Aflați punctul maxim al derivatei. Puncte critice de funcționare
După cum știm din cursul studiilor sociale, societatea în sensul larg al cuvântului este o formă de organizare și moduri de interacțiune între oameni. Alături de dinamism, stabilitate și deschidere, integritatea este una dintre cele mai importante trăsături ale unei societăți. Integritatea societății este înțeleasă ca legătura dintre elementele societății. Elementele societății includ sfera politică, economică, socială și spirituală. Toate sunt interconectate. După ce a eliminat una dintre sferele societății și aceasta, societatea este probabil să se dezintegra. La asta a avut în vedere Seneca când a vorbit despre ansamblul de pietre.
Sunt complet de acord cu afirmația autoarei. Luați orice stat în care are loc o revoluție în sfera politică, fie că este o revoluție sau Război civil... În orice caz, întreaga societate suferă, toate sferele sale încetează să funcționeze normal. Nu este nevoie să mergem departe pentru exemple; este suficient să ne amintim conflictul în curs din Ucraina.
Să luăm un alt exemplu din mass-media. Ni se spune constant în știri că președintele a semnat o lege privind protecția consumatorilor (politică și economie), a mers la o întâlnire în domeniul sănătății (politică și societate), a vizitat sectorul educației (politică și sfera spirituală). După cum se poate observa din exemplele acțiunilor șefului statului, politica este strâns legată de sferele spirituale, economice și sociale. În același mod, educația este asociată cu politica și economia, la fel cum este asociată producția de bogăție sfera socialăși politic și așa mai departe.
Toate sferele sunt strâns interconectate și formează un singur întreg, un singur sistem - societatea.
Sprijinul este atunci când distribuiți sentimente umane, clarificați că nu este singur în necazul lui. Din când în când, toată lumea are nevoie de el: oamenii sunt creaturi sociale, sunt concentrați să trăiască în grup și să se apropie de propriul lor fel. Nimeni nu poate face față singur tuturor dificultăților, dar, în tradițiile culturii noastre, sprijinul se numește chiar sprijin care nu are nimic de-a face cu el, de exemplu, chemări la „adunare” și „ține-te”, învățături, notații, lamentări și chiar intimidare. Ne dăm seama cum să-i susținem pe alții și cum nu.
Cum să nu
Dacă o persoană îți spune că se simte bine fără sprijin și nu are absolut nevoie de el, este probabil să se refere la aceste reacții toxice și dăunătoare prin sprijin. Cei care le-au întâlnit mai ales atunci când au nevoie de ajutor și acceptare preferă cu adevărat să-și păstreze sentimentele pentru ei înșiși și să se descurce singuri. Care este diferența dintre reacțiile toxice și suportul real? Cum să ne sprijinim reciproc în mod competent și corect? Să începem cu faptul că nu este suport, ci doar se mascadă ca el.
"Revinoti!"
Expresiile „rezistă”, „fii puternic”, „fa-te curaj” și alte apeluri la reziliență nu sunt modalități foarte bune de susținere. Pentru o persoană care cere sprijin, scopul este exact opusul. Vrea să împartă povara emoțională cu cineva și pur și simplu să nu „țină”, ci măcar să se relaxeze puțin și să se simtă mai bine. I se difuzează cuvintele „ține” sau „fa-te curaj”: „Sprijin refuzat. Decide totul singur, fii puternic. Revinoti. "
„Și pisica vecinului meu a fost mușcată de câini fără stăpân”.
Chiar și într-o situație extremă, plânsul nu ajută în niciun fel o persoană. Un membru al familiei unui prieten a intrat la terapie intensivă, un portofel a fost furat, un câine a dispărut? Nu-i spune: „Ce coșmar!” Ea știe deja că acesta este cu adevărat un coșmar. Și nu-i spune despre cazuri similare care s-au întâmplat cu prietenii tăi. Acest lucru nu o va ajuta în niciun fel, ci doar va crește panica. În general, dacă vrei să empatizezi, nu ar trebui să împovărești persoana cu emoțiile tale. Acum el însuși are nevoie de confort și, cu siguranță, nu are resursa să-l liniștească pe interlocutor. Lacrimile și lamentațiile tale în spiritul „Ce groază, ce să faci acum?” va convinge doar persoana speriată că totul este cu adevărat foarte rău.
"Ai dreptate, e un prost"
Fiți atenți dacă doriți să vă alăturați mâniei sau nemulțumirii interlocutorului: stârnirea emoțiilor negative este mai dezadaptativă decât a ajuta să faceți față situației. Iar o persoană care se plânge de cei dragi are de obicei sentimente contradictorii: cei pe care îi iubește i-au făcut rău. Spunând: „Da, soțul tău este un adevărat egoist!” sau „Se pare că sora ta nu este deloc capabilă să gândească”, de parcă i-ai confirma cele mai mari temeri ale lui.
Nimeni nu vrea cu adevărat să creadă că cei dragi sunt niște monștri. Chiar dacă situația necesită într-adevăr o evaluare negativă dură (în cazul abuzului fizic sau emoțional, de exemplu), este mai bine să prezentați aceste informații cu mai multă atenție: „Știți, mi se pare că aceste cuvinte sunt apa pura manipulare "," Un astfel de act ți se pare necinstit "," Mi se pare că ceea ce se întâmplă este periculos pentru tine. "
"Cunosc un homeopat grozav, el va ajuta!"
Sfaturile nesolicitate sunt, de asemenea, o idee proastă. „Copilul se îmbolnăvește des? Ascultă, am contacte ale unui medic pediatru excelent, vă spun acum. Trebuie să o temperați, vă voi trimite un link către un articol despre cum să o faceți.”
Ajutorul practic este foarte important, dar numai atunci când este cerut. Este de nedorit să o impuni fără să întrebi. În primul rând, nu este un fapt că o persoană care a căzut într-o situație dificilă este gata să ia măsuri chiar acum - poate pentru aceasta trebuie mai întâi să-și revină în fire și să-și adune gândurile. În al doilea rând, nu se știe dacă are nevoie de forma de ajutor pe care doriți să o oferiți. Doar persoana însăși poate decide ce acțiuni vor fi potrivite pentru el: să tempereze copilul, să consulte un medic de încredere sau pur și simplu să aștepte perioada de răceli nesfârșite ale copiilor. Impunând interlocutorului acțiuni concrete, punem în asta ideea neputinței sale: „Tu însuți nu ești capabil să faci față la nimic, acum îți voi spune cum să acționezi”.
„Asta nu mi se întâmplă”
Conversația de sus, care să demonstreze că cu siguranță te descurci bine în acest domeniu, este un mod necinstit de a te comporta, care în niciun caz nu este susținător. De exemplu, într-o situație în care îi spui unei persoane care a fost diagnosticată cu depresie: „Uau, ce ghinion ești. Dar practic un mod pozitiv de a gândi și încerc să mă bucur în fiecare zi și nu am depresie, ”- nu există altceva decât dorința de a mă simți mai bine în detrimentul interlocutorului într-o situație dificilă.
„Tu ești cel de vină!”
Acuzațiile, „loviturile magice” și alte mijloace de psihologie „folk” sunt complet inacceptabile - aceasta este învinuirea victimelor și complet opusul sprijinului. Un exemplu de astfel de reacție toxică, din păcate, este adesea dat de părinții copiilor și adolescenților: „Ați picat testul trimestrial? Și ți-am spus, trebuie să stai mai puțin la computer. Dar nu asculți, ești cel mai deștept din țara noastră! Nu știu cum vei corecta nota acum.”
Se crede că o astfel de reacție ajută la colectarea și acționarea, precum și la conștientizarea greșelilor din trecut și să nu le repete din nou. De fapt, efectul va fi exact invers: într-o situație stresantă, nimeni nu este capabil să analizeze greșelile și să tragă concluzii pentru viitor, iar acuzațiile și conversația dură nu fac decât să mărească trauma. Pentru o scurtă perioadă de timp, o persoană se poate reuni cu adevărat și acționa, dar nu pentru că „lovitura magică” funcționează, ci pentru că este o reacție stresantă atunci când toate sentimentele sunt înghețate.
Dar pe termen lung, această metodă este foarte toxică. Acesta poartă mesajul: „Ai avut probleme? Deci tu însuți ești rău (tu însuți ești rău). Nu vă așteptați să vă ajut.” Pe lângă stresul suplimentar pentru persoana căreia i s-a întâmplat ceva, „loviturile magice” distrug relația. Este greu să ai încredere în cineva care termină o persoană mincinoasă.
Cum să
Sprijinul în esența sa este un mesaj către o altă persoană: „Te aud, înțeleg, accept sentimentele și situația ta dificilă și sunt gata să fiu alături de tine în ea”. Poți fi cu cineva într-o situație dificilă în moduri diferite - depinde de gradul de apropiere cu persoana respectivă și de situația în sine, precum și de punctele forte, resursele și dorința de a te ajuta pe care le ai. Cum să susțin, atunci?
Evaluează-ți cu seriozitate puterea
Sprijinul mic, dar sincer, este mai bun decât simularea lui. Adesea ei reacționează la plângeri în moduri toxice tocmai pentru că interlocutorul de la care așteaptă sprijin nu are puterea sau resursele pentru asta, dar îi este frică să recunoască. Nu-ți fie rușine: este perfect normal să nu vrei sau să nu poți sprijini pe cineva. Oferă doar ceea ce poți oferi cu adevărat fără violență împotriva ta. Poate că acum puteți asculta interlocutorul doar cinci minute și nu mai mult. Sau puteți vorbi timp de o jumătate de oră, dar nu sunteți pregătit să oferiți ajutor practic.
Dacă nici măcar nu ai puterea să stai aproape de o persoană când aceasta se confruntă cu sentimente dificile, ar fi cel mai sincer să spui despre asta: „Îmi pare rău, te rog, dar acum sunt foarte obosit, pe mine. nervii, complet epuizati. Aș putea să vorbesc cu tine mâine dacă îți este convenabil.” Nu este un fapt că interlocutorul nu va fi jignit de tine, dar acest lucru este mai bine decât să comită violență împotriva ta și apoi să reverse agresiunea asupra altuia.
Ascultă și distribuie
sentimentele altuia
Sprijinul verbal poate părea cel mai ușor, dar nu este ușor să fii în preajma unei persoane care are sentimente negative puternice. Vrem să ne izolăm emoțional, să „sărim” dintr-un subiect neplăcut și, prin urmare, ne întoarcem adesea la una dintre reacțiile toxice.
Pentru a sprijini o persoană într-o conversație, trebuie doar să fii acolo, să împărtășești emoțiile interlocutorului și să nu-l alungi. Lasă-l să vorbească. Folosiți ascultarea activă: încuviințați, aprobați, adresați întrebări scurte de clarificare. O persoană stresată, supărată sau enervată, este foarte susținătoare pur și simplu prin expresii verbale de simpatie. În rusă, forma „îmi pare rău” încă sună puțin stângace, dar se potrivește - la fel ca „completez” sau „Ce păcat că ți s-a întâmplat asta”. Puteți reflecta sentimentele interlocutorului: „Acest lucru pare să fie cu adevărat neplăcut”, „Sună foarte trist”, „Înțeleg de ce ești atât de supărat pe ei”. Abține-te de la a evalua situația, acțiunile și faptele.
Întrebați dacă aveți nevoie de ajutor
O altă modalitate grozavă de a sprijini este să întrebi direct persoana de ce are nevoie în această situație: „Pot să fac ceva pentru tine? Spune-mi dacă te pot ajuta cu ceva.” Poate că conversația a fost suficientă. Sau se dovedește că aveți nevoie de ajutor practic, sfaturi, contacte - va fi complet potrivit dacă persoana a întrebat direct despre asta.
Această afirmație este dedicată problemei interacțiunii elementelor sistemului societății. Filosofii din diferite epoci s-au gândit la acest subiect, încercând să determine sfera de conducere a vieții, de exemplu, în Evul Mediu, ideea importanței religiei domina, în timpurile moderne atenția gânditorilor a fost atrasă de cunoștințele științifice, iar mai târziu Marx a formulat o ipoteză despre supremația sferei economice. Cele mai vechi civilizații au urmat calea muncii armonioase a tuturor sferelor, iar statele moderne încearcă să-și asigure funcționarea normală.
Autorul declarației spune că în orice societate elementele sale se completează reciproc, iar fără conexiunile și relațiile care le unesc, aceasta ar fi căzut în decădere. Unitatea acestor elemente determină modul de viață al societății.
Îmi argumentez propria poziție la nivel teoretic. Societatea este, într-un sens larg, un set de forme de unire a oamenilor și modalități de interacțiune a acestora.
Alături de dinamism și deschidere, se caracterizează prin consistență și integritate. La rândul său, societatea este un set de elemente ale societății care au sens doar ca parte a unui întreg și sunt unite prin legături stabile reciproce. Elementele sistemului sunt grupurile sociale și instituțiile. Include, de asemenea, un subsistem - 4 sfere ale vieții ca ansamblu de relații stabile între subiecți sociali: spiritual, social, politic și economic. Toate sferele se completează reciproc, iar în orice societate influența lor reciprocă poate fi urmărită. Dacă excludeți cel puțin un element, legăturile stabile se vor rupe, iar funcțiile acestui element vor rămâne neîndeplinite, adică se poate susține că sistemul societății va fi defect.
Îmi voi demonstra propria părere la nivel empiric. Să ne amintim conflictul dintre Biserica Ortodoxă Rusă și puterea sovietică din istoria Rusiei în secolul al XX-lea. Odată cu venirea la putere a bolșevicilor ca urmare a loviturii de stat din octombrie, a început propaganda activă a ateismului. În 1918, a fost adoptat Decretul privind separarea Bisericii de Stat și a Școlii de Biserică, potrivit căruia biserica era lipsită de dreptul de a avea orice proprietate și s-a dovedit a fi ilegală în domeniul legilor sovietice. Patriarhul Tihon a trădat puterea sovietică anatema, mulți lideri religioși au fost reprimați. Noul guvern a încurajat activ renovaționismul și schisma în biserică. Cu privire la nivel general moralitatea și etica în rândul populației au căzut în fața instabilității politice și sociale interne. Totuși, persecuția bisericii s-a oprit temporar odată cu începutul Marelui Războiul Patriotic, I.V. Stalin și-a dat seama de importanța religiei în lupta împotriva inamicului și a decis să o folosească ca instrument de ridicare a moralului și a sentimentelor patriotice ale armatei. Toate acestea l-au determinat să ajusteze politica față de ROC. Acest lucru demonstrează că fără sfera spirituală, societatea este instabilă și nu se poate dezvolta normal.
Puteți lua în considerare și compoziția filozofului englez T. Hobbes „Leviathan”. În ea, gânditorul discută despre starea anterioară a societății. În opinia sa, poate fi caracterizat drept „un război al tuturor împotriva tuturor”. Inițial, o persoană este agresivă, încalcă normele sociale în beneficiul său. Prin urmare, oamenii au încheiat un contract social, transferând o parte din libertatea lor unui suveran care le va proteja drepturile prin lege. Acest tratat este ireversibil și aprobă crearea statului. Această teorie demonstrează că societatea nu poate exista fără sfera politică a vieții.
Astfel, putem concluziona că fără acțiunea sincronă a elementelor, societatea nu va putea funcționa normal din cauza lipsei de consimțământ a componentelor sale.
sens
Cel mai bun
sens
Cel mai puţin
Punct maxim
Punct minim
Problemele de găsire a punctelor extreme ale funcției sunt rezolvate conform schemei standard în 3 pași.
Pasul 1... Aflați derivata funcției
- Memorează formulele pentru derivata funcțiilor elementare și regulile de bază de diferențiere pentru a găsi derivata.
y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243.
Pasul 2... Aflați zerourile derivatei
- Rezolvați ecuația rezultată pentru a găsi zerourile derivatei.
3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9.
Pasul 3... Găsiți puncte extreme
- Utilizați metoda spațierii pentru a determina semnele derivatei;
- La punctul minim, derivata este egală cu zero și își schimbă semnul din minus în plus, iar în punctul maxim - de la plus la minus.
Să luăm această abordare pentru a rezolva următoarea problemă:
Aflați punctul maxim al funcției y = x3−243x + 19.
1) Aflați derivata: y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243;
2) Rezolvați ecuația y ′ (x) = 0: 3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9;
3) Derivata este pozitivă pentru x> 9 și x<−9 и отрицательная при −9 Cum să găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții Pentru a rezolva problema găsirii celor mai mari și mai mici valori ale funcției necesar: Ajută în multe sarcini teorema: Dacă există doar un punct extremum pe segment și acesta este punctul minim, atunci cea mai mică valoare a funcției este atinsă acolo. Dacă acesta este punctul maxim, atunci valoarea cea mai mare este atinsă acolo. 14. Conceptul și proprietățile de bază ale unei integrale nedefinite. Dacă funcţia f(X X, și k Este un număr, atunci Pe scurt vorbind: constanta poate fi scoasă din semnul integral. Dacă funcţiile f(X) și g(X) au antiderivate pe interval X, atunci Pe scurt vorbind: integrala sumei este egală cu suma integralelor. Dacă funcţia f(X) are o antiderivată pe interval X, atunci pentru punctele interioare ale acestui interval: Pe scurt vorbind: derivata integralei este egală cu integrandul. Dacă funcţia f(X) este continuă pe interval Xși diferențiabil în punctele interioare ale acestui interval, atunci: Pe scurt vorbind: integrala diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie plus constanta de integrare. Să dăm o definiție matematică riguroasă concepte integrale nedefinite. O expresie de acest fel se numește integrală a funcției f (x)
, Unde f (x)
- integrandul, care este dat (cunoscut), dx
- diferential X
, cu simbol este mereu prezent dx
. Definiție. Integrală nedefinită numita functie F (x) + C
conţinând o constantă arbitrară C
a cărui diferenţială este egală cu integrand expresie f (x) dx
, adică Amintiți-vă că - functie diferentialași se definește după cum urmează: Sarcina de a găsi integrală nedefinită este să găsești o astfel de funcție, derivat care este egal cu integrandul. Această funcție este determinată până la o constantă, deoarece derivata unei constante este egală cu zero. De exemplu, se știe că, apoi se dovedește că Găsirea sarcinii integrală nedefinită de la funcții nu este atât de simplu și ușor pe cât pare la prima vedere. În multe cazuri, trebuie să existe abilități în a lucra cu integrale nedefinite, trebuie să existe experiență care vine cu practică și cu constantă rezolvarea de exemple pentru integrale nedefinite. Merită luat în considerare faptul că integrale nedefinite unele funcții (sunt multe) nu sunt luate în funcții elementare. 15. Tabelul integralelor nedefinite de bază. Formule de bază 16. Integrala definită ca limită a sumei integrale. Sensul geometric și fizic al integralei. Fie definită funcția y = ƒ (x) pe segmentul [a; grup< b. Выполним следующие действия. 1.Cu ajutorul punctelor x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. În fiecare segment parțial, i = 1,2, ..., n, alegeți un punct arbitrar cu i є și calculați valoarea funcției din acesta, adică valoarea ƒ (cu i). 3. Înmulțiți valoarea găsită a funcției ƒ (cu i) cu lungimea ∆x i = x i -x i-1 a segmentului parțial corespunzător: ƒ (cu i) ∆x i. 4. Să compunem suma S n a tuturor acestor produse: Suma formei (35.1) se numește suma integrală a funcției y = ƒ (x) pe intervalul [a; b]. Fie λ lungimea celui mai mare segment parțial: λ = max ∆x i (i = 1,2, ..., n). 5. Să găsim limita sumei integrale (35.1) ca n → ∞ astfel încât λ → 0. Dacă, în acest caz, suma integrală S n are o limită I, care nu depinde de metoda de împărțire a segmentului [a; b] la segmente parțiale, sau din alegerea punctelor din acestea, atunci numărul I se numește integrală definită a funcției y = ƒ (x) pe segmentul [a; b] și se notează astfel Numerele a și b se numesc respectiv limita inferioară și superioară a integrării, ƒ (x) - integrandul, ƒ (x) dx - integrandul, x - variabila integrării, segmentul [a; b] - zona (segmentul) de integrare. Funcția y = ƒ (x), pentru care pe segmentul [a; b] există o integrală definită numită integrabilă pe acest interval. Să formulăm acum o teoremă asupra existenței unei integrale definite. Teorema 35.1 (Cauchy). Dacă funcția y = ƒ (x) este continuă pe segmentul [a; b], apoi integrala definită Rețineți că continuitatea unei funcții este o condiție suficientă pentru integrabilitatea acesteia. Cu toate acestea, o integrală definită poate exista și pentru unele funcții discontinue, în special, pentru orice funcție mărginită pe un interval și având un număr finit de puncte de discontinuitate pe acesta. Să subliniem câteva proprietăți ale integralei definite care decurg direct din definiția ei (35.2). 1. Integrala definită este independentă de desemnarea variabilei de integrare: Aceasta rezultă din faptul că suma integrală (35.1), și deci limita ei (35.2), nu depind de ce literă denotă argumentul acestei funcție. 2. O integrală definită cu aceleași limite de integrare este egală cu zero: 3. Pentru orice număr real c. 17. Formula lui Newton-Leibniz. Proprietățile de bază ale unei integrale definite. Lasă funcția y = f (x) continuu pe segment
și F (x) este una dintre antiderivatele funcției de pe acest segment, atunci formula Newton-Leibniz: Se numește formula Newton-Leibniz formula de bază a calculului integral. Pentru a demonstra formula Newton-Leibniz, avem nevoie de conceptul de integrală cu limită superioară variabilă. Dacă funcţia y = f (x) continuu pe segment
, atunci pentru argument integrala formei este o funcție a limitei superioare. Notăm această funcție Într-adevăr, notăm incrementul funcției corespunzătoare incrementului argumentului și folosim a cincea proprietate a integralei definite și consecința celei de-a zecea proprietăți: Rescriem această egalitate ca Să calculăm F (a) folosind prima proprietate a integralei definite: Incrementul funcției este de obicei notat ca Pentru a aplica formula Newton-Leibniz, trebuie doar să cunoaștem unul dintre antiderivate y = F (x) funcția integrand y = f (x) pe segment
și calculați incrementul acestei antiderivate pe acest segment. În articol sunt analizate metodele de integrare principalele modalități de găsire a antiderivatei. Iată câteva exemple de calculare a integralelor definite folosind formula Newton-Leibniz pentru clarificare. Exemplu. Calculați valoarea integralei definite folosind formula Newton-Leibniz. Soluţie. Pentru început, rețineți că integrandul este continuu pe segment
, prin urmare, este integrabil pe ea. (Am vorbit despre funcțiile integrabile în secțiunea privind funcțiile pentru care există o integrală definită). Din tabelul de integrale nedefinite se poate observa că pentru o funcție setul de antiderivate pentru toate valorile reale ale argumentului (și, prin urmare, pentru) se scrie ca Acum rămâne să folosiți formula Newton-Leibniz pentru a calcula o integrală definită: 18. Aplicații geometrice ale unei integrale definite. APLICAȚII GEOMETRICE ALE UNUI ANUMITE INTEGRAL Calcularea volumului corporal Calculul volumului unui corp din zonele cunoscute ale secțiunilor paralele: Volumul corpului de rotație:; ... Exemplul 1... Aflați aria unei figuri delimitate de o curbă y = sinx, linii drepte Soluţie: Găsiți aria figurii: Exemplul 2... Calculați aria unei forme delimitate de linii Soluţie: Să găsim abscisele punctelor de intersecție ale graficelor acestor funcții. Pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații De aici găsim x 1 = 0, x 2 = 2,5. 19. Conceptul de controale diferențiale. Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Ecuație diferențială- o ecuație care conectează valoarea derivatei unei funcții cu funcția în sine, valorile variabilei independente, numerele (parametrii). Ordinea derivatelor incluse în ecuație poate fi diferită (formal, nu este limitată de nimic). Derivatele, funcțiile, variabilele independente și parametrii pot intra în ecuație în diferite combinații sau toate, cu excepția a cel puțin unei derivate, pot lipsi cu totul. Nu orice ecuație care conține derivate ale unei funcții necunoscute este o ecuație diferențială. De exemplu, Ecuații cu diferențe parțiale(PDE) sunt ecuații care conțin funcții necunoscute ale mai multor variabile și derivatele lor parțiale. Forma generală a unor astfel de ecuații poate fi reprezentată ca: unde sunt variabilele independente și este funcția acestor variabile. Ordinea ecuațiilor diferențiale parțiale poate fi determinată în același mod ca și pentru ecuațiile diferențiale obișnuite. O altă clasificare importantă a ecuațiilor cu diferențe parțiale este împărțirea lor în ecuații de tip eliptic, parabolic și hiperbolic, în special pentru ecuațiile de ordinul doi. Atât ecuațiile diferențiale obișnuite, cât și ecuațiile diferențiale parțiale pot fi împărțite în liniarși neliniară... O ecuație diferențială este liniară dacă funcția necunoscută și derivatele ei intră în ecuație doar la primul grad (și nu sunt înmulțite între ele). Pentru astfel de ecuații, soluțiile formează un subspațiu afin al spațiului funcției. Teoria DE liniară este dezvoltată mult mai profund decât teoria ecuațiilor neliniare. Vedere generală a unei ecuații diferențiale liniare n-a comanda: Unde p i(X) sunt funcții cunoscute ale variabilei independente, numite coeficienți ai ecuației. Funcţie r(X) din partea dreaptă este numită membru liber(singurul termen independent de funcția necunoscută) O clasă specială importantă de ecuații liniare sunt ecuațiile diferențiale liniare cu coeficienți constanți. O subclasă de ecuații liniare sunt omogen ecuații diferențiale - ecuații care nu conțin un termen liber: r(X) = 0. Pentru ecuațiile diferențiale omogene, principiul suprapunerii este îndeplinit: o combinație liniară de soluții particulare ale unei astfel de ecuații va fi și soluția acesteia. Toate celelalte ecuații diferențiale liniare sunt numite eterogen ecuatii diferentiale. În cazul general, ecuațiile diferențiale neliniare nu au metode dezvoltate de soluție, cu excepția unor clase particulare. În unele cazuri (folosind anumite aproximări) acestea pot fi reduse la unele liniare. De exemplu, ecuația liniară a unui oscilator armonic · - ecuație diferențială omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. O soluție este o familie de funcții, unde și sunt constante arbitrare, care pentru o soluție specifică sunt determinate din condiții inițiale specificate separat. Această ecuație, în special, descrie mișcarea unui oscilator armonic cu o frecvență ciclică 3. A doua lege a lui Newton poate fi scrisă sub forma unei ecuații diferențiale · Ecuația diferențială Bessel este o ecuație liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți variabili: soluțiile sale sunt funcțiile Bessel. Un exemplu de ecuație diferențială ordinară neuniformă neliniară de ordinul I: În următorul grup de exemple, funcția necunoscută u depinde de două variabile Xși t sau Xși y. Ecuație diferențială parțială liniară omogenă de ordinul întâi: Ecuația de undă unidimensională - o ecuație diferențială parțială liniară omogenă de tip hiperbolic de ordinul doi cu coeficienți constanți, descrie vibrația șirului, dacă - deformarea șirului într-un punct cu coordonatele X pentru moment t si parametrul A stabilește proprietățile șirului: Ecuația lui Laplace în spațiul bidimensional este o ecuație diferențială parțială liniară omogenă de ordinul doi de tip eliptic cu coeficienți constanți, apărută în multe probleme fizice de mecanică, conducție termică, electrostatică, hidraulică: Ecuația Korteweg - de Vries, o ecuație diferențială parțială neliniară de ordinul trei care descrie unde neliniare staționare, inclusiv solini: 20. Ecuații diferențiale cu separabil aplicabil. Ecuații liniare și metoda lui Bernoulli. O ecuație diferențială liniară de ordinul întâi este o ecuație liniară în raport cu o funcție necunoscută și derivata ei. Are forma
sau 
Funcția este numită funcția antiderivată... Antiderivată a funcției este determinată într-o valoare constantă.
, aici este o constantă arbitrară.
.
, iar această funcție este continuă și egalitatea 
.
Unde .
... Dacă ne amintim definiția derivatei unei funcții și mergem la limita la, atunci obținem. Adică este unul dintre antiderivatele funcției y = f (x) pe segment
... Astfel, setul tuturor antiderivatelor F (x) poate fi scris ca 
, Unde CU Este o constantă arbitrară.
, prin urmare, . Vom folosi acest rezultat când calculăm F (b): , acesta este 
... Această egalitate dă formula Newton-Leibniz demonstrată .
... Folosind această notație, formula Newton-Leibniz ia forma 
.
... Luați antiderivatul pt C = 0: .
.Dreptunghiular S.K. Funcție, dată parametric Polyarnaya S.K.
Calcularea ariilor figurilor plane
Calcularea lungimii arcului unei curbe plane
Calcularea suprafeței de revoluție
nu este o ecuație diferențială.
poate fi considerată ca o aproximare a ecuației neliniare a unui pendul matematic 
în cazul amplitudinilor mici, când y≈ păcat y.
Unde m- masa corpului, X- coordonatele sale, F(X, t) este forța care acționează asupra corpului cu coordonatele X pentru moment t... Soluția sa este traiectoria corpului sub acțiunea forței specificate.
