacă d \u003d 0, ecuația are o singură rădăcină.

3. Dacă D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

Cu această ocazie, când discriminatorul este zero, în cursul școlii se spune că o singură rădăcină se dovedește, aici este egală cu nouă. Așa este și există, dar ...

Această viziune este oarecum incorectă. De fapt, se obțin două rădăcini. Da, nu fiți surprinși, se obțin două rădăcini egale, iar dacă sunteți corect din punct de vedere matematic, atunci două rădăcini trebuie înregistrate în răspuns:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Dar aceasta este atât de ușoară retragere. La școală pot scrie și spune că rădăcina este una.

Acum, următorul exemplu este:

După cum știm - rădăcina numărului negativ nu este eliminată, deci nu există soluții în acest caz.

Acesta este întregul proces de soluție.

Funcția patrată.

Aici se arată cum soluția arată geometric. Este extrem de important să înțelegem (în viitor, într-unul din articole, vom dezasambla în detaliu soluția de inegalitate pătrată).

Aceasta este funcția formularului:

unde x și y sunt variabile

a, B, C - set numere, cu ceea ce a ≠ 0

Programul este parabola:

Adică, se pare că decide ecuația pătrată la "Y" egală cu zero găsim punctul de intersecție a parabolei cu axa Oh. Aceste puncte pot fi două (pozitive discriminante), unul (discriminant este zero) și nu un singur (discriminant negativ). Detaliu O. funcția patrată puteți vizualiza Articolul Inna Feldman.

Luați în considerare exemplele:

Exemplul 1: Rezolva 2x. 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 B \u003d 8 C \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Răspuns: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* A fost posibilă imediat stânga și dreptul ecuației de a împărți 2, adică să-l simplifice. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2.–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 B \u003d -22 C \u003d 121

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Obținut că x 1 \u003d 11 și x 2 \u003d 11

Ca răspuns, este permisă scrierea x \u003d 11.

Răspuns: x \u003d 11

Exemplul 3: Decide x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 B \u003d -8 C \u003d 72

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Discriminanța este negativă, nu există soluții în numere valide.

Răspuns: Nu există soluții

Discriminatorul este negativ. Soluția este!

Aici se va discuta despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminator negativ. Știți ceva despre numerele integrate? Nu voi vorbi în detaliu de ce și unde au apărut și care este rolul lor specific și nevoia de matematică este subiectul unui articol separat.

Conceptul unui număr complex.

Un pic de teorie.

Numărul complex Z numit numărul de specii

z \u003d a + bi

unde A și B sunt numere valide, eu - așa-numita unitate imaginară.

a + BI. - Acesta este un singur număr, nu adăugați.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina unităților minus:

Acum ia în considerare ecuația:

A primit două rădăcini conjugate.

O ecuație incompletă pătrată.

Luați în considerare cazurile private, acesta este atunci când coeficientul "B" sau "C" este zero (sau ambele sunt zero). Ele sunt rezolvate cu ușurință fără discriminanțe.

Cazul 1. Coeficientul b \u003d 0.

Ecuația dobândește formularul:

Transformăm:

Exemplu:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Cazul 2. C \u003d 0 Coeficient.

Ecuația dobândește formularul:

Ne transformăm, stau la multiplicatori:

* Lucrarea este zero când cel puțin unul dintre multiplicatori este zero.

Exemplu:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 sau x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Cazul 3. Coeficienții b \u003d 0 și c \u003d 0.

Este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x \u003d 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care permit rezolvarea ecuațiilor cu coeficienți mari.

darx. 2 + bx.+ c.=0 Egalitatea se efectuează

a. + b. + C \u003d 0,acea

- dacă pentru coeficienții ecuației darx. 2 + bx.+ c.=0 Egalitatea se efectuează

a. + C \u003d.b., acea

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

Suma coeficienților este de 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, înseamnă

Exemplul 2: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Egalitatea se efectuează a. + C \u003d.b., Asa de

Legile coeficienților.

1. Dacă în ecuația AX + BX + C \u003d 0, coeficientul "B" este egal cu (A 2 +1), iar coeficientul "C" este numeric egal cu coeficientul "A", rădăcinile sale sunt egale

aX 2 + (A 2 +1) ∙ X + A \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d -A x 2 \u003d -1 / A.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Dacă în axul 2 - BX + C \u003d 0 ecuația, coeficientul "B" este egal cu (și 2 +1), iar coeficientul "C" este numeric egal cu coeficientul "A", rădăcinile sale sunt egale

aX 2 - (A 2 +1) ∙ x + A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d 1 / A.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 15x 2 -226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Dacă în ecuațieaX 2 + BX - C \u003d 0 Coeficientul "B" egal (2 - 1), și coeficientul "C" numeric egal cu coeficientul "A", atunci rădăcinile lui sunt egale

aX 2 + (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d - A x 2 \u003d 1 / A.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Dacă în ecuația axului 2 - BX - C \u003d 0, coeficientul "B" este egal cu (A 2 - 1), iar coeficientul este numeric egal cu coeficientul "A", rădăcinile sale sunt egale

axa 2 - (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d - 1 / A.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 10x 2 - 99x -10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Teorema Vieta.

Teorema Vieta este chemată de numele faimosului matematică franceză Francois Vieta. Folosind teorema Vieta, puteți exprima suma și produsul rădăcinilor arbitrare Ku prin coeficienții săi.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În concluzie, numărul 14 este dat doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcini. Cu o anumită abilitate, folosind teorema reprezentată de multe ecuații pătrate, puteți decide dacă să vină oral.

Teorema Vieta, în plus. Este convenabil deoarece, după rezolvarea ecuației pătrate în mod obișnuit (prin discriminator), rădăcinile obținute pot fi verificate. Vă recomandăm să faceți întotdeauna.

Metodă de trecere

În această metodă, coeficientul "A" este înmulțit de un membru liber, ca și cum "se mișcă", așa că este numit metoda de "tranzit".Această metodă este utilizată atunci când puteți găsi cu ușurință rădăcinile ecuației folosind teorema Vieta și, cel mai important, atunci când discriminatorul este un pătrat precis.

În cazul în care un dar± b + C.≠ 0, atunci recepția este utilizată, de exemplu:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Prin teorema Vieta în ecuația (2) este ușor să se determine că x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Rădăcinile obținute ale ecuației trebuie împărțite în 2 (deoarece de două ori de la x 2 "a fost mutat), obținem

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Care este justificarea? Uite ce se întâmplă.

Ecuațiile privind discriminanțele (1) și (2) sunt egale:

Dacă vă uitați la rădăcinile ecuațiilor, se obțin numai diferiți denominatori, iar rezultatul depinde de coeficientul de la X2:

A doua (modificată) rădăcini sunt obținute de 2 ori mai mult.

Prin urmare, rezultatul și împărțiți cu 2.

* Dacă aruncăm o călătorie, atunci rezultatul este separat de 3, etc.

Răspuns: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

Sq. Ur-ye și ege.

Voi spune despre importanța sa pe scurt - ar trebui să puteți rezolva rapid și fără să vă gândiți, formulele rădăcinilor și discriminanței trebuie să știți prin inimă. Foarte multe sarcini incluse în sarcinile utilizării sunt reduse la rezolvarea unei ecuații pătrate (inclusiv includerea geometrică).

Ce să sărbătorim!

1. Forma ecuației de înregistrare poate fi "implicită". De exemplu, această intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 sau 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 sau 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Trebuie să o aduceți la formularul standard (pentru a nu se confunda atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că X este o valoare necunoscută și poate fi indicată prin orice altă literă - t, q, p, h și altele.

"Asta este ecuațiile de gradul întâi. În această lecție vom analiza ceea ce se numește ecuație pătrată Și cum să o rezolvi.

Ceea ce se numește ecuație pătrată

Important!

Gradul de ecuație este determinat de cea mai mare măsură în care este unul necunoscut.

Dacă diploma maximă în care necunoscutul este "2", înseamnă că sunteți o ecuație pătrată.

Exemple de ecuații pătrate

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -X 2 + X +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

Important! Vederea generală a ecuației pătrate arată astfel:

A x 2 + B x + C \u003d 0

"A", "B" și "C" - numere specificate.

• "A" este primul sau senior coeficientul;
• "B" - al doilea coeficient;
• "C" este un membru gratuit.

Pentru a găsi "A", "B" și "C" trebuie să comparați ecuația cu o vedere comună a ecuației pătrate "AX 2 + BX + C \u003d 0".

Să avem grijă de determinarea coeficienților "A", "B" și "C" în ecuații pătrate.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 -X 2 + X +

Ecuația	Factori
a \u003d 5. b \u003d -14. c \u003d 17.
a \u003d -7. b \u003d -13. c \u003d 8.

1

3

= 0

• a \u003d -1.
• b \u003d 1.
• c \u003d.

  1

  3

x 2 + 0.25x \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0,25.
• c \u003d 0.

X 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0.
• c \u003d -8.

Cum de a rezolva ecuațiile pătrate

Spre deosebire de ecuațiile liniare pentru rezolvarea ecuațiilor pătrate, o specială formula pentru găsirea rădăcinilor.

Tine minte!

Pentru a rezolva ecuația pătrată de care aveți nevoie:

• creați o ecuație pătrată vedere generala "AX 2 + BX + C \u003d 0". Adică doar "0" ar trebui să rămână în partea dreaptă;
• utilizați formula rădăcină:

Să analizăm exemplul, cum să aplicați formula pentru găsirea rădăcinilor ecuației pătrate. Lăsați ecuația pătrată.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

Ecuația "x 2 - 3x - 4 \u003d 0" este deja dată aspectului total al "AX 2 + BX + C \u003d 0" și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru ao rezolva, avem suficient să aplicăm formula de găsire a rădăcinilor ecuației pătrate.

Definim coeficienții "A", "B" și "C" pentru această ecuație.

x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d

Cu aceasta, orice ecuație pătrată este rezolvată.

În formula "x 1; 2 \u003d" înlocuiește adesea expresia ghidată
"B 2 - 4AC" pe litera "D" și este numită discriminantă. Conceptul de discriminare este considerat mai detaliat în lecția "Ce este discriminator".

Luați în considerare un alt exemplu de ecuație pătrată.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

În acest formular, determină coeficienții "A", "B" și "C" este destul de dificil. Să dăm mai întâi ecuația cu tipul general "AX 2 + BX + C \u003d 0".

X 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
X 2 + 9 - 6X \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

Acum puteți utiliza formula rădăcină.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.

6

2

x \u003d 3.
Răspuns: x \u003d 3

Există cazuri în care nu există rădăcini în ecuații pătrate. Această situație apare atunci când un număr negativ este sub rădăcină.