Lobachevskiyning parallellik aksiomasi, asosiy oqibatlari. Nikolay Lobachevskiy: parallel chiziqlar kesishadi! Lobachevskiy parallel chiziqlar kesishishini qanday isbotladi

Muammoni yanada chuqurroq o'rganish bizni kosmik egrilik kabi tushunchaga olib keladi. Tafsilotlarga kirmasdan, biz faqat sirtni har bir nuqtada ikki xil sifat jihatidan egri bo'lishi mumkinligiga e'tibor beramiz. Bir holatda sirt ellipsoidning bir qismiga o'xshaydi va egrilik ijobiy deb hisoblanadi. Boshqa holatda, sirt egarga o'xshaydi va uning egriligi salbiydir. Psevdosfera, uning tasvirida (va shuning uchun Lobachevskiy tekisligida) ko'rinib turganidek, manfiy egrilikka ega va bu egrilik doimiy bo'lib chiqadi (sirtdagi nuqtaga bog'liq emas). Aytgancha, bu "psevdosfera" nomining kelib chiqishini aniqlaydi: oddiy shar - doimiy musbat egrilikka ega bo'lgan sirt.

19-asrda yaratilgan Lobachevskiyning geometriyasi hozirda differensial geometriya deb ataladigan matematika sohasini yaratish yoʻlidagi eng muhim qadam boʻldi. U ixtiyoriy egri bo'shliqlarni o'rganish bilan shug'ullanadi va uning matematik apparati zamonaviy fizikaning umumiy nisbiylik nazariyasi (GR) kabi muhim sohasining asosidir. Gap shundaki, umumiy nisbiy nazariyaga ko'ra, biz yashayotgan fazo-vaqt egrilikka ega va fazoning egri chizig'i fazoning bu nuqtasida tortishish maydonining mavjudligiga mos keladi.

Umumiy nisbiylik ko'plab eksperimental tekshiruvlardan o'tdi (qarang: Umumiy nisbiylikning 100 yilligi yoki Birinchi noyabr inqilobining yilligi, Elementlar, 25.11.2015) va sun'iy yo'ldosh orqali aniq navigatsiya qilish uchun u bilan bog'liq tuzatishlarni hisobga olish kerak. Bundan tashqari, u oddiy va neytron yulduzlar, o'ta yangi yulduzlar va qora tuynuklar kabi massiv jismlarning fizikasini tavsiflaydi (ro'yxat davom etadi). Nihoyat, umumiy nisbiylik nazariyasi zamonaviy koinot fani kosmologiyaning negizida yotadi.

Sog'lom fikrga ko'ra, shuningdek, barcha mavjud kuzatuv ma'lumotlariga ko'ra, koinot katta miqyosda bir hil va izotropikdir. Har holda, bu doimiy fazoviy egrilik bo'shlig'i ekanligini anglatadi. Shu munosabat bilan kosmologiyaning dastlabki yillaridan boshlab uchta imkoniyat ko'rib chiqildi: tekis olam, musbat egrilik olami ("sferik olam") va salbiy egrilik olami ("Lobachevskiy olami"). Biroq, hozirgi vaqtda, koinotning egri chizig'i nolga teng (zamonaviy o'lchov aniqligi chegaralarida) deb ishoniladi. Bu inflyatsiyaning zamonaviy nazariyasida izoh topadi. Ikkinchisiga ko'ra, olam o'z evolyutsiyasining dastlabki bosqichida juda tez kengayishni boshdan kechirdi va natijada ko'p marta oshdi (bu inflyatsiya deb ataladi). Inflyatsiyadan oldin koinot sharsimon, "Lobachevskiy olami" yoki boshqa murakkab geometriyaga ega bo'lgan bo'lishi mumkin. Biroq, kengayish shuni olib keldiki, endi butun olamning juda kichik bir qismi kuzatuvlar uchun ochiq va uning geometriyasi tekislikdan farq qilib bo'lmaydigan bo'lishi kerak.

Evklidning beshinchi postulati: “Agar ikkita toʻgʻri chiziqqa tushayotgan chiziq yigʻindisi ikki chiziqdan kichik boʻlgan ichki bir tomonlama burchaklarni hosil qilsa, u holda cheksiz davom etsa, bu ikki chiziq yigʻindisi burchaklar ikkidan kichik boʻlgan tomonda uchrashadi. Qadimgi davrdagi ko'plab matematiklarga bu qisman shakllanishning murakkabligi tufayli unchalik aniq bo'lmagandek tuyulardi.

Ko'rinishidan, faqat oddiy shakldagi elementar jumlalar postulat bo'lishi kerak edi. Shu munosabat bilan 5-posulat matematiklarning alohida e'tibor mavzusiga aylandi va bu mavzu bo'yicha tadqiqotlarni ikki yo'nalishga bo'lish mumkin, aslida bir-biri bilan chambarchas bog'liq. Birinchisi, ushbu postulatni soddaroq va intuitivroq postulat bilan almashtirishga harakat qildi, masalan, Proklus tomonidan tuzilgan "Ma'lum bir chiziqda yotmaydigan nuqta orqali faqat bitta chiziq bilan kesishmaydigan chiziq chizish mumkin. berilgan": zamonaviy darsliklarda aynan shu shaklda 5-posulat, to'g'rirog'i parallel haqidagi ekvivalent aksioma paydo bo'ladi.

Ikkinchi yo'nalish vakillari beshinchi postulatni boshqalarga asoslanib isbotlashga, ya'ni teoremaga aylantirishga harakat qildilar. Bunday urinishlar oʻrta asrlarning bir qator arab matematiklari: al-Abbos al-Javhariy (9-asr boshlari), Sobit ibn Korra, Ibn al-Xaysam, Umar Xayyom, Nosiriddin at-Tusiy tomonidan boshlangan. Keyinchalik bu tadqiqotlarga evropaliklar qo'shildi: Levi Ben Gershon (XIV asr) va Alfonso (XV asr), ibroniy tilida yozgan, so'ngra nemis iezuit X. Klavius ​​(1596), ingliz J. Uollis (1663) va boshqalar.bu muammoga qiziqish 18-asrda paydo boʻlgan: 1759—1800 yillarda ushbu muammoni tahlil qiluvchi 55 ta asar nashr etilgan, jumladan, italyan iyezuit J. Sakkeri va nemis J. G. Lambertning juda muhim asarlari.

Isbotlar odatda “ziddiyat” usuli bilan amalga oshirilgan: 5-posulat bajarilmagan degan taxmindan kelib chiqib, ular boshqa postulat va aksiomalarga zid keladigan oqibatlarni olishga harakat qilishgan. Biroq, haqiqatda, boshqa postulatlar bilan emas, balki qandaydir aniq yoki yashirin "ravshan" taklif bilan ziddiyat tug'ildi, ammo Evklid geometriyasining boshqa postulatlari va aksiomalari asosida buni aniqlash mumkin emas edi. dalillar o'z maqsadiga erisha olmadi , - ma'lum bo'ldiki, 5-posulat o'rniga yana unga teng keladigan boshqa bayonot qo'yilgan. Masalan, bunday bayonot sifatida quyidagi qoidalar qabul qilindi:

Guruch. 2. Bir-biridan teng masofada joylashgan to'g'ri chiziqlar mavjud

Guruch. 4. Ikki yaqinlashuvchi chiziq kesishadi

Bu bayonotlar bajarilmaydigan geometriya, albatta, biz o'rganib qolganimizdek emas, lekin baribir bundan buning iloji yo'qligi yoki bu bayonotlar Evklidning boshqa postulat va aksiomalaridan kelib chiqqanligi kelib chiqmaydi. barcha dalillarda bo'shliqlar bor edi. yoki cho'zilgan. Klavius ​​bir-biridan teng masofada joylashgan chiziqlar mavjudligi haqidagi taxminni Evklidning "ta'rifi" bilan chiziqning ustidagi nuqtalarga nisbatan teng masofadagi chiziq sifatida asosladi. Uollis birinchi bo'lib 5-posulatning isbotini "tabiiy" pozitsiyaga asosladi, unga ko'ra har qanday raqam uchun o'zboshimchalik bilan katta o'lchamdagi o'xshashi mavjud va bu bayonotni Evklidning 3-posulati bilan tasdiqlagan. markaz va har qanday yechim doirani tasvirlashi mumkin (aslida, masalan, teng bo'lmagan o'xshash uchburchaklar yoki hatto doiralar mavjudligi haqidagi bayonot 5-posulatga teng). A. M. Legendre “Geometriya asoslari” darsligining (1794, 1800, 1823) ketma-ket nashrlarida 5-posulatning yangi isbotlarini keltirgan, ammo sinchiklab tahlil qilinganda bu dalillarda kamchiliklar borligi ko‘rsatilgan. Legendrni adolatli tanqid ostiga olib, vatandoshimiz S. E. Guryev “Geometriya elementlarini takomillashtirish bo‘yicha eksperiment” (1798) kitobida 5-posulatni isbotlashda o‘zi xatoga yo‘l qo‘ygan.

Tez orada uchburchak va to'rtburchak burchaklarining yig'indisi va 5-posulat o'rtasidagi bog'liqlik amalga oshirildi: 5-posulat uchburchak burchaklarining yig'indisi ikkita to'g'ri burchakka teng degan bayonotdan kelib chiqadi. to'rtburchaklar mavjudligidan kelib chiqadi. Shu munosabat bilan bitta to'g'ri chiziqqa ikkita perpendikulyar bo'lgan teng segmentlarni yotqizish natijasida to'rtburchak ko'rib chiqiladigan yondashuv keng tarqaldi (u Xayyom, at-Tusiy, Vallis, Sakkeriylar tomonidan kuzatilgan). Uchta gipoteza tekshirilmoqda: ikkita yuqori burchak o'tkir, o'tkir yoki to'g'ri; bunda o'tmas va o'tkir burchaklar gipotezalarining qarama-qarshilikka olib kelishini ko'rsatishga harakat qilinadi.

Boshqa yondashuv (Ibn al-Haysam, Lambert tomonidan qo'llangan) uchta to'g'ri burchakli to'rtburchak uchun uchta o'xshash gipotezani tahlil qildi.

Sakcheri va Lambert o'tkir burchak gipotezalari haqiqatan ham qarama-qarshilikka olib kelishini ko'rsatdilar, ammo o'tkir burchak gipotezalarini ko'rib chiqishda ular qarama-qarshilikni topa olmadilar: Sakcheri bunday qarama-qarshilikni faqat xato natijasida, Lambert esa ko'rinadigan yo'q degan xulosaga keldi. O'tkir burchak gipotezasidagi ziddiyat qandaydir asosiy sabablarga ko'ra yuzaga keladi. Lambert o'tkir burchak gipotezasini qabul qilganda, har bir uchburchak burchaklarining yig'indisi uning maydoniga mutanosib ravishda 180 ° dan kam ekanligini aniqladi va bu bilan boshida ochilishni solishtirdi. 17-asr sferik uchburchakning maydoni, aksincha, uning maydoniga mutanosib ravishda 180 ° dan katta bo'lgan pozitsiya.

1763 yilda G. S. Klugel "Paralel chiziqlar nazariyasini isbotlashning eng muhim urinishlari haqida umumiy ma'lumot" ni nashr etdi, unda u 5-posulatning 30 ga yaqin dalillarini ko'rib chiqdi va ulardagi xatolarni aniqladi. Klugel Evklid o'z bayonotini postulatlar qatoriga qo'yishda to'g'ri degan xulosaga keldi.

Shunga qaramay, 5-posulatni isbotlashga urinishlar juda muhim rol o'ynadi: unga qarama-qarshi bo'lgan bayonotlarni qarama-qarshilikka keltirishga urinib, bu tadqiqotchilar Evklid bo'lmagan geometriyaning ko'plab muhim teoremalarini, xususan, 5-posulat bo'lgan geometriyani kashf etdilar. Berilgan nuqta orqali berilgan nuqtani kesib o'tmaydigan kamida ikkita chiziq o'tkazish imkoniyati haqidagi bayonot bilan almashtiriladi. O'tkir burchak gipotezasiga ekvivalent bo'lgan bu bayonot Evklid bo'lmagan geometriya kashfiyotchilari tomonidan asos qilib olingan.

5-posulatga muqobil qabul qilish Evkliddan farq qiladigan, lekin bir xil darajada izchil geometriyani qurishga olib keladi degan g'oyani bir nechta olimlar mustaqil ravishda taklif qilishgan: K. F. Gauss, N. I. Lobachevskiy va J. Boyai (shuningdek, F. K. Schweikart va FA Taurinus, ularning yangi geometriyaga qo'shgan hissasi kamtarroq edi va o'z tadqiqotlarini nashr etmadi). Gauss o'z arxivida saqlangan (va faqat 1860-yillarda nashr etilgan) eslatmalarga ko'ra, 1810-yillardayoq yangi geometriyaning paydo bo'lishi mumkinligini angladi, ammo bu mavzu bo'yicha o'z kashfiyotlarini hech qachon nashr etmadi: "Men Boeotiyaliklarning faryodidan qo'rqaman ( ya'ni ahmoqlar: Boeotiya mintaqasi aholisi Qadimgi Yunonistonda eng ahmoq hisoblangan), agar men o'z fikrlarimni to'liq ifodalasam ", deb yozgan edi u 1829 yilda do'sti matematik FV Besselga. Tushunmovchilik butunlay Lobachevskiyga tushdi, u 1826 yilda yangi geometriya bo'yicha birinchi ma'ruza qildi va 1829 yilda natijalarni e'lon qildi. 1842 yilda Gauss Lobachevskiyni Göttingen ilmiy jamiyatining muxbir a'zosi etib saylashga muvaffaq bo'ldi: bu meni Lobachevskiyning yagona tan olinishi edi. uning umri. J.Boyayining otasi, 5-posulatni isbotlashga ham uringan matematik Farkas Boyai o‘g‘lini bu yo‘nalishdagi izlanishlardan ogohlantirdi: “...bu sizni bo‘sh vaqtingizdan, sog‘ligingizdan, tinchligingizdan, hayotning barcha quvonchlaridan mahrum qilishi mumkin. Bu qora tubsizlik, ehtimol, Nyuton kabi minglab titanlarni yuta oladi, Yerda bu hech qachon tozalanmaydi ... ". Shunga qaramay, J.Boyai o‘z natijalarini 1832 yilda otasi yozgan geometriya darsligiga ilova sifatida e’lon qildi. Boyai ham e'tirofga erisha olmadi, bundan tashqari, Lobachevskiy undan oldinda ekanligidan xafa bo'ldi: u endi Evklid bo'lmagan geometriyani o'rganmadi. Shunday qilib, faqat Lobachevskiy umrining qolgan qismida, birinchidan, yangi sohada izlanishlarni davom ettirdi, ikkinchidan, o'z g'oyalarini targ'ib qildi, yangi geometriya bo'yicha bir qator kitoblar va maqolalar nashr etdi.

Demak, Lobachevskiy tekisligida berilgan AB chiziqdan tashqaridagi C nuqta orqali AB ni kesishmaydigan kamida ikkita chiziq bor. C orqali o'tadigan barcha chiziqlar ikkita sinfga bo'linadi - kesishganlar va kesishmaydiganlar AB . Bular AB ni kesib o'tmaydigan ikkita ekstremal chiziqdan hosil bo'lgan ma'lum bir burchakda yotadi. Aynan shu chiziqlarni Lobachevskiy AB chizig'iga parallel deb ataydi va ular bilan perpendikulyar orasidagi burchak parallellik burchagidir. Bu burchak C nuqtadan AB chizig'igacha bo'lgan masofaga bog'liq: bu masofa qanchalik katta bo'lsa, parallellik burchagi kichikroq bo'ladi. Burchak ichida joylashgan chiziqlar AB ga nisbatan divergent deyiladi.

Har qanday ikkita ajralgan p va q chiziqlar bitta umumiy perpendikulyar t ga ega, bu biridan ikkinchisiga eng qisqa chiziq segmentidir. Agar M nuqta p bo'ylab t dan yo'nalishda harakat qilsa, u holda M dan q gacha bo'lgan masofa abadiylikka oshadi va M dan q ga tushirilgan perpendikulyarlarning asoslari faqat oxirgi segmentni to'ldiradi.

Agar p va q chiziqlar bir-birini kesib o'tsa, u holda ulardan birining nuqtalarining ikkinchisiga proyeksiyalari ham chegaralangan segmentni to'ldiradi.

Agar p va q chiziqlar parallel bo'lsa, u holda ularning nuqtalari orasidagi masofalar bir yo'nalishda cheksiz qisqaradi, ikkinchisida esa cheksiz ortadi; bir to'g'ri chiziq ikkinchisining nuriga proyeksiyalanadi.

Raqamlarda Lobachevskiy geometriyasida mumkin bo'lgan p va q chiziqlarining turli xil o'zaro pozitsiyalari ko'rsatilgan; r va s q ga parallel perpendikulyarlar. (Biz to'g'ri chiziq haqida gapirayotgan bo'lsak-da, q egri chiziqni chizishga majburmiz. Agar butun dunyomiz Lobachevskiy geometriyasi qonunlariga bo'ysungan bo'lsa ham, biz baribir kichik miqyosda hamma narsani buzmasdan tasvirlay olmaymiz. katta miqyosda ko'rinadi: Lobachevskiy geometriyasida teng bo'lmagan o'xshash raqamlar yo'q).

Burchak ichida burchakning har ikki tomoniga parallel chiziq bor. U burchak ichidagi barcha nuqtalarni ikki turga ajratadi: birinchi turdagi nuqtalar orqali burchakning ikkala tomonini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziqlarni o'tkazish mumkin; ikkinchi turdagi nuqtalar orqali bunday to'g'ri chiziq o'tkazib bo'lmaydi. Xuddi shu narsa parallel chiziqlar orasidagi bo'shliq uchun ham amal qiladi. Ikki xil chiziq o'rtasida ikkalasiga parallel ikkita chiziq bor; ular bir-biridan ajralib turadigan chiziqlar orasidagi bo'shliqni uchta mintaqaga bo'lishadi: bir mintaqadagi nuqtalar orqali burchakning ikkala tomonini kesib o'tadigan chiziqlar chizish mumkin; boshqa ikkita mintaqadagi nuqtalar orqali bunday to'g'ri chiziqlar o'tkazib bo'lmaydi.

Doira diametri har doim to'g'ri burchakka emas, balki o'tkir burchakka asoslanadi. Doira ichiga chizilgan muntazam olti burchakli tomon har doim uning radiusidan kattaroqdir. Har qanday n > 6 uchun shunday aylana qurish mumkinki, unga chizilgan muntazam n-burchakning tomoni uning radiusiga teng.

Lobachevskiyni jismoniy fazoning geometriyasi masalasi qiziqtirdi, xususan, astronomik kuzatishlar ma'lumotlaridan foydalanib, u katta yulduzlararo uchburchaklar burchaklarining yig'indisini hisoblab chiqdi: ammo bu burchaklar yig'indisi va 180 ° o'rtasidagi farq butunlay yotardi. kuzatishlar xatosi doirasida. O‘zi geometriyasini “xayoliy” deb atagan Lobachevskiyning boshiga tushgan tushunmovchilik ko‘p jihatdan uning davrida bunday g‘oyalar sof mavhumlik va xayoldek tuyulganligi bilan bog‘liq. Yangi geometriya haqiqatan ham mos keladimi? (Axir, agar Lobachevskiy qarama-qarshiliklarga duch kelmagan bo'lsa ham, bu keyinchalik aniqlanmasligiga kafolat bermaydi). Bu haqiqiy dunyoga, shuningdek, matematikaning boshqa sohalariga qanday aloqasi bor? Bu darhol aniq bo'lmadi va oxir-oqibat yangi g'oyalarning muvaffaqiyati yangi geometriya modellarini kashf qilish bilan bog'liq edi.

Lobachevskiy geometriyasi oddiy Evklid geometriyasi kabi bir xil asosiy taxminlarga asoslangan geometrik nazariya bo‘lib, Lobachevskiy parallel aksiomasi bilan almashtirilgan parallel aksioma bundan mustasno. Parallel holatlarning Evklid aksiomasi: berilgan toʻgʻrida yotmagan nuqta orqali bitta tekislikda berilgan chiziq bilan yotuvchi va uni kesib oʻtmaydigan faqat bitta chiziq oʻtadi. Lobachevskiy geometriyasida uning o‘rniga quyidagi aksioma qabul qilinadi: berilgan to‘g‘rida yotmagan nuqta orqali bitta tekislikda berilgan to‘g‘ri chiziq bilan yotadigan va uni kesib o‘tmaydigan kamida ikkita chiziq o‘tadi. Bu aksioma juda keng tarqalgan g'oyalarga zid bo'lib tuyuladi. Shunga qaramay, bu aksioma ham, butun Lobachevskiy geometriyasi ham juda haqiqiy ma'noga ega. Lobachevskiy geometriyasi NI Lobachevskiy tomonidan yaratilgan va ishlab chiqilgan bo'lib, u birinchi marta 1826 yilda xabar bergan. Lobachevskiy geometriyasi Evklid bo'lmagan geometriya deb ataladi, garchi "evklid bo'lmagan geometriya" atamasi odatda kengroq ma'noga ega bo'lsa-da, shu jumladan bu erda Lobachevskiydan keyin paydo bo'lgan boshqa nazariyalar. geometriya, shuningdek, Evklid geometriyasining asosiy shartlarini o'zgartirishga asoslangan. Lobachevskiy geometriyasi maxsus giperbolik evklid bo'lmagan geometriya deb ataladi (Rimanning elliptik geometriyasidan farqli o'laroq).

Lobachevskiy geometriyasi mazmunan boy nazariya bo'lib, matematikada ham, fizikada ham qo'llanilishi mumkin. Uning tarixiy ahamiyati shundan iboratki, Lobachevskiy uni qurish orqali Evkliddan boshqa geometriyaning imkoniyatlarini ko‘rsatdi, bu geometriya va umuman matematika taraqqiyotida yangi davrni boshlab berdi (qarang Geometriya). Zamonaviy nuqtai nazardan, masalan, Lobachevskiyning tekislikdagi geometriyasiga quyidagi ta'rifni berish mumkin: bu oddiy (evklid) tekislikdagi aylana ichidagi geometriyadan boshqa narsa emas, faqat maxsus tarzda ifodalangan. Ya'ni, biz oddiy tekislikdagi doirani (1-rasm) va uning ichki qismini, ya'ni doirani ko'rib chiqamiz, uni bog'laydigan doira bundan mustasno, biz "tekislik" deb ataymiz. "Samolyot" ning nuqtasi aylana ichidagi nuqta bo'ladi. "To'g'ridan-to'g'ri" biz har qanday akkordni chaqiramiz (masalan, a, b, b`, MN) (aylana aylanasi "tekislik" dan chiqarib tashlanganligi sababli uchlari chiqarib tashlangan). "Harakat" - bu har qanday aylananing o'ziga o'zgarishi, u akkordlarni akkordlarga aylantiradi.

Shunga ko'ra, aylana ichidagi raqamlar teng deb ataladi, ular bunday o'zgarishlar bilan bir-biriga tarjima qilinadi. Keyin ma'lum bo'ladiki, bunday tilda tasvirlangan har qanday geometrik fakt Lobachevskiy geometriyasining teoremasi yoki aksiomasini ifodalaydi.Boshqacha aytganda, Lobachevskiy geometriyasining tekislikdagi har qanday bayonoti Evklid geometriyasining bayonotidan boshqa narsa emas, aylana ichidagi raqamlarga ishora qiladi, faqat ko'rsatilgan shartlarda takrorlash. Parallellar haqidagi Evklid aksiomasi bu yerda aniq bajarilmagan, chunki berilgan a akkordda yotmaydigan O nuqta orqali (ya’ni “to‘g‘ri chiziq”) istalgan miqdordagi akkord (“to‘g‘ri chiziqlar”) o‘tadi. uni kesish (masalan, b, b`). Xuddi shunday, kosmosdagi Lobachevskiy geometriyasini tegishli atamalar bilan ifodalangan to'p ichidagi geometriya sifatida aniqlash mumkin ("to'g'ri chiziqlar" - akkordlar, "tekisliklar" - to'pning ichki qismining tekis qismlari, "teng" raqamlar - bo'lganlar. to'pni o'ziga va akkordlarni akkordlarga aylantiruvchi transformatsiyalar orqali bir-biriga tarjima qilingan). Shunday qilib, Lobachevskiy geometriyasi butunlay haqiqiy ma'noga ega va Evklid geometriyasi kabi izchildir. Bir xil faktlarni turli atamalarda tasvirlash yoki aksincha, turli faktlarni bir xil atamalarda tasvirlash matematikaga xos xususiyatdir. Bu aniq ko'rinadi, masalan, bir xil chiziq turli xil koordinatalarda turli tenglamalar bilan berilgan yoki aksincha, turli koordinatalarda bir xil tenglama turli xil chiziqlarni ifodalaydi.

Lobachevskiy geometriyasining paydo bo'lishi

Lobachevskiy geometriyasining manbai parallellar aksiomasi haqidagi savol edi, u Evklidning V postulati deb ham ataladi (bu raqam ostida yuqorida keltirilgan parallellar aksiomasiga ekvivalent bayonot Evklid elementlarida postulatlar ro'yxatida paydo bo'ladi). Bu postulat boshqa postulatlar bilan solishtirganda o'zining murakkabligini hisobga olib, boshqa postulatlar asosida o'z isbotini berishga urinishlarga sabab bo'ldi.

Mana 19-asrgacha 5-posulatni isbotlash bilan shugʻullangan olimlarning toʻliq boʻlmagan roʻyxati: qadimgi yunon matematiklari Ptolemey (2-asr), Prokl (5-asr) (Proklning isboti ikki oʻrtadagi masofa degan taxminga asoslanadi. parallellar chekli), iroqlik Ibn al-Xaysam (10-asr oxiri - 11-asr boshlari) (Ibn al-Xaysam toʻgʻri chiziqqa harakatlanuvchi perpendikulyarning oxiri toʻgʻri chiziqni tasvirlaydi, degan farazga asoslanib, beshinchi postulatni isbotlashga harakat qilgan. chiziq), tojik matematigi Umar Xayyom (11-asrning 2-yarmi - 12-asr boshlari), ozarbayjon matematigi Nosiraddin Tuey (13-asr) (Xayyom va Nosiraddin beshinchi postulatni isbotlashda ikki yaqinlashuvchi chiziq divergent boʻla olmaydi, degan farazdan kelib chiqqanlar. ular davom etar ekan), nemis matematigi C. Klavius ​​(Shlyussel, 1574), italyan matematiklari P. Kataldi (birinchi marta 1603 yilda butunlay parallellar masalasiga bag'ishlangan asar nashr etgan), J. Borelli (1658), J. Vitale (1680), ingliz matematigi J. Uollis (1663, 1693 yilda nashr etilgan) (Uollis dokga asos solgan) V postulatning isboti har qanday figura uchun unga o'xshash, lekin unga teng bo'lmagan raqam mavjud degan taxminga asoslanadi). Yuqorida sanab o'tilgan geometriyalarning dalillari V postulatni boshqa taxmin bilan almashtirishni tashkil etdi, bu aniqroq tuyuldi.

Italiya matematigi J. Sakkeri (1733) beshinchi postulatni qarama-qarshilik bilan isbotlashga harakat qildi. Evklidning postulatiga zid bo'lgan taklifni qabul qilib, Sakcheri undan juda keng oqibatlarga olib keldi. Bu oqibatlarning ayrimlarini qarama-qarshiliklarga olib kelishini noto'g'ri tan olib, Sakcheri Evklid postulati isbotlangan degan xulosaga keldi. Nemis matematigi I. Lambert (taxminan 1766, 1786 yilda nashr etilgan) ham shunga o'xshash tadqiqotlarni olib bordi, lekin u Sakcherining xatolarini takrorlamadi, balki o'zi qurgan tizimda mantiqiy ziddiyatni ochish uchun ojizligini tan oldi. Postulatni isbotlashga urinishlar 19-asrda ham qilingan. Bu o'rinda frantsuz matematigi A. Legendrening ishini qayd etishimiz kerak; uning isbotlaridan biri (1800) o'tkir burchak ichidagi har bir nuqta orqali burchakning har ikki tomonini kesib o'tuvchi chiziq o'tkazish mumkin degan farazga asoslanadi, ya'ni barcha o'zidan oldingilari kabi u postulatni boshqa faraz bilan almashtirgan. Nemis matematiklari F.Shvaykart (1818) va F.Taurin (1825) Lobachevskiy geometriyasini qurishga ancha yaqinlashdilar, lekin ular bayon qilgan nazariya Evklid geometriyasi kabi mantiqiy jihatdan mukammal bo‘lishi haqida aniq ifodalangan fikrga ega emas edilar.

Ikki ming yildan ko'proq vaqt davomida geometriyani egallagan Evklidning beshinchi postulati haqidagi savol Lobachevskiy tomonidan hal qilindi. Bu yechim shundan kelib chiqadiki, postulatni Evklid geometriyasining boshqa asoslari asosida isbotlab bo‘lmaydi va Evklid postulatiga qarama-qarshi postulat taxmini Evklid kabi mazmunli va undan xoli geometriyani qurish imkonini beradi. qarama-qarshiliklar. Lobachevskiy 1826 yilda bu haqda ma'ruza qildi va 1829-30 yillarda o'z nazariyasini bayon qilib, "Geometriya asoslari haqida" asarini nashr etdi. 1832 yilda venger matematigi J. Bolyai tomonidan xuddi shunday mazmundagi asar nashr etildi. Keyinchalik ma'lum bo'lishicha, nemis matematigi K. F. Gauss ham Evklid bo'lmagan izchil geometriyaning mavjudligi haqidagi fikrga kelgan, ammo noto'g'ri tushunishdan qo'rqib, uni yashirgan. Lobachevskiy geometriyasi spekulyativ nazariya sifatida rivojlangan va Lobachevskiyning o'zi uni "xayoliy geometriya" deb atagan bo'lsa-da, shunga qaramay, Lobachevskiy uni aql o'yini emas, balki fazoviy munosabatlarning mumkin bo'lgan nazariyasi deb hisoblagan. Biroq, uning izchilligi isboti keyinroq, talqinlari ko'rsatilganda keltirildi va shu bilan uning haqiqiy ma'nosi, mantiqiy izchilligi to'g'risidagi masala to'liq hal qilindi.

Lobachevskiy geometriyasi "Lobachevskiy tekisligi" xususiyatlarini o'rganadi.(planimetriyada) va "Lobachevskiy fazosi" (stereometriyada). Lobachevskiy tekisligi - bu to'g'ri chiziqlar, shuningdek, Evklid geometriyasining barcha aksiomalariga bo'ysunadigan figuralar harakati (bir vaqtning o'zida, masofalar, burchaklar va boshqalar) aniqlangan tekislik (nuqtalar to'plami). yuqoridagi Lobachevskiy aksiomasi bilan almashtirilgan parallel aksiomadan istisno. Lobachevskiy fazosi ham xuddi shunday tarzda aniqlanadi. Lobachevskiy geometriyasining haqiqiy ma'nosini oydinlashtirish vazifasi tekislik va Lobachevskiy fazosining modellarini topishdan, ya'ni Lobachevskiy geometriyasining planimetriya va stereometriyaning to'g'ri talqin qilingan pozitsiyalari amalga oshiriladigan ob'ektlarni topishdan iborat edi.

Lobachevskiy geometriyasini Evklid geometriyasidan ajratib turadigan va Lobachevskiyning o'zi tomonidan o'rnatgan ba'zi faktlarni keltiramiz.

1) Lobachevskiy geometriyasida o'xshash, lekin teng bo'lmagan uchburchaklar yo'q; Agar burchaklari teng bo'lsa, uchburchaklar teng bo'ladi. Shuning uchun uzunlikning mutlaq birligi, ya'ni to'g'ri burchak o'z xususiyatlari bilan ajralib turadigan kabi, uning xususiyatlari bilan ajralib turadigan segment mavjud. Bunday segment, masalan, burchaklar yig'indisi berilgan muntazam uchburchakning tomoni bo'lishi mumkin.

2) Har qanday uchburchak burchaklarining yig'indisi p dan kichik va ixtiyoriy ravishda nolga yaqin bo'lishi mumkin. Bu to'g'ridan-to'g'ri Puankare modelida ko'rinadi. Farqi p - (a + b + g), bu erda a, b, g uchburchakning burchaklari, uning maydoniga proportsionaldir.

3) Berilgan a to‘g‘rida yotmagan O nuqta orqali a ni kesib o‘tmaydigan va u bilan bir tekislikda joylashgan cheksiz ko‘p to‘g‘rilar bor; ular orasida ikkita ekstremal b, b` mavjud bo'lib, ular Lobachevskiy ma'nosida a to'g'ri chiziqqa parallel deyiladi. Klein (Puankare) modellarida ular akkord (yoy) bilan umumiy uchi bo'lgan akkordlar (aylana yoylari) bilan ifodalanadi (model ta'rifiga ko'ra, bu chiziqlar umumiy nuqtalarga ega bo'lmasligi uchun chiqarib tashlanadi). (1.3-rasm). Uning b (yoki b`) to'g'ri chiziq va O dan a ga perpendikulyar o'rtasidagi burchagi - deyiladi. parallellik burchagi - O nuqta chiziqdan uzoqlashganda, u 90 ° dan 0 ° gacha kamayadi (Puankare modelida odatiy ma'nodagi burchaklar Lobachevskiy ma'nosidagi burchaklarga to'g'ri keladi va shuning uchun bu haqiqat shunday bo'lishi mumkin). to'g'ridan-to'g'ri unda ko'rilgan). Parallel b bir tomondan (va qarama-qarshi tomonda b`) asimptotik tarzda a ga yaqinlashadi, ikkinchi tomondan esa undan cheksiz uzoqlashadi (modellarda masofalarni aniqlash qiyin va shuning uchun bu fakt to'g'ridan-to'g'ri ko'rinmaydi).

4) Agar chiziqlar umumiy perpendikulyarga ega bo'lsa, ular uning har ikki tomonida cheksiz ravishda ajralib chiqadi. Ularning har qandayiga boshqa chiziqqa etib bormaydigan perpendikulyarlarni tiklash mumkin.

5) To'g'ri chiziqdan teng masofadagi chiziq to'g'ri chiziq emas, balki teng masofali chiziq yoki gipertsikl deb ataladigan maxsus egri chiziqdir.

6) Cheksiz ortib boruvchi radiusli doiralar chegarasi to‘g‘ri chiziq emas, balki chegara doirasi yoki horotsikl deb ataladigan maxsus egri chiziqdir.

7) Radiusi cheksiz ortib boruvchi sferalarning chegarasi tekislik emas, balki maxsus sirt - chegaralovchi shar yoki horosfera; Evklid geometriyasining unga amal qilishi diqqatga sazovordir. Bu Lobachevskiyga trigonometriya formulalarini chiqarish uchun asos bo'lib xizmat qildi.

8) Aylana radiusga proportsional emas, lekin tezroq o'sadi.

9) Fazoda yoki Lobachevskiy tekisligida mintaqa qanchalik kichik bo'lsa, bu mintaqadagi geometrik munosabatlar Evklid geometriyasi munosabatlaridan shunchalik kam farq qiladi. Aytishimiz mumkinki, cheksiz kichik mintaqada Evklid geometriyasi sodir bo'ladi. Masalan, uchburchak qanchalik kichik bo'lsa, uning burchaklarining yig'indisi p dan shunchalik kam farq qiladi; doira qanchalik kichik bo'lsa, uning uzunligining radiusga nisbati 2p dan shunchalik kam farq qiladi va hokazo. Maydonning pasayishi rasmiy ravishda uzunlik birligining ortishiga teng, shuning uchun uzunlik birligining cheksiz o'sishi bilan, Lobachevskiy geometriya formulalari Evklid geometriyasining formulalariga aylanadi. Evklid geometriyasi shu ma'noda Lobachevskiy geometriyasining "cheklovchi" holatidir.

Lobachevskiy geometriyasi ko'plab geometriyalar tomonidan ishlab chiqilishda davom etmoqda; u oʻrganadi: qurish masalalarini yechish, koʻpburchaklar, figuralarning muntazam sistemalari, egri chiziq va sirtlarning umumiy nazariyasi va boshqalar. Lobachevskiy fazosida bir qator geometriyalar ham mexanikani ishlab chiqdi. Ushbu tadqiqotlar mexanikada to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilishini topmadi, balki samarali geometrik g'oyalarni keltirib chiqardi. Umuman olganda, Lobachevskiy geometriyasi Evklid geometriyasi kabi keng tadqiqot sohasidir.

1832-yil 7-fevralda Nikolay Lobachevskiy oʻzining hamkasblari hukmiga Evklid boʻlmagan geometriya boʻyicha oʻzining birinchi ishini taqdim etdi. O'sha kun matematikada inqilobning boshlanishi edi va Lobachevskiyning ishi Eynshteynning nisbiylik nazariyasiga qo'yilgan birinchi qadam edi. Bugungi kunda "RG" Lobachevskiy nazariyasi haqidagi eng keng tarqalgan beshta noto'g'ri tushunchalarni to'pladi, ular matematika fanidan uzoq odamlar orasida mavjud.

Mif birinchi. Lobachevskiy geometriyasining Evklid bilan hech qanday umumiyligi yo'q.

Aslida Lobachevskiy geometriyasi biz o‘rganib qolgan Evklid geometriyasidan unchalik farq qilmaydi. Gap shundaki, Evklidning beshta postulatidan Lobachevskiy birinchi to'rttasini o'zgarishsiz qoldirdi. Ya'ni, u Evklidning har qanday ikkita nuqta orasiga to'g'ri chiziq o'tkazish mumkinligi, uni doimo cheksizgacha cho'zish mumkinligi, istalgan markazdan istalgan radiusli aylana chizish mumkinligi va barcha to'g'ri burchaklar har biriga teng degan fikrga qo'shiladi. boshqa. Lobachevskiy Evklidning o'z nuqtai nazari bo'yicha eng shubhali bo'lgan beshinchi postulat bilangina rozi bo'lmadi. Uning formulasi juda qiyin bo'lib tuyuladi, lekin agar biz uni oddiy odamga tushunarli tilga tarjima qilsak, Evklidning so'zlariga ko'ra, ikkita parallel bo'lmagan chiziq aniq kesishadi. Lobachevskiy bu xabarning yolg'onligini isbotlashga muvaffaq bo'ldi.

Mif ikkinchi. Lobachevskiy nazariyasida parallel chiziqlar kesishadi

Bu unday emas. Darhaqiqat, Lobachevskiyning beshinchi postulati shunday yangraydi: “Tekislikda, berilgan to‘g‘rida yotmaydigan nuqta orqali, berilgan chiziqni kesib o‘tmaydigan bir nechta chiziqdan o‘tadi”. Boshqacha qilib aytganda, bitta to'g'ri chiziq uchun uni kesib o'tmaydigan bitta nuqta orqali kamida ikkita to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Ya'ni, Lobachevskiyning ushbu postulatida parallel chiziqlar haqida umuman gap yo'q! Biz faqat bir tekislikda bir nechta kesishmaydigan chiziqlar mavjudligi haqida gapiramiz. Shunday qilib, parallel chiziqlarning kesishishi haqidagi taxmin buyuk rus matematigi nazariyasining mohiyatini bilmaslik tufayli tug'ildi.

Mif uchinchi. Lobachevskiy geometriyasi Evklid bo'lmagan yagona geometriyadir

Evklid bo'lmagan geometriyalar matematikada nazariyalarning butun qatlami bo'lib, bu erda asos Evkliddan farq qiladigan beshinchi postulatdir. Lobachevskiy, masalan, Evkliddan farqli o'laroq, giperbolik bo'shliqni tasvirlaydi. Sferik fazoni tavsiflovchi yana bir nazariya bor - bu Riemanning geometriyasi. Bu erda parallel chiziqlar kesishadi. Maktab o'quv dasturidagi bunga klassik misol - yer sharidagi meridianlar. Agar siz globusning naqshiga qarasangiz, barcha meridianlar parallel ekanligi ma'lum bo'ladi. Shu bilan birga, sharga naqsh qo'yishga arziydi, chunki biz ilgari barcha parallel meridianlar ikki nuqtada - qutblarda birlashayotganini ko'ramiz. Evklid, Lobachevskiy va Rimanning nazariyalari birgalikda "uch buyuk geometriya" deb ataladi.

Mif to'rtinchi. Lobachevskiy geometriyasi haqiqiy hayotda qo'llanilmaydi

Aksincha, zamonaviy ilm-fan Evklid geometriyasi Lobachevskiy geometriyasining faqat alohida holati ekanligini va haqiqiy dunyo rus olimi formulalari bilan aniqroq tasvirlanganligini tushunadi. Lobachevskiy geometriyasining keyingi rivojlanishi uchun eng kuchli turtki Albert Eynshteynning nisbiylik nazariyasi bo'lib, u bizning koinotimizning fazosi chiziqli emas, balki giperbolik sfera ekanligini ko'rsatdi. Ayni paytda, Lobachevskiyning o'zi, butun umri davomida o'z nazariyasini ishlab chiqish ustida ishlaganiga qaramay, uni "xayoliy geometriya" deb atagan.

Mif besh. Lobachevskiy birinchi bo'lib evklid bo'lmagan geometriyani yaratdi

Bu mutlaqo to'g'ri emas. U bilan parallel ravishda va undan mustaqil ravishda venger matematigi Yanosh Bolyai va mashhur nemis olimi Karl Fridrix Gauss xuddi shunday xulosaga kelishdi. Biroq, Yanoshning asarlari keng jamoatchilik tomonidan e'tiborga olinmadi va Karl Gauss umuman nashr etmaslikni afzal ko'rdi. Binobarin, bu nazariyaning kashshofi olimimiz hisoblanadi. Biroq, Evklidning o'zi Evklid bo'lmagan geometriyani birinchi bo'lib ixtiro qilgan, degan biroz paradoksal nuqtai nazar mavjud. Gap shundaki, u o'z-o'zini tanqidiy nuqtai nazardan o'zining beshinchi postulatini aniq emas deb hisobladi, shuning uchun u teoremalarining aksariyatini unga murojaat qilmasdan isbotladi.