Разтягане на y = sinx графика по оста y. Графика на функцията y = sin x Графика на функцията y sinx 3

Урок и презентация на тема: "Функция y = sin (x). Дефиниции и свойства"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазина на Integral за клас 10 от 1С
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни сградни задачи за 7-10 клас
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще изучаваме:

• Свойства на функцията Y = sin (X).
• Графика на функциите.
• Как да изградим графика и нейния мащаб.
• Примери.

Синусоидни свойства. Y = грях (X)

Момчета, вече се запознахме с тригонометричните функции на числов аргумент. Помните ли ги?

Нека разгледаме по-отблизо функцията Y = sin (X)

Нека запишем някои свойства на тази функция:
1) Област на дефиниция - набор от реални числа.
2) Функцията е нечетна. Нека си спомним дефиницията на нечетна функция. Функция се нарича нечетна, ако важи равенството: y (-x) = - y (x). Както си спомняме от призрачните формули: sin (-x) = - sin (x). Дефиницията е изпълнена, така че Y = sin (X) е нечетна функция.
3) Функцията Y = sin (X) нараства на отсечката и намалява на отсечката [π / 2; π]. Когато се движим по първата четвърт (обратно на часовниковата стрелка), ордината се увеличава, а когато се движим по втората четвърт, тя намалява.

4) Функцията Y = sin (X) е ограничена отгоре и отдолу. Това свойство следва от факта, че
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) Най -малката стойност на функцията е -1 (при x = - π / 2 + πk). Най-голямата стойност на функцията е 1 (при x = π / 2 + πk).

Нека използваме свойства 1-5, за да начертаем функцията Y = sin (X). Ще изградим нашата графика последователно, използвайки нашите свойства. Нека започнем изграждането на графика върху сегмент.

Особено внимание трябва да се обърне на скалата. По оста на ординатите е по-удобно да вземете единичен сегмент, равен на 2 клетки, а по оста на абсцисата - да вземете единичен сегмент (две клетки), равен на π / 3 (виж фигурата).

Начертайте функцията синус x, y = sin (x)

Нека да изчислим стойностите на функцията на нашия сегмент:

Нека изградим графика въз основа на нашите точки, като вземем предвид третото свойство.

Таблица за преобразуване на призрачни формули

Нека използваме второто свойство, което казва, че нашата функция е нечетна, което означава, че може да бъде отразена симетрично по отношение на произхода:

Знаем, че sin (x + 2π) = sin (x). Това означава, че на отсечката [- π; π] графиката изглежда по същия начин като на отсечката [π; 3π] или или [-3π; - π] и така нататък. Остава да преначертаем внимателно графиката на предишната фигура по цялата ос на абсцисата.

Графиката на функцията Y = sin (X) се нарича синусоида.

Нека напишем още няколко свойства според построената графика:
6) Функцията Y = sin (X) се увеличава на всеки сегмент от формата: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k е цяло число и намалява на всеки интервал от вида: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k е цяло число.
7) Функция Y = sin (X) е непрекъсната функция. Нека разгледаме графиката на функцията и се уверим, че нашата функция няма прекъсвания, което означава непрекъснатост.
8) Обхват на стойностите: сегмент [- 1; 1]. Това също се вижда ясно от графиката на функцията.
9) Функция Y = sin (X) е периодична функция. Нека отново да разгледаме графиката и да видим, че функцията приема същите стойности на определени интервали.

Примери за проблеми със синуса

1. Решете уравнението sin (x) = x-π

Решение: Нека построим 2 графики на функцията: y = sin (x) и y = x-π (виж фигурата).
Нашите графики се пресичат в една точка A (π; 0), това е отговорът: x = π

2. Начертайте графика на функцията y = sin (π / 6 + x) -1

Решение: Желаната графика се получава чрез преместване на графиката на функцията y = sin (x) с π / 6 единици наляво и 1 единица надолу.

Решение: Да построим графика на функцията и да разгледаме нашия сегмент [π / 2; 5π / 4].
Графиката на функцията показва, че най-големите и най-малките стойности се достигат в краищата на сегмента, съответно в точки π / 2 и 5π / 4.
Отговор: sin (π / 2) = 1 е най -голямата стойност, sin (5π / 4) = най -малката стойност.

Синусови задачи за самостоятелно решение

• Решете уравнението: sin (x) = x + 3π, sin (x) = x-5π
• Графична функция y = sin (π / 3 + x) -2
• Графична функция y = sin (-2π / 3 + x) +1
• Намерете най -голямата и най -малката стойност на функцията y = sin (x) на интервал
• Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y = sin (x) на отсечката [- π / 3; 5π / 6]

Открихме, че поведението на тригонометрични функции и функции y = sin x в частност, върху цялата числова линия (или за всички стойности на аргумента NS) се определя изцяло от поведението му в интервала 0 < NS < π / 2 .

Следователно, на първо място, ще начертаем функцията y = sin x точно в този интервал.

Нека съставим следната таблица със стойностите на нашата функция;

Маркирайки съответните точки в координатната равнина и ги свързвайки с гладка линия, получаваме кривата, показана на фигурата

Получената крива може да бъде конструирана геометрично, без да се съставя таблица със стойности на функциите y = sin x .

1. Разделете първата четвърт от окръжност с радиус 1 на 8 равни части.Ординатите на точките на разделяне на окръжността са синусите на съответните ъгли.

2. Първата четвърт от окръжност съответства на ъгли от 0 до π / 2 ... Следователно, на ос NSвземете сегмент и го разделете на 8 равни части.

3. Нека начертаем прави линии, успоредни на осите NS, и от точките на разделяне ще възстановим перпендикулярите до пресечната точка с хоризонталните линии.

4. Свържете пресечните точки с гладка линия.

Сега нека се обърнем към интервала π / 2 < NS < π .
Всяка стойност на аргумента NSот този интервал може да се представи като

х = π / 2 + φ

където 0 < φ < π / 2 ... Чрез формули за редукция

грях ( π / 2 + φ ) = cos φ = грях ( π / 2 - φ ).

Точки на ос NSс абсциса π / 2 + φ и π / 2 - φ симетрични един спрямо друг относно точката на оста NSс абсциса π / 2 , а синусите в тези точки са еднакви. Това ви позволява да получите графика на функцията y = sin x в интервала [ π / 2 , π ] чрез просто симетрично показване на графиката на тази функция в интервала спрямо правата линия NS = π / 2 .

Сега използваме имота нечетна функция y = sin x,

грях (- NS) = - грях NS,

лесно е да начертаете тази функция в интервала [- π , 0].

Функцията y = sin x е периодична с период 2π ;. Следователно, за да начертаете цялата графика на тази функция, кривата, показана на фигурата, е достатъчна, продължете наляво и надясно периодично с точка 2π .

Получената крива се нарича синусоида ... Това е графиката на функцията y = sin x.

Фигурата илюстрира добре всички тези свойства на функцията. y = sin x , които преди това бяха доказани от нас. Нека си припомним тези свойства.

1) Функция y = sin x дефинирани за всички стойности NS , така че областта на нейната дефиниция е колекцията от всички реални числа.

2) Функция y = sin x ограничен. Всички стойности, които приема, са в диапазона от -1 до 1, включително тези две числа. Следователно обхватът на вариация на тази функция се определя от неравенството -1 < в < 1. Кога NS = π / 2 + 2к π функция поема най-високи стойностиравно на 1 и за x = - π / 2 + 2к π - най -малките стойности, равни на - 1.

3) Функция y = sin x е нечетен (синусоидата е симетрична по отношение на произхода).

4) Функция y = sin x периодично с период 2 π .

5) На интервали 2n π < х < π + 2n π (n е всяко цяло число) е положително и в интервалите π + 2к π < NS < 2π + 2к π (k е всяко цяло число) е отрицателно. За x = k π функцията изчезва. Следователно тези стойности на аргумента x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) се наричат ​​нули на функцията y = sin x

6) На интервали - π / 2 + 2n π < NS < π / 2 + 2n π функция y = грях х нараства монотонно и на интервали π / 2 + 2к π < NS < 3π / 2 + 2к π намалява монотонно.

Обърнете специално внимание на поведението на функцията. y = sin x близка точка NS = 0 .

Например sin 0,012 ≈ 0,012; грях (-0,05) ≈ -0,05;

грех 2 ° = грях π 2 / 180 = грях π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

В същото време трябва да се отбележи, че за всякакви стойности на x

| грях х| < | x | . (1)

Наистина, нека радиусът на окръжността, показан на фигурата, е 1,
а / AОВ = NS.

Тогава съгреши х= AC. Но AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол NS... Очевидно дължината на тази дъга е NS, тъй като радиусът на окръжността е 1. И така, при 0< NS < π / 2

sin x< х.

Следователно, поради странността на функцията y = sin x лесно е да се покаже, че за - π / 2 < NS < 0

| грях х| < | x | .

И накрая, при х = 0

| грях х | = | х |.

По този начин, за | NS | < π / 2 неравенството (1) е доказано. Всъщност това неравенство е вярно и за | х | > π / 2 поради факта, че | грях NS | < 1, а π / 2 > 1

Упражнения

1. Функция по график y = sin x определят: а) грях 2; б) грях 4; в) грях (-3).

2. Функция по график y = sin x определете кое число е от интервала
[ - π / 2 , π / 2 ] има синус, равен на: а) 0,6; б) -0,8.

3. По график на функциите y = sin x определи кои числа имат синус,
равно на 1/2.

4. Намерете приблизително (без да използвате таблици): а) sin 1 °; б) грях 0,03;
в) sin (-0,015); г) грях (-2 ° 30 ").

Как да начертаем функцията y = sin x? Първо, нека разгледаме синусовата графика в интервала.

Взимаме един сегмент с дължина 2 клетки на тетрадка. Маркирайте едно върху оста Oy.

За удобство закръгляваме числото π / 2 до 1,5 (а не до 1,6, както се изисква от правилата за закръгляване). В този случай сегмент с дължина π / 2 съответства на 3 клетки.

По оста Ox отбелязваме не единични сегменти, а сегменти с дължина π / 2 (на всеки 3 клетки). Съответно, сегмент с дължина π съответства на 6 клетки, сегмент с дължина π / 6 - 1 клетка.

При този избор на единичен сегмент графиката, изобразена на лист от тетрадка в кутия, съответства максимално на графиката на функцията y = sin x.

Нека съставим таблица със стойности на синусите в интервала:

Отбелязваме получените точки в координатната равнина:

Тъй като y = sin x е нечетна функция, синусоидната графика е симетрична спрямо началната точка - точка O (0; 0). Като вземем предвид този факт, ще продължим да начертаваме графиката вляво, след това точките -π:

Функцията y = sin x е периодична с период T = 2π. Следователно графиката на функцията, взета на интервала [-π; π], се повтаря безкрайно много пъти надясно и наляво.

„Колеж по обслужващи технологии в Йошкар-Ола“

Построяване и изследване на графиката на тригонометричната функция y = sinx в настолен процесорГОСПОЖИЦА Excel

/ методическа разработка /

Йошкар - Ола

Тема. Начертаване и изследване на тригонометрична графична функцияy = sinx в процесор за електронни таблици MS Excel

Тип на урока- интегриран (получаване на нови знания)

Цели:

Дидактическа цел - изследват поведението на графиките на тригонометричните функцииy= sinxв зависимост от шансовете с помощта на компютър

Образователни:

1. Разберете промяната в графиката на тригонометричната функция y= грях хв зависимост от коефициентите

2. Покажете въвеждането на компютърните технологии в обучението по математика, интегрирането на два предмета: алгебра и информатика.

3. Да се ​​формират умения за използване на компютърни технологии в уроците по математика

4. Укрепване на уменията за изследване на функции и изграждане на техните графики

Развиващи се:

1. Да развие познавателния интерес на учениците към академичните дисциплини и способността да прилагат знанията си в практически ситуации

2. Развийте способността да анализирате, сравнявате, подчертавате основното

3. Насърчаване на подобрението общо ниворазвитие на учениците

Възпитание :

1. Да възпитаваме независимост, точност, трудолюбие

2. Насърчете културата на диалог

Форми на работа в урока -комбинирани

Дидактическо оборудване и оборудване:

1. Компютри

2. Мултимедиен проектор

4. Материал за раздаване

5. Презентационни слайдове

По време на часовете

аз. Организация на началото на урока

Поздрави от ученици и гости

Вдъхновение за урока

II... Поставяне на цели и актуализация на темата

Отнема много време за изучаване на функция и изграждане на нейната графика, трябва да извършите много тромави изчисления, това не е удобно, компютърните технологии идват на помощ.

Днес ще научим как да изграждаме графики на тригонометрични функции в средата за електронни таблици на MS Excel 2007.

Темата на нашия урок е „Построяване и изучаване на графика на тригонометрична функция y= sinxв настолен процесор "

От курса по алгебра знаем схемата за изучаване на функция и начертаване на нейната графика. Нека си припомним как да направим това.

Слайд 2

Диаграма за изследване на функциите

1. Област на функцията (D (f))

2. Обхват на стойностите на функцията E (f)

3. Определяне на паритета

4. Честота

5. Нули на функцията (y = 0)

6. Интервали на постоянство (y> 0, y<0)

7. Интервали на монотонност

8. Екстрем на функция

III. Първично усвояване на нов учебен материал

Отворете MS Excel 2007.

Начертайте графика на функцията y = sin х

Начертаване в процесор за електронни таблициГОСПОЖИЦА Excel 2007

Графиката на тази функция ще бъде нанесена върху сегмента хЄ [-2π; 2π]

Стойностите на аргументите ще бъдат взети със стъпка , за да направите графиката по -точна.

Тъй като редакторът работи с числа, нека преобразуваме радиани в числа, като знаем това P ≈ 3,14 ... (таблица с преводи в брошурата).

1. Намерете стойността на функцията в точката x = -2P. За останалата част от аргумента редакторът автоматично изчислява съответните стойности на функцията.

2. Сега имаме таблица със стойностите на аргумента и функцията. С тези данни трябва да начертаем тази функция с помощта на съветника за диаграми.

3. За да изградите графика, трябва да изберете необходимия диапазон от данни, редове със стойностите на аргумента и функцията

4..jpg "ширина =" 667 "височина =" 236 src = ">

Пишем заключения в тетрадка (Слайд 5)

Изход. Графиката на функция от вида y = sinx + k се получава от графиката на функцията y = sinx с помощта на паралелно преместване по оста OY с k единици

Ако k> 0, тогава графиката се измества нагоре с k единици

Ако к<0, то график смещается вниз на k единиц

Изграждане и изследване на функция на формуляраy =к* sinx,к- const

Задача 2.На работа Liste2начертайте функции в една координатна система y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, на интервала (-2π; 2π) и вижте как се променя изгледът на графиката.

(За да не зададете отново стойността на аргумента, нека копираме съществуващите стойности. Сега трябва да зададете формулата и да изградите графика от получената таблица.)

Сравняваме получените графики. Нека заедно с учениците анализираме поведението на графиката на тригонометричната функция в зависимост от коефициентите. (Слайд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif "width =" 16 "height =" 41 src = "> x , на интервала (-2π; 2π) и вижте как се променя изгледът на графиката.

Сравняваме получените графики. Нека заедно с учениците анализираме поведението на графиката на тригонометричната функция в зависимост от коефициентите. (Слайд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg "width =" 649 "height =" 281 src = ">

Записваме заключения в тетрадка (Слайд 11)

Изход. Графиката на функция от вида y = sin (x + k) се получава от графиката на функцията y = sinx с помощта на паралелно преместване по оста OX с k единици

Ако k> 1, тогава графиката се измества надясно по оста OX

Ако 0

IV... Първично затвърдяване на придобитите знания

Диференцирани карти със задача за изграждане и изследване на функция с помощта на графика

	Y = 6* грех (x)	Y =1-2 гряхNS	Y =- грях(3x +)
1. Домейн
2. Диапазон на стойностите
3. Паритет
4. Периодичност
5. Интервали на постоянство
6. Пропускимонотонност
Функцията се увеличава
Функция намалява
7. Екстремни функции
Минимум
Максимум

V... Организиране на домашните

Изградете графика на функцията y = -2 * sinx + 1, проучете и проверете правилността на конструкцията в средата на електронна таблица на Microsoft Excel. (Слайд 12)

VI... Отражение

Разтягане на y = sinx графика по оста y. Дадена ви е функция y = 3sinx. За да начертаете нейната графика, трябва да разтегнете графиката y = sinx така, че E (y): (-3; 3).

Снимка 7 от презентацията "Постройте графика на функция"към уроци по алгебра по темата "Графика на функция"

Размери: 960 x 720 пиксела, формат: jpg. За да изтеглите безплатно снимка за урок по алгебра, щракнете с десния бутон върху изображението и кликнете върху „Запазване на изображението като ...“. За да покажете снимките в урока, можете също да изтеглите презентацията „Изградете графика на функция.ppt“ изцяло с всички снимки в zip-архив безплатно. Размерът на архива е 327 KB.

Изтеглете презентация

Графика на функциите

„Изграждане на графика на функция“ – Съдържание: Разтягане на графиката y = sinx по оста y. Дадена ви е функция y = 3sinx. Дадена е функция y = sinx + 1. Дадена е функцията y = 3cosx. Начертайте функцията. Графика на функциите y = m * cos x. Изпълнено от: Тренировъчна група кадет 52 Алексей Левин. Вертикални отмествания на графиката y = cosx. За да преминете към примери за задачи, щракнете върху l. с бутона на мишката.

"Координатна система в космоса" - Затворът е затворен. Височина, ширина, дълбочина. Правоъгълна координатна система в пространството. Координатите на точка в пространството. Работата на М. Ешер отразява идеята за въвеждане на правоъгълна координатна система в пространството. Ox е оста на абсцисата, Oy е ос на ординатите, Oz е апликатната ос. С Питагор слушайте сферите на соната, атомите се броят като Демокрит.

„Координатна равнина 6 клас” – У. Математика 6 клас. 1. Намерете и запишете координатите на точки A, B, C, D: O. X. Координатна равнина. -3. 1.

"Функции и техните графики" - Примери за нечетни функции: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y (1) = 13 = 1; y (-1) = (-1) 3 = -1; y (-1) = -y (1)). 3. Ако k? 0 и b? 0, тогава y = kx + b. Функцията се дефинира върху множеството от всички реални числа. Линейна функция от формата y = kx се нарича пряка пропорционалност. Степен. y = sin x. Периодичност.

"Изследователска функция" - Функции. Дорохова Ю.А. Да си припомним ... Работен план за урока. Използвайки схемата за изучаване на функцията, изпълнете задачата: стр. 24; № 296 (а; б), № 299 (а; б). Знаете ли, че... Цел на урока: Използване на производна. Упражнение. Работа по проверка: Извършете устно: За функцията f (x) = x3 определете D (f), паритет, увеличаване, намаляване.

"Увеличаващи и намаляващи функции" - Увеличаващи и намаляващи функции. Нека да разгледаме един пример с увеличаване и намаляване на функциите. Тъй като функцията синус е периодична, достатъчно е да се извърши доказателството за интервала [-? / 2; ? / 2]. Нека вземем друг пример. Ако -? / 2? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

Общо има 25 презентации