Похилий паралелепіпед: властивості, формули і завдання репетитора з математики. Геометричні фігури

Параллелепипедом називається чотирикутна призма, в підставах якої лежать паралелограми. Висотою паралелепіпеда називають відстань між площинами його підставами. На малюнку висота показана відрізком . Розрізняють два види паралелепіпедів: прямий і похилий. Як правило, репетитор з математики спочатку дає відповідні визначення для призми, а потім переносить їх на паралелепіпед. Ми зробимо також.

Нагадаю, що призма називається прямий, якщо її бічні ребра перпендикулярні підставах, якщо перпендикулярності немає - призму називають похилої. Цю термінологію успадковує і паралелепіпед. Прямий паралелепіпед - ні що інше, як різновид прямої призми, бічне ребро якої збігається з висотою. Зберігаються визначення таких понять, як грань, ребро і вершина, які є загальними для всього сімейства багатогранників. З'являються поняття протилежні грані. У паралелепіпеда 3 пари протилежних граней, 8 вершин ти 12 ребер.

Діагональ паралелепіпеда (діагональ призми) - відрізок, що з'єднує дві вершини многогранника і не лежить ні в одній з його граней.

Діагональне перетин - перетин паралелепіпеда, що проходить через його діагональ і діагональ його заснування.

Властивості похилого паралелепіпеда:
1) Усі його межі - паралелограми, а протилежні грані - рівні паралелограми.
2) Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в цій точки навпіл.
3) Кожен паралелепіпед складається з шести рівних за обсягом трикутних пірамід. Щоб показати їх учневі репетитор з математики повинен відрізати від параллелепепеда половинку його діагональним перерізом і розбити її окремо на 3 піраміди. Їх підстави повинні лежати в різних гранях вихідного паралеллепіпеда. Репетитор математики знайде застосування цієї властивості в аналітичної геометрії. Воно використовується для виведення обсягу піраміди через змішане твір векторів.

Формули об'єму паралелепіпеда:
1), де - площа підстави, h - висота.
2) Обсяг паралелепіпеда дорівнює добутку площі поперечного перерізу на бічне ребро.
Репетитору з математики: Як відомо, формула є загальною для всіх призм і якщо репетитор вже довів її, немає сенсу повторювати те ж саме для паралелепіпеда. Однак в роботі зі учнем середнього рівня (слабкому формула не знадобитися) викладачеві бажано діяти з точністю до навпаки. Призму залишити в спокої, а для паралелепіпеда провести акуратне доказ.
3), де-об'єм однієї з шести трикутних піраміди з яких складається паралелепіпед.
4) Якщо, то

Площею бічної поверхні паралелепіпеда називається сума площ всіх його граней:
Повна поверхня паралелепіпеда - це сума площ всіх його граней, тобто площа + дві площі підстави:.

Про роботу репетитора з похилим параллелепипедом:
Завданнями на похилий паралелепіпед репетитор з математики займається не часто. Імовірність їх появи на ЄДІ досить мала, а дидактика непристойно бідна. Більш-менш пристойна завдання на обсяг похилого паралелепіпеда викликає серйозні проблеми, пов'язані з пределеніе розташування точки Н - підстави його висоти. В цьому випадку репетитора з математики можна порадити обрізати паралелепіпед до однієї з шести його пірамід (про які йде мова в властивості №3), спробувати знайти її обсяг і помножити його на 6.

Якщо бічне ребро паралелепіпеда має рівні кути зі сторонами підстави, то Н лежить на бісектрисі кута A підстави ABCD. І якщо, наприклад, ABCD - ромб, то

Завдання репетитора з математики:
1) Грані паралелепіпеда рівні роіби зі стороною 2 см і гострим кутом. Знайти обсяг паралелепіпеда.
2) В похилому параллелепипеде бічне ребро дорівнює 5 см. Перетин, перпендикулярний йому, є чотирикутником із взаємно перпендикулярними діагоналями, що мають довжини 6см і 8 см. Обчислити обсяг паралеллепіпеда.
3) У похилому параллелепипеде відомо, що, а в онованіі ABCD є ромб зі стороною 2 см і уголом. Визначте обсяг паралелепіпеда.

Репетитор з математики, Олександр Колпаков

або (рівносильно) багатогранник з шістьма гранями, які є паралелограма. Шестигранник.

Паралелограми, з яких складається паралелепіпед є гранямицього паралелепіпеда, сторони цих паралелограмів є ребрами паралелепіпеда, А вершини паралелограмів - вершинами паралелепіпеда. У паралелепіпеда кожна грань є параллелограммом.

Як правило виділяють будь-які 2-е протилежні грані і називають їх підставами паралелепіпеда, А решта межі - бічними гранями паралелепіпеда. Ребра паралелепіпеда, які не належать підстав є бічними ребрами.

2 грані паралелепіпеда, які мають загальне ребро є суміжними, А ті, які не мають спільних ребер - протилежними.

Відрізок, який сполучає 2 вершини, які не належать 1-ої межі є діагоналлю паралелепіпеда.

Довжини ребер прямокутного паралелепіпеда, які не паралельні, є лінійними розмірами (вимірами) Паралелепіпеда. У прямокутного паралелепіпеда 3 лінійних розміру.

Типи паралелепіпеда.

Існує кілька видів паралелепіпедів:

прямим є паралелепіпед з ребром, перпендикулярним площині підстави.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі 3 вимірювання мають рівну величину, є кубом . Кожна з граней куба - це рівні квадрати .

Довільний паралелепіпед.Обсяг і співвідношення в похилому параллелепипеде в основному визначаються за допомогою векторної алгебри. Обсяг паралелепіпеда дорівнює абсолютній величині змішаного твори 3-х векторів, які визначаються 3-ма сторонами паралелепіпеда (які виходять з однієї вершини). Співвідношення між довжинами сторін паралелепіпеда і кутами між ними показує твердження, що визначник Грама даних 3-х векторів дорівнює квадрату їх змішаного твори.

Властивості паралелепіпеда.

• Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
• Всякий відрізок з кінцями, які належать поверхні паралелепіпеда і який проходить через середину його діагоналі, ділиться нею на дві рівні частини. Все діагоналі паралелепіпеда перетинаються в 1-ій точці і діляться нею на дві рівні частини.
• Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і мають рівні розміри.
• Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює

На цьому уроці всі бажаючі зможуть вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний і прямий паралелепіпеди, згадаємо властивості їх протилежних граней і діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, і обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих і площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1, ВСС 1 В 1, СDD 1 С 1, DАА 1 D 1, називається параллелепипедом (Рис. 1).

Мал. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівних паралелограма АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 (підстави), вони лежать в паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1, ВВ 1, DD 1, СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхню називається параллелепипедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, у тому числі складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

наприклад:

АВСD \u003d А 1 В 1 С 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В \u003d DD 1 С 1 С (так як АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D \u003d ВВ 1 С 1 С (так як АА 1 D 1 D і ВВ 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1, В 1 D, А 1 С, D 1 В перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і поділяються точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - АА 1, ВВ 1, СС 1, DD 1.

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні підставах.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярно основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна прямим АD і АВ, які лежать в площині підстави. А, значить, в бічних гранях лежать прямокутники. А в підставах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD \u003d φ, кут φ може бути будь-яким.

Мал. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні підставах паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Підстави є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDЕ 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині підстави, тобто паралелепіпед прямий).

2. ∠ВАD \u003d 90 °, т. Е. В основі лежить прямокутник.

Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда. Але є додаткові властивості, які виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.

Отже, прямокутний паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні основі. Підстава прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні основі. Значить, все бічні межі прямокутного паралелепіпеда - прямокутники.

3. Всі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, т. Е. Двогранний кут між площинами АВВ 1 і АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - в площині АВВ 1, а точка D в інший - в площині А 1 В 1 С 1 D 1. Тоді розглянутий двогранний кут можна ще визначити таким чином: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребрі АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребру АВ в площині АВВ- 1, AD перпендикуляр до ребру АВ в площині АВС. Значить, ∠А 1 АD - лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD \u003d 90 °, значить, двогранний кут при ребрі АВ дорівнює 90 °.

∠ (АВВ 1, АВС) \u003d ∠ (АВ) \u003d ∠А 1 АВD \u003d ∠А 1 АD \u003d 90 °.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСD 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести:.

Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед

Доведення:

Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, а значить, і прямий АС. Значить, трикутник СС 1 А - прямокутний. По теоремі Піфагора:

Розглянемо прямокутний трикутник АВС. По теоремі Піфагора:

Але ВС і AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, ВС \u003d AD. тоді:

Так як , а , То. Оскільки СС 1 \u003d АА 1, то що й потрібно було довести.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Позначимо вимірювання паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. Рис. 6), тоді АС 1 \u003d СА 1 \u003d В 1 D \u003d D В 1 \u003d