Определения и признаци на синус, косинус, тангенс на ъгъл. Как да запомните стойностите на косинусите и синусите на главните точки на числовата окръжност Тригонометрична окръжност положителна и отрицателна

Просто казано, това са зеленчуци, приготвени във вода по специална рецепта. Ще разгледам два първоначални компонента (зеленчукова салата и вода) и крайния резултат - борш. Геометрично това може да бъде представено като правоъгълник, в който едната страна означава маруля, а другата страна обозначава вода. Сумата от тези две страни ще означава борш. Диагоналът и площта на такъв правоъгълник "борш" са чисто математически понятия и никога не се използват в рецепти за борш.

Как марулята и водата се превръщат в борш от гледна точка на математиката? Как сумата от два сегмента може да се превърне в тригонометрия? За да разберем това, имаме нужда от линейни ъглови функции.

Няма да намерите нищо за функциите на линейния ъгъл в учебниците по математика. Но без тях не може да има математика. Законите на математиката, както и законите на природата, работят независимо дали знаем, че съществуват или не.

Линейните ъглови функции са законите на събирането.Вижте как алгебрата се превръща в геометрия и как геометрията се превръща в тригонометрия.

Възможно ли е без линейни ъглови функции? Можете, защото математиците все още се справят без тях. Номерът на математиците се крие във факта, че те винаги ни казват само за онези проблеми, които те самите могат да решат, и никога не ни казват за онези проблеми, които не могат да решат. Вижте. Ако знаем резултата от събирането и един член, използваме изваждане, за да намерим другия член. Всичко. Други проблеми не познаваме и не сме в състояние да ги решим. Какво да правим, ако знаем само резултата от събирането и не знаем и двата члена? В този случай резултатът от събирането трябва да се разложи на два члена с помощта на линейни ъглови функции. Освен това ние сами избираме какъв може да бъде един член, а линейните ъглови функции показват какъв трябва да бъде вторият член, за да бъде резултатът от събирането точно това, което ни трябва. Може да има безкраен брой такива двойки термини. В ежедневието се справяме много добре, без да разлагаме сумата; изваждането ни е достатъчно. Но в научните изследвания на законите на природата, разширяването на сумата в термини може да бъде много полезно.

Друг закон за добавяне, за който математиците не обичат да говорят (още един от техните трикове) изисква членовете да имат една и съща мерна единица. За маруля, вода и борш това могат да бъдат единици за тегло, обем, цена или мерна единица.

Фигурата показва две нива на разлика за математика. Първото ниво са разликите в полето на числата, които са посочени а, b, ° С. Това правят математиците. Второто ниво са разликите в областта на мерните единици, които са показани в квадратни скоби и са обозначени с буквата U. Това правят физиците. Можем да разберем третото ниво - разликите в обхвата на описваните обекти. Различните обекти могат да имат еднакъв брой едни и същи мерни единици. Колко важно е това, можем да видим на примера на тригонометрията на борша. Ако добавим индекси към една и съща нотация за мерните единици на различни обекти, можем да кажем точно коя математическа величина описва конкретен обект и как се променя във времето или във връзка с нашите действия. писмо УЩе отбележа водата с буквата СЩе отбележа салатата с буквата б- борш. Ето как ще изглеждат функциите на линейния ъгъл за борш.

Ако вземем част от водата и част от салатата, заедно те ще се превърнат в една порция борш. Предлагам ви да си починете малко от борша и да си спомните далечното си детство. Помните ли как ни учеха да събираме зайчета и патета заедно? Трябваше да се намери колко животни ще се окажат. Какво тогава са ни учили да правим? Учеха ни да отделяме единици от числа и да събираме числа. Да, всяко число може да се добави към всяко друго число. Това е пряк път към аутизма на съвременната математика - ние не разбираме какво, не е ясно защо и много слабо разбираме как това е свързано с реалността, защото от трите нива на разлика математиците оперират само с едно. Ще бъде по-правилно да се научите как да преминавате от една мерна единица към друга.

И зайчетата, и патетата, и зверчетата могат да се броят на части. Една обща мерна единица за различни обекти ни позволява да ги събираме заедно. Това е детска версия на проблема. Нека да разгледаме подобен проблем за възрастни. Какво получавате, когато добавите зайчета и пари? Тук има две възможни решения.

Първи вариант. Ние определяме пазарната стойност на зайчетата и я добавяме към наличните пари. Получаваме общата стойност на нашето богатство в пари.

Втори вариант. Можете да добавите броя на зайчетата към броя на банкнотите, които имаме. Ще получим количеството движимо имущество на части.

Както можете да видите, един и същ закон за събиране ви позволява да получите различни резултати. Всичко зависи от това какво точно искаме да знаем.

Но обратно към нашия борш. Сега можем да видим какво ще се случи за различни стойности на ъгъла на функциите на линейния ъгъл.

Ъгълът е нула. Имаме салата, но нямаме вода. Не можем да сготвим борш. Количеството борш също е нула. Това изобщо не означава, че нула борш е нула вода. Нулевият борш може да бъде и при нулева салата (прав ъгъл).

За мен лично това е основното математическо доказателство за факта, че . Нулата не променя числото при добавяне. Това е така, защото самото добавяне е невъзможно, ако има само един член и вторият член липсва. Можете да се отнасяте към това както искате, но помнете - всички математически операции с нула са измислени от самите математици, така че изхвърлете логиката си и глупаво натъпчете определенията, измислени от математиците: "делението на нула е невъзможно", "всяко число, умножено по нула е равно на нула" , "зад точката нула" и други глупости. Достатъчно е да запомните веднъж, че нулата не е число и никога няма да имате въпрос дали нулата е естествено число или не, защото такъв въпрос обикновено губи всякакъв смисъл: как може да се смята за число това, което не е число . Все едно да питаш на кой цвят да припишеш невидим цвят. Добавянето на нула към число е като рисуване с боя, която не съществува. Те размахват суха четка и казват на всички, че "боядисахме". Но се отклоних малко.

Ъгълът е по-голям от нула, но по-малък от четиридесет и пет градуса. Имаме много маруля, но малко вода. В резултат на това получаваме гъст борш.

Ъгълът е четиридесет и пет градуса. Имаме равни количества вода и маруля. Това е идеалният борш (да ме простят готвачите, това е просто математика).

Ъгълът е по-голям от четиридесет и пет градуса, но по-малък от деветдесет градуса. Имаме много вода и малко маруля. Вземете течен борш.

Прав ъгъл. Имаме вода. От марулята остават само спомени, докато продължаваме да измерваме ъгъла от линията, която някога е маркирала марулята. Не можем да сготвим борш. Количеството борш е нула. В такъв случай изчакайте и пийте вода, докато има)))

Тук. Нещо като това. Тук мога да разкажа и други истории, които ще са повече от подходящи тук.

Двамата приятели имаха своите дялове в общия бизнес. След убийството на единия всичко отиде при другия.

Появата на математиката на нашата планета.

Всички тези истории са разказани на езика на математиката с помощта на линейни ъглови функции. Някой друг път ще ви покажа истинското място на тези функции в структурата на математиката. Междувременно нека се върнем към тригонометрията на борша и да разгледаме проекциите.

Събота, 26 октомври 2019 г

Гледах интересно видео за Редът на Гранди Едно минус едно плюс едно минус едно - Numberphile. Математиците лъжат. Те не са извършили тест за равенство в разсъжденията си.

Това резонира с разсъжденията ми относно.

Нека да разгледаме по-отблизо признаците, че математиците ни мамят. Още в началото на разсъжденията математиците казват, че сумата на една редица ЗАВИСИ от това дали броят на елементите в нея е четен или не. Това е ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. Какво се случва след това?

След това математиците изваждат последователността от единицата. До какво води това? Това води до промяна в броя на елементите в редицата - четно число се променя в нечетно число, нечетно число се променя в четно число. В края на краищата сме добавили един елемент, равен на единица към последователността. Въпреки цялото външно сходство, последователността преди трансформацията не е равна на последователността след трансформацията. Дори и да говорим за безкрайна редица, трябва да помним, че безкрайна редица с нечетен брой елементи не е равна на безкрайна редица с четен брой елементи.

Поставяйки знак за равенство между две различни по брой елементи редица, математиците твърдят, че сумата на редицата НЕ ЗАВИСИ от броя на елементите в редицата, което противоречи на ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. По-нататъшното разсъждение за сумата на безкрайна последователност е невярно, защото се основава на фалшиво равенство.

Ако видите, че математиците поставят скоби в хода на доказателствата, пренареждат елементите на математическия израз, добавят или премахват нещо, бъдете много внимателни, най-вероятно те се опитват да ви измамят. Подобно на фокусниците на карти, математиците отвличат вниманието ви с различни манипулации на израза, за да ви дадат фалшив резултат. Ако не можете да повторите трика с карти, без да знаете тайната на измамата, тогава в математиката всичко е много по-просто: дори не подозирате нищо за измама, но повтарянето на всички манипулации с математически израз ви позволява да убедите другите в правилността на резултата, точно както когато са ви убедили.

Въпрос от публиката: А безкрайността (като брой елементи в редицата S), четна или нечетна е? Как можете да промените паритета на нещо, което няма паритет?

Безкрайността за математиците е като Царството небесно за свещениците - никой никога не е бил там, но всеки знае как точно работи всичко там))) Съгласен съм, след смъртта ще бъдете абсолютно безразлични дали сте живели четен или нечетен брой дни , но ... Като добавим само един ден в началото на живота ви, ще получим съвсем различен човек: неговото фамилно име, име и бащино име са абсолютно същите, само датата на раждане е напълно различна - той е роден един ден преди теб.

И сега към точката))) Да предположим, че крайна последователност, която има паритет, губи този паритет, когато отива към безкрайност. Тогава всеки краен сегмент от безкрайна последователност също трябва да загуби паритет. Ние не спазваме това. Фактът, че не можем да кажем със сигурност дали броят на елементите в една безкрайна последователност е четен или нечетен, изобщо не означава, че паритетът е изчезнал. Паритетът, ако съществува, не може да изчезне безследно в безкрайността, както в ръкава на картата по-остро. Има много добра аналогия за този случай.

Питали ли сте някога кукувица, която седи в часовник в каква посока се върти стрелката на часовника? За нея стрелката се върти в посока, обратна на това, което наричаме "по часовниковата стрелка". Може да звучи парадоксално, но посоката на въртене зависи единствено от това от коя страна наблюдаваме въртенето. И така, имаме едно колело, което се върти. Не можем да кажем в каква посока се извършва въртенето, тъй като можем да го наблюдаваме както от едната, така и от другата страна на равнината на въртене. Можем само да свидетелстваме, че има ротация. Пълна аналогия с четността на безкрайна последователност С.

Сега нека добавим второ въртящо се колело, чиято равнина на въртене е успоредна на равнината на въртене на първото въртящо се колело. Все още не можем да кажем точно в каква посока се въртят тези колела, но можем да кажем с абсолютна сигурност дали и двете колела се въртят в една и съща посока или в противоположни посоки. Сравняване на две безкрайни последователности Си 1-S, показах с помощта на математиката, че тези последователности имат различна четност и поставянето на знак за равенство между тях е грешка. Лично аз вярвам в математиката, не вярвам на математиците))) Между другото, за да разберем напълно геометрията на трансформациите на безкрайни последователности, е необходимо да въведем концепцията "едновременност". Това ще трябва да се начертае.

сряда, 7 август 2019 г

Завършвайки разговора за , трябва да разгледаме безкраен набор. Предадох, че понятието "безкрайност" действа на математиците като боа на заек. Трептящият ужас на безкрайността лишава математиците от здрав разум. Ето един пример:

Първоизточникът е локализиран. Алфата означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Ако вземем за пример безкраен набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени по следния начин:

За да докажат визуално своя случай, математиците са измислили много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на танци на шамани с тамбури. По същество всички те се свеждат до това, че или някои от стаите не са заети и в тях се настаняват нови гости, или част от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гостите (много човешки). Представих моето виждане за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават разсъжденията ми? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гости, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на времето. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво пренебрегнат, но това вече ще бъде от категорията „законът не е написан за глупаци“. Всичко зависи от това какво правим: приспособяваме реалността към математическите теории или обратното.

Какво е "безкраен хотел"? Infinity inn е хан, който винаги има произволен брой свободни места, без значение колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор "за посетители" са заети, остава още един безкраен коридор със стаи за "гости". Ще има безкрайно много такива коридори. В същото време „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците, от друга страна, не могат да се отдалечат от баналните битови проблеми: Бог-Аллах-Буда винаги е само един, хотелът е един, коридорът е само един. Така че математиците се опитват да жонглират с поредните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да "бутнем ненатиснатото".

Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо трябва да отговорите на един много прост въпрос: колко набора от естествени числа съществуват - един или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като ние сами сме измислили числата, в природата няма числа. Да, природата знае как да брои перфектно, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Както природата мисли, друг път ще ви кажа. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа съществуват. Обмислете и двата варианта, както подобава на истински учен.

Вариант едно. „Нека ни бъде даден“ единичен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафт. Взимаме този комплект от рафта. Това е, други естествени числа не останаха на рафта и няма къде да ги вземете. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. Ами ако наистина искате? Няма проблем. Можем да вземем единица от вече взетия комплект и да я върнем на рафта. След това можем да вземем единица от рафта и да я добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново получаваме безкраен набор от естествени числа. Можете да напишете всички наши манипулации така:

Записал съм операциите в алгебрична нотация и в нотация на теория на множествата, като подробно изброявам елементите на множеството. Долният индекс показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако от него се извади едно и се добави същото.

Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на рафта. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки факта, че практически не се различават. Взимаме един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да съберем две групи естествени числа. Ето какво получаваме:

Долните индекси "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни множества. Да, ако добавите един към безкраен набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да бъде същият като оригиналния набор. Ако едно безкрайно множество се добави към друго безкрайно множество, резултатът е ново безкрайно множество, състоящо се от елементите на първите две множества.

Наборът от естествени числа се използва за броене по същия начин като линийка за измервания. Сега си представете, че сте добавили един сантиметър към линийката. Това вече ще бъде различна линия, не е равна на оригинала.

Можете да приемете или да не приемете разсъжденията ми - това е ваша работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не сте на пътя на фалшивите разсъждения, утъпкан от поколения математици. В края на краищата часовете по математика, на първо място, формират у нас стабилен стереотип на мислене и едва след това ни добавят умствени способности (или обратното, лишават ни от свободно мислене).

pozg.ru

Неделя, 4 август 2019 г

Пишех послепис към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:

Четем: „... богатата теоретична основа на математиката на Вавилон не е имала холистичен характер и е била сведена до набор от различни техники, лишени от обща система и доказателствена база.“

Еха! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Слабо ли ни е да разглеждаме съвременната математика в същия контекст? Перифразирайки леко горния текст, лично аз получих следното:

Богатата теоретична база на съвременната математика няма холистичен характер и се свежда до набор от различни раздели, лишени от обща система и доказателствена база.

Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - тя има език и конвенции, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различно значение. Искам да посветя цял цикъл от публикации на най-очевидните грешки на съвременната математика. Ще се видим скоро.

Събота, 3 август 2019 г

Как да разделим набор на подмножества? За да направите това, трябва да въведете нова мерна единица, която присъства в някои от елементите на избрания комплект. Помислете за пример.

Нека имаме много НОсъстоящ се от четирима души. Това множество се формира на базата на "хора". Нека обозначим елементите на това множество чрез буквата а, индексът с цифра ще показва поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "полов признак" и да я обозначим с буквата b. Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора НОна пола b. Забележете, че нашият набор „хора“ вече е станал набор „хора с пол“. След това можем да разделим половите белези на мъжки bmи дамски bwполови характеристики. Сега можем да приложим математически филтър: избираме една от тези сексуални характеристики, без значение кой е мъж или жена. Ако той присъства в човек, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава прилагаме обичайната училищна математика. Вижте какво стана.

След умножение, съкращения и пренареждане, получихме две подмножества: подмножеството на мъжете bmи подгрупа от жени bw. Приблизително по същия начин разсъждават математиците, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни позволяват да навлезем в подробностите, но ни дават крайния резултат - "много хора се състоят от подгрупа от мъже и подгрупа от жени." Естествено, може да имате въпрос, колко правилно е приложена математиката в горните трансформации? Смея да ви уверя, че всъщност трансформациите се извършват правилно, достатъчно е да знаете математическата обосновка на аритметиката, булевата алгебра и други раздели на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.

Що се отнася до надмножествата, възможно е да комбинирате два набора в един супермножество, като изберете мерна единица, която присъства в елементите на тези два набора.

Както можете да видите, мерните единици и общата математика правят теорията на множествата нещо от миналото. Знак, че не всичко е наред с теорията на множествата е, че математиците са измислили свой собствен език и нотация за теорията на множествата. Математиците направиха това, което някога направиха шаманите. Само шаманите знаят как да прилагат "правилно" своите "знания". Това "знание" ни учат.

В заключение искам да ви покажа как математиците манипулират
Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда крачки зад нея. През времето, през което Ахил изминава това разстояние, костенурката изпълзява стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил измине сто крачки, костенурката ще пропълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Гилберт... Всички те по един или друг начин са разглеждали апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и в момента, научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... математическият анализ, теорията на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема ..."[Уикипедия," Апориите на Зенон "]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.

От гледна точка на математиката, Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от стойността към. Този преход предполага прилагане вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за прилагане на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни вкарва в капан. Ние, по инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочното. От физическа гледна точка изглежда, че времето се забавя до пълно спиране в момента, в който Ахил настига костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил безкрайно бързо ще изпревари костенурката“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни стойности. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да измине хиляда крачки, костенурката пълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин крачки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон "Ахил и костенурката". Предстои ни да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент летящата стрела е в покой в различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движение на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти във времето, но те не могат да се използват за определяне на разстоянието. За да определите разстоянието до колата, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството едновременно, но не можете да определите факта на движение от тях (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне) . Това, което искам да отбележа по-специално, е, че две точки във времето и две точки в пространството са две различни неща, които не трябва да се бъркат, тъй като предоставят различни възможности за изследване.
Ще покажа процеса с пример. Избираме "червено твърдо вещество в пъпка" - това е нашето "цяло". В същото време виждаме, че тези неща са с лък, а има и без лък. След това избираме част от "цялото" и оформяме комплект "с лък". Ето как шаманите се изхранват, като обвързват своята теория за множествата с реалността.

Сега нека направим малък трик. Нека вземем "твърдо в пъпка с лък" и обединим тези "цяли" по цвят, избирайки червени елементи. Имаме много "червени". Сега един труден въпрос: получените комплекти "с лък" и "червен" един и същи комплект ли са или два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно те самите не знаят нищо, но както казват, така да бъде.

Този прост пример показва, че теорията на множествата е напълно безполезна, когато става въпрос за реалността. каква е тайната Оформихме набор от "червена плътна пъпка с лък". Оформянето се извършва според четири различни мерни единици: цвят (червено), сила (твърдо), грапавост (в изпъкналост), декорации (с лък). Само набор от мерни единици дава възможност за адекватно описание на реални обекти на езика на математиката. Ето как изглежда.

Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. В скоби са подчертани мерните единици, според които "цялото" се разпределя на предварителния етап. Извън скоби е извадена мерната единица, по която се формира комплектът. Последният ред показва крайния резултат - елемент от множеството. Както можете да видите, ако използваме мерни единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шаманите с тамбури. Шаманите могат "интуитивно" да стигнат до същия резултат, аргументирайки го с "очевидност", тъй като мерните единици не са включени в техния "научен" арсенал.

С помощта на мерни единици е много лесно да разбиете един или да комбинирате няколко комплекта в един суперсет. Нека разгледаме по-подробно алгебрата на този процес.

В последния урок успешно усвоихме (или повторихме - както на когото му харесва) ключовите понятия от цялата тригонометрия. то тригонометричен кръг , ъгъл върху окръжност , синус и косинус на този ъгъл а също и усвоени знаци на тригонометрични функции в четвърти . Научен в детайли. На пръсти, може да се каже.

Но това все още не е достатъчно. За да приложим успешно всички тези прости концепции на практика, се нуждаем от още едно полезно умение. А именно правилната работа с ъгли в тригонометрията. Без това умение в тригонометрията - нищо. Дори в най-примитивните примери. Защо? Да, защото ъгълът е ключовата действаща фигура в цялата тригонометрия! Не, не тригонометрични функции, не синус с косинус, не тангенс с котангенс, а именно самият ъгъл. Без ъгъл - без тригонометрични функции, да ...

Как да работим с ъгли на кръг? За да направим това, по ирония на съдбата трябва да научим две точки.

1) какБроят ли се ъглите на окръжност?

2) Каквоброят ли се (измерват)?

Отговорът на първия въпрос е темата на днешния урок. С първия въпрос ще се занимаем подробно точно тук и сега. Отговорът на втория въпрос няма да бъде даден тук. Защото е доста развит. Подобно на самия втори въпрос, той е много хлъзгав, да.) Засега няма да навлизам в подробности. Това е темата на следващия отделен урок.

Ще започваме ли?

Как се изчисляват ъглите върху окръжност? Положителни и отрицателни ъгли.

На тези, които четат заглавието на абзаца, може вече да им настръхват косите. Как така?! Отрицателни ъгли? Възможно ли е изобщо това?

към отрицателното числавече свикнахме. Можем да ги представим на цифровата ос: положително вдясно от нулата, отрицателно вляво от нулата. Да, и периодично поглеждаме термометъра извън прозореца. Особено през зимата, в студ.) И парите по телефона са в "минус" (т.е. задължение) понякога изчезват. Всичко е познато.

Но какво да кажем за ъглите? Оказва се, че отрицателните ъгли в математиката също се случи!Всичко зависи от това как да преброим този ъгъл ... не, не на числова ос, а на числова окръжност! Имам предвид, в кръг. Кръг - ето го, аналог на числовата права в тригонометрията!

Така, Как се изчисляват ъглите на окръжност?Няма какво да се прави, първо ще трябва да начертаем този кръг.

Ще нарисувам тази красива картина:

Много прилича на снимките от предишния урок. Има оси, има кръг, има ъгъл. Но има и нова информация.

Добавих и числа за 0°, 90°, 180°, 270° и 360° по осите. Сега това е по-интересно.) Какви са тези числа? Правилно! Това са стойностите на ъглите, измерени от нашата фиксирана страна, които падат по координатните оси.Припомняме, че фиксираната страна на ъгъла винаги е здраво закрепена към положителната полуос OX. И всеки ъгъл в тригонометрията се измерва от тази полуос. Този основен произход на ъглите трябва да се има предвид по ирония на съдбата. А осите - те се пресичат под прав ъгъл, нали? Така че добавяме 90° във всяка четвърт.

И още добавени червена стрелка. С плюс. Червеното е нарочно, за да хване окото. И ми се запечата добре в паметта. За това трябва да се помни надеждно.) Какво означава тази стрелка?

Така се оказва, ако завием на нашия ъгъл стрелка плюс(обратно на часовниковата стрелка, в хода на номерирането на четвъртините), след това ъгъла ще се считат за положителни!Фигурата показва ъгъл от +45° като пример. Между другото, имайте предвид, че аксиалните ъгли 0°, 90°, 180°, 270° и 360° също са пренавити точно в плюс! С червената стрелка.

Сега нека да разгледаме друга снимка:

Тук почти всичко е същото. Само ъглите на осите са номерирани обърнат.По часовниковата стрелка. И те имат знак минус.) синя стрелка. Също с минус. Тази стрелка е посоката на отрицателното отчитане на ъглите на окръжността. Тя ни показва, че ако отложим нашия ъгъл по часовниковата стрелка, тогава ъгъл ще се счита за отрицателен.Например, показах ъгъл -45°.

Между другото, имайте предвид, че номерацията на кварталите никога не се променя! Няма значение дали навиваме завоите в плюс или минус. Винаги строго обратно на часовниковата стрелка.)

Помня:

1. Началото на броенето на ъглите е от положителната полуос ОХ. По час - "минус", срещу часовник - "плюс".

2. Номерирането на четвъртините е винаги обратно на часовниковата стрелка, независимо от посоката на изчисляване на ъглите.

Между другото, подписването на ъглите по осите 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, всеки път, когато чертаете кръг, изобщо не е задължително. Това е чисто за разбиране на същността. Но тези числа трябва да присъстват в главата типри решаване на всяка задача по тригонометрия. Защо? Да, защото това елементарно знание дава отговори на много други въпроси в цялата тригонометрия! Най-важният въпрос е в коя четвърт попада ъгълът, който ни интересува? Вярвате или не, правилният отговор на този въпрос решава лъвския пай от всички други проблеми с тригонометрията. Ще разгледаме този важен урок (разпределението на ъглите в четвърти) в същия урок, но малко по-късно.

Стойностите на ъглите, лежащи върху координатните оси (0°, 90°, 180°, 270° и 360°) трябва да се запомнят! Запомнете здраво, до автоматизма. И както в плюс, така и в минус.

Но от този момент започват първите изненади. И заедно с тях трудни въпроси, отправени към мен, да ...) И какво ще се случи, ако отрицателният ъгъл на окръжността отговарят на положителното?Оказва се, че същата точкана окръжност може да се обозначи като положителен ъгъл и отрицателен ???

Съвсем правилно! Така е.) Например положителен ъгъл от +270° заема окръжност същата позиция , което е отрицателният ъгъл -90°. Или, например, ще заеме положителен ъгъл от +45° върху кръг същата позиция , което е отрицателният ъгъл -315°.

Гледаме следващата снимка и виждаме всичко:

По подобен начин положителен ъгъл от +150° ще отиде там, където отрицателен ъгъл от -210°, положителен ъгъл от +230° ще отиде на същото място като отрицателен ъгъл от -130°. И така нататък…

И сега какво мога да направя? Как точно да броим ъглите, ако може така и така? Колко правилно?

Отговор: все пак правилно!Математиката не забранява нито една от двете посоки за броене на ъгли. И изборът на конкретна посока зависи единствено от задачата. Ако в задачата не се казва нищо в прав текст за знака на ъгъла (като напр „определете най-великия отрицателенъгъл"и т.н.), тогава работим с най-удобните за нас ъгли.

Разбира се, например, в такива готини теми като тригонометрични уравнения и неравенства, посоката на изчисляване на ъглите може да има огромно влияние върху отговора. И в съответните теми ще разгледаме тези капани.

Помня:

Всяка точка от окръжността може да бъде означена както с положителни, така и с отрицателни ъгли. всеки! Какво искаме.

Сега нека помислим за това. Открихме, че ъгълът от 45° е точно същият като ъгълът от -315°? Как разбрах за същите тези 315° ? Не можете ли да познаете? да Чрез пълен завой.) На 360 °. Имаме ъгъл от 45°. Колко липсва до пълен ход? Извадете 45° от 360° - тук получаваме 315° . Навиваме в отрицателна посока - и получаваме ъгъл от -315 °. Все още не е ясно? След това отново погледнете горната снимка.

И това винаги трябва да се прави, когато превеждате положителни ъгли в отрицателни (и обратно) - нарисувайте кръг, забележете относнодаден ъгъл, смятаме колко градуса липсват до пълен завой и навиваме получената разлика в обратна посока. И това е.)

Какво друго е интересно за ъглите, които заемат една и съща позиция на кръга, какво мислите? И фактът, че такива ъгли точно същото синус, косинус, тангенс и котангенс! Е винаги!

Например:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

А сега това е изключително важно! За какво? Да, всички за едно и също!) За опростяване на изразите. За опростяване на изрази е ключова процедура за успешно решение всякаквизадачи по математика. И тригонометрията също.

И така, разбрахме общото правило за броене на ъгли в окръжност. Е, ако тук намекнахме за пълни обороти, за четвъртинки, тогава ще е време да завъртим и начертаем точно тези ъгли. Ще рисуваме ли?)

Да започнем с положителенъгли. Те ще бъдат по-лесни за рисуване.

Начертайте ъгли в рамките на един оборот (между 0° и 360°).

Нека начертаем например ъгъл от 60°. Тук всичко е просто, без излишни украшения. Чертаем координатни оси, кръг. Можете директно на ръка, без пергел и линийка. Рисуваме схематичноО: Нямаме чертожни работи с вас. Няма нужда да спазвате GOST, те няма да бъдат наказани.)

Можете (за себе си) да маркирате стойностите на ъглите на осите и да посочите стрелката в посоката срещу часовника.В крайна сметка ще спестим пари като плюс?) Не можете да направите това, но трябва да запазите всичко в главата си.

И сега рисуваме втората (подвижна) страна на ъгъла. Какъв квартал? В първия, разбира се! За 60 градуса е строго между 0° и 90°. Така че имаме равенство през първата четвърт. под ъгъл относно 60 градуса към фиксираната страна. Как да броим относно 60 градуса без транспортир? Лесно! 60° е две трети от прав ъгъл!Ние мислено разделяме първата четвърт на кръга на три части, вземаме две трети за себе си. И рисуваме ... Колко всъщност стигаме (ако прикрепим транспортир и го измерим) - 55 градуса или 64 - няма значение! Важно е, че все още някъде около 60°.

Получаваме изображение:

Това е всичко. И не бяха необходими инструменти. Ние развиваме око! Ще ви бъде полезен при задачи по геометрия.) Тази неестетична рисунка може да бъде незаменима, когато трябва да надраскате окръжност и ъгъл набързо, без да мислите за красотата. Но в същото време драска точно, без грешки, с цялата необходима информация. Например като помощ при решаването на тригонометрични уравнения и неравенства.

Сега нека начертаем ъгъл, например 265°. Познайте къде може да е? Е, ясно е, че не през първата четвърт и дори не през втората: те завършват на 90 и 180 градуса. Можете да мислите, че 265° е 180° плюс още 85°. Тоест към отрицателната полуос OX (където 180 °) трябва да се добави относно 85°. Или, още по-лесно, да познаете, че 265 ° не достига отрицателната полуос OY (където е 270 °) на някои нещастни 5 °. С една дума, през третото тримесечие ще има този ъгъл. Много близо до отрицателната ос OY, до 270 градуса, но все пак в третата!

Рисувам:

Тук отново не се изисква абсолютна точност. Нека в действителност този ъгъл се оказа, да речем, 263 градуса. Но най-важният въпрос (какво тримесечие?)отговорихме правилно. Защо това е най-важният въпрос? Да, защото всяка работа с ъгъл в тригонометрията (независимо дали ще начертаем този ъгъл или не) започва с отговора на точно този въпрос! Е винаги. Ако пренебрегнете този въпрос или се опитате да му отговорите мислено, тогава грешките са почти неизбежни, да ... Имате ли нужда от това?

Помня:

Всяка работа с ъгъл (включително чертането на този ъгъл върху окръжност) винаги започва с определяне на четвъртината, в която попада този ъгъл.

Сега се надявам, че ще начертаете правилно ъглите, например 182°, 88°, 280°. AT правилночетвъртинки. В третия, първия и четвъртия, ако има нещо ...)

Четвъртата четвърт завършва под ъгъл от 360°. Това е един пълен оборот. Pepper е ясно, че този ъгъл заема същата позиция върху окръжността като 0 ° (т.е. референтната точка). Но ъглите не свършват дотук, да...

Какво да правим с ъгли, по-големи от 360°?

— Съществуват ли такива неща?- ти питаш. Има, как! Това се случва, например, ъгъл от 444 °. И понякога, да речем, ъгъл от 1000 °. Има всякакви ъгли.) Просто визуално такива екзотични ъгли се възприемат малко по-сложно от обичайните ъгли в рамките на един завой. Но също така трябва да можете да чертаете и изчислявате такива ъгли, да.

За да начертаете правилно такива ъгли върху кръг, трябва да направите същото - разберете в кое тримесечие попада интересният ъгъл. Тук възможността за точно определяне на четвъртината е много по-важна, отколкото за ъгли от 0 ° до 360 °! Самата процедура за определяне на тримесечие е усложнена само с една стъпка. Коя, скоро ще видите.

Така например трябва да открием в коя четвърт попада ъгълът 444°. Започваме да въртим. Където? Като плюс, разбира се! Дадоха ни положителен ъгъл! +444°. Ние усукваме, ние усукваме ... Ние усукахме един оборот - стигнахме до 360 °.

Колко остава до 444°?Преброяваме останалата опашка:

444°-360° = 84°.

Така че 444° е един пълен оборот (360°) плюс още 84°. Очевидно това е първото тримесечие. И така, ъгълът 444° пада през първото тримесечие.Наполовина готово.

Сега остава да изобразим този ъгъл. как? Много просто! Правим едно пълно завъртане по червената (плюс) стрелка и добавяме още 84 °.

Като този:

Тук не претрупах чертежа - подпише четвъртинки, начертайте ъгли на осите. Цялата тази доброта трябваше да е в главата ми от дълго време.)

Но аз показах с "охлюв" или спирала как точно се образува ъгълът от 444 ° от ъглите от 360 ° и 84 °. Пунктираната червена линия е един пълен оборот. Към които допълнително са завинтени 84° (плътна линия). Между другото, имайте предвид, че ако този много пълен завой бъде изхвърлен, това няма да повлияе по никакъв начин на позицията на нашия ъгъл!

Но това е важно! Ъглова позиция 444° напълно съвпадас ъглова позиция 84°. Няма чудеса, просто се случват.)

Възможно ли е да изхвърлите не един пълен ход, а два или повече?

Защо не? Ако ъгълът е тежък, тогава е не само възможно, но дори необходимо! Ъгълът няма да се промени! По-точно, самият ъгъл, разбира се, ще се промени по големина. Но неговата позиция на кръга - няма начин!) Ето защо те пъленинерция, че колкото и копия да добавите, колкото и да извадите, пак ще уцелите същата точка. Хубаво, нали?

Помня:

Ако добавим (извадим) към ъгъла произволен цялоброй пълни обороти, позицията на оригиналния ъгъл на кръга НЯМА да се промени!

Например:

В коя четвърт попада ъгълът 1000°?

Няма проблем! Ние считаме колко пълни оборота се намират в хиляда градуса. Един оборот е 360°, друг вече е 720°, трети е 1080°… Спри! Бюст! И така, седи под ъгъл от 1000 ° двепълен оборот. Изхвърлете ги от 1000° и изчислете остатъка:

1000° - 2 360° = 280°

И така, позицията на ъгъла 1000° върху окръжността един и същ, което е същото като ъгъла от 280°. С когото вече е много по-приятно да се работи.) И къде пада този ъгъл? Попада в четвъртата четвърт: 270° (отрицателна полуос OY) плюс още десет.

Рисувам:

Тук вече не нарисувах две пълни завъртания с пунктирана спирала: оказва се болезнено дълго. Просто нарисувах останалата част от конската опашка от нулата, изхвърляне всичкодопълнителни завои. Сякаш дори не са съществували.)

Още веднъж. В добрия смисъл ъглите 444° и 84°, както и 1000° и 280° са различни. Но за синус, косинус, тангенс и котангенс, тези ъгли са същото!

Както можете да видите, за да работите с ъгли, по-големи от 360°, трябва да дефинирате колко пълни оборота се намират в даден голям ъгъл. Това е допълнителната стъпка, която трябва да се направи предварително при работа с такива ъгли. Нищо сложно, нали?

Отпадането на пълни обороти, разбира се, е приятно изживяване.) Но на практика, когато работите с абсолютно кошмарни ъгли, също възникват трудности.

Например:

В коя четвърт попада ъгълът 31240°?

И какво, ще добавяме 360 градуса много, много пъти? Възможно е, ако не гори особено. Но можем не само да добавяме.) Можем и да разделяме!

Така че нека разделим нашия огромен ъгъл на 360 градуса!

Чрез това действие ние просто откриваме колко пълни оборота са скрити в нашите 31240 градуса. Можете да споделите ъгъл, можете (шепнете в ухото си :)) на калкулатор.)

Получаваме 31240:360 = 86,777777….

Това, че числото се оказа дробно, не е страшно. Ние сме само цялоИнтересуват ме оборотите! Следователно не е необходимо да се разделя до края.)

И така, в нашия рошав ъгъл има цели 86 пълни оборота. Ужас…

В градуси ще бъде86 360° = 30960°

Като този. Това е колко градуса могат да бъдат безболезнено изхвърлени от даден ъгъл от 31240 °. останки:

31240° - 30960° = 280°

Всичко! Ъглова позиция 31240° напълно идентифицирана! На същото място като 280°. Тези. четвърта четвърт.) Изглежда вече сме изобразявали този ъгъл преди? Кога беше начертан ъгълът от 1000°?) Там също отидохме 280 градуса. Съвпадение.)

Така че моралът на историята е следният:

Ако ни бъде даден ужасен тежък ъгъл, тогава:

1. Определете колко пълни оборота има в този ъгъл. За да направите това, разделете първоначалния ъгъл на 360 и изхвърлете дробната част.

2. Отчитаме колко градуса има в получения брой обороти. За да направите това, умножете броя на оборотите по 360.

3. Извадете тези обороти от първоначалния ъгъл и работете с обичайния ъгъл в диапазона от 0° до 360°.

Как да работим с отрицателни ъгли?

Няма проблем! По същия начин както при положителните, само с една единствена разлика. Какво? да Трябва да завъртите ъглите обратна страна, минус! по часовниковата стрелка.)

Нека начертаем, например, ъгъл от -200°. Отначало всичко е както обикновено за положителни ъгли - оси, кръг. Нека начертаем синя стрелка с минус и да подпишем ъглите на осите по различен начин. Те, разбира се, ще трябва да се отчетат и в отрицателна посока. Това ще бъдат всички същите ъгли, преминаващи през 90°, но преброени в обратната посока, минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Картината ще изглежда така:

При работа с отрицателни ъгли често има чувство на леко недоумение. Как така?! Оказва се, че една и съща ос е, да речем, +90° и -270°? Не, тук нещо не е наред...

Да, всичко е чисто и прозрачно! В крайна сметка вече знаем, че всяка точка от окръжността може да се нарече както положителен, така и отрицателен ъгъл! Абсолютно всякакви. Включително и по някои от координатните оси. В нашия случай имаме нужда от отрицателенизчисляване на ъгли. Така че отрязваме всички ъгли до минус.)

Сега рисуването на прав ъгъл от -200° не е проблем. Това е -180° и минусоще 20°. Започваме да навиваме от нула до минус: летим през четвъртата четвърт, третата също е минала, достигаме -180 °. Къде да навия останалите двадесет? Да, всичко е наред! По часовника.) Общият ъгъл -200° попада в второчетвърт.

Сега разбирате колко е важно да запомните ъглите на координатните оси?

Ъглите по координатните оси (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) трябва да се запомнят точно, за да се определи точно четвъртината, в която попада ъгълът!

И ако ъгълът е голям, с няколко пълни оборота? ОК е! Какво значение има къде се въртят тези пълни обороти - на плюс или минус? Точка върху кръг няма да промени позицията си!

Например:

В кой квадрант попада ъгълът -2000°?

Все същото! Като начало разглеждаме колко пълни оборота има в този зъл ъгъл. За да не бъркаме в знаците, нека засега оставим минуса и просто разделим 2000 на 360. Получаваме 5 с опашка. Опашката все още не ни притеснява, ще я броим малко по-късно, когато начертаем ъгъла. Ние вярваме петпълни обороти в градуси:

5 360° = 1800°

Voot. Това е колко допълнителни градуса можете безопасно да изхвърлите от нашия ъгъл без вреда за здравето.

Преброяваме останалата опашка:

2000° – 1800° = 200°

И сега можете да си спомните и за минуса.) Къде ще навием опашката на 200 °? Минус, разбира се! Даден ни е отрицателен ъгъл.)

2000° = -1800° - 200°

Така че рисуваме ъгъл от -200 °, само без допълнителни завои. Току-що го нарисувах, но така да бъде, ще го нарисувам още веднъж. На ръка.

Чушката е ясна, че дадения ъгъл -2000°, както и -200°, попадат в второ тримесечие.

И така, ние се навиваме на кръг ... съжалявам ... на мустаци:

Ако е даден много голям отрицателен ъгъл, тогава първата част от работата с него (намиране на броя на пълните обороти и изхвърлянето им) е същата като при работа с положителен ъгъл. Знакът минус не играе никаква роля на този етап от решението. Знакът се взема предвид само в самия край, когато се работи с ъгъла, оставащ след отстраняването на пълните завои.

Както можете да видите, начертаването на отрицателни ъгли върху кръг не е по-трудно от начертаването на положителни.

Всичко е същото, само в другата посока! По час!

И сега - най-интересното! Разгледахме положителни ъгли, отрицателни ъгли, големи ъгли, малки ъгли - пълната гама. Открихме също, че всяка точка от окръжността може да се нарече положителен и отрицателен ъгъл, изхвърлихме пълните завои ... Нямате мисли? Трябва да се отложи...

да Каквато и точка от окръжността да вземете, тя ще съответства безкрайни ъгли! Големи и не много, положителни и отрицателни - всички! И разликата между тези ъгли ще бъде цяло брой пълни завъртания. Е винаги! Така че тригонометричният кръг е подреден, да ...) Ето защо обратензадачата е да се намери ъгъла по известните синус / косинус / тангенс / котангенс - решена е двусмислен. И много по-трудно. За разлика от пряката задача - да се намери целият набор от неговите тригонометрични функции за даден ъгъл. И в по-сериозните теми от тригонометрията ( арки, тригонометрични уравненияи неравенства ) ще срещаме този чип постоянно. Свиквам.)

1. В коя четвърт се пада ъгълът -345°?

2. В коя четвърт се пада ъгълът 666°?

3. В коя четвърт попада ъгъл 5555°?

4. В коя четвърт попада ъгълът -3700°?

5. Какъв е знакътcos999°?

6. Какъв е знакътctg999°?

И успя ли? Чудесен! Има проблем? Тогава ти.

Отговори:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Този път отговорите са дадени подредени, нарушавайки традицията. Защото има само четири четвърти и има само два знака. няма да избягаш...)

В следващия урок ще говорим за радианите, за тайнственото число „пи“, ще се научим как лесно и просто да преобразуваме радиани в градуси и обратно. И ще бъдем изненадани да открием, че дори тези прости знания и умения вече ще са напълно достатъчни, за да решим успешно много нетривиални проблеми в тригонометрията!

Тук. Нещо като това. Тук мога да разкажа и други истории, които ще са повече от подходящи тук.

Двамата приятели имаха своите дялове в общия бизнес. След убийството на единия всичко отиде при другия.

Появата на математиката на нашата планета.

Събота, 26 октомври 2019 г

Това резонира с разсъжденията ми относно.

сряда, 7 август 2019 г

pozg.ru

Неделя, 4 август 2019 г

Пишех послепис към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:

Събота, 3 август 2019 г

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Разнообразен. Някои от тях са за това в кои четвърти косинусът е положителен и отрицателен, в кои четвърти синусът е положителен и отрицателен. Всичко се оказва просто, ако знаете как да изчислите стойността на тези функции в различни ъгли и сте запознати с принципа на конструиране на функции върху графика.

Какви са стойностите на косинуса

Ако разгледаме, тогава имаме следното аспектно съотношение, което го определя: косинусът на ъгъла ае отношението на съседния катет BC към хипотенузата AB (фиг. 1): cos а= BC/AB.

Използвайки същия триъгълник, можете да намерите синуса на ъгъла, тангенса и котангенса. Синусът ще бъде съотношението на противоположния ъгъл AC към хипотенузата AB. Тангенсът на ъгъл се намира, ако синусът на желания ъгъл се раздели на косинуса на същия ъгъл; замествайки съответните формули за намиране на синус и косинус, получаваме, че tg а\u003d AC / BC. Котангенсът, като функция, обратна на тангенса, ще бъде намерен по следния начин: ctg а= BC/AC.

Тоест, за еднакви стойности на ъгъла беше установено, че в правоъгълен триъгълник съотношението на страните винаги е същото. Изглежда, че стана ясно откъде идват тези стойности, но защо се получават отрицателни числа?

За да направите това, трябва да разгледате триъгълника в декартовата координатна система, където има както положителни, така и отрицателни стойности.

Ясно за кварталите къде кое е

Какво представляват декартовите координати? Ако говорим за двумерно пространство, имаме две насочени прави, които се пресичат в точка O - това е абсцисната ос (Ox) и ординатната ос (Oy). От точката О по посока на правата вървят положителни числа, а в обратна посока – отрицателни. В крайна сметка пряко зависи от това в кои четвърти косинусът е положителен и в кои съответно е отрицателен.

Първа четвърт

Ако поставите правоъгълен триъгълник в първата четвърт (от 0 o до 90 o), където осите x и y имат положителни стойности (сегментите AO и BO лежат на осите, където стойностите имат знак "+", тогава това, което е синус, това, което е косинус, също ще имат положителни стойности и им се присвоява стойност със знак плюс. Но какво се случва, ако преместите триъгълника във втората четвърт (от 90 o на 180 o)?

Втора четвърт

Виждаме, че по оста y AO получава отрицателна стойност. Косинус на ъгъл асега има тази страна по отношение на минуса и следователно крайната му стойност става отрицателна. Оказва се, че в коя четвърт косинусът е положителен зависи от разположението на триъгълника в декартовата координатна система. И в този случай косинусът на ъгъла получава отрицателна стойност. Но за синуса нищо не се е променило, защото за определяне на неговия знак е необходима страната на OB, която в този случай остава със знак плюс. Нека обобщим първите две тримесечия.

За да разберете в кои четвърти косинусът е положителен и в кои е отрицателен (както и синусът и други тригонометрични функции), е необходимо да погледнете кой знак е приписан на един или друг крак. За косинус на ъгъл аважен е кракът AO, за синуса - OB.

Първата четвърт досега е единствената, която отговаря на въпроса: „В кои четвърти синусът и косинусът са положителни едновременно?“ Да видим по-нататък дали ще има повече съвпадения в знака на тези две функции.

През втората четвърт AO кракът започна да има отрицателна стойност, което означава, че косинусът стана отрицателен. За синуса се съхранява положителна стойност.

трета четвърт

Сега двата крака AO и OB са станали отрицателни. Припомнете си съотношенията за косинус и синус:

Cos a \u003d AO / AB;

Sin a \u003d BO / AB.

AB винаги има положителен знак в дадена координатна система, тъй като не е насочен към нито една от двете страни, определени от осите. Но краката са станали отрицателни, което означава, че резултатът и за двете функции също е отрицателен, защото ако извършвате операции за умножение или деление с числа, сред които едно и само едно е със знак минус, тогава резултатът също ще бъде с този знак .

Резултат на този етап:

1) В коя четвърт косинусът е положителен? В първия от трите.

2) В коя четвърт синусът е положителен? В първия и втория от трите.

Четвърта четвърт (от 270 o до 360 o)

Тук AO кракът отново получава знака плюс, а оттам и косинуса.

За синуса нещата все още са "отрицателни", защото катетът OB остана под началната точка O.

заключения

За да разберете в кои четвърти косинусът е положителен, отрицателен и т.н., трябва да запомните съотношението за изчисляване на косинуса: кракът, прилежащ към ъгъла, разделен на хипотенузата. Някои учители предлагат да запомните това: k (osine) \u003d (k) ъгъл. Ако си спомняте тази "измама", тогава автоматично разбирате, че синусът е съотношението на противоположния към ъгъла на крака към хипотенузата.

Запомнянето в кои четвърти косинусът е положителен и кои е отрицателен е доста трудно. Има много тригонометрични функции и всички те имат свои собствени стойности. Но все пак в резултат: положителни стойности за синуса - 1, 2 четвърти (от 0 o до 180 o); за косинус 1, 4 четвърти (от 0 o до 90 o и от 270 o до 360 o). В останалите четвърти функциите имат стойности с минус.

Може би ще е по-лесно за някой да запомни къде кой знак е, според изображението на функцията.

За синуса може да се види, че от нула до 180 o гребенът е над линията на стойностите на sin (x), което означава, че функцията тук е положителна. За косинуса е същото: в коя четвърт косинусът е положителен (снимка 7), а в коя е отрицателен, се вижда, като преместите линията над и под оста cos (x). В резултат на това можем да запомним два начина за определяне на знака на функциите синус, косинус:

1. Във въображаема окръжност с радиус равен на единица (въпреки че всъщност няма значение какъв е радиусът на окръжността, но в учебниците най-често се дава точно такъв пример; това улеснява възприемането, но при в същото време, ако не уточните, че това няма значение, децата могат да се объркат).

2. Според изображението на зависимостта на функцията от (x) от самия аргумент x, както е на последната фигура.

Използвайки първия метод, можете да РАЗБЕРЕТЕ от какво точно зависи знакът и това го обяснихме подробно по-горе. Фигура 7, изградена на базата на тези данни, визуализира получената функция и нейната принадлежност към знака по най-добрия възможен начин.

Като цяло този въпрос заслужава специално внимание, но тук всичко е просто: при ъгъл от градуси синусът и косинусът са положителни (вижте фигурата), след което вземаме знака плюс.

Сега се опитайте въз основа на горното да намерите синуса и косинуса на ъглите: и

Можете да мамите: по-специално за ъгъл в градуси. Тъй като ако единият ъгъл на правоъгълен триъгълник е равен на градуси, то вторият е равен на градуси. Сега в сила влизат познатите формули:

Тогава тъй като, тогава и. От тогава и. С градусите е още по-просто: така че ако един от ъглите на правоъгълен триъгълник е равен на градуси, тогава другият също е равен на градуси, което означава, че такъв триъгълник е равнобедрен.

Така че краката му са равни. Така че неговите синус и косинус са равни.

Сега намерете според новата дефиниция (чрез x и y!) синуса и косинуса на ъглите в градуси и градуси. Тук няма триъгълници за рисуване! Те са твърде плоски!

Трябваше да имаш:

Можете сами да намерите тангенса и котангенса, като използвате формулите:

Обърнете внимание, че не можете да делите на нула!

Сега всички получени числа могат да бъдат обобщени в таблица:

Ето стойностите на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъглите I четвърт. За удобство ъглите са дадени както в градуси, така и в радиани (но вече знаете връзката между тях!). Обърнете внимание на 2 тирета в таблицата: а именно котангенса на нулата и тангенса на градусите. Това не е случайно!

По-специално:

Сега нека обобщим концепцията за синус и косинус до напълно произволен ъгъл. Тук ще разгледам два случая:

Ъгълът варира от до градуса
Ъгъл по-голям от градуси

Общо взето, малко си изкривих душата, говорейки за "доста всички" ъгли. Те могат да бъдат и отрицателни! Но ще разгледаме този случай в друга статия. Нека първо се съсредоточим върху първия случай.

Ако ъгълът лежи в 1 четвърт, тогава всичко е ясно, вече разгледахме този случай и дори начертахме таблици.

Сега нека нашият ъгъл е по-голям от градуса и не повече от. Това означава, че се намира или във 2-ра, или 3-та, или 4-та четвърт.

Как сме? Да, абсолютно същото!

Нека помислим вместо нещо такова...

... като този:

Тоест, помислете за ъгъла, лежащ във втората четвърт. Какво можем да кажем за него?

Точката, която е пресечната точка на лъча и окръжността, все още има 2 координати (нищо свръхестествено, нали?). Това са координатите и

Освен това първата координата е отрицателна, а втората е положителна! Означава, че в ъглите на втората четвърт косинусът е отрицателен, а синусът е положителен!

Удивително, нали? Преди това никога не сме срещали отрицателен косинус.

Да, и по принцип това не можеше да бъде, когато разглеждахме тригонометричните функции като съотношения на страните на триъгълник. Между другото, помислете кои ъгли са равни по косинус? И кой има синус?

По същия начин можете да вземете предвид ъглите във всички останали четвъртини. Само ви напомням, че ъгълът се брои обратно на часовниковата стрелка! (както е показано на последната снимка!).

Разбира се, можете да разчитате в другата посока, но подходът към такива ъгли ще бъде малко по-различен.

Въз основа на горното разсъждение е възможно да се поставят знаците на синус, косинус, тангенс (като синус, разделен на косинус) и котангенс (като косинус, разделен на синус) за всичките четири четвърти.

Но още веднъж повтарям, няма смисъл да запаметявате тази рисунка. Всичко, което трябва да знаете:

Нека направим малко практика с вас. Много прости пъзели:

Разберете какъв знак имат следните количества:

Да проверим?

градуса - това е ъгъл, по-голям и по-малък, което означава, че лежи в 3 четвърти. Начертайте произволен ъгъл в 3 четвърти и вижте какъв вид y има. Ще излезе отрицателно. Тогава.
градуса - ъгъл 2 четвърти. Синусът е положителен, а косинусът е отрицателен. Плюс делено на минус е минус. Средства.
градуси - ъгъл, по-голям и по-малък. Така че той лежи в 4 четвърти. Всеки ъгъл на четвъртата четвърт "X" ще бъде положителен, което означава
Ние работим с радиани по подобен начин: това е ъгълът на втората четвърт (тъй като и. Синусът на втората четвърт е положителен.
.
, това е ъгълът на четвъртата четвърт. Там косинусът е положителен.
- отново ъгълът на четвъртата четвърт. Косинусът е положителен, а синусът е отрицателен. Тогава тангенсът ще бъде по-малък от нула:

Може би ви е трудно да определите четвъртините в радиани. В такъв случай винаги можете да преминете към градуси. Отговорът, разбира се, ще бъде абсолютно същият.

Сега бих искал съвсем накратко да се спра на още един момент. Нека си припомним отново основното тригонометрично тъждество.

Както казах, от него можем да изразим синуса през косинуса или обратно:

Изборът на знак ще бъде повлиян само от четвъртината, в която се намира нашият ъгъл алфа. За последните две формули има много задачи на изпита, например това са:

Задача

Намерете дали и.

Всъщност това е задача за една четвърт! Вижте как се разрешава:

Решение

Тъй като заместваме стойността тук, тогава. Сега остава малкото: справете се със знака. Какво ни трябва за това? Знайте в кой квартал е нашият ъгъл. Според условието на проблема: . Кое тримесечие е това? Четвърто. Какъв е знакът на косинуса в четвъртия квадрант? Косинусът в четвъртия квадрант е положителен. След това остава да изберем знака плюс преди. , тогава.

Сега няма да се спирам на такива задачи, можете да намерите техния подробен анализ в статията "". Просто исках да ви посоча колко е важно кой знак приема тази или онази тригонометрична функция в зависимост от четвъртината.

Ъгли, по-големи от градуси

Последното нещо, което бих искал да отбележа в тази статия, е как да се справя с ъгли, по-големи от градуси?

Какво представлява и с какво можете да го ядете, за да не се задавите? Да вземем, да речем, ъгъл в градуси (радиани) и да тръгнем обратно на часовниковата стрелка от него ...

На снимката нарисувах спирала, но разбирате, че всъщност нямаме спирала: имаме само кръг.

И така, докъде ще стигнем, ако започнем от определен ъгъл и преминем през целия кръг (градуси или радиани)?

Къде отиваме? И ще стигнем до същия ъгъл!

Същото, разбира се, важи и за всеки друг ъгъл:

Като вземем произволен ъгъл и преминем цялата окръжност, ще се върнем към същия ъгъл.

Какво ще ни даде? Ето какво: ако, тогава

Откъде най-накрая получаваме:

За всяко цяло число. Означава, че синус и косинус са периодични функции с период.

По този начин няма проблем с намирането на знака на вече произволния ъгъл: просто трябва да изхвърлим всички „цели кръгове“, които се побират в нашия ъгъл, и да разберем в коя четвърт се намира оставащият ъгъл.

Например, за да намерите знак:

Ние проверяваме:

В градуси се вписва пъти в градуси (градуси):
градуса остават. Това е четвъртият ъгъл. Има отрицателен синус, така че
. степени. Това е 3-та четвърт ъгъл. Там косинусът е отрицателен. Тогава
. . Тъй като тогава - ъгълът на първата четвърт. Там косинусът е положителен. Тогава cos
. . Тъй като нашият ъгъл е във втората четвърт, където синусът е положителен.

Можем да направим същото за тангенс и котангенс. Но всъщност с тях е още по-лесно: те също са периодични функции, само периодът им е 2 пъти по-малък:

И така, разбирате какво е тригонометричен кръг и за какво служи.

Но все още имаме много въпроси:

Какво представляват отрицателните ъгли?
Как да изчислим стойностите на тригонометричните функции в тези ъгли
Как да използвате известните стойности на тригонометричните функции от 1-во тримесечие, за да търсите стойностите на функциите в други тримесечия (наистина ли трябва да натъпчете таблицата?!)
Как да използваме кръг за опростяване на решението на тригонометрични уравнения?

СРЕДНО НИВО

Е, в тази статия ще продължим да изучаваме тригонометричния кръг и ще обсъдим следните точки:

Какво представляват отрицателните ъгли?
Как да изчислим стойностите на тригонометричните функции в тези ъгли?
Как да използваме известните стойности на тригонометрични функции от 1-во тримесечие, за да търсим стойностите на функции в други тримесечия?
Коя е тангенсната ос и котангенсната ос?

Няма да имаме нужда от допълнителни знания, освен основните умения за работа с единична окръжност (предишна статия). Е, нека преминем към първия въпрос: какво представляват отрицателните ъгли?

Отрицателни ъгли

Отрицателни ъгли в тригонометриятаса разположени върху тригонометрична окръжност надолу от началото, по посока на движението на часовниковата стрелка:

Нека си спомним как преди това начертахме ъгли върху тригонометрична окръжност: Тръгнахме от положителната посока на оста обратно на часовниковата стрелка:

Тогава в нашата фигура е построен ъгъл, равен на. По същия начин изградихме всички ъгли.

Нищо обаче не ни забранява да вървим от положителната посока на оста по часовниковата стрелка.

Ще получим и различни ъгли, но те вече ще бъдат отрицателни:

Следващата снимка показва два ъгъла, които са равни по абсолютна стойност, но противоположни по знак:

Най-общо правилото може да се формулира по следния начин:

Вървим обратно на часовниковата стрелка - получаваме положителни ъгли
Вървим по посока на часовниковата стрелка - получаваме отрицателни ъгли

Схематично правилото е показано на тази фигура:

Бихте могли да ми зададете един доста разумен въпрос: добре, имаме нужда от ъгли, за да измерим техните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс.

И така, има ли разлика, когато имаме положителен ъгъл и когато имаме отрицателен? Ще ви отговоря: като правило има.

Винаги обаче можете да намалите изчислението на тригонометричната функция от отрицателен ъгъл до изчислението на функцията в ъгълаположителен .

Вижте следната снимка:

Начертах два ъгъла, те са равни по абсолютна стойност, но имат противоположен знак. Отбележете за всеки от ъглите неговите синус и косинус върху осите.

Какво виждаме ти и аз? И ето какво:

Синусите са в ъглите и са противоположни по знак! Тогава ако
Косинусите на ъглите и съвпадат! Тогава ако
От тогава:
От тогава:

По този начин винаги можем да се отървем от отрицателния знак във всяка тригонометрична функция: или просто като го унищожим, както при косинуса, или като го поставим пред функцията, както при синуса, тангенса и котангенса.

Между другото, спомнете си как се казва функцията, в която за всяка допустима е вярно: ?

Такава функция се нарича странна.

И ако за някое допустимо е изпълнено: ? В този случай функцията се нарича дори.

Така току-що показахме, че:

Синус, тангенс и котангенс са нечетни функции, докато косинусът е четен.

Така, както разбирате, няма разлика дали търсим синус от положителен или отрицателен ъгъл: работата с минус е много проста. Така че нямаме нужда от отделни таблици за отрицателни ъгли.

От друга страна, трябва да признаете, би било много удобно, знаейки само тригонометричните функции на ъглите на първата четвърт, да можете да изчислите подобни функции за останалите четвърти. Може ли да се направи? Да, със сигурност можете! Имате поне 2 начина: първият е да построите триъгълник и да приложите Питагоровата теорема (така вие и аз намерихме стойностите на тригонометричните функции за главните ъгли на първата четвърт) и второто - запомняйки стойностите на функциите за ъглите в първата четвърт и някое просто правило, можете да изчислите тригонометрични функции за всички останали четвърти.Вторият начин ще ви спести много суета с триъгълници и с Питагор, така че го виждам като по-обещаващ:

И така, този метод (или правило) се нарича - формули за намаляване.

Актьорски формули

Грубо казано, тези формули ще ви помогнат да не запомните такава таблица (между другото тя съдържа 98 числа!):

ако си спомняте това (само 20 числа):

Тоест, не можете да се занимавате с напълно ненужни 78 числа! Нека, например, трябва да изчислим. Ясно е, че в малката маса няма такова нещо. И какво ще правим? И ето какво:

Първо, имаме нужда от следните знания:

Синусът и косинусът имат период (градуси), т.е.
Тангенс (котангенс) има период (градуси)

Всяко цяло число
Синус и тангенс са нечетни функции, а косинусът е четен:

Вече доказахме първото твърдение с вас, а валидността на второто беше установено съвсем наскоро.

Действителното правило за кастинг изглежда така:

Ако изчислим стойността на тригонометричната функция от отрицателен ъгъл, ние я правим положителна, като използваме група формули (2). Например:
Изхвърляме за синуса и косинуса неговите периоди: (в градуси), а за тангенса - (градуси). Например:
Ако оставащият "ъгъл" е по-малък от градуса, проблемът е решен: търсим го в "малката таблица".
В противен случай търсим в кой квартал е нашият ъгъл: ще бъде 2-ра, 3-та или 4-та четвърт. Гледаме знака на желаната функция в четвъртината. Запомнете този знак!
Представете ъгъл в една от следните форми:
(ако през второто тримесечие)
(ако през второто тримесечие)
(ако през третото тримесечие)
(ако през третото тримесечие)

(ако през четвъртото тримесечие)

така че оставащият ъгъл да е по-голям от нула и по-малък от градуси. Например:

По принцип няма значение в коя от двете алтернативни форми за всяка четвърт представяте ъгъла. Това няма да повлияе на крайния резултат.
Сега нека видим какво имаме: ако сте избрали да запишете през или градуси плюс минус нещо, тогава знакът на функцията няма да се промени: просто премахвате или и записвате синуса, косинуса или тангенса на оставащия ъгъл. Ако сте избрали да записвате чрез или градуси, променете синуса на косинус, косинуса на синус, тангенса на котангенса, котангенса на тангенса.
Поставяме знака от параграф 4 пред получения израз.

Нека демонстрираме всичко по-горе с примери:

Изчисли
Изчисли
Намерете-ди-тези значения ви-ра-същото-ниа:

Да започнем по ред:

Ние действаме според нашия алгоритъм. Изберете цяло число кръгове за:
Като цяло заключаваме, че цялото е поставено в ъгъла 5 пъти, но колко остава? Наляво. Тогава

Е, изхвърлихме излишното. Сега да се заемем със знака. лежи в 4 четвърти. Синусът на четвъртата четвърт има знак минус и не трябва да забравям да го поставя в отговора. Освен това представяме съгласно една от двете формули на параграф 5 от правилата за намаляване. аз ще избера:

Сега гледаме какво се е случило: имаме случай със степени, след което го изхвърляме и променяме синуса на косинус. И поставете знак минус пред него!

градуса е ъгълът в първата четвърт. Знаем (обещахте ми да науча малка таблица!!) нейното значение:

Тогава получаваме окончателния отговор:

Отговор:
всичко е същото, но вместо градуси - радиани. ОК е. Основното нещо, което трябва да запомните е, че
Но не можете да замените радианите с градуси. Това е въпрос на вкус. Няма да променя нищо. Ще започна отново, като изхвърля цели кръгове:

Изхвърляме - това са два цели кръга. Остава да изчислим. Този ъгъл е в третата четвърт. Косинусът на третата четвърт е отрицателен. Не забравяйте да поставите знак минус в отговора си. може да се представи като. Отново си припомняме правилото: имаме случай на „цяло“ число (или), тогава функцията не се променя:

Тогава.
Отговор: .
. Трябва да направите същото, но с две функции. Ще бъда малко по-кратък: и градусите са ъглите на втората четвърт. Косинусът на втората четвърт има знак минус, а синусът има знак плюс. може да се представи като: но как тогава
И двата случая са "половини на едно цяло". Тогава синусът става косинус и косинусът става синус. Освен това пред косинуса има знак минус:

Отговор: .

Сега практикувайте сами със следните примери:

А ето и решенията:

Първо, нека се отървем от минуса, като го преместим пред синуса (тъй като синусът е нечетна функция !!!). След това помислете за ъглите:
Изхвърляме цяло число кръгове - тоест три кръга ().
Остава да изчислим: .
Правим същото с втория ъгъл:

Изтрийте цяло число кръгове - 3 кръга (), след което:

Сега мислим: в коя четвърт се намира останалият ъгъл? Той "не достига" всичко. Тогава какво е една четвърт? Четвърто. Какъв е знакът на косинуса на четвъртата четвърт? Положителен. Сега нека си представим. Тъй като изваждаме от цяло число, не променяме знака на косинуса:

Заменяме всички получени данни във формулата:

Отговор: .
Стандартно: премахваме минуса от косинуса, използвайки факта, че.
Остава да преброим косинуса от градуси. Нека премахнем целите кръгове: . Тогава
Тогава.
Отговор: .
Действаме както в предишния пример.
Тъй като помните, че периодът на тангенса е (или) различен от косинуса или синуса, в които е 2 пъти по-голям, тогава ще премахнем цялото число.

градуса е ъгълът във втората четвърт. Тангенсът на второто тримесечие е отрицателен, тогава нека не забравяме за "минуса" в края! може да се напише като. Тангенсът се променя в котангенс. Накрая получаваме:

Тогава.
Отговор: .

Е, много малко останаха!

Ос на допирателните и ос на котангентите

Последното нещо, на което бих искал да се спра тук, е върху две допълнителни оси. Както вече обсъдихме, имаме две оси:

Ос - косинус ос
Ос - синусова ос

Всъщност координатните оси ни свършиха, нали? Но какво да кажем за тангенсите и котангенсите?

Наистина ли за тях няма графична интерпретация?

Всъщност е така, можете да го видите на тази снимка:

По-специално, от тези снимки можем да кажем следното:

Тангенсът и котангенсът имат еднакви знаци в четвъртините
Те са положителни през 1-во и 3-то тримесечие
Отрицателни са през 2-ро и 4-то тримесечие
Допирателната не е определена в ъгли
Котангенсът не е определен в ъгли

За какво друго са тези снимки? Ще научите на напреднало ниво, където ще ви кажа как можете да опростите решаването на тригонометрични уравнения с помощта на тригонометрична окръжност!

НАПРЕДНАЛО НИВО

В тази статия ще опиша как единична окръжност (тригонометрична окръжност)могат да бъдат полезни при решаване на тригонометрични уравнения.

Мога да подчертая два случая, в които може да бъде полезно:

В отговора не получаваме „красив“ ъгъл, но въпреки това трябва да изберем корените
Отговорът е твърде много серии от корени

Не са ви необходими никакви специфични познания, освен познания по темата:

Опитах се да напиша темата "тригонометрични уравнения", без да прибягвам до кръг. Мнозина не биха ме похвалили за такъв подход.

Но аз предпочитам формулата, така че какво да правите. В някои случаи обаче формулите не са достатъчни. Следният пример ме мотивира да напиша тази статия:

Решете уравнението:

Добре тогава. Самото решаване на уравнението е лесно.

Обратна замяна:

Следователно нашето първоначално уравнение е еквивалентно на четири най-прости уравнения! Наистина ли трябва да запишем 4 серии от корени:

По принцип това можеше да спре. Но само не и за читателите на тази статия, която претендира за някаква „сложност“!

Нека първо разгледаме първата поредица от корени. И така, вземаме единична окръжност, сега нека приложим тези корени към окръжността (отделно за и за):

Обърнете внимание: какъв ъгъл се оказа между ъглите и? Това е ъгълът. Сега нека направим същото за серията: .

Между корените на уравнението отново се получава ъгъл c. Сега нека комбинираме тези две снимки:

какво виждаме И тогава всички ъгли между нашите корени са равни. Какво означава?

Ако започнем от ъгъл и вземем ъгли, които са равни (за всяко цяло число), тогава винаги ще уцелим една от четирите точки на горния кръг! Така че 2 серии от корени:

Може да се комбинира в едно:

Уви, за серия от корени:

Тези аргументи вече не са валидни. Начертайте и разберете защо това е така. Те обаче могат да се комбинират по следния начин:

Тогава оригиналното уравнение има корени:

Което е доста кратък и сбит отговор. И какво означава краткост и сбитост? За нивото на вашата математическа грамотност.

Това беше първият пример, в който използването на тригонометричния кръг дава полезни резултати.

Вторият пример са уравнения, които имат "грозни корени".

Например:

Решете уравнението.
Намерете неговите корени, които принадлежат на празнината.

Първата част не е трудна.

Тъй като вече сте запознати с темата, ще си позволя да бъда кратък в изчисленията си.

тогава или

Така че намерихме корените на нашето уравнение. Нищо сложно.

По-трудно е да се реши втората част на задачата, без да се знае точно какъв е аркосинусът на минус една четвърт (това не е таблична стойност).

Въпреки това, можем да изобразим намерената поредица от корени върху единична окръжност:

какво виждаме Първо, фигурата ни изясни в какви граници се намира аркосинусът:

Тази визуална интерпретация ще ни помогне да намерим корените, които принадлежат на сегмента: .

Първо, самият номер влиза в него, след това (виж фиг.).

също принадлежи към сегмента.

Така единичният кръг помага да се определи в какви граници попадат „грозните“ ъгли.

Трябва да ви остане поне още един въпрос: Но какво да кажем за тангенсите и котангенсите?

Всъщност те също имат свои оси, въпреки че имат малко специфичен вид:

В противен случай начинът на работа с тях ще бъде същият като със синус и косинус.

Пример

Дадено е уравнение.

Решете това уравнение.
Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала.

Решение:

Начертаваме единична окръжност и отбелязваме нашите решения върху нея:

От фигурата може да се разбере, че:

Или още повече: от тогава

След това намираме корените, принадлежащи на сегмента.

, (защото)

Оставям на вас да се уверите, че нашето уравнение няма други корени, принадлежащи на интервала.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Основният инструмент на тригонометрията е тригонометричен кръг,позволява ви да измервате ъгли, да намирате техните синуси, косинуси и т.н.

Има два начина за измерване на ъгли.

Чрез градуси
Чрез радиани

И обратно: от радиани до градуси:

За да намерите синуса и косинуса на ъгъл, трябва:

Начертайте единична окръжност с центъра, съвпадащ с върха на ъгъла.
Намерете пресечната точка на този ъгъл с окръжността.
Неговата координата "x" е косинусът на желания ъгъл.
Неговата "игра" координата е синусът на желания ъгъл.

Актьорски формули

Това са формули, които ви позволяват да опростите сложни изрази на тригонометрична функция.

Тези формули ще ви помогнат да не запомните такава таблица:

Обобщаване

Научихте как да направите универсална тригонометрична шпора.

Научихте се да решавате проблеми много по-лесно и по-бързо и най-важното - без грешки.

Разбрахте, че не е нужно да тъпчете никакви маси и като цяло няма какво да се тъпчете!

Сега искам да те чуя!

Успяхте ли да се справите с тази сложна тема?

Какво ти хареса? Какво не ти хареса?

Може би сте открили грешка?

Пишете в коментарите!

И успех на изпита!