Logarifmlarga misollar va ularning imtihonga yechimi. Logarifmik tenglamalarni yechish

Logarifm nima?

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Logarifm nima? Logarifmlarni qanday yechish mumkin? Bu savollar ko'plab bitiruvchilarni chalg'itadi. An'anaga ko'ra, logarifmlar mavzusi murakkab, tushunarsiz va qo'rqinchli hisoblanadi. Ayniqsa - logarifmli tenglamalar.

Bu mutlaqo to'g'ri emas. Mutlaqo! Ishonmaysizmi? Yaxshi. Endi 10-20 daqiqa davomida siz:

1. Tushunmoq logarifm nima.

2. Ko‘rsatkichli tenglamalarning butun sinfini yechishni o‘rganing. Agar siz ular haqida eshitmagan bo'lsangiz ham.

3. Oddiy logarifmlarni hisoblashni o'rganing.

Bundan tashqari, buning uchun siz faqat ko'paytirish jadvalini va raqamni qanday qilib kattalashtirishni bilishingiz kerak bo'ladi ...

Men sizda shubha borligini his qilaman ... Xo'sh, vaqtni saqlang! Bor!

Birinchidan, quyidagi tenglamani ongingizda yeching:

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan bog'lanish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligi haqidagi ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni to'playmiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash rag'batlarda qatnashsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar zarurat tug'ilgan bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs merosxo'riga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Logarifmik ifodalar, misollar yechimi. Ushbu maqolada biz logarifmlarni yechish bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqamiz. Vazifalar ifoda qiymatini topish masalasini ko'taradi. Shuni ta'kidlash kerakki, logarifm tushunchasi ko'plab vazifalarda qo'llaniladi va uning ma'nosini tushunish juda muhimdir. USE ga kelsak, logarifm tenglamalarni echishda, amaliy masalalarda, shuningdek, funktsiyalarni o'rganish bilan bog'liq vazifalarda qo'llaniladi.

Logarifmning ma'nosini tushunish uchun misollar:

Asosiy logarifmik identifikatsiya:

Siz doimo eslab qolishingiz kerak bo'lgan logarifmlarning xususiyatlari:

*Ko‘paytmaning logarifmi omillarning logarifmlari yig‘indisiga teng.

* * *

* Qismning (kasr) logarifmi omillarning logarifmlari ayirmasiga teng.

* * *

* Darajaning logarifmi ko'rsatkich va uning asosining logarifmi ko'paytmasiga teng.

* * *

*Yangi bazaga o'tish

* * *

Ko'proq xususiyatlar:

* * *

Logarifmlarni hisoblash ko'rsatkichlarning xossalaridan foydalanish bilan chambarchas bog'liq.

Biz ulardan ba'zilarini sanab o'tamiz:

Bu xossaning mohiyati shundan iboratki, hisoblagichni maxrajga va aksincha o‘tkazishda daraja belgisi teskari tomonga o‘zgaradi. Misol uchun:

Ushbu mulkning oqibatlari:

* * *

Quvvatni kuchga ko'targanda, asos bir xil bo'lib qoladi, lekin ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.

* * *

Ko'rib turganingizdek, logarifm tushunchasi juda oddiy. Asosiysi, ma'lum bir mahorat beradigan yaxshi amaliyot kerak. Albatta, formulalarni bilish majburiydir. Agar elementar logarifmlarni o'zgartirish mahorati shakllanmagan bo'lsa, unda oddiy vazifalarni hal qilishda osonlikcha xato qilish mumkin.

Amaliyot qiling, avval matematika kursidan eng oddiy misollarni yeching, so'ngra murakkabroq misollarga o'ting. Kelajakda men "xunuk" logarifmlar qanday hal qilinishini aniq ko'rsataman, imtihonda bundaylar bo'lmaydi, lekin ular qiziq, o'tkazib yubormang!

Hammasi shu! Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix

P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Ushbu video qo'llanmada biz juda jiddiy logarifmik tenglamani echishni ko'rib chiqamiz, unda siz nafaqat ildizlarni topishingiz, balki ma'lum bir segmentda joylashganlarni ham tanlashingiz kerak.

C1 vazifa. Tenglamani yeching. Ushbu tenglamaning intervalga tegishli barcha ildizlarini toping.

Logarifmik tenglamalar haqida eslatma

Biroq, yildan-yilga mening oldimga talabalar kelishadi, ular buni hal qilishga harakat qilishadi, ochig'ini aytganda, qiyin tenglamalar, lekin shu bilan birga ular tushuna olmaydilar: ular umuman qaerdan boshlanadi va logarifmlarga qanday yondashish kerak? Bunday muammo kuchli, yaxshi tayyorlangan talabalarda ham paydo bo'lishi mumkin.

Natijada, ko'pchilik bu mavzudan qo'rqishni boshlaydilar yoki hatto o'zlarini ahmoq deb bilishadi. Shunday qilib, esda tuting: agar siz bunday tenglamani hal qila olmasangiz, bu sizning ahmoq ekanligingizni anglatmaydi. Chunki, masalan, siz ushbu tenglama bilan deyarli og'zaki shug'ullanishingiz mumkin:

log 2 x = 4

Agar bunday bo'lmasa, siz hozir bu matnni o'qimagan bo'lar edingiz, chunki siz oddiyroq va oddiyroq ishlar bilan band edingiz. Albatta, kimdir e'tiroz bildiradi: "Bu eng oddiy tenglama bizning sog'lom dizaynimizga qanday aloqasi bor?" Men javob beraman: har qanday logarifmik tenglama, qanchalik murakkab bo'lmasin, oxir-oqibat shunday oddiy, og'zaki hal qilingan konstruktsiyalarga tushadi.

Albatta, murakkab logarifmik tenglamalardan oddiyroqlarga tanlash yoki daf bilan raqsga tushish bilan emas, balki aniq, uzoq vaqtdan beri belgilangan qoidalarga muvofiq o'tish kerak - logarifmik ifodalarni aylantirish qoidalari. Ularni bilish orqali siz matematikadan imtihondagi eng murakkab tenglamalarni ham osongina aniqlashingiz mumkin.

Va bugungi darsda biz ushbu qoidalar haqida gaplashamiz. Bor!

C1 masalada logarifmik tenglamani yechish

Shunday qilib, tenglamani yeching:

Avvalo, logarifmik tenglamalar haqida gap ketganda, biz asosiy taktikani - agar aytishim mumkin bo'lsa, logarifmik tenglamalarni yechishning asosiy qoidasini eslaymiz. U quyidagilardan iborat:

Kanonik shakl teoremasi. Har qanday logarifmik tenglama, u nimani o'z ichiga olishidan qat'i nazar, qanday logarifmlar bo'lishidan qat'i nazar, qanday asosga ega bo'lishidan qat'i nazar va c ning o'zida nima bo'lishidan qat'i nazar, uni quyidagi ko'rinishdagi tenglamaga keltirish kerak:

log a f (x ) = log a g (x )

Agar biz tenglamamizga qarasak, darhol ikkita muammoni ko'ramiz:

1. Chap tomonda biz bor ikki raqamning yig'indisi, ulardan biri umuman logarifm emas.
2. O'ng tomonda juda logarifm, lekin uning asosida ildiz joylashgan. Va chapdagi logarifm faqat 2 ga ega, ya'ni. chap va o'ngdagi logarifmlarning asoslari har xil.

Shunday qilib, biz tenglamamizni undan ajratib turadigan masalalar ro'yxatini ishlab chiqdik kanonik tenglama, unga yechish jarayonida har qanday logarifmik tenglamani kamaytirish kerak. Shunday qilib, ushbu bosqichda bizning tenglamani echish yuqorida tavsiflangan ikkita muammoni bartaraf etishga olib keladi.

Har qanday logarifmik tenglamani kanonik shaklga keltirilsa, tez va oson yechish mumkin.

Logarifmlar yig'indisi va mahsulotning logarifmi

Keling, tartibda davom etaylik. Birinchidan, chap tomonda joylashgan tuzilma bilan shug'ullanamiz. Ikki logarifm yig'indisi haqida nima deyishimiz mumkin? Keling, ajoyib formulani eslaylik:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Ammo shuni hisobga olish kerakki, bizning holatlarimizda birinchi atama umuman logarifm emas. Shunday qilib, siz birlikni 2-asosga logarifm sifatida ko'rsatishingiz kerak (ya'ni 2, chunki 2-asosning logarifmi chap tomonda). Buni qanday qilish kerak? Yana ajoyib formulani eslang:

a = log b b a

Bu erda siz tushunishingiz kerak: "Har qanday b asosi" deganda, biz b hali ham ixtiyoriy son bo'lishi mumkin emasligini bildiramiz. Agar logarifmaga raqam kiritsak, ma'lum raqamlar darhol ustiga qo'yiladi. cheklovlar, ya'ni: logarifmning asosi 0 dan katta bo'lishi va 1 ga teng bo'lmasligi kerak. Aks holda, logarifm oddiygina mantiqiy bo'lmaydi. Keling, buni yozamiz:

0 < b ≠ 1

Keling, bizning holatimizda nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda butun tenglamamizni qayta yozamiz. Va darhol biz boshqa qoidani qo'llaymiz: logarifmlar yig'indisi argumentlar mahsulotining logarifmiga teng. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

Bizda yangi tenglama bor. Ko'rib turganingizdek, biz intilayotgan kanonik moslashuvga allaqachon ancha yaqinroq. Ammo bitta muammo bor, biz uni ikkinchi nuqta shaklida yozdik: chap va o'ng tomonda joylashgan logarifmlarimiz, turli asoslar. Keling, keyingi bosqichga o'tamiz.

Logarifmdan quvvat olish qoidalari

Shunday qilib, chapdagi logarifmning asosi atigi 2 ga, o'ngdagi logarifmning asosi esa ildizga ega. Ammo bu ham muammo emas, agar esda tutsak, logarifm argumentlaridan bir darajani olish mumkin. Keling, ushbu qoidalardan birini yozamiz:

log a b n = n log a b

Inson tiliga tarjima qilish: siz logarifm bazasidan darajani chiqarib, uni omil sifatida oldinga qo'yishingiz mumkin. n soni logarifmadan "ko'chib o'tdi" va oldingi koeffitsientga aylandi.

Biz logarifm bazasidan quvvatni ham olishimiz mumkin. Bu shunday ko'rinadi:

Boshqacha qilib aytganda, agar siz kuchni logarifm argumentidan chiqarsangiz, bu kuch ham logarifm oldida omil sifatida yoziladi, lekin son sifatida emas, balki 1/k ning o'zaro nisbati sifatida.

Biroq, bu hammasi emas! Biz ushbu ikkita formulani birlashtirib, quyidagi formulani olamiz:

Ko'rsatkich logarifmning asosi va argumentida bo'lsa, biz ko'rsatkichlarni bir vaqtning o'zida asos va argumentdan olib tashlash orqali vaqtni tejashimiz va hisoblarni soddalashtirishimiz mumkin. Bunday holda, argumentda bo'lgan narsa (bizning holatda, bu n koeffitsienti) hisoblagichda bo'ladi. Va asosda qanday daraja bo'lgan, a k , maxrajga o'tadi.

Va endi biz logarifmlarimizni bir xil asosga qisqartirish uchun ushbu formulalardan foydalanamiz.

Avvalo, biz ko'proq yoki kamroq chiroyli bazani tanlaymiz. Shubhasiz, taglikdagi deuce ildiz bilan ishlashga qaraganda ancha yoqimli. Shunday qilib, keling, ikkinchi logarifmni 2 ga asoslashga harakat qilaylik.Bu logarifmni alohida yozamiz:

Bu yerda nima qilishimiz mumkin? Ratsional darajali quvvat formulasini eslang. Boshqacha qilib aytganda, biz ildizlarni ratsional ko'rsatkichli kuch sifatida yozishimiz mumkin. Va keyin biz argumentdan ham, logarifm asosidan ham 1/2 kuchini chiqaramiz. Logarifm oldidagi pay va maxrajdagi koeffitsientlardagi ikkitani kamaytiramiz:

Va nihoyat, biz yangi koeffitsientlarni hisobga olgan holda dastlabki tenglamani qayta yozamiz:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Biz kanonik logarifmik tenglamani oldik. Chapda ham, o'ngda ham bir xil asosda logarifm bor 2. Bu logarifmalardan tashqari, chapda ham, o'ngda ham koeffitsientlar, atamalar mavjud emas.

Shunday qilib, biz logarifm belgisidan xalos bo'lishimiz mumkin. Albatta, ta'rif sohasini hisobga olgan holda. Ammo buni qilishdan oldin, keling, orqaga qaytaylik va kasrlar haqida bir oz aniqlik kiritamiz.

Kasrni kasrga bo'lish: qo'shimcha mulohazalar

To'g'ri logarifm oldidagi omillar qayerdan kelib chiqqanligini va qayerga borishini hamma o'quvchilar tushunmaydi. Keling, yana yozamiz:

Keling, kasr nima ekanligini tushunaylik. Keling, yozamiz:

Va endi biz kasrlarni bo'lish qoidasini eslaymiz: 1/2 ga bo'lish uchun teskari kasrga ko'paytirish kerak:

Albatta, keyingi hisob-kitoblarning qulayligi uchun biz ikkilikni 2/1 deb yozishimiz mumkin - va biz buni hal qilish jarayonida ikkinchi koeffitsient sifatida kuzatamiz.

Umid qilamanki, endi hamma ikkinchi koeffitsient qayerdan kelganini tushunadi, shuning uchun biz to'g'ridan-to'g'ri kanonik logarifmik tenglamani echishga o'tamiz.

Logarifm belgisidan qutulish

Sizga shuni eslatib o'tamanki, endi biz logarifmlardan xalos bo'lishimiz va quyidagi ifodani qoldirishimiz mumkin:

2(9x2 + 5) = 8x4 + 14

Chapdagi qavslarni kengaytiramiz. Biz olamiz:

18x2 + 10 = 8x4 + 14

Keling, hamma narsani chapdan o'ngga o'tkazamiz:

8x4 + 14 - 18x2 - 10 = 0

Biz shunga o'xshashlarni beramiz va olamiz:

8x4 - 18x2 + 4 = 0

Koeffitsientlarni soddalashtirish uchun biz ushbu tenglamaning ikkala tomonini 2 ga bo'lishimiz mumkin va biz quyidagilarni olamiz:

4x4 - 9x2 + 2 = 0

Bizning oldimizda odatiy hol bikvadrat tenglama, va uning ildizlari diskriminant bo'yicha osongina hisoblanadi. Shunday qilib, diskriminantni yozamiz:

D \u003d 81 - 4 4 2 \u003d 81 - 32 \u003d 49

Yaxshi, Diskriminant "chiroyli", uning ildizi 7. Bo'ldi, biz X ning o'zini deb hisoblaymiz. Ammo bu holda, ildizlar x emas, balki x 2 bo'ladi, chunki bizda bikvadrat tenglama bor. Shunday qilib, bizning variantlarimiz:

Iltimos, diqqat qiling: biz ildizlarni chiqardik, shuning uchun ikkita javob bo'ladi, chunki. kvadrat - hatto funktsiya. Va agar biz faqat ikkita ildizni yozsak, biz ikkinchi ildizni yo'qotamiz.

Endi biz bikvadrat tenglamamizning ikkinchi ildizini chizamiz:

Shunga qaramay, biz tenglamamizning ikkala tomonining arifmetik kvadrat ildizini olamiz va ikkita ildiz olamiz. Biroq, esda tuting:

Logarifmlarning argumentlarini kanonik shaklda oddiygina tenglashtirish etarli emas. Qamrovni eslang!

Hammasi bo'lib biz to'rtta ildiz oldik. Ularning barchasi, albatta, bizning asl tenglamamizning yechimlari. Qarang: asl logarifmik tenglamamizda logarifmalar ichida yoki 9x 2 + 5 (bu funktsiya har doim ijobiy) yoki 8x 4 + 14 - u ham har doim ijobiy. Demak, logarifmlarni aniqlash sohasi har qanday holatda ham qanoatlantiriladi, qaysi ildizni olishimizdan qat’iy nazar, bu to‘rtta ildiz ham tenglamamizning yechimi ekanligini bildiradi.

Ajoyib, endi muammoning ikkinchi qismiga o'tamiz.

Segmentda logarifmik tenglamaning ildizlarini tanlash

Biz to'rtta ildizimizdan [−1; 8/9]. Biz ildizlarimizga qaytamiz va endi biz ularning tanlovini amalga oshiramiz. Boshlash uchun men koordinata o'qini chizishni va segmentning uchlarini belgilashni taklif qilaman:

Ikkala nuqta ham soyali bo'ladi. Bular. muammoning shartiga ko'ra, biz soyali segmentga qiziqamiz. Endi ildizlar bilan shug'ullanamiz.

Irratsional ildizlar

Keling, irratsional ildizlardan boshlaylik. E'tibor bering, 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Bundan kelib chiqadiki, ikkitaning ildizi bizni qiziqtiradigan segmentga kirmaydi. Xuddi shunday, biz salbiy ildiz bilan olamiz: u -1 dan kichik, ya'ni bizni qiziqtirgan segmentning chap tomonida yotadi.

ratsional ildizlar

Ikkita ildiz qoldi: x = 1/2 va x = -1/2. E'tibor bering, segmentning chap uchi (−1) manfiy, o'ng uchi (8/9) musbat. Shuning uchun, bu uchlar orasida bir joyda 0 raqami yotadi. x = -1/2 ildizi -1 va 0 orasida bo'ladi, ya'ni. yakuniy javobga kiritiladi. X = 1/2 ildiz bilan ham xuddi shunday qilamiz. Bu ildiz ham ko'rib chiqilayotgan segmentda yotadi.

8/9 soni 1/2 dan katta ekanligiga ishonch hosil qilish juda oson. Keling, bu raqamlarni bir-biridan ayiraylik:

Biz 7/18 > 0 kasrni oldik, bu ta'rifga ko'ra 8/9 > 1/2 degan ma'noni anglatadi.

Koordinata o'qida mos ildizlarni belgilaymiz:

Yakuniy javob ikkita ildiz bo'ladi: 1/2 va -1/2.

Irratsional sonlarni taqqoslash: universal algoritm

Xulosa qilib aytganda, men yana bir bor irratsional raqamlarga qaytmoqchiman. Ularning misolidan foydalanib, biz endi matematikada ratsional va irratsional miqdorlarni qanday solishtirishni ko'rib chiqamiz. Boshlash uchun, ular orasida shunday V belgisi bor - "ko'proq" yoki "kamroq" belgisi, lekin biz u qaysi tomonga yo'naltirilganligini hali bilmaymiz. Keling, yozamiz:

Nima uchun bizga taqqoslash algoritmlari kerak? Gap shundaki, bu muammoni hal qilishda biz juda omadli edik: hal qilish jarayonida ajratuvchi 1 raqami paydo bo'ldi, bu haqda biz aniq aytishimiz mumkin:

Biroq, bunday raqamni har doim ham harakatda ko'rmaysiz. Shuning uchun, keling, raqamlarimizni to'g'ridan-to'g'ri taqqoslashga harakat qilaylik.

Bu qanday amalga oshirildi? Biz odatdagi tengsizliklar bilan xuddi shunday qilamiz:

1. Birinchidan, agar bizda manfiy koeffitsientlar bo'lsa, biz tengsizlikning ikkala tomonini -1 ga ko'paytiramiz. Albatta belgini o'zgartirish. Bunday belgi V shunday - L ga o'zgaradi.
2. Ammo bizning holatlarimizda ikkala tomon ham allaqachon ijobiy, shuning uchun hech narsani o'zgartirishga hojat yo'q. Haqiqatan ham kerak bo'lgan narsa ikkala tomonini kvadratga aylantiring radikaldan qutulish uchun.

Agar irratsional sonlarni solishtirganda, yo'lda ajratuvchi elementni olishning iloji bo'lmasa, men bunday taqqoslashni "peshonada" bajarishni maslahat beraman - uni oddiy tengsizlik deb ta'riflayman.

Uni hal qilishda u quyidagicha ko'rinadi:

Endi hamma narsani solishtirish oson. Gap shundaki, 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Hammasi bo'ldi, biz barcha raqamlar x son qatorida to'g'ri va ular aslida bo'lishi kerak bo'lgan ketma-ketlikda belgilanganligiga qat'iy dalil oldik. Hech kim bunday qarordan shikoyat qilmaydi, shuning uchun esda tuting: agar siz darhol ajratuvchi raqamni ko'rmasangiz (bizning holatimizda bu 1), yuqoridagi konstruktsiyani yozib qo'ying, ko'paytiring, kvadrat - va oxirida siz go'zal tengsizlikka ega bo'ladi. Ushbu tengsizlikdan qaysi raqam kattaroq va qaysi biri kichikroq ekanligi aniq bo'ladi.

Muammomizga qaytgan holda, men tenglamamizni yechishda boshida nima qilganimizga yana bir bor e'tiboringizni qaratmoqchiman. Ya'ni, biz asl logarifmik tenglamamizni diqqat bilan ko'rib chiqdik va uni kamaytirishga harakat qildik kanonik logarifmik tenglama. Chap va o'ngda faqat logarifmlar mavjud bo'lgan joyda - hech qanday qo'shimcha shartlarsiz, old koeffitsientlarsiz va hokazo. Bizga a yoki b asosiga ikkita logarifm kerak emas, ya'ni boshqa logarifmaga teng logarifm.

Bundan tashqari, logarifmlarning asoslari ham teng bo'lishi kerak. Shu bilan birga, agar tenglama to'g'ri tuzilgan bo'lsa, u holda elementar logarifmik o'zgarishlar (logarifmlar yig'indisi, sonni logarifmga aylantirish va boshqalar) yordamida biz ushbu tenglamani kanonik tenglamaga keltiramiz.

Shuning uchun, bundan buyon, "peshonada" darhol hal etilmagan logarifmik tenglamani ko'rganingizda, siz yo'qolmasligingiz yoki javob topishga urinmasligingiz kerak. Buning uchun quyidagi amallarni bajarish kifoya:

1. Barcha bo'sh elementlarni logarifmga keltiring;
2. Keyin ushbu logarifmlarni qo'shing;
3. Olingan qurilishda barcha logarifmlar bir xil asosga olib keladi.

Natijada siz 8-9-sinf materiallaridan algebraning elementar usullari bilan yechilgan oddiy tenglamaga ega bo'lasiz. Umuman saytimga kiring, logarifm yechishda mashq qiling, men kabi logarifmik tenglamalarni yeching, mendan yaxshiroq yeching. Va bu men uchun hammasi. Pavel Berdov siz bilan edi. Ko'rishguncha!

Ma'lumki, ifodalarni darajalar bilan ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari har doim qo'shiladi (a b * a c = a b + c). Bu matematik qonun Arximed tomonidan olingan bo'lib, keyinchalik 8-asrda matematik Virasen butun son ko'rsatkichlari jadvalini yaratdi. Aynan ular logarifmlarning keyingi kashfiyoti uchun xizmat qilganlar. Ushbu funktsiyadan foydalanish misollarini oddiy qo'shishga og'ir ko'paytirishni soddalashtirish kerak bo'lgan deyarli hamma joyda topish mumkin. Agar siz ushbu maqolani o'qishga 10 daqiqa vaqt ajratsangiz, biz sizga logarifm nima ekanligini va ular bilan qanday ishlashni tushuntiramiz. Oddiy va tushunarli til.

Matematikada ta'rif

Logarifm quyidagi ko‘rinishdagi ifodadir: log a b=c, ya’ni har qanday manfiy bo‘lmagan (ya’ni har qanday musbat) “b”ning “a” asosi bo‘yicha logarifmi “c” ning kuchi hisoblanadi. , "a" bazasini ko'tarish kerak, natijada "b" qiymatini olish uchun. Logarifmni misollar yordamida tahlil qilamiz, deylik log 2 ifodasi bor 8. Javobni qanday topish mumkin? Bu juda oddiy, siz shunday darajani topishingiz kerakki, 2 dan kerakli darajaga qadar siz 8 ball olasiz. O'zingizning fikringizcha hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz 3 raqamini olamiz! Va to'g'ri, chunki 2 ning 3 kuchiga javobda 8 raqamini beradi.

Logarifmlarning turlari

Ko'pgina o'quvchilar va talabalar uchun bu mavzu murakkab va tushunarsiz bo'lib tuyuladi, lekin aslida logarifmlar unchalik qo'rqinchli emas, asosiysi ularning umumiy ma'nosini tushunish va ularning xususiyatlarini va ba'zi qoidalarini eslab qolishdir. Logarifmik ifodalarning uch xil turi mavjud:

1. Natural logarifm ln a, bu yerda asos Eyler soni (e = 2,7).
2. O'nlik a, bu erda asos 10 ga teng.
3. Har qanday b sonining a>1 asosiga logarifmi.

Ularning har biri logarifmik teoremalardan foydalangan holda soddalashtirish, qisqartirish va keyinchalik bitta logarifmaga qisqartirishni o'z ichiga olgan standart usulda hal qilinadi. Logarifmlarning to'g'ri qiymatlarini olish uchun ularning xususiyatlarini va qarorlarida harakatlar tartibini eslab qolish kerak.

Qoidalar va ba'zi cheklovlar

Matematikada aksioma sifatida qabul qilingan bir qancha qoida-cheklovlar mavjud, ya'ni ular muhokamaga tortilmaydi va haqiqatdir. Masalan, sonlarni nolga bo'lish mumkin emas, manfiy sonlardan juft ildiz olish ham mumkin emas. Logarifmlarning o'z qoidalari ham bor, ularga rioya qilgan holda siz hatto uzoq va sig'imli logarifmik ifodalar bilan qanday ishlashni osongina o'rganishingiz mumkin:

• "a" asosi har doim noldan katta bo'lishi kerak va ayni paytda 1 ga teng bo'lmasligi kerak, aks holda ifoda o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki "1" va "0" har qanday darajada har doim ularning qiymatlariga teng;
• a > 0 bo'lsa, a b > 0 bo'lsa, "c" noldan katta bo'lishi kerakligi ma'lum bo'ladi.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin?

Misol uchun, 10 x \u003d 100 tenglamasiga javob topish vazifasi berilgan. Bu juda oson, biz 100 ni oladigan o'n raqamini ko'tarish orqali bunday quvvatni tanlashingiz kerak. Bu, albatta, 10 2 ni tashkil qiladi. \u003d 100.

Endi bu ifodani logarifmik ko‘rinishda ifodalaylik. Biz log 10 100 = 2 ni olamiz. Logarifmlarni yechishda barcha amallar amalda berilgan sonni olish uchun logarifm asosini kiritish darajasini topishga yaqinlashadi.

Noma'lum darajaning qiymatini aniq aniqlash uchun siz darajalar jadvali bilan ishlashni o'rganishingiz kerak. Bu shunday ko'rinadi:

Ko'rib turganingizdek, ba'zi eksponentlarni intuitiv ravishda taxmin qilish mumkin, agar sizda texnik fikrlash va ko'paytirish jadvalini bilishingiz mumkin. Biroq, kattaroq qiymatlar quvvat jadvalini talab qiladi. Bu murakkab matematik mavzularda umuman hech narsani tushunmaydiganlar ham foydalanishi mumkin. Chap ustunda raqamlar mavjud (a asosi), raqamlarning yuqori qatori c kuchining qiymati bo'lib, a soni ko'tariladi. Hujayralarning kesishmasida javob bo'lgan raqamlarning qiymatlari aniqlanadi (a c = b). Masalan, 10 raqami bo'lgan birinchi katakchani olaylik va uning kvadratini olamiz, biz ikkita katakchamizning kesishmasida ko'rsatilgan 100 qiymatini olamiz. Hammasi shunchalik sodda va osonki, hatto eng haqiqiy gumanist ham tushunadi!

Tenglamalar va tengsizliklar

Ma'lum bo'lishicha, ma'lum sharoitlarda ko'rsatkich logarifmdir. Shuning uchun har qanday matematik sonli ifodalarni logarifmik tenglama sifatida yozish mumkin. Masalan, 3 4 =81 ni 81 ning 3 ta asosiga logarifmi sifatida yozish mumkin, bu esa to'rt (log 3 81 = 4). Salbiy kuchlar uchun qoidalar bir xil: 2 -5 = 1/32 biz logarifm sifatida yozamiz, log 2 (1/32) = -5 ni olamiz. Matematikaning eng qiziqarli bo'limlaridan biri "logarifmlar" mavzusidir. Biz misollar va tenglamalarning yechimlarini ularning xususiyatlarini o'rgangandan so'ng, biroz pastroq ko'rib chiqamiz. Endi tengsizliklar qanday ko‘rinishini va ularni tenglamalardan qanday ajratish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.

Quyidagi ko'rinishdagi ifoda berilgan: log 2 (x-1) > 3 - bu logarifmik tengsizlikdir, chunki noma'lum qiymat "x" logarifma belgisi ostidadir. Shuningdek, ifodada ikkita miqdor solishtiriladi: ikkinchi asosdagi kerakli sonning logarifmi uch sonidan katta.

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar o'rtasidagi eng muhim farq shundaki, logarifmli tenglamalar (masalan, 2 x = √9 logarifmi) javobda bir yoki bir nechta o'ziga xos sonli qiymatlarni nazarda tutadi, tengsizlikni yechishda ikkala diapazon ham mavjud. qabul qilinadigan qiymatlar va ushbu funktsiyani buzadigan nuqtalar. Natijada, javob tenglamaning javobidagi kabi oddiy raqamlar to'plami emas, balki uzluksiz qator yoki raqamlar to'plamidir.

Logarifmlar haqidagi asosiy teoremalar

Logarifmning qiymatlarini topish bo'yicha ibtidoiy vazifalarni hal qilishda uning xususiyatlari noma'lum bo'lishi mumkin. Biroq, logarifmik tenglamalar yoki tengsizliklar haqida gap ketganda, birinchi navbatda, logarifmlarning barcha asosiy xususiyatlarini aniq tushunish va amalda qo'llash kerak. Tenglamalar misollari bilan keyinroq tanishamiz, avvalo har bir xususiyatni batafsil tahlil qilamiz.

1. Asosiy identifikatsiya quyidagicha ko'rinadi: a logaB =B. Bu faqat a 0 dan katta, birga teng emas va B noldan katta bo'lsa amal qiladi.
2. Mahsulotning logarifmini quyidagi formulada ifodalash mumkin: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bunday holda, old shart: d, s 1 va s 2 > 0; a≠1. Siz logarifmlarning ushbu formulasini misollar va yechim bilan isbotlashingiz mumkin. Log a s 1 = f 1 va log a s 2 = f 2, keyin a f1 = s 1, a f2 = s 2 bo‘lsin. Biz s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (daraja xossalari) ni olamiz. ), va keyinchalik ta'rifi bo'yicha: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bu isbotlanishi kerak edi.
3. Bo'limning logarifmi quyidagicha ko'rinadi: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Formula ko'rinishidagi teorema quyidagi shaklni oladi: log a q b n = n/q log a b.

Bu formula "logarifm darajasining xossasi" deb ataladi. Bu oddiy darajalarning xususiyatlariga o'xshaydi va bu ajablanarli emas, chunki barcha matematika muntazam postulatlarga tayanadi. Keling, dalilni ko'rib chiqaylik.

Log a b \u003d t bo'lsin, a t \u003d b chiqadi. Ikkala qismni m quvvatiga ko'tarsangiz: a tn = b n ;

lekin a tn = (a q) nt/q = b n bo‘lgani uchun log a q b n = (n*t)/t bo‘ladi, keyin log a q b n = n/q log a b bo‘ladi. Teorema isbotlangan.

Muammolar va tengsizliklarga misollar

Logarifm masalalarining eng keng tarqalgan turlari tenglamalar va tengsizliklarga misollardir. Ular deyarli barcha muammoli kitoblarda uchraydi, shuningdek, matematikadan imtihonlarning majburiy qismiga kiritilgan. Universitetga kirish yoki matematikadan kirish testlaridan o'tish uchun siz bunday vazifalarni qanday to'g'ri hal qilishni bilishingiz kerak.

Afsuski, logarifmning noma'lum qiymatini echish va aniqlashning yagona rejasi yoki sxemasi mavjud emas, ammo har bir matematik tengsizlik yoki logarifmik tenglamaga ma'lum qoidalar qo'llanilishi mumkin. Avvalo, ifodani soddalashtirish yoki umumiy shaklga qisqartirish mumkinligini aniqlashingiz kerak. Uzoq logarifmik ifodalarni ularning xossalaridan to‘g‘ri foydalansangiz, soddalashtirishingiz mumkin. Keling, tez orada ular bilan tanishamiz.

Logarifmik tenglamalarni yechishda oldimizda qanday logarifm borligini aniqlash kerak: ifoda misolida natural logarifm yoki kasr bo‘lishi mumkin.

Mana ln100, ln1026 misollar. Ularning yechimi shundan iboratki, siz 10-bazasi mos ravishda 100 va 1026 ga teng bo'lish darajasini aniqlashingiz kerak. Tabiiy logarifmlarning yechimlari uchun logarifmik identifikatsiyalar yoki ularning xossalarini qo'llash kerak. Keling, har xil turdagi logarifmik masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqaylik.

Logarifm formulalarini qanday ishlatish kerak: misollar va echimlar bilan

Shunday qilib, keling, logarifmlar bo'yicha asosiy teoremalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqaylik.

1. Mahsulot logarifmining xossasi b sonining katta qiymatini oddiyroq omillarga ajratish zarur bo'lgan vazifalarda qo'llanilishi mumkin. Masalan, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Javob 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ko'rib turganingizdek, logarifm darajasining to'rtinchi xususiyatidan foydalanib, biz bir qarashda murakkab va yechilmaydigan ifodani echishga muvaffaq bo'ldik. Faqat bazani faktorlarga ajratish va keyin ko'rsatkich qiymatlarini logarifm belgisidan chiqarish kerak.

Imtihondan topshiriqlar

Logarifmlar ko'pincha kirish imtihonlarida uchraydi, ayniqsa Yagona davlat imtihonida logarifmik muammolar ko'p (barcha maktab bitiruvchilari uchun davlat imtihoni). Odatda bu vazifalar nafaqat A qismida (imtihonning eng oson test qismi), balki C qismida ham (eng qiyin va hajmli vazifalar) mavjud. Imtihon "Tabiiy logarifmlar" mavzusini aniq va mukammal bilishni nazarda tutadi.

Misollar va muammolarni hal qilish imtihonning rasmiy versiyalaridan olingan. Keling, bunday vazifalar qanday hal qilinishini ko'rib chiqaylik.

Berilgan log 2 (2x-1) = 4. Yechish:
keling, ifodani qayta yozamiz, uni biroz soddalashtiramiz log 2 (2x-1) = 2 2, logarifmning ta'rifiga ko'ra, biz 2x-1 = 2 4 ni olamiz, shuning uchun 2x = 17; x = 8,5.

• Yechim og'ir va chalkash bo'lmasligi uchun barcha logarifmlarni bir xil asosga qisqartirish yaxshiroqdir.
• Logarifm belgisi ostidagi barcha iboralar musbat deb ko'rsatiladi, shuning uchun logarifm belgisi ostidagi va uning asosi sifatidagi ifoda darajasining ko'rsatkichini olishda logarifm ostida qolgan ifoda musbat bo'lishi kerak.