Електронні властивості низькорозмірних електронних систем - принцип розмірного квантування. Kvant
Атомне ядро, як і інші об'єкти мікросвіту, є квантовою системою. Це означає, що теоретичний опис його параметрів вимагає залучення квантової теорії. У квантовій теорії опис станів фізичних систем ґрунтується на хвильових функціях,або амплітуда ймовірностіψ(α,t). Квадрат модуля цієї функції визначає щільність ймовірності виявлення досліджуваної системи у стані з характеристикою α - ρ (α, t) = | ψ (α, t) | 2 . Аргументом хвильової функції може бути, наприклад, координати частки.
Повну можливість прийнято нормувати на одиницю:
Кожній фізичній величині зіставляється лінійний ерміт оператор, що діє в гільбертовому просторі хвильових функцій ψ. Спектр значень, які може набувати фізична величина, визначається спектром власних значень її оператора.
Середнє значення фізичної величини в стані є
() * = <ψ ||ψ > * = <ψ | + |ψ > = <ψ ||ψ > = .
Стану ядра як квантової системи, тобто. функції ψ(t) , підпорядковуються рівнянню Шредінгера («у. Ш.»)
 |
(2.4) |
Оператор - ермітів оператор Гамільтона ( гамільтоніан) системи. Разом з початковою умовою ψ(t) рівняння (2.4) визначає стан системи будь-якої миті часу. Якщо не залежить від часу, то Повна енергія системи є інтегралом руху.Стани, у яких повна енергія системи має певне значення, називаються стаціонарними.Стаціонарні стани описуються власними функціями оператора (гамільтоніана):
| ψ(α,t) = Eψ(α,t); ψ (α ) = Eψ( α ). |
(2.5) |
Остання з рівнянь - стаціонарне рівняння Шредінгера, Що визначає, зокрема, набір (спектр) енергій стаціонарної системи
У стаціонарних станах квантової системи крім енергії можуть зберігатися й інші фізичні величини. Умова збереження фізичної величини F є рівність 0 комутатора її оператора з оператором Гамільтона:
| [,] ≡ – = 0. | (2.6) |
1. Спектри атомних ядер
Квантовий характер атомних ядер проявляється у картинах їх спектрів збудження (див. наприклад, рис. 2.1). Спектр у галузі енергій збудження ядра 12 С нижче (приблизно) 16 МеВ має дискретний характерВище цієї енергії спектр безперервний. Дискретний характер спектра збуджень не означає, що ширини рівнів у цьому спектрі дорівнюють 0. Оскільки кожен із збуджених рівнів спектра має кінцевий середній час життя τ, ширина рівня Г також кінцева і пов'язана із середнім часом життя співвідношенням, що є наслідком співвідношення невизначеності для енергії та часу Δ t·ΔE ≥ ћ :
На схемах спектрів ядер вказують енергії рівнів ядра в МеВ або кеВ, а також спін та парність станів. На схемах вказують також, якщо можливо, ізоспін стану (оскільки на схемах спектрів дані енергії збудження рівнів, енергія основного стану приймається початок відліку). В галузі енергій збудження E< E отд - т.е. при энергиях, меньших, чем энергия отделения нуклона, спектры ядер - дискретні. Це означає, що ширини спектральних рівнів менше відстані між рівнями Г< Δ E.
Кабардін О.Ф. Ядерні спектри // квант. – 1987. – № 3. – С. 42-43.
За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу "Квант"
Як ви знаєте, атомні ядра складаються з нуклонів – протонів та нейтронів, між якими діють ядерні сили тяжіння та кулонівські сили відштовхування. Що може статися з ядром під час його зіткнення з іншим ядром, частинкою чи гамма-квантом? Досліди Е. Резерфорда, виконані в 1919, показали, наприклад, що під впливом альфа-частинки з ядра може бути вибитий протон. В експериментах, проведених Д. Чедвіком в 1932, було встановлено, що альфа-частинки можуть вибивати з атомних ядер і нейтрони («Фізика 10», § 106). Але чи завжди закінчується процес зіткнення? Чи не може атомне ядро поглинути енергію, отриману при зіткненні, і перерозподілити її між нуклонами, що входять до його складу, змінивши тим самим свою внутрішню енергію? Що відбуватиметься з таким ядром далі?
Відповіді ці питання дали прямі досліди з вивчення взаємодії протонів з атомними ядрами. Їхні результати дуже схожі на результати дослідів Франка та Герца щодо вивчення зіткнень електронів з атомами («Фізика 10», § 96). Виявляється, при поступовому збільшенні енергії протонів спочатку спостерігаються лише пружні зіткнення з атомними ядрами, кінетична енергія не перетворюється на інші види енергії, а лише перерозподіляється між протоном та атомним ядром як однією часткою. Однак, починаючи з деякого значення енергії протона, можуть відбуватися і пружні зіткнення, при яких протон поглинається ядром і повністю передає йому свою енергію. Ядро кожного ізотопу характеризується певним набором «порцій» енергії, які воно може прийняти.
Перетворення ядра азоту із захопленням альфа-частинки та випромінюванням протона.
Ці досліди доводять, що ядра мають дискретні спектри можливих енергетичних станів. Отже, квантування енергії та інших параметрів є властивістю як атомів, а й атомних ядер. Стан атомного ядра з мінімальним запасом енергії називається основним, або нормальним, стани з надмірною енергією (порівняно з основним станом) називають збудженими.
Атоми зазвичай перебувають у збуджених станах приблизно 10 -8 секунди, а збуджені атомні ядра позбавляються надлишку енергії набагато короткий час - близько 10 -15 - 10 -16 секунди. Як і атоми, збуджені ядра звільняються від надлишку енергії, випускаючи кванти електромагнітного випромінювання. Ці кванти називаються гамма-квантами (або гамма-променями). Дискретному набору енергетичних станів атомного ядра відповідає дискретний спектр частот гама-квантів, що випромінюються ними. Гамма-промені є поперечні електромагнітні хвилі, такі ж, як радіохвилі, видиме світло або рентгенівські промені. Вони є короткохвильовим видом електромагнітного випромінювання з усіх відомих, і відповідні їм довжини хвиль лежать в діапазоні приблизно від 10 -11 м до 10 -13 м.
Енергетичні стани атомних ядер та переходи ядер з одного стану в інший з поглинанням або випромінюванням енергії прийнято описувати за допомогою енергетичних діаграм, аналогічних енергетичним діаграм атомів («Фізика 10», § 94). На малюнку представлена енергетична діаграма ядра ізотопу заліза - \(~^(58)_(26)Fe\), отримана на основі дослідів з бомбардування протонами. Зауважимо, що з якісному подібності енергетичних діаграм атомів і ядер з-поміж них є суттєві кількісні відмінності. Якщо для переведення атома з основного стану в збуджений потрібно енергія в кілька електронвольт, то для збудження атомного ядра необхідна енергія близько сотень тисяч або мільйонів електронвольт. Ця різниця обумовлена тим, що ядерні сили, що діють між нуклонами в ядрі, значно перевищують сили кулонівської взаємодії електронів з ядром.
Діаграма енергетичних рівнів ядра ізотопу заліза.
Здатність атомних ядер мимовільно переходити із станів із великим запасом енергії у стан із меншою енергією пояснює походження не тільки гамма-випромінювання, а й радіоактивного розпаду ядер.
Багато закономірностей у ядерних спектрах можна пояснити, якщо скористатися так званою моделлю оболонки будови атомного ядра. Відповідно до цієї моделі, нуклони в ядрі не перемішані безладно, а, подібно до електронів в атомі, розташовуються зв'язаними групами, заповнюючи дозволені ядерні оболонки. При цьому протонні та нейтронні оболонки заповнюються незалежно один від одного. Максимальні числа нейтронів: 2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126 та протонів: 2, 8, 20, 28, 50, 82 у заповнених оболонках отримали назву магічних. Ядра з магічними числами протонів і нейтронів володіють багатьма чудовими властивостями: підвищеним значенням питомої енергії зв'язку, меншою ймовірністю вступу в ядерну взаємодію, стійкістю до радіоактивного розпаду тощо.
Перехід ядра з основного стану до збудженого і повернення його до основного стану, з погляду оболонкової моделі, пояснюється переходом нуклону з однієї оболонки на іншу і назад.
При великій кількості переваг оболонкова модель ядра не здатна пояснити властивості всіх ядер у різних типах взаємодій. У багатьох випадках пліднішим виявляється уявлення про ядру як про краплину ядерної рідини, в якій нуклони пов'язані ядерними силами, кулонівськими силами і силами поверхневого натягу. Існують і інші моделі, але жодна із запропонованих досі не може вважатися універсальною.
Модель атома Бора була спробою примирити уявлення класичної фізики з законами квантового світу, що формуються.
Е.Резерфорд, 1936:
«Як розташовані електрони у зовнішній частині атома? Я вважаю первісну квантову теорію спектра, висунуту Бором, однією з найбільш революційних з усіх коли-небудь створених у науці; і я не знаю іншої теорії, яка мала б більший успіх. Він був у той час у Манчестері і, твердо увірувавши в ядерну структуру атома, яка з'ясувалась в експериментах з розсіювання, намагався зрозуміти, як треба розташувати електрони, щоб отримати відомі спектри атомів. Основа його успіху лежить у внесенні до теорії абсолютно нових ідей. Він вніс у наші уявлення ідею кванта дії, і навіть ідею, чужу класичної фізики, у тому, що електрон може обертатися орбітою навколо ядра, не випускаючи випромінювання. Висуваючи теорію ядерної будови атома, я цілком усвідомлював те, що згідно з класичною теорією електрони повинні падати на ядро, а Бор постулював, що з деяких невідомих причин цього не відбувається, і на основі цього припущення він, як ви знаєте, зумів пояснити походження спектрів. Застосовуючи цілком розумні припущення, він крок за кроком вирішив питання розташування електронів у всіх атомах періодичної таблиці. Тут було багато труднощів, оскільки розподіл мав відповідати оптичним і рентгенівським спектрам елементів, але зрештою Бор зумів запропонувати таке розташування електронів, яке показало сенс періодичного закону.
В результаті подальших удосконалень, головним чином внесених самим Бором, і змін, вироблених Гейзенбергом, Шредінгером і Діраком, змінилася вся математична теорія і були введені ідеї хвильової механіки. Абсолютно незалежно від цих подальших удосконалень я розглядаю праці Бора як величезний тріумф людської думки.
Щоб усвідомити значення його робіт, слід розглянути хоча б тільки надзвичайну складність спектрів елементів і уявити, що протягом 10 років усі основні характеристики цих спектрів були зрозумілі та пояснені, тому тепер теорія оптичних спектрів настільки завершена, що багато хто вважає це вичерпаним питанням. подібно до того, як це було кілька років тому зі звуком».
На середину 20-х стало очевидно, що напівкласична теорія атома Н.Бора неспроможна дати адекватне опис властивостей атома. У 1925-1926 рр. у роботах В.Гейзенберга та Е.Шредінгера було розроблено загальний підхід опису квантових явищ – квантова теорія.
Квантова фізика |
|---|
(x, y, z, p x, p y, p z)
=∂H/∂p, = -∂H/∂t,
x, y, z, p x , p y , p z
ΔхΔp x ~
ΔyΔp y ~
ΔzΔp z ~
Детермінізм
|(x,y,z)| 2
Стан класичної частки у будь-який момент часу описується завданням її координат та імпульсів (x, y, z, p x, p y, p z, t). Знаючи ці величини на момент часу t,можна визначити еволюцію системи під впливом відомих сил у всі наступні моменти часу. Координати та імпульси частинок самі є величинами, що безпосередньо вимірюються на досвіді. У квантовій фізиці стан системи описується хвильовою функцією ψ(х, у, z, t).
Т.к. для квантової частки не можна одночасно точно визначити значення її координат і імпульсу, то немає сенсу говорити про рух частинки певною траєкторією, можна тільки визначити ймовірність знаходження частки в даній точці в даний момент часу, яка визначається квадратом модуля хвильової функції W ~ |ψ( x,y,z) | 2 .
Еволюція квантової системи у нерелятивістському випадку описується хвильовою функцією, що задовольняє рівняння Шредінгера
де - Оператор Гамільтона (оператор повної енергії системи).
У нерелятивістському випадку – 2 /2m + (r), де т
– маса частки, – оператор імпульсу, (x,y,z) – оператор потенційної енергії частки. Задати закон руху частинки в квантовій механіці це визначити значення хвильової функції у кожний момент часу в кожній точці простору. У стаціонарному стані хвильова функція ψ(х,у,z) є рішенням стаціонарного рівняння Шредінгера ψ = Eψ. Як і будь-яка пов'язана система в квантовій фізиці, ядро має дискретний спектр своїх значень енергії.
Стан із найбільшою енергією зв'язку ядра, тобто з найменшою повною енергією Е, називають основним. Стани з більшою повною енергією – збуджені. Нижньому за енергією стану приписується нульовий індекс та енергія E 0
=
0.
E 0 → Mc 2 = (Zm p + Nm n)c 2 − W 0;
W 0 - Енергія зв'язку ядра в основному стані.
Енергії E i (i = 1, 2, ...) збуджених станів відраховуються від основного стану.
Схема нижнього рівня ядра 24 Mg.
Нижні рівні ядра є дискретними. При збільшенні енергії збудження середня відстань між рівнями зменшується.
Зростання щільності рівнів із збільшенням енергії є характерною властивістю багаточасткових систем. Він пояснюється тим, що зі збільшенням енергії таких систем швидко зростає кількість різних способів розподілу енергії між нуклонами.
Квантові числа- Цілі або дробові числа, що визначають можливі значення фізичних величин, що характеризують квантову систему - атом, атомне ядро. Квантові числа відбивають дискретність (квантованість) фізичних величин, що характеризують мікросистему. Набір квантових чисел, що вичерпно описують мікросистему, називають повним. Так стан нуклону в ядрі визначається чотирма квантовими числами: головним квантовим числом n (може набувати значень 1, 2, 3, …), що визначає енергію Е n нуклону; орбітальним квантовим числом l = 0, 1, 2, …, n, що визначає величину L
орбітального моменту кількості руху нуклону (L = 1/2); квантовим числом m ≤ ±l, що визначає напрямок вектора орбітального моменту; і квантовим числом ms = ±1/2, визначальним напрям вектора спина нуклона.
Квантові числа
| n | Головне квантове число: n = 1, 2, ∞. |
| j | Квантова кількість повного кутового моменту. j ніколи не буває негативним і може бути цілим (включаючи нуль) або напівцілим залежно від властивостей системи, що розглядається. Розмір повного кутового моменту системи J пов'язана з j співвідношенням J 2 = ћ 2 j(j+1). = + де і вектори орбітального та спинового кутових моментів. |
| l | Квантова кількість орбітального кутового моменту. lможе приймати лише цілі значення: l= 0, 1, 2, … ∞, Розмір орбітального кутового моменту системи L пов'язана з lспіввідношенням L 2 = ћ 2 l(l+1). |
| m | Проекція повного, орбітального або спинового кутового моменту на виділену вісь (зазвичай вісь z) дорівнює mћ. Для повного моменту j = j, j-1, j-2, …, -(j-1), -j. Для орбітального моменту m l = l, l-1, l-2, …, -(l-1), -l. Для спінового моменту електрона, протона, нейтрона, кварка ms = ±1/2 |
| s | Квантова кількість спинового кутового моменту. s може бути цілим, або напівцілим. s - постійна характеристика частки, яка визначається її властивостями. Величина спинового моменту S пов'язана з співвідношенням S 2 = ћ 2 s(s+1) |
| P | Просторова парність. Вона дорівнює або +1 або -1 і характеризує поведінку системи при дзеркальному відображенні P = (-1) l . |
Поряд з таким набором квантових чисел стан нуклону в ядрі можна також характеризувати іншим набором квантових чисел n, l, j, j z. Вибір набору квантових чисел визначається зручністю опису квантової системи.
Існування фізичних величин, що зберігаються (незмінних у часі) для даної системи тісно пов'язане з властивостями симетрії цієї системи. Так, якщо ізольована система не змінюється при довільних поворотах, то вона зберігає орбітальний момент кількості руху. Це має місце для атома водню, в якому електрон рухається у сферично-симетричному кулонівському потенціалі ядра і тому характеризується постійним квантовим числом l. Зовнішнє обурення може порушувати симетрію системи, що призводить до зміни квантових чисел. Фотон, поглинений атомом водню, може перевести електрон до іншого стану з іншими значеннями квантових чисел. У таблиці наведено деякі квантові числа, що використовуються для опису атомних та ядерних станів.
Крім квантових чисел, що відбивають просторово-часову симетрію мікросистеми, істотну роль грають звані внутрішні квантові числа частинок. Ряд з них, такі як спін та електричний заряд, зберігаються у всіх взаємодіях, інші в деяких взаємодіях не зберігаються. Так квантове число дивність, що зберігається в сильному та електромагнітному взаємодіях, не зберігається в слабкому взаємодії, що відображає різну природу цих взаємодій.
Атомне ядро у кожному стані характеризується повним моментом кількості руху. Цей момент у системі спокою ядра називається спином ядра.
Для ядра виконуються такі правила:
а) A - парно J = n (n = 0, 1, 2, 3, ...), тобто ціле;
б) A – непарно J = n + 1/2, тобто напівціле.
Крім того, експериментально встановлено ще одне правило: у парно-парних ядер в основному стані J gs
= 0. Це свідчить про взаємну компенсацію моментів нуклонів переважно стані ядра – особливе властивість межнуклонного взаємодії.
Інваріантність системи (гамільтоніана) щодо просторового відображення – інверсії (заміни → -) призводить до закону збереження парності та квантового числа парностіР. Це означає, що ядерний гамільтоніан має відповідну симетрію. Дійсно, ядро існує завдяки сильній взаємодії між нуклонами. Крім того, істотну роль у ядрах грає і електромагнітна взаємодія. Обидва ці типи взаємодій інваріантні до просторової інверсії. Це означає, що ядерні стани повинні характеризуватись певним значенням парності Р, тобто бути або парними (Р = +1), або непарними (Р = -1).
Проте, між нуклонами в ядрі діють слабкі сили, що не зберігають парність. Наслідком цього є те, що до стану з даною парністю додається (зазвичай незначна) домішка стану з протилежною парністю. Типова величина такої домішки в ядерних станах лише 10 -6 -10 -7 й у переважній кількості випадків може враховуватися.
парність ядра Р як системи нуклонів може бути представлена як добуток парностей окремих нуклонів p i:
Р = p 1 · p 2 · ... · p A ·,
причому парність нуклону p i центральному полі залежить від орбітального моменту нуклону , де π i - внутрішня парність нуклону, рівна +1. Тому парність ядра у сферично симетричному стані може бути представлена як добуток орбітальних парностей нуклонів у цьому стані:
На схемах ядерних рівнів зазвичай вказують енергію, спін та парність кожного рівня. Спин вказується числом, а парність знаком плюс для парних та мінус для непарних рівнів. Цей знак ставиться праворуч зверху від числа, що вказує на спину. Наприклад, символ 1/2 + означає парний рівень зі спином 1/2, а символ 3 - означає непарний рівень зі спином 3.
Ізоспін атомних ядер.Ще одна характеристика ядерних станів – ізоспін I. Ядро (A, Z)складається з A нуклонів і має заряд Ze, який можна у вигляді суми зарядів нуклонів q i , виражених через проекції їх ізоспінів (I i) 3
− проекція ізоспину ядра на вісь 3 ізоспінового простору.
Повний ізоспін системи нуклонів A
Усі стани ядра мають значення проекції ізоспину I 3 = (Z - N)/2. У ядрі, що складається з A нуклонів, кожен із яких має ізоспін 1/2, можливі значення ізоспину від |N - Z|/2 до A/2
|N - Z|/2 ≤ I ≤ A/2.
Мінімальне значення I = | I 3 | Максимальне значення I дорівнює A/2 відповідає всім i , спрямованим в одну сторону. Досвідченим шляхом встановлено, що енергія збудження ядерного стану тим вища, що більше значення ізоспину. Тому ізоспін ядра в основному та низькозбуджених станах має мінімальне значення.
I gs = | I 3 | = | Z - N | /2.
Електромагнітна взаємодія порушує ізотропію ізоспінового простору. Енергія взаємодії системи заряджених часток змінюється при поворотах в ізопространстве, так як при поворотах змінюються заряди частинок і в ядрі частина протонів перетворюється на нейтрони чи навпаки. Тому реально ізоспиновая симетрія не точна, а наближена.
Потенційна яма.Для опису пов'язаних станів часток використовується поняття потенційної ями. Потенційна яма - обмежена область простору зі зниженою потенційною енергією частки. Потенційна яма зазвичай відповідає силам тяжіння. У сфері цих сил потенціал негативний, поза – нульової.
Енергія частки Е є сумою її кінетичної енергії Т ≥ 0 і потенційної U (може бути як позитивною, так і негативною). Якщо частка знаходиться всередині ями, то її кінетична енергія Т 1 менша за глибину ями U 0 , енергія частинки Е 1 = Т 1 + U 1 = Т 1 - U 0 У квантовій механіці енергія частинки, що знаходиться у зв'язаному стані, може приймати лише певні дискретні значення, тобто. існують дискретні рівні енергії. При цьому найнижчий (основний) рівень завжди лежить вище за дно потенційної ями. По порядку величини відстань Δ Еміж рівнями частинки маси m у глибокій ямі шириною а дається виразом
ΔЕ ≈ 2 / mа 2 .
Приклад потенційної ями - потенційна яма атомного ядра глибиною 40-50 МеВ та шириною 10 -13 -10 -12 см, в якій на різних рівнях знаходяться нуклони із середньою кінетичною енергією ≈ 20 МеВ.
За таких граничних умов частка, перебуваючи всередині потенційної ями 0< x < l, не может выйти за ее пределы, т. е.
ψ(x) = 0, x ≤ 0, x ≥ L.
Використовуючи стаціонарне рівняння Шредінгера для області, де U = 0,
отримаємо становище та спектр енергій частинки всередині потенційної ями.
Для нескінченної одновимірної потенційної ями маємо таке:
Хвильова функція частки у нескінченній прямокутній ямі (а), квадрат модуля хвильової функції (б) визначає ймовірність знаходження частки у різних точках потенційної ями.
Рівняння Шредінгера грає у квантової механіки таку ж роль, як і другий закон Ньютона у класичній механіці.
Найдивовижнішою особливістю квантової фізики виявився її імовірнісний характер.
Імовірнісний характер процесів, що протікають у мікросвіті, є фундаментальною властивістю мікросвіту.
Е.Шредінгер:
«Звичайні правила квантування можуть бути замінені іншими положеннями, в яких уже не запроваджуються будь-які «цілі цифри». Цілочисленність виходить при цьому природним чином сама по собі подібно до того, як сама по собі виходить цілісність числа вузлів при розгляді струни, що коливається. Це нове уявлення може бути узагальнено і я думаю, що воно тісно пов'язане з істинною природою квантування.
Досить природно пов'язувати функцію ψ деяким коливальним процесомв атомі, в якому реальність електронних траєкторій останнім часом неодноразово ставилася під сумнів. Я спочатку теж хотів обґрунтувати нове розуміння квантових правил, використовуючи вказаний порівняно наочний шлях, але потім віддав перевагу суто математичному способу, тому що він дає можливість краще з'ясувати всі істотні сторони питання. Істотним мені здається, що квантові правила не вводяться як загадкове. вимога цілісності», а визначаються необхідністю обмеженості та однозначності певної певної просторової функції.
Я не вважаю за можливе, доки не будуть успішно розраховані новим способом складніші завдання, докладніше розглядати тлумачення введеного коливального процесу. Не виключена можливість, що такі розрахунки призведуть до простого збігу з висновками звичайної квантової теорії. Наприклад, при розгляді за наведеним способом релятивістського завдання Кеплера, якщо діяти за вказаними спочатку правилами, виходить чудовий результат: напівцілі квантові числа(радіальне та азимутальне)…
Насамперед, не можна не згадати, що основним вихідним поштовхом, що призвело до появи наведених тут міркувань, була дисертація де Бройля, що містить багато глибоких ідей, а також роздумів про просторовий розподіл «фазових хвиль», яким, як показано де Бройлем, щоразу відповідає періодичний або квазіперіодичний рух електрона, якщо ці хвилі укладаються на траєкторії ціле числоразів. Головна відмінність від теорії де Бройля, в якій говориться про хвилі, що прямолінійно поширюється, полягає тут у тому, що ми розглядаємо, якщо використовувати хвильове трактування, що стоять власні коливання ».
М.Лауе:
«Досягнення квантової теорії накопичувалися дуже швидко. Особливо вражаючий успіх вона мала до радіоактивного розпаду при випромінюванні α-променів. Відповідно до цієї теорії існує «тунельний ефект», тобто. проникнення через потенційний бар'єр частинки, знергія якої згідно з вимогами класичної механіки, недостатня для переходу через нього.
Г.Гамов дав у 1928 р. пояснення випромінювання α-частинок, засноване на цьому тунельному ефекті. Відповідно до теорії Гамова атомне ядро оточене потенційним бар'єром, але α-частинки мають певну можливість його «переступити». Емпірично знайдені Гейгером та Неттолом співвідношення між радіусом дії α-частинки та напівперіодом розпаду отримали на основі теорії Гамова задовільне пояснення».
Статистика. Принцип Паулі.Властивості квантовомеханічних систем, що з багатьох частинок, визначаються статистикою цих частинок. Класичні системи, що складаються з однакових, але помітних частинок, підпорядковуються розподілу Больцмана
У системі квантових частинок одного типу виявляються нові особливості поведінки, що не мають аналогів у класичній фізиці. На відміну від часток у класичній фізиці, квантові частки не просто однакові, а й невиразні – тотожні. Одна з причин полягає в тому, що в квантовій механіці частинки описуються за допомогою хвильових функцій, що дозволяють обчислити лише можливість знаходження частки в будь-якій точці простору. Якщо хвильові функції кількох тотожних частинок перекриваються, неможливо визначити, яка з частинок перебуває у цій точці. Оскільки фізичний сенс має лише квадрат модуля хвильової функції, з принципу тотожності частинок слід, що з перестановці двох тотожних частинок хвильова функція чи змінює знак ( антисиметричний стан), або змінює знак ( симетричний стан).
Симетричними хвильовими функціями описуються частинки з цілим спином – бозони (піони, фотони, альфа-частинки…). Бозони підпорядковуються статистиці Бозе-Ейнштейна
В одному квантовому стані може одночасно перебувати необмежену кількість тотожних бозонів.
Антисиметричними хвильовими функціями описуються частинки із напівцілим спином – ферміони (протони, нейтрони, електрони, нейтрино). Ферміони починаються статистикою Фермі-Дірака
На зв'язок між симетрією хвильової функції та спином вперше вказав В. Паулі.
Для ферміонів справедливий принцип Паулі – два тотожні ферміони не можуть одночасно перебувати в тому самому квантовому стані.
Принцип Паулі визначає будову електронних оболонок атомів, наповнення нуклонних станів у ядрах та інші особливості поведінки квантових систем.
Зі створенням протон-нейтронної моделі атомного ядра вважатимуться завершеним перший етап розвитку ядерної фізики, у якому встановлено основні факти будови атомного ядра. Перший етап розпочався у фундаментальній концепції Демокріту про існування атомів – неподільних частинок матерії. Встановлення періодичного закону Менделєєвим дозволило систематизувати атоми і поставило питання причинах, що у основі цієї систематики. Відкриття електронів у 1897 р. Дж. Дж. Томсоном зруйнувало уявлення про неподільність атомів. Згідно з моделлю Томсона, електрони – складові елементи всіх атомів. Відкриття А. Беккерелем в 1896 р. явище радіоактивності урану та подальше відкриття П.Кюрі та М.Склодовської-Кюрі радіоактивності торію, полонію та радію вперше показали, що хімічні елементи не є вічними утвореннями, вони можуть мимовільно розпадатися, перетворюватися на інші хімічні . У 1899 р. Еге. Резерфордом було встановлено, що атоми внаслідок радіоактивного розпаду можуть викидати зі свого складу α-частинки – іонізовані атоми гелію та електрони. У 1911 р. Еге. Резерфорд, узагальнивши результати експерименту Гейгера та Марсдена, розробив планетарну модель атома. Відповідно до цієї моделі атоми складаються з позитивно зарядженого атомного ядра радіусом ~10 -12 см, в якому зосереджена вся маса атома і негативних електронів, що обертаються навколо нього. Розмір електронних оболонок атома ~10 -8 см. У 1913 р. Н.Бор розвинув уявлення планетарної моделі атома на основі квантової теорії. У 1919 р. Еге. Резерфорд довів, що до складу атомного ядра входять протони. У 1932 р. Дж. Чадвік відкрив нейтрон і показав, що до складу атомного ядра входять нейтрони. Створенням у 1932 р. Д. Іваненко, В. Гейзенбергом протон-нейтронної моделі атомного ядра завершився перший етап розвитку ядерної фізики. Усі складові елементи атома та атомного ядра були встановлені.
1869 Періодична система елементів Д.І. Менделєєва
До другої половини XIX століття зусиллями хіміків була накопичена велика інформація про поведінку хімічних елементів у різних хімічних реакціях. Було встановлено, що лише певні комбінації хімічних елементів утворюють цю речовину. Було виявлено, деякі хімічні елементи мають приблизно однакові властивості, тоді як їх атомні ваги сильно різняться. Д. І. Менделєєв проаналізував зв'язок між хімічними властивостями елементами та їх атомною вагою та показав, що хімічні властивості елементів розташованих у міру зростання атомних ваг повторюються. Це стало основою створеної ним періодичної системи елементів. Під час упорядкування таблиці Менделєєв виявив, що атомні ваги деяких хімічних елементів випадають із отриманої ним закономірності, і зазначив, що атомні ваги цих елементів визначено неточно. Пізніші точні досліди показали, що справді спочатку певні ваги були неправильні і нові результати відповідали передбаченням Менделєєва. Залишивши в таблиці незаповненими деякі місця, Менделєєв вказав, що тут повинні бути нові ще не відкриті хімічні елементи і передбачив їх хімічні властивості. Так було передбачено і потім відкрито галій (Z = 31), скандій (Z = 21) і германій (Z = 32). Нащадкам Менделєєв залишив завдання пояснення періодичних властивостей хімічних елементів. Теоретичне пояснення періодичної системи елементів Менделєєва, дане Н. Бором в 1922 р. було одним з переконливих доказів правильності квантової теорії, що зароджується.
Атомне ядро та періодична система елементів
Основою успішного побудови періодичної системи елементів Менделєєвим і Логар Мейером стало уявлення у тому, що атомний вага може бути підходящою константою для систематичної класифікації елементів. Сучасна атомна теорія підійшла, однак, до тлумачення періодичної системи, зовсім не торкаючись атомної ваги. Номер місця якогось елемента в цій системі і разом з тим його хімічні властивості однозначно визначаються позитивним зарядом атомного ядра, або, що ж, числом негативних електронів, розташованих навколо нього. Маса та будова атомного ядра не грають при цьому жодної ролі; так, в даний час ми знаємо, що існують елементи або, вірніше, види атомів, які при одному і тому ж числі і розташування зовнішніх електронів мають атомні ваги, що значно різняться. Такі елементи називають ізотопами. Так, наприклад, у плеяді ізотопів цинку атомна вага розподіляється від 112 до 124. Навпаки, є елементи, що мають істотно різні хімічні властивості, які виявляють однакову атомну вагу; їх називають ізобарами. Прикладом може бути атомна вага 124, який знайдений для цинку, телуру та ксенону.
Для визначення хімічного елемента достатньо однієї константи, а саме – числа негативних електронів, що розташовані навколо ядра, тому що всі хімічні процеси протікають серед цих електронів.
Число протонів n 2
, що у атомному ядрі, визначають його позитивний заряд Z, а тим самим і число зовнішніх електронів, що зумовлюють хімічні властивості цього елемента; деяка кількість нейтронів n 1
ув'язнених у цьому ж ядрі, у сумі з n 2
дає його атомну вагу
A = n 1
+ n 2
. Назад, порядковий номер Z дає число протонів, що містяться в атомному ядрі, а з різниці між атомною вагою і зарядом ядра A – Z виходить число ядерних нейтронів.
З відкриттям нейтрона періодична система отримала деяке поповнення області малих порядкових номерів, оскільки нейтрон можна вважати елементом з порядковим числом, рівним нулю. В області високих порядкових чисел, а саме від Z = 84 до Z = 92 всі атомні ядра нестійкі, спонтанно радіоактивні; тому можна припустити, що атом із зарядом ядра ще більшим, ніж у урану, якщо він тільки може бути отриманий, повинен бути також нестійким. Фермі та його співробітники нещодавно повідомили про свої досліди, в яких під час обстрілу урану нейтронами спостерігалася поява радіоактивного елемента з порядковим номером 93 або 94. Цілком можливо, що й у цій галузі періодична система має продовження. Залишається додати лише, що геніальним передбаченням Менделєєва рамки періодичної системи настільки широко передбачені, що кожне нове відкриття, залишаючись обсягом їх, ще більше зміцнює її.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Весь комплекс явищ, який зазвичай розуміється під словами «електронні властивості низькорозмірних електронних систем», має в основі фундаментальний фізичний факт: зміна енергетичного спектру електронів і дірок у структурах з дуже малими розмірами. Продемонструємо основну ідею розмірного квантування з прикладу електронів, що у дуже тонкої металевої чи напівпровідникової плівці товщиною а.
Електронні властивості низькорозмірних електронних систем Принцип розмірного квантування Електрони в плівці знаходяться в потенційній ямі глибиною, що дорівнює роботі виходу. Глибину потенційної ями вважатимуться нескінченно великий, оскільки робота виходу кілька порядків перевищує теплову енергію носіїв. Типові значення роботи виходу більшості твердих тіл мають величину W =4 -5 э. на кілька порядків перевищує характерну теплову енергію носіїв, що має порядок величини k. T, рівну при кімнатній температурі 0,026 е. В. Відповідно до законів квантової механіки, енергія електронів у такій ямі квантується, тобто може набувати лише деякі дискретні значення En, де n може набувати цілісних значень 1, 2, 3, …. Ці дискретні значення енергії називають рівнями розмірного квантування.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Для вільної частинки з ефективною масою m*, рух якої в кристалі в напрямку осі z обмежений непроникними бар'єрами (тобто бар'єрами з нескінченною потенційною енергією на величину Це збільшення енергії називається енергією розмірного квантування частки. Енергія розмірного квантування є наслідком принципом невизначеності у квантовій механіці. Якщо частка обмежена у просторі вздовж осі z у межах відстані а, невизначеність zкомпоненти її імпульсу зростає на величину порядку ħ/a. Відповідно збільшується кінетична енергія частки на величину E1. Тому розглянутий ефект часто називають квантово-розмірним ефектом.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Висновок квантування енергії електронного руху відносяться лише до руху поперек потенційної ями (по осі z). На рух у площині xy (паралельно меж плівки) потенціал ями не впливає. У цій площині носії рухаються як вільні і характеризуються, як і масивному зразку, безперервним квадратичним за імпульсом енергетичним спектром з ефективною масою. Повна енергія носіїв у квантово-розмірній плівці носить змішаний дискретно безперервний спектр.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Крім збільшення мінімальної енергії частки квантоворозмірний ефект призводить також до квантування енергій її збуджених станів. Енергетичний спектр квантово-розмірної плівки - імпульс носіїв заряду в площині плівки
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Нехай електрони в системі мають енергії, менші від Е 2, і тому належать нижньому рівню розмірного квантування. Тоді ніякий пружний процес (наприклад, розсіювання на домішках або акустичних фононах), так само як і розсіювання електронів один на одному, не може змінити квантове число n , перевівши електрон на рівень, що вище, оскільки це потребувало б додаткових витрат енергії. Це означає, що електрони при пружному розсіюванні можуть змінювати лише свій імпульс у площині плівки, тобто поводяться як суто двомірні частинки. Тому квантово-розмірні структури, у яких заповнено лише один квантовий рівень, часто називають двовимірними електронними структурами.
Існують й інші можливі квантові структури, де рух носіїв обмежений не в одному, а у двох напрямках, як у мікроскопічному дроті або нитці (квантові нитки або дроти). В цьому випадку носії можуть вільно рухатися лише в одному напрямку, вздовж нитки (назвемо його віссю х). У поперечному перерізі (площина yz) енергія квантується і приймає дискретні значення Emn (як будь-який двовимірний рух, він описується двома квантовими числами, m і n). Повний спектр при цьому теж є дискретно безперервним, але лише з одним безперервним ступенем свободи:
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Можливо також створення квантових структур, що нагадують штучні атоми, де рух носіїв обмежений у всіх трьох напрямках (квантові точки). У квантових точках енергетичний спектр не містить безперервної компоненти, т. е. не складається з підзон, а є суто дискретним. Як і в атомі, він описується трьома дискретними квантовими числами (крім спина) і може бути записаний у вигляді E = Elmn , причому, як і в атомі, енергетичні рівні можуть бути вироджені та залежати лише від одного чи двох чисел. Загальною особливістю низькорозмірних структур є той факт, що якщо хоча б вздовж одного напрямку рух носіїв обмежений дуже малою областю, порівнянною за розмірами з дебройлівською довжиною хвилі носіїв, їх енергетичний спектр помітно змінюється і стає частково або повністю дискретним.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Визначення Квантові точки – quantum dots – структури, у яких у всіх трьох напрямках розміри становлять кілька міжатомних відстаней (нульмерні структури). Квантові дроти (нитки) – quantum wires – структури, які у двох напрямах розміри рівні кільком міжатомним відстаням, а третьому – макроскопічної величині (одномірні структури). Квантові ями – quantum wells – структури, які у одному напрямі розмір становить кілька міжатомних відстаней (двовимірні структури).
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Мінімальна і максимальна розміри Нижня межа розмірного квантування визначається критичним розміром Dmin, при якому в квантово-розмірній структурі існує хоча б один електронний рівень. Dmin залежить від розриву зони провідності DEc у відповідному гетеропереході, який використовується для отримання квантово-розмірних структур. У квантовій ямі хоча б один електронний рівень існує у тому випадку, якщо DEc перевищує величину h – постійна Планка, me* – ефективна маса електрона, DE 1 QW – перший рівень у прямокутній квантовій ямі з нескінченними стінками.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Мінімальний та максимальний розміри Якщо відстань між енергетичними рівнями стають порівнянними з тепловою енергією k. BT, то зростає заселеність високих рівнів. Для квантової точки умова, при якому заселенням вищих рівнів можна знехтувати записується як E 1 QD, E 2 QD – енергії першого та другого рівня розмірного квантування відповідно. Це означає, що переваги розмірного квантування можуть бути повністю реалізовані, якщо ця умова встановлює верхні межі для розмірного квантування. Для Ga. As-Alx. Ga 1 -x. Як це значення становить 12 нм.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Важливою характеристикою будь-якої електронної системи поряд з її енергетичним спектром є щільність станів g(E) (кількість станів, що припадають на один). Для тривимірних кристалів щільність станів визначають з використанням циклічних граничних умов Борна-Кишень, з яких випливає, що компоненти хвильового вектора електрона змінюються не безперервно, а приймають ряд дискретних значень тут ni = 0, ± 1, ± 2, ± 3, а – розміри кристала (у формі куба зі стороною L). Об'єм до-простору, що припадає на один квантовий стан, дорівнює (2)3/V, де V = L 3 – об'єм кристала.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Таким чином, число електронних станів припадає на елемент об'єму dk = dkxdkydkz, розраховане на одиницю об'єму, буде дорівнює тут множник . Число станів, що припадають на одиничний об'єм у зворотному просторі, тобто щільність станів) не залежить від хвильового вектора Іншими словами, у зворотному просторі дозволені стани розподілені з постійною густиною.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Функцію щільності станів за енергією в загальному випадку розрахувати практично неможливо, тому що ізоенергетичні поверхні можуть мати досить складну форму. У найпростішому випадку ізотропного параболічного закону дисперсії, справедливого для країв енергетичних зон, можна знайти кількість квантових станів, що припадають на обсяг сферичного шару, укладеного між двома близькими ізоенергетичними поверхнями, що відповідають енергіям E та E+d. E.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Обсяг сферичного шару в до-просторі. dk – товщина шару. На цей обсяг припадатиме d. N станів Враховуючи зв'язок Е і k за параболічним законом отримаємо Звідси щільність станів по енергії дорівнюватиме m* - ефективна маса електрона
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Таким чином, у тривимірних кристалах з параболічним енергетичним спектром при збільшенні енергії щільність дозволених енергетичних рівнів (щільність станів) буде збільшуватися. Площа заштрихованих областей пропорційна числу рівнів інтервалі енергій d. E
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Обчислимо щільність станів для двовимірної системи. Повна енергія носіїв для ізотропного параболічного закону дисперсії в квантово-розмірній плівці, як показано вище, має змішаний дискретно безперервний спектр. У двовимірній системі стану електрона провідності визначаються трьома числами (n, kx, ky). Енергетичний спектр розбивається деякі двомірні підзони En, відповідні фіксованим значенням n.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Криві постійної енергії є зворотним простором кола. Кожному дискретному квантовому числу n відповідає абсолютне значення z-компоненти хвильового вектора Тому обсяг зворотному просторі, обмежений замкнутою поверхнею даної енергії Е у разі двовимірної системи розбивається на ряд перерізів.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Визначимо залежність щільності станів від енергії для двовимірної системи. Для цього при заданому n знайдемо площу S кільця, обмеженого двома ізоенергетичними поверхнями, що відповідають енергіям E та E+d. E: Тут Величина двовимірного хвильового вектора, що відповідає даним n та E; dkr – ширина кільця. Оскільки одному стану в площині (kxky) відповідає площа де L 2 – площа двомірної плівки товщиною а, число електронних станів у кільці, розраховане на одиницю об'єму кристала, дорівнює з урахуванням спина електрона
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Оскільки тут - енергія, що відповідає дну n-ої підзони. Таким чином, щільність станів у двовимірній плівці де Q(Y) – одинична функція Хевісайду, Q(Y) =1 при Y≥0 і Q(Y) =0 при Y
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у двовимірній плівці можна також представити у вигляді - ціла частина, рівна числу підзон, дно яких знаходиться нижче енергії Е. Таким чином, для двох будь-якій підзоні постійна і не залежить від енергії. Кожна підзона дає однаковий внесок у загальну густину станів. При фіксованій товщині плівки щільність станів змінюється стрибком, коли зміниться на одиницю.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Залежність щільності станів двовимірної плівки від енергії (а) та товщини а (б).
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності У разі довільного закону дисперсії або при іншому виді потенційної ями залежності щільності стану від енергії та товщини плівки можуть відрізнятися від наведених вище, проте основна особливість.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Обчислимо щільність станів для одновимірної структури – квантової нитки. Ізотропний параболічний закон дисперсії в цьому випадку можна записати у вигляді х спрямована вздовж квантової нитки, d – товщина квантової нитки вздовж осей y та z, kx – одновимірний хвильовий вектор. m, n - цілі позитивні числа, що характеризують де вісь квантові підзони. Енергетичний спектр квантової нитки розбивається, таким чином, на окремі одномірні підзони (параболи), що перекриваються. Рух електронів уздовж осі x виявляється вільним (але з ефективною масою), а вздовж двох інших осей рух обмежений.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Енергетичний спектр електронів для квантової нитки
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій нитці від енергії Число квантових станів, що припадають на інтервал dkx , розраховане на одиницю з n m де
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій нитці від енергії Отже При виведенні цієї формули враховано спинове виродження станів і те, що одному інтервалу. E відповідають два інтервали ±dkx кожної підзони, для якої (E-En, m) > 0. Енергія E відраховується від дна зони провідності масивного зразка.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій нитці від енергії Залежність щільності станів квантової нитки від енергії. Цифри у кривих показують квантові числа n та m. У дужках вказані фактори виродження рівнів підзон.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій нитці від енергії У межах окремої підзони щільність станів зменшується зі збільшенням енергії. Повна щільність станів є суперпозицією однакових спадних функцій (відповідних окремим підзон), зміщених по осі енергії. При Е = E m, n густина станів дорівнює нескінченності. Підзони з квантовими числами n m виявляються двічі виродженими (лише Ly = Lz d).
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій точці від енергії При тривимірному обмеженні руху частинок ми приходимо до завдання про знаходження дозволених станів у квант. Використовуючи наближення ефективної маси та параболічний закон дисперсії, для краю ізотропної енергетичної зони спектр дозволених станів квантової точки з однаковим розміром d вздовж усіх трьох координатних осей матиме вигляд n, m, l = 1, 2, 3… – позитивні числа, що нумерують підзони. Енергетичний спектр квантової точки є набір дискретних дозволених станів, відповідних фіксованим n, m, l.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів на одиницю на один Виродження рівнів насамперед визначається симетрією задачі. g – фактор виродження рівня
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій точці від енергії Виродження рівнів насамперед визначається симетрією завдання. Наприклад, для розглянутого випадку квантової точки з однаковими розмірами у всіх трьох вимірах, рівні будуть триразово вироджені, якщо два квантові числа рівні між собою і не рівні третьому, і шестиразово вироджені, якщо всі квантові числа не рівні між собою. Конкретний вид потенціалу також може призводити до додаткового, так званого випадкового виродження. Наприклад, для аналізованої квантової точки, до триразового виродження рівнів E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), пов'язаному з симетрією завдання, додається випадкове виродження E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 як у першому, так і в другому випадках), пов'язане з видом обмежує потенціалу (нескінченна прямокутна потенційна яма).
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій точці від енергії Розподіл числа дозволених станів N у зоні провідності для квантової точки з однаковими розмірами у всіх трьох вимірах. Цифри позначають квантові числа; у дужках вказано фактори виродження рівнів.
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Тривимірні електронні системи Властивості рівноважних електронів у напівпровідниках залежать від ферміївської функції розподілу, яка визначає ймовірність того, що електрон буде перебувати в квантовому стані , k - Постійна Больцмана. Обчислення різних статистичних величин значно спрощується, якщо рівень Фермі лежить у забороненій зоні енергій і віддалений від дна зони провідності Ес (Ec – EF) > k. T. Тоді у розподілі Фермі-Дірака одиницею у знаменнику можна знехтувати і він перетворюється на розподіл Максвелла-Больцмана класичної статистики. Це випадок невиродженого напівпровідника
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Тривимірні електронні системи Функція розподілу щільності станів у зоні провідності g(E), функція Фермі-Дірака для трьох температур та функція Максвелла-Больц. При Т = 0 функція Фермі-Дірака має вигляд розривної функції. Для Е EF функція дорівнює нулю та відповідні квантові стани абсолютно вільні. За Т > 0 функція Фермі. Дірака розмивається на околиці енергії Фермі, де вона швидко змінюється від 1 до 0 і це розмиття пропорційно k. T, тобто тим більше, що вище температура. (Мал. 1. 4. Гуртов)
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Тривимірні електронні системи Концентрація електронів у зоні провідності знаходиться шляхом підсумовування по всіх станах Зазначимо, що як верхня межа в цьому інтегралі ми повинні були б взяти енергію зони Але оскільки функція Фермі-Дірака для енергій E>EF експоненційно швидко зменшується зі збільшенням енергії, то заміна верхньої межі на нескінченність не змінює значення інтеграла. Підставляючи в інтеграл значення функцій, отримаємо ефективна щільність станів у зоні провідності
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Двомірні електронні системи Визначимо концентрацію носія заряду у двомірному електронному газі. Оскільки щільність станів двовимірного електронного газу Отримаємо тут також верхню межу інтегрування взято рівним нескінченності, враховуючи різку залежність функції розподілу Фермі-Дірака від енергії. Інтегруючи де
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Двовимірні електронні системи Для невиродженого електронного газу, коли У разі надтонких плівок, коли можна враховувати заповнення лише нижньої підзони При сильному виродженні електронного газу, коли де n
ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Слід зазначити, що в квантово-розмірних системах за рахунок меншої щільності станів умова повного виродження не вимагає екстремально високих концентрацій або низьких температур і досить часто реалізується в експеримент. Наприклад, у n-Ga. As при N 2 D = 1012 см-2 виродження матиме місце вже за кімнатної температури. У квантових нитках інтеграл до розрахунку, на відміну двомірного і тривимірного випадків не обчислюється аналітично довільному виродженні, і найпростіші формули може бути написані лише граничних випадках. У невиродженому одновимірному електронному газі у разі надтонких ниток, коли можна враховувати заповнення лише нижчого рівня з енергією Е 11 концентрація електронів де одномірна ефективна щільність станів
рівні енергії (атомні, молекулярні, ядерні)
1. Характеристики стану квантової системи
2. Енергетичний рівень атомів
3. Енергетичні рівні молекул
4. Енергетичні рівні ядер
Характеристики стану квантової системи
У основі пояснення св-в атомів, молекул та атомних ядер, тобто. явищ, що у елементах обсягу з лінійними масштабами 10 -6 -10 -13 див, лежить квантова механіка. Згідно з квантовою механікою, будь-яка квантова система (тобто система мікрочастинок, яка підпорядковується квантовим законам) характеризується певним набором станів. У загальному випадку цей набір станів може бути дискретним (дискретний спектр станів), так і безперервним (безперервний спектр станів). Характеристиками стану ізольованої системи явл. внутрішня енергія системи (усюди далі просто енергія), повний момент кількості руху (МКД) та парність.
Енергія системи.
Квантова система, перебуваючи в різних станах, має, взагалі кажучи, різну енергію. Енергія зв'язаної системи може набувати будь-яких значень. Цей набір можливих значень енергії зв. дискретним енергетичним спкетром, а про енергію кажуть, що вона квантується. Прикладом може бути енергетич. спектр атома (див. нижче). Незв'язана система взаємодіючих частинок має безперервний енергетичний спектр, а енергія може приймати довільні значення. Прикладом такої системи явл. вільний електрон (Е) у кулонівському полі атомного ядра. Безперервний енергетичний спектр можна представити як набір нескінченно великої кількості дискретних станів, між якими енергетич. зазори нескінченно малі.
Стан, до-рому відповідає найменша енергія, можлива для даної системи, зв. основним: решта стану зв. збудженими. Часто буває зручним користуватися умовною шкалою енергії, в якій енергія осн. стану вважається початком відліку, тобто. покладається рівною нулю (у цій умовній шкалі всюди надалі енергія позначається буквою E). Якщо система, перебуваючи в стані n(причому індекс n=1 надається осн. станом), має енергію E n, то кажуть, що система знаходиться на енергетичному рівні E n. Число n, Що нумерує У.е., зв. квантовим числом. У випадку кожен У.е. може характеризуватись не одним квантовим числом, а їх сукупністю; тоді індекс nозначає сукупність цих квантових чисел.
Якщо станом n 1, n 2, n 3,..., n kвідповідає та сама енергія, тобто. один У.е., цей рівень називається виродженим, а число k- Кратністю виродження.
При будь-яких перетвореннях замкнутої системи (і навіть системи у постійному внеш. полі) її повна енергія енергія зберігається незмінною. Тому енергія належить до т.зв. величинам, що зберігаються. Закон збереження енергії випливає з однорідності часу.
Повний момент кількості руху.
Ця величина явл. векторної і виходить додаванням МКД всіх частинок, що входять до системи. Кожна частка володіє як власністю. МКД - спином, і орбітальним моментом, обумовленим рухом частки щодо загального центру мас системи. Квантування МКД призводить до того, що його абс. величина Jнабуває строго певних значень: , де j- квантове число, яке може приймати невід'ємні цілі та напівцілі значення (квантове число орбітального МКД завжди ціле). Проекція МКД на к.-л. вісь зв. магн. квантовим числом і може приймати 2j+1значень: m j = j, j-1,...,-j. Якщо к.-л. момент J
явл. сумою двох ін. моментів , то, згідно з правилами складання моментів у квантовій механіці, квантове число jможе приймати такі значення: j=|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2, а. Аналогічно виробляється підсумування більшої кількості моментів. Прийнято для стислості говорити про МКД системи j, маючи на увазі при цьому момент, абс. величина якого є ; про магн. В квантовому числі говорять просто як про проекцію моменту.
При різних перетвореннях системи, що знаходиться в центрально-симетричному полі, повний МКД зберігається, тобто, як і енергія, він відноситься до величин, що зберігаються. Закон збереження МКД випливає із ізотропії простору. В аксіально-симетричному полі зберігається лише проекція повного МКД на вісь симетрії.
Чесність стану.
У квантової механіки стану системи описуються т.зв. хвильовими ф-ціями. Четність характеризує зміна хвильової ф-ції системи під час операції просторової інверсії, тобто. заміні знаків координат усіх частинок. При такій операції енергія не змінюється, тоді як хвильова ф-ція може або залишитися незмінною (парний стан), або змінити свій знак на протилежний (непарний стан). Парність Pприймає два значення, відповідно. Якщо в системі діють ядерні або ел.-магн. сили, парність зберігається у атомних, молекулярних і ядерних перетвореннях, тобто. ця величина також відноситься до величин, що зберігаються. Закон збереження парності явл. наслідком симетрії простору по відношенню до дзеркальним відображенням і порушується в тих процесах, в яких брало участь слабкі взаємодії.
Квантові переходи
- Переходи системи з одного квантового стану в інший. Такі переходи можуть призводити як до зміни енергії. стану системи, і до її якостей. зміни. Це пов'язані, вільно-пов'язані, вільно-вільні переходи (див. Взаємодія випромінювання з речовиною), напр., збудження, деактивація, іонізація, дисоціація, рекомбінація. Це також хім. та ядерні реакції. Переходи можуть відбуватися під дією випромінювання – випромінювальні (або радіаційні) переходи або при зіткненні даної системи з к.-л. ін системою або часткою - безвипромінювальні переходи. Важливою характеристикою квантового переходу явл. його ймовірність у од. часу, що показує, як часто відбуватиметься цей перехід. Ця величина вимірюється в -1 . Можливості радіації. переходів між рівнями mі n (m>n) з випромінюванням або поглинанням фотона, енергія якого дорівнює , визначаються коефіцієнт. Ейнштейна A mn , B mnі B nm. Перехід із рівня mна рівень nможе відбуватися спонтанно. Імовірність випромінювання фотона B mnу цьому випадку дорівнює A mn. Переходи типу під впливом випромінювання (індуковані переходи) характеризуються ймовірностями випромінювання фотона і поглинання фотона , де - щільність енергії випромінювання з частотою .
Можливість здійснення квантового переходу з даного У.е. на к.-л. інший У.е. означає, що характерне порівн. час , протягом якого система може знаходиться на цьому У.е., звичайно. Воно визначається як величина, обернена до сумарної ймовірності розпаду цього рівня, тобто. сумі ймовірностей всіх можливих переходів з рівня, що розглядається на всі інші. Для радіації. переходів сумарна ймовірність є, а. Кінцевість часу , відповідно до співвідношення невизначеностей , означає, що енергія рівня може бути визначена абсолютно точно, тобто. У.е. має деяку ширину. Тому випромінювання або поглинання фотонів при квантовому переході відбувається не на строго певній частоті, а всередині деякого частотного інтервалу, що лежить в околиці значення. Розподіл інтенсивності всередині цього інтервалу визначається профілем спектральної лінії , що визначає ймовірність того, що частота фотона, випущеного або поглиненого при даному переході, дорівнює :
(1)
де – півширина профілю лінії. Якщо розширення У.е. і спектральних ліній викликано лише спонтанними переходами, таке розширення зв. природним. Якщо у розширенні певну роль відіграють зіткнення системи з ін частинками, то розширення має комбінований характер і величина повинна бути замінена сумою , де обчислюється подібно , але радіац. ймовірності переходів повинні бути замінені на зіткнувальні ймовірності.
Переходи у квантових системах підпорядковуються певним правилам відбору, тобто. правилам, що встановлюють, як можуть змінюватися під час переходу квантові числа, що характеризують стан системи (МКД, парність тощо). Найбільш просто правила відбору формулюються для радіації. переходів. І тут вони визначаються св-вами початкового і кінцевого станів, і навіть квантовими характеристиками випромінюваного чи поглинається фотона, зокрема його МКД і парністю. Найбільшу ймовірність мають т.зв. електричні дипольні переходи Ці переходи здійснюються між рівнями протилежної парності, повні МКД яких брало відрізняються на величину (перехід неможливий). У межах сформованої термінології ці переходи зв. дозволеними. Решта інших типів переходів (магнітний дипольний, електричний квадрупольний тощо) зв. забороненими. Сенс цього терміна полягає лише в тому, що їхні ймовірності виявляються набагато меншими від ймовірностей дипольних електричних переходів. Однак вони не явл. забороненими абсолютно.
