У квадратах вказано їх периметр. Як знайти периметр квадрата, якщо відома його площа

Про те, що таке квадрат, багато хто пам'ятає зі шкільного курсу. Цей чотирикутник, який є правильним, має абсолютно рівні кути та сторони. Озирнувшись довкола, можна помітити, що нас оточує безліч квадратів. Щодня ми стикаємося з ними, і часом виникає потреба знайти площу та периметр цієї геометричної фігури. Обчислення цих значень не принесе труднощів, якщо приділити кілька хвилин часу для перегляду відео уроку, що пояснює прості правила проведення розрахунків.

Навчальне відео “Як знайти площу та периметр квадрата”

Що потрібно знати про квадрат?

Перш ніж приступати до проведення обчислень, необхідно знати деякі важливі відомості про цю фігуру, серед яких:

• усі сторони квадрата рівні;
• всі кути квадрата прямі;
• площа квадрата – це спосіб обчислення того, як багато місця займає постать у двомірному просторі;
• двомірний простір – це аркуш паперу чи екран комп'ютера, де намальовано квадрат;
• периметр не є індикатором наповненості фігури, але дозволяє працювати з його сторонами;
• периметр - це сума всіх сторін квадрата;
• підраховуючи периметр, ми оперуємо одномірним простором, що означає фіксацію результату в метрах, а не квадратних метрах (площа).

Як знайти площу квадрата?

Обчислення площі цієї фігури можна легко пояснити з прикладу:

• припустимо, що сторона квадрата дорівнює 8 метрів;
• для підрахунку площі будь-якого прямокутника потрібно помножити значення однієї сторони на іншу (8 х 8 = 64);
• оскільки ми множимо метри на метри, то в результаті одержуємо квадратні метри (м2).

Як знайти периметр квадрата?

Знаючи, що всі сторони даного прямокутника рівні, необхідно зробити такі маніпуляції, щоб обчислити його периметр:

• складіть всі чотири сторони квадрата (8+8+8+8=32);
• отримане значення буде периметром квадрата, зафіксованим у метрах.

Усі формули та обчислення, наведені в рамках цієї статті, застосовуються для будь-якого прямокутника. Важливо пам'ятати, що коли йдеться про інші прямокутники, які не є правильними, значення сторін буде різним, наприклад, 4 і 8 метрів. Це означає, що знаходження площі такого прямокутника необхідно буде множити різні за значенням боку фігури, а чи не однакові.

Необхідно пам'ятати і те, що площа вимірюється у квадратних, а периметр у простих метрах. Якщо периметр намалювати як однієї довгої лінії, його значення не зміниться, що свідчить, що обчислення проводяться в одномірному просторі.

Площа вимірюється у двомірному просторі, про що говорять квадратні метри, які ми отримуємо, помноживши метри на метри. Площа є індикатором наповненості геометричної фігури і говорить нам про те, скільки уявного покриття необхідно для того, щоб заповнити квадрат або інший прямокутник.

Прості пояснення відео уроку дозволять швидко обчислити площу та периметр не лише квадрата, а й будь-якого прямокутника. Дані знання шкільного курсу будуть корисні під час ремонту будинку чи садовій ділянці.

Квадрат є позитивним чотирикутником (або ромбом), в якому всі кути є прямими, а сторони рівні між собою. Як і у всякого іншого вірного багатокутника, у квадратаможна розрахувати периметрта площу. Якщо площа квадратавже відома, то виявити його сторони, а потім і периметрне складе труднощів.

Інструкція

1. Площа квадратазнаходиться за формулою: S = a? Це означає, що для того, щоб обчислити площу квадрата, Потрібно помножити довжини 2-х його сторін один на одного. Як наслідок, якщо знати площу квадрата, то при вилученні кореня з цього значення можна дізнатися довжину сторони квадрата.Приклад: площа квадрата 36 см?, щоб дізнатися бік цього квадрата, потрібно витягти квадратний корінь із значення площі. Таким чином, довжина сторони даного квадрата 6 см

2. Для знаходження периметра квадратапотрібно скласти довжини всіх сторін. За допомогою формули це можна виразити так: P = a + a + a + a. Якщо витягти корінь зі значення площі квадрата, а після цього скласти величину, що вийшла, 4 рази, то можна виявити периметр квадрата .

3. Приклад: Даний квадрат із площею 49 см?. Потрібно знайти його периметр.Рішення: Спочатку потрібно витягти корінь площі квадрата: ?49 = 7 см Потім, обчисливши довжину сторони квадрата, можна обчислити та периметр: 7+7+7+7 = 28 смВідповідь: периметр квадратаплощею 49 см? складає 28 см

Найчастіше в геометричних завданнях потрібно виявити довжину боку квадрата, якщо відомі інші його параметри – такі, як площа, діагональ чи периметр.

Вам знадобиться

• Калькулятор

Інструкція

1. Якщо вести площа квадрата, то для того, щоб виявити сторону квадрата, потрібно витягти квадратний корінь з числового значення площі (тому що площа квадрата дорівнює квадрату його сторони): a = ? S, де a – довжина сторони квадрата; S – площа квадрата. вимірювання сторони квадрата буде лінійна одиниця виміру довжини, що відповідає одиниці виміру площі. Скажімо, якщо площа квадрата дана в сантиметрах квадратних, то довжина його сторони вийде примітивно в сантиметрах. Приклад: Площа квадрата становить 9 квадратних метрів. Виявити довжину сторони квадрата.

2. У тому випадку, коли знаменитий периметр квадрата, для визначення довжини сторони необхідно числове значення периметра поділити на чотири (бо квадрат має чотири сторони ідентичної довжини): a = P/4, де: a – довжина сторони квадрата; P – периметр квадрата. Одиницею виміру боку квадрата буде та сама лінійна одиниця виміру довжини як і в периметра. Скажімо, якщо периметр квадрата заданий в сантиметрах, то довжина його сторони також вийде в сантиметрах. Приклад: Периметр квадрата становить 20 метрів. Виявити довжину сторони квадрата.

3. Якщо знаменита довжина діагоналі квадрата, до довжина його сторони дорівнюватиме довжині його діагоналі, поділеної на квадратний корінь з 2 (за теоремою Піфагора, тому що суміжні сторони квадрата і діагональ становлять прямокутний рівнобедрений трикутник):a=d/?2(т.к a^2+a^2=d^2), де:a – довжина сторони квадрата; d – довжина діагоналі квадрата. Скажімо, якщо діагональ квадрата виміряна в сантиметрах, то і довжина його сторони вийде в сантиметрах. Приклад: Діагональ квадрата дорівнює 10 метрів. Виявити довжину сторони квадрата. 10/?2, або приблизно 1,071 метра.

Квадрат – прекрасна та проста плоска геометрична фігура. Це прямокутник із рівними сторонами. Як виявити периметр квадратаякщо знаменита довжина його сторони?

Інструкція

1. Раніше кожного варто пригадати, що периметрє ні що інше як сума довжин сторін геометричної фігури. Розглядається квадрат має чотири сторони. Більше того, за визначенням квадрата, всі ці сторони рівні між собою. З цих передумов випливає проста формула для знаходження периметра квадрата – периметр квадратадорівнює довжині сторони квадрата, помноженої на чотири:Р = 4а, де а – довжина сторони квадрата .

Відео на тему

Периметром називають загальну довжинумежі фігури частіше кожного на поверхні. Квадрат - позитивний чотирикутник або ромб, у якого всі кути прямі, або паралелограм, у якого всі сторони та кути рівні.

Вам знадобиться

• Знання з геометрії.

Інструкція

1. Периметр квадратадорівнює сумі довжин його сторін. Тому що квадрат, за своєю суттю, є чотирикутником, то й сторін у нього чотири, а отже периметр дорівнює сумі довжин чотирьох сторін або P = a+b+c+d.

2. Квадрат, як видно з визначення, є вірною геометричною фігурою, а це означає, що всі його сторони рівні. Значить a = b = c = d. Отже P = a+a+a+a чи P = 4*a.

3. Нехай сторона квадратадорівнює 4, тобто a = 3. Тоді периметр чи довжина квадрата, За отриманою формулою, дорівнюватиме P = 4 * 3 або P = 12. Число 12 і буде довжиною або, що те саме, периметром квадрата .

Відео на тему

Зверніть увагу!
Периметр квадрата величина незмінно правильна, як будь-яка інша довжина.

Корисна порада
Аналогічним чином можна знайти і периметр ромба, оскільки квадрат є окремим випадком ромба з прямими кутами.

Периметр характеризує довжину замкненого силуету. Як і площа, він може бути виявлений за іншими величинами, наведеними за умови завдання. Завдання знаходження периметра дуже часто зустрічаються у шкільному курсі математики.

Інструкція

1. Знаючи периметр і сторону фігури, можна знайти іншу її сторону, а також площу. А сам периметр, своєю чергою, може бути знайдено з кількох заданим сторонам чи з куту і сторонам, залежно та умовами завдання. Також у ряді випадків його виражають через площу. Особливо примітивно перебуває периметр прямокутника. Накресліть прямокутник з однієї зі сторін, що дорівнює а, і діагоналлю, що дорівнює d. Знаючи ці дві величини, виявіть по теоремі Піфагора іншу сторону, яка є шириною прямокутника. Виявивши ширину прямокутника, обчисліть його периметр: p=2(a+b). Ця формула об'єктивна всім прямокутників, оскільки у кожного їх чотири стороны.

2. Зверніть увагу на той факт, що периметр трикутника в більшості завдань знаходять за наявності інформації правда б про один його вугілля. Втім, є й завдання, у яких усі сторони трикутник відомі, і тоді периметр може бути обчислений простим підсумовуванням, без застосування тригонометричних обчислень: p=a+b+c, де a, b та c – сторони. Але такі завдання зустрічаються в підручниках рідко, тому що метод їх вирішення виразний. Більше важкі завдання щодо знаходження периметра трикутника вирішуйте поетапно. Скажімо, накресліть рівнобедрений трикутник, у якого відомі основа та кут при ньому. Для того щоб виявити його периметр, спочатку виявіть сторони a і b подальшим чином: b = c / 2cos? Від того що a = b (трикутник рівнобедрений), зробіть подальший результат: a = b = c/2cos?.

3. Периметр багатокутника обчислюйте аналогічним чином, складаючи довжини всіх сторін: p=a+b+c+d+e+f і так далі. Якщо багатокутник позитивний і вписаний в коло або описаний біля неї, обчисліть довжину однієї з сторін, а потім помножте на їх число. Скажімо, щоб виявити сторони шестикутника, вписаного в коло, дійте наступним чином: a=R, де a – сторона шестикутника, що дорівнює радіусу описаного кола. Відповідно, якщо шестикутник правильний, його периметр дорівнює: p=6a=6R. Якщо коло вписано шестикутник, то сторона останнього дорівнює: a=2r?3/3. Відповідно, периметр такої фігури виявіть наступним чином: p = 12r?3/3.

Хоч слово «периметр» і походить від грецького позначення кола, їм прийнято називати сумарну довжину кордонів будь-якої плоскої геометричної фігури, включаючи квадрат. Обчислення цього параметра, як водиться, труднощі не представляє і може бути здійснено кількома методами, залежно від відомих початкових даних.

Інструкція

1. Якщо вестима довжина сторони квадрата (t), то знаходження його периметра (p) примітивно збільшіть цю величину вчетверо: p=4*t.

2. Якщо довжина сторони незнайома, але за умов завдання дана довжина діагоналі (c), цього досить для обчислення довжини сторін, отже і периметра (p) багатокутника. Використовуйте теорему Піфагора, яка заявляє, що квадрат довжини довгої сторони прямокутного трикутника (гіпотенузи) дорівнює сумі квадратів довжин коротких сторін (катетів). У прямокутному трикутнику, складеному з 2-х суміжних сторін квадрата і з'єднує їх крайні точки відрізка, гіпотенуза збігається з діагоналлю чотирикутника. З цього випливає, що довжина сторони квадрата дорівнює відношенню довжини діагоналі до квадратного кореня з двійки. Використовуйте цей вираз у формулі для обчислення периметра попереднього кроку: p=4*c/?2.

3. Якщо дана лише площа (S) обмеженого периметром квадрата ділянки поверхні, то й цього буде достатньо, щоб визначити довжину однієї сторони. Так як площа будь-якого прямокутника дорівнює добутку довжин його суміжних сторін, то для знаходження периметра (p) витягніть квадратний корінь із площі, а підсумок збільшіть у чотири рази: p=4*?S.

4. Якщо знаменитий радіус описаної поблизу квадрата кола (R), то знаходження периметра багатокутника (p) помножте їх у вісім і поділіть отриманий результат на квадратний корінь із двійки: p=8*R/?2.

5. Якщо коло, радіус якого ведемо, вписано у квадрат, то обчислюйте його периметр (p) простим множенням радіуса (r) на вісімку: P=8*r.

6. Якщо розглянутий квадрат в умовах завдання описаний координатами своїх вершин, то для обчислення периметра вам знадобляться дані лише про 2 вершини, що належать до однієї зі сторін фігури. Визначте довжину цієї сторони, виходячи з тієї ж теореми Піфагора для трикутника, складеного з неї самої і її проекцій на осі координат, а отриманий результат збільшіть вчетверо. Оскільки довжини проекцій на координатні осі дорівнюють модулю різниць відповідних координат 2-х точок (X?; Y? і X?; Y?), то формулу можна записати так: p=4*?((X?-X?)? +(Y?-Y?)?).

Периметром у загальному випадку називають довжину лінії, яка обмежує замкнуту фігуру. Для багатокутників периметром є сума довжин сторін. Цю величину можна виміряти, а багатьох фігур і легко розрахувати, якщо вестими довжини відповідних елементів.

Вам знадобиться

• - Лінійка або рулетка;
• - міцна нитка;
• – роликовий далекомір.

Інструкція

1. Щоб виміряти периметр довільного багатокутника, виміряйте за допомогою лінійки або іншим вимірювальним приладом всі його сторони, а потім виявіть їх суму. Якщо дано чотирикутник зі сторонами 5, 3, 7 і 4 см, які виміряні лінійкою, виявіть периметр, склавши їх разом Р=5+3+7+4=19 см.

2. Якщо ж фігура довільна і включає не тільки прямі лінії, то виміряйте її периметр традиційною мотузкою або ниткою. Для цього розташуйте її так, щоб вона чітко повторювала всі лінії, що обмежують фігуру, і зробіть на ній позначку, якщо можна, просто обріжте її щоб уникнути плутанини. Після цього за допомогою рулетки або лінійки, виміряйте довжину нитки, вона і дорівнюватиме периметру цієї фігури. Обов'язково слідкуйте за тим, щоб нитка максимально чітко повторювала лінію для більшої точності результату.

3. Периметр важкої геометричної фігури вимірюйте роликовим далекоміром (курвіметром). Для цього лінії не намічається точка, в яку встановлюється ролик далекоміра і прокочується по ній, до повернення в початкову точку. Дистанція, виміряна роликовим далекоміром, і дорівнюватиме периметру фігури.

4. Периметр деяких геометричних фігур обчислюйте. Скажімо, щоб виявити периметр будь-якого позитивного багатокутника (опуклого багатокутника, сторони якого рівні), довжину сторони помножте на кількість кутів або сторін (вони рівні). Щоб виявити периметр правильного трикутника зі стороною 4 см помножте це число на 3 (Р=4?3=12 см).

5. Щоб виявити периметр довільного трикутника, складіть довжини всіх сторін. Якщо не дано всі сторони, а є кути між ними, виявіть їх по теоремі синуса чи косинуса. Якщо відомі дві сторони прямокутного трикутника, третю виявіть теорему Піфагора і виявіть їх суму. Скажімо, якщо відомо, що катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 і 4 см, то гіпотенуза дорівнюватиме?(3?+4?)=5 см. Тоді периметр Р=3+4+5=12 см.

6. Щоб виявити периметр кола, виявіть довжину кола, яке його обмежує. Для цього її радіус r помножте на число ?3,14 і число 2 (P=L=2?r). Якщо знаменитий діаметр, розглядайте, що він дорівнює двом радіусам.

Периметром багатокутниканазивають замкнуту ламану лінію, складену з усіх його сторін. Знаходження довжини цього параметра зводиться до підсумовування довжин сторін. Якщо всі відрізки, що утворюють периметр такої двовимірної геометричної фігури, мають ідентичні розміри, багатокутник називається правильним. І тут обчислення периметра значно спрощується.

Інструкція

1. У найпростішому випадку, коли вестими довжина сторони (а) вірного багатокутниката число вершин (n) у ньому, для обчислення довжини периметра (Р) примітивно перемножте ці дві величини: Р = а*n. Скажімо, довжина периметра вірного шестикутника зі стороною 15 см повинна дорівнювати 15*6=90 см.

2. Обчислити периметр такого багатокутникапо вестимому радіусу (R) описаного біля нього кола теж допустимо. Для цього доведеться спочатку виразити довжину сторони із застосуванням радіусу та числа вершин (n), а після цього помножити отриману величину на число сторін. Щоб розрахувати довжину сторони, помножте радіус на синус числа Пі, поділеного на число вершин, а результат подвоїть: R*sin(?/n)*2. Якщо вам зручніше обчислювати тригонометричну функцію в градусах, замініть число Пі на 180°: R*sin(180°/n)*2. Периметр обчисліть множенням отриманої величини число вершин: Р = R*sin(?/n)*2*n = R*sin(180°/n)*2*n. Скажімо, якщо шестикутник вписаний у коло з радіусом 50 см, його периметр матиме довжину 50*sin(180°/6)*2*6 = 50*0,5*12 = 300 см.

3. Подібним способом можна вважати периметр, не знаючи довжини сторони позитивного багатокутника, якщо він описаний навколо кола зі знаменитим радіусом (r). У цьому випадку формула для обчислення розміру сторони фігури відрізнятиметься від попередньої тригонометричної функцією. Замініть у формулі синус на тангенс, щоб отримати такий вираз: r*tg(?/n)*2. Або для розрахунків у градусах: r*tg(180°/n)*2. Для обчислення периметра збільшіть отриману величину в число разів, що дорівнює числу вершин багатокутника: Р = r * tg (? / n) * 2 * n = r * tg (180 ° / n) * 2 * n. Скажімо, периметр восьмикутника, описаного поблизу кола з радіусом в 40 см, приблизно дорівнює 40*tg(180°/8)*2*8 ? 40 * 0,414 * 16 = 264,96 см.

Квадрат є геометричною фігурою, що складається з чотирьох сторін ідентичної довжини і чотирьох прямих кутів, кожен з яких дорівнює 90°. Визначення площі або периметра чотирикутника, причому будь-якого, потрібно при вирішенні завдань з геометрії, а й у повсякденному житті. Ці знання можуть стати придатними, скажімо, під час ремонту при розрахунку необхідної кількості матеріалів – покриттів для підлоги, стін або стелі, а також для розбивки газонів та грядок тощо.

Інструкція

1. Для визначення площі квадрата помножте величину довжини величину ширини. Так як у квадраті довжина і ширина ідентичні, то значення однієї сторони досить побудувати у квадрат. Таким чином, площа квадрата дорівнює довжині сторони, зведеної в квадрат. Одиницею вимірювання площі можуть бути квадратні міліметри, сантиметри, дециметри, метри, кілометри. Щоб визначити площу квадрата, можна скористатися формулою S = aa, де S – площа квадрата, а – сторона квадрата.

2. Приклад №1. Кімната має форму квадрата. Скільки ламінату (в кв.м) знадобиться для того, щоб повністю покрити підлогу, якщо довжина однієї сторони кімнати становить 5 метрів. Запишіть формулу: S = aa. Підставте в неї зазначені в умові дані. Тому що а = 5 м, отже, площа дорівнюватиме S (кімнати) = 5х5 = 25 кв.м, значить, і S (ламінату) = 25 кв.м.

3. Периметр є загальну довжину межі фігури. У квадраті периметр – це довжина всіх чотирьох, причому ідентичних сторін. Тобто, периметр квадрата є сумою всіх його чотирьох сторін. Щоб визначити периметр квадрата, достатньо знати довжину однієї його сторони. Вимірюється периметр у міліметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, кілометрах.

4. Приклад № 2. Для оздоблювальних робіт приміщення у формі квадрата потрібні стельові плінтуси. Обчисліть загальну довжину (периметр) плінтусів, якщо розмір однієї сторони кімнати дорівнює 6 метрів. Запишіть формулу P = 4a. Підставте до неї зазначені в умові дані: Р (кімнати) = 4 х 6 = 24 метри. Отже, довжина стельових плінтусів теж дорівнюватиме 24 метрам.

Відео на тему

Зверніть увагу!
Для квадрата об'єктивні такі определения:Квадрат – це прямокутник, той, що має рівними між собою сторонами. Радіус вписаної в квадрат коло можна виявити за формулою: R = t/2, де t – сторона квадрата. Якщо ж коло описано навколо нього, то її радіус знаходиться так: R = (? вивести нові для знаходження периметра квадрата: P = 8*R, де R – радіус вписаного кола; P = 4*?2*R, де R – радіус описаного кола. від того, як і де провести вісь симетрії.

Квадрат — це геометрична фігура, що є чотирикутником усі кути і сторони якого рівні. Його також можна назвати прямокутником, суміжні сторони якого рівні, або ромбом, У якого всі кути рівні 90º. Завдяки абсолютній симетрії знайти площаабо периметр квадратадуже легко.

Інструкція:

• По-перше, визначимо, що периметром називається сума довжин всіх сторін плоскої геометричної фігури, яка вимірюється тими самими величинами, як і довжина. Обчислити периметр квадрата можна двома способами.

Через довжину сторони та діагоналі

• Оскільки периметр квадратавизначається сумою довжин всіх його сторін, а сторони у цієї фігури рівні, то вирахувати значення даної величини можна помноживши довжину однієї сторони на число 4 ». Відповідно формули виглядатимуть так: P = а + а + а + а або Р = а * 4 , де Р– це периметр квадратаі а – довжина сторони.
• Крім цього, залежно від умови завдання, периметр квадрата можна вирахувати шляхом множення довжини його діагоналі на два корені з двох: Р = 2√2 * d , де Р– це периметр квадратаі d- Його діагональ.
• Деякі завдання вимагають знайти периметр квадратазнаючи його площа . Зробити це також не важко. Площа даної фігури дорівнює довжині його боку, зведеної квадрат: S = а 2 , де S – площа квадратаі а –довжина його сторони. Або ж площа дорівнює квадратному значенню довжини його діагоналі, поділеному на два: S = d 2 /2 , де S- все та ж площаі d – діагональ квадрата.
• Знаючи формули та значення площі, не важко знайти довжину сторони або довжину діагоналі, а потім повернутися до формул обчислення периметра та вирахувати його значення.

Через радіус вписаного та описаного кола

• Нарешті, важливо розуміти і як знайти периметр квадратаякщо відомий радіус кола описаної навколо нього (або, навпаки, до нього вписаної). Вписана в цю геометричну фігуру коло стосується середини кожної сторони, і її радіус дорівнює половині будь-якої сторони: R в = ½ а , де R в – радіус вписаного колаі а – сторона квадрата.
• Описане колопроходить через всі вершини квадрата і її радіус дорівнює половині довжини діагоналі: R про = ½ d , де Rо, це радіус описаного навколо квадрата колаі d- Його діагональ.
• Тому в першому випадку периметр буде обчислюватися за формулою: Р = 8 R в , а в другому: P = 4 х √2 х R про .

За допомогою сайтів та інтернет-калькулятора

• Якщо ви раптом з якоїсь причини забули формули, освіжити знання допоможе інтернет. Зайдіть у браузер, відкрийте сторінку пошукової системи та у вікні вбийте відповідний запит, наприклад: « периметр квадрата формула». Система видасть величезну кількість сайтів довідкового характеру, які допоможуть вам у цьому питанні, а також дозволять впоратися з розв'язанням задач, що стосуються інших геометричних фігур.
• Крім цього, якщо у вас немає бажання розбиратися у формулах та рахувати значення самостійно, то можна скористатися послугами інтернет-калькуляторів . Як приклад можна навести сайт. Розділ « Формули периметра геометричних фігур» містить теоретичну інформацію, підкріплену наочними ілюстраціями. Якщо ж перейти за посиланням онлайн калькулятор», яка знаходиться у вікні кожної фігури, перед вами відкриється сторінка для розрахунків.
• Виберіть у вікні знизу, на підставі чого ви збираєтеся вирахувати периметр квадрата(сторона або діагональ), а потім введіть наявні дані. Система видасть результат , керуючись встановленими формулами.
• Крім цього, на сайті ви знайдете і багато іншої інформації, здатної полегшити роботу з математичними завданнями. За бажання можна пошукати і зручніші або пізнавальні довідкові сайти.
• Якщо ж ви не можете розібратися із самим ходом розв'язання задачі, то тут можна звернутися за допомогою до людей, які добре володіють методикою розв'язання математичних вправ. Їх завжди можна знайти на відповідних форумах наприклад, або.

Цей матеріал містить геометричні фігури з вимірами. Наведені виміри є приблизними і можуть збігатися з вимірами у житті. Зміст уроку

Периметр геометричної фігури

Периметр геометричної фігури - це сума її сторін. Щоб обчислити периметр, потрібно виміряти кожну сторону та скласти результати вимірів.

Обчислимо периметр наступної фігури:

Це прямокутник. Детальніше ми поговоримо про цю фігуру пізніше. Зараз просто обчислимо периметр цього прямокутника. Довжина його дорівнює 9 див, а ширина 4 див.

У прямокутника протилежні сторони рівні. Це видно на малюнку. Якщо довжина дорівнює 9 см, а ширина дорівнює 4 см, то протилежні сторони дорівнюватимуть 9 см і 4 см відповідно:

Знайдемо периметр. Для цього складемо усі сторони. Складати їх можна у будь-якому порядку, оскільки від перестановки місць доданків сума не змінюється. Периметр часто позначається великою латинською літерою P(англ. perimeters). Тоді отримаємо:

P= 9 см + 4 см + 9 см + 4 см = 26 см.

Оскільки прямокутник протилежні сторони рівні, знаходження периметра записують коротше — складають довжину і ширину, і множать її на 2, що означатиме «повторити довжину та ширину два рази»

P= 2 × (9 + 4) = 18 + 8 = 26 см.

Квадрат це той самий прямокутник, але в якого всі сторони рівні. Наприклад, знайдемо периметр квадрата зі стороною 5 см. «зі стороною 5см» потрібно розуміти як «довжина кожної сторони квадрата дорівнює 5см»

Щоб обчислити периметр, складемо всі сторони:

P= 5 см + 5 см + 5 см + 5 см = 20 см

Але оскільки всі сторони рівні, обчислення периметра можна записати як твори. Сторона квадрата дорівнює 5 см, і таких сторін 4. Тоді цю сторону, що дорівнює 5 см, потрібно повторити 4 рази

P= 5 см × 4 = 20 см

Площа геометричної фігури

Площа геометричної фігури – це число, яке характеризує розмір цієї фігури.

Слід уточнити, що в даному випадку йдеться про площу на площині. Площиною в геометрії називають будь-яку плоску поверхню, наприклад: аркуш паперу, земельну ділянку, поверхню столу.

Площа вимірюється у квадратних одиницях. Під квадратними одиницями мають на увазі квадрати, сторони яких дорівнюють одиниці. Наприклад, 1 квадратний сантиметр, 1 квадратний метр чи 1 квадратний кілометр.

Виміряти площу якоїсь фігури означає з'ясувати скільки квадратних одиниць міститься в цій фігурі.

Наприклад, площа наступного прямокутника дорівнює трьом квадратним сантиметрам:

Це тому, що в даному прямокутнику міститься три квадрати, кожен з яких має бік, що дорівнює одному сантиметру:

Справа представлений квадрат зі стороною 1 см (він у цьому випадку є квадратною одиницею). Якщо подивитися скільки разів цей квадрат входить у прямокутник, представлений ліворуч, то виявимо, що він входить до нього тричі.

Наступний прямокутник має площу, рівну шести квадратним сантиметрам:

Це тому, що в даному прямокутнику міститься шість квадратів, кожен з яких має бік, що дорівнює одному сантиметру:

Припустимо, потрібно виміряти площу наступної кімнати:

Визначимося в яких квадратах вимірюватимемо площу. В даному випадку площу зручно виміряти у квадратних метрах:

Отже, наше завдання полягає в тому, щоб визначити скільки квадратів зі стороною 1 м міститься у вихідній кімнаті. Заповнимо цим квадратом всю кімнату:

Бачимо, що квадратний метр міститься у кімнаті 12 разів. Значить, площа кімнати становить 12 кв.

Площа прямокутника

У попередньому прикладі ми вирахували площу кімнати, послідовно перевіривши скільки разів у ній міститься квадрат, сторона якого дорівнює одному метру. Площа становила 12 квадратних метрів.

Кімната була прямокутником. Площу прямокутника можна обчислити перемноживши його довжину та ширину.

Щоб обчислити площу прямокутника, потрібно перемножити його довжину та ширину.

Повернемося до попереднього прикладу. Припустимо, ми виміряли довжину кімнати рулеткою і виявилося, що довжина становила 4 метри:

Тепер виміряємо ширину. Нехай вона склала 3 метри:

Помножимо довжину (4 м) на ширину (3 м).

4 × 3 = 12

Як і минулого разу отримуємо дванадцять квадратних метрів. Це пояснюється тим, що вимірявши довжину, ми тим самим дізнаємося скільки разів можна укласти в цю довжину квадрат зі стороною, що дорівнює одному метру. Укладемо чотири квадрати в цю довжину:

Потім ми визначаємо, скільки разів можна повторити цю довжину з укладеними квадратами. Це ми дізнаємося, вимірявши ширину прямокутника:

Площа квадрата

Квадрат це той самий прямокутник, але в якого всі сторони рівні. Наприклад, на наступному малюнку представлений квадрат із стороною 3 см. Фраза «квадрат зі стороною 3см» означає, що всі сторони дорівнюють 3 см

Площа квадрата обчислюється так само, як і площа прямокутника — довжину множать на ширину.

Обчислимо площу квадрата зі стороною 3 см. Помножимо довжину 3 см на ширину 3 см

В даному випадку потрібно дізнатися скільки квадратів зі стороною 1 см міститься у вихідному квадраті. У вихідному квадраті міститься дев'ять квадратів зі стороною 1 см. Справді, так воно і є. Квадрат зі стороною 1 см, входить у вихідний квадрат дев'ять разів:

Помноживши довжину на ширину, ми отримали вираз 3 × 3 , а це є добуток двох однакових множників, кожен з яких дорівнює 3. Іншими словами вираз 3 × 3 є другим ступенем числа 3. А значить процес обчислення площі квадрата можна записати у вигляді ступеня 3 2 .

Тому другий ступінь числа називають квадратом числа. При обчисленні другого ступеня числа a, людина тим самим знаходить площу квадрата зі стороною a. Операцію зведення числа в другий ступінь інакше називають зведенням у квадрат.

Позначення

Площа позначається великою латинською літерою S(англ. Square- Квадрат). Тоді площа квадрата зі стороною aсм буде обчислюватися за таким правилом

S = a 2

де a- Довжина сторони квадрата. Другий ступінь вказує на те, що відбувається перемноження двох однакових співмножників, а саме довжини та ширини. Раніше було сказано, що у квадрата всі сторони рівні, а отже, рівні довжина і ширина квадрата, виражені через букву a .

Якщо завдання полягає в тому, щоб визначити скільки квадратів стороною 1 см міститься у вихідному квадраті, то як одиниці вимірювання площі потрібно вказувати см 2 . Це позначення замінює словосполучення "квадратний сантиметр" .

Наприклад, обчислимо площу квадрат зі стороною 2 см.

Значить, квадрат зі стороною 2 см, має площу, рівну чотирьом квадратним сантиметрам:

Якщо завдання полягає в тому, щоб визначити скільки квадратів зі стороною 1 м міститься у вихідному квадраті, то як одиниці вимірювання потрібно вказувати м 2 . Це позначення замінює словосполучення "квадратний метр" .

Обчислимо площу квадрата зі стороною 3 метри

Значить, квадрат зі стороною 3 м має площу рівну дев'яти квадратним метрам:

Аналогічні позначення використовуються для обчислення площі прямокутника. Але довжина і ширина прямокутника можуть бути різними, тому вони позначаються через різні літери, наприклад aі b. Тоді площа прямокутника, довжиною aта шириною bобчислюється за таким правилом:

S = a × b

Як і у випадку з квадратом, одиницями вимірювання площі прямокутника можуть бути см2, м2, км2. Ці позначення замінюють словосполучення "квадратний сантиметр", "квадратний метр", "квадратний кілометр" відповідно.

Наприклад, обчислимо площу прямокутника, довжиною 6 см та шириною 3 см

Значить, прямокутник довжиною 6 см і шириною 3 см має площу, що дорівнює вісімнадцяти квадратним сантиметрам:

Як одиниця виміру допускається використовувати словосполучення "квадратних одиниць" . Наприклад, запис S = 3 кв. означає, що площа квадрата або прямокутника дорівнює трьом квадратам, кожен з яких має одиничний бік (1 см, 1 м або 1 км).

Переклад одиниць виміру площі

Одиниці виміру площі можна переводити з однієї одиниці виміру до іншої. Розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Виразити 1 квадратний метр у квадратних сантиметрах.

1 квадратний метр це квадрат зі стороною 1 м. Тобто всі чотири сторони мають довжину, що дорівнює одному метру.

Але 1 м = 100 см. Тоді всі чотири сторони теж мають довжину 100 см

Обчислимо нову площу цього квадрата. Помножимо довжину 100 см на ширину 100 см або зведемо до квадрата число 100

S = 100 2 = 10 000 см 2

Виходить, що на один квадратний метр припадає десять тисяч квадратних сантиметрів.

1 м 2 = 10 000 см 2

Це дозволяє в майбутньому помножити будь-яку кількість квадратних метрів на 10 000 та отримати площу, виражену у квадратних сантиметрах.

Щоб перевести квадратні метри на квадратні сантиметри, потрібно кількість квадратних метрів помножити на 10 000.

А щоб перевести квадратні сантиметри в квадратні метри, потрібно, навпаки, кількість квадратних сантиметрів розділити на 10 000 .

Наприклад, переведемо 100 000 см 2 у квадратні метри. Міркувати в цьому випадку можна так: « якщо 10 000 см 2 це один квадратний метр, то скільки разів 100 000 см 2 будуть утримувати 10 000 см 2 »

100 000 см 2 : 10 000 см 2 = 10 м 2

Інші одиниці виміру можна перекладати так само. Наприклад, переведемо 2 км2 у квадратні метри.

Один квадратний кілометр це квадрат зі стороною 1 км. Тобто всі чотири сторони мають довжину, що дорівнює одному кілометру. Але 1 км = 1000 м2. Отже, всі чотири сторони квадрата також дорівнюють 1000 м . Знайдемо нову площу квадрата, виражену у квадратних метрах. Для цього помножимо довжину 1000 м на ширину 1000 м або зведемо у квадрат число 1000

S = 1000 2 = 1000000 м 2

Виходить, що на один квадратний кілометр припадає один мільйон квадратних метрів:

1 км2 = 1 000 000 м2

Це дозволяє в майбутньому помножити будь-яку кількість квадратних кілометрів на 1000000 і отримати площу, виражену в квадратних метрах.

Щоб перевести квадратні кілометри на квадратні метри, потрібно кількість квадратних кілометрів помножити на 1 000 000.

Отже, повернемося до нашого завдання. Потрібно було перевести 2 км 2 у квадратні метри. Помножимо 2 км2 на 1 000 000

2 км 2 × 1 000 000 = 2 000 000 м 2

А щоб перевести квадратні метри в квадратні кілометри, потрібно, навпаки, кількість квадратних метрів розділити на 1 000 000 .

Наприклад, переведемо 3500000 м 2 в квадратні кілометри. Міркувати в цьому випадку можна так: « якщо 1 000 000 м 2 це один квадратний кілометр, то скільки разів 3 500 000 м 2 будуть утримувати 1 000 000 м 2 »

3500000 м 2 : 1 000 000 м 2 = 3,5 км 2

Приклад 2. Виразити 7 м2 у квадратних сантиметрах.

Помножимо 7 м 2 на 10 000

7 м 2 = 7 м 2 × 10 000 = 70 000 см 2

Приклад 3. Виразити 5 м2 13 см2 у квадратних сантиметрах.

5 м 2 13 см 2 = 5 м 2 × 10 000 + 13 см 2 = 50 013 см 2

Приклад 4. Виразити 550 000 см2 у квадратних метрах.

Дізнаємося скільки разів 550 000 см 2 містить по 10 000 см 2 . Для цього розділимо 550 000 см 2 на 10 000 см 2

550 000 см 2 : 10 000 см 2 = 55 м 2

Приклад 5. Виразити 7 км2 у квадратних метрах.

Помножимо 7 км2 на 1 000 000

7 км 2 × 1 000 000 = 7 000 000 м2

Приклад 6. Виразити 8500000 м 2 в квадратних кілометрах.

Дізнаємось скільки разів 8 500 000 м 2 містить по 1 000 000 м 2 . Для цього розділимо 8500000 м 2 на 1 000 000 м 2

8 500 000 м 2 × 1 000 000 м 2 = 8,5 км 2

Одиниці виміру площі земельних ділянок

Площі невеликих земельних ділянок зручно вимірювати у квадратних метрах.

Площі більших земельних ділянок вимірюються в арах та гектарах.

Ар(скорочено: a) — це площа, що дорівнює ста квадратним метрам (100 м 2 ). У зв'язку з частим поширенням такої площі (100 м 2 ) вона стала використовуватися, як окрема одиниця виміру.

Наприклад, якщо сказано, що площа якого поля становить 3 а, то треба розуміти, що це три квадрати площею 100 м 2 кожен, тобто:

3 а = 100 м 2 × 3 = 300 м 2

У народі арчасто називають соткоюоскільки ар дорівнює квадрату, площею 100 м 2 . Приклади:

1 сотка = 100 м 2

2 сотки = 200 м 2

10 соток = 1000 м2

гектар(скорочено: га) - це площа, що дорівнює 10 000 м 2 . Наприклад, якщо сказано, що площа якогось лісу становить 20 гектарів, то треба розуміти, що це двадцять квадратів площею 10 000 м 2 кожен, тобто:

20 га = 10 000 м 2 × 20 = 200 000 м 2

Прямокутний паралелепіпед та куб

Прямокутний паралелепіпед - це геометрична фігура, що складається з граней, ребер та вершин. На малюнку показаний прямокутний паралелепіпед:

Жовтим кольором показано граніпаралелепіпеда, чорним кольором ребра, червоним - вершини.

Прямокутний паралелепіпед має довжину, ширину і висоту. На малюнку показано де довжина, ширина та висота:

Паралелепіпед, у якого довжина, ширина і висота рівні між собою, називається . На малюнку показано куб:

Обсяг геометричної фігури

Обсяг геометричної фігури- Це число, яке характеризує місткість цієї фігури.

Обсяг вимірюється у кубічних одиницях. Під кубічними одиницями мають на увазі куби довжиною 1, шириною 1 і висотою 1. Наприклад, 1 кубічний сантиметр або 1 кубічний метр.

Виміряти об'єм якоїсь фігури означає з'ясувати скільки кубічних одиниць вміщується в цю фігуру.

Наприклад, обсяг наступного прямокутного паралелепіпеда дорівнює дванадцяти кубічним сантиметрам:

Це тому, що в даний паралелепіпед вміщується дванадцять кубів довжиною 1 см, шириною 1 см і висотою 1 см:

Обсяг позначається великою латинською літерою V. Одна з одиниць виміру обсягу це кубічний сантиметр (див. 3). Тоді обсяг Vрозглянутого нами паралелепіпеда дорівнює 12 см 3

V= 12 см 3

Обсяг будь-якого паралелепіпеда обчислюють наступним чином: перемножують його довжину, ширину та висоту.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його довжини, ширини та висоти.

V = abc

де, a- Довжина, b- ширина, c- Висота

Так, у попередньому прикладі ми візуально визначили, що об'єм паралелепіпеда дорівнює 12 см 3 . Але можна виміряти довжину, ширину та висоту даного паралелепіпеда та перемножити результати вимірювань. Ми отримаємо той самий результат

Обсяг обчислюється так само, як і обсяг прямокутного паралелепіпеда- перемножують довжину, ширину та висоту.

Наприклад, обчислимо об'єм куба, довжина якого 3 см. У куба довжина, ширина і висота рівні між собою. Якщо довжина дорівнює 3 см, то дорівнюють цим же трьом сантиметрам ширина і висота куба:

Перемножуємо довжину, ширину, висоту і отримуємо об'єм, що дорівнює двадцяти семи кубічним сантиметрам:

V= 3×3×3 = 27 см³

Справді, вихідний куб вміщується 27 кубиків довжиною 1 см

При обчисленні об'єму куба ми перемножили довжину, ширину і висоту. Вийшов твір 3 × 3 × 3. Це твір трьох співмножників, кожен з яких дорівнює 3. Іншими словами, твір 3 × 3 × 3 є третім ступенем числа 3 і може бути записано у вигляді 3 3 .

V= 3 = 27 см 3

Тому третій ступінь числа називають кубом числа. При обчисленні третього ступеня числа a, людина тим самим знаходить об'єм куба, завдовжки a. Операцію зведення числа в третій ступінь інакше називають зведенням у куб.

Таким чином, об'єм куба обчислюється за таким правилом:

V = a 3

Де a -довжина куба.

Кубічний дециметр. Кубічний метр

Не всі об'єкти нашого світу зручно вимірювати у кубічних сантиметрах. Наприклад, об'єм кімнати чи будинку зручніше виміряти в кубічних метрах (м 3 ). Об'єм бака, акваріума або холодильника зручніше вимірювати в кубічних дециметрах (дм 3 ).

Інша назва одного кубічного дециметра – один літр.

1 дм 3 = 1 літр

Переведення одиниць вимірювання об'єму

Одиниці виміру обсягу можна переводити з однієї одиниці виміру до іншої. Розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Виразити 1 кубічний метр у кубічних сантиметрах.

Один кубічний метр це куб зі стороною 1 м. Довжина, ширина та висота цього куба дорівнюють одному метру.

Але 1 м = 100 см. Значить, довжина, ширина та висота теж дорівнюють 100 см

Обчислимо новий обсяг куба, виражений у кубічних сантиметрах. Для цього перемножимо його довжину, ширину та висоту. Або зведемо число 100 в куб:

V = 100 3 = 1000000 см 3

Виходить, що на один кубічний метр припадає один мільйон кубічних сантиметрів:

1 м 3 = 1000000 см 3

Це дозволяє в майбутньому помножити будь-яку кількість кубічних метрів на 1 000 000 і одержати об'єм, виражений у кубічних сантиметрах.

Щоб перевести кубічні метри на кубічні сантиметри, потрібно кількість кубічних метрів помножити на 1 000 000.

А щоб перевести кубічні сантиметри в кубічні метри, потрібно, навпаки, кількість кубічних сантиметрів розділити на 1 000 000 .

Наприклад, переведемо 300 000 000 см 3 кубічні метри. Міркувати в цьому випадку можна так: « якщо 1 000 000 см 3 це один кубічний метр, то скільки разів 300 000 000 см 3 будуть утримувати 1 000 000 см 3 »

300 000 000 см3: 1 000 000 см3 = 300 м3

Приклад 2. Виразити 3 м3 у кубічних сантиметрах.

Помножимо 3 м 3 на 1 000 000

3 м 3 × 1 000 000 = 3 000 000 см 3

Приклад 3. Виразити 60000000 см 3 в кубічних метрах.

Дізнаємося скільки разів 60 000 000 см 3 містить по 1 000 000 см 3 . Для цього розділимо 60000000 см 3 на 1 000 000 см 3

60 000 000 см3: 1 000 000 см3 = 60 м3

Місткість бака, банки чи каністри вимірюють у літрах. Літр це теж одиниця виміру обсягу. Один літр дорівнює одному кубічному дециметру.

1 літр = 1 дм 3

Наприклад, якщо місткість банки становить 1 літр, це означає, що обсяг цієї банки становить 1 дм 3 . При вирішенні деяких завдань може бути корисним уміння переводити літри в кубічні дециметри і навпаки. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Перевести 5 літрів у кубічні дециметри.

Щоб перевести 5 літрів у кубічні дециметри, достатньо помножити 5 на 1

5 л × 1 = 5 дм 3

Приклад 2. Перевести 6000 літрів у кубічні метри.

Шість тисяч літрів це шість тисяч кубічних дециметрів:

6000 л × 1 = 6000 дм3

Тепер переведемо ці 6000 дм3 у кубічні метри.

Довжина, ширина та висота одного кубічного метра дорівнюють 10 дм.

Якщо обчислити об'єм цього куба в дециметрах, то отримаємо 1000 дм 3

V= 103 = 1000 дм 3

Виходить, що тисяча кубічних дециметрів відповідає одному кубічному метру. А щоб визначити скільки кубічних метрів відповідають шести тисячам кубічних дециметрів, потрібно дізнатися скільки разів 6 000 дм 3 містить по 1 000 дм 3

6000 дм 3 : 1000 дм 3 = 6 м 3

Значить, 6000 л = 6 м3.

Таблиця квадратів

У житті часто доводиться знаходити площі різних квадратів. Для цього щоразу потрібно зводити вихідне число у другий ступінь.

Квадрати перших 99 натуральних чисел вже обчислені та занесені до спеціальної таблиці, яка називається таблицею квадратів.

Перший рядок цієї таблиці (цифри від 0 до 9) це вихідного числа, а перший стовпець (цифри від 1 до 9) це вихідного числа.

Наприклад, знайдемо квадрат числа 24 за цією таблицею. Число 24 складається з цифр 2 і 4. Точніше, число 24 складається з двох десятків та чотирьох одиниць.

Отже, вибираємо цифру 2 у першому стовпці таблиці (стовпці десятків), а цифру 4 вибираємо у першому рядку (рядку одиниць). Потім, рухаючись праворуч від цифри 2 і вниз цифри 4, знайдемо точку перетину. В результаті опинимося на позиції, де розташовується число 576. Отже, квадрат числа 24 є число 576

24 2 = 576

Таблиця кубів

Як і в ситуації з квадратами, куби перших 99 натуральних чисел вже обчислені та занесені до таблиці, яка називається таблицею кубів.

Обчисліть об'єм прямокутного паралелепіпеда, довжина якого 6 см, ширина 4 см, висота 3 см. Завдання 7. Площі земельної ділянки, засіяні пшеницею та льоном, пропорційні числам 4 і 5. На якій площі засіяна пшениця, якщо під льоном засіяно 15 га

Рішення

Число 4 відбиває площу, засіяну пшеницею. А число 5 відбиває площу, засіяну льоном.
Сказано, що площі, засіяні пшеницею та льоном, пропорційні цим числам.

Простіше кажучи, у скільки разів змінюються числа 4 або 5, у скільки ж разів зміниться і площа, засіяна пшеницею або льоном. Льоном засіяно 15 га. Тобто число 5, яке відбиває площу, засіяну льоном, змінилося в 3 рази.

Тоді число 4, яке відображає площу засіяну пшеницею, потрібно збільшити втричі

4×3 = 12 га

Відповідь:пшеницею засіяно 12 га.

Завдання 8. Довжина зерносховища 42 м, ширина становить довжину, а висота – 0,1 довжини. Визначте, скільки тонн зерна вміщує зерносховище, якщо 1 м 3 його важить 740 кг.

Рішення

Визначимо скільки літрів за хвилину вливається через другу трубу:

25 л/хв × 0,75 = 18,75 л/хв

Визначимо скільки літрів за хвилину вливається в басейн через обидві труби:

25 л/хв + 18,75 л/хв = 43,75 л/хв

Визначимо, скільки літрів води буде залито в басейн за 13 год 32 хв.

43,75 × 13 год 32 хв = 43,75 × 812 хв = 35 525 л

1 л = 1 дм 3

35525 л = 35525 дм 3

Переведемо кубічні дециметри у кубічні метри. Це дозволить обчислити обсяг басейну:

35525 дм 3: 1000 дм 3 = 35,525 м 3

Знаючи обсяг басейну, можна обчислити висоту басейну. Підставимо в буквене рівняння V=abcнаявні в нас значення. Тоді отримаємо:

V = 35,525
a = 5.8
b = 3.5
c= x

35,525 = 5,8 × 3,5 × x
35,525 = 20,3 × x
x= 1,75 м

з = 1,75

Відповідь:висота (глибина) басейну становить 1,75 м-коду.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки