Kechikishli differensial tenglamalar. Kechikishli oddiy differensial tenglamalar yordamida dinamik tizimlarni modellashtirish

Kechiktirilgan tizimlar ilgari ko'rib chiqilgan tizimlardan farq qiladi, chunki ularning bir yoki bir nechta havolalarida ular chiqish qiymatining o'zgarishi boshlanishi vaqtida (kirish o'zgarishi boshlanganidan keyin) qiymat bo'yicha kechikishga ega. t, kechikish vaqti deb ataladi va bu kechikish vaqti jarayon davomida keyingi barcha vaqtlarda doimiy bo'lib qoladi.

Misol uchun, agar havola tenglama bilan tavsiflangan bo'lsa

(birinchi tartibli aperiodik bog'lanish), keyin kechikish bilan mos keladigan bog'lanish tenglamasi shaklga ega bo'ladi.

(kechikish bilan birinchi tartibning aperiodik aloqasi). Ushbu turdagi tenglama kechiktirilgan argumentli tenglama deb ataladi,

Keyin (6.31) tenglama oddiy shaklda yoziladi

noldan birgacha keskin o'zgaradi (6.20-rasm,

havola tenglamasining o'ng tomonida turib,

). Umumiy holatda, (6.31) ga kelsak, kechikish bilan har qanday bog'lanish dinamikasi tenglamasini ikkiga bo'lish mumkin:

kechikish (6.21-rasm, a) bilan bog'lanishning shartli ravishda ikkiga bo'linishiga to'g'ri keladi: bir xil tartibdagi va bir xil koeffitsientlarga ega oddiy zveno va undan oldingi kechikish elementi (6.21.6-rasm).

metallning rulonlardan qalinligi o'lchagichgacha bo'lgan harakat vaqtini bildiradi. Oxirgi ikki misolda m qiymati transport kechikishi deb ataladi.

Birinchi yaqinlashishda, tizimning havolalariga kiritilgan quvur liniyalari yoki uzun elektr liniyalari ma'lum bir kechikish qiymati t bilan tavsiflanishi mumkin.

shaklda ko'rsatilgan. 6.22, b, keyin bu bog'lanishni eksperimental egri chiziqdan m, r va k qiymatlarini olib, kechikish (6.31) bilan birinchi darajali aperiodik bog'lanish sifatida tasvirlash mumkin (6.22-rasm, b).

E'tibor bering, rasmdagi grafikga ko'ra bir xil eksperimental egri chiziq. 6.22, c tenglama bilan oddiy ikkinchi tartibli aperiodik bog'lanishning vaqt xarakteristikasi sifatida ham talqin qilinishi mumkin.

va k ni berilgan bog'lanish uchun § 4.5 da yozilgan munosabatlardan, eksperimental egri chiziqdagi ba'zi o'lchovlardan yoki boshqa usullar bilan hisoblash mumkin.

(6.36) funksiyasi kechikish (6.35) bilan bogʻlanishning uzatish funksiyasidan unchalik farq qilmaydi.

Kechikish (6.33) bilan har qanday chiziqli zveno tenglamasi endi shaklda yoziladi

Kechiktirilgan chiziqli bog'lanishning uzatish funktsiyasi bo'ladi

mos keladigan oddiy havolani kechiktirmasdan uzatish funktsiyasi ko'rsatilgan.

- uzilishlarsiz chastotani uzatish funksiyasining moduli va fazasi.

Shunday qilib, biz quyidagi qoidani olamiz.

Kechikish bilan har qanday bog'lanishning amplituda-faza xarakteristikasini qurish uchun siz mos keladigan oddiy zvenoning xarakteristikasini olishingiz va uning har bir nuqtasini aylana bo'ylab soat yo'nalishi bo'yicha burchak bilan siljitishingiz kerak, bu erda w - tebranish chastotasining qiymati. xarakteristikaning berilgan nuqtasi (6.23-rasm, a).

boshlang'ich nuqtasi o'zgarishsiz qoladi va xarakterli shamolning oxiri asimptotik tarzda kelib chiqishi atrofida aylanadi (agar operator ko'pnomining B darajasi C ko'phadidan kichik bo'lsa).

Yuqorida aytilgan ediki, shaklning haqiqiy o'tkinchi jarayonlari (vaqtinchalik xarakteristikalari). 6.22b ko'pincha (6.31) va (6.34) tenglamalari bilan bir xil yaqinlashish darajasi bilan tavsiflanishi mumkin. (6.31) va (6.34) tenglamalar uchun amplituda-faza xarakteristikalari shaklda ko'rsatilgan. 6.23, a va b. Birinchisining asosiy farqi shundaki, u o'q bilan kesishgan D nuqtasiga ega (/. Ikkala xususiyatni bir-biri bilan va haqiqiy zvenoning eksperimental amplituda-faza xarakteristikasi bilan solishtirganda, nafaqat e'tiborga olish kerak. egri chiziqning shakli, balki uning bo'ylab chastota belgilarining ō tarqalishining tabiati.

Ochiq tizimni kechiktirmasdan uzatish funksiyasi.

Yopiq tizimning xarakteristik tenglamasi, bobda ko'rsatilganidek. 5 shaklga ega

Tenglama cheksiz ko'p ildizlarga ega bo'lishi mumkin.

Ochiq tutashuvning amplituda-faza xarakteristikasi shakli, tuzilgan, lekin chastotani uzatish funktsiyasi sezilarli darajada o'zgaradi

bundan tashqari, tizimning ochilishi quyida keltirilgan ma'lum bir qoidaga muvofiq amalga oshiriladi.

Natijada, kechikish bilan birinchi va ikkinchi darajali chiziqli tizimlarning barqarorligi uchun endi faqat koeffitsientlarning ijobiyligi etarli emasligi va kechiktirilgan uchinchi va undan yuqori tartibli tizimlar uchun barqarorlik mezonlari etarli emasligi ma'lum bo'ldi. Vyshnegradskiy, Routh va Hurwitz qo'llanilmaydi.

Quyida biz barqarorlikning ta'rifini faqat Nyquist mezoni bo'yicha ko'rib chiqamiz, chunki uni ushbu qo'shiq uchun ishlatish eng oddiy bo'lib chiqadi.

1 Amplituda-faza xarakteristikasini qurish va barqarorlikni Nyquist mezoniga ko'ra o'rganish, agar ochiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasi (6.38) shaklida taqdim etilgan bo'lsa, eng yaxshisidir. Buni olish uchun tizimni to'g'ri ochish kerak.

Shaklda ko'rsatilgan holat uchun. 6.24, a, ochilish asosiy sxemaning istalgan joyida amalga oshirilishi mumkin, masalan, ko'rsatilganidek. Keyin ochiq tizimning uzatish funktsiyasi (6.41) bilan mos keladigan bo'ladi.

Shaklda ko'rsatilgan holat uchun. 6.24, b, asosiy sxemani ochish ifodani beradi

keyingi tadqiqotlar uchun qulay bo'lmagan ochiq-loop funktsiyalari:

Nihoyat, rasmda ko'rsatilgan holatda. 6.24, c, tizim ko'rsatilgan joyda ochilganda, biz (6.41) ga to'g'ri keladigan ifodani olamiz:

Chastotani uzatish funktsiyasi (6.41) sifatida ifodalanishi mumkin

Shuning uchun (6.41) ifodani shaklda taqdim etish

Kechiktirilgan chiziqli tizimlar shunday avtomatik tizimlar deb ataladi, ular odatda oddiy chiziqli tizimlar (II bo'lim) bilan bir xil tuzilishga ega bo'lib, ikkinchisidan farq qiladi, chunki ularning bir yoki bir nechta bo'g'inlarida ular boshlanish vaqtida kechikish mavjud. chiqish miqdorining (kirish o'zgarishi boshlanganidan keyin) kechikish vaqti deb ataladigan qiymatga o'zgarishi va bu kechikish vaqti jarayonning keyingi jarayoni davomida doimiy bo'lib qoladi.

Masalan, oddiy chiziqli bog'lanish tenglama bilan tasvirlangan bo'lsa

(birinchi tartibdagi aperiodik bog'lanish), keyin kechikish bilan mos keladigan chiziqli aloqa tenglamasi shaklga ega bo'ladi.

(kechikish bilan birinchi tartibning aperiodik aloqasi). Bunday turdagi tenglamalar argumenti kechiktirilgan tenglamalar yoki differentsial-farq tenglamalari deb ataladi.

Belgilang Shunda (14.2) tenglama oddiy shaklda yoziladi:

Shunday qilib, agar kirish qiymati keskin noldan bittaga o'zgartirilsa (14.1-rasm, a), u holda bog'lanish tenglamasining o'ng tomonida turgan qiymatning o'zgarishi rasmdagi grafikda tasvirlanadi. 14.1b (bir soniyadan keyin sakrash). Endi (14.3) tenglamaga qo'llaniladigan oddiy aperiodik bog'lanishning vaqtinchalik javobidan foydalanib, biz rasmdagi grafik ko'rinishidagi chiqish qiymatining o'zgarishini olamiz. 14.1, c. Bu kechikish bilan birinchi darajali aperiodik bog'lanishning vaqtinchalik javobi bo'ladi (uning aperiodik "inertial" xususiyati T vaqt doimiysi bilan belgilanadi va kechikish qiymat bilan belgilanadi.

Kechikish bilan chiziqli aloqa. Umumiy holatda, (14.2) ga kelsak, kechikish bilan har qanday chiziqli aloqaning dinamikasi tenglamasi bo'lishi mumkin.

ikkiga bo'linadi:

kechikish (14.2-rasm, a) bilan chiziqli aloqaning shartli ravishda ikkiga bo'linishiga to'g'ri keladi: bir xil tartibdagi va bir xil koeffitsientli oddiy chiziqli aloqa va undan oldingi kechikish elementi (14.2-rasm, b).

Shuning uchun kechikishli har qanday bog'lanishning vaqt xarakteristikasi mos keladigan oddiy bog'lanish bilan bir xil bo'ladi, lekin faqat vaqt o'qi bo'ylab o'ngga siljiydi.

"Sof" kechikish havolasiga misol sifatida akustik aloqa liniyasi - tovushning o'tish vaqti). Boshqa misollar, tasmali konveyer bilan harakatlanadigan moddani avtomatik dozalash tizimi - tasmaning ma'lum bir hududda harakatlanish vaqti), shuningdek, prokatning qalinligini tartibga solish tizimi, bu metallning harakatlanish vaqtini bildiradi. rulonlardan qalinligi o'lchagichgacha

Oxirgi ikki misolda miqdor transport kechikishi deb ataladi.

Birinchi taxminda tizimning havolalariga kiritilgan quvur liniyalari yoki uzun elektr liniyalari ma'lum miqdorda kechikish bilan tavsiflanishi mumkin (ular haqida batafsil ma'lumot uchun § 14.2-ga qarang).

Bog'lanishdagi kechikishning qiymati eksperimental ravishda vaqt xarakteristikasini olib tashlash orqali aniqlanishi mumkin. Misol uchun, agar birlik sifatida qabul qilingan ma'lum bir qiymat bog'lanishning kirishiga qo'llanilsa, chiqishda 2-rasmda ko'rsatilgan eksperimental egri chiziq olinadi. 14.3, b, u holda bu bog'lanishni eksperimental egri chiziqdan qiymatlarni olib, kechikish (14.2) bilan birinchi darajali aperiodik bog'lanish sifatida tasvirlash mumkin (14.3-rasm, b).

E'tibor bering, rasmdagi grafikga ko'ra bir xil eksperimental egri chiziq. 14.3, c tenglama bilan oddiy ikkinchi tartibli aperiodik bog'lanishning vaqt xarakteristikasi sifatida ham talqin qilinishi mumkin.

bundan tashqari, va k ni eksperimental egri chiziqdagi ba'zi o'lchovlarga ko'ra yoki boshqa usullar bilan berilgan bog'lanish uchun § 4.5da yozilgan munosabatlardan hisoblash mumkin.

Shunday qilib, vaqt xarakteristikasi nuqtai nazaridan, kechiktirilgan argumentli (14.2) birinchi tartibli tenglama bilan taxminan tasvirlangan haqiqiy bog'lanish ko'pincha ikkinchi darajali oddiy differensial tenglama bilan bir xil yaqinlashish darajasi bilan tavsiflanishi mumkin. (14.5). Ushbu tenglamalardan qaysi biri berilganga mos kelishini hal qilish uchun

Haqiqiy zveno, ularning amplituda-faza xususiyatlarini majburiy tebranishlar paytida uning dinamik xususiyatlarini ifodalovchi eksperimental ravishda olingan amplituda-faza xarakteristikasi bilan ham solishtirish mumkin. Kechikishli bog'lanishlarning amplituda-fazali xususiyatlarini qurish quyida ko'rib chiqiladi.

Tenglamalarni yozishda birlik uchun biz operator shaklida kechikish elementi uchun munosabatlarning ikkinchisini (14.4) ifodalaymiz. Teylor seriyasida uning o'ng tomonini kengaytirsak, biz olamiz

yoki oldindan qabul qilingan ramziy operator belgisida,

Bu ifoda funksiya tasvirlari uchun kechikish teoremasi formulasi bilan mos keladi (7.2-jadval). Shunday qilib, sof kechikish havolasi uchun biz shaklda uzatish funktsiyasini olamiz

E'tibor bering, ba'zi hollarda boshqaruv tizimida ko'p sonli kichik vaqt konstantalarining mavjudligi ushbu vaqt konstantalarining yig'indisiga teng bo'lgan doimiy kechikish shaklida hisobga olinishi mumkin. Darhaqiqat, tizimda ketma-ket bog'langan birinchi tartibli aperiodik bog'lanishlar bo'lsin, o'tkazish koeffitsienti birlikka va har bir vaqt doimiysi qiymatiga teng bo'lsin.Shundan keyin hosil bo'lgan uzatish funktsiyasi bo'ladi.

Agar chegarada bo'lsak, biz olamiz. Allaqachon uzatish funktsiyasida (14.8) kechikish bilan bog'lanishning uzatish funktsiyasidan (14.6) juda oz farq qiladi.

Kechikish (14.4) bilan har qanday chiziqli zveno tenglamasi endi shaklda yoziladi

Kechiktirilgan chiziqli bog'lanishning uzatish funktsiyasi bo'ladi

bu yerda mos keladigan oddiy chiziqli zvenoning kechikishsiz uzatish funksiyasini bildiradi.

Chastotani uzatish funksiyasi (14.10) dan almashtirish orqali olinadi

bog'lanishning kechiktirmasdan chastotani uzatish funktsiyasining moduli va fazasi qayerda. Shunday qilib, biz quyidagi qoidani olamiz.

Har qanday chiziqli bog'lanishning amplituda-faza xarakteristikasini kechikish bilan qurish uchun siz mos keladigan oddiy chiziqli bog'lanishning xarakteristikasini olishingiz va uning har bir nuqtasini aylana bo'ylab soat yo'nalishi bo'yicha burchak bilan siljitishingiz kerak , bu erda tebranish chastotasining qiymati xarakteristikaning berilgan nuqtasi (14.4-rasm, a).

Chunki amplituda fazali xarakteristikaning boshida va oxirida boshlang'ich nuqta o'zgarishsiz qoladi va xarakteristikaning oxiri asimptotik ravishda boshlang'ich atrofida aylanadi (agar operator ko'phadining darajasi polinomdan kichik bo'lsa).

Yuqorida aytilgan ediki, shaklning haqiqiy o'tkinchi jarayonlari (vaqtinchalik xarakteristikalari). 14.3, b ko'pincha (14.2) va (14.5) tenglamalar bilan bir xil yaqinlashish darajasi bilan tavsiflanishi mumkin. (14.2) va (14.5) tenglamalar uchun amplituda-faza xarakteristikalari shaklda ko'rsatilgan. 14.4, a va mos ravishda. Birinchisining asosiy farqi shundaki, u o'q bilan kesishgan D nuqtasiga ega

Ikkala xarakteristikani bir-biri bilan va haqiqiy zvenoning eksperimental amplituda-fazali xarakteristikasi bilan solishtirganda, nafaqat egri chiziq shaklini, balki uning bo'ylab chastota belgilarining taqsimlanish xarakterini ham hisobga olish kerak.

Kechiktirilgan chiziqli tizim.

Yagona zanjirli yoki ko'p devirli avtomatik tizimning bo'g'inlari orasida kechikish bilan bitta bo'g'in bo'lsin. U holda bu bog'lanishning tenglamasi (14.9) ko'rinishga ega bo'ladi. Agar bunday bog'lanishlar bir nechta bo'lsa, ular turli xil kechikish qiymatlariga ega bo'lishi mumkin.5-bobda olingan avtomatik boshqaruv tizimlarining tenglamalari va uzatish funktsiyalari uchun barcha umumiy formulalar kechikishli chiziqli tizimlar uchun amal qiladi, agar faqat uzatish funktsiyalarining qiymatlari bo'lsa. Ushbu formulalar (14.10) shaklida almashtiriladi.

Masalan, ketma-ket bog'langan bo'g'inlarning ochiq zanjiri uchun, ular orasida kechikish bilan ikkita bog'lanish mavjud, mos ravishda ochiq tizimning uzatish funktsiyasi shaklga ega bo'ladi.

bu yerda kechikish hisobga olinmagan holda ochiq kontaktlarning zanglashiga olib o‘tish funksiyasi ketma-ket ulangan zvenolarning uzatish funksiyalarining mahsulotiga teng.

Shunday qilib, ketma-ket bog'langan bo'g'inlarning ochiq zanjiri dinamikasini o'rganayotganda, butun kechikish bir bo'g'inda to'planishi yoki turli bo'g'inlarga tarqalishi muhim emas. Ko'p tsiklli sxemalar uchun yanada murakkab munosabatlar olinadi.

Agar kechikish bo'lgan salbiy teskari aloqa bo'lsa, u tenglamalar bilan tavsiflanadi;

KIRISH

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim vazirligi

"Ochiq ta'lim" xalqaro ta'lim konsortsiumi

Moskva davlat iqtisodiyot, statistika va informatika universiteti

ANO "Yevrosiyo ochiq instituti"

E.A.Gevorkyan

Kechiktiruvchi differensial tenglamalar

Darslik fanni o'rganish bo'yicha qo'llanma

Fan bo'yicha topshiriqlar to'plami Fan bo'yicha o'quv dasturi

Moskva 2004 yil

Gevorkyan E.A. Kechiktirilgan argumentli differensial tenglamalar: Darslik, fanni o'rganish bo'yicha qo'llanma, fan bo'yicha vazifalar to'plami, fan bo'yicha o'quv dasturi / Moskva davlat iqtisodiyot, statistika va informatika universiteti - M .: 2004. - 79 b.

Gevorkyan E.A., 2004 yil

Moskva davlat iqtisodiyot, statistika va informatika universiteti, 2004 yil

Qo'llanma
Kirish ................................................. . ................................................ .. ................................
1.1 Differensial tenglamalarning tasnifi
deviant argument. Dastlabki muammoning bayoni ................................................ ................. .
1.2 Kechiktirilgan argumentli differensial tenglamalar. Bosqich usuli. .........
1.3 Ajraladigan differensial tenglamalar
o'zgaruvchilar va orqada qolgan argument bilan ................................................... ................................................................
1.4 Argumenti kechiktirilgan chiziqli differensial tenglamalar......................................
1.5 Kechiktirilgan argumentli Bernulli differensial tenglamalari. ...............
1.6 Umumiy differensiallarda differensial tenglamalar
kechiktirilgan bahs bilan ................................................... ................................................................ ......................
II-BOB. Chiziqli differensial tenglamalarning davriy yechimlari
kechiktirilgan bahs bilan ................................................... ................................................................ ......................
2.1. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalarning davriy yechimlari
doimiy koeffitsientlar va ortda qolgan argument bilan ................................... ....
2.2. Chiziqli bir jinsli differensialning davriy yechimlari
..................
2.3. Furye qatorining murakkab shakli ...................................... ................................................................ ...
2.4. Chiziqli bir jinsli bo'lmaganlarning xususiy davriy yechimini topish
doimiy koeffitsientli va kechiktirilgan differensial tenglamalar
Furye qatoridagi tenglamaning o'ng tomonini kengaytirish orqali argument ................................... ................................ .
III-BOB. Differensial tenglamalarni echishning taxminiy usullari
kechiktirilgan bahs bilan ................................................... ................................................................ ......................
3.1. Noma'lum funksiya uchun taxminiy kengaytirish usuli
kechikish darajalari bo'yicha kechiktirilgan argumentlar bilan....................................... ....................... ........
3.2. Taxminiy Puankare usuli. ................................................ . .............................................
IV BOB. Kechiktiruvchi differensial tenglamalar,
ba'zi iqtisodiy muammolarni hal qilishda namoyon bo'ladi
kechikish vaqtini hisobga olgan holda ................................................... ................................................................ ................. ...............

4.1. Koletskiyning iqtisodiy tsikli. Differensial tenglama

Bilan o'zgarishni tavsiflovchi argument

pul mablag'lari zahirasi ................................................... ................................................................ ............... .......
4.2. Xarakteristik tenglama. Haqiqiy voqea
xarakteristik tenglamaning ildizlari ............................................. ................................................................ ....
4.3. Xarakteristik tenglamaning kompleks ildizlari holati...................................... .........
4.4. Kechikish differensial tenglamasi,
(milliy daromadga mutanosib iste'mol) ................................................ ......... .........
4.5. Kechikish differensial tenglamasi,
laglar bilan modellarda milliy daromad dinamikasini tavsiflash
(iste'mol o'sish sur'ati bilan eksponent ravishda o'sadi)................................................ ......................... .........
Adabiyot.................................................. ................................................ . ......................

Intizomni o'rganish bo'yicha qo'llanma
2. Asosiy mavzular ro‘yxati ........................................... ... ................................................... .. ......
2.1. Mavzu 1. Asosiy tushunchalar va ta'riflar. Tasniflash
og'ish argumentli differensial tenglamalar.
Kechiktiruvchi differensial tenglamalar. .............................................
2.2. Mavzu 2. Dastlabki muammoning bayoni. Yechim bosqichi usuli
kechiktirilgan argumentli differensial tenglamalar. Misollar.......................
2.3. Mavzu 3. Ajraladigan differensial tenglamalar
o'zgaruvchilar va kechiktirilgan argumentlar bilan. Misollar. ................................................ . .
2.4. Mavzu 4. Chiziqli differensial tenglamalar
2.5. Mavzu 5. Bernulli differensial tenglamalari
kechiktirilgan argument bilan. Misollar. ................................................ . .................................
2.6. 6-mavzu.To`liq differensiallarda differensial tenglamalar
kechiktirilgan argument bilan. Kerakli va etarli shartlar. Misollar............
2.7. 7-mavzu. Chiziqli bir jinsli differentsialning davriy yechimlari
doimiy koeffitsientli va kechiktirilgan argumentli tenglamalar.
2.8. 8-mavzu. Chiziqli bir jinsli differensialning davriy yechimlari
doimiy koeffitsientli va kechiktirilgan argumentli tenglamalar.
Misollar. ................................................ . ................................................ .. .............................................
2.9. Mavzu 9. Furye qatorining murakkab shakli. Shaxsiy davriy jurnalni topish
o'zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar yechimlari va bilan
Tenglamaning o'ng tomonini Furye qatoriga kengaytirish orqali kechiktirilgan argument.
Misollar. ................................................ . ................................................ .. .............................................
2.10. 10-mavzu. Differensial tenglamalarning taqribiy yechimi
funktsiyani kechikishdan ajratishning kechiktirilgan argument usuli
kechikish darajalari bo'yicha. Misollar ................................................... ................................................
2.11. 11-mavzu. Davriyni topishning taxminiy Puankare usuli
kichik parametrli kvazizikli differensial tenglamalar yechimlari va
kechiktirilgan argument bilan. Misollar. ................................................ . .................................

2.12. Mavzu 12. Koletskiyning iqtisodiy sikli. Differensial tenglama

Bilan K(t) funksiyasi uchun ortda qolgan argument, naqd pul zaxirasini ko'rsatuvchi

t vaqtidagi asosiy kapital ............................................. ................................................. ...
2.13. 13-mavzu. Tegishli xarakteristik tenglamani tahlil qilish
K(t) funksiya uchun differensial tenglama. ................................................ . ............
2.14. 14-mavzu. Xarakteristik tenglamaning kompleks yechimlari holati
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. 15-mavzu. y(t) funksiya uchun differensial tenglama, ko`rsatish
iste'mol funktsiyasi c(t -t ) = (1 - a ) y (t -t ) ko'rinishga ega bo'lib, bu erda a - doimiy tezlik
ishlab chiqarish jamg'armasi ................................................... ................................................................ ............
2.16. 16-mavzu. y(t) funksiya uchun differentsial tenglama, ko'rsatish
kapital qo'yilmalar lag bo'lgan modellarda milliy daromad, sharti bilan
iste'molchi funktsiyasi c (t - t ) = c (o ) e r (t - t ) ............... ko'rinishga ega. ... ...................................
Fan bo'yicha topshiriqlar to'plami ............................................. .. .................................................
Fanlar bo'yicha o'quv rejasi ................................................ ................................................................ ....

Qo'llanma

KIRISH

Kirish

Ushbu o'quv qo'llanma ba'zi texnik va iqtisodiy muammolarda uchraydigan kechiktirilgan argumentlar bilan differentsial tenglamalarni integrallash usullarini taqdim etishga bag'ishlangan.

Yuqoridagi tenglamalar odatda keyingi ta'sirga ega bo'lgan har qanday jarayonlarni tavsiflaydi (kechikishli jarayonlar, vaqtni kechiktirish bilan). Misol uchun, o'rganilayotgan jarayonda bizni qiziqtirgan miqdorning t vaqtidagi qiymati t-t vaqtidagi x qiymatiga bog'liq bo'lsa, bu erda t - vaqt oralig'i (y(t)=f). Yoki, y miqdorning qiymati t vaqtidagi bir xil miqdor qiymatiga bog‘liq bo‘lsa.

kamroq t-t (y(t)=f).

Kechiktirilgan argumentli differentsial tenglamalar bilan tasvirlangan jarayonlar tabiiy fanlarda ham, iqtisodiy fanlarda ham uchraydi. Ikkinchisida, bu ijtimoiy ishlab chiqarish tsiklining ko'pgina bo'g'inlarida vaqt oralig'i mavjudligi bilan ham, investitsion kechikishlar (ob'ektlarni loyihalash boshlanganidan to to'liq quvvat bilan ishga tushirishgacha bo'lgan davr), demografik kechikishlar () bilan bog'liq. tug'ilgan kundan boshlab mehnatga layoqatli yoshga kirishgacha bo'lgan davr va o'qishni tugatgandan so'ng ishga joylashish).

Texnik va iqtisodiy muammolarni hal qilishda kechikish vaqtini hisobga olish juda muhim, chunki kechikishning mavjudligi olingan echimlarning tabiatiga sezilarli ta'sir ko'rsatishi mumkin (masalan, ma'lum sharoitlarda bu echimlarning beqarorligiga olib kelishi mumkin).

FROM ARGUMENT

I-BOB. Differensial tenglamalarni yechish bosqichlari usuli

Bilan orqadagi argument

1.1. Argumentdan chetga chiquvchi differensial tenglamalarning tasnifi. Dastlabki muammoning bayoni

Ta'rif 1. Argumentdan chetga chiquvchi differensial tenglamalar argumentning turli qiymatlari uchun noma'lum X(t) funksiyasi kiritiladigan differentsial tenglamalar deb ataladi.

X(t) = f ( t, x (t), x ),

X(t) = f [ t, x (t), x (t - t 1 ), x (t - t 2 )] ,
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -t (t )] , x [ t - t
X(t) = f t, x (t) , x (t) , x (t/2), x(t/2) .

(t)]

Ta'rif 2. Kechiktirilgan argumentli differentsial tenglama - bu noma'lum funktsiyaning eng yuqori tartibli hosilasi argumentning bir xil qiymatlarida paydo bo'ladigan va bu argument barcha argumentlardan kam bo'lmagan argumentli differensial tenglama. tenglamaga kiritilgan noma'lum funksiya va uning hosilalari.

E'tibor bering, 2-ta'rifga ko'ra, (1) va (3) tenglamalar t (t) ≥ 0, t - t (t) ≥ 0 shartlarda kechiktirilgan argumentli tenglamalar, (2) tenglama tenglama bo'ladi.

ortda qolgan argument bilan, agar t 1 ≥ 0, t 2 ≥ 0, t ≥ t 1, t ≥ t 2 bo‘lsa, (4) tenglama t ≥ 0 bo‘lgani uchun orqada qolgan argumentli tenglamadir.

Ta'rif 3. Etakchi argumentli differentsial tenglama - bu noma'lum funktsiyaning eng yuqori tartibli hosilasi argumentning bir xil qiymatlarida sodir bo'ladigan va bu argument qolgan qismidan katta bo'lmagan argumentli differensial tenglama. noma'lum funktsiyaning argumentlari va tenglamaga kiritilgan hosilalari.

Etakchi argumentli differentsial tenglamalarga misollar:

X(t)=

X(t)=

X(t)=

f ( t, x(t), x[ t + t (t) ] ) ,

f [ t , x (t ), x (t + t 1 ), x (t + t 2 )] ,

f t, x (t), x. (t ), x [ t + t (t )] , x . [ t + t

(t)] .

I. DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI YECHISHNING QADAMLI USULI

FROM ARGUMENT

Ta'rif 4. Kechiktirilgan yoki etakchi argumentli tenglamalar bo'lmagan og'ish argumentli differensial tenglamalar neytral tipdagi differensial tenglamalar deyiladi.

Neytral tipdagi og'ish argumentli differensial tenglamalarga misollar:

X (t) = f t, x(t) , x(t - t ) , x(t - t )

X (t) = f t, x(t) , x[ t - t (t) ] , x[ t - t (t) ] , x[ t - t (t) ] .

E'tibor bering, shunga o'xshash tasniflash "funktsiya" so'zini "vektor funktsiyasi" so'zi bilan almashtirish orqali og'ish argumentli differentsial tenglamalar tizimlari uchun ham qo'llaniladi.

Og'ish argumentli eng oddiy differentsial tenglamani ko'rib chiqing:

X (t) = f [ t, x(t) , x(t - t ) ] ,

bu erda t ≥ 0 va t - t ≥ 0 (aslida biz kechiktirilgan argumentli differentsial tenglamani ko'rib chiqamiz). (10) tenglamani yechishdagi asosiy dastlabki vazifa quyidagicha: t > t 0 (t 0 -) uchun (10) tenglamaning X (t) uzluksiz yechimini aniqlash.

belgilangan vaqt) sharti bilan X (t ) = s 0 (t ) t 0 − t ≤ t ≤ t 0 bo‘lganda, bu yerda s 0 (t ) berilgan uzluksiz boshlang‘ich funksiya. [ t 0 − t , t 0 ] segmenti boshlang‘ich to‘plam, t 0 esa boshlang‘ich nuqta deyiladi. X (t 0 + 0) = s 0 (t 0 ) deb faraz qilinadi (1-rasm).

X (t) \u003d s 0 (t)

	t 0 − t		t0 + t		0 + τ
Agar kechikish t bo'lsa		(10) tenglamada t vaqtga bog'liq		(t = t (t )), keyin boshlang'ich

Masala quyidagicha tuzilgan: t > t 0 uchun (10) tenglamaning yechimini topish, agar X (t ) = s 0 t boshlang‘ich funksiyasi t 0 − t (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 uchun ma’lum bo‘lsa.

Misol. Tenglamaning yechimini toping.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
t > t 0 = 0 uchun boshlang'ich funksiya X (t ) = s 0 (t ) uchun (t 0 - cos2 t 0 ) |	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

I. DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI YECHISHNING QADAMLI USULI

FROM ARGUMENT

Misol. Tenglamaning yechimini toping

	X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ]			da (t	−t	/ 2) |
	t > t 0 = 1, agar boshlang'ich funksiya X (t ) = s t bo'lsa						≤ t ≤ t
						t=1			t=1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

E'tibor bering, boshlang'ich funktsiya odatda ko'rsatilgan yoki eksperimental tarzda topilgan (asosan texnik muammolarda).

1.2. Kechiktiruvchi differensial tenglamalar. Bosqich usuli

Kechiktirilgan argumentli differentsial tenglamani ko'rib chiqing.

t ≥ t 0 uchun (13) tenglamaning yechimini topish talab qilinadi.

t ≥ t 0 uchun (13) tenglama yechimini topish uchun qadam usulidan (ketma-ket integrallash usuli) foydalanamiz.

Bosqichli usulning mohiyati shundan iboratki, avval t 0 ≤ t ≤ t 0 + t uchun (13) tenglamaning yechimini topamiz, keyin t 0 + t ≤ t ≤ t 0 + 2t va hokazo. Shu bilan birga, masalan, t 0 ≤ t ≤ t 0 + t mintaqasida t − t argumenti t 0 − t ≤ t − t ≤ t 0 oralig‘ida, keyin tenglamada o‘zgarishini ta’kidlaymiz.

(13) bu mintaqada x (t − t ) o‘rniga s 0 (t − t ) boshlang‘ich funksiyani olishimiz mumkin. Keyin

t 0 ≤ t ≤ t 0 hududida (13) tenglamaning yechimini topamiz.		+ t qayta kerak
oddiy differensial tenglamani quyidagi shaklda kechiktirmasdan tiking:
	[ t, x(t) , s 0 (t - t ) ] ,
X(t) = f
t 0 ≤ t ≤ t 0 + t uchun	boshlang'ich sharti bilan X (t 0) = s (t 0) (1-rasmga qarang).
	X (t) = s 1 (t) ko'rinishda ushbu boshlang'ich muammoning echimini topish,	biz yuborishimiz mumkin -

t 0 + t ≤ t ≤ t 0 + 2t segmentida yechim topish masalasini yechish va hokazo.

Shunday qilib, bizda:

			0 (t - t ) ] ,
	X (t) = f [ t, x(t) , s
t 0 da	≤ t ≤ t0 + t , X (t0 )		= s 0 (t 0 ),
	X (t) = f [ t, x(t) , s 1 (t - t ) ] ,
t 0 +t ≤ t ≤ t 0 + 2 t uchun,			X (t 0 + t ) = s 1(t 0 + t ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , s 2 (t - t ) ] ,
t 0 + 2t ≤ t ≤ t 0 + 3t uchun,			X (t 0 + 2 t ) = s 2 (t 0 + 2 t ),
	X (t) = f [ t, x(t) , s n (t - t ) ] ,
uchun t 0 + n t ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) t , X (t 0 + n t ) = s n (t 0 + n t ),
	s i (t ) bo‘ladi	ko'rib chiqilgan boshlang'ichning yechimi		segmentdagi vazifalar
t 0 + (i −1 ) ≤ t ≤ t 0 +i t		(I=1,2,3…n,…).

I. DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI YECHISHNING QADAMLI USULI

FROM ARGUMENT

Kechiktirilgan argumentli (13) differensial tenglamani yechish bosqichlarining bunday usuli t ning ma'lum chekli o'zgarishi oralig'ida X (t) yechimni aniqlash imkonini beradi.

Misol 1. Qadamlar usulidan foydalanib, kechiktirilgan argumentli birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimini toping.

	(t) = 6 X (t - 1 )
mintaqada 1 ≤ t ≤ 3, agar 0 ≤ t ≤ 1 uchun boshlang‘ich funksiya X (t ) = s 0 (t ) = t ko‘rinishga ega bo‘lsa.
Yechim. Avval (19) tenglamaning yechimini 1 ≤ t ≤ 2 hududida topamiz. Buning uchun in
(19) X (t - 1) ni s 0 (t - 1) bilan almashtiramiz, ya'ni,
X (t - 1 ) = s 0 (t - 1 ) = t| t → t - 1 = t - 1
va X (1) = s 0 (1) = t | ni hisobga oling
Shunday qilib, 1 ≤ t ≤ 2 hududida biz oddiy differensial tenglamani olamiz.
	(t )= 6 (t − 1 )
yoki dx(t)	6 (t -1 ) .
Uni (20) ni hisobga olgan holda yechib, 1 ≤ t ≤ 2 uchun (19) tenglamaning yechimini shaklda olamiz.
X (t) = 3 t 2 - 6 t + 4 = 3 (t - 1 ) 2 + 1.
(19) tenglamada 2 ≤ t ≤ 3 mintaqada yechim topish uchun X (t - 1) ni quyidagiga almashtiramiz.
s 1 (t -1 ) = 3 (t -1 ) 2 +1 | t → t - 1		3(t - 2) 2 + 1. Keyin oddiyni olamiz		differensial
tenglama:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
uning yechimi shaklga ega (2-rasm)
X ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Yirtqich va o'lja o'zaro ta'sirini o'rganishda vaqtni kechiktirish bilan logistik tenglama qo'llanilishi mumkin.- Logistik tenglamaga muvofiq barqaror chegara sikllari.
Vaqtni kechiktirishning mavjudligi yirtqich va o'lja munosabatlarining oddiy tizimini modellashtirishning boshqa usulini qo'llash imkonini beradi.

Ushbu usul logistika tenglamasiga asoslanadi (6.9-bo'lim):

10.1-jadval. Lotka-Volterra modelida (va umuman yirtqich o'lja modellarida) olingan populyatsiya dinamikasining tub o'xshashligi, bir tomondan, vaqtni kechiktiradigan logistika modelida, boshqa tomondan. Ikkala holatda ham yirtqichlarning ko'pligi maksimal (va minimal) bilan yirtqichlarning ko'pligi maksimal (va minimal) bilan to'rt fazali tsikl mavjud.

Bu tenglamadagi yirtqichlar populyatsiyasining o'sish tezligi dastlabki ko'pligi (C) va o'ziga xos o'sish tezligiga bog'liq, r-(K-C) I Kf bu erda K - yirtqichlar populyatsiyasining to'yinganlik chegarasi. Nisbiy tezlik, o'z navbatida, atrof-muhitdan to'liq foydalanilmaslik darajasiga (C-C) bog'liq bo'lib, uni yirtqich populyatsiyasi holatida yirtqichning ehtiyojlari o'ljaning mavjudligidan qanchalik yuqori bo'lganligi deb hisoblash mumkin. Biroq, yirtqichlarning mavjudligi va shuning uchun yirtqichlar populyatsiyasining nisbiy o'sish sur'ati ko'pincha oldingi davrdagi yirtqichlar populyatsiyasining zichligini aks ettiradi (6.8.4-bo'lim). Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, yirtqich populyatsiyasining o'z zichligiga javob berishda vaqt oralig'i bo'lishi mumkin:
dC`l (Know-Iag\
- - G. Gnow j.
Agar bu kechikish kichik bo'lsa yoki yirtqich juda sekin ko'paysa (ya'ni, r qiymati kichik bo'lsa), unda bunday populyatsiyaning dinamikasi oddiy logistik tenglama bilan tavsiflanganidan sezilarli darajada farq qilmaydi (qarang, may, 1981a). Kechikish vaqti va ko'payish tezligining o'rtacha yoki yuqori qiymatlarida populyatsiya barqaror chegara tsikllari bilan tebranadi. Bundan tashqari, agar ushbu barqaror chegara davrlari logistik tenglama bo'yicha vaqtni kechiktirish bilan sodir bo'lsa, ularning davomiyligi (yoki "davr") davomiylikdan taxminan to'rt baravar ko'pdir.

qurbonlar sonining o'zgarishi mexanizmini tushunish uchun.
Tabiiy populyatsiyalardan olingan bir qator misollar mavjud bo'lib, ularda yirtqichlar va o'ljalar sonining muntazam tebranishlarini topish mumkin. Ular mazhabda muhokama qilinadi. 15,4; bu erda faqat bitta misol foydali bo'ladi (Qarang: Keyt, 1983). Quyon populyatsiyasining o'zgarishi ekologlar tomonidan asrimizning 20-yillaridan beri muhokama qilinmoqda va ovchilar ularni 100 yil oldin kashf etgan. Misol uchun, Shimoliy Amerikaning boreal o'rmonlarida joylashgan Amerika quyoni (Lepus americanus) "10 yillik populyatsiya tsikliga" ega (garchi aslida uning davomiyligi 8 yildan 11 yilgacha o'zgarib turadi; B-rasm). Bu hududning oʻtxoʻr hayvonlari orasida oq quyon ustunlik qiladi; ko'p sonli butalar va mayda daraxtlarning kurtaklar uchlari bilan oziqlanadi. Uning ko'pligidagi tebranishlar bir qator yirtqichlar, shu jumladan silovsin (Lynx canadensis) ko'pligidagi tebranishlarga mos keladi. 10 yillik mo'l-ko'lchilik davri boshqa ba'zi o'txo'r hayvonlarga, ya'ni yoqali findiq va amerikalik yovvoyi to'rga xosdir. Quyonlar populyatsiyasida ko'pincha 10-30 marta, qulay sharoitlarda esa 100 marta o'zgarishlar kuzatiladi. Bu tebranishlar, ayniqsa, Alyaskadan Nyufaundlendgacha bo'lgan ulkan hududda deyarli bir vaqtning o'zida sodir bo'lganda ta'sirchan bo'ladi.
Oq quyonning kamayishi past tug'ilish, past omon qolish, vazn yo'qotish va past o'sish sur'ati bilan birga keladi; bu hodisalarning barchasi tajribada ko'paytirilishi mumkin, bu ovqatlanish sharoitlarini yomonlashtiradi. Bundan tashqari, to'g'ridan-to'g'ri kuzatuvlar quyonlarning maksimal ko'pligi davrida oziq-ovqat mavjudligining pasayishini tasdiqlaydi. Garchi, ehtimol, bundan ham muhimi, o'simliklar kuchli ovqatlanishga juda ko'p zaharli moddalarga ega kurtaklar shakllanishi bilan javob berishadi, bu esa ularni quyonlarga yaroqsiz qiladi. Va o'simliklar qattiq tishlashdan keyin 2-3 yil davomida shu tarzda himoyalangan bo'lishi ayniqsa muhimdir. Bu quyon sonining qisqarishi boshlanishi va uning oziq-ovqat zaxirasini tiklash o'rtasidagi kechikishga olib keladi, taxminan 2,5 yil. Ikki yarim yil - va vaqtning juda kechikishi mavjud, bu bitta tsikl davomiyligining to'rtdan bir qismini tashkil etadi, bu oddiy modellar bo'yicha bashoratlarga to'liq mos keladi. Shunday qilib, ko'rinishidan, quyon populyatsiyasi va o'simliklar populyatsiyasi o'rtasida o'zaro ta'sir mavjud bo'lib, quyonlar sonini kamaytiradi va vaqtning kechikishi bilan yuzaga keladi, bu tsiklik tebranishlarni keltirib chiqaradi.
Boshqa tomondan, yirtqichlar, ehtimol, quyon sonining o'zgarishiga ergashadilar va ularga sabab bo'lmaydilar. Shunga qaramay, tebranishlar, ehtimol, quyonlar sonining kamayishi davrida yirtqichlar sonining yirtqichlar soniga nisbati yuqoriligi, shuningdek, ularning minimal sonidan keyingi davrda ularning past nisbati tufayli aniqroq bo'lishi mumkin. quyonlar, yirtqichlardan oldinda, o'z sonlarini tiklaganlarida (10.5-rasm). Bundan tashqari, silovsin sonining quyon soniga nisbati yuqori bo'lsa, yirtqich tog'li o'yinni ko'p miqdorda, past nisbatda esa oz miqdorda iste'mol qiladi. Bu, aftidan, bu mayda o'txo'r hayvonlar sonining o'zgarishiga olib keladi (10.5-rasm). Shunday qilib, quyon va o'simlikning o'zaro ta'siri quyonning ko'pligida tebranishlarni keltirib chiqaradi, yirtqichlar ularning ko'pligidagi tebranishlarni takrorlaydi va o'txo'r qushlardagi populyatsiya tsikllari yirtqichlar bosimining o'zgarishi tufayli yuzaga keladi. Shubhasiz, oddiy modellar aholining tabiiy sharoitlarda tebranish mexanizmlarini tushunish uchun foydalidir, ammo bu modellar bu tebranishlarning yuzaga kelishini to'liq tushuntirmaydi.

Kechikishli tenglamalar uchun masalalar. Variatsion masalani ko'rib chiqing, unda boshqaruv tizimning faza traektoriyasini kechikish tenglamasi uchun Koshi muammosi orqali aniqlaydi.

Adabiyotda bunday tizimlar ko'pincha bir vaqtning o'zida tenglamalar tizimi deb ataladi, ya'ni bu erda bir tenglamaning bog'liq o'zgaruvchisi bir vaqtning o'zida bir yoki bir nechta boshqa tenglamalarda o'zgaruvchi sifatida (lekin allaqachon mustaqil sifatida) paydo bo'lishi mumkin. Bunday holda, qaram va mustaqil o'zgaruvchilar o'rtasidagi an'anaviy farq o'z ma'nosini yo'qotadi. Buning o'rniga, ikki turdagi o'zgaruvchilar o'rtasida farqlanadi. Bular, birinchidan, bir-biriga bog'liq bo'lgan (endogen) o'zgaruvchilar bo'lib, ularning bir-biriga ta'sirini o'rganish kerak (yuqoridagi tenglamalar tizimining Ay t terminidagi A matritsasi). Ikkinchidan, birinchisiga ta'sir qilishi kerak bo'lgan, lekin ularga ta'sir qilmaydigan oldindan belgilangan o'zgaruvchilar lag o'zgaruvchilari, ya'ni. lag (ikkinchi muddat) va berilgan tenglamalar tizimidan tashqarida aniqlangan ekzogen o'zgaruvchilar.

Biroq, kechikishlarning umumiy turlariga ega bo'lgan tenglamalar va qolgan qismining ko'proq yoki kamroq spetsifikatsiyasi uchun hisob-kitoblarning xususiyatlari bo'yicha hali ham etarlicha ishonchli natijalar mavjud emas. Shunday qilib, umumiy polinom lag shakliga ega regressiya tenglamasi uchun taxminlar faqat izchillik xususiyatiga ega va uch bosqichli eng kichik kvadratlar usuli bilan olingan orqada qolgan ekzogen va endogen o'zgaruvchilarga ega tenglamalar uchun baholar (birinchi tartibli Markov qoldiq avtokorrelyatsiyasi mavjud bo'lganda) ) hatto bu xususiyatga ega emas (qarang: rasmdagi baholarning tahlili).

Shunday qilib, maksimal barqarorlik darajasiga ega yuqori tezlikli tizimlarni sintez qilishda birinchi navbatda (4), ng va ō, (1=1, n) shartlarning bajarilishini ta'minlaydigan bj ning optimal qiymatlarini aniqlash kerak, keyin c/ ni toping, bunda (10) va nihoyat, (12) shartdan C ning berilgan qiymati uchun dj ni tanlang. Izoh. Ko'rib chiqilgan holatlardan kelib chiqadiki, optimal echimlarning tuzilmalari, ya'ni ekstremal o'ng ildizlarning haqiqiy va murakkab konjugat juftlari soni, ularning kombinatsiyasi, ko'pligi va natijada X tekisligidagi optimal echimlarning godograflari turlari. , boshqaruv m o'lchamiga bog'liq (1.2) va etarlicha yuqori tartiblar uchun n (1.1) n ning o'zi qiymatiga bog'liq emas, boshqacha aytganda, har bir berilgan m o'zining aniq belgilangan tuzilmalari soniga mos keladi. optimal yechimlar yangi optimal yechimlar. Demak, n - > QO uchun maksimal barqarorlik darajasidagi tizimlarni sintez qilish imkoniyati saqlanib qoladi, optimal yechimlar tuzilmalari faqat m bilan aniqlanadi, demak, har qanday m uchun optimal yechimlar tuzilmalari ob'ektlar uchun ham ma'lum. kechikish.

Har bir ko'rsatkich bo'yicha kechikish vaqtining qiymatini qanday aniqlash mumkin degan savol tug'iladi.Tegishli vaqtli kechikishlarni aniqlash uchun ma'lumotlarning vaqt qatorlarining korrelyatsion tahlilidan foydalanamiz. Vaqtinchalik kechikishni aniqlashning asosiy mezoni inflyatsiya darajasiga ta'sirining turli kechikish davrlariga ega bo'lgan ko'rsatkichlarning vaqt seriyalari uchun o'zaro bog'liqlik koeffitsientining eng katta qiymati hisoblanadi. Natijada, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi

Bundan tashqari, S. d. usuli bir model doirasida koʻp sonli oqimlarni (jismoniy nazorat va axborot) hamda kapital qoʻyilmalar va ushbu oqimlarni toʻplaydigan mablagʻlarni tasarruf etish darajalarini asosiy daraja bilan bogʻlash imkonini beradi. kapital, aholining yosh tarkibi bilan turli yosh guruhlarida tug'ilish va o'lim ko'rsatkichlari va boshqalar -rykh modelning o'zi parametrlari va tuzilishiga qarab barqarorlikni juda oddiy eksperimental o'rganishga yordam beradi.

Qoidalarni boshqa mezonlarga ko'ra ham guruhlash mumkin. Например, по инструменту денежно-кредитной политики (валютный курс , процентная ставка или денежный агрегат) по наличию внешнеэкономических связей (открытая или закрытая экономика) по включению прогноза экономических переменных в уравнение правила (перспективные и адаптивные правила) по величине запаздывания (с лагами или без ) va hokazo.

Model, raketaning uchish vaqtini va o't o'tkazish kechikishini hisobga olgan holda, dushman raketa hujumi haqida erta ogohlantirish tizimi va uning yadroviy raketasini kosmik kuzatuv tizimidagi kechikishlarni hisobga olishga imkon beradi. kuchlar. Ushbu model tenglamalar bilan aniqlanadi

BPZ-2M doimiy kechikish bloki analog hisoblash qurilmalarida kechikish argumenti bilan funktsiyalarni takrorlash uchun mo'ljallangan va murakkab ko'p sig'imli ob'ektlarning tenglamalarini yaqinlashtirishda moddalarni tashish yoki energiya uzatish bilan bog'liq jarayonlarni elektr modellashtirishda foydalanish mumkin. kechikish bilan birinchi va ikkinchi tartibli tenglamalar bilan.

Qaror qabul qilish funktsiyalari - bu darajalar to'g'risidagi mavjud ma'lumotlar joriy oqim stavkalari qiymatlari bilan bog'liq qarorlarni tanlashga qanday olib kelishini aniqlaydigan xatti-harakatlar liniyasini shakllantirish. Qaror funktsiyasi material oqimining bir yoki ikki darajali holatlarga eng oddiy reaktsiyasini aniqlaydigan oddiy tenglama shaklini olishi mumkin (masalan, transport tizimining ishlashi ko'pincha tranzitdagi tovarlar soni bilan adekvat ifodalanishi mumkin). , bu daraja va doimiy - tashish vaqti uchun o'rtacha kechikish). Boshqa tomondan, qaror funktsiyasi bir qator qo'shimcha shartlarning o'zgarishini hisobga olgan holda amalga oshiriladigan uzoq va murakkab hisob-kitoblar zanjiri bo'lishi mumkin.

Hozirgi vaqtda Baykalda sovuq davrlarda diatomlarning yo'qligining asosiy sababi nima ekanligi to'liq aniq emas. [Grachev va boshq., 1997] da togʻ muzliklarining ishi natijasida suvning loyqaligining oshishi hal qiluvchi ahamiyatga ega, [Gavshin va boshq., 1998] da asosiysi kremniy kontsentratsiyasining pasayishi hisoblanadi. Baykal drenaj havzasida eroziyaning pasayishi. Modelning modifikatsiyasi (2.6.7), bunda birinchi tenglama kremniy kontsentratsiyasi dinamikasini, ikkinchisi esa to'xtatilgan moddaning cho'kish dinamikasini tavsiflaydi, bu ikki omildan qaysi biri asosiy ekanligini aniqlashga yondashuvni taklif qilish imkonini beradi. . Katta suv massasi tufayli Baykal biotasi iqlim o'zgarishiga ko'lning drenaj havzasidagi o'simliklar jamoalarining reaktsiyasiga nisbatan biroz kechikish bilan javob berishi aniq. Shuning uchun diatom signali palinologik signaldan orqada qolishi kerak. Agar sovuq davrlarda diatomlarning yo'q bo'lib ketishining asosiy sababi kremniy kontsentratsiyasining pasayishi bo'lsa, u holda issiqlikka javob berishda bunday kechikishlar sovutish uchun kechikishlardan ko'ra ko'proq bo'lishi kerak. Agar diatomni bostirishning asosiy omili muzliklar tufayli loyqalik bo'lsa, u holda sovutishga bo'lgan javoblarning kechikishi isinishdan taxminan bir xil yoki hatto kattaroq bo'lishi kerak.

Oxirgi tenglama, o'quvchi sezishi mumkin, proportsional kechikish bilan eng oddiy o'z-o'zini sozlash mexanizmining xatti-harakatlarini tavsiflaydi. A ilovasida blok diagrammasi ko'rsatilgan

PERRON97 protsedurasi bu holda tanaffus sanasini 1999 07 deb belgilaydi, agar tanaffus sanasini tanlash minimal - ta=i birlik ildiz mezonining statistikasi bo'yicha amalga oshirilsa, barcha mumkin bo'lgan tanaffus nuqtalari bo'yicha olinadi. Shu bilan birga, ta= = - 3,341, bu kritik darajaning 5% dan yuqori - 5,59 va birlik ildiz gipotezasi rad etilmaydi. Tenglamalarning o'ng tomoniga kiritilgan farqlarning eng katta kechikishi 10% ahamiyatga ega bo'lgan modelni kamaytirish uchun GS protsedurasini qo'llash doirasida 12 tanlanadi.