Doira bo'ylab harakatlanayotganda chiziqli tezlik. Moddiy nuqtaning aylana bo'ylab harakati

Jismning aylana bo'ylab doimiy mutlaq tezlik bilan harakati- bu tana har qanday teng vaqt oralig'ida bir xil yoylarni tasvirlaydigan harakatdir.

Aylana ustidagi tananing holati aniqlanadi radius vektori\(~\vec r\) aylana markazidan chizilgan. Radius vektorining moduli aylana radiusiga teng R(1-rasm).

Vaqt davomida D t tananing bir nuqtadan harakatlanishi A aynan IN, siljishni \(~\Delta \vec r\) akkordga teng qiladi AB, va yoy uzunligiga teng yo'lni bosib o'tadi l.

Radius vektori D burchak ostida aylanadi φ . Burchak radianlarda ifodalanadi.

Jismning traektoriya (doira) bo'ylab harakatlanish tezligi \(~\vec \upsilon\) traektoriyaga teginish yo'naltirilgan. U deyiladi chiziqli tezlik. Chiziqli tezlik moduli aylana yoyi uzunligi nisbatiga teng l D vaqt oralig'iga t Buning uchun bu yoy tugallanadi:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

Radius vektorining burilish burchagining bu aylanish sodir bo'lgan vaqt davriga nisbatiga son jihatdan teng bo'lgan skalyar fizik miqdor deyiladi. burchak tezligi:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

Burchak tezligining SI birligi sekundiga radian (rad/s).

Doiradagi bir tekis harakatda burchak tezligi va chiziqli tezlik moduli doimiy miqdorlardir: ω = const; υ = const.

Jismning holatini aniqlash mumkin, agar radius vektorining moduli \(~\vec r\) va burchak bo'lsa. φ , u o'qi bilan tuzadi ho'kiz(burchak koordinatasi). Vaqtning dastlabki daqiqasida bo'lsa t 0 = 0 burchak koordinatasi φ 0 va vaqtida t tengdir φ , keyin aylanish burchagi D φ vaqt uchun radius vektori \(~\Delta t = t - t_0 = t\) \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\) ga teng. Keyin oxirgi formuladan biz olishimiz mumkin moddiy nuqtaning aylana bo‘ylab harakatining kinematik tenglamasi:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Bu istalgan vaqtda tananing holatini aniqlash imkonini beradi t. \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\ ekanligini hisobga olsak, biz \[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) ni olamiz. \O'ng tomon\]

\(~\upsilon = \omega R\) - chiziqli va burchak tezligi o'rtasidagi bog'liqlik formulasi.

Vaqt oralig'i Τ bu vaqtda tana bitta to'liq inqilob deb ataladi aylanish davri:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

Qayerda N- vaqt davomida tana tomonidan amalga oshirilgan aylanishlar soni D t.

Vaqt davomida D t = Τ jism \(~l = 2 \pi R\) yo'lini bosib o'tadi. Demak,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Kattalik ν , tananing vaqt birligida qancha aylanishlarini ko'rsatadigan davrning teskarisi deyiladi aylanish tezligi:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Demak,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \\omega = 2 \pi \nu .\)

Adabiyot

Aksenovich L. A. O'rta maktabda fizika: nazariya. Vazifalar. Testlar: Darslik. umumiy ta'lim muassasalari uchun nafaqa. atrof-muhit, ta'lim / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - B. 18-19.

Masofa va bu masofani bosib o'tish uchun ketadigan vaqt jismoniy tushuncha - tezlik bilan bog'langan. Va odamda, qoida tariqasida, bu qiymatni aniqlash haqida hech qanday savol yo'q. Har bir inson mashinani 100 km/soat tezlikda haydash bir soatda 100 kilometr yurish demakligini tushunadi.

Ammo tana aylansa nima bo'ladi? Misol uchun, oddiy uy fanati soniyada o'nlab aylanishlarni amalga oshiradi. Va shu bilan birga, pichoqlarning aylanish tezligi shundayki, ular o'zingizga zarar etkazmasdan osongina qo'l bilan to'xtatilishi mumkin. Yer o'z yulduzi - Quyosh atrofida bir yil davomida bir marta aylanadi, bu 30 million soniyadan ko'proqni tashkil qiladi, ammo uning yulduz aylanasi orbitadagi harakat tezligi sekundiga 30 kilometrni tashkil qiladi!

Oddiy tezlikni aylanish tezligi bilan qanday bog'lash mumkin, burchak tezligi formulasi qanday ko'rinadi?

Burchak tezligi haqida tushuncha

Aylanish qonuniyatlarini o‘rganishda burchak tezligi tushunchasidan foydalaniladi. Bu barcha aylanadigan jismlarga tegishli. Bu Yer va Quyoshdagi kabi ma'lum bir massaning boshqasi atrofida aylanishi yoki tananing o'zi qutb o'qi atrofida aylanishi (sayyoramizning kunlik aylanishi).

Burchak tezligi va chiziqli tezlik o'rtasidagi farq shundaki, u vaqt birligida masofani emas, balki burchakning o'zgarishini qayd etadi. Fizikada burchak tezligi odatda yunon alifbosining "omega" harfi - ō bilan belgilanadi.

Aylanishning burchak tezligining klassik formulasi quyidagicha ko'rib chiqiladi.

Tasavvur qilaylik, jismoniy jism ma'lum bir A markazi atrofida doimiy tezlikda aylanadi. Uning markazga nisbatan fazodagi holati ph burchagi bilan aniqlanadi. t1 vaqtining ma'lum bir nuqtasida, ko'rib chiqilayotgan jism B nuqtasida. Jismning boshlang'ich ph1 dan og'ish burchagi.

Keyin tana C nuqtaga o'tadi. U t2 vaqtida mavjud. Ushbu harakat uchun zarur bo'lgan vaqt:

Tananing kosmosdagi holati ham o'zgaradi. Endi burilish burchagi ph2 ga teng. ∆t vaqt oralig'ida burchakning o'zgarishi:

∆ph = ph2 - ph1.

Endi burchak tezligi formulasi quyidagicha tuzilgan: burchak tezligi ∆ph burchakning ∆t vaqt ichida oʻzgarishi nisbati sifatida aniqlanadi.

Burchak tezligining birliklari

Tananing chiziqli tezligi turli miqdorlarda o'lchanadi. Yo'llarda transport vositalarining harakati odatda soatiga kilometrlarda ko'rsatiladi; dengiz kemalari tugunlar - soatiga dengiz millari. Agar biz kosmik jismlarning harakatini ko'rib chiqsak, bu erda sekundiga kilometrlar ko'pincha paydo bo'ladi.

Kattalik va aylanayotgan jismga qarab burchak tezligi ham turli birliklarda o'lchanadi.

Bir soniyada radianlar (rad/s) Xalqaro birliklar tizimida (SI) tezlikning klassik o'lchovidir. Ular tananing bir soniyada qancha radianga aylanishini (bitta to'liq aylanishda 2 ∙ 3,14 radyan) ko'rsatadi.

Daqiqada aylanishlar (rpm) texnologiyada aylanish tezligini ko'rsatish uchun eng keng tarqalgan birlikdir. Elektr va avtomobil dvigatellarining vallari daqiqada aniq (mashinangizdagi takometrga qarang) aylanishlarni hosil qiladi.

Revolutions per soniya (rps) - kamroq tez-tez ishlatiladi, birinchi navbatda, ta'lim maqsadlarida.

Aylanma davri

Ba'zan aylanish tezligini aniqlash uchun boshqa kontseptsiyadan foydalanish qulayroqdir. Revolyutsiya davri odatda ma'lum bir jismning aylanish markazi atrofida 360 ° (to'liq aylana) aylanishni amalga oshiradigan vaqt deb ataladi. Burchak tezligining aylanish davri bilan ifodalangan formulasi quyidagi shaklni oladi:

Jismlarning aylanish tezligini inqilob davri bilan ifodalash, tananing nisbatan sekin aylanadigan hollarda oqlanadi. Keling, sayyoramizning yulduz atrofidagi harakatini ko'rib chiqishga qaytaylik.

Burchak tezligi formulasi inqilob davrini bilib, uni hisoblash imkonini beradi:

ō = 2P/31536000 = 0,000000199238499086111 rad/s.

Olingan natijaga qarab, samoviy jismlarning aylanishini ko'rib chiqishda nima uchun inqilob davridan foydalanish qulayroq ekanligini tushunish mumkin. Inson o'zining oldida aniq raqamlarni ko'radi va ularning ko'lamini aniq tasavvur qiladi.

Burchak va chiziqli tezliklar o'rtasidagi bog'liqlik

Ba'zi masalalarda chiziqli va burchak tezligini aniqlash kerak. Transformatsiya formulasi oddiy: jismning chiziqli tezligi burchak tezligi va aylanish radiusining mahsulotiga teng. Rasmda ko'rsatilganidek.

Ifoda ham teskari tartibda "ishlaydi", uning yordami bilan burchak tezligi aniqlanadi. Chiziqli tezlik orqali formula oddiy arifmetik manipulyatsiyalar orqali olinadi.

Odatda, harakat haqida gapirganda, biz to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanayotgan jismni tasavvur qilamiz. Bunday harakat tezligi odatda chiziqli deb ataladi va uning o'rtacha qiymatini hisoblash oddiy: bosib o'tgan masofaning tana tomonidan bosib o'tilgan vaqtga nisbatini topish kifoya. Agar ob'ekt aylana bo'ylab harakat qilsa, unda bu holda aniqlangan chiziqli emas, lekin bu miqdor nima va u qanday hisoblanadi? Aynan shu narsa ushbu maqolada muhokama qilinadi.

Burchak tezligi: tushuncha va formula

Doira bo'ylab harakatlanayotganda, uning harakat tezligini harakatlanuvchi ob'ektni ushbu doira markaziga bog'laydigan radiusning burilish burchagi kattaligi bilan tavsiflash mumkin. Bu qiymat doimo vaqtga qarab o'zgarib turishi aniq. Bu jarayonning tezligi burchak tezligidan boshqa narsa emas. Boshqacha qilib aytganda, bu ob'ektning radius vektorining chetlanishining ob'ektning bunday burilish qilish uchun olgan vaqt davriga nisbati. Burchak tezligi formulasi (1) quyidagicha yozilishi mumkin:

w = ph / t, bu erda:

ph - radius aylanish burchagi,

t - aylanish vaqti davri.

O'lchov birliklari

Xalqaro umumiy birliklar tizimida (SI) burilishlarni tavsiflash uchun radyanlardan foydalaniladi. Shuning uchun, 1 rad/s burchak tezligini hisoblashda ishlatiladigan asosiy birlikdir. Shu bilan birga, hech kim darajalardan foydalanishni taqiqlamaydi (esda tutingki, bitta radian 180/pi yoki 57˚18’ga teng). Shuningdek, burchak tezligi daqiqada yoki soniyada aylanishlar sonida ifodalanishi mumkin. Agar aylana bo'ylab harakat bir xilda sodir bo'lsa, bu qiymatni formuladan foydalanib topish mumkin (2):

bu yerda n - aylanish tezligi.

Aks holda, oddiy tezlikda bo'lgani kabi, o'rtacha yoki oniy burchak tezligi ham hisoblanadi. Shuni ta'kidlash kerakki, ko'rib chiqilayotgan miqdor vektor hisoblanadi. Uning yo'nalishini aniqlash uchun odatda fizikada tez-tez qo'llaniladigan ishlatiladi. Burchak tezligi vektori o'ng ipli vint bilan bir xil yo'nalishda yo'naltiriladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, u tananing atrofida aylanadigan o'q bo'ylab, aylanish soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'ladigan yo'nalishda yo'naltiriladi.

Hisoblash misollari

Aytaylik, g'ildirakning chiziqli va burchak tezligi nima ekanligini aniqlashingiz kerak, agar uning diametri bir metrga teng ekanligi ma'lum bo'lsa va aylanish burchagi ph = 7t qonuniga muvofiq o'zgaradi. Keling, birinchi formulamizdan foydalanamiz:

w = ph / t = 7t / t = 7 s -1.

Bu kerakli burchak tezligi bo'ladi. Keling, bizga tanish bo'lgan harakat tezligini qidirishga o'tamiz. Ma'lumki, v = s / t. Bizning holatimizda s g'ildiraklar (l = 2p * r) va 2p bitta to'liq aylanish ekanligini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

v = 2p*r / t = w * r = 7 * 0,5 = 3,5 m/s

Mana bu mavzu bo'yicha yana bir jumboq. Ma'lumki, ekvatorda u 6370 kilometrni tashkil qiladi. Sayyoramizning o'z o'qi atrofida aylanishi natijasida paydo bo'ladigan ushbu parallelda joylashgan nuqtalar harakatining chiziqli va burchak tezligini aniqlash talab qilinadi. Bunday holda bizga ikkinchi formula kerak bo'ladi:

w = 2p*n = 2*3,14 *(1/(24*3600)) = 7,268 *10 -5 rad/s.

Chiziqli tezlik nimaga teng ekanligini aniqlash uchun qoladi: v = w*r = 7.268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 m / s.

Doira bo'ylab bir tekis harakat- bu eng oddiy misol. Masalan, soat qo'lining oxiri siferblat atrofida aylana bo'ylab harakatlanadi. Aylana bo'ylab harakatlanuvchi jismning tezligi deyiladi chiziqli tezlik.

Jismning aylana bo'ylab bir tekis harakatlanishi bilan tananing tezligi moduli vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi, ya'ni v = const va faqat tezlik vektorining yo'nalishi o'zgaradi, bu holda hech qanday o'zgarish bo'lmaydi (a r = 0) va tezlik vektorining yo'nalishdagi o'zgarishi chaqirilgan miqdor bilan tavsiflanadi markazlashtirilgan tezlashuv() a n yoki CS. Har bir nuqtada markazlashtirilgan tezlanish vektori radius bo'ylab aylananing markaziga yo'naltiriladi.

Markazga uchuvchi tezlanish moduli ga teng

a CS =v 2 / R

Bu erda v - chiziqli tezlik, R - aylananing radiusi

Guruch. 1.22. Jismning aylana bo'ylab harakati.

Jismning aylana bo'ylab harakatini tasvirlashda biz foydalanamiz radiusning aylanish burchagi– ph burchak, u orqali t vaqt davomida aylananing markazidan o‘sha vaqtda harakatlanuvchi jism joylashgan nuqtaga o‘tkazilgan radius buriladi. Aylanish burchagi radianlarda o'lchanadi. aylananing ikki radiusi orasidagi burchakka teng, ularning orasidagi yoy uzunligi aylananing radiusiga teng (1.23-rasm). Ya'ni, agar l = R bo'lsa, u holda

1 radian = l / R

Chunki aylana ga teng

l = 2pR

360 o = 2pR / R = 2p rad.

Shuning uchun

1 rad. = 57,2958 o = 57 o 18’

Burchak tezligi jismning aylana bo'ylab bir tekis harakati - bu ph radiusining burilish burchagining bu aylanish amalga oshirilgan vaqt davriga nisbatiga teng bo'lgan ō qiymati:

ō = ph / t

Burchak tezligining o'lchov birligi sekundiga radiandir [rad/s]. Chiziqli tezlik moduli bosib o'tilgan yo'l uzunligining l vaqt oralig'i t ga nisbati bilan aniqlanadi:

v=l/t

Lineer tezlik aylana atrofida bir tekis harakat bilan, aylananing berilgan nuqtasida tangens bo'ylab yo'naltiriladi. Nuqta harakat qilganda, nuqta kesib o'tgan aylananing yoyi uzunligi l ifoda bilan ph burilish burchagiga bog'liq.

l = Rph

Bu erda R - aylananing radiusi.

U holda nuqtaning bir tekis harakatlanishida chiziqli va burchak tezliklari quyidagi munosabat bilan bog'lanadi:

v = l / t = Rph / t = Rō yoki v = Rō

Guruch. 1.23. Radian.

Aylanma davri- bu tana (nuqta) aylana bo'ylab bir aylanishni amalga oshiradigan T vaqt davri. Chastotasi- bu inqilob davrining o'zaro nisbati - vaqt birligidagi aylanishlar soni (sekundiga). Aylanma chastotasi n harfi bilan belgilanadi.

n=1/T

Bir davr ichida nuqtaning ph burilish burchagi 2p rad ga teng, shuning uchun 2p = ōT, shuning uchun

T = 2p/ō

Ya'ni, burchak tezligi teng

ō = 2p / T = 2pn

Santripetal tezlanish T davri va n aylanish chastotasi bilan ifodalanishi mumkin:

a CS = (4p 2 R) / T 2 = 4p 2 Rn 2

Ushbu darsda biz egri chiziqli harakatni, ya'ni jismning aylana bo'ylab bir tekis harakatini ko'rib chiqamiz. Biz chiziqli tezlik nima ekanligini, jism aylana bo'ylab harakatlanayotganda markazlashtirilgan tezlanishni bilib olamiz. Aylanma harakatni tavsiflovchi kattaliklarni ham kiritamiz (aylanish davri, aylanish chastotasi, burchak tezligi) va bu miqdorlarni bir-biri bilan bog'laymiz.

Yagona dumaloq harakat deganda tananing istalgan teng vaqt oralig'ida bir xil burchak ostida aylanishini tushunamiz (6-rasmga qarang).

Guruch. 6. Doira bo'ylab bir tekis harakat qilish

Ya'ni, oniy tezlik moduli o'zgarmaydi:

Bu tezlik deyiladi chiziqli.

Tezlikning kattaligi o'zgarmasa-da, tezlikning yo'nalishi doimiy ravishda o'zgaradi. Nuqtalardagi tezlik vektorlarini ko‘rib chiqamiz A Va B(7-rasmga qarang). Ular turli yo'nalishlarga yo'naltirilgan, shuning uchun ular teng emas. Nuqtadagi tezlikdan ayirsak B nuqtadagi tezlik A, biz vektorni olamiz.

Guruch. 7. Tezlik vektorlari

Tezlik o'zgarishining () bu o'zgarish sodir bo'lgan vaqtga () nisbati tezlanishdir.

Shuning uchun har qanday egri chiziqli harakat tezlashadi.

Agar 7-rasmda olingan tezlik uchburchagini ko'rib chiqsak, u holda nuqtalarning juda yaqin joylashishi bilan A Va B bir-biriga nisbatan tezlik vektorlari orasidagi burchak (a) nolga yaqin bo'ladi:

Bundan tashqari, bu uchburchak teng yonli ekanligi ma'lum, shuning uchun tezlik modullari teng (bir tekis harakat):

Shunday qilib, bu uchburchakning poydevoridagi ikkala burchak ham cheksiz yaqin:

Bu vektor bo'ylab yo'naltirilgan tezlanish haqiqatda tangensga perpendikulyar ekanligini anglatadi. Ma'lumki, aylanada tangensga perpendikulyar chiziq radiusdir, shuning uchun tezlanish radius bo'ylab aylananing markaziga yo'naltirilgan. Bu tezlanish markazga qo'yilgan tezlanish deb ataladi.

8-rasmda ilgari muhokama qilingan tezlik uchburchagi va teng yonli uchburchak (ikki tomoni aylananing radiusi) ko'rsatilgan. Bu uchburchaklar o'xshashdir, chunki ular o'zaro perpendikulyar chiziqlardan hosil bo'lgan teng burchaklarga ega (radius va vektor tangensga perpendikulyar).

Guruch. 8. Markazga yo'naltirilgan tezlanish formulasini chiqarish uchun rasm

Chiziq segmenti AB bu harakat(). Biz aylanada bir tekis harakatni ko'rib chiqamiz, shuning uchun:

Olingan ifodani ga almashtiramiz AB uchburchakning o'xshashlik formulasiga:

Egri traektoriya bo'ylab harakatni tasvirlash uchun "chiziqli tezlik", "tezlanish", "koordinata" tushunchalari etarli emas. Shuning uchun aylanma harakatni tavsiflovchi miqdorlarni kiritish kerak.

1. Aylanish davri (T ) bitta to'liq inqilob vaqti deb ataladi. SI birliklarida soniyalarda o'lchanadi.

Davrlarga misollar: Yer o'z o'qi atrofida 24 soatda (), Quyosh atrofida esa 1 yilda aylanadi ().

Davrni hisoblash formulasi:

umumiy aylanish vaqti qayerda; - aylanishlar soni.

2. Aylanish chastotasi (n ) - tananing vaqt birligida amalga oshiradigan aylanishlar soni. O'zaro soniyalarda SI birliklarida o'lchanadi.

Chastotani topish formulasi:

umumiy aylanish vaqti qayerda; - aylanishlar soni

Chastota va davr teskari proportsional miqdorlardir:

3. Burchak tezligi () jismning burilish burchagi o'zgarishining bu aylanish sodir bo'lgan vaqtga nisbati deb ataladi. SI birliklarida radianlarda soniyalarga bo'lingan holda o'lchanadi.

Burchak tezligini topish formulasi:

burchakning o'zgarishi qayerda; - burchak orqali burilish sodir bo'lgan vaqt.