Основни елементарни функции, техните свойства и графики. Степенна функция, нейните свойства и графика Пример за използване на степенна функция
Степенната функция е дадена с формула от вида .
Разгледайте вида на графиките на степенна функция и свойствата на степенна функция в зависимост от стойността на експонента.
Нека започнем със степенна функция с цяло число а. В този случай формата на графиките на степенните функции и свойствата на функциите зависят от четния или нечетния показател, както и от неговия знак. Следователно, първо разглеждаме степенните функции за странни положителни стойности на експонента а, след това - за четни положителни, след това - за нечетни отрицателни показатели и накрая за четни отрицателни а.
Свойствата на степенните функции с дробни и ирационални показатели (както и вида на графиките на такива степенни функции) зависят от стойността на показателя а. Ще ги разгледаме първо, аот нула до едно, и второ, при аголеми единици, трето, с аот минус едно до нула, четвърто, когато апо-малко минус едно.
В заключение на този подраздел, за пълнота, ние описваме степенна функция с нулев показател.
Степенна функция с нечетен положителен показател.
Помислете за степенна функция с нечетен положителен показател, тоест с а=1,3,5,....
Фигурата по-долу показва графики на степенни функции - черна линия, - синя линия, - червена линия, - зелена линия. При а=1ние имаме линейна функция y=x.
Свойства на степенна функция с нечетен положителен показател.
Степенна функция с четен положителен показател.
Помислете за степенна функция с четен положителен показател, т.е а=2,4,6,....
Като пример, нека вземем графики на степенни функции - черна линия, - синя линия, - червена линия. При а=2имаме квадратична функция, чиято графика е квадратна парабола.
Свойства на степенна функция с четен положителен показател.
Степенна функция с нечетен отрицателен показател.
Погледнете графиките на степенната функция за странни отрицателни стойности на експонента, т.е а=-1,-3,-5,....
Силова функцияе функция на формата y = xp, където p е дадено реално число.
Свойства на мощностна функция
- Ако индикаторът p = 2n- четно естествено число:
- домейнът на дефиницията е всички реални числа, т.е. множеството R;
- набор от стойности - неотрицателни числа, т.е. y ≥ 0;
- функцията е четна;
- функцията е намаляваща на интервала x ≤ 0 и нарастваща на интервала x ≥ 0.
- Ако индикаторът p = 2n - 1- нечетно естествено число:
- област на дефиниране - набор R;
- набор от стойности - набор R;
- функцията е нечетна;
- функцията нараства по цялата реална ос.
- Ако индикаторът p=-2n, Където н- естествено число:
- набор от стойности - положителни числа y> 0;
- функцията е четна;
- функцията нараства на интервала x 0.
- Ако индикаторът p = -(2n - 1), Където н- естествено число:
- областта на дефиниция е множеството R, с изключение на x = 0;
- набор от стойности - набор R, с изключение на y = 0;
- функцията е нечетна;
- функцията намалява на интервали x 0.
- Ако индикаторът стре положително реално нецяло число:
- област на дефиниция - неотрицателни числа x ≥ 0;
- набор от стойности - неотрицателни числа y ≥ 0;
- функцията нараства на интервала x ≥ 0.
- Ако индикаторът стре отрицателно реално нецяло число:
- област на дефиниция - положителни числа x > 0;
- набор от стойности - положителни числа y> 0;
- функцията е намаляваща на интервала x > 0.
Припомнете си свойствата и графиките на степенните функции с цяло отрицателно число.
За четно n, :
Пример за функция:
Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;1). Характеристика на функции от този тип е тяхната четност, графиките са симетрични по отношение на оста op-y.
Ориз. 1. Графика на функция
За нечетно n, :
Пример за функция:
Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;-1). Характеристика на функциите от този тип е тяхната нечетност, графиките са симетрични по отношение на произхода.
Ориз. 2. Функционална графика
Нека си припомним основното определение.
Степента на неотрицателно число a с рационален положителен показател се нарича число.
Степента на положително число a с рационален отрицателен показател се нарича число.
За важи следното равенство:
Например: 
; - изразът не съществува по дефиниция на степен с отрицателен рационален показател; съществува, тъй като показателят е цяло число, 
Нека се обърнем към разглеждането на степенни функции с рационален отрицателен показател.
Например:
За да начертаете тази функция, можете да направите таблица. Ние ще направим друго: първо ще изградим и проучим графиката на знаменателя - ние го знаем (Фигура 3).
Ориз. 3. Графика на функция
Графиката на функцията знаменател минава през фиксирана точка (1;1). При конструирането на графика на оригиналната функция тази точка остава, когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 4).
Ориз. 4. Функционална графика
Помислете за още една функция от семейството на изследваните функции.
Важно е, че по дефиниция
Разгледайте графиката на функцията в знаменателя: , знаем графиката на тази функция, тя нараства в своята област на дефиниране и преминава през точката (1; 1) (Фигура 5).
Ориз. 5. Функционална графика
При конструирането на графика на оригиналната функция остава точката (1; 1), когато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 6).
Ориз. 6. Функционална графика
Разгледаните примери помагат да се разбере как върви графиката и какви са свойствата на изследваната функция - функция с отрицателен рационален показател.
Графиките на функции от това семейство минават през точката (1;1), функцията намалява по цялата област на дефиниция.
Обхват на функцията: 
Функцията не е ограничена отгоре, а е ограничена отдолу. Функцията няма нито максимална, нито минимална стойност.
Функцията е непрекъсната, приема всички положителни стойности от нула до плюс безкрайност.
Функция Convex Down (Фигура 15.7)
На кривата се вземат точки A и B, през тях се прекарва сегмент, цялата крива е под сегмента, това условие е изпълнено за произволни две точки на кривата, следователно функцията е изпъкнала надолу. Ориз. 7.
Ориз. 7. Изпъкналост на функция
Важно е да се разбере, че функциите на това семейство са ограничени отдолу с нула, но те нямат най-малката стойност.
Пример 1 - намерете максимума и минимума на функция в интервала \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
Графика (фиг. 2).
Фигура 2. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n)$
Свойства на степенна функция с естествен нечетен показател
Областта на дефиниция са всички реални числа.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ е странна функция.
$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.
Диапазонът е изцяло реални числа.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Функцията нараства в цялата област на дефиниция.
$f\left(x\right)0$, за $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Функцията е вдлъбната за $x\in (-\infty ,0)$ и изпъкнала за $x\in (0,+\infty)$.
Графика (фиг. 3).
Фигура 3. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Степенна функция с цяло число
Като начало въвеждаме концепцията за степен с цяло число.
Определение 3
Степента на реално число $a$ с цяло число $n$ се определя по формулата:
Фигура 4
Помислете сега за степенна функция с цяло число, нейните свойства и графика.
Определение 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарича степенна функция с цяло число.
Ако степента е по-голяма от нула, тогава стигаме до случай на степенна функция с естествен показател. Вече го обсъдихме по-горе. За $n=0$ получаваме линейна функция $y=1$. Разглеждането му оставяме на читателя. Остава да разгледаме свойствата на степенна функция с отрицателен цяло число
Свойства на степенна функция с цяло отрицателно число
Обхватът е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ако показателят е четен, тогава функцията е четна; ако е нечетен, тогава функцията е нечетна.
$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.
Диапазон на стойността:
Ако показателят е четен, тогава $(0,+\infty)$, ако е нечетен, тогава $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ако показателят е нечетен, функцията намалява като $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. За четен показател функцията намалява като $x\in (0,+\infty)$. и нараства като $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ над целия домейн
