Înclinate paralelipiped: proprietăți, formule și sarcini ale unui tutore în matematică. Cifrele geometrice

Paralelipiped este numit prisme quadrangulare, la baza a căror paralelograme. Înălțimea paralelipipei se numește distanța dintre avioanele bazelor sale. În figură, înălțimea este afișată de un segment . Există două tipuri de paralelipiped: drept și înclinat. De regulă, tutorele matematicii oferă mai întâi definițiile corespunzătoare pentru prisme și apoi le transferă în paralelipiped. De asemenea, vom face.

Permiteți-mi să vă reamintesc că prisma este numită drept, dacă coastele sale laterale sunt perpendiculare de teren, dacă nu există perpendicularitate - prisma este numită înclinată. Această terminologie moștenește paralelipiped. Straight paralelipiped - nimic altceva decât o varietate de prisme directe, marginea laterală care coincide cu înălțimea. Definițiile unor astfel de concepte ca margine, margine și terapie sunt păstrate, care sunt comune pentru întreaga familie din Polyhedra. Apare conceptul de fețe opuse. Parlepipeta are 3 perechi de fețe opuse, 8 noduri ale lui Ti 12 coaste.

Diagonala paralelipipedului (diagonala prismului) este un segment care leagă cele două vârfuri ale poliedronului și care nu se află în nici una din fețele sale.

Secțiunea diagonală - o secțiune transversală a paralelipipei, trecând prin diagonală și o diagonală a bazei sale.

Proprietățile paralelipipepepei înclinate:
1) Toate fețele sale sunt paralelograme, iar fețele opuse sunt paralele egale.
2) Diagonalele paralelipiped se intersectează la un moment dat și sunt împărțite în acest punct în jumătate.
3) Fiecare paralelipiped constă din șase egali în volumul piramidelor triunghiulare. Pentru a arăta elevului lor un tutore în matematică ar trebui să întrerupă de la suportul paralel al unei jumătăți de secțiune transversală diagonală și să o spargă separat pe 3 piramide. Fundațiile lor trebuie să se situeze în diferite facilități ale paraleitificatei inițiale. Tutorul de matematică va găsi utilizarea acestei proprietăți în geometria analitică. Se utilizează pentru a emite volumul piramidei printr-un produs mixt de vectori.

Formulele de volum paralelipiped:
1), în cazul în care - zona de bază, H este înălțime.
2) Volumul paralelipiped este egal cu produsul din zona secțiunii transversale de pe marginea laterală.
Tutore în matematică: După cum știți, formula este comună tuturor prismelor și dacă tutorele i-a dovedit deja, nu are sens să repet la fel pentru paralelipiped. Cu toate acestea, în lucrul cu un student la nivel mediu (formula slabă nu este utilă) profesorului, este recomandabil să acționați cu precizie la contrarios. Prismul trebuie lăsat singur, și pentru paralelipiped să conducă o dovadă îngrijită.
3), în cazul în care una dintre cele șase piramide triunghiulare constă din paralelipiped.
4) Dacă, atunci

Zona suprafeței laterale a paralelipipei este suma zonelor tuturor fețelor sale:
Suprafața completă a paralelipipei este suma zonelor tuturor fețelor sale, adică zona + două zone ale bazei :.

Despre lucrarea unui tutore cu paralelipiped înclinat:
Sarcinile asupra tutorelui cu paralelipiped înclinate în matematică nu fac adesea. Probabilitatea apariției lor asupra examenului este destul de mică și didactica indecentă. O sarcină mai mare sau mai puțin decentă asupra volumului paralelipiped înclinat provoacă probleme grave asociate localizării punctului H - baza înălțimii sale. În acest caz, tutorialul din matematică poate fi informat pentru a tăia paralelipiped la una dintre cele șase piramide (care sunt discutate în numărul de proprietate 3), încearcă să-și găsească volumul și să-l înmulțească la 6.

Dacă marginea laterală a paralelipipei are unghiuri egale cu părțile laterale ale bazei, atunci H se află pe bisectorul unghiului o bază ABCD. Și dacă, de exemplu, ABCD - Rhombus, atunci

Task Tutor în matematică:
1) fețele suprafețelor egale paralelipiped cu o lateral 2 cm și un unghi ascuțit. Găsiți volumul paralelipiped.
2) În paralelipiped înclinat, marginea laterală este de 5 cm. Secțiunea transversală perpendiculară pe ea este un cvadrangle cu diagonale reciproc perpendiculare având lungimi de 6 cm și 8 cm. Calculați volumul paralelipepepei.
3) În paralelipiped înclinat, se știe că, iar în supărare ABCD este un romb cu o latură de 2 cm și un unghi. Determinați volumul paralelipipedului.

Tutor în matematică, Alexander Kolpakov

fie (echivalent) un poliedron cu șase fețe, care sunt paraleleograme. Hexagon.

Paralelograme din care este paralelipiped cetățenidin acest paralelipiped, partidele acestor paralelograme sunt perblepipulate nervuri, și vârfurile paralelogramelor - viders. paralelipipepeda.. Parlepipeda are fiecare față paralelogram.

De regulă, orice fețe opuse sunt distinse și le-au numit bazele paralelipipepepeea, și fețele rămase - marginile laterale ale paralelipipepepei. Coastele paralelipiped, care nu aparțin terenurilor sunt coaste laterale.

2 fețe de paralelipiped care au o margine comună sunt adiacent, și cei care nu au coaste comune - opus.

Un segment care conectează 2 noduri care nu aparțin celei de-a 1-a fața este diagonala paralelipipepepeea.

Lungimea coastelor paralelipipedului dreptunghiular, care nu sunt paralele, sunt dimensiuni liniare (măsurători) Polllepipeda. Dreptunghiular paralelipiped 3 dimensiuni liniare.

Tipuri de paralelipiped.

Există mai multe tipuri de paralelipiped:

Direct Este un paralelipiped cu o margine perpendiculară pe planul de fundație.

Paralelipiped dreptunghiular, în care toate cele 3 măsurători au o valoare egală, este cuba . Fiecare dintre fețele cubului este egală pătrate .

Arbitrar paralelipiped.Volumul și rapoartele din paralelipipele înclinate sunt determinate în principal de algebra vectorială. Cantitatea de paralelipiped este în egală măsură amploarea produsului mixt de 3 vectori, care sunt determinate de cele 3 laturi ale paralelipipedului (care provin dintr-un vertex). Raportul dintre lungimile părții paralelipiped și colțurile dintre ele prezintă afirmația că determinantul de date de 3 vectori este egal cu pătratul produsului lor mixt.

Proprietățile paralelipipedului.

• Parallepipa este simetrică în jurul mijlocului este diagonală.
• Fiecare segment cu capetele care aparțin suprafeței paralelipipedului și care trece prin mijlocul acesteia este în diagonală, este împărțită în două părți egale. Toate diagonalele paralelipiped se intersectează în primul punct și îl împărtășesc în două părți egale.
• Fețele opuse ale paraleleiferenței paralelei și au dimensiuni egale.
• Pătratul lungimii diagonale a paralelipipedului dreptunghiular este egal

În această lecție, toată lumea va putea explora tema "paralelipiped dreptunghiular". La începutul lecției vom repeta ce sunt paralelipipepepepeea arbitrară și directă, amintiți-vă proprietățile fețelor lor opuse și diagonalele paralelipipedului. Apoi, luați în considerare ceea ce este paralelipiped dreptunghiular și discutați proprietățile sale de bază.

Subiect: Perpendicularitatea drepturilor și a planurilor

Lecția: paralelipiped dreptunghiular

Suprafața compusă din două paralele egale ale ABSD și A 1 C1 D 1 și patru paralelograme ale ABV 1 A 1, ASC 1 în 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, numit paralelipiped (Fig.1).

Smochin. 1 paralelipiped

Aceasta este: avem două paralelograme egale a ABSD și 1 în 1 C 1 D 1 (bază), se află în planuri paralele, astfel încât coastele laterale AA 1, BB 1, DD 1, SS 1 sunt paralele. Astfel, compusă din suprafața paralelogramei este numită paralelipiped.

Astfel, suprafața paralelipipei este suma tuturor paralelipmemelor din care este compilajul paralelipiped.

1. Fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și egale.

(Cifrele sunt egale, adică pot fi combinate cu impunerea)

De exemplu:

AVD \u003d A 1 din 1 C 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),

Aa 1 în 1 v \u003d dd 1 C 1 C (ca AA 1 în 1 V și DD 1 cu 1 C - fețele opuse ale paralelipipedului);

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 S este fețele opuse ale paralelipipedului).

2. Diagonalele paralelipiped se intersectează la un moment dat și sunt împărțite la acest punct în jumătate.

Diagonala AC paralelipiped 1, în 1 D și 1 C, D1 în intersecția la un punct o și fiecare diagonală este împărțită la acest punct în jumătate (figura 2).

Smochin. 2 diagonale ale paralelipipedului se intersectează și împărtășesc punctul de intersecție la jumătate.

3. Există trei patru de margini egale și paralele ale paralelipipedului: 1 - AB, A 1 din 1, D 1 C1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B1C1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definiție. Paralelipiped este numit direct dacă nervurile sale laterale sunt perpendiculare pe teren.

Lăsați marginea laterală a AA 1 perpendiculară pe bază (figura 3). Aceasta înseamnă că AA 1 este perpendicular pe AD și AB direct, care se află în planul de bază. Și înseamnă că dreptunghiurile se află în partea laterală a marginilor. Iar în baze sunt paralele arbitrare. Denotă de ∠Bad \u003d φ, unghiul φ poate fi oricare altul.

Smochin. 3 paralelipiped drepte

Deci, paralelipiped direct este un paralelipiped, în care coastele laterale sunt perpendiculare pe bazele paralelipipedului.

Definiție. Paralelipiped se numește dreptunghiular, Dacă nervurile laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazinele sunt dreptunghiuri.

Paralelipiped AVDA 1 în 1 C 1 D 1 - dreptunghiular (fig.4), dacă:

1. AA 1 ⊥ AVD (margine laterală perpendiculară pe planul de fundație, adică paralelipiped direct).

2. ∠VD \u003d 90 °, adică, la bază este un dreptunghi.

Smochin. 4 paralelipiped dreptunghiular

Paralelipiped dreptunghiular are toate proprietățile paralelipipeperii arbitrare. Dar există proprietăți suplimentare care sunt derivate din definiția unui paralelipiped dreptunghiular.

Asa de, paralelipiped dreptunghiular - Acesta este un paralellepipide, a cărui coaste laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza paralelipipepeea dreptunghiulară este un dreptunghi.

1. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe de dreptunghiuri.

ABS și 1 în 1 C 1 D 1 - dreptunghiuri prin definiție.

2. Marginile laterale perpendiculare pe bază. Deci, toate fețele laterale ale paralelipipedului dreptunghiular sunt dreptunghiuri.

3. Toate colțurile dumarted ale dreptiformului dreptunghiular direct.

Luați în considerare, de exemplu, un colț dihedral al unui paralelipiped dreptunghiular cu o margine AV, adică unghiul dihedral dintre avburile AVB 1 și ABS.

AV-EDGE, punctul A 1 se află în același plan - în planul Abv 1 și punctul D în celălalt - în planul A 1 din 1 S 1 D 1. Apoi, unghiul dihedral conspirat poate fi indicat după cum urmează: ∠a 1 Avd.

Luați punctul A pe marginea AB. AA 1 - Perpendicular pe marginea AV în planul ABV-1, AD perpendicular pe marginea AB în planul ABC. Deci, ∠a 1 d.Hr este unghiul liniar al acestui unghi dihedral. ∠a 1 ad \u003d 90 °, ceea ce înseamnă că unghiul de dwarbon la marginea AV este de 90 °.

∠ (AVB 1, ABC) \u003d ∠ (AV) \u003d ∠a 1 avd \u003d ∠a 1 ad \u003d 90 °.

În mod similar, se dovedește că orice săpare în colțurile dreptului paralelipiped dreptunghiular.

Diagonala pătrată a paralelipipei dreptunghiulare este egală cu suma pătratelor celor trei dimensiuni.

Notă. Lungimea celor trei coaste emise de la un vârf al paralelipipei dreptunghiulare sunt măsurătorile unui paralelipiped dreptunghiular. Ele sunt uneori numite lungimea, lățimea, înălțimea.

Se dă: AVDA 1 în 1 C 1 D 1 - paralelipiped dreptunghiular (figura 5).

Dovedi:

Smochin. 5 paralelipiped dreptunghiular

Dovezi:

Direct SS 1 perpendicular pe planul ABC și, prin urmare, difuzorul drept. Deci, triunghiul SS 1 A este dreptunghiular. Potrivit teoremei lui Pythagore:

Luați în considerare triunghiul dreptunghiular ABC. Potrivit teoremei lui Pythagore:

Dar soarele și anunțul sunt direcții opuse ale dreptunghiului. Deci, Sun \u003d AD. Atunci:

La fel de , dar atunci. De la SS 1 \u003d AA 1, atunci ceea ce trebuia să dovedească.

Diagonalele paralelipipedului dreptunghiular sunt egale.

Denotă de măsurătorile paralelipiped ABC ca A, B, C (vezi figura 6), apoi au 1 \u003d ca 1 \u003d în 1 d \u003d db 1 \u003d