Завдання застосування теореми піфагора. Старт у науці Док у теореми піфагора

Переконайтеся, що цей трикутник є прямокутним, оскільки теорема Піфагора застосовна тільки до прямокутних трикутників. У прямокутних трикутниках один із трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.

• Прямий кут прямокутного трикутника позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.

Позначте сторони трикутника.Катети позначте як «а» і «b» (катети – сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу – як «с» (гіпотенуза – найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута).

Визначте, яку сторону трикутника потрібно знайти.Теорема Піфагора дозволяє знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника (якщо відомі дві інші сторони). Визначте, яку сторону (a, b, c) потрібно знайти.

• Наприклад, дана гіпотенуза, що дорівнює 5, і дано катет, що дорівнює 3. У цьому випадку необхідно знайти другий катет. Ми повернемося до цього прикладу пізніше.
• Якщо дві інші сторони невідомі, необхідно знайти довжину однієї з невідомих сторін, щоб мати можливість застосувати теорему Піфагора. Для цього використовуйте основні тригонометричні функції (якщо вам надано значення одного з непрямих кутів).

Підставте у формулу a 2 + b 2 = c 2 дані значення (або знайдені вами значення).Пам'ятайте, що a і b – це катети, а з – гіпотенуза.

• У прикладі напишіть: 3² + b² = 5².

Зведіть у квадрат кожну відому сторону.Або ж залиште ступеня – ви можете звести числа у квадрат пізніше.

• У прикладі напишіть: 9 + b² = 25.

Відокремте невідому сторону на одному боці рівняння.Для цього перенесіть відомі значення на інший бік рівняння. Якщо ви знаходите гіпотенузу, то в теоремі Піфагора вона вже відокремлена з одного боку рівняння (тому робити нічого не потрібно).

• У нашому прикладі перенесіть 9 на праву сторону рівняння, щоб відокремити невідоме b². Ви отримаєте b? = 16.

Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння.На даному етапі на одній стороні рівняння є невідоме (у квадраті), а на іншій стороні - вільний член (число).

• У нашому прикладі b² = 16. Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння та отримайте b = 4. Таким чином, другий катет дорівнює 4 .

Використовуйте теорему Піфагора у повсякденному житті, оскільки її можна застосовувати у великій кількості практичних ситуацій. Для цього навчитеся розпізнавати прямокутні трикутники у повсякденному житті - у будь-якій ситуації, в якій два предмети (або лінії) перетинаються під прямим кутом, а третій предмет (або лінія) з'єднує (по діагоналі) верхівки двох перших предметів (або ліній), ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону (якщо дві інші сторони відомі).

• Приклад: дані сходи, притулені до будівлі. Нижня частина сходів знаходиться за 5 метрів від основи стіни. Верхня частина сходів знаходиться за 20 метрів від землі (вгору по стіні). Яка довжина сходів?
  • "за 5 метрів від основи стіни" означає, що а = 5; «знаходиться в 20 метрах від землі» означає, що b = 20 (тобто вам дано два катети прямокутного трикутника, оскільки стіна будівлі та поверхня Землі перетинаються під прямим кутом). Довжина сходів є довжиною гіпотенузи, яка невідома.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • з = √425
    • з = 20,6. Таким чином, приблизна довжина сходів дорівнює 20,6 метрів.

Тим, хто цікавиться історією теореми Піфагора, яку вивчають у шкільній програмі, буде також цікавий такий факт, як публікація у 1940 році книги з трьохсот сімдесятьма доказами цієї, здавалося б, простої теореми. Але вона інтригувала уми багатьох математиків та філософів різних епох. У книзі рекордів Гіннеса вона зафіксована як теорема з найбільшою кількістю доказів.

Історія теореми Піфагора

Пов'язана з ім'ям Піфагора теорема була відома задовго до народження великого філософа. Так було в Єгипті, під час будівництва споруд, враховувалося співвідношення сторін прямокутного трикутника п'ять тисячоліть тому. У вавилонських текстах згадується все те ж співвідношення сторін прямокутного трикутника за 1200 років до народження Піфагора.

Виникає питання, чому тоді говорить історія - виникнення теореми Піфагора належить йому? Відповідь може бути лише одна - він довів співвідношення сторін у трикутнику. Він зробив те, що століття тому не робили ті, хто просто користувався співвідношенням сторін та гіпотенузи, встановленим досвідченим шляхом.

З життя Піфагора

Майбутній великий учений, математик, філософ народився на острові Самос у 570 році до нашої ери. Історичні документи зберегли відомості про отця Піфагора, який був різьбяр по дорогоцінному камінню, а ось про матір відомостей немає. Про хлопчика, що народився, говорили, що це неабияка дитина, що проявила з дитячого віку пристрасть до музики і поезії. До вчителів юного Піфагора історики відносять Гермодаманта та Ферекіда Сіросського. Перший ввів хлопчика у світ муз, а другий, будучи філософом та засновником італійської школи філософії, направив погляд юнака до логосу.

У 22 роки від народження (548 р. до н. е.) Піфагор відправився в Навкратіс для вивчення мови та релігії єгиптян. Далі його шлях лежав у Мемфіс, де завдяки жерцям, пройшовши через їх хитромудрі випробування, він спіткав єгипетську геометрію, яка, можливо, наштовхнула допитливого юнака на доказ теореми Піфагора. Історія надалі припише теоремі саме це ім'я.

У полоні царя Вавилона

Дорогою додому в Елладу, Піфагор потрапляє у полон царя Вавилона. Але знаходження в полоні принесло користь допитливому розуму математика-початківця, йому було чому повчитися. Адже в ті роки математика у Вавилоні була більш розвиненою, ніж у Єгипті. Дванадцять років він провів за вивченням математики, геометрії та магії. І, можливо, саме вавилонська геометрія причетна до доказу співвідношення сторін трикутника та історії відкриття теореми. У Піфагора було цього достатньо отриманих знань і часу. Але що це сталося у Вавилоні, документального підтвердження чи спростування тому немає.

У 530 р. до н. Піфагор біжить із полону на батьківщину, де живе при дворі тирана Полікрата у статусі напівраба. Таке життя Піфагора не влаштовує, і він віддаляється в печери Самоса, а потім вирушає на південь Італії, де на той час була грецька колонія Кротон.

Таємний чернечий орден

На основі цієї колонії Піфагор організував таємний чернечий орден, що представляв собою релігійний союз та наукове суспільство одночасно. Це суспільство мало свій статут, у якому йшлося про дотримання особливого способу життя.

Піфагор стверджував, щоб зрозуміти Бога, людина повинна пізнати такі науки як алгебра та геометрія, знати астрономію та розуміти музику. Дослідницька робота зводилася до пізнання містичного боку чисел та філософії. Слід зазначити, що проповідовані тоді Піфагором принципи, мають сенс у наслідуванні й у час.

Багато відкриттів, які робили учні Піфагора, приписувалися йому. Проте, якщо говорити коротко, історія створення теореми Піфагора давніми істориками та біографами того часу пов'язується безпосередньо з ім'ям цього філософа, мислителя та математика.

Вчення Піфагора

Можливо, на думку про зв'язок теореми з ім'ям Піфагора наштовхнуло істориків висловлювання великого грека, що у горезвісному трикутнику з його катетами та гіпотенузою зашифровано всі явища нашого життя. А цей трикутник є "ключом" до вирішення всіх проблем, що виникають. Великий філософ говорив, що слід побачити трикутник, тоді вважатимуться, що завдання дві третини вирішена.

Про своє навчання Піфагор розповідав тільки своїм учням усно, не роблячи жодних записів, тримаючи його в таємниці. На превеликий жаль, вчення найбільшого філософа не збереглося до наших днів. Щось із нього просочилося, але не можна сказати скільки істинного, а скільки помилкового в тому, що стало відомо. Навіть із історією теореми Піфагора не все безперечно. Історики математики сумніваються в авторстві Піфагора, на їхню думку теорема користувалися за багато століть до його народження.

теорема Піфагора

Може здатися дивним, але історичних фактів доказу теореми самим Піфагором немає — ні в архівах, ні в інших джерелах. У сучасній версії вважається, що воно належить нікому іншому, як самому Евкліду.

Є докази одного з найбільших істориків математики Моріца Кантора, який виявив на папірусі, що зберігається в Берлінському музеї, записане єгиптянами приблизно в 2300 до н. е. рівність, яка гласила: 3? + 4? = 5?.

Коротко з історії теореми Піфагора

Формулювання теореми з евклідових "Початків", у перекладі звучить також як і в сучасній інтерпретації. Нового в її прочитанні немає: квадрат сторони, що протилежить прямому куту, дорівнює сумі квадратів сторін, прилеглих до прямого кута. Про те, що теоремою користувалися давні цивілізації Індії та Китаю, підтверджує трактат "Чжоу - бі суань цзінь". Він містить відомості про єгипетський трикутник, в якому описано співвідношення сторін як 3:4:5.

Не менш цікавою є ще одна китайська математична книга «Чу-пей», в якій також згадується про піфагоровий трикутник з поясненням і малюнками, що збігаються з кресленнями індуської геометрії Басхари. Про самому трикутнику в книзі написано, що якщо прямий кут можна розкласти на складові частини, тоді лінія, яка з'єднує кінці сторін, дорівнюватиме п'яти, якщо основа дорівнює трьом, а висота дорівнює чотирьом.

Індійський трактат "Сульва сутра", що відноситься приблизно до VII-V століть до н. е., розповідає про побудову прямого кута за допомогою єгипетського трикутника.

Доказ теореми

У середні віки учні вважали доказ теореми надто складною справою. Слабкі учні заучували теореми напам'ять, без розуміння сенсу доказу. У зв'язку з цим вони отримали прізвисько "осли", тому що теорема Піфагора була для них непереборною перешкодою, як для осла міст. У середні віки учні придумали жартівливий вірш щодо цієї теореми.

Щоб довести теорему Піфагора найлегшим шляхом, слід просто виміряти його сторони, не використовуючи в доказі поняття про площі. Довжина сторони, що протилежить прямому куту - це c, а прилеглі до нього a та b, в результаті отримуємо рівняння: a 2 + b 2 = c 2 . Дане твердження, як говорилося вище, перевіряється шляхом виміру довжин сторін прямокутного трикутника.

Якщо почати доказ теореми з розгляду площі прямокутників, побудованих на сторонах трикутника, можна визначити площу всієї фігури. Вона дорівнюватиме площі квадрата зі стороною (a+b), а з іншого боку, сумою площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2 що і потрібно довести.

Практичне значення теореми Піфагора у тому, що з допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи їх. При будівництві споруд розраховуються відстані, розміщення опор та балок, визначаються центри важкості. Застосовується теорема Піфагора та у всіх сучасних технологіях. Не забули про теорему і під час створення кіно в 3D-6D-вимірюваннях, де крім звичних нам 3-х величин: висоти, довжини, ширини - враховуються час, запах та смак. Як пов'язані з теоремою смаки та запахи - запитаєте ви? Все дуже просто - при показі фільму потрібно розрахувати, куди і які запахи та смаки спрямовувати у залі для глядачів.

Чи то ще буде. Безмежний простір для відкриття та створення нових технологій чекає допитливі уми.

Піфагор - грецький вчений, який жив близько 2500 років тому (564-473 рр.. До нашої ери).

Нехай дано прямокутний трикутник, сторони якого а, bі з(Рис. 267).

Збудуємо на його сторонах квадрати. Площа цих квадратів відповідно дорівнює а 2 , b 2 та з 2 . Доведемо, що з 2 = а 2 + b 2 .

Побудуємо два квадрати МКОР і М'К'О'Р' (рис. 268, 269), прийнявши за бік кожного з них відрізок, що дорівнює сумі катетів прямокутного трикутника АВС.

Виконавши у цих квадратах побудови, показані на ріунках 268 та 269, ми побачимо, що квадрат МКОР розбився на два квадрати з площами а 2 та b 2 і чотири рівні прямокутні трикутники, кожен з яких дорівнює прямокутному трикутнику АВС. Квадрат М'К'О'Р' розбився на чотирикутник (він на малюнку 269 заштрихований) і чотири прямокутні трикутники, кожен з яких також дорівнює трикутнику АВС. Заштрихований чотирикутник - квадрат, оскільки сторони його рівні (кожна дорівнює гіпотенузі трикутника АВС, тобто. з), а кути - прямі ∠1 + ∠2 = 90°, звідки ∠3 = 90°).

Таким чином, сума площ квадратів, побудованих на катетах (на малюнку 268 ці квадрати заштриховані), дорівнює площі квадрата МКОР без суми площ чотирьох рівних трикутників, а площа квадрата, побудованого на гіпотенузі (на малюнку 269 цей квадрат теж заштрихований), дорівнює площі квадрата М'К'О'Р', рівного квадрату МКОР, без суми площ чотирьох таких самих трикутників. Отже, площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Отримуємо формулу з 2 = а 2 + b 2 , де з- гіпотенуза, аі b- Катети прямокутного трикутника.

Теорему Піфагора коротко прийнято формулювати так:

Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

З формули з 2 = а 2 + b 2 можна отримати такі формули:

а 2 = з 2 - b 2 ;

b 2 = з 2 - а 2 .

Цими формулами можна використовувати для знаходження невідомої сторони прямокутного трикутника по двох даних сторонам.

Наприклад:

а) якщо дані катети а= 4 см, b= 3 см, то можна знайти гіпотенузу ( з):

з 2 = а 2 + b 2, тобто. з 2 = 4 2 + 3 2; з 2 = 25, звідки з= √25 = 5(см);

б) якщо дані гіпотенуза з= 17 см та катет а= 8 см, то можна знайти інший катет ( b):

b 2 = з 2 - а 2, тобто. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, звідки b= √225 = 15 (см).

Наслідок: Якщо у двох прямокутних трикутниках ABC та А 1 В 1 С 1 гіпотенузи зі з 1 рівні, а катет bтрикутника АВС більше катета b 1 трикутника А 1 В 1 C 1 ,

то катет атрикутника ABC менше катета а 1 трикутника А 1 В 1 C 1 .

Насправді, на підставі теореми Піфагора отримаємо:

а 2 = з 2 - b 2 ,

а 1 2 = з 1 2 - b 1 2

У записаних формулах зменшувані рівні, а віднімається в першій формулі більше віднімається в другій формулі, отже, перша різниця менше другої,

тобто. а 2 а 1 2 . Звідки аа 1 .

1

Шаповалова Л.А. (ст. Єгорлицька, МБОУ ЄСОШ № 11)

1. Глейзер Г.І. Історія математики у школі VII – VIII класи, посібник для вчителів, – М: Просвітництво, 1982.

2. Демпан І.Я., Віленкін Н.Я. "За сторінками підручника математики" Посібник для учнів 5-6 класів. - М.: Просвітництво, 1989.

3. Зенкевич І.Г. "Естетика уроку математики". - М.: Просвітництво, 1981.

4. Літцман В. Теорема Піфагора. - М., 1960.

5. Волошин А.В. "Піфагор". - М., 1993.

6. Пічурін Л.Ф. "За сторінками підручника алгебри". - М., 1990.

7. Земляков О.М. «Геометрія у 10 класі». - М., 1986.

8. Газета "Математика" 17/1996.

9. Газета "Математика" 3/1997.

10. Антонов Н.П., Вигодський М.Я., Нікітін В.В., Санкін А.І. «Збірник задач з елементарної математики». - М., 1963.

11. Дорофєєв Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Посібник з математики». - М., 1973.

12. Щетніков А.І. «Піфагорійське вчення про число та величину». - Новосибірськ, 1997.

13. «Дійсні числа. Ірраціональні висловлювання» 8 клас. Видавництво Томського Університету. - Томськ, 1997.

14. Атанасян М.С. "Геометрія" 7-9 клас. - М.: Просвітництво, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Цього навчального року я познайомилися з цікавою теоремою, відомою, як виявилося з найдавніших часів:

"Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника рівновеликий сумі квадратів побудованих на катетах".

Зазвичай відкриття цього твердження приписують давньогрецькому філософу та математику Піфагору (VI століття до н.е.). Але вивчення стародавніх рукописів показало, що це твердження було відоме задовго до народження Піфагора.

Я зацікавилися, чому її зв'язують з ім'ям Піфагора.

Актуальність теми: Теорема Піфагора має велике значення: застосовується у геометрії буквально на кожному кроці. Я вважаю, що праці Піфагора досі актуальні, адже куди б ми не подивилися, скрізь можна побачити плоди його великих ідей, втілені у різні галузі сучасного життя.

Метою мого дослідження було: дізнатися, хто такий був Піфагор і яке відношення він має до цієї теореми.

Вивчаючи історію теореми, я вирішила з'ясувати:

Чи є інші докази цієї теореми?

Яке значення цієї теореми у житті людей?

Яку роль зіграв Піфагор у розвитку математики?

З біографії Піфагора

Піфагор Самоський – великий грецький вчений. Його популярність пов'язана із назвою теореми Піфагора. Хоча тепер ми знаємо, що ця теорема була відома в стародавньому Вавилоні за 1200 років до Піфагора, а в Єгипті за 2000 років до нього був відомий прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5, ми як і раніше називаємо її на ім'я цього давнього вченого.

Про життя Піфагора майже нічого невідомо, але з його ім'ям пов'язана велика кількість легенд.

Піфагор народився в 570 році до н.е. на острові Самос.

Піфагор мав гарну зовнішність, носив довгу бороду, а на голові – золоту діадему. Піфагор – це не ім'я, а прізвисько, яке філософ отримав за те, що завжди говорив вірно та переконливо, як грецький оракул. (Піфагор - «переконуючий мовою»).

У 550 році до н.е. Піфагор приймає рішення і вирушає до Єгипту. Отже, перед Піфагором відкривається невідома країна та невідома культура. Багато чого вражало і дивувало Піфагора у цій країні, і після деяких спостережень за життям єгиптян Піфагор зрозумів, що шлях до знань, що охороняються кастою жерців, лежить через релігію.

Після одинадцяти років навчання в Єгипті Піфагор вирушає на батьківщину, де по дорозі потрапляє до вавилонського полону. Там він знайомиться з вавилонською наукою, яка була більш розвинена, ніж єгипетська. Вавилонці вміли вирішувати лінійні, квадратні та деякі види кубічних рівнянь. Втікши з полону, він не зміг довго залишатися на батьківщині через атмосферу насильства і тиранії, що панувала там. Він вирішив переселитися до Кротона (грецька колонія на півночі Італії).

Саме в Кротон починається найславетніший період у житті Піфагора. Там він заснував щось на кшталт релігійно-етичного братства чи таємного чернечого ордена, члени якого зобов'язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя.

Піфагор та піфагорійці

Піфагор організував у грецькій колонії Півдні Апенінського півострова релігійно-етичне братство, типу чернечого ордену, який згодом назвуть піфагорійським союзом. Члени союзу повинні були дотримуватися певних принципів: по-перше, прагнути прекрасного і славного, по-друге, бути корисними, по-третє, прагнути високої насолоди.

p align="justify"> Система морально-етичних правил, заповідана Піфагором своїм учням, була зібрана в своєрідний моральний кодекс піфагорійців "Золоті вірші", які користувалися великою популярністю в епоху Античності, епоху Середньовіччя та епоху Відродження.

Піфагорійська система занять складалася з трьох розділів:

Вчення про числа - арифметику,

Вчення про фігури - геометрії,

Вчення про будову Всесвіту – астрономії.

Система освіти, закладена Піфагором, проіснувала багато століть.

Школа Піфагора багато зробила, щоб надати геометрії характеру науки. Основною особливістю методу Піфагор було об'єднання геометрії з арифметикою.

Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями і, ймовірно, подобою фігур, тому що йому приписують розв'язання задачі: «За цими двома фігурами побудувати третю, рівновелику одній з даних і подібну до другої».

Піфагор та його учні ввели поняття про багатокутні, дружні, досконалі числа і вивчали їх властивості. Арифметика як практика обчислень не цікавила Піфагора, і він з гордістю заявив, що «поставив арифметику вище за інтереси торговця».

Членами союзу піфагорійського були жителі багатьох міст Греції.

У своє суспільство піфагорійці приймали і жінок. Союз процвітав понад двадцять років, а потім почалися гоніння на його членів, багато хто з учнів був убитий.

Про смерть самого Піфагора ходило багато різних легенд. Але вчення Піфагора та його учнів продовжувало жити.

З історії створення теореми Піфагора

Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що саме Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх "Початків". З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у «Початках» належить самому Евкліду. Як бачимо, історія математики майже не зберегла достовірних конкретних даних про життя Піфагора та його математичної діяльності.

Історичний огляд теореми Піфагора почнемо з давнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чупей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5:

«Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4».

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м. і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри.

Геометрія в індусів була пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 8 століття до нашої ери. Поряд із суто ритуальними розпорядженнями, існують і твори геометрично-теологічного характеру. У цих творах, що належать до 4 або 5 століття до нашої ери, ми зустрічаємося з побудовою прямого кута за допомогою трикутника зі сторонами 15, 36, 39.

У середні віки теорема Піфагора визначала кордон, а то й найбільших можливих, то, по крайнього заходу, хороших математичних знань. Характерний креслення теореми Піфагора, який нині іноді перетворюється школярами, наприклад, на одягненого в мантію професора або людини циліндрі, в ті часи нерідко вживався як символ математики.

На закінчення наведемо різні формулювання теореми Піфагора у перекладі з грецької, латинської та німецької мов.

Евкліда ця теорема каже (дослівний переклад):

"У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що укладають прямий кут".

Як бачимо, у різних країнах та різних мовах існують різні варіанти формулювання знайомої нам теореми. Створені в різний час і в різних мовах, вони відображають суть математичної закономірності, доказ якої також має кілька варіантів.

П'ять способів доказу теореми Піфагора

Давньокитайський доказ

На давньокитайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з катетами a, b і гіпотенузою з укладені так, що їх зовнішній контур утворює квадрат зі стороною a + b, а внутрішній - квадрат зі стороною с, побудований на гіпотенузі

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказ Дж. Гардфілда (1882)

Розташуємо два рівні прямокутні трикутники так, щоб катет одного з них був продовженням іншого.

Площа аналізованої трапеції перебуває як добуток напівсуми підстав на висоту

З іншого боку, площа трапеції дорівнює сумі площ отриманих трикутників:

Прирівнюючи дані висловлювання, отримуємо:

Доказ найпростіший

Цей доказ виходить у найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника.

Ймовірно, з нього починалася теорема.

Насправді досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми.

Наприклад, для трикутника АВС: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катетах, - по два. Теорему доведено.

Доказ давніх індусів

Квадрат зі стороною (a + b) можна розбити на частини або як на рис. 12. а, або як на рис. 12, б. Зрозуміло, що частини 1, 2, 3, 4 на обох малюнках однакові. Якщо ж від рівних (площ) відібрати рівні, те й залишаться рівні, тобто. с2 = а2 + b2.

Доказ Евкліда

Протягом двох тисячоліть найпоширенішим був доказ теореми Піфагора, придуманий Евклідом. Воно вміщено у його знаменитій книзі «Початки».

Евклід опускав висоту ВН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутники, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах.

Креслення, що застосовується при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом тривалого часу він вважався одним із символів математичної науки.

Застосування теореми Піфагора

Значення теореми Піфагора полягає в тому, що з неї або за її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії та вирішити безліч завдань. Крім цього, практичне значення теореми Піфагора та зворотної теореми полягає в тому, що з їх допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи самих відрізків. Це ніби відкриває шлях від прямої до площини, від площини до об'ємного простору і надалі. Саме з цієї причини теорема Піфагора така важлива для людства, яке прагне відкривати все більше вимірів і створювати технології в цих вимірах.

Висновок

Теорема Піфагора настільки відома, що важко уявити собі людину, яка не чула про неї. Я дізналася, що є кілька способів доказу теореми Піфагора. Я вивчила низку історичних та математичних джерел, у тому числі інформацію в Інтернеті, і зрозуміла, що теорема Піфагора цікава не лише своєю історією, а й тим, що вона займає важливе місце у житті та науці. Про це свідчать наведені мною у цій роботі різні трактування тексту цієї теореми та шляхи її доказів.

Отже, теорема Піфагора – одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова і тим, що сама собою вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна побачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивися на прямокутний трикутник, не побачиш, що між його сторонами є просте співвідношення: c2 = a2 + b2. Тому на її докази часто використовують наочність. Заслуга Піфагора полягала в тому, що він дав повноцінний науковий доказ цієї теореми. Цікава особистість самого вченого, пам'ять якого невипадково зберегла ця теорема. Піфагор - чудовий оратор, вчитель і вихователь, організатор своєї школи, орієнтованої на гармонію музики та чисел, добра та справедливості, на знання та здоровий спосіб життя. Він цілком може бути прикладом для нас, далеких нащадків.

Бібліографічне посилання

Туманова С.В. КІЛЬКА СПОСІБІВ ДОКАЗУ ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА // Старт у науці. - 2016. - № 2. - С. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата звернення: 28.02.2020).

На думку Ван-дер-Вардена, дуже ймовірно, що співвідношення в загальному вигляді було відоме у Вавилоні вже близько XVIII століття до н. е.

Приблизно 400 року до зв. е., згідно з Проклом, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру та геометрію. Близько 300 року до зв. е. в «Початках» Евкліда з'явився найстаріший аксіоматичний доказ теореми Піфагора.

Формулювання

Основне формулювання містить алгебраїчні дії - у прямокутному трикутнику, довжини катетів якого рівні a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b), а довжина гіпотенузи - c (\displaystyle c), виконано співвідношення:

.

Можливе і еквівалентне геометричне формулювання, що вдається до поняття площі  фігури: у прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. У такому вигляді теорема сформульована на Початках Евкліда.

Зворотня теорема Піфагора- твердження про прямокутність будь-якого трикутника, довжини сторін якого пов'язані співвідношенням a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Як наслідок, для будь-якої трійки позитивних чисел a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)і c (\displaystyle c), такий, що a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2))існує прямокутний трикутник з катетами a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b)та гіпотенузою c (\displaystyle c).

Докази

У науковій літературі зафіксовано щонайменше 400 доказів теореми Піфагора, що як фундаментальним значенням для геометрії, і елементарністю результату. Основні напрями доказів: алгебраїчне використання співвідношень елементів трикутника (такий, наприклад, популярний метод подібності), метод площ, існують також різні екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Класичний доказ Евкліда спрямовано встановлення рівності площ між прямокутниками, утвореними з розтину квадрата над гіпотенузою висотою з прямого кута з квадратами над катетами.

Конструкція, що використовується для доказу: для прямокутного трикутника з прямим кутом C (\displaystyle C), квадратів над катетами та квадрата над гіпотенузою A B I K (\displaystyle ABIK)будується висота C H (\displaystyle CH)і промінь, що її продовжує, s (\displaystyle s), що розбиває квадрат над гіпотенузою на два прямокутники і . Доказ націлений на встановлення рівності площ прямокутника A H J K (\displaystyle AHJK)з квадратом над катетом A C (\displaystyle AC); рівність площ другого прямокутника, що становить квадрат над гіпотенузою, та прямокутника над іншим катетом встановлюється аналогічним чином.

Рівність площ прямокутника A H J K (\displaystyle AHJK)і A C E D (\displaystyle ACED)встановлюється через конгруентність трикутників △ A C K ​​(\displaystyle \triangle ACK)і △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), площа кожного з яких дорівнює половині площі квадратів A H J K (\displaystyle AHJK)і A C E D (\displaystyle ACED)відповідно у зв'язку з наступною властивістю: площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника, якщо фігур є спільна сторона, а висота трикутника до загальної сторони є іншою стороною прямокутника. Конгруентність трикутників випливає з рівності двох сторін (сторони квадратів) та куту між ними (складеного з прямого кута та кута при A (\displaystyle A).

Таким чином, доказом встановлюється, що площа квадрата над гіпотенузою, що складається з прямокутників A H J K (\displaystyle AHJK)і B H J I (\displaystyle BHJI), що дорівнює сумі площ квадратів над катетами.

Доказ Леонардо да Вінчі

До методу площ належить також доказ, знайдений Леонардо да Вінчі. Нехай дано прямокутний трикутник △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)з прямим кутом C (\displaystyle C)та квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)і A B H J (\displaystyle ABHJ)(Див. малюнок). У цьому доказі на стороні H J (\displaystyle HJ)останнього у зовнішній бік будується трикутник, конгруентний △ A B C (\displaystyle \triangle ABC), причому відбитий як щодо гіпотенузи, і щодо висоти до неї (тобто J I = B C (\displaystyle JI = BC)і H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Пряма C I (\displaystyle CI)розбиває квадрат, побудований на гіпотенузі на дві рівні частини, оскільки трикутники △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)і △ J H I (\displaystyle \triangle JHI)рівні з побудови. Доказ встановлює конгруентність чотирикутників C A J I (\displaystyle CAJI)і D A B G (\displaystyle DABG), площа кожного з яких, виявляється, з одного боку, дорівнює сумі половин площ квадратів на катетах та площі вихідного трикутника, з іншого боку - половині площі квадрата на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Отже, половина суми площ квадратів над катетами дорівнює половині площі квадрата над гіпотенузою, що рівносильне геометричному формулюванню теореми Піфагора.

Доказ методом нескінченно малих

Існує кілька доказів, що вдаються до техніки диференціальних рівнянь. Зокрема, Харді приписується доказ, який використовує нескінченно малі прирощення катетів. a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b)та гіпотенузи c (\displaystyle c)і зберігають подібність з вихідним прямокутником, тобто, що забезпечують виконання наступних диференціальних співвідношень:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Методом поділу змінних їх виводиться диференціальне рівняння c d c = a d a + b d b (displaystyle c dc = a, da + b,, інтегрування якого дає співвідношення c 2 = a 2 + b 2 + C o ns t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Застосування початкових умов a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)визначає константу як 0, що у результаті дає затвердження теореми.

Квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана із незалежними вкладами від прирощення різних катетів.

Варіації та узагальнення

Подібні геометричні фігури на трьох сторонах

Важливе геометричне узагальнення теореми Піфагора дав Евклід в "Початках", перейшовши від площ квадратів на сторонах до площ довільних подібних геометричних фігур: сума площ таких фігур, побудованих на катетах, дорівнюватиме площі подібної їм фігури, побудованої на гіпотенузі.

Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури є пропорційною квадрату будь-якого свого лінійного розміру і зокрема квадрату довжини будь-якої сторони. Отже, для подібних фігур із площами A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)і C (\displaystyle C), побудованих на катетах із довжинами a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b)та гіпотенузі c (\displaystyle c)відповідно, має місце співвідношення:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (displaystyle (frac (A) (a ^ (2))) = (frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Бо за теоремою Піфагора a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), то виконано.

Крім того, якщо можна довести без залучення теореми Піфагора, що для площ трьох подібних геометричних фігур на сторонах прямокутного трикутника виконано співвідношення A + B = C (\displaystyle A+B=C), то з використанням зворотного ходу підтвердження узагальнення Евкліда можна вивести підтвердження теореми Піфагора. Наприклад, якщо на гіпотенузі побудувати конгруетний початковий прямокутний трикутник площею C (\displaystyle C), а на катетах - два подібні йому прямокутні трикутники з площами A (\displaystyle A)і B (\displaystyle B), то виявляється, що трикутники на катетах утворюються в результаті розподілу початкового трикутника його висотою, тобто сума двох менших площ трикутників дорівнює площі третього, таким чином A + B = C (\displaystyle A+B=C)і, застосовуючи співвідношення для таких фігур, виводиться теорема Піфагора.

Теорема косінусів

Теорема Піфагора - це окремий випадок більш загальної теореми косінусів, яка пов'язує довжини сторін у довільному трикутнику:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

де - кут між сторонами a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b). Якщо кут дорівнює 90 °, то cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0)і формула спрощується до звичайної теореми Піфагора.

Довільний трикутник

Існує узагальнення теореми Піфагора на довільний трикутник, що оперує виключно співвідношенням довжин сторін, вважається, що воно вперше було встановлено сабійським астрономом Сабітом, Ібн, Куррою. У ньому для довільного трикутника зі сторонами в нього вписується рівнобедрений трикутник з основою на стороні c (\displaystyle c), вершиною, що збігається з вершиною вихідного трикутника, що протилежить стороні c (\displaystyle c)і кутами при підставі, рівними куту θ (\displaystyle \theta ), протилежному боці c (\displaystyle c). В результаті утворюються два трикутники, подібні до вихідного: перший - зі сторонами a (\displaystyle a), далекою від неї бічною стороною вписаного рівнобедреного трикутника, та r (\displaystyle r)- Частини сторони c (\displaystyle c); другий - симетрично до нього від боку b (\displaystyle b)зі стороною s (\displaystyle s)- відповідною частиною сторони c (\displaystyle c). В результаті виявляється виконане співвідношення:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

що вироджується в теорему Піфагора при θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Співвідношення є наслідком подібності утворених трикутників:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (displaystyle (frac (c)(a))=(frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Теорема Паппа про площі

Неєвклідова геометрія

Теорема Піфагора виводиться з аксіом евклідової геометрії і недійсна для неевклідової геометрії - виконання теореми Піфагора рівносильне постулату Евкліда паралельності.

У неевклідовій геометрії співвідношення між сторонами прямокутного трикутника обов'язково буде у формі, яка відрізняється від теореми Піфагора. Наприклад, у сферичній геометрії всі три сторони прямокутного трикутника, які обмежують собою октант одиничної сфери, мають довжину π / 2 (\displaystyle \pi /2), що суперечить теоремі Піфагора

При цьому теорема Піфагора справедлива в гіперболічній та еліптичній геометрії, якщо вимогу про прямокутність трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника повинна дорівнювати третьому.

Сферична геометрія

Для будь-якого прямокутного трикутника на сфері радіусом R (\displaystyle R)(наприклад, якщо кут у трикутнику прямий) зі сторонами a, b, c (\displaystyle a,b,c)співвідношення між сторонами має вигляд:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac(c)(R))\right)=\cos \left((\frac) (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Ця рівність може бути виведена як особливий випадок сферичної теореми косинусів, яка справедлива для всіх сферичних трикутників:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

де ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- Гіперболічний косинус. Ця формула є окремим випадком гіперболічної теореми косінусів, яка справедлива для всіх трикутників:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operator (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

де γ (\displaystyle \gamma )- Кут, вершина якого протилежна стороні c (\displaystyle c).

Використовуючи ряд Тейлора для гіперболічного косинуса ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) можна показати, що якщо гіперболічний трикутник зменшується (тобто коли a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)і c (\displaystyle c)прагнуть до нуля), то гіперболічні співвідношення у прямокутному трикутнику наближаються до співвідношення класичної теореми Піфагора.

Застосування

Відстань у двовимірних прямокутних системах

Найважливіше застосування теореми Піфагора - визначення відстані між двома точками у прямокутній, системі, координат: відстань s (\displaystyle s)між точками з координатами (a, b) (\displaystyle (a,b))і (c, d) (\displaystyle (c,d))одно:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Для комплексних чисел теорема Піфагора дає природну формулу для знаходження модуля комплексного числа - для z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)він дорівнює довжині