Formula pentru modulul deplasării corpului în mișcare uniform accelerată. Ecuația de proiecție a deplasării

Pagina 8 din 12

§ 7. Mișcare cu accelerată uniform
mișcare rectilinie

1. Folosind un grafic al vitezei în funcție de timp, puteți obține formula pentru deplasarea unui corp cu mișcare rectilinie uniformă.

Figura 30 prezintă un grafic al proiecției vitezei de mișcare uniformă pe axă X din timp. Dacă stabilim o perpendiculară pe axa timpului la un moment dat C, apoi obținem un dreptunghi OABC. Aria acestui dreptunghi este egală cu produsul laturilor OAși OC. Dar lungimea laterală OA este egal cu v x, și lungimea laterală OC - t, prin urmare S = v x t. Produsul proiecției vitezei pe axă X iar timpul este egal cu proiecția deplasării, i.e. s x = v x t.

În acest fel, proiecția deplasării pentru mișcarea rectilinie uniformă este numeric egală cu aria dreptunghiului delimitată de axele de coordonate, graficul vitezei și perpendiculara ridicată pe axa timpului.

2. Obținem în mod similar formula pentru proiecția deplasării într-o mișcare rectilinie uniform accelerată. Pentru a face acest lucru, folosim graficul dependenței proiecției vitezei pe axă X din timp (Fig. 31). Selectați o zonă mică pe grafic abși aruncați perpendicularele din puncte Ași b pe axa timpului. Dacă intervalul de timp D t, corespunzător secțiunii CD pe axa timpului este mică, atunci putem presupune că viteza nu se modifică în această perioadă de timp și corpul se mișcă uniform. În acest caz figura cabd diferă puțin de un dreptunghi și aria lui este numeric egală cu proiecția mișcării corpului în timpul corespunzător segmentului CD.

Puteți sparge întreaga figură în astfel de benzi OABC, iar aria sa va fi egală cu suma ariilor tuturor benzilor. Prin urmare, proiecția mișcării corpului în timp t numeric egal cu aria trapezului OABC. Din cursul de geometrie, știți că aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea: S= (OA + î.Hr)OC.

După cum se poate observa din figura 31, OA = v 0X , î.Hr = v x, OC = t. Rezultă că proiecția deplasării este exprimată prin formula: s x= (v x + v 0X)t.

Cu o mișcare rectilinie uniform accelerată, viteza corpului în orice moment este egală cu v x = v 0X + a x t, prin urmare, s x = (2v 0X + a x t)t.

De aici:

Pentru a obține ecuația de mișcare a corpului, înlocuim în formula proiecției deplasării expresia acesteia prin diferența de coordonate s x = X – X 0 .

Primim: X – X 0 = v 0X t+ , sau

X = X 0 + v 0X t + .

Conform ecuației mișcării, este posibil să se determine coordonatele corpului în orice moment, dacă sunt cunoscute coordonatele inițiale, viteza inițială și accelerația corpului.

3. În practică, există adesea probleme în care este necesar să se găsească deplasarea unui corp în timpul mișcării rectilinie uniform accelerate, dar timpul de mișcare este necunoscut. În aceste cazuri, se utilizează o formulă diferită de proiecție a deplasării. Sa o luam.

Din formula pentru proiecția vitezei mișcării rectilinie uniform accelerate v x = v 0X + a x t hai sa exprimam timpul:

t = .

Înlocuind această expresie în formula de proiecție a deplasării, obținem:

s x = v 0X + .

De aici:

s x = , sau
–= 2a x s x.

Dacă viteza inițială a corpului este zero, atunci:

2a x s x.

4. Exemplu de rezolvare a problemei

Schiorul coboară versantul de munte dintr-o stare de repaus cu o accelerație de 0,5 m/s 2 în 20 s și apoi se deplasează de-a lungul secțiunii orizontale, după ce a parcurs o oprire de 40 m. Cu ce accelerație s-a deplasat schiorul de-a lungul suprafata orizontala? Care este lungimea pantei muntelui?

Dat:

Soluţie

v 01 = 0

A 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

Mișcarea schiorului constă în două etape: în prima etapă, coborând de pe versantul muntelui, schiorul se deplasează cu o viteză crescândă în valoare absolută; în a doua etapă, când se deplasează de-a lungul unei suprafețe orizontale, viteza acesteia scade. Valorile aferente primei etape a mișcării se vor scrie cu indicele 1, iar cele aferente etapei a doua cu indicele 2.

A 2?

s 1?

Vom conecta sistemul de referință cu Pământul, axa X să ne direcționăm în direcția vitezei schiorului în fiecare etapă a mișcării sale (Fig. 32).

Să scriem ecuația pentru viteza schiorului la sfârșitul coborârii de pe munte:

v 1 = v 01 + A 1 t 1 .

În proiecții pe axă X primim: v 1X = A 1X t. Deoarece proiecţiile vitezei şi acceleraţiei pe axă X sunt pozitive, modulul vitezei schiorului este: v 1 = A 1 t 1 .

Să scriem o ecuație care să raporteze proiecțiile vitezei, accelerației și mișcării schiorului în a doua etapă a mișcării:

–= 2A 2X s 2X .

Avand in vedere ca viteza initiala a schiorului in aceasta etapa a miscarii este egala cu viteza sa finala in prima etapa

v 02 = v 1 , v 2X= 0 obținem

– = –2A 2 s 2 ; (A 1 t 1) 2 = 2A 2 s 2 .

De aici A 2 = ;

A 2 == 0,125 m/s 2.

Modulul de mișcare al schiorului în prima etapă de mișcare este egal cu lungimea pârtiei de munte. Să scriem ecuația pentru deplasare:

s 1X = v 01X t + .

Prin urmare lungimea versantului muntelui este s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Răspuns: A 2 \u003d 0,125 m / s 2; s 1 = 100 m.

Întrebări pentru autoexaminare

1. Ca în conformitate cu graficul proiecției vitezei mișcării rectilinie uniforme pe axă X

2. Ca în conformitate cu graficul proiecției vitezei mișcării rectilinie uniform accelerate pe axă X din timp pentru a determina proiecția deplasării corpului?

3. Ce formulă este folosită pentru a calcula proiecția deplasării unui corp în timpul mișcării rectilinie uniform accelerate?

4. Ce formulă se utilizează pentru a calcula proiecția deplasării unui corp care se mișcă uniform accelerat și rectiliniu dacă viteza inițială a corpului este zero?

Sarcina 7

1. Care este modulul de deplasare al unei mașini în 2 minute dacă în acest timp viteza sa s-a schimbat de la 0 la 72 km/h? Care este coordonatele mașinii la momentul respectiv t= 2 min? Coordonata inițială se presupune a fi zero.

2. Trenul se deplasează cu o viteză inițială de 36 km/h și o accelerație de 0,5 m/s 2 . Care este deplasarea trenului în 20 s și coordonatele acestuia la momentul de timp t= 20 s dacă coordonata de pornire a trenului este de 20 m?

3. Care este mișcarea biciclistului timp de 5 s după începerea frânării, dacă viteza sa inițială în timpul frânării este de 10 m/s, iar accelerația este de 1,2 m/s 2? Care este coordonata biciclistului la momentul respectiv t= 5 s, dacă în momentul inițial de timp a fost la origine?

4. O mașină care se deplasează cu o viteză de 54 km/h se oprește la frânare timp de 15 secunde. Care este modulul de deplasare al mașinii la frânare?

5. Două mașini se deplasează unul spre celălalt din două așezări situate la o distanță de 2 km una de alta. Viteza inițială a unei mașini este de 10 m/s, iar accelerația este de 0,2 m/s 2 , viteza inițială a celeilalte este de 15 m/s, iar accelerația este de 0,2 m/s 2 . Stabiliți ora și coordonatele punctului de întâlnire al mașinilor.

Laboratorul #1

Studiul uniform accelerat
mișcare rectilinie

Obiectiv:

învață cum să măsori accelerația în mișcare rectilinie uniform accelerată; stabiliți experimental raportul căilor parcurse de corp în timpul mișcării rectilinie uniform accelerate în intervale de timp egale succesive.

Dispozitive și materiale:

jgheab, trepied, bila metalica, cronometru, banda de masurat, cilindru metalic.

Comandă de lucru

1. Fixați un capăt al jgheabului în piciorul trepiedului astfel încât să facă un unghi mic cu suprafața mesei.La celălalt capăt al jgheabului, puneți un cilindru metalic în el.

2. Măsurați traseele parcurse de minge în 3 intervale de timp consecutive egale cu 1 s fiecare. Acest lucru se poate face în moduri diferite. Puteți pune semne pe jgheab cu cretă, fixând poziția mingii în momente egale cu 1 s, 2 s, 3 s și măsurați distanțele s_între aceste semne. Este posibil, eliberând mingea de la aceeași înălțime de fiecare dată, să măsurați traseul s, a trecut pe lângă el mai întâi în 1 s, apoi în 2 s și în 3 s, iar apoi calculează traseul parcurs de minge în a doua și a treia secundă. Înregistrați rezultatele măsurătorilor în tabelul 1.

3. Găsiți raportul dintre calea parcursă în a doua secundă și calea parcursă în prima secundă și calea parcursă în a treia secundă la calea parcursă în prima secundă. Faceți o concluzie.

4. Măsurați timpul parcurs mingea de-a lungul jgheabului și distanța parcursă de ea. Calculați accelerația sa folosind formula s = .

5. Folosind valoarea accelerației obținută experimental, calculați traseele pe care mingea trebuie să le parcurgă în prima, a doua și a treia secundă de mișcare. Faceți o concluzie.

tabelul 1

numărul de experiență

Date experimentale

Rezultate teoretice

Timp t , Cu

Calea s , cm

Timpul t , Cu

cale

s, cm

Accelerația a, cm/s2

Timpt, Cu

Calea s , cm

Viteza (v) este o mărime fizică, numeric egală cu traseul(e) parcurs(e) de corp pe unitatea de timp (t).

cale

Calea (S) - lungimea traiectoriei de-a lungul căreia s-a deplasat corpul, este numeric egală cu produsul dintre viteza (v) a corpului și timpul (t) de mișcare.

Timp de calatorie

Timpul de mișcare (t) este egal cu raportul dintre traseul (S) parcurs de corp și viteza (v) de mișcare.

viteza medie

Viteza medie (vav) este egală cu raportul dintre suma secțiunilor traseului (s 1 s 2, s 3, ...) parcurse de corp la intervalul de timp (t 1 + t 2 + t 3 + ...) pentru care a fost parcursă această cale .

viteza medie este raportul dintre lungimea drumului parcurs de corp și timpul în care a fost parcurs acest drum.

viteza medie atunci când se deplasează neuniform în linie dreaptă: acesta este raportul dintre întreaga cale și timpul total.

Două etape succesive cu viteze diferite: unde

Când rezolvați probleme - câte etape de mișcare vor fi atât de multe componente:

Proiectii ale vectorului deplasare pe axele de coordonate

Proiecția vectorului de deplasare pe axa OX:

Proiecția vectorului deplasare pe axa OY:

Proiecția unui vector pe o axă este zero dacă vectorul este perpendicular pe axă.

Semne ale proiecțiilor deplasării: proiecția este considerată pozitivă dacă mișcarea de la proiecția începutului vectorului la proiecția sfârșitului are loc în direcția axei și negativă dacă este împotriva axei. În acest exemplu

Modul de mișcare este lungimea vectorului deplasare:

Conform teoremei lui Pitagora:

Proiecții de mișcare și unghi de înclinare

În acest exemplu:

Ecuația de coordonate (în general):

Vector rază- un vector, al cărui început coincide cu originea coordonatelor, iar sfârșitul - cu poziția corpului la un moment dat. Proiecțiile vectorului rază pe axele de coordonate determină coordonatele corpului la un moment dat.

Vectorul rază vă permite să setați poziția unui punct material într-un anumit punct sistem de referință:

Mișcare rectilinie uniformă - definiție

Mișcare rectilinie uniformă- o mișcare în care corpul pentru orice intervale egale de timp, face deplasări egale.

Viteza în mișcare rectilinie uniformă. Viteza este o mărime fizică vectorială care arată cât de multă mișcare face un corp pe unitatea de timp.

În formă vectorială:

În proiecțiile pe axa OX:

Unități suplimentare de viteză:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min = 1 m/60 s.

Dispozitiv de măsurare - vitezometru - arată modulul de viteză.

Semnul proiecției vitezei depinde de direcția vectorului viteză și de axa de coordonate:

Graficul de proiecție a vitezei este dependența proiecției vitezei în timp:

Graficul vitezei pentru mișcare rectilinie uniformă- linie dreaptă paralelă cu axa timpului (1, 2, 3).

Dacă graficul se află deasupra axei timpului (.1), atunci corpul se mișcă în direcția axei OX. Dacă graficul este situat sub axa timpului, atunci corpul se mișcă împotriva axei OX (2, 3).

Sensul geometric al mișcării.

Cu mișcare rectilinie uniformă, deplasarea este determinată de formula. Obținem același rezultat dacă calculăm aria figurii sub graficul vitezei în axe. Deci, pentru a determina calea și modulul de deplasare în timpul mișcării rectilinie, este necesar să se calculeze aria figurii de sub graficul vitezei în axe:

Graficul de proiecție a deplasării- dependenţa proiecţiei deplasării în timp.

Graficul de proiecție de deplasare pentru mișcare rectilinie uniformă- o linie dreaptă care iese din origine (1, 2, 3).

Dacă linia dreaptă (1) se află deasupra axei timpului, atunci corpul se mișcă în direcția axei OX, iar dacă este sub axa (2, 3), atunci împotriva axei OX.

Cu cât tangenta pantei (1) a graficului este mai mare, cu atât modulul de viteză este mai mare.

Coordonatele parcelei- dependenta de timp a coordonatelor corpului:

Coordonatele grafice pentru mișcare rectilinie uniformă - linii drepte (1, 2, 3).

Dacă în timp coordonatele crește (1, 2), atunci corpul se mișcă în direcția axei OX; dacă coordonatele scade (3), atunci corpul se mișcă împotriva direcției axei OX.

Cu cât tangenta pantei (1) este mai mare, cu atât este mai mare modulul de viteză.

Dacă graficele coordonatelor a două corpuri se intersectează, atunci din punctul de intersecție ar trebui să coboare perpendicularele pe axa timpului și pe axa coordonatelor.

Relativitatea mișcării mecanice

Prin relativitate înțelegem dependența a ceva de alegerea cadrului de referință. De exemplu, pacea este relativă; mișcarea relativă și poziția relativă a corpului.

Regula adunării deplasărilor. Suma vectorială a deplasărilor

unde este deplasarea corpului în raport cu cadrul de referință în mișcare (RFR); - deplasarea OSP în raport cu cadrul fix de referință (FRS); - mișcarea corpului față de cadrul fix de referință (FRS).

Adăugarea vectorului:

Adunarea vectorilor direcționați de-a lungul unei linii drepte:

Adunarea vectorilor perpendiculari între ei

Conform teoremei lui Pitagora

Să derivăm o formulă care poate fi utilizată pentru a calcula proiecția vectorului deplasare al unui corp care se mișcă în linie dreaptă și este accelerat uniform pentru orice perioadă de timp. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem la Figura 14. Atât în Figura 14, a, cât și în Figura 14, b, segmentul AC este un grafic al proiecției vectorului viteză al unui corp care se deplasează cu accelerație constantă a (la viteza inițială). v 0).

Orez. 14. Proiecția vectorului deplasare al unui corp care se mișcă în linie dreaptă și accelerat uniform este numeric egală cu aria S de sub grafic

Amintiți-vă că, cu o mișcare uniformă rectilinie a unui corp, proiecția vectorului deplasare realizată de acest corp este determinată de aceeași formulă ca și aria dreptunghiului închis sub graficul de proiecție a vectorului viteză (vezi Fig. 6). Prin urmare, proiecția vectorului de deplasare este numeric egală cu aria acestui dreptunghi.

Să demonstrăm că, în cazul unei mișcări rectilinie uniform accelerate, proiecția vectorului deplasare sx poate fi determinată prin aceeași formulă ca și aria figurii cuprinsă între graficul AC, axa Ot și segmentele OA și BC, adică, în acest caz, proiecția vectorului deplasare egală numeric cu aria figurii de sub graficul vitezei. Pentru a face acest lucru, pe axa Ot (vezi Fig. 14, a) selectăm un interval de timp mic db. Din punctele d și b desenăm perpendiculare pe axa Ot până când acestea se intersectează cu graficul de proiecție vectorială viteză în punctele a și c.

Astfel, pentru o perioadă de timp corespunzătoare segmentului db, viteza corpului se modifică de la v ax la v cx.

Pentru o perioadă de timp suficient de scurtă, proiecția vectorului viteză se modifică foarte ușor. Prin urmare, mișcarea corpului în această perioadă de timp diferă puțin de uniformă, adică de mișcarea cu viteză constantă.

Este posibil să împărțiți întreaga zonă a figurii OASV, care este un trapez, în astfel de benzi. Prin urmare, proiecția vectorului deplasare sx pentru intervalul de timp corespunzător segmentului OB este numeric egală cu aria S a trapezului OASV și este determinată prin aceeași formulă ca și această zonă.

Conform regulii date la cursurile școlare de geometrie, aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea. Figura 14, b arată că bazele trapezului OASV sunt segmentele OA = v 0x și BC = v x, iar înălțimea este segmentul OB = t. Prin urmare,

Deoarece v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x, atunci putem scrie:

Astfel, am obținut o formulă pentru calcularea proiecției vectorului deplasare în timpul mișcării uniform accelerate.

Folosind aceeași formulă, proiecția vectorului deplasare se calculează și atunci când corpul se mișcă cu un modul descrescător al vitezei, doar în acest caz vectorii viteză și accelerație vor fi direcționați în direcții opuse, deci proiecțiile lor vor avea semne diferite.

Întrebări

Folosind Figura 14, a, demonstrați că proiecția vectorului deplasare în timpul mișcării uniform accelerate este numeric egală cu aria figurii OASV.
Scrieți o ecuație pentru a determina proiecția vectorului deplasare al unui corp în timpul mișcării sale rectilinie uniform accelerate.

Exercițiul 7

Pagina 8 din 12

§ 7. Mișcare cu accelerată uniform
mișcare rectilinie

1. Folosind un grafic al vitezei în funcție de timp, puteți obține formula pentru deplasarea unui corp cu mișcare rectilinie uniformă.

După cum se poate observa din figura 31, OA = v 0X , î.Hr = v x, OC = t. Rezultă că proiecția deplasării este exprimată prin formula: s x= (v x + v 0X)t.

Cu o mișcare rectilinie uniform accelerată, viteza corpului în orice moment este egală cu v x = v 0X + a x t, prin urmare, s x = (2v 0X + a x t)t.

Pentru a obține ecuația de mișcare a corpului, înlocuim în formula proiecției deplasării expresia acesteia prin diferența de coordonate s x = X – X 0 .

Primim: X – X 0 = v 0X t+ , sau

X = X 0 + v 0X t + .

Conform ecuației mișcării, este posibil să se determine coordonatele corpului în orice moment, dacă sunt cunoscute coordonatele inițiale, viteza inițială și accelerația corpului.

Din formula pentru proiecția vitezei mișcării rectilinie uniform accelerate v x = v 0X + a x t hai sa exprimam timpul:

Înlocuind această expresie în formula de proiecție a deplasării, obținem:

s x = v 0X + .

s x = , sau
–= 2a x s x.

Dacă viteza inițială a corpului este zero, atunci:

2a x s x.

4. Exemplu de rezolvare a problemei

Dat:

v 01 = 0

A 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

A 2?

s 1?

Vom conecta sistemul de referință cu Pământul, axa X să ne direcționăm în direcția vitezei schiorului în fiecare etapă a mișcării sale (Fig. 32).

Să scriem ecuația pentru viteza schiorului la sfârșitul coborârii de pe munte:

v 1 = v 01 + A 1 t 1 .

În proiecții pe axă X primim: v 1X = A 1X t. Deoarece proiecţiile vitezei şi acceleraţiei pe axă X sunt pozitive, modulul vitezei schiorului este: v 1 = A 1 t 1 .

Să scriem o ecuație care să raporteze proiecțiile vitezei, accelerației și mișcării schiorului în a doua etapă a mișcării:

–= 2A 2X s 2X .

Avand in vedere ca viteza initiala a schiorului in aceasta etapa a miscarii este egala cu viteza sa finala in prima etapa

v 02 = v 1 , v 2X= 0 obținem

– = –2A 2 s 2 ; (A 1 t 1) 2 = 2A 2 s 2 .

De aici A 2 = ;

A 2 == 0,125 m/s 2.

Modulul de mișcare al schiorului în prima etapă de mișcare este egal cu lungimea pârtiei de munte. Să scriem ecuația pentru deplasare:

s 1X = v 01X t + .

Prin urmare lungimea versantului muntelui este s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Răspuns: A 2 \u003d 0,125 m / s 2; s 1 = 100 m.

Întrebări pentru autoexaminare

1. Ca în conformitate cu graficul proiecției vitezei mișcării rectilinie uniforme pe axă X

2. Ca în conformitate cu graficul proiecției vitezei mișcării rectilinie uniform accelerate pe axă X din timp pentru a determina proiecția deplasării corpului?

3. Ce formulă este folosită pentru a calcula proiecția deplasării unui corp în timpul mișcării rectilinie uniform accelerate?

4. Ce formulă se utilizează pentru a calcula proiecția deplasării unui corp care se mișcă uniform accelerat și rectiliniu dacă viteza inițială a corpului este zero?

Sarcina 7

4. O mașină care se deplasează cu o viteză de 54 km/h se oprește la frânare timp de 15 secunde. Care este modulul de deplasare al mașinii la frânare?

Laboratorul #1

Studiul uniform accelerat
mișcare rectilinie

Obiectiv:

Dispozitive și materiale:

jgheab, trepied, bila metalica, cronometru, banda de masurat, cilindru metalic.

Comandă de lucru

1. Fixați un capăt al jgheabului în piciorul trepiedului astfel încât să facă un unghi mic cu suprafața mesei.La celălalt capăt al jgheabului, puneți un cilindru metalic în el.

4. Măsurați timpul parcurs mingea de-a lungul jgheabului și distanța parcursă de ea. Calculați accelerația sa folosind formula s = .

5. Folosind valoarea accelerației obținută experimental, calculați traseele pe care mingea trebuie să le parcurgă în prima, a doua și a treia secundă de mișcare. Faceți o concluzie.

tabelul 1

numărul de experiență

Date experimentale

Rezultate teoretice

Timp t , Cu

Calea s , cm

Timpul t , Cu

cale

s, cm

Accelerația a, cm/s2

Timpt, Cu

Calea s , cm

Cum, cunoscând distanța de oprire, se determină viteza inițială a mașinii și cum, cunoscând caracteristicile mișcării, cum ar fi viteza inițială, accelerația, timpul, se determină mișcarea mașinii? Vom primi răspunsuri după ce ne vom familiariza cu subiectul lecției de astăzi: „Deplasarea cu mișcare uniform accelerată, dependența coordonatelor în timp cu mișcare uniform accelerată”

Cu o mișcare uniform accelerată, graficul arată ca o linie dreaptă care merge în sus, deoarece proiecția sa de accelerație este mai mare decât zero.

Cu mișcare rectilinie uniformă, aria va fi numeric egală cu modulul proiecției deplasării corpului. Rezultă că acest fapt poate fi generalizat nu numai pentru cazul mișcării uniforme, ci și pentru orice mișcare, adică pentru a arăta că aria de sub grafic este numeric egală cu modulul de proiecție a deplasării. Acest lucru se face strict matematic, dar vom folosi o metodă grafică.

Orez. 2. Graficul dependenței vitezei de timp cu mișcare accelerată uniform ()

Să împărțim graficul proiecției vitezei din timp pentru mișcarea uniform accelerată în intervale mici de timp Δt. Să presupunem că sunt atât de mici încât pe durata lor viteza practic nu s-a schimbat, adică vom transforma condiționat graficul dependenței liniare din figură într-o scară. La fiecare dintre pașii săi, credem că viteza nu s-a schimbat prea mult. Imaginați-vă că facem intervalele de timp Δt infinit mici. La matematică se spune: facem o trecere la limită. În acest caz, aria unei astfel de scări va coincide la nesfârșit strâns cu aria trapezului, care este limitată de graficul V x (t). Și asta înseamnă că în cazul mișcării uniform accelerate, putem spune că modulul de proiecție a deplasării este numeric egal cu aria delimitată de graficul V x (t): axele absciselor și ordonatelor și perpendiculara coborâtă pe axa absciselor, adică aria OABS trapezoidală, pe care o vedem în figura 2.

Problema se transformă de la una fizică la una matematică - găsirea ariei unui trapez. Aceasta este o situație standard când fizicienii alcătuiesc un model care descrie un anumit fenomen, iar apoi intră în joc matematica, care îmbogățește acest model cu ecuații, legi - care transformă modelul într-o teorie.

Găsim aria trapezului: trapezul este dreptunghiular, deoarece unghiul dintre axe este de 90 0, împărțim trapezul în două forme - un dreptunghi și un triunghi. În mod evident, aria totală va fi egală cu suma ariilor acestor cifre (Fig. 3). Să le găsim ariile: aria dreptunghiului este egală cu produsul laturilor, adică V 0x t, aria triunghiului dreptunghic va fi egală cu jumătate din produsul catetelor - 1/2AD BD, înlocuind valorile de proiecție, obținem: 1/2t (V x - V 0x), și, amintindu-ne legea schimbării vitezei din timp cu mișcare uniform accelerată: V x (t) = V 0x + axt, este destul de evident că diferența în proiecțiile vitezelor este egală cu produsul proiecției accelerației ax cu timpul t, adică V x - V 0x = a x t.

Orez. 3. Determinarea ariei unui trapez ( O sursă)

Ținând cont de faptul că aria trapezului este egală numeric cu modulul de proiecție a deplasării, obținem:

S x (t) \u003d V 0 x t + a x t 2 / 2

Am obținut legea dependenței proiecției deplasării în timp cu mișcare uniform accelerată în formă scalară, în formă vectorială va arăta astfel:

(t) = t + t 2 / 2

Să derivăm încă o formulă pentru proiecția deplasării, care nu va include timpul ca variabilă. Rezolvăm sistemul de ecuații, excluzând timpul din acesta:

S x (t) \u003d V 0 x + a x t 2 / 2

V x (t) \u003d V 0 x + a x t

Imaginați-vă că nu știm timpul, atunci vom exprima timpul din a doua ecuație:

t \u003d V x - V 0x / a x

Înlocuiți valoarea rezultată în prima ecuație:

Obținem o expresie atât de greoaie, o pătram și dăm altele similare:

Am obținut o expresie de proiecție a deplasării foarte convenabilă pentru cazul în care nu cunoaștem timpul de mișcare.

Să avem viteza inițială a mașinii, când a început frânarea, este V 0 \u003d 72 km / h, viteza finală V \u003d 0, accelerația a \u003d 4 m / s 2. Aflați lungimea distanței de frânare. Transformând kilometri în metri și înlocuind valorile în formulă, obținem că distanța de oprire va fi:

S x \u003d 0 - 400 (m / s) 2 / -2 4 m / s 2 \u003d 50 m

Să analizăm următoarea formulă:

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 t

Proiecția mișcării este jumătate din suma proiecțiilor vitezei inițiale și finale, înmulțită cu timpul de mișcare. Amintiți-vă formula de deplasare pentru viteza medie

S x \u003d V cf t

În cazul mișcării uniform accelerate, viteza medie va fi:

V cf \u003d (V 0 + V k) / 2

Am ajuns aproape de a rezolva problema principală a mecanicii mișcării uniform accelerate, adică obținerea legii conform căreia coordonatele se modifică în timp:

x(t) \u003d x 0 + V 0 x t + a x t 2 / 2

Pentru a învăța cum să folosim această lege, vom analiza o problemă tipică.

Mașina, trecând dintr-o stare de repaus, capătă o accelerație de 2 m/s 2. Găsiți distanța parcursă de mașină în 3 secunde și în a treia secundă.

Dat: V 0 x = 0

Să notăm legea conform căreia deplasarea se modifică în timp la

mișcare uniform accelerată: S x \u003d V 0 x t + a x t 2 /2. 2 c

Putem răspunde la prima întrebare a problemei conectând datele:

t 1 \u003d 3 c S 1x \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 3 2 / 2 \u003d 9 (m) - aceasta este calea care a mers

c masina in 3 secunde.

Află cât de departe a călătorit în 2 secunde:

S x (2 s) \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 2 2 / 2 \u003d 4 (m)

Deci, tu și cu mine știm că în două secunde mașina a condus 4 metri.

Acum, cunoscând aceste două distanțe, putem găsi calea pe care a parcurs-o în a treia secundă:

S 2x \u003d S 1x + S x (2 s) \u003d 9 - 4 \u003d 5 (m)

Mișcare uniform accelerată numită o astfel de mișcare în care vectorul accelerație rămâne neschimbat ca mărime și direcție. Un exemplu de astfel de mișcare este mișcarea unei pietre aruncate la un anumit unghi față de orizont (ignorând rezistența aerului). În orice punct al traiectoriei, accelerația pietrei este egală cu accelerația căderii libere. Astfel, studiul mișcării uniform accelerate se reduce la studiul mișcării rectilinie uniform accelerate. În cazul mișcării rectilinie, vectorii viteză și accelerație sunt direcționați de-a lungul liniei drepte a mișcării. Prin urmare, viteza și accelerația în proiecțiile pe direcția mișcării pot fi considerate mărimi algebrice. Cu o mișcare rectilinie uniform accelerată, viteza corpului este determinată de formula (1)

În această formulă, viteza corpului la t = 0 (viteza de pornire ), = const – accelerație. În proiecția pe axa x selectată, ecuația (1) va fi scrisă sub forma: (2). Pe graficul de proiecție a vitezei υ x ( t), această dependență are forma unei linii drepte.

Panta graficului vitezei poate fi utilizată pentru a determina accelerația A corp. Construcțiile corespunzătoare sunt realizate în Fig. pentru graficul I Accelerația este numeric egală cu raportul laturilor triunghiului ABC: .

Cu cât unghiul β care formează graficul vitezei cu axa timpului este mai mare, adică cu atât panta graficului este mai mare ( abrupta), cu atât accelerația corpului este mai mare.

Pentru graficul I: υ 0 \u003d -2 m / s, A\u003d 1/2 m/s 2. Pentru graficul II: υ 0 \u003d 3 m / s, A\u003d -1/3 m/s 2.

Graficul vitezei vă permite, de asemenea, să determinați proiecția deplasării s a corpului pentru un timp t. Să alocăm un interval de timp mic Δt pe axa timpului. Dacă această perioadă de timp este suficient de mică, atunci schimbarea vitezei în această perioadă este mică, adică mișcarea în această perioadă de timp poate fi considerată uniformă cu o anumită viteză medie, care este egală cu viteza instantanee υ a corp la mijlocul intervalului Δt. Prin urmare, deplasarea Δs în timpul Δt va fi egală cu Δs = υΔt. Această deplasare este egală cu zona umbrită în Fig. dungi. Împărțind intervalul de timp de la 0 la un anumit moment t în intervale mici Δt, putem obține că deplasarea s pentru un timp dat t în timpul mișcării rectilinie uniform accelerate este egală cu aria trapezului ODEF. Construcțiile corespunzătoare sunt realizate în Fig. pentru programul II. Timpul t este luat egal cu 5,5 s.

(3) - formula rezultată vă permite să determinați deplasarea cu mișcare accelerată uniform dacă accelerația nu este cunoscută.

Dacă înlocuim expresia vitezei (2) în ecuația (3), atunci obținem (4) - această formulă este folosită pentru a scrie ecuația mișcării corpului: (5).

Dacă exprimăm din ecuația (2) timpul de mișcare (6) și înlocuim în egalitate (3), atunci

Această formulă vă permite să determinați mișcarea la un moment necunoscut al mișcării.

Să considerăm cum se calculează proiecția vectorului deplasare a unui corp care se mișcă uniform accelerat dacă viteza sa inițială v 0 este egală cu zero. În acest caz, ecuația

va arata asa:

Să rescriem această ecuație substituind în ea, în loc de proiecțiile s x și a x, modulele s și a ale vectorilor

deplasare și accelerație. Deoarece în acest caz vectorii sua sunt îndreptați în aceeași direcție, proiecțiile lor au aceleași semne. Prin urmare, ecuația pentru modulele vectorilor poate fi scrisă:

Din această formulă rezultă că la o mișcare rectilinie uniform accelerată fără o viteză inițială, modulul vectorului deplasare este direct proporțional cu pătratul intervalului de timp în care s-a efectuat această mișcare. Aceasta înseamnă că, odată cu creșterea timpului de mișcare de n ori (numărat din momentul în care a început mișcarea), mișcarea crește de n 2 ori.

De exemplu, dacă pentru o perioadă arbitrară de timp t 1 de la începutul mișcării, corpul s-a mișcat

apoi pentru o perioadă de timp t 2 \u003d 2t 1 (numărat din același moment cu t 1) se va mișca

pentru o perioadă de timp t n \u003d nt l - deplasarea s n \u003d n 2 s l (unde n este un număr natural).

Această dependență a modulului vectorului deplasare de timp în timpul mișcării rectilinie uniform accelerate fără viteză inițială este reflectată clar în Figura 15, unde segmentele OA, OB, OS, OD și OE sunt modulele vectorilor de deplasare (s 1, s). 2, s 3, s 4 și s 5), săvârșite de organism, respectiv, pentru intervalele de timp t 1 , t 2 = 2t 1 , t 3 = 3t 1 , t 4 = 4t 1 și t 5 = 5t 1 .

Orez. 15. Modele de mișcare uniform accelerată: OA:OB:OC:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Din această cifră, este clar că

OA:OB:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

adică cu o creștere a intervalelor de timp numărate de la începutul mișcării, de un număr întreg de ori față de t 1, modulele vectorilor de deplasare corespunzători cresc ca o serie de pătrate de numere naturale succesive.

Figura 15 prezintă un alt model:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

adică modulele vectorilor deplasărilor efectuate de corp în perioade egale succesive de timp (fiecare este egală cu t 1) sunt legate ca o serie de numere impare consecutive.

Regularitățile (1) și (2) sunt inerente numai mișcării accelerate uniform. Prin urmare, ele pot fi utilizate dacă este necesar să se determine dacă mișcarea este accelerată uniform sau nu.

Să stabilim, de exemplu, dacă mișcarea cohleei a fost accelerată uniform, care s-a deplasat cu 0,5 cm în primele 20 de secunde de mișcare, 1,5 cm în a doua 20 de secunde și 2,5 cm în a treia 20 de secunde.

Pentru a face acest lucru, să aflăm de câte ori mișcările efectuate în al doilea și al treilea interval de timp sunt mai mari decât în primul:

Aceasta înseamnă că 0,5 cm: 1,5 cm: 2,5 cm = 1: 3: 5. Deoarece aceste rapoarte sunt o serie de numere impare consecutive, mișcarea corpului a fost uniform accelerată.

În acest caz, natura uniform accelerată a mișcării a fost dezvăluită pe baza regularității (2).

Întrebări

Ce formule sunt folosite pentru a calcula proiecția și modulul vectorului deplasare al unui corp în timpul mișcării sale uniform accelerate dintr-o stare de repaus?
De câte ori va crește modulul vectorului deplasare al corpului odată cu creșterea timpului de mișcare a acestuia din repaus de n ori?
Scrieți modul în care modulele vectorilor de deplasare ai unui corp care se mișcă uniform accelerat dintr-o stare de repaus se raportează între ele cu o creștere a timpului mișcării sale de un număr întreg de ori în comparație cu t 1.
Scrieți cum se raportează între ele modulele vectorilor deplasărilor efectuate de corp în intervale de timp egale succesive dacă acest corp se mișcă uniform accelerat dintr-o stare de repaus.
Care este scopul utilizării regularităților (1) și (2)?

Exercițiul 8

Trenul care pleacă din gară în primele 20 de secunde se deplasează în linie dreaptă și accelerat uniform. Se știe că în a treia secundă de la începerea mișcării trenul a parcurs 2 m. Să se determine modulul vectorului deplasare realizat de tren în prima secundă și modulul vectorului accelerație cu care s-a deplasat.
O mașină, care se deplasează uniform accelerată dintr-o stare de repaus, parcurge 6,3 m în a cincea secundă de accelerație.Ce viteză a dezvoltat mașina până la sfârșitul celei de-a cincea secunde de la începutul mișcării?
Un corp în primele 0,03 s de mișcare fără o viteză inițială s-a deplasat cu 2 mm, în primele 0,06 s - 8 mm, în primele 0,09 s - 18 mm. Pe baza regularității (1), dovediți că în toate 0,09 s corpul s-a mișcat uniform accelerat.

Întrebări.

1. Ce formule se folosesc pentru a calcula proiecția și modulul vectorului deplasare al unui corp în timpul mișcării sale uniform accelerate dintr-o stare de repaus?

2. De câte ori va crește modulul vectorului deplasare al corpului odată cu creșterea timpului de mișcare a acestuia din repaus de n ori?

3. Scrieți modul în care modulii vectorilor de deplasare ai unui corp care se mișcă uniform accelerat dintr-o stare de repaus se relaționează între ei cu o creștere a timpului mișcării sale de un număr întreg de ori în comparație cu t 1.

4. Notează modul în care modulele vectorilor deplasărilor efectuate de corp în intervale de timp egale succesive se raportează între ele dacă acest corp se mișcă uniform accelerat dintr-o stare de repaus.

5. În ce scop pot fi folosite regularitățile (3) și (4)?

Regularitățile (3) și (4) sunt utilizate pentru a determina dacă mișcarea este accelerată uniform sau nu (vezi p.33).

Exerciții.

1. Trenul care pleacă din gară în primele 20 de secunde se deplasează în linie dreaptă și accelerat uniform. Se știe că în a treia secundă de la începerea mișcării trenul a parcurs 2 m. Să se determine modulul vectorului deplasare realizat de tren în prima secundă și modulul vectorului accelerație cu care s-a deplasat.