Cum de a determina cea mai mare valoare derivată în program. La ce punct valoarea derivatului este cea mai mare? Calculul valorii derivate

În interimare ( dar,b.), dar h. - Este punctul selectat ale acestui decalaj aleator. Să dăm argument h. creştere Δх (pozitiv sau negativ).

Funcția y \u003d f (x) va primi o creștere la ΔU egală:

ΔY \u003d F (x + Δx) -F (x).

Cu infinit de mici ΔH creştere ΔU este, de asemenea, infinit de mic.

De exemplu:

Luați în considerare soluția funcției derivate pe exemplul căderii libere a corpului.

Deoarece t 2 \u003d t l + Δt, atunci

.

Calculați limita, găsim:

Desemnarea T1 este introdusă pentru a sublinia constanța t atunci când se calculează limita funcției. Deoarece t1 este o valoare arbitrară a timpului, indexul 1 poate fi aruncat; Apoi primim:

Se poate observa acea viteză v, ca și cum calea s., există funcţie timp. Vizualizarea funcției V. Totul depinde de tipul de funcție s.astfel încât funcția. s. ca și cum "produce" funcția "produce" v.. Prin urmare, numele " funcția derivată».

Ia în considerare un altul exemplu.

Găsiți valoarea funcției derivate:

y \u003d x 2 pentru x \u003d 7..

Decizie. Pentru x \u003d 7. avea y \u003d 7 2 \u003d 49. Să dăm argument h. creştere Δ h.. Argumentul va deveni egal 7 + Δ h., iar funcția va primi valoarea (7 + Δ x) 2..

Funcția derivată este una dintre temele complexe din programul școlar. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea a ceea ce este derivat.

Acest articol se vorbește pur și simplu despre ce este un derivat și pentru ceea ce are nevoie. Nu ne vom strădui să ne străduim pentru strictețea matematică a prezentării. Cel mai important lucru este să înțelegeți semnificația.

Ne amintim de definiția:

Derivatul este viteza schimbării funcției.

În imaginea - grafica a trei funcții. Ce credeți că crește mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare viteză de schimbare, adică cel mai mare derivat.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit simultan un loc de muncă. Să vedem cum sa schimbat venitul lor în cursul anului:

În program imediat totul poate fi văzut, nu-i așa? Venitul osului pentru o jumătate de an a crescut mai mult de două ori. Și veniturile Grisha au crescut, dar destul de puțin. Și venitul lui Matthew a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, iar viteza de schimbare a funcției, adică derivat- Diferite. În ceea ce privește Matei - venitul său este derivat negativ.

Intuitiv, evaluăm cu ușurință viteza de schimbare a funcției. Dar cum o faci?

De fapt, ne uităm la cât de cool se ridică graficul (sau în jos). Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă cu o schimbare în x. Evident, aceeași funcție la diferite puncte poate avea o valoare diferită a derivatului - adică poate varia mai repede sau mai lent.

Funcția derivată este indicată.

Afișați cum să găsiți utilizând graficul.

Un grafic este tras o anumită funcție. Luați un punct cu un Abscisa pe el. Revenim la acest punct tangent la funcția grafică. Vrem să evaluăm cât de răciți un grafic al unei funcții. Valoare confortabilă pentru acest lucru - unghiul de înclinare tangentă.

Derivatul funcției la punct este egal cu tangentul unghiului de înclinare, realizat în graficul funcției în acest moment.

Vă rugăm să rețineți - ca un unghi de etichetare tangentă, luăm un unghi între direcția tangentă și pozitivă a axei.

Uneori elevii întreabă ce tangent la grafica funcției. Acesta este un drept, având un singur punct comun cu un program pe acest complot și, după cum se arată în figura noastră. Arată ca un tangent circumferinței.

Vom găsi. Ne amintim că tangentul unui unghi acut într-un triunghi dreptunghiular este egal cu atitudinea din opus setch la cel adiacent. Din triunghi:

Am găsit un derivat cu ajutorul unui grafic, nici măcar cunoașterea funcției Formula. Astfel de sarcini sunt adesea găsite în examenul din matematică la număr.

Există un alt raport important. Amintiți-vă că direcția este dată de ecuație

Valoarea din această ecuație este numită coeficientul unghiular direct. Este egal cu tangentul unghiului de înclinare directă spre axă.

.

Obținem asta

Ne amintim această formulă. Acesta exprimă semnificația geometrică a derivatului.

Derivatul funcției la punct este egal cu coeficientul unghiular al tangentului, realizat în graficul funcției în acest moment.

Cu alte cuvinte, derivatul este egal cu unghiul de înclinare tangentă.

Am spus deja că aceeași funcție la diferite puncte poate avea un alt derivat diferit. Să vedem cum derivatul este asociat cu comportamentul funcției.

Desenați un grafic al unei anumite funcții. Lăsați această funcție să crească pe unele secțiuni, pe alții - scade, cu viteze diferite. Și chiar dacă această caracteristică va exista un punct de maxim și minim.

La acest punct, funcția crește. Tangentă la grafic, realizată la punct, formează un unghi ascuțit cu o direcție pozitivă a axei. Deci, la punctul derivat este pozitiv.

La acest punct, funcția noastră scade. Tanner în acest moment formează un unghi stupid cu o direcție pozitivă axă. Deoarece tangentul unghiului plictisitor este negativ, un derivat este negativ la punct.

Asta se pare:

Dacă funcția crește, derivatul său este pozitiv.

Dacă scade, derivatul său este negativ.

Și ceea ce va fi la punctele maxime și minim? Vedem că la punctele (punctul maxim) și (punct minim) tangent orizontal. În consecință, unghiul de înclinare tangentă tangentă la aceste puncte este zero, iar derivatul este, de asemenea, zero.

Punctul este un punct maxim. În acest moment, funcția de creștere este înlocuită de descendent. În consecință, semnul modificărilor derivate într-un punct cu un "plus" la "minus".

La punct - punctul minim - derivatul este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la "minus" la "plus".

Concluzie: Cu ajutorul unui derivat, puteți afla despre comportamentul funcției tot ce ne interesează.

Dacă derivatul este pozitiv, atunci funcția crește.

Dacă derivatul este negativ, funcția scade.

În punctul maxim, derivatul este zero și schimbă semnul de la "plus" la "minus".

În punctul minim, derivatul este, de asemenea, zero și schimbă semnul de la "minus" la "plus".

Scriu aceste concluzii sub forma unei mese:

	crește	punct maxim	scădea	punct de minim	crește
+	0	-	0	+

Vom face două clarificări mici. Unul dintre ele va avea nevoie de tine la rezolvarea sarcinilor de utilizare. Altele - în primul an, cu un studiu mai grav al funcțiilor și derivatelor.

Un caz este posibil atunci când instrumentul derivat al funcției la un moment dat este zero, dar nu maxim, nici o funcție minimă în acest moment în acest moment. Aceasta este așa-numita :

La punctul tangent la grafica orizontală și derivatul este zero. Cu toate acestea, funcția funcției a crescut - și după ce punctul continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - a fost pozitiv și a rămas.

De asemenea, se întâmplă că, la punctul maxim sau minim, derivatul nu există. În diagramă, aceasta corespunde unei ruperea ascuțită atunci când tangentul este imposibil în acest moment.

Și cum să găsiți un derivat dacă funcția nu este specificată de program, ci prin formula? În acest caz, aplicat

Au existat noi sarcini. Să analizăm decizia lor.

Prototipul sarcinii B8 (nr. 317543)

Figura arată un grafic al funcției y \u003d f (x) și puncte -2, -1, 1, 2, 2. În care din aceste puncte, valoarea derivatului este cea mai mare? Ca răspuns, specificați acest punct.

După cum știm, a sunat

limita relației funcției funcției de creștere a argumentului atunci când creșterile argumentului tinde la zero:

Derivatorul la punct arată schimbarea vitezei In acest punct. Cu cât funcționează mai repede funcția, adică, cu atât este mai mare creșterea funcției, cu atât este mai mare unghiul de înclinare. Deoarece sarcina necesită determinarea punctului în care valoarea derivatului este cea mai mare, vom exclude din examinarea punctului cu abscoarce -1 și 1 - în aceste puncte, funcția scade, iar derivatul în ele este negativ.

Funcția crește la punctele -2 și 2. Cu toate acestea, crește în ele în moduri diferite - la punctul -2 graficul funcției se ridică mai abrupt decât la punctul 2 și, prin urmare, creșterea funcției în acest punct și, înseamnă că derivatul este mai mult.

Răspuns: -2.

Și sarcină similară:

Prototip de sarcină B8 (nr. 317544)

Figura prezintă programul de funcții și sunt marcate -2, -1, 1, 4. În care dintre aceste puncte este valoarea derivatului celui mai mic? Ca răspuns, specificați acest punct.

Soluția la această problemă este similară cu soluția precedentului "cu acuratețea față de opusul"

Suntem interesați de un punct în care derivatul ia cel mai mic semnificație, adică, căutăm un punct în care funcția scade cel mai repede - pe diagramă este un punct în care cel mai tare "coborâre". Acesta este un punct cu Abscissa 4.

Această secțiune conține sarcinile EGE în matematică pe subiecte asociate studiului funcțiilor și a derivaților acestora.

În opțiunile de demonstrație EGE 2020. ani se pot întâlni la număr 14 pentru nivel de bază și număr 7 Pentru nivel de profil.

Uită-te cu atenție pe aceste trei grafice de funcții.
Ați observat că aceste funcții într-un sens "rude"?
De exemplu, în acele zone în care graficul funcției verde este situat deasupra zero, funcția roșie crește. În acele situri în care graficul funcției verde este sub zero, funcția roșie scade.
Comentariile similare pot fi făcute cu privire la graficele roșii și albastre.
De asemenea, puteți observa că zerourile funcției verzi (puncte x. \u003d -1 I. x. \u003d 3) coincid cu punctele extrem de grafice: când x. \u003d -1 pe graficul roșu vedem un maxim local, cu h. \u003d 3 pe programul roșu este un minim local.
Este ușor de văzut că Maxima locală și minimele grafului albastru sunt realizate în aceleași puncte în care programul roșu trece prin valoare. y. = 0.
Puteți lua câteva concluzii cu privire la particularitățile comportamentului acestor grafice, deoarece acestea sunt cu adevărat legate între ele. Uită-te la formulele funcțiilor situate sub fiecare dintre grafice și prin calcule, asigurați-vă că fiecare anterior este derivată pentru următorul și, în consecință, fiecare următor este una dintre funcțiile anterioare pre-educate.

φ 1 (x. ) = φ" 2 (x. ) φ 2 (x. ) = Φ 1 (x. )
φ 2 (x. ) = φ" 3 (x. ) φ 3 (x. ) = Φ 2 (x. )

Reamintim că știm despre derivat:

Funcția derivată y. = f.(x.) La punctul h. exprimă viteza schimbării funcției la punct x..

Derivat de sens fizic Este faptul că derivatul exprimă rata de procedură a procesului descrisă de dependența Y \u003d F (x).

Semnificația geometrică a derivatului Este ca valoarea sa în punctul considerat, este egală cu coeficientul unghiular al tangențial, efectuat la graficul funcției diferențiate în acest moment.

Și acum lăsați grafica roșie în desen nu este. Să presupunem că ambele formule sunt necunoscute.

Pot să vă întreb despre ceva legat de comportamentul funcției φ 2 (x. ) Dacă se știe că este o funcție derivată φ 3 (x. ) și funcția primitivă φ 1 (x. )?
Poate sa. Și puteți da un răspuns precis la multe întrebări, deoarece știm că derivatul este caracteristic funcției schimbării schimbării, astfel încât să putem judeca unele dintre comportamentele uneia dintre aceste funcții, privind programul celuilalt.

Înainte de a răspunde la următoarele întrebări, derulați pagina în sus astfel încât modelul de sus care conține programul roșu este ascuns. Când sunt date răspunsurile, returnați-l înapoi pentru a verifica rezultatul. Și numai după aceea, vedeți decizia mea.

Atenţie: Pentru a spori efectul de învățare răspunsuri și soluții Încărcarea separat pentru fiecare sarcină pentru a apela în serie butoanele pe un fundal galben. (Când există multe sarcini, butoanele pot apărea cu o întârziere. Dacă butoanele nu sunt vizibile, verificați dacă este permisă în browserul dvs. JavaScript.)

1) Utilizarea graficului derivatului φ" 2 (x. ) (În cazul nostru, acesta este un program verde), definiți ce dintre cele două valori ale funcției mai mult φ 2 (-3) sau φ 2 (−2)?

În funcție de graficul derivatului, se poate observa că este strict pozitiv în secțiunea [-3; -2], înseamnă că funcția din această zonă este în creștere numai, astfel încât valoarea funcției din stânga x. \u003d -3 mai puțin decât valoarea sa la capătul drept x. = −2.

Răspuns: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Utilizarea graficului primar Φ 2 (x. ) (În cazul nostru, acesta este un program albastru), determinați care dintre cele două valori ale funcției mai mult φ 2 (-1) sau φ 2 (4)?

Potrivit graficelor, este clar că punctul x. \u003d -1 este în zona de creștere, prin urmare valoarea derivatului corespunzător este pozitivă. Punct x. \u003d 4 este situată pe locul de scădere și valoarea derivatului corespunzător negativ. Deoarece valoarea pozitivă este mai negativă, încheiem - valoarea unei funcții necunoscute, care este doar un derivat, la punctul 4 mai mic decât la punctul -1.

Răspuns: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Pot exista o mulțime de astfel de întrebări pe grafica lipsă, ceea ce provoacă o mare varietate de sarcini cu un răspuns scurt, construit în conformitate cu aceeași schemă. Încercați să rezolvați unele dintre ele.

Sarcini pentru determinarea caracteristicilor derivate de pe grafica funcției.

Imaginea 1.

Figura 2.

Sarcina 1.

y. = f. (x. ), determinată la intervalul (-10,5, 19). Determinați numărul de numere întregi în care funcția derivată este pozitivă.

Funcția derivată este pozitivă în acele zone în care funcția crește. Figura arată că aceste intervale (-10,5, -7,6), (-1; 8,2) și (15,7, 19). Listăm toate punctele din aceste intervale: "-10", "- 9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6 - "7", "8", "16", "17", "18". Total 15 puncte.

Răspuns: 15

Comentarii.
1. Când diagramele din grafice necesită numele "Puncte", de regulă, înțelegem doar valorile argumentului x. Care sunt abscoarcerea punctelor corespunzătoare situate pe grafic. Ordinii acestor puncte sunt valorile funcției, ele sunt dependente și pot fi ușor calculate dacă este necesar.
2. La listarea punctelor, nu am luat în considerare marginile intervalelor, deoarece funcția la aceste puncte nu crește și nu scade, ci "se desfășoară". Derivatul la astfel de puncte nu este pozitiv și nu negativ, este zero, deci sunt numiți puncte staționare. În plus, nu luăm în considerare limitele zonei de definiție aici, deoarece condiția se spune că acesta este intervalul.

Sarcina 2.

Figura 1 prezintă un grafic grafic y. = f. (x. ), determinată la intervalul (-10,5, 19). Determinați numărul de numere întregi în care funcția derivată f " (x. ) Negativ.

Funcția derivată este negativă în acele zone în care funcția scade. Figura arată că aceste intervale (-7,6; -1) și (8,2; 15,7). Puncte întregi în cadrul acestor intervale: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "-3", "- 2", "9", "10", "11", "12 - "13", "14", "15". Total 13 puncte.

Răspuns: 13

Consultați comentariile la sarcina anterioară.

Pentru a rezolva următoarele sarcini, trebuie să vă amintiți o altă definiție.

Caracteristicile maxime și minime sunt combinate cu un nume comun - puncte de extremum. .

La aceste puncte, funcția derivată este fie zero, fie nu există ( condiție extrem de necesară).
Cu toate acestea, condiția necesară este un semn, dar nu o garanție a existenței unei funcții extremum. O condiție suficientă pentru extremum Este o schimbare a semnului derivatului: dacă derivatul la momentul modifică semnul de la "+" la "-", atunci acesta este punctul funcției maxime; Dacă derivatul la momentul modifică semnul de la "-" pe "+", acesta este punctul de lucru minim; Dacă, la punctul, funcția derivată este zero sau nu există, dar semnul derivatului în timpul tranziției prin acest punct nu se schimbă la opusul, atunci punctul specificat nu este un punct extrem al funcției. Acesta poate fi un punct de îndoire, un punct de întrerupere sau un punct de întrerupere a unei funcții a unei funcții.

Sarcina 3.

Figura 1 prezintă un grafic grafic y. = f. (x. ), determinată la intervalul (-10,5, 19). Găsiți numărul de puncte în care funcția tangentă funcției este paralelă cu direcția y. \u003d 6 sau coincide cu ea.

Amintiți-vă că ecuația directă are punctul de vedere y. = kX. + b. Unde k. - Coeficientul de înclinare a acestui director direct la axă BOU.. În cazul nostru k. \u003d 0, adică Drept y. \u003d 6 nu sunt înclinate, dar paralele cu axa BOU.. Înseamnă că tangentele dorite ar trebui să fie, de asemenea, paralele cu axa BOU. Și trebuie să aibă și un factor de înclinare 0. Această proprietate a tangentelor posedă la punctele de extrem de funcții. Prin urmare, pentru a răspunde la întrebarea, trebuie doar să numărați toate punctele extrem des în program. Aici sunt 4 - două puncte de maxim și două puncte de minim.

Răspuns: 4

Sarcina 4.

Funcții y. = f. (x. ), determinată pe interval (-11; 23). Găsiți cantitatea de funcții de puncte extremum pe segment.

Pe segmentul specificat, vedem 2 puncte de extremum. Funcția maximă se realizează la punct x. 1 \u003d 4, minim la punct x. 2 = 8.
x. 1 + x. 2 = 4 + 8 = 12.

Răspuns: 12

Sarcina 5.

Figura 1 prezintă un grafic grafic y. = f. (x. ), determinată la intervalul (-10,5, 19). Găsiți numărul de puncte în care funcția derivată f " (x. ) Egal cu 0.

Funcția derivată este zero la punctele extremum, care sunt văzute în graficul 4:
2 puncte de maxim și 2 puncte minim.

Răspuns: 4

Sarcini pentru determinarea caracteristicilor funcției asupra graficului derivatului său.

Imaginea 1.

Figura 2.

Sarcina 6.

Figura 2 prezintă un grafic f " (x. ) - funcția derivată f. (x. ), determinată pe interval (-11; 23). La ce punct este segmentul [-6; 2] f. (x. ) ia cea mai mare valoare.

În secțiunea specificată, derivatul nu a fost pozitiv, prin urmare, funcția nu a crescut. A refuzat sau trecut prin puncte staționare. Astfel, funcția a obținut cea mai mare valoare pe marginea stângă a segmentului: x. = −6.

Răspuns: −6

Cometariu: Potrivit graficului, derivatul arată că pe segmentul [-6; 2] este zero de trei ori: la puncte x. = −6, x. = −2, x. \u003d 2. Dar la punct x. \u003d -2 Nu a schimbat semnul, atunci în acest moment nu ar putea fi o funcție extremum. Cel mai probabil a existat un punct de inflexiune a graficului funcției originale.

Sarcina 7.

Figura 2 prezintă un grafic f " (x. ) - funcția derivată f. (x. ), determinat pe interval (-11; 23). În ce punct al segmentului, funcția ia cea mai mică valoare.

Pe segment, derivatul este strict pozitiv, prin urmare, funcția din această zonă a crescut doar. Astfel, cea mai mică funcție atinsă pe marginea stângă a segmentului: x. = 3.

Răspuns: 3

Sarcina 8.

Figura 2 prezintă un grafic f " (x. ) - funcția derivată f. (x. ), determinată pe interval (-11; 23). Găsiți numărul de caracteristici ale funcției maxime f. (x. ), aparținând segmentului [-5; 10].

În funcție de starea extremumului dorită, funcția maximă poate La punctele în care derivatul său este zero. Pe un segment dat, aceste puncte: x. = −2, x. = 2, x. = 6, x. \u003d 10. Dar, conform unei condiții suficiente, el desigurnumai în aceia în care semnul derivate se schimbă cu "+" la "-". Pe graficul derivatului observăm că numai punctul este din punctele enumerate x. = 6.

Răspuns: 1

Sarcina 9.

Figura 2 prezintă un grafic f " (x. ) - funcția derivată f. (x. ), determinat pe interval (-11; 23). Găsiți numărul de caracteristici ale punctelor extremum f. (x. ) aparținând segmentului.

Funcțiile extreme pot fi în acele puncte în care derivatul său este 0. Pe un anumit segment al graficului, vedem 5 astfel de puncte: x. = 2, x. = 6, x. = 10, x. = 14, x. \u003d 18. Dar la punct x. \u003d 14 Derivatul nu a schimbat semnul, prin urmare ar trebui să fie exclus din considerație. Astfel, rămân 4 puncte.

Răspuns: 4

Sarcina 10.

Figura 1 prezintă un grafic f " (x. ) - funcția derivată f. (x. ), determinată la intervalul (-10,5, 19). Găsiți ratele de creștere a funcției f. (x. ). Ca răspuns, specificați lungimea celor mai mari dintre ele.

Gapurile de creștere a funcției coincid cu lacunele derivatului de pozitivitate. Pe grafic, le vedem trei - (-9; -7), (4; 12), (18; 19). Cea mai lungă dintre ele este a doua. Lungimea lui l. = 12 − 4 = 8.

Răspuns: 8

Sarcina 11.

Figura 2 prezintă un grafic f " (x. ) - funcția derivată f. (x. ), determinat pe interval (-11; 23). Găsiți numărul de puncte în care o funcție tangentă f. (x. ) Paralel direct. y. = −2x. − 11 sau coincide cu ea.

Coeficientul unghiular (este tangentul unghiului de înclinare) al sistemului K \u003d -2 specificat. Suntem interesați de tangenți paraleli sau coincidenți, adică. Drept cu aceeași pantă. Pe baza semnificației geometrice a coeficientului de derivat - unghiular al tangențialului în punctul considerat al graficului funcției, traducem punctele în care derivatul este egal cu -2. Figura 2 din astfel de puncte 9. Este convenabil să se bazeze pe intersecțiile graficului și linia de rețea de coordonate care trece prin valoarea -2 pe axa Oy..

Răspuns: 9

După cum puteți vedea, unul și același program puteți pune o gamă largă de întrebări despre comportamentul funcției și derivatul său. De asemenea, o întrebare poate fi atribuită graficelor de diferite funcții. Fiți atenți la rezolvarea acestei sarcini la examen și vă va părea foarte ușor. Alte tipuri de sarcini ale acestei sarcini - asupra sensului geometric al primitiv - vor fi luate în considerare într-o altă secțiune.

Buna! Voi lovi abordarea, de exemplu, jocul cu formare sistematică de înaltă calitate și perseverența în măcinarea granitului științei! ÎN Sfârșitul postului este o sarcină competitivă, fi prima dată! Într-unul din articolele din această categorie, suntem cu programul de funcții și diverse probleme legate de extrem de, intervale crescânde (descendente) și altele au fost ridicate.

În acest articol, vom lua în considerare sarcinile matematicii privind matematica, în care se administrează graficul funcției derivate și se stabilesc următoarele întrebări:

1. În ce punct din segmentul specificat, funcția ia cea mai mare (sau cea mai mică) valoare.

2. Găsiți numărul de funcții maxime (sau minime) aparținând unui segment dat.

3. Găsiți numărul de funcții de puncte extremum aparținând unui segment dat.

4. Găsiți punctul extremum al funcției aparținând segmentului specificat.

5. Găsiți golurile de creștere (sau descendentă) și ca răspuns la specificarea cantității de puncte întregi în cadrul acestor intervale.

6. Găsiți golurile de creștere (sau descendenți). Ca răspuns, indicați durata celor mai mari dintre aceste lacune.

7. Găsiți numărul de puncte în care funcția funcției-tangentă este paralelă cu forma directă y \u003d kx + b sau coincide cu ea.

8. Găsiți un punct Abscisa în care funcția tangentă la funcția paralelă cu axa Abscisa sau coincide cu ea.

Pot exista alte întrebări, dar nu vor cauza dificultăți dacă înțelegeți și (link-urile sunt enumerate la articole în care sunt prezentate informațiile necesare pentru rezolvare, vă recomand să repetați).

Informații de bază (pe scurt):

1. Derivația la intervale de creștere are un semn pozitiv.

Dacă derivatul la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, atunci funcția grafic la acest interval crește.

2. La intervale de planetate, derivatul are un semn negativ.

Dacă derivatul la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci programul funcției scade la acest interval.

3. Derivatul la punctul X este egal cu coeficientul unghiular al tangențial, efectuat la grafica funcției în același punct.

4. La punctele extremum (minimul maxim), funcția derivată este zero. Tanner la grafica funcției în acest moment paralel cu axa Oh.

Este necesar să înțelegem clar și să vă amintiți!

Multe grafice ale derivatului "confuz". Unele neatenție iau-o pentru programul funcției în sine. Prin urmare, în astfel de clădiri, unde vedeți că se administrează programul, accentuați imediat atenția asupra faptului că este dat: un program de funcționare sau un grafic al funcției derivate?

Dacă acesta este un grafic al funcției derivate, se referă la acesta ca și cum ar fi "reflectă" funcția în sine, care vă oferă pur și simplu informații despre această funcție.

Luați în considerare sarcina:

Figura arată un grafic y \u003d.f.'(X) - Funcția derivată f.(X)determinată pe interval (-2; 21).

Răspundeți la următoarele întrebări:

1. La ce punct funcția segmentului f.(X) ia cea mai mare valoare.

Într-o secțiune dată, funcția derivată este negativă, înseamnă că funcția scade pe acest segment (scade de la limita stângă a intervalului spre dreapta). Astfel, cea mai mare valoare a funcției este realizată pe marginea stângă a segmentului, adică la punctul 7.

Răspuns: 7.

2. La ce punct funcția segmentului f.(X)

Pentru acest program, derivatul poate spune următoarele. Într-o anumită secțiune, funcția derivată este pozitivă, înseamnă că funcția de pe acest segment crește (crește de la limita stângă a intervalului spre dreapta). Astfel, cea mai mică valoare a funcției este realizată pe marginea stângă a segmentului, adică la punctul X \u003d 3.

Răspuns: 3.

3. Găsiți numărul de caracteristici ale funcției maxime f.(X)

Punctele maxime corespund punctului de schimbare a semnului derivatului cu un caracter pozitiv la negativ. Luați în considerare unde se schimbă semnul.

Pe segmentul (3; 6), derivatul este pozitiv, pe segmentul (6; 16) este negativ.

La tăietura (16; 18), derivatul este pozitiv, pe segmentul (18; 20) este negativ.

Astfel, pe un segment dat, funcția are două puncte de maxim x \u003d 6 și x \u003d 18.

Răspuns: 2.

4. Găsiți numărul de puncte ale funcției minime f.(X)aparținând segmentului.

Punctele minime corespund punctelor de schimbare a punctului cu un negativ la pozitiv. Avem pe intervalul (0; 3) derivatul este negativ, pe intervalul (3; 4) este pozitiv.

Astfel, pe segment, funcția are un singur punct de minim x \u003d 3.

* Aveți grijă la înregistrarea unui răspuns - numărul de puncte este înregistrat și nu valoarea X, o astfel de eroare poate fi permisă din cauza neatenției.

Raspunsul 1.

5. Găsiți numărul de caracteristici ale punctelor extremum f.(X)aparținând segmentului.

Vă rugăm să rețineți că trebuie să găsiți cantitate Puncte de extremum (acestea sunt punctele maxime și punctele minime).

Punctele extremum corespund punctului de schimbare a semnului derivatului (cu un pozitiv la negativ sau viceversa). În acest program, aceasta este funcțiile zero. Derivația se referă la zero la punctele 3, 6, 16, 18.

Astfel, pe segment, funcția are 4 puncte de extremum.

Răspuns: 4.

6. Găsiți intervalele crescânde ale funcției f.(X)

Lacune de creștere a acestei funcții f.(X) corespund decalajelor pe care este pozitiv derivat, adică intervale (3; 6) și (16; 18). Vă rugăm să rețineți că limitele intervalelor nu sunt incluse în acesta (paranteze rotunde - limitele nu sunt incluse în interval, Pătrat - sunt incluse). Aceste intervale conțin numere întregi 4, 5, 17. Cantitatea lor este: 4 + 5 + 17 \u003d 26

Răspuns: 26.

7. Găsiți flatitatea funcției f.(X) La un anumit interval. Ca răspuns, specificați cantitatea de puncte întregi din aceste intervale.

Lumini de scădere a funcției f.(X) corespund decalajelor pe care funcția derivată este negativă. În această sarcină, aceste intervale (-2; 3), (6; 16), (18; 21).

Aceste intervale conțin următoarele puncte întregi: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Suma lor este egală cu:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Răspuns: 140.

* Acordați atenție condiției: dacă limitele sunt incluse în interval sau nu. În cazul în care limitele sunt incluse, atunci în soluțiile intervale luate în considerare, aceste limite trebuie, de asemenea, luate în considerare.

8. Găsiți intervalele crescânde ale funcției f.(X)

Șinele de creștere a funcției f.(X) corespund decalajelor pe care funcția derivată este pozitivă. Le-am indicat deja: (3; 6) și (16; 18). Cel mai mare dintre ele este intervalul (3; 6), lungimea sa este de 3.

Răspuns: 3.

9. Găsiți flatitatea funcției f.(X). Ca răspuns, specificați lungimea celor mai mari dintre ele.

Lumini de scădere a funcției f.(X) corespund decalajelor pe care funcția derivată este negativă. Le-am indicat deja, acestea sunt intervale (-2; 3), (6; 16), (18; 21), lungimile lor sunt, respectiv, 5, 10, 3.

Lungimea celui mai mare este de 10.

Răspuns: 10.

10. Găsiți numărul de puncte în care funcția tangentă f.(X) Paralel direct y \u003d 2x + 3 sau coincide cu el.

Valoarea derivatului la punctul de atingere este egală cu coeficientul unghiular al tangentului. Deoarece tangentul paralel cu y \u003d 2x + 3 sau coincide cu acesta, atunci coeficienții lor unghiulari sunt egali cu 2. Deci, este necesar să se găsească numărul de puncte în care Y '(x 0) \u003d 2. geometric, Aceasta corespunde numărului de puncte de intersecție a graficului derivatului cu un Y \u003d 2. la acest interval de astfel de puncte 4.

Răspuns: 4.

11. Găsiți punctul extremum al funcției f.(X)aparținând segmentului.

Punctul de funcție extremum este un astfel de punct în care derivatul său este zero, cu ceva în vecinătatea acestui punct, derivatul schimbă semnul (de la un pozitiv la negativ sau viceversa). Pe segment, graficul derivat intersectează axa Abscisa, derivatul modifică semnul de la cel negativ pe cel pozitiv. În consecință, punctul X \u003d 3 este un punct extremum.

Răspuns: 3.

12. Găsiți abscissiile punctelor în care tangentele pentru graficul y \u003d f (x) sunt paralele cu axa Abscisa sau coincid cu el. Ca răspuns, specificați cele mai mari dintre ele.

TANNER LA GRAFUL Y \u003d F (X) poate fi paralel cu axa Abscisa sau coincid cu ea, numai la punctele în care derivatul este zero (poate fi punctele extremumului sau staționare, în vecinătatea căreia derivatul are derivatul nu schimba semnul său). Conform acestui program, se poate observa că derivatul este zero la punctele 3, 6, 16,18. Cel mai mare este de 18 ani.

Puteți construi raționamentul în acest fel:

Valoarea derivatului la punctul de atingere este egală cu coeficientul unghiular al tangentului. Deoarece axa paralelă tangențială a abscisa sau coincide cu ea, coeficientul său unghiular este 0 (unghiul cu adevărat tangent la zero grade este zero). În consecință, căutăm un punct în care coeficientul unghiular este zero, ceea ce înseamnă că derivatul este zero. Derivatul este zero în acel moment în care programul său traversează axa Abscisa, iar acestea sunt punctele 3, 6, 16.18.

Răspuns: 18.

Figura arată un grafic y \u003d.f.'(X) - Funcția derivată f.(X)determinată pe interval (-8; 4). La ce punct este funcția segmentului [-7; -3] f.(X) Ia cea mai mică valoare.

Figura arată un grafic y \u003d.f.'(X) - Funcția derivată f.(X)determinată pe interval (-7; 14). Găsiți numărul de caracteristici ale funcției maxime f.(X)aparținând segmentului [-6; 9].

Figura arată un grafic y \u003d.f.'(X) - Funcția derivată f.(X)determinată pe interval (-18; 6). Găsiți numărul de puncte minime de puncte f.(X)aparținând segmentului [-13; 1].

Figura arată un grafic y \u003d.f.'(X) - Funcția derivată f.(X)definit la intervalul (-11; -11). Găsiți numărul de caracteristici ale punctelor extremum f.(X)aparținând segmentului [-10; -10].

Figura arată un grafic y \u003d.f.'(X) - Funcția derivată f.(X)definită pe interval (-7; 4). Găsiți ratele de creștere a funcției f.(X). Ca răspuns, specificați cantitatea de puncte întregi din aceste intervale.

Figura arată un grafic y \u003d.f.'(X) - Funcția derivată f.(X)determinată pe interval (-5; 7). Găsiți flatitatea funcției f.(X). Ca răspuns, specificați cantitatea de puncte întregi din aceste intervale.

Figura arată un grafic y \u003d.f.'(X) - Funcția derivată f.(X)determinată pe interval (-11; 3). Găsiți ratele de creștere a funcției f.(X). Ca răspuns, specificați lungimea celor mai mari dintre ele.

F Imaginea arată un grafic

Starea sarcinii este aceeași (pe care am luat-o). Găsiți suma a trei numere:

1. Suma pătratelor funcțiilor extremum F (x).

2. Diferența de pătrate suma punctelor maxime și suma punctelor funcției minime f (x).

3. Cantitatea de tangente la f (x), paralel cu directul y \u003d -3x + 5.

Primul care va da răspunsul potrivit va primi un premiu de stimulare - 150 de ruble. Răspunsuri Scrieți în comentarii. Dacă acesta este primul dvs. comentariu pe blog, apoi imediat nu va apărea, puțin mai târziu (nu vă faceți griji, timpul de scriere a unui comentariu este înregistrat).

Succesul pentru tine!

Cu sinceritate, Alexander Krutitsih.

P.S: Voi fi recunoscător dacă vă spuneți despre site-ul de pe rețelele sociale.