Диференціальні рівняння із запізненням. Моделювання динамічних систем звичайними диференціальними рівняннями із запізненням

Системи із запізненням відрізняються від розглянутих раніше систем тим, що в одній або кількох зі своїх ланок мають запізнення в часі початку зміни вихідної величини (після початку зміни вхідний) на величину т, звану часом запізнення, причому цей час запізнення залишається постійним і в усьому наступному ході процесу.

Наприклад, якщо ланка описується рівнянням

(аперіодична ланка першого порядку), то рівняння відповідної ланки із запізненням матиме вигляд

(Аперіодична ланка першого порядку із запізненням). Такого виду рівняння називаються рівняннями із запізнюючим аргументом,

Тоді рівняння (6.31) запишеться у звичайному

змінюється стрибком від нуля до одиниці (рис. 6.20,

стоїть у правій частині рівнянні ланки,

). У загальному випадку, як і для (6.31), рівняння динаміки будь-якої ланки із запізненням можна розбити на два:

що відповідає умовній розбивці ланки із запізненням (рис. 6.21, а) па два: звичайна ланка того ж порядку та з тими самими коефіцієнтами і попередній йому елемент запізнювання (рис. 6.21,6).

означає час руху металу від валків до вимірювача товщини. У двох останніх прикладах величина т називається транспортним запізненням.

У першому наближенні певною величиною запізнення т можуть бути охарактеризовані трубопроводи або довгі електричні лінії, що входять до ланок системи.

показана на рис. 6.22 б, то можна наближено описати цю ланку як апериодичне ланка першого порядку із запізненням (6.31), взявши величини т, Г і к з експериментальної кривою (рис, 6,22, б).

Зауважимо також, що така ж експериментальна крива згідно з графіком рис. 6.22, може трактуватися і як тимчасова характеристика звичайної аперіодичного ланки другого порядку з рівнянням

і до можна обчислити із співвідношень, записаних у § 4.5 для даної ланки, за деякими вимірами на експериментальній кривій або іншими способами.

функція (6.36) мало відрізняється від передавальної функції ланки із запізненням (6.35).

Рівняння будь-якої лінійної ланки із запізненням (6.33) тепер записуватимемо у вигляді

Передатна функція лінійної ланки із запізненням буде

позначено передатну функцію відповідної звичайної ланки без запізнення.

- модуль та фаза частотної передавальної функції ланки без запізнення.

Звідси отримуємо таке правило.

Для побудови амплітудно-фазової характеристики будь-якої ланки із запізненням потрібно взяти характеристику відповідної звичайної ланки і кожну її точку зрушити вздовж кола за годинниковою стрілкою на кут, де - значення частоти коливань в даній точці характеристики (рис. 6.23, а).

початкова точка залишається без зміни, а кінець характеристики асимптотично навивається на початок координат (якщо ступінь операторного многочлена менше, ніж многочлена С).

Вище говорилося у тому, що реальні перехідні процеси (тимчасові показники) виду рис. 6.22 б часто можуть бути з однаковим ступенем наближення описані як рівнянням (6.31), так і (6.34). Амплітудно-фазові характеристики для рівнянь (6.31) та (6.34) показані на рис. 6.23, а б відповідно. Принципова відмінність першої полягає в тому, що вона має точку D перетину з віссю (/. При порівнянні обох характеристик між собою та з експериментальною амплітудно-фазовою характеристикою реальної ланки треба брати до уваги не тільки форму кривої, але й характер розподілу відміток частот з вздовж її.

Передатна функція розімкнутої системи без запізнення.

Характеристичне рівняння замкнутої системи, як показано в гол. 5, має вигляд

рівняння може мати нескінченну кількість коренів.

Істотно змінюється обрис амплітудно-фазової характеристики розімкнутої ціни, побудованої але частотної передавальної функції

причому розмикання системи провадиться за певним правилом, яке дається нижче.

Як наслідок, для стійкості лінійних систем першого і другого порядку із запізненням, виявляється, вже недостатньо тільки позитивності.

Нижче буде розглянуто визначення стійкості лише за критерієм Найквіста, тому що його використання для цього співу виявляється найпростішим.

1Побудова амплітудно-фазової характеристики та дослідження стійкості та критерію Найквіста найкраще робити, якщо передавальна функція розімкнутої системи представлена ​​у вигляді (6.38). Для цього необхідно зробити відповідним чином розмикання системи.

Для випадку, зображеного на рис. 6.24 а, розмикання можна зробити в будь-якому місці головного ланцюга, наприклад так, як це показано. Тоді передатна функція розімкнутої системи буде збігатися формою з (6.41).

Для випадку, зображеного на рис. 6,24, б, розмикання головного ланцюга дає вираз

функції розімкнутої системи, не зручне для подальших досліджень:

Нарешті, у разі, зображеному на рис. 6.24 в при розмиканні системи в зазначеному місці отримуємо вираз, що також збігається з (6.41):

Частотну передавальну функцію (6.41) можна подати у вигляді

Тому, представивши вираз (6.41) у вигляді

Лінійними системами із запізненням називаються такі автоматичні системи, які, маючи загалом ту саму структуру, що й звичайні лінійні системи (розділ II), відрізняються від останніх тим, що в одній або кількох зі своїх ланок мають запізнення в часі початку зміни вихідної величини (Після початку зміни вхідний) на величину звану часом запізнення, причому цей час запізнення залишається постійним і в усьому подальшому ході процесу.

Наприклад, якщо звичайна лінійна ланка описується рівнянням

(аперіодична ланка першого порядку), то рівняння відповідної лінійної ланки із запізненням матиме вигляд

(Аперіодична ланка першого порядку із запізненням). Такого виду рівняння називаються рівняннями із запізнюючим аргументом або диференціально-різностними рівняннями.

Позначимо Тоді рівняння (14.2) запишеться у звичайному вигляді:

Так, якщо вхідна величина змінюється стрибком від нуля до одиниці (рис. 14.1, а), то зміна величини правої частини рівняння ланки, що стоїть, зобразиться графіком рис. 14.1 б (стрибок на секунд пізніше). Використовуючи тепер перехідну характеристику звичайної аперіодичного ланки у застосуванні до рівняння (14.3), отримуємо зміну вихідної величини як графіка рис. 14.1 ст. Це і буде перехідна характеристика аперіодичного ланки першого порядку із запізненням (його аперіодична «інерційна» властивість визначається постійною добою Т, а запізнення - величиною

Лінійна ланка із запізненням. У загальному випадку, як і для (14.2), рівняння динаміки будь-якої лінійної ланки із запізненням можна

розбити на два:

що відповідає умовній розбивці лінійної ланки із запізнюванням (рис. 14.2, а) на два: звичайна лінійна ланка того ж порядку та з тими самими коефіцієнтами та попередній йому елемент запізнювання (рис. 14,2, б).

Тимчасова характеристика будь-якої ланки із запізненням буде, отже, така ж, як у відповідної звичайної ланки, але тільки зсунута по осі часу праворуч на величину .

Прикладом ланки «чистого» запізнення є акустична лінія зв'язку (час проходження звуку). Іншими прикладами можуть служити система автоматичного дозування будь-якої речовини, що переміщується за допомогою стрічкового транспортера - час руху стрічки на певній ділянці), а також система регулювання товщини металу, що прокочується, де означає час руху металу від валків до виміру товщини

У двох останніх прикладах величина називається транспортним запізненням.

У першому наближенні певною величиною запізнення можуть бути оларактеризовані трубопроводи або довгі електричні лінії, що входять до ланок системи (докладніше про них див. § 14.2).

Величину запізнення у ланці можна визначити експериментально шляхом зняття тимчасової характеристики. Наприклад, якщо при подачі на вхід ланки стрибком деякої величини, що приймається за одиницю, на виході виходить експериментальна крива показана на рис. 14.3, б, то можна приблизно описати цю ланку як аперіодичну ланку першого порядку із запізненням (14.2), взявши величини з експериментальної кривої (рис. 14.3, б).

Зауважимо також, що така ж експериментальна крива згідно з графіком рис. 14.3, може трактуватися і як тимчасова характеристика звичайної аперіодичного ланки другого порядку з рівнянням

причому і до можна обчислити із співвідношень, записаних у § 4.5 для даної ланки, за деякими вимірами на експериментальній кривій або іншими способами.

Отже, з погляду тимчасової характеристики реальне ланка, наближено описується рівнянням першого порядку із запізнюючим аргументом (14.2), часто то, можливо з такою самою ступенем наближення описано звичайним диференціальним рівнянням другого порядку (14.5). Для вирішення питання про те, яке з цих рівнянь найкраще підходить до цього

реальному ланці, можна порівняти їх амплітудно-фазові характеристики з експериментально знятою амплітудно-фазовою характеристикою ланки, що виражає його динамічні властивості при вимушених коливаннях. Побудова амплітудно-фазових характеристик ланок із запізненням буде розглянуто нижче.

З метою єдності запису рівнянь представимо друге із співвідношень (14.4) для елемента запізнення в операторному вигляді. Розклавши праву частину його в ряд Тейлора, отримаємо

або, у прийнятому раніше символічному операторному записі,

Цей вираз співпадає з формулою теореми запізнення для зображень функцій (табл. 7.2). Таким чином, для ланки чистого запізнення отримуємо передатну функцію у вигляді

Зауважимо, що у деяких випадках наявність великої кількості малих постійних часу у системі регулювання можна враховувати як постійного запізнювання, рівного сумі цих постійних часу. Дійсно, нехай система містить послідовно включених аперіодичних ланок першого порядку з коефіцієнтом передачі, рівним одиниці, і величиною кожної постійної часу. Тоді результуюча передатна функція буде

Якщо то межі отримуємо . Вже при передавальній функції (14.8) мало відрізняється від передавальної функції ланки із запізненням (14.6).

Рівняння будь-якої лінійної ланки із запізненням (14.4) тепер записуватимемо у вигляді

Передатна функція лінійної ланки із запізненням буде

де через позначена передатна функція відповідної звичайної лінійної ланки без запізнення.

Частотна передатна функція виходить із (14.10) підстановкою

де - модуль і фаза частотної передавальної функції ланки без запізнення. Звідси отримуємо таке правило.

Для побудови амплітудно-фазової характеристики будь-якої лінійної ланки із запізненням потрібно взяти характеристику відповідної звичайної лінійної ланки і кожну її точку зрушити вздовж кола за годинниковою стрілкою на кут , де значення частоти коливань в цій точці характеристики (рис. 14.).

Так як на початку амплітудно-фазової характеристики а в кінці то початкова точка залишається без зміни, а кінець характеристики асимптотично навивається на початок координат (якщо ступінь операторного багаточлена менше, ніж багаточлена

Вище говорилося у тому, що реальні перехідні процеси (тимчасові показники) виду рис. 14.3 б часто можуть бути з однаковим ступенем наближення описані як рівнянням (14.2), так і (14.5). Амплітудно-фазові характеристики для рівнянь (14.2) та (14.5) показані на рис. 14.4, а відповідно. Принципова відмінність першої полягає в тому, що вона має точку D перетину з віссю

При порівнянні обох характеристик між собою та з експериментальною амплітудно-фазовою характеристикою реальної ланки треба брати до уваги не тільки форму кривої, але й характер розподілу відміток частот уздовж неї.

Лінійна система із запізненням.

Нехай одноконтурна або багатоконтурна автоматична система серед своїх ланок має одну ланку із запізненням. Тоді рівняння цієї ланки має вигляд (14.9). Якщо таких ланок кілька, то вони можуть мати різні величини запізнювання Всі виведені в розділі 5 загальні формули для рівнянь і передавальних функцій систем автоматичного регулювання залишаються в силі і для будь-яких лінійних систем із запізненням, якщо тільки ці формули підставляти значення передавальних функцій у вигляді ( 14.10).

Наприклад, для розімкнутого ланцюга з послідовно з'єднаних ланок, серед яких є дві ланки із запізненням відповідно, передавальна функція розімкнутої системи матиме вигляд

де - передавальна функція розімкнутого ланцюга без урахування запізнювання, що дорівнює добутку передавальних функцій включених послідовно ланок.

Таким чином, при дослідженні динаміки розімкнутого ланцюга з послідовно з'єднаних ланок безралічно, чи все запізнення буде зосереджено в одному якому-небудь ланці або рознесено по різних ланках. Для багатоконтурних ланцюгів вийдуть складніші співвідношення.

Якщо є ланка з негативним зворотним зв'язком, що володіє запізненням, воно буде описуватися рівняннями;

ВСТУП

Міністерство освіти Російської Федерації

Міжнародний освітній консорціум «Відкрита освіта»

Московський державний університет економіки, статистики та інформатики

АНО «Євразійський відкритий інститут»

Е.А.Геворкян

Диференціальні рівняння із запізнілим аргументом

Навчальний посібник Інструкція з вивчення дисципліни

Збірник задач з дисципліни Навчальна програма з дисципліни

Москва 2004

Геворкян Е.А. ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ІЗ ЗАПАЗНІМ АРГУМЕНТОМ: Навчальний посібник, посібник з вивчення дисципліни, збірник завдань з дисципліни, навчальна програма з дисципліни / Московський державний університет економіки, статистики та інформатики - М.: 2004. - 79 с.

Геворкян Е.А., 2004

Московський державний університет економіки, статистики та інформатики, 2004

Навчальний посібник
Вступ................................................. .................................................. ..............................
1.1 Класифікація диференціальних рівнянь з
аргументом, що відхиляється. Постановка початкового завдання............................................... .
1.2 Диференціальні рівняння із запізнюючим аргументом. Метод кроків. ........
1.3 Диференціальні рівняння з поділяється
змінними та із запізнілим аргументом............................................... ..........................
1.4 Лінійні диференціальні рівняння із запізнюючим аргументом ................
1.5 Диференціальні рівняння Бернуллі із запізнюючим аргументом. ...............
1.6 Диференціальні рівняння у повних диференціалах
із запізнюючим аргументом............................................... .................................................. .
РОЗДІЛ ІІ. Періодичні розв'язки лінійних диференціальних рівнянь
із запізнюючим аргументом............................................... .................................................. .
2.1. Періодичні розв'язки лінійних однорідних диференціальних рівнянь
з постійними коефіцієнтами та із запізнілим аргументом......................................
2.2. Періодичні рішення лінійних неоднорідних диференціальних
..................
2.3. Комплексна форма ряду Фур'є.............................................. ......................................
2.4. Відшукання приватного періодичного вирішення лінійних неоднорідних
диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та запізнюючим
аргументом розкладанням правої частини рівняння до ряду Фур'є........................................... .
РОЗДІЛ ІІІ. Наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь
із запізнюючим аргументом............................................... .................................................. .
3.1. Наближений метод розкладання невідомої функції
із запізнюючим аргументом за ступенями запізнювання............................................ ........
3.2. Наближений метод Пуанкаре. .................................................. ................................
РОЗДІЛ IV. Диференціальні рівняння із запізнюючим аргументом,
що з'являється під час вирішення деяких економічних завдань
з урахуванням тимчасового лага.............................................. .................................................. ...............

4.1. Економічний цикл Колецького. Диференційне рівняння

з запізнюючим аргументом, що описує зміну

запасу готівкового капіталу............................................... .................................................. .......
4.2. Характеристичне рівняння. Випадок речових
коріння характеристичного рівняння............................................... ....................................
4.3. Випадок комплексного коріння характеристичного рівняння.
4.4. Диференціальне рівняння із запізнюючим аргументом,
(Вживання пропорційно національному доходу)............................................ ..........
4.5. Диференціальне рівняння із запізнюючим аргументом,
описує динаміку національного доходу в моделях з лагами
(Вживання експоненційно зростає з темпом приросту).......................................... .........
Література................................................... .................................................. ...........................

Посібник з вивчення дисципліни
2. Перелік основних тем............................................. .................................................. ......
2.1. Тема 1. Основні поняття та визначення. Класифікація
диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється.
Диференціальні рівняння із запізнюючим аргументом. ...........................................
2.2. Тема 2. Постановка початкового завдання. Метод кроків розв'язання
диференціальних рівнянь із запізнюючим аргументом. Приклади...........................
2.3. Тема 3. Диференціальні рівняння з такими, що розділяються
змінними і із запізнілим аргументом. приклади. .................................................. ..
2.4. Тема 4. Лінійні диференціальні рівняння
2.5. Тема 5. Диференціальні рівняння Бернуллі
із запізнюючим аргументом. приклади. .................................................. .............................
2.6. Тема 6. Диференціальні рівняння у повних диференціалах
із запізнюючим аргументом. Необхідні та достатні умови. Приклади..............
2.7. Тема 7. Періодичні розв'язки лінійних однорідних диференціальних
рівнянь з постійними коефіцієнтами та із запізнюючим аргументом.
2.8. Тема 8. Періодичні розв'язки лінійних неоднорідних диференціальних
рівнянь з постійними коефіцієнтами та із запізнюючим аргументом.
приклади. .................................................. .................................................. .................................
2.9. Тема 9. Комплексна форма низки Фур'є. Пошук приватного періодичного
вирішення лінійних неоднорідних рівнянь з постійними коефіцієнтами та
запізнюючим аргументом розкладанням правої частини рівняння до ряду Фур'є.
приклади. .................................................. .................................................. .................................
2.10. Тема 10. Наближене розв'язання диференціальних рівнянь з
запізнюючим аргументом методом розкладання функції від запізнення
за ступенями запізнення. Приклади................................................. ......................................
2.11. Тема 11. Наближений метод Пуанкаре знаходження періодичного
вирішення квазілінійних диференціальних рівнянь з малим параметром та
із запізнюючим аргументом. приклади. .................................................. .............................

2.12. Тема 12. Економічний цикл Колецького. Диференційне рівняння

з запізнюючим аргументом для функції К(t), що показує запас готівки

основного капіталу на момент t............................................. .................................................. ...
2.13. Тема 13. Аналіз характеристичного рівняння, що відповідає
диференціального рівняння для функції K(t). .................................................. .............
2.14. Тема 14. Випадок комплексних рішень характеристичного рівняння
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Тема 15. Диференціальне рівняння для функції у(t), що показує
функція споживання має вигляд c(t -τ ) = (1 - α ) у (t -τ ), де α - постійна норма
виробничого накопичення................................................ ................................................
2.16. Тема 16. Диференціальне рівняння функції y(t), що показує
національний дохід у моделях з лагами капітальних вкладень за умови, що
функція споживача має вигляд c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) ............................. ..................................
Збірник завдань з дисципліни.............................................. .............................................
Навчальна програма з дисципліни.............................................. ...................................

Навчальний посібник

ВСТУП

Вступ

Даний навчальний посібник присвячений викладу методів інтегрування диференціальних рівнянь із запізнілим аргументом, що зустрічаються в деяких технічних та економічних задачах.

Вищезазначеними рівняннями зазвичай описуються будь-які процеси з післядією (процеси із запізненням, з тимчасовою затримкою). Наприклад, коли в досліджуваному процесі значення цікавої для нас величини в момент часу t залежить від величини x в момент часу t-τ, де τ - тимчасовий лаг (y(t) = f). Або, коли значення величини y в момент часу t залежить від значення цієї ж величини в момент часу

мені t-τ (y(t) = f).

Процеси, що описуються диференціальними рівняннями із запізнюючим аргументом зустрічаються і в природних, і в економічних науках. В останніх це пов'язано як із існуванням тимчасового лага в більшості зв'язках циклу громадського виробництва, так і з наявністю інвестиційних лагів (період від початку проектування об'єктів до введення в дію на повну потужність), демографічних лагів (період від народження до вступу до працездатного віку та початку трудової діяльності після здобуття освіти).

Облік тимчасового лага під час вирішення технічних і економічних завдань має значення, оскільки наявність лага може суттєво вплинути характер одержуваних рішень (наприклад, за певних умов може призвести до нестійкості рішень).

З ЗАГАЛЬНИМ АРГУМЕНТОМ

ГЛАВА I. Метод кроків розв'язання диференціальних рівнянь

з запізнюючим аргументом

1.1. Класифікація диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється. Постановка початкового завдання

Визначення 1 . Диференціальними рівняннями з аргументом, що відхиляється, називаються диференціальні рівняння, в яких невідома функція X(t) входить при різних значеннях аргументу.

X(t) = f(t, x(t), x),

X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,
X(t) = ft, x(t), x(t), x[t-τ(t)], x[t−τ
X(t) = ft, x(t), x(t), x(t/2), x(t/2).

(t)]

Визначення 2. Диференціальним рівнянням із запізнюючим аргументом називається диференціальне рівняння з аргументом, що відхиляється, в якому похідна найвищого порядку від невідомої функції входить при однакових значеннях аргументу і цей аргумент не менше, ніж всі аргументи невідомої функції та її похідних, що входять до рівняння.

Зауважимо, що згідно з визначенням 2, рівняння (1) і (3) за умов τ (t ) ≥ 0 , t − τ (t ) ≥ 0 будуть рівняннями із запізнюючим аргументом, рівняння (2) буде рівно-

ням із запізнюючим аргументом, якщо τ 1 ≥ 0 , 2 ≥ 0 , t ≥ 1 , t ≥ τ 2 , рівняння (4) є рівняння із запізнюючим аргументом, так як t ≥ 0 .

Визначення 3. Диференціальним рівнянням з випереджальним аргументом називається диференціальне рівняння з аргументом, що відхиляється, в якому похідна найвищого порядку від невідомої функції входить при однакових значеннях аргументу і цей аргумент не більше інших аргументів невідомої функції і її похідних, що входять в рівняння.

Приклади диференціальних рівнянь з випереджальним аргументом:

X(t) =

X(t) =

X(t) =

f (t, x(t), x[t + τ(t)]),

f [t, x (t), x (t + τ1), x (t + τ2)],

f t, x (t), x. (t), x [t + τ (t)], x. [t+τ

(t)].

I. МЕТОД КРОКІВ РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

З ЗАГАЛЬНИМ АРГУМЕНТОМ

Визначення 4. Диференціальні рівняння з аргументом, що відхиляється, не є рівняннями із запізнюючим або випереджальним аргументом, називаються диференціальними рівняннями нейтрального типу.

Приклади диференціальних рівнянь з аргументом нейтрального типу, що відхиляється:

X (t) = f t, x(t) , x(t − ) , x(t − τ )

X(t) = ft, x(t), x[t−τ(t)], x[t−τ(t)], x[t−τ(t)].

Зазначимо, що аналогічна класифікація застосовується і для систем диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється заміною слова "функція" словом "вектор функція".

Розглянемо найпростіше диференціальне рівняння з аргументом, що відхиляється:

X (t) = f [t, x (t), x (t - τ)]],

де τ ≥ 0 і t − τ ≥ 0 (фактично розглядаємо диференціальне рівняння із запізнюючим аргументом). Основне початкове завдання при вирішенні рівняння (10) полягає в наступному: визначити безперервне рішення X (t ) рівняння (10) для t > t 0 (t 0 –

фіксований час) за умови, що X (t ) = ϕ 0 (t ) , коли t 0 − τ t ≤ t 0 де ϕ 0 (t ) – задана безперервна початкова функція. Сегмент [t 0 - τ, t 0] називається початковою множиною, t 0 називається початковою точкою. Передбачається, що X (t 0 + 0) = 0 (t 0) (рис. 1).

X (t) = ϕ 0 (t)

	t 0 − τ		t 0 + τ		0 + τ
Якщо запізнення τ		у рівнянні (10) залежить від часу t		(τ = τ (t )) , то началь-

ная задача ставиться так: знайти рішення рівняння (10) при t > t 0 , якщо відома початкова функція X (t ) = ϕ 0 t при t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

приклад. Знайти рішення рівняння.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
при t > t 0 = 0 якщо початкова функція X (t ) = ϕ 0 (t ) при (t 0 − cos2 t 0 ) |	t ≤ t0
t 0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

I. МЕТОД КРОКІВ РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

З ЗАГАЛЬНИМ АРГУМЕНТОМ

приклад. Знайти рішення рівняння

	X (t) = f [t, x (t), x (t / 2)]			при (t	−t	/ 2) |
	t > t 0 = 1 якщо початкова функція X (t ) = ϕ t						≤ t ≤ t
						t = 1			t = 1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Зазначимо, що початкова функція зазвичай задається чи перебуває експериментально (переважно у технічних завданнях).

1.2. Диференціальні рівняння із запізнюючим аргументом. Метод кроків

Розглянемо диференціальне рівняння із запізнюючим аргументом.

Потрібно знайти рішення рівняння (13) при t t 0 .

Для знаходження рішення рівняння (13) при t ≥ t 0 користуватимемося методом кроків (метод послідовного інтегрування).

Суть методу кроків у тому, що спочатку знайдемо рішення рівняння (13) для t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ , потім t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ тощо. При цьому зауважимо, наприклад, що так як в області t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ аргумент t − τ змінюється в межах t 0 − τ ≤ t − τ t 0 , то в рівнянні

(13) у цій області замість x (t - τ) можна взяти початкову функцію ϕ 0 (t - τ). Тоді

отримаємо, що знаходження рішення рівняння (13) у сфері t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ потрібно ре-
шити звичайне диференціальне рівняння без запізнення у вигляді:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X(t) = f
при t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ	з початковою умовою X(t0) = ϕ(t0) (див. рис. 1).
	знайшовши вирішення цієї початкової задачі у вигляді X (t) = ϕ 1 (t),	можемо пост-

ти задачу знаходження рішення на відрізку t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ і т.д.

Тож маємо:

			0 (t − τ)],
	X (t) = f [t, x(t) , ϕ
при t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0),
	X (t) = f [ t, x (t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
при t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ			X (t 0 + τ ) = ϕ 1(t 0 + τ ),
	X (t) = f [ t, x (t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
при t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ ,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ),
	X (t) = f [ t, x (t) , n (t − τ ) ] ,
при t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) =
	ϕ i (t ) є	рішення аналізованої початкової		завдання на відрізку
t 0 + (i −1 ) τ ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I = 1,2,3 ... n, ...).

I. МЕТОД КРОКІВ РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

З ЗАГАЛЬНИМ АРГУМЕНТОМ

Такий метод кроків розв'язання диференціального рівняння із запізнюючим аргументом (13) дозволяє визначити рішення X (t) на деякому кінцевому відрізку зміни t.

Приклад 1. Методом кроків визначити рішення диференціального рівняння 1-го порядку із запізнюючим аргументом

	(t) = 6 X (t − 1 )
в області 1 ≤ t ≤ 3 якщо початкова функція при 0 ≤ t ≤ 1 має вигляд X (t ) = ϕ 0 (t ) = t .
Рішення. Спочатку знайдемо рішення рівняння (19) в області 1 ≤ t ≤ 2 . Для цього в
(19) замінимо X (t - 1) на 0 (t - 1), тобто.
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
та врахуємо X(1) = ϕ 0(1) = t |
Отже в області 1 ≤ t ≤ 2 отримаємо звичайне диференціальне рівняння виду
	(t )= 6 (t − 1 )
або dx (t)	6 (t−1).
Вирішуючи його з урахуванням (20), отримаємо рішення рівняння (19) при 1 ≤ t ≤ 2 у вигляді
X(t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
Для знаходження рішення в області 2 ≤ t ≤ 3 у рівнянні (19) замінимо X (t − 1) на
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2+1 | t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Тоді отримаємо звичайне		диференціальне
рівняння:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
рішення якого має вигляд (Мал. 2)
X ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Логістичне рівняння із запізненням за часом можна застосувати щодо взаємодії хижак - жертва.- Стійкі граничні цикли відповідно до логістичним рівнянням.
Існування запізнення за часом дає можливість-застосувати інший спосіб моделювання простої системи відносин хижак-жертва.

Цей спосіб ґрунтується на логістичному рівнянні (розд. 6.9):

Таблиця 10.1. Принципова подібність динаміки чисельності, отриманої «а моделі Лотки-Вольтерри (і взагалі на моделях типу хижак-жертва), з одного боку, і на логістичній моделі із запізненням за часом - з іншого. В обох випадках існує чотирифазійний цикл з максимумами (і мінімумами) чисельності хижака, наступними за максимумами” (і мінімумами) чисельності жертви

Швидкість зростання популяції хижака у цьому рівнянні залежить від початкової чисельності (С) та питомої швидкості зростання, г-(К-С) I Kf де К – гранична щільність насичення популяції хижака. Відносна швидкість у свою чергу залежить від ступеня недовикористання середовища (К-С), яке у випадку з населенням хижака можна розглядати як ступінь перевищення потреб хижака доступністю жертви. Проте доступність жертви і, отже, відносна швидкість зростання популяції хижака часто відбивають щільність популяції хижака у попередній період (розд. 6.8.4). Іншими словами, у реакції популяції хижака на власну щільність може бути запізнення за часом:
dC „ л ( До Cnow-Iag \
- Г. Gnow j.
Якщо це запізнення невелике або хижак розмножується занадто повільно (тобто величина г мала), то динаміка такої популяції не буде помітно відрізнятися від простим логістичним рівнянням, що описується (див. May, 1981а). Але при помірних або високих значеннях часу запізнення та швидкості розмноження населення здійснює коливання зі стійкими граничними циклами. Крім того, якщо ці стійкі граничні цикли виникають згідно з логістичним рівнянням із запізнюванням у часі, то їх тривалість (або «період») приблизно в чотири рази перевищує тривалість.

жертви, щоб зрозуміти механізм коливань їх чисельності.
Існує ряд прикладів, отриманих на природних популяціях, у яких можна знайти регулярні коливання чисельності хижаків і жертв. Вони обговорюються в розд. 15.4; тут нам буде корисний лише один приклад (див. Keith, 1983). Коливання чисельності популяцій зайця обговорюються екологами, починаючи з двадцятих років ХХ століття, а мисливці виявили їх ще 100 років до того. Так, наприклад, американський заєць-біляк (Lepus americanus) у бореальних лісах Північної Америки має «10-річний цикл чисельності» (хоча насправді його тривалість варіює від 8 до 11 років; рис. В). Заєць-біляк переважає серед рослиноїдних тварин цього району; він харчується кінчиками пагонів численних чагарників та невеликих дерев. Коливанням його чисельності відповідають коливання чисельності низки хижаків, зокрема рисі (Lynx canadensis). 10-річні цикли чисельності характерні також і для деяких інших рослиноїдних тварин, а саме для комірцевого рябчика та американської дикуші. У популяціях зайця нерідко відбуваються 10-30-кратні зміни чисельності, а за сприятливих умов можуть спостерігатися і 100-кратні зміни. Ці коливання справляють особливо велике враження, коли відбуваються практично одночасно на величезній території від Аляски до Ньюфаундленду.
Зниження чисельності зайця-біляка супроводжується низькою народжуваністю, низькою виживаністю молоді, втратою ваги та низькою швидкістю зростання; всі ці явища можна відтворити в експерименті, що погіршує умови харчування. Крім того, прямі спостереження насправді підтверджують зниження доступності корму в періоди максимальної чисельності зайця. Хоча, можливо, важливіше те, що на сильне об'їдання рослини відповідають утворенням пагонів з високим вмістом отруйних речовин, що робить їх неїстівними для зайців. І особливо важливим є те, що рослини залишаються захищеними таким способом протягом 2-3 років після сильного обгризання. Це призводить до затримки між початком зниження чисельності зайця та відновленням його кормових запасів, що дорівнює приблизно 2,5 року. Два з половиною роки - і є те саме запізнення у часі, що становить чверть тривалості одного циклу, що відповідає прогнозам на простих моделях. Отже, існує, мабуть, між популяцією зайця і популяціями рослин взаємодія, що знижує чисельність зайців і те, що відбувається із запізненням у часі, як і зумовлює циклічні коливання.
Хижаки ж, швидше за все, слідують за коливаннями чисельності зайця, а чи не викликають їх. Все ж таки коливання, ймовірно, виражені більш чітко завдяки високому відношенню числа хижаків до жертв у період зниження чисельності зайця, а також завдяки їх низькому відношенню в період, що йде за мінімумом чисельності зайців, коли вони, випереджаючи хижака, відновлюють свою чисельність (мал. 10.5). Крім того, при високому відношенні чисельності рисі до чисельності зайця хижак поїдає велику кількість борової дичини, а за низького відношення – невелику. Це, мабуть, спричиняє коливання чисельності у цих другорядних рослиноїдних тварин (рис. 10.5). Таким чином, взаємодія зайці-рослини викликає коливання чисельності зайця, хижаки повторюють коливання їх чисельності, а цикли чисельності у рослиноїдних птахів викликані змінами преса хижаків. Очевидно, що прості моделі корисні для розуміння механізмів коливань чисельності у природних умовах, але ці моделі пояснюють виникнення цих коливань далеко не повністю.

Завдання для рівнянь із запізненням. Розглянемо варіаційне завдання , в якому управління визначає фазову траєкторію системи завданням Коші для рівняння із запізненням

У літературі подібні системи часто називають системами одночасних рівнянь, маючи на увазі, що тут залежна змінна одного рівняння може з'являтися одночасно у вигляді змінної (але вже як незалежної) в одному або кількох інших рівняннях. У разі втрачає сенс традиційне розрізнення залежних і незалежних змінних . Натомість встановлюється різниця між двома видами змінних. Це, по-перше, спільно залежні змінні (ендогенні), вплив яких одна на одну має бути досліджено (матриця А в доданку Ay t) наведеної вище системи рівнянь). По-друге, зумовлені змінні, які, як передбачається, впливають на перші, проте відчувають їх впливу це змінні із запізненням, тобто. лагові (друге доданок) та певні поза даною системою рівнянь екзогенні змінні.

Однак для рівнянь із загальними типами запізнювань і більш-менш далеко проведеною специфікацією залишку ще немає достатньо надійних результатів щодо властивостей оцінок. Так, оцінки за регресійним рівнянням із загальною поліноміальною формою лага мають лише властивість спроможності , а оцінки рівнянь із запізнюючими екзогенними та ендогенними змінними , отримані трикроковим методом найменших квадратів (за наявності одночасно марківської залишкової автокореляції першого порядку), не мають. аналіз оцінок в).

Таким чином, при синтезі швидкодіючих систем максимального ступеня стійкості потрібно спочатку визначити оптимальні значення bj, що забезпечують виконання умови (4), ng і з, (1=1, п), потім знайти с/, при яких має місце (10) і, нарешті, з умови (12) при заданій величині вибрати dj. Зауваження. З розглянутих випадків слід, що структури оптимальних рішень тобто кількість дійсних і комплексно-сполучених пар крайніх правих коренів, їх поєднання, кратності і, як наслідок, види годографів оптимальних рішень у площині Х залежать від розмірності керування m (1.2) і при достатньо великих порядках п (1.1) не залежать від самого значення п. Іншими словами, кожному заданому m відповідає свою цілком певну кількість структур оптимальних рішень, яке досягається при значенні порядку рівняння (1.1) п = п і збільшення порядку п > п не призводить до появи нових оптимальних рішень. Тому при п - > QO зберігається можливість синтезу систем максимального ступеня стійкості, структури оптимальних рішень визначаються тільки т, а значить за будь-якого m відомі структури оптимальних рішень і для об'єктів із запізненням.

Виникає питання, як визначити значення тимчасового запізнення для кожного показника. Для визначення відповідних тимчасових лагів використовуємо кореляційний аналіз динамічних рядів даних. Основним критерієм визначення тимчасового лага є найбільша величина коефіцієнта взаємної кореляції часових рядів показників із різним періодом запізнення їхнього впливу показник інфляції. У результаті рівняння набуде наступного вигляду

Крім цього, метод С. д. дозволяє пов'язати в рамках однієї моделі численні потоки (фізич. керуючі та інформаційні) і рівні тих, що акумулюють ці потоки величин капіталовкладення та вибуття фондів з рівнем осн. капіталу, народжуваність і смертність у різних вікових групах з віковою структурою населення і т.п. -Рих піддаються досить простому експериментальному дослідженню на стійкість залежно від параметрів та структури самої моделі.

Правила можна групувати і за іншими ознаками. Наприклад, за інструментом грошово-кредитної політики (валютний курс, відсоткова ставка або грошовий агрегат) за наявності зовнішньоекономічних зв'язків (відкрита або закрита економіка) щодо включення прогнозу економічних змінних до рівняння правила (перспективні та адаптивні правила) за величиною запізнення (з лагами або без ) і т.д.

Модель з урахуванням часу польоту снаряда та запізненням у перенесенні вогню дозволяє врахувати затримки в системі раннього попередження про ракетний напад противника та систему космічного спостереження за його ракетно-ядерними силами. Ця модель визначається рівняннями

Блок постійного запізнення БПЗ-2М призначений для відтворення функцій із запізнюючим аргументом в аналогових обчислювальних пристроях може бути використаний при електричному моделюванні процесів, пов'язаних з транспортуванням речовини або передачею енергії, при апроксимації рівнянь складних багатоємнісних об'єктів рівняннями першого і другого порядку.

Функції рішень є формулювання лінії поведінки, визначальну, як наявна інформація рівнях призводить до вибору рішень , що з величинами поточних темпів потоку. Функція рішення може мати форму нескладного рівняння, яке визначає найпростішу реакцію ма-териалопотока на стани одного або двох рівнів (так, продуктивність транспортної системи часто може бути адекватно виражена кількістю товарів у дорозі, що є рівень, і константою - середнім запізненням на час транспортування) . З іншого боку, функція рішення може бути довгим і детально розробленим ланцюгом обчислень, що виконуються з урахуванням зміни ряду додаткових умов.

В даний час немає повної ясності, який фактор є основною причиною відсутності діатомей в Байкалі в холодні періоди. У [Грачов та ін., 1997] вирішальним вважається підвищена мутність води, викликана роботою гірських льодовиків, у [Гавшин та ін., 1998] основним вважається падіння концентрації кремнію через завмирання ерозії у водозбірному басейні Байкалу. Модифікація моделі (2.6.7), де перше рівняння визначає динаміку концентрації кремнію, а друге - динаміку осадження суспензії, дозволяє запропонувати підхід виявлення того, який із цих двох чинників є основним. Ясно, що через величезну водну масу біота Байкалу буде реагувати на зміни клімату з деяким запізненням у порівнянні з реакцією рослинних угруповань водозбірного басейну озера. Тому діатомовий сигнал повинен запізнюватися порівняно з палінологічним сигналом. Якщо головна причина зникнення діатомей у холодні періоди - зменшення концентрації кремнію, то такі запізнення реакцій на потепління повинні бути більшими, ніж запізнення для похолодання. Якщо ж головний фактор придушення діатомей - каламутність через льодовики, то запізнювання реакцій на похолодання має бути приблизно таким самим або навіть більшим, ніж на потепління.

Останнє рівняння, як міг помітити читач, описує поведінку найпростішого самоналаштовується механізму з пропорційним запізненням. У додатку А наводиться блок-схема, по-

Процедура PERRON97 визначає в даному випадку дату зламу як 1999 07, якщо вибір дати зламу здійснюється за мінімумом -статистики критерію одиничного кореня ta=i, взятому по всіх можливих моментах зламу. У цьому ta= = - 3.341, що від 5% критичного рівня - 5.59, і гіпотеза одиничного кореня не відкидається. Найбільше запізнення різниць, що включаються у праву частину рівнянь, вибирається рівним 12 у рамках застосування процедури GS для редукції моделі з 10% рівнем значущості.