Sinus, kosinus, burchak tangensining ta'riflari va belgilari. Raqamlar doirasining asosiy nuqtalarining kosinuslari va sinuslari qiymatlarini qanday eslab qolish kerak Trigonometrik doira ijobiy va salbiy

Oddiy qilib aytganda, bu maxsus retsept bo'yicha suvda pishirilgan sabzavotlar. Men ikkita boshlang'ich komponentni (sabzavotli salat va suv) va tayyor natijani - borschni ko'rib chiqaman. Geometrik jihatdan bu to'rtburchaklar shaklida ifodalanishi mumkin, unda bir tomoni marulni, ikkinchi tomoni suvni bildiradi. Bu ikki tomonning yig'indisi borschni bildiradi. Bunday "borsch" to'rtburchakning diagonali va maydoni sof matematik tushunchalar bo'lib, hech qachon borsch retseptlarida ishlatilmaydi.

Marul va suv matematika nuqtai nazaridan qanday qilib borschga aylanadi? Ikki segmentning yig'indisi qanday qilib trigonometriyaga aylanishi mumkin? Buni tushunish uchun bizga chiziqli burchak funktsiyalari kerak.

Matematika darsliklarida chiziqli burchak funksiyalari haqida hech narsa topa olmaysiz. Ammo ularsiz matematika bo'lishi mumkin emas. Tabiat qonunlari kabi matematika qonunlari ham bor yoki yo'qligini bilsak ham ishlaydi.

Chiziqli burchak funktsiyalari qo'shish qonunlari. Qanday qilib algebra geometriyaga, geometriya esa trigonometriyaga aylanishiga qarang.

Chiziqli burchak funktsiyalarisiz qilish mumkinmi? Siz buni qila olasiz, chunki matematiklar hali ham ularsiz boshqarishadi. Matematiklarning hiylasi shundaki, ular har doim bizga faqat o'zlari hal qila oladigan muammolar haqida gapirib berishadi va hech qachon o'zlari hal qila olmaydigan muammolar haqida gapirmaydilar. Qarang. Agar qo'shish va bir hadning natijasini bilsak, boshqa atamani topish uchun ayirishdan foydalanamiz. Hamma narsa. Biz boshqa muammolarni bilmaymiz va ularni hal qila olmaymiz. Agar biz faqat qo'shish natijasini bilsak va ikkala shartni ham bilmasak nima qilish kerak? Bunday holda, qo'shish natijasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida ikkita atamaga ajralishi kerak. Bundan tashqari, biz bir atama nima bo'lishi mumkinligini o'zimiz tanlaymiz va chiziqli burchak funktsiyalari qo'shilish natijasi bizga kerak bo'lgan narsa bo'lishi uchun ikkinchi haddan qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatadi. Bunday juft atamalar cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. Kundalik hayotda biz yig'indini ajratmasdan juda yaxshi ishlaymiz, biz uchun ayirish etarli. Ammo tabiat qonunlarini ilmiy tadqiq qilishda yig‘indini atamalarga ko‘paytirish juda foydali bo‘lishi mumkin.

Matematiklar haqida gapirishni yoqtirmaydigan yana bir qo'shish qonuni (ularning yana bir hiylasi) atamalarning bir xil o'lchov birligiga ega bo'lishini talab qiladi. Salat, suv va borsch uchun bu og'irlik, hajm, xarajat yoki o'lchov birliklari bo'lishi mumkin.

Rasmda matematika uchun ikki darajadagi farq ko'rsatilgan. Birinchi daraja - bu ko'rsatilgan raqamlar sohasidagi farqlar a, b, c. Matematiklar shunday qilishadi. Ikkinchi daraja - kvadrat qavs ichida ko'rsatilgan va harf bilan ko'rsatilgan o'lchov birliklari sohasidagi farqlar. U. Bu fiziklarning qiladigan ishi. Biz uchinchi darajani - tasvirlangan ob'ektlar doirasidagi farqlarni tushunishimiz mumkin. Turli ob'ektlar bir xil o'lchov birliklarining bir xil soniga ega bo'lishi mumkin. Bu qanchalik muhimligini borsch trigonometriyasi misolida ko'rishimiz mumkin. Agar biz har xil ob'ektlarning o'lchov birliklari uchun bir xil yozuvga pastki belgilar qo'shsak, biz aniq qanday matematik miqdor ma'lum bir ob'ektni tasvirlashini va vaqt o'tishi bilan yoki bizning harakatlarimiz bilan bog'liq holda qanday o'zgarishini aytishimiz mumkin. xat V Men suvni harf bilan belgilayman S Men salatni xat bilan belgilayman B- borsch. Borsch uchun chiziqli burchak funktsiyalari qanday ko'rinishga ega bo'ladi.

Agar suvning bir qismini va salatning bir qismini olsak, ular birgalikda borschning bitta porsiyasiga aylanadi. Bu erda men sizga borschdan bir oz dam olishni va uzoq bolaligingizni eslashni taklif qilaman. Esingizdami, bizga quyon va o'rdaklarni birlashtirishga qanday o'rgatilgan? Qancha hayvonlar paydo bo'lishini topish kerak edi. Keyin bizga nima qilishni o'rgatishdi? Bizga raqamlardan birliklarni ajratish va raqamlarni qo'shish o'rgatilgan. Ha, istalgan raqamni istalgan boshqa raqamga qo'shish mumkin. Bu zamonaviy matematikaning autizmiga to'g'ridan-to'g'ri yo'l - biz nima ekanligini tushunmayapmiz, nima uchun aniq emas va bu haqiqat bilan qanday bog'liqligini juda yomon tushunamiz, chunki uch darajadagi farq tufayli matematiklar faqat bittasida ishlaydi. Bir o'lchov birligidan boshqasiga o'tishni o'rganish to'g'riroq bo'ladi.

Va quyonlarni, o'rdaklarni va kichik hayvonlarni bo'laklarga bo'lish mumkin. Turli ob'ektlar uchun bitta umumiy o'lchov birligi ularni bir-biriga qo'shish imkonini beradi. Bu muammoning bolalar versiyasi. Keling, kattalar uchun shunga o'xshash muammoni ko'rib chiqaylik. Quyonlar va pul qo'shsangiz nima olasiz? Bu erda ikkita mumkin bo'lgan yechim mavjud.

Birinchi variant. Biz quyonlarning bozor qiymatini aniqlaymiz va uni mavjud naqd pulga qo'shamiz. Biz boyligimizning umumiy qiymatini pul shaklida oldik.

Ikkinchi variant. Bizdagi banknotlar soniga quyonlar sonini qo'shishingiz mumkin. Biz ko'char mulk miqdorini bo'laklarga bo'lamiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil qo'shish qonuni turli xil natijalarga erishishga imkon beradi. Bularning barchasi biz nimani aniq bilmoqchi ekanligimizga bog'liq.

Ammo bizning borschimizga qayting. Endi chiziqli burchak funktsiyalari burchagining turli qiymatlari uchun nima sodir bo'lishini ko'rishimiz mumkin.

Burchak nolga teng. Bizda salat bor, lekin suv yo'q. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori ham nolga teng. Bu umuman nol borsch nol suvga teng degani emas. Nolinchi borsch nol salatida ham bo'lishi mumkin (to'g'ri burchak).

Shaxsan men uchun bu haqiqatning asosiy matematik isbotidir. Nol qo'shilganda raqamni o'zgartirmaydi. Buning sababi, agar faqat bitta atama bo'lsa va ikkinchi atama etishmayotgan bo'lsa, qo'shishning o'zi mumkin emas. Siz buni xohlaganingizcha bog'lashingiz mumkin, lekin esda tuting - nolga teng bo'lgan barcha matematik operatsiyalarni matematiklarning o'zlari ixtiro qilganlar, shuning uchun mantiqdan voz keching va matematiklar tomonidan ixtiro qilingan ta'riflarni ahmoqlik bilan siqib chiqaring: "nolga bo'linish mumkin emas", "har qanday raqam nolga ko'paytiriladi" nolga teng", "nol nuqtasi orqasida" va boshqa bema'nilik. Nol raqam emasligini bir marta eslash kifoya va sizda nol natural sonmi yoki yo'qmi degan savol hech qachon bo'lmaydi, chunki bunday savol umuman ma'nosini yo'qotadi: qanday qilib raqamni raqam bo'lmagan deb hisoblash mumkin. . Bu ko'rinmas rangni qaysi rangga bog'lashni so'rashga o'xshaydi. Raqamga nol qo‘shish mavjud bo‘lmagan bo‘yoq bilan bo‘yashga o‘xshaydi. Ular quruq cho'tkani silkitib, hammaga "bo'yalganmiz" deb aytishadi. Lekin men biroz chetlanaman.

Burchak noldan katta, ammo qirq besh darajadan kamroq. Bizda juda ko'p salat bor, lekin ozgina suv. Natijada, biz qalin borschni olamiz.

Burchak qirq besh daraja. Bizda teng miqdorda suv va salat bor. Bu mukammal borsch (oshpazlar meni kechirsin, bu faqat matematika).

Burchak qirq besh darajadan kattaroq, lekin to'qson darajadan kamroq. Bizda ko'p suv va ozgina salat bor. Suyuq borschni oling.

To'g'ri burchak. Bizda suv bor. Salat haqida faqat xotiralar qoladi, chunki biz bir marta marulni belgilagan chiziqdan burchakni o'lchashni davom ettiramiz. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori nolga teng. U holda suv bor ekan, ushlab turing va iching)))

Bu yerda. Shunga o'xshash narsa. Men bu erda o'rinli bo'lgan boshqa hikoyalarni aytib bera olaman.

Ikki do'st umumiy biznesda o'z ulushlariga ega edi. Ulardan biri o'ldirilganidan keyin hammasi ikkinchisiga o'tdi.

Sayyoramizda matematikaning paydo bo'lishi.

Bu hikoyalarning barchasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida matematika tilida aytiladi. Boshqa payt men sizga bu funktsiyalarning matematika tuzilishidagi haqiqiy o'rnini ko'rsataman. Shu bilan birga, keling, borschning trigonometriyasiga qaytaylik va proektsiyalarni ko'rib chiqaylik.

Shanba, 26 oktyabr, 2019 yil

haqida qiziqarli video tomosha qildim Grandi qatori Bir minus bir plyus bir minus bir - Numberphile. Matematiklar yolg'on gapirishadi. Ular fikrlashlarida tenglik testini o'tkazmadilar.

Bu mening mulohazalarim bilan aks sado beradi.

Keling, matematiklar bizni aldash belgilarini batafsil ko'rib chiqaylik. Mulohazalarning boshida matematiklar ketma-ketlikning yig'indisi undagi elementlar soni juft bo'ladimi yoki yo'qligiga bog'liqligini aytadilar. Bu OBYEKTİV TAQDIMLANGAN FAKT. Keyin nima bo'ladi?

Keyinchalik, matematiklar ketma-ketlikni birlikdan olib tashlashadi. Bu nimaga olib keladi? Bu ketma-ketlikdagi elementlar sonining o'zgarishiga olib keladi - juft son toq songa, toq raqam juft songa o'zgaradi. Axir, biz ketma-ketlikka bir elementga teng element qo'shdik. Barcha tashqi o'xshashlikka qaramay, transformatsiyadan oldingi ketma-ketlik transformatsiyadan keyingi ketma-ketlikka teng emas. Cheksiz ketma-ketlik haqida gapiradigan bo'lsak ham, toq sonli elementlarga ega bo'lgan cheksiz ketma-ketlik juft sonli cheksiz ketma-ketlikka teng emasligini yodda tutishimiz kerak.

Elementlar soni bo'yicha har xil bo'lgan ikkita ketma-ketlik orasiga teng belgi qo'yib, matematiklar ketma-ketlikning yig'indisi ketma-ketlikdagi elementlar soniga BOG'LI EMAS, deb ta'kidlaydilar, bu esa OB'YEKTIV TAQDIMLANGAN FAKTga zid keladi. Cheksiz ketma-ketlikning yig'indisi haqidagi keyingi fikr noto'g'ri, chunki u noto'g'ri tenglikka asoslanadi.

Agar matematiklar isbotlash jarayonida qavs qo'yishlarini, matematik ifoda elementlarini qayta tartibga solishlarini, biror narsa qo'shishlarini yoki olib tashlashlarini ko'rsangiz, juda ehtiyot bo'ling, ehtimol ular sizni aldashga harakat qilmoqda. Karta sehrgarlari singari, matematiklar oxir-oqibat sizga noto'g'ri natija berish uchun iboraning turli xil manipulyatsiyalari bilan sizning e'tiboringizni chalg'itadi. Agar siz aldash sirini bilmagan holda karta hiylasini takrorlay olmasangiz, matematikada hamma narsa ancha sodda: siz aldash haqida hech narsadan shubhalanmaysiz, lekin matematik ifoda bilan barcha manipulyatsiyalarni takrorlash sizga boshqalarni ishontirishga imkon beradi. Natijaning to'g'riligi, xuddi sizni ishontirgan paytdagidek.

Tomoshabinlar savoli: Va cheksizlik (S ketma-ketligidagi elementlar soni sifatida), u juftmi yoki toqmi? Pariteti bo'lmagan narsaning paritetini qanday o'zgartirish mumkin?

Matematiklar uchun cheksizlik ruhoniylar uchun Osmon Shohligiga o'xshaydi - u erda hech kim bo'lmagan, lekin hamma narsa u erda qanday ishlashini aniq biladi))) Men roziman, o'limdan keyin siz juft yoki toq kunlar yashaganingizga mutlaqo befarq bo'lasiz. , lekin ... Hayotingizning boshida faqat bir kun qo'shsangiz, biz butunlay boshqa odamni olamiz: uning familiyasi, ismi va otasining ismi aynan bir xil, faqat tug'ilgan sanasi butunlay boshqacha - u bitta tug'ilgan sizdan bir kun oldin.

Va endi gapga))) Faraz qilaylik, paritetga ega bo'lgan chekli ketma-ketlik cheksizlikka ketayotganda bu paritetni yo'qotadi. U holda cheksiz ketma-ketlikning har qanday chekli segmenti ham paritetini yo'qotishi kerak. Biz buni kuzatmayapmiz. Cheksiz ketma-ketlikdagi elementlar sonining juft yoki toq ekanligini aniq ayta olmasligimiz, umuman paritet yo‘qolganligini anglatmaydi. Paritet, agar u mavjud bo'lsa, o'tkirroq kartaning yengida bo'lgani kabi, abadiylikka izsiz yo'qolmaydi. Bu holat uchun juda yaxshi o'xshashlik mavjud.

Soatda o'tirgan kakukdan soat qo'li qaysi tomonga aylanishini so'raganmisiz? Uning uchun o'q biz "soat yo'nalishi bo'yicha" deb ataydigan narsaga teskari yo'nalishda aylanadi. Bu paradoksal tuyulishi mumkin, lekin aylanish yo'nalishi faqat biz aylanishni qaysi tomondan kuzatishimizga bog'liq. Shunday qilib, bizda aylanadigan bitta g'ildirak bor. Aylanish qaysi yo'nalishda sodir bo'lishini ayta olmaymiz, chunki biz uni aylanish tekisligining bir tomonidan ham, boshqa tomonidan ham kuzatishimiz mumkin. Biz faqat aylanish borligiga guvohlik bera olamiz. Cheksiz ketma-ketlikning pariteti bilan to'liq o'xshashlik S.

Endi ikkinchi aylanuvchi g'ildirakni qo'shamiz, uning aylanish tekisligi birinchi aylanadigan g'ildirakning aylanish tekisligiga parallel. Bu g‘ildiraklar qaysi yo‘nalishda aylanayotganini hozircha aniq ayta olmaymiz, lekin ikkala g‘ildirak ham bir yo‘nalishda yoki qarama-qarshi yo‘nalishda aylanayotganini mutlaq ishonch bilan ayta olamiz. Ikki cheksiz ketma-ketlikni solishtirish S va 1-S, Men matematika yordamida bu ketma-ketliklar har xil paritetga ega ekanligini va ular orasiga teng belgi qo'yish xato ekanligini ko'rsatdim. Shaxsan men matematikaga ishonaman, matematiklarga ishonmayman))) Aytgancha, cheksiz ketma-ketliklarning o'zgarishi geometriyasini to'liq tushunish uchun tushunchani kiritish kerak. "bir vaqtning o'zida". Buni chizish kerak bo'ladi.

Chorshanba, 7-avgust, 2019-yil

Haqida suhbatni yakunlab, biz cheksiz to'plamni ko'rib chiqishimiz kerak. Shuni ta'kidlash kerakki, "cheksizlik" tushunchasi quyondagi boa konstriktori kabi matematiklarga ta'sir qiladi. Cheksizlikning titroq dahshati matematiklarni sog'lom fikrdan mahrum qiladi. Mana bir misol:

Asl manba joylashgan. Alpha haqiqiy sonni bildiradi. Yuqoridagi ifodalardagi tenglik belgisi cheksizlikka son yoki cheksizlik qo‘shilsa, hech narsa o‘zgarmasligini, natijada bir xil cheksizlik bo‘lishini ko‘rsatadi. Misol tariqasida cheksiz natural sonlar to'plamini oladigan bo'lsak, ko'rib chiqilayotgan misollarni quyidagicha ifodalash mumkin:

O'z holatlarini vizual tarzda isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli xil usullarni ishlab chiqdilar. Shaxsan men bu usullarning barchasiga shamanlarning daflar bilan raqslari sifatida qarayman. Aslini olganda, ularning barchasi yo ba'zi xonalarda band bo'lmagani va ularga yangi mehmonlar joylashtirilgani yoki mehmonlarning ba'zilari mehmonlarga joy berish uchun (juda insoniy) yo'lakka uloqtirilganiga to'g'ri keladi. Men bunday qarorlar haqida o'z nuqtai nazarimni Blonde haqida fantastik hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslanadi? Cheksiz miqdordagi tashrif buyuruvchilarni ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Birinchi mehmon xonasini bo'shatganimizdan so'ng, tashrif buyuruvchilardan biri har doim o'z xonasidan ikkinchisiga koridor bo'ylab vaqt oxirigacha yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu allaqachon "qonun ahmoqlar uchun yozilmagan" toifasidan bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.

"Cheksiz mehmonxona" nima? Infinity inn - bu qancha xona band bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh ish o'rinlari soni bo'lgan mehmonxona. Agar "tashrif buyuruvchilar uchun" cheksiz koridordagi barcha xonalar band bo'lsa, "mehmonlar" uchun xonalari bo'lgan yana bir cheksiz koridor mavjud. Bunday koridorlar cheksiz ko'p bo'ladi. Shu bilan birga, “cheksiz mehmonxona” cheksiz sonli xudolar tomonidan yaratilgan cheksiz koinotlardagi cheksiz sonli sayyoralardagi cheksiz sonli binolarda cheksiz sonli qavatlarga ega. Matematiklar esa oddiy kundalik muammolardan uzoqlasha olmaydilar: Xudo-Alloh-Budda har doim bitta, mehmonxona bitta, yo'lak bitta. Shunday qilib, matematiklar mehmonxona xonalarining seriya raqamlarini o'zgartirishga harakat qilmoqdalar, bu bizni "itarilmaganni itarib yuborish" mumkinligiga ishontirmoqda.

Men sizga cheksiz natural sonlar to'plami misolida o'z mulohazalarim mantiqini ko'rsataman. Avval siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: natural sonlarning nechta to'plami mavjud - bitta yoki ko'p? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz o'zimiz raqamlarni ixtiro qilganmiz, tabiatda raqamlar yo'q. Ha, Tabiat qanday qilib mukammal hisoblashni biladi, lekin buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiat o'ylagandek, men sizga boshqa safar aytaman. Biz raqamlarni ixtiro qilganimiz sababli, natural sonlarning nechta to'plami mavjudligini o'zimiz hal qilamiz. Haqiqiy olimga mos keladigan ikkala variantni ham ko'rib chiqing.

Birinchi variant. Tokchada osoyishta yotgan natural sonlarning bitta to'plami "Bizga berilsin". Biz bu to'plamni javondan olamiz. Hammasi bo'ldi, javonda boshqa natural sonlar qolmadi va ularni olib ketadigan joy ham yo'q. Biz bu to'plamga bitta qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Agar chindan ham xohlasangiz nima bo'ladi? Muammosiz. Biz allaqachon olgan to'plamdan birlik olib, uni javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz rafdan bir birlikni olib, bizda qolgan narsalarga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz natural sonlar to'plamini olamiz. Siz bizning barcha manipulyatsiyalarimizni shunday yozishingiz mumkin:

Men to‘plam elementlarini batafsil sanab, algebraik yozuvda va to‘plam nazariyasi yozuvida amallarni yozdim. Pastki belgisi bizda bitta va yagona natural sonlar to'plamiga ega ekanligini bildiradi. Ma’lum bo‘lishicha, natural sonlar to‘plami undan bittasi ayirib, xuddi shu son qo‘shilsagina o‘zgarishsiz qoladi.

Ikkinchi variant. Bizda ko'plab cheksiz natural sonlar to'plami mavjud. Men ta'kidlayman - TURLI, garchi ular amalda farqlanmaydi. Biz ushbu to'plamlardan birini olamiz. Keyin boshqa natural sonlar to'plamidan bittasini olamiz va uni allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita natural sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Biz nimaga erishamiz:

"Bir" va "ikki" pastki belgisi bu elementlarning turli to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bitta qo'shsangiz, natijada ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Agar bitta cheksiz to‘plamga yana bir cheksiz to‘plam qo‘shilsa, natijada birinchi ikki to‘plamning elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to‘plam hosil bo‘ladi.

Natural sonlar to'plami o'lchov uchun o'lchagich bilan bir xil tarzda hisoblash uchun ishlatiladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shganingizni tasavvur qiling. Bu allaqachon boshqa chiziq bo'ladi, asl nusxaga teng emas.

Siz mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning shaxsiy ishingiz. Ammo, agar siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklarning avlodlari tomonidan bosib olingan yolg'on fikrlash yo'lida ekanligingizni o'ylab ko'ring. Zero, matematika darslari, birinchi navbatda, bizda tafakkurning barqaror stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina ular bizga aqliy qobiliyatlarni qo'shadi (yoki aksincha, ular bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).

pozg.ru

Yakshanba, 4-avgust, 2019-yil

Men maqolaga postkript yozayotgan edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:

Biz o'qiymiz: "... Bobil matematikasining boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas edi va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga qisqartirildi".

Voy-buy! Biz qanchalik aqllimiz va boshqalarning kamchiliklarini qanchalik yaxshi ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil kontekstda qarash biz uchun zaifmi? Yuqoridagi matnni biroz izohlab, shaxsan men quyidagilarni oldim:

Zamonaviy matematikaning boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli bo'limlar to'plamiga qisqartiriladi.

So'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - bu matematikaning boshqa ko'plab sohalari tili va qoidalaridan farq qiladigan til va shartlarga ega. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'noga ega bo'lishi mumkin. Men nashrlarning butun tsiklini zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.

Shanba, 3-avgust, 2019-yil

To‘plamni kichik to‘plamlarga qanday ajratish mumkin? Buning uchun tanlangan to'plamning ba'zi elementlarida mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritishingiz kerak. Bir misolni ko'rib chiqing.

Bizda ko'p bo'lsin LEKIN to'rt kishidan iborat. Bu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan. Keling, ushbu to'plamning elementlarini harf orqali belgilaymiz. a, raqam bilan pastki belgisi ushbu to'plamdagi har bir shaxsning tartib raqamini ko'rsatadi. Keling, yangi "jinsiy xususiyat" o'lchov birligini kiritamiz va uni harf bilan belgilaymiz b. Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz LEKIN jins bo'yicha b. E'tibor bering, bizning "odamlar" to'plami endi "jinsli odamlar" to'plamiga aylandi. Shundan so'ng biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarga ajratishimiz mumkin bm va ayollar bw gender xususiyatlari. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz, qaysi biri erkak yoki ayol ekanligi muhim emas. Agar u odamda mavjud bo'lsa, unda biz uni birga ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz odatiy maktab matematikasini qo'llaymiz. Nima bo'lganini ko'ring.

Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tartibga solishdan so'ng biz ikkita kichik to'plamni oldik: erkak kichik to'plam bm va ayollarning bir qismi bw. Matematiklar to'plam nazariyasini amaliyotda qo'llashda taxminan xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizga tafsilotlarga ruxsat bermaydi, balki yakuniy natijani beradi - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning kichik to'plamidan iborat". Tabiiyki, sizda savol tug'ilishi mumkin, yuqoridagi o'zgarishlarda matematika qanchalik to'g'ri qo'llaniladi? Sizni ishontirishga jur'at etamanki, aslida o'zgartirishlar to'g'ri bajarilgan, arifmetika, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa bo'limlarining matematik asoslarini bilish kifoya. Bu nima? Boshqa payt men sizga bu haqda aytib beraman.

Supersetlarga kelsak, ushbu ikkita to'plamning elementlarida mavjud bo'lgan o'lchov birligini tanlash orqali ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtirish mumkin.

Ko'rib turganingizdek, o'lchov birliklari va umumiy matematika to'plamlar nazariyasini o'tmishdagi narsaga aylantiradi. To'plamlar nazariyasida hamma narsa yaxshi emasligining belgisi shundaki, matematiklar to'plamlar nazariyasi uchun o'z tillari va yozuvlarini o'ylab topishgan. Matematiklar bir paytlar shamanlar qilgan ishni qilishgan. Faqat shamanlar o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni bilishadi. Bu "bilim"ni ular bizga o'rgatadi.

Xulosa qilib aytganda, men sizga matematiklar qanday manipulyatsiya qilishini ko'rsatmoqchiman
Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Axilles bu masofani bosib o'tgan vaqt davomida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganida, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon cheksiz davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetmaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Bularning barchasi u yoki bu tarzda Zenon aporiyalarini ko‘rib chiqdilar. Shok shu qadar kuchli ediki " ... hozirgi vaqtda munozaralar davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslarning mohiyati haqida umumiy fikrga kela olmadi ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilindi. ; ularning hech biri muammoning umume'tirof etilgan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya," Zenon's Aporias "]. Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin aldash nima ekanligini hech kim tushunmaydi.

Matematika nuqtai nazaridan Zenon o'z aporiyasida qiymatdan o'tishni aniq ko'rsatdi. Bu o'tish doimiylar o'rniga qo'llashni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklarini qo'llash uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga tatbiq etilmagan. Bizning odatiy mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz, fikrlash inertsiyasiga ko'ra, o'zaro vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda vaqt butunlay sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'ta olmaydi.

Agar biz o'rgangan mantiqni aylantirsak, hamma narsa o'z o'rniga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi segmenti avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar bu vaziyatda “cheksizlik” tushunchasini qo‘llasak, “Axilles toshbaqadan cheksiz tezlikda o‘zib ketadi” desak to‘g‘ri bo‘ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Vaqtning doimiy birliklarida qoling va o'zaro qiymatlarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu tomonga yuz qadam emaklaydi. Keyingi vaqt oralig'ida, birinchisiga teng, Axilles yana ming qadam yuguradi va toshbaqa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining engib bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Bu muammoni hali o‘rganishimiz, qayta ko‘rib chiqishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchuvchi o'q harakatsiz, chunki u har bir vaqtning har bir daqiqasida dam oladi va har bir vaqtning har bir daqiqasida tinch holatda bo'lgani uchun, u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida turishini aniqlab berish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlash mumkin emas. Avtomobilning harakatlanish faktini aniqlash uchun vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ular masofani aniqlash uchun ishlatib bo'lmaydi. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak bo'ladi, lekin siz ulardan harakatlanish faktini aniqlay olmaysiz (tabiiyki, siz hali ham hisob-kitoblar uchun qo'shimcha ma'lumotlarga muhtojsiz, trigonometriya sizga yordam beradi). Ayniqsa, shuni ta'kidlamoqchimanki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta ikki xil narsadir, ularni chalkashtirmaslik kerak, chunki ular kashfiyot uchun turli imkoniyatlar beradi.
Men jarayonni misol bilan ko'rsataman. Biz "pimple ichidagi qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butun". Shu bilan birga, biz bu narsalarning kamonli va kamonsiz borligini ko'ramiz. Shundan so'ng biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni hosil qilamiz. Shamanlar o'z nazariyasini haqiqatga bog'lash orqali o'zlarini shunday oziqlantiradilar.

Endi bir oz hiyla qilaylik. Keling, "kamon bilan pimple qattiq" ni olaylik va qizil elementlarni tanlab, bu "butun" ni rang bilan birlashtiramiz. Bizda juda ko'p "qizil" bor. Endi qiyin savol: olingan "kamon bilan" va "qizil" bir xil to'plammi yoki ikki xil to'plammi? Javobni faqat shamanlar biladi. Aniqrog'i, ularning o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'lsin.

Bu oddiy misol shuni ko'rsatadiki, to'plam nazariyasi haqiqatga kelganda mutlaqo foydasizdir. Buning siri nimada? Biz "kamon bilan qizil qattiq pimply" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligi bo'yicha amalga oshirildi: rang (qizil), kuch (qattiq), pürüzlülük (bo'shliqda), bezaklar (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami haqiqiy ob'ektlarni matematika tilida etarli darajada tasvirlashga imkon beradi.. Bu qanday ko'rinishga ega.

Turli indeksli "a" harfi turli o'lchov birliklarini bildiradi. Qavslar ichida o'lchov birliklari ta'kidlangan, unga ko'ra "butun" dastlabki bosqichda ajratiladi. Qavslar ichidan to'plam tuzilgan o'lchov birligi olinadi. Oxirgi satr yakuniy natijani ko'rsatadi - to'plam elementi. Ko'rib turganingizdek, agar biz to'plamni shakllantirish uchun birliklardan foydalansak, unda natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu matematika, shamanlarning daf bilan raqslari emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga kelishi mumkin, uni "ravshanlik" bilan bahslasha oladi, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenaliga kiritilmagan.

O'lchov birliklari yordamida bitta to'plamni sindirish yoki bir nechta to'plamlarni bitta supersetga birlashtirish juda oson. Keling, ushbu jarayonning algebrasini batafsil ko'rib chiqaylik.

Oxirgi darsda biz barcha trigonometriyaning asosiy tushunchalarini muvaffaqiyatli o'zlashtirdik (yoki takrorladik - har kimga yoqadi). bu trigonometrik doira , aylana ustidagi burchak , bu burchakning sinusi va kosinasi va ham o'zlashtirdi trigonometrik funksiyalarning choraklardagi belgilari . Batafsil o'rganildi. Barmoqlarda, deyish mumkin.

Lekin bu hali ham yetarli emas. Ushbu oddiy tushunchalarning barchasini amalda muvaffaqiyatli qo'llash uchun bizga yana bir foydali mahorat kerak. Ya'ni, to'g'ri burchaklar bilan ishlash trigonometriyada. Trigonometriyada bu mahoratsiz - hech narsa. Hatto eng ibtidoiy misollarda ham. Nega? Ha, chunki burchak barcha trigonometriyada asosiy harakat qiluvchi raqamdir! Yo'q, trigonometrik funktsiyalar emas, kosinus bilan sinus emas, kotangens bilan tangens emas, ya'ni burchakning o'zi. Burchak yo'q - trigonometrik funktsiyalar yo'q, ha ...

Doira ustidagi burchaklar bilan qanday ishlash kerak? Buning uchun biz ikkita fikrni istehzo bilan o'rganishimiz kerak.

1) Qanday Aylanadagi burchaklar hisobga olinadimi?

2) Nimada ular hisoblanganmi (o'lchanadi)?

Birinchi savolga javob bugungi dars mavzusi. Biz birinchi savolni shu erda va hozir batafsil ko'rib chiqamiz. Ikkinchi savolga javob bu erda berilmaydi. Chunki u ancha rivojlangan. Ikkinchi savolning o'zi kabi, bu juda silliq, ha.) Hozircha tafsilotlarga kirmayman. Bu keyingi alohida darsning mavzusi.

Boshlaylikmi?

Aylanada burchaklar qanday hisoblanadi? Ijobiy va salbiy burchaklar.

Paragrafning sarlavhasini o'qiganlar allaqachon sochlari bo'lishi mumkin. Qanaqasiga?! Salbiy burchaklar? Bu hatto mumkinmi?

salbiyga raqamlar biz allaqachon ko'nikib qolganmiz. Biz ularni raqamli o'qda ifodalashimiz mumkin: musbat noldan o'ngga, salbiy noldan chapga. Ha, va biz vaqti-vaqti bilan derazadan tashqarida termometrga qaraymiz. Ayniqsa, qishda, ayozda.) Va telefondagi pul "minus" da (ya'ni. burch) ba'zan ketadi. Hammasi tanish.

Ammo burchaklar haqida nima deyish mumkin? Ma'lum bo'lishicha, matematikada salbiy burchaklar ham sodir bo'ladi! Hammasi aynan shu burchakni qanday hisoblashga bog'liq ... yo'q, sonlar qatorida emas, balki sonlar doirasida! Aytmoqchimanki, aylanada. Doira - mana, trigonometriyada raqamlar chizig'ining analogi!

Shunday qilib, Doiradagi burchaklar qanday hisoblanadi? Hech narsa qilish kerak emas, biz birinchi navbatda aynan shu doirani chizishimiz kerak.

Men bu chiroyli rasmni chizaman:

Oldingi darsdagi rasmlarga juda o'xshash. Bolta bor, aylana bor, burchak bor. Ammo yangi ma'lumotlar ham bor.

Men o'qlarda 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° va 360 ° raqamlarini ham qo'shdim. Endi bu qiziqroq.) Bu qanday raqamlar? To'g'ri! Bu bizning sobit tomondan o'lchanadigan burchaklarning qiymatlari, ular tushadi koordinata o'qlarida. Esda tutamizki, burchakning qo'zg'almas tomoni doimo OX musbat yarim o'qiga mahkam bog'langan. Va trigonometriyadagi har qanday burchak bu yarim o'qdan o'lchanadi. Burchaklarning bu asosiy kelib chiqishini istehzo bilan yodda tutish kerak. Va o'qlar - ular to'g'ri burchak ostida kesishadi, to'g'rimi? Shunday qilib, biz har chorakda 90 ° qo'shamiz.

Va yana qo'shildi qizil o'q. Plyus bilan. Qizil rang ko'zni qamashtirmoqchi. Va u mening xotiramda yaxshi saqlanib qoldi. Buni ishonchli tarzda eslab qolish kerak.) Bu o'q nimani anglatadi?

Shunday qilib, agar biz burchakka burilsak, chiqadi ortiqcha o'q(soat miliga teskari, choraklarni raqamlash jarayonida), keyin burchak ijobiy deb hisoblanadi! Rasmda misol sifatida +45 ° burchak ko'rsatilgan. Aytgancha, 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° va 360 ° eksenel burchaklar ham plyusda aniq qayta o'ralganligini unutmang! Qizil o'q bilan.

Endi boshqa rasmga qaraylik:

Bu erda deyarli hamma narsa bir xil. Faqat o'qlardagi burchaklar raqamlangan teskari. Soat yo'nalishi bo'yicha. Va ularda minus belgisi bor.) ko'k o'q. Bundan tashqari, minus bilan. Bu strelka aylanadagi burchaklarni manfiy o'qish yo'nalishidir. Agar biz burchakni kechiktirsak, u bizga buni ko'rsatadi soat yo'nalishi bo'yicha, keyin burchak salbiy hisoblanadi. Misol uchun, men -45 ° burchakni ko'rsatdim.

Aytgancha, chorak raqamlari hech qachon o'zgarmasligini unutmang! Burchaklarni ortiqcha yoki minusga o'rashimiz muhim emas. Har doim qat'iy ravishda soat miliga teskari.)

Eslab qoling:

1. Burchaklarni sanashning boshlanishi musbat yarim o'qdan OX. Soat bo'yicha - "minus", soatga nisbatan - "ortiqcha".

2. Choraklarning raqamlanishi burchaklarni hisoblash yo'nalishidan qat'i nazar, har doim soat sohasi farqli o'laroq.

Aytgancha, 0°, 90°, 180°, 270°, 360° oʻqlardagi burchaklarni imzolash, har safar aylana chizish umuman shart emas. Bu faqat mohiyatni tushunish uchun. Ammo bu raqamlar mavjud bo'lishi kerak sizning boshingizda trigonometriyadagi har qanday masalani yechishda. Nega? Ha, chunki bu elementar bilim barcha trigonometriyadagi boshqa ko'plab savollarga javob beradi! Eng muhim savol Bizni qiziqtirgan burchak qaysi chorakda tushadi? Ishoning yoki ishonmang, bu savolga to'g'ri javob trigonometriya bilan bog'liq barcha boshqa muammolarning asosiy qismini hal qiladi. Biz ushbu muhim darsni (burchaklarni choraklarda taqsimlash) xuddi shu darsda ko'rib chiqamiz, lekin biroz keyinroq.

Koordinata o'qlarida joylashgan burchaklarning qiymatlari (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° va 360 °) esda tutilishi kerak! Qattiq eslab qoling, avtomatizmga. Va ortiqcha va minusda ham.

Ammo shu daqiqadan boshlab birinchi kutilmagan hodisalar boshlanadi. Va ular bilan bir qatorda menga murojaat qilingan qiyin savollar, ha ...) Va agar aylanada salbiy burchak bo'lsa nima bo'ladi ijobiyga mos keladimi? Ma'lum bo'ladiki xuddi shu nuqta aylanada musbat burchak, manfiy burchak sifatida belgilanishi mumkin ???

Juda to'gri! Shunday.) Masalan, aylanada +270° musbat burchak egallaydi bir xil pozitsiya , bu salbiy burchak -90 °. Yoki, masalan, aylanada +45 ° musbat burchak olinadi bir xil pozitsiya , bu salbiy burchak -315 °.

Biz keyingi rasmga qaraymiz va hamma narsani ko'ramiz:

Xuddi shunday, +150 ° musbat burchak -210 ° salbiy burchak, +230 ° musbat burchak -130 ° salbiy burchak bilan bir joyga o'tadi. Va hokazo…

Endi nima qilamiz? Burchaklarni qanday qilib aniq hisoblash mumkin, agar bu va boshqa yo'l bo'lsa? Qanday to'g'ri?

Javob: baribir to'g'ri! Matematika burchaklarni hisoblash uchun ikkita yo'nalishning hech birini taqiqlamaydi. Va ma'lum bir yo'nalishni tanlash faqat vazifaga bog'liq. Agar topshiriq burchak belgisi haqida oddiy matnda hech narsa aytmasa (masalan "Eng kattasini aniqlang salbiy burchak" h.k.), keyin biz uchun eng qulay burchaklar bilan ishlaymiz.

Albatta, masalan, trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar kabi ajoyib mavzularda burchaklarni hisoblash yo'nalishi javobga katta ta'sir ko'rsatishi mumkin. Va tegishli mavzularda biz ushbu tuzoqlarni ko'rib chiqamiz.

Eslab qoling:

Doiradagi har qanday nuqta ham musbat, ham manfiy burchaklar bilan belgilanishi mumkin. Har kim! Biz nima xohlaymiz.

Endi bu haqda o'ylab ko'raylik. Biz 45 ° burchak burchagi -315 ° burchak bilan aynan bir xil ekanligini aniqladik? O'sha 315 haqida qayerdan bilib oldim?° ? Taxmin qila olmaysizmi? Ha! To'liq burilish orqali.) 360 ° da. Biz 45 ° burchakka egamiz. To'liq aylanishdan oldin qancha narsa etishmayapti? 45 ni olib tashlang° 360 dan° - bu erda biz 315 ni olamiz° . Biz salbiy yo'nalishda shamol qilamiz - va biz -315 ° burchakka ega bo'lamiz. Hali ham tushunarsizmi? Keyin yuqoridagi rasmga yana qarang.

Va buni har doim ijobiy burchaklarni salbiyga (va aksincha) tarjima qilishda qilish kerak - aylana chizish, eslatma haqida ma'lum bir burchak, biz to'liq burilishdan oldin qancha daraja etishmayotganini ko'rib chiqamiz va natijada olingan farqni teskari yo'nalishda shamollaymiz. Va tamom.)

Aylanada bir xil pozitsiyani egallagan burchaklar haqida yana nima qiziq, nima deb o'ylaysiz? Va bunday burchaklar haqiqatdir aynan bir xil sinus, kosinus, tangens va kotangens! Har doim!

Masalan:

Sin45° = gunoh (-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Va endi bu juda muhim! Nima uchun? Ha, hammasi bir xil!) Ifodalarni soddalashtirish uchun. Ifodalarni soddalashtirish uchun muvaffaqiyatli hal qilish uchun asosiy protsedura hisoblanadi har qanday matematikadan topshiriqlar. Va trigonometriya.

Shunday qilib, biz aylanadagi burchaklarni hisoblashning umumiy qoidasini aniqladik. Xo'sh, agar biz bu erda to'liq burilishlarga, taxminan choraklarga ishora qilsak, unda bu burchaklarni burish va chizish vaqti keldi. Chizamizmi?)

dan boshlaylik ijobiy burchaklar. Ularni chizish osonroq bo'ladi.

Burchaklarni bir aylanish doirasida chizish (0° dan 360° gacha).

Masalan, 60° burchak chizamiz. Bu erda hamma narsa oddiy, hech qanday burilishlar yo'q. Biz koordinata o'qlarini, aylana chizamiz. Siz to'g'ridan-to'g'ri qo'lda, kompas va o'lchagichsiz qilishingiz mumkin. Biz chizamiz sxematik tarzda Javob: Bizda siz bilan chizmachilik yo'q. GOSTlarga rioya qilishning hojati yo'q, ular jazolanmaydi.)

Siz (o'zingiz uchun) o'qlardagi burchaklarning qiymatlarini belgilashingiz va yo'nalishdagi o'qni ko'rsatishingiz mumkin soatga qarshi. Axir, biz pulni ortiqcha sifatida tejashga kirishamizmi?) Siz buni qila olmaysiz, lekin siz hamma narsani boshingizda saqlashingiz kerak.

Va endi biz burchakning ikkinchi (harakatlanuvchi) tomonini chizamiz. Qaysi chorak? Birinchisida, albatta! 60 daraja uchun qat'iy 0 ° dan 90 ° gacha. Shunday qilib, biz birinchi chorakda durang qilamiz. burchak ostida haqida Ruxsat etilgan tomonga 60 daraja. Qanday hisoblash kerak haqida Transportersiz 60 daraja? Osonlik bilan! 60° to'g'ri burchakning uchdan ikki qismi! Biz aylananing birinchi choragini aqliy ravishda uch qismga ajratamiz, o'zimiz uchun uchdan ikki qismini olamiz. Va biz chizamiz ... Biz u erga qancha erishamiz (agar biz transport vositasini biriktirsak va uni o'lchasak) - 55 daraja yoki 64 - bu muhim emas! Hali ham bir joyda bo'lishi muhim taxminan 60 °.

Biz rasmni olamiz:

Ana xolos. Va hech qanday vosita kerak emas edi. Biz ko'zni rivojlantiramiz! Bu geometriya masalalarida foydali bo'ladi.) Bu ko'rinmas chizma, go'zallik haqida o'ylamasdan, shoshilinch doira va burchakni chizishingiz kerak bo'lganda, ajralmas bo'lishi mumkin. Lekin shu bilan birga yozing to'g'ri, xatosiz, barcha kerakli ma'lumotlar bilan. Masalan, trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechishda yordam sifatida.

Endi burchak chizamiz, masalan, 265°. Qaerda bo'lishi mumkinligini taxmin qiling? Xo'sh, birinchi chorakda ham, ikkinchisida ham emasligi aniq: ular 90 va 180 daraja bilan tugaydi. Siz 265 ° 180 ° va yana 85 ° deb o'ylashingiz mumkin. Ya'ni, salbiy yarim o'qga OX (bu erda 180 °) qo'shilishi kerak haqida 85°. Yoki, hatto osonroq, 265 ° ba'zi baxtsiz 5 ° salbiy yarim o'qi OY (qaerda 270 °) etib emas, deb taxmin qilish. Bir so'z bilan aytganda, uchinchi chorakda bu burchak bo'ladi. Salbiy eksa OY ga juda yaqin, 270 gradusgacha, lekin baribir uchinchisida!

Chizish:

Shunga qaramay, bu erda mutlaq aniqlik talab qilinmaydi. Haqiqatda bu burchak, aytaylik, 263 daraja bo'lib chiqdi. Lekin eng muhim savol (qaysi chorak?) to'g'ri javob berdik. Nima uchun bu eng muhim savol? Ha, chunki trigonometriyada burchak bilan har qanday ish (biz shu burchakni chizamizmi yoki yo'qmi) aynan shu savolga javobdan boshlanadi! Har doim. Agar siz bu savolga e'tibor bermasangiz yoki unga aqlan javob berishga harakat qilsangiz, unda xatolar deyarli muqarrar, ha ... Sizga kerakmi?

Eslab qoling:

Burchakka ega bo'lgan har qanday ish (shu jumladan, aylanaga xuddi shu burchakni chizish) har doim bu burchak tushadigan chorakni aniqlashdan boshlanadi.

Endi, umid qilamanki, siz burchaklarni to'g'ri chizasiz, masalan, 182 °, 88 °, 280 °. DA to'g'ri chorak. Uchinchi, birinchi va to'rtinchi, agar biror narsa bo'lsa ...)

To'rtinchi chorak 360 ° burchak ostida tugaydi. Bu bitta to'liq burilish. Qalampir, bu burchak aylanada 0 ° (ya'ni, mos yozuvlar nuqtasi) bilan bir xil pozitsiyani egallashi aniq. Ammo burchaklar shu bilan tugamaydi, ha ...

360 ° dan katta burchaklar bilan nima qilish kerak?

"Bunday narsalar bormi?"- deb so'rayapsiz. Bor, qanday qilib! Bu, masalan, 444 ° burchak ostida sodir bo'ladi. Va ba'zan, aytaylik, 1000 ° burchak. Har xil burchaklar mavjud.) Faqat vizual tarzda, bunday ekzotik burchaklar bir burilishda odatdagi burchaklarga qaraganda biroz murakkabroq qabul qilinadi. Lekin bunday burchaklarni chizish va hisoblashni ham bilish kerak, ha.

Bunday burchaklarni aylanaga to'g'ri chizish uchun siz xuddi shu narsani qilishingiz kerak - bilib oling qaysi chorakda qiziqish burchagi tushadi. Bu erda chorakni aniq aniqlash qobiliyati 0 ° dan 360 ° gacha bo'lgan burchaklarga qaraganda ancha muhimroqdir! Chorakni aniqlashning o'zi bir qadam bilan murakkablashadi. Qaysi biri, tez orada ko'rasiz.

Demak, masalan, 444° burchak qaysi chorakda tushishini aniqlashimiz kerak. Biz aylana boshlaymiz. Qayerda? Plyus sifatida, albatta! Ular bizga ijobiy burchak berdi! +444°. Biz burishamiz, buramiz ... Biz bir burilish qildik - biz 360 ° ga yetdik.

444° gacha qancha qoldi?Qolgan quyruqni hisoblaymiz:

444 ° -360 ° = 84 °.

Shunday qilib, 444 ° bir to'liq burilish (360 °) va yana 84 °. Shubhasiz, bu birinchi chorak. Shunday qilib, 444 ° burchakka tushadi birinchi chorakda. Yarim tayyor.

Endi bu burchakni tasvirlash qoladi. Qanday? Juda onson! Biz qizil (ortiqcha) o'q bo'ylab bitta to'liq burilish qilamiz va yana 84 ° qo'shamiz.

Mana bunday:

Bu erda men chizmani chalkashtirib yubormadim - choraklarni belgilang, o'qlarga burchaklar chizing. Bu yaxshiliklarning barchasi uzoq vaqt davomida mening boshimda bo'lishi kerak edi.)

Ammo men "salyangoz" yoki spiral bilan 444 ° burchakning 360 ° va 84 ° burchaklaridan qanday aniq hosil bo'lishini ko'rsatdim. Nuqtali qizil chiziq bitta to'liq burilish. Bunga 84 ° qo'shimcha ravishda vidalanadi (qattiq chiziq). Aytgancha, shuni yodda tutingki, agar bu juda to'liq burilish bekor qilinsa, bu bizning burchakimizning holatiga hech qanday ta'sir qilmaydi!

Lekin bu muhim! Burchak holati 444 ° butunlay mos keladi 84 ° burchak pozitsiyasi bilan. Hech qanday mo''jiza yo'q, bu shunchaki sodir bo'ladi.)

Bitta to'liq burilishni emas, balki ikkita yoki undan ko'pni tashlab yuborish mumkinmi?

Nega yo'q? Agar burchak katta bo'lsa, unda bu nafaqat mumkin, balki kerak! Burchak o'zgarmaydi! Aniqrog'i, burchakning o'zi, albatta, kattalikda o'zgaradi. Lekin uning doiradagi pozitsiyasi - yo'q!) Shuning uchun ular to'la impuls, siz qancha nusxa qo'shishingizdan qat'i nazar, qancha ayirishingizdan qat'i nazar, siz baribir bir xil nuqtaga erishasiz. Yaxshi, to'g'rimi?

Eslab qoling:

Agar burchakka har qanday qo'shsak (ayirish). butun to'liq aylanishlar soni, aylanadagi asl burchakning holati o'zgarmaydi!

Masalan:

1000° burchak qaysi chorakda tushadi?

Muammo yo'q! Biz ming darajaga qancha to'liq inqiloblar o'tirishini ko'rib chiqamiz. Bir inqilob 360 °, boshqasi allaqachon 720 °, uchinchisi 1080 ° ... To'xtang! Bust! Shunday qilib, 1000 ° burchak ostida o'tiradi ikki to'liq aylanma. Ularni 1000 ° dan tashqariga tashlang va qolganini hisoblang:

1000° - 2 360 ° = 280 °

Shunday qilib, 1000 ° burchakning doiradagi holati bir xil, bu 280 ° burchak bilan bir xil. Kim bilan ishlash allaqachon yoqimliroq.) Va bu burchak qayerga tushadi? U to'rtinchi chorakka to'g'ri keladi: 270 ° (salbiy yarim eksa OY) va yana o'nta.

Chizish:

Bu erda men endi nuqtali spiral bilan ikkita to'liq burilish chizmadim: u og'riqli uzun bo'lib chiqdi. Faqat ponytailning qolgan qismini chizdi noldan, tashlab yuborish hammasi qo'shimcha burilishlar. Ular hatto mavjud bo'lmaganga o'xshaydi.)

Yana bir bor. Yaxshi ma'noda, burchaklar 444 ° va 84 °, shuningdek, 1000 ° va 280 ° farq qiladi. Ammo sinus, kosinus, tangens va kotangens uchun bu burchaklar xuddi shu!

Ko'rib turganingizdek, 360 ° dan katta burchaklar bilan ishlash uchun siz belgilashingiz kerak berilgan katta burchakda qancha to'liq aylanishlar o'tiradi. Bu bunday burchaklar bilan ishlashda oldindan bajarilishi kerak bo'lgan juda qo'shimcha qadamdir. Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi?

To'liq burilishlarni tashlab ketish, albatta, yoqimli tajriba.) Ammo amalda, mutlaqo dahshatli burchaklar bilan ishlashda qiyinchiliklar ham yuzaga keladi.

Masalan:

31240° burchak qaysi chorakda tushadi?

Va nima, biz 360 darajani ko'p marta qo'shamiz? Ayniqsa, yonmasa, bu mumkin. Lekin biz nafaqat qo'shishimiz mumkin.) Biz ham bo'lishimiz mumkin!

Shunday qilib, keling, bizning ulkan burchakimizni 360 darajaga ajratamiz!

Ushbu harakat orqali biz 31240 darajamizda qancha to'liq aylanishlar yashiringanligini bilib olamiz. Siz burchakni baham ko'rishingiz mumkin, siz kalkulyatorda (qulog'ingizga pichirlashingiz mumkin :)).

Biz 31240:360 = 86,777777 ni olamiz.

Raqamning kasr bo'lib chiqishi qo'rqinchli emas. Biz faqat butun Men aylanmalarga qiziqaman! Shuning uchun, oxirigacha bo'linishning hojati yo'q.)

Shunday qilib, bizning shaggy burchakda 86 ta to'liq inqilob o'tiradi. Dahshat…

Darajada shunday bo'ladi86 360 ° = 30960 °

Mana bunday. 31240 ° burchak ostida og'riqsiz ravishda qancha darajani tashlash mumkin. Qolganlari:

31240° - 30960° = 280°

Hammasi! Burchak pozitsiyasi 31240 ° to'liq aniqlangan! 280 ° bilan bir xil joyda. Bular. to'rtinchi chorak.) Biz bu burchakni allaqachon tasvirlab berganga o'xshaymiz? 1000° burchak qachon chizilgan?) U erda biz ham 280 darajaga bordik. Tasodif.)

Shunday qilib, hikoyaning axloqi quyidagicha:

Agar bizga dahshatli burchak berilsa, unda:

1. Ushbu burchakda qancha to'liq inqiloblar o'tirishini aniqlang. Buning uchun asl burchakni 360 ga bo'ling va kasr qismini tashlang.

2. Qabul qilingan aylanishlar sonida qancha daraja borligini ko'rib chiqamiz. Buning uchun aylanishlar sonini 360 ga ko'paytiring.

3. Ushbu inqiloblarni asl burchakdan olib tashlang va 0 ° dan 360 ° gacha bo'lgan oraliqda odatiy burchak bilan ishlang.

Salbiy burchaklar bilan qanday ishlash kerak?

Muammo yo'q! Ijobiy narsalar bilan bir xil, faqat bitta farq bilan. Nima? Ha! Siz burchaklarni burishingiz kerak teskari tomon, minus! soat yo'nalishi bo'yicha.)

Masalan, -200° burchak chizamiz. Avvaliga ijobiy burchaklar uchun hamma narsa odatdagidek - o'qlar, aylana. Keling, minus bilan ko'k o'qni chizamiz va o'qlardagi burchaklarni boshqacha tarzda belgilaymiz. Ular, albatta, salbiy yo'nalishda ham hisoblanishi kerak. Bularning barchasi bir xil burchaklar bo'lib, 90 ° ga qadam qo'yadi, lekin teskari yo'nalishda hisoblangan, minus: 0 °, -90 °, -180 °, -270 °, -360 °.

Rasm quyidagicha ko'rinadi:

Salbiy burchaklar bilan ishlaganda, ko'pincha engil hayratlanish hissi mavjud. Qanaqasiga?! Ma'lum bo'lishicha, bir xil o'q ikkalasi ham, aytaylik, +90 ° va -270 °? Yo'q, bu erda nimadir noto'g'ri ...

Ha, hamma narsa toza va shaffof! Axir, biz allaqachon bilamizki, aylananing istalgan nuqtasini ham ijobiy, ham salbiy burchak deb atash mumkin! Mutlaqo har qanday. Shu jumladan ba'zi koordinata o'qlarida. Bizning holatda, bizga kerak salbiy burchaklarni hisoblash. Shunday qilib, biz barcha burchaklarni minusga aylantiramiz.)

Endi -200 ° to'g'ri burchakni chizish muammo emas. Bu -180° va minus yana 20°. Biz noldan minusgacha o'ra boshlaymiz: biz to'rtinchi chorakda uchamiz, uchinchisi ham o'tdi, biz -180 ° ga yetamiz. Qolgan yigirmatasini qaerga o'rash kerak? Ha, hammasi joyida! Soat bo'yicha.) Umumiy burchak -200 ° ga tushadi ikkinchi chorak.

Endi siz koordinata o'qlaridagi burchaklarni eslab qolish qanchalik muhimligini tushundingizmi?

Burchak tushadigan chorakni aniq aniqlash uchun koordinata o'qlaridagi burchaklarni (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) aniq eslab qolish kerak!

Va agar burchak katta bo'lsa, bir nechta to'liq burilishlar bilan? Hammasi joyida; shu bo'ladi! Bu to'liq tezliklar qayerda - ortiqcha yoki minusda qanday farq qiladi? Aylanadagi nuqta o'z o'rnini o'zgartirmaydi!

Masalan:

-2000° burchak qaysi kvadrantda tushadi?

Hammasi bir xil! Boshlash uchun, biz bu yomon burchakda qancha to'liq inqiloblar o'tirganini ko'rib chiqamiz. Belgilarni chalkashtirib yubormaslik uchun, keling, minusni hozircha qoldiraylik va 2000 ni 360 ga bo'lamiz. Biz dumi bilan 5 ni olamiz. Quyruq hali bizni bezovta qilmaydi, biz burchakni chizganimizda biroz keyinroq hisoblaymiz. Ishonamizki besh darajalarda to'liq aylanishlar:

5 360 ° = 1800 °

Voot. Sog'likka zarar etkazmasdan bizning burchakdan qancha qo'shimcha darajalarni xavfsiz tashlashingiz mumkin.

Qolgan quyruqni hisoblaymiz:

2000° – 1800° = 200°

Va endi siz minus haqida ham eslashingiz mumkin.) Qayerda quyruqni 200 ° shamol qilamiz? Salbiy tomoni, albatta! Bizga salbiy burchak berilgan.)

2000 ° = -1800 ° - 200 °

Shunday qilib, biz -200 ° burchakni chizamiz, faqat qo'shimcha burilishlarsiz. Men uni hozirgina chizganman, lekin shunday bo'lsin, men uni yana bir marta bo'yab qo'yaman. Qo'l bilan.

Qalampir, berilgan burchak -2000 °, shuningdek -200 ° ga tushishi aniq. ikkinchi chorak.

Shunday qilib, biz aylanaga o'ramiz ... kechirasiz ... mo'ylovga:

Agar juda katta salbiy burchak berilgan bo'lsa, u holda u bilan ishlashning birinchi qismi (to'liq aylanishlar sonini topish va ularni tashlab yuborish) musbat burchak bilan ishlashda bo'lgani kabi. Yechimning ushbu bosqichida minus belgisi hech qanday rol o'ynamaydi. To'liq burilishlar olib tashlanganidan keyin qolgan burchak bilan ishlashda belgi faqat oxirida hisobga olinadi.

Ko'rib turganingizdek, aylanaga manfiy burchaklarni chizish ijobiy burchaklarni chizishdan qiyinroq emas.

Hammasi bir xil, faqat boshqa yo'nalishda! Soat bilan!

Va endi - eng qiziqarli! Biz ijobiy burchaklarni, salbiy burchaklarni, katta burchaklarni, kichik burchaklarni - to'liq diapazonni qamrab oldik. Shuningdek, aylananing har qanday nuqtasini ijobiy va salbiy burchak deb atash mumkinligini aniqladik, biz to'liq burilishlarni tashladik ... Fikrlar yo'qmi? Kechiktirilishi kerak...

Ha! Doiraning qaysi nuqtasini olsangiz, u mos keladi cheksiz burchaklar! Katta va unchalik emas, ijobiy va salbiy - hamma! Va bu burchaklar orasidagi farq bo'ladi butun to'liq burilishlar soni. Har doim! Shunday qilib, trigonometrik doira tartibga solingan, ha ...) Shuning uchun teskari vazifa ma'lum sinus / kosinus / tangens / kotangent tomonidan burchak topish - hal qilinadi noaniq. Va bundan ham qiyinroq. To'g'ridan-to'g'ri muammodan farqli o'laroq - berilgan burchak uchun uning trigonometrik funktsiyalarining butun to'plamini topish. Va trigonometriyaning jiddiy mavzularida ( kamarlar, trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar ) biz bu chipga doimo duch kelamiz. Ko'nikish.)

1. -345° burchak qaysi chorakda tushadi?

2. 666° burchak qaysi chorakda tushadi?

3. 5555° burchak qaysi chorakga to'g'ri keladi?

4. -3700° burchak qaysi chorakga to'g'ri keladi?

5. Belgisi nimacos999°?

6. Belgisi nimactg999°?

Va u ishladimi? Ajoyib! Muammo bormi? Keyin siz.

Javoblar:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Bu gal javoblar an’anani buzgan holda tartibda berilgan. Chunki bor-yo'g'i to'rt chorak bor va faqat ikkita belgi bor. Siz qochib ketmaysiz...)

Keyingi darsda biz radianlar haqida, sirli "pi" soni haqida gaplashamiz, biz radianlarni darajaga va aksincha qanday qilib oson va sodda tarzda aylantirishni o'rganamiz. Va bu oddiy bilim va ko'nikmalar trigonometriyadagi ko'plab noaniq muammolarni muvaffaqiyatli hal qilishimiz uchun allaqachon etarli bo'lishini bilib hayron qolamiz!