Еквивалентни уравнения. Теореми за еквивалентност на уравнения
Позволявайки да се премине от решаваното уравнение към т.нар еквивалентни уравненияИ следствени уравнения, чрез чиито решения е възможно да се определи решението на първоначалното уравнение. В тази статия ще анализираме подробно кои уравнения се наричат еквивалентни и кои се наричат следствия, ще дадем съответните дефиниции, ще дадем обяснителни примери и ще обясним как да намерим корените на уравнение от известните корени на еквивалентно уравнение и следствие от уравнение.
Еквивалентни уравнения, определение, примери
Нека дадем определение на еквивалентни уравнения.
Определение
Еквивалентни уравненияса уравнения, които имат еднакви корени или нямат корени.
Дефиниции, подобни по смисъл, но малко по-различни по формулировки, са дадени в различни учебници по математика, напр.
Определение
Извикват се двете уравнения f(x)=g(x) и r(x)=s(x). еквивалентен, ако имат еднакви корени (или по-специално, ако и двете уравнения нямат корени).
Определение
Уравнения с еднакви корени се наричат еквивалентни уравнения. Уравнения, които нямат корени, също се считат за еквивалентни.
Под едни и същи корени се има предвид следното: ако дадено число е корен на едно от еквивалентните уравнения, тогава то е и корен на всяко друго от тези уравнения и нито едно от еквивалентните уравнения не може да има корен, който не е корен на всяко друго от тези уравнения.
Нека дадем примери за еквивалентни уравнения. Например три уравнения 4 x=8 , 2 x=4 и x=2 са еквивалентни. Наистина, всеки от тях има уникален корен 2, така че те са еквивалентни по дефиниция. Друг пример: две уравнения x 0=0 и 2+x=x+2 са еквивалентни, множествата от техните решения са еднакви: коренът на първото и второто от тях е произволно число. Двете уравнения x=x+5 и x 4 =−1 също са пример за еквивалентни уравнения, и двете нямат реални решения.
За да завършите картината, струва си да дадете примери за нееквивалентни уравнения. Например уравненията x=2 и x 2 =4 не са еквивалентни, тъй като второто уравнение има корен −2, който не е корен на първото уравнение. Уравненията и също не са еквивалентни, тъй като корените на второто уравнение са произволни числа, а числото нула не е коренът на първото уравнение.
Озвучената дефиниция на еквивалентни уравнения се отнася както за уравнения с една променлива, така и за уравнения с голям брой променливи. Въпреки това, за уравнения с две, три и т.н. променливи, думата "корени" в определението трябва да бъде заменена с думата "решения". Така,
Определение
Еквивалентни уравненияса уравнения, които имат еднакви решения или ги нямат.
Нека покажем пример на еквивалентни уравнения с няколко променливи. x 2 +y 2 +z 2 =0 и 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - ето пример за еквивалентни уравнения с три променливи x, y и z, и двете имат уникално решение (0, 0 , 0) . Но уравненията с две променливи x + y=5 и x y=1 не са еквивалентни, тъй като например двойката стойности x=2, y=3 е решението на първото уравнение (при заместване на тези стойности в първото уравнение, получаваме правилното равенство 2+3=5 ), но не е решение на второто (когато заместваме тези стойности във второто уравнение, получаваме грешното равенство 2 3=1 ).
Следствени уравнения
Ето дефинициите на следствените уравнения от училищните учебници:
Определение
Ако всеки корен на уравнението f(x)=g(x) е в същото време корен на уравнението p(x)=h(x) , тогава уравнението p(x)=h(x) се нарича следствиеуравнения f(x)=g(x) .
Определение
Ако всички корени на първото уравнение са корени на второто уравнение, тогава се извиква второто уравнение следствиепърво уравнение.
Нека дадем няколко примера за следствени уравнения. Уравнението x 2 =3 2 е следствие от уравнението x−3=0 . Наистина, второто уравнение има един корен x=3, този корен също е корен на уравнението x 2 =3 2 , следователно по дефиниция уравнението x 2 =3 2 е следствие от уравнението x−3= 0 . Друг пример: уравнението (x−2) (x−3) (x−4)=0 е следствие от уравнението 
, тъй като всички корени на второто уравнение (има два от тях, това са 2 и 3 ), очевидно, са корените на първото уравнение.
От дефиницията на следственото уравнение следва, че абсолютно всяко уравнение е следствие от всяко уравнение, което няма корени.
Струва си да се споменат няколко доста очевидни следствия от дефиницията на еквивалентни уравнения и дефиницията на следствие от уравнение:
- Ако две уравнения са еквивалентни, тогава всяко е следствие от другото.
- Ако всяко от двете уравнения е следствие от другото, тогава тези уравнения са еквивалентни.
- Две уравнения са еквивалентни тогава и само ако всяко от тях е следствие от другото.
1. Двама равни играчи играят игра, в която равенствата са изключени. Каква е вероятността първият играч да спечели: а) една игра от две? б) две от четири? в) три от шест?
Отговор:А) ; б) ; V)
3. Изрежете ABразделени с точка СЪСв съотношение 2:1. Четири точки се хвърлят произволно върху този сегмент. Намерете вероятността две от тях да са отляво на точка C, а две отдясно.
Отговор:
4. Намерете вероятността събитие А да се случи точно 70 пъти в 243 опита, ако вероятността това събитие да се случи във всеки опит е 0,25.
Отговор: .
5. Вероятността да имате момче е 0,515. Намерете вероятността сред 100 новородени момчета и момичета да бъдат разделени поравно.
Отговор: 0,0782
6. Магазинът получи 500 бутилки в стъклени съдове. Вероятността някоя от бутилките да бъде счупена по време на транспортиране е 0,003. Намерете вероятността магазинът да получи счупени бутилки: а) точно две; б) по-малко от две; в) най-малко две; г) поне един.
Отговор:а) 0,22; б) 0,20; в) 0,80; г) 0,95
7. Един автомобилен завод произвежда 80% от автомобилите без съществени дефекти. Каква е вероятността сред 600 автомобила, дошли от фабриката на автомобилната борса, да има поне 500 автомобила без значителни дефекти?
Отговор: 0,02.
8. Колко пъти трябва да хвърлите монета, така че с вероятност от 0,95 да очаквате, че относителната честота на герба ще се отклони от вероятността Р\u003d 0,5 външен вид на герба при едно хвърляне на монета с не повече от 0,02?
Отговор: n ≥ 2401.
9. Вероятността за възникване на събитие във всяко от 100 независими събития е постоянна и равна на стр=0,8. Намерете вероятността събитието да се случи: а) най-малко 75 пъти и най-много 90 пъти; б) най-малко 75 пъти; в) не повече от 74 пъти.
Отговор: a B C) .
10. Вероятността за възникване на събитие във всеки от независимите опити е 0,2. Намерете какво отклонение на относителната честота на възникване на събитие от неговата вероятност може да се очаква с вероятност от 0,9128 в 5000 опита.
Отговор:
11. Колко пъти трябва да се хвърли монета, така че с вероятност от 0,6 да се очаква, че отклонението на относителната честота на появата на герба от вероятността стр=0,5 ще бъде не повече от 0,01 като абсолютна стойност.
Отговор: n = 1764.
12. Вероятността за възникване на събитие във всеки от 10 000 независими опита е 0,75. Намерете вероятността относителната честота на възникване на събитие да се отклонява от неговата вероятност в абсолютна стойност с не повече от 0,01.
Отговор: .
13. Вероятността за възникване на събитие във всеки от независимите опити е 0,5. Намерете броя на опитите н, при което с вероятност от 0,7698 може да се очаква, че относителната честота на възникване на дадено събитие се отклонява от неговата вероятност по абсолютна стойност с не повече от 0,02.
Раздел 2. Логическа еквивалентност на формули. Нормални форми за формули на пропозиционалната алгебра
Отношение на еквивалентност
С помощта на таблици на истината може да се определи при какви набори от стойности на истината на входните променливи формулата ще приеме истинска или невярна стойност (както и твърдение, което има съответната логическа структура), кои формули ще бъдат тавтологии или противоречия, а също така установете дали две дадени формули еквивалентен.
В логиката се казва, че две изречения са еквивалентни, ако и двете са верни или и двете неверни. Думата „едновременно“ в тази фраза е двусмислена. И така, за изреченията „Утре ще бъде вторник“ и „Вчера беше неделя“ тази дума има буквално значение: в понеделник и двете са верни, а през останалата част от седмицата и двете са грешни. За уравненията " х = 2" И " 2x = 4» „едновременно“ означава „със същите стойности на променливата“. Прогнозите „Утре ще вали“ и „Не е вярно, че утре няма да вали“ едновременно ще се потвърдят (окажат се верни) или не се потвърдят (окажат се неверни). По същество това е една и съща прогноза, изразена в две различни форми, които могат да бъдат представени с формулите хИ . Тези формули едновременно приемат стойността "true" или стойността "false". За да проверите, достатъчно е да направите таблица на истината:
| х | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Виждаме, че стойностите на истината в първата и последната колона са еднакви. Такива формули, както и съответните им изречения, естествено се считат за еквивалентни.
Формулите F 1 и F 2 се наричат еквивалентни, ако техният еквивалент е тавтология.
Еквивалентността на две формули се записва, както следва: (да се чете: формула F1е еквивалентен на формулата F2).
Има три начина да проверите дали формулите са еквивалентни: 1) направете техния еквивалент и използвайте таблицата на истината, за да проверите дали е тавтология; 2) за всяка формула направете таблица на истинността и сравнете крайните резултати; ако в общите колони за същите набори от стойности на променливи стойностите на истината на двете формули ще бъдат равни, тогава формулите са еквивалентни; 3) с помощта на еквивалентни трансформации.
Пример 2.1:Разберете дали формулите са еквивалентни: 1) , ; 2) , .
1) Нека използваме първия метод за определяне на еквивалентността, тоест да разберем дали еквивалентността на формулите е тавтология.
Нека направим еквивалентност на формули: . Получената формула съдържа две различни променливи ( АИ IN) и 6 операции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6). Това означава, че съответната таблица на истината ще има 5 реда и 8 колони:
| А | IN | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
От последната колона на таблицата на истината може да се види, че компилираната еквивалентност е тавтология и следователно .
2) За да разберем дали формулите и са еквивалентни, използваме втория метод, тоест съставяме таблица на истинност за всяка от формулите и сравняваме крайните колони. ( Коментирайте. За да се използва ефективно вторият метод, е необходимо всички компилирани таблици на истината да започват по един и същи начин, т.е. наборите от стойности на променливи бяха еднакви в съответните редове .)
Формулата има две различни променливи и 2 операции, което означава, че съответната таблица на истината има 5 реда и 4 колони:
| А | IN | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Формулата има две различни променливи и 3 операции, което означава, че съответната таблица на истината има 5 реда и 5 колони:
| А | IN | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Сравнявайки последните колони на компилираните таблици на истината (тъй като таблиците започват по същия начин, можем да пренебрегнем наборите от стойности на променливи), виждаме, че те не съвпадат и следователно формулите не са еквивалентни ().
Изразът не е формула (тъй като символът " " не се отнася за никаква логическа операция). То изразява поведениемежду формулите (както и равенството между числата, паралелността между редовете и т.н.).
Валидна е теоремата за свойствата на релацията на еквивалентност:
Теорема 2.1.Отношение на еквивалентност между формули на пропозиционална алгебра:
1) рефлексивно: ;
2) симетрично: ако , то ;
3) транзитивно: ако и , тогава .
Закони на логиката
Еквивалентностите на пропозиционалните логически формули често се наричат законите на логиката. Изброяваме най-важните от тях:
1. - законът за тъждеството.
2. - законът на изключената среда
3. - законът на противоречието
4. - дизюнкция с нула
5. - връзка с нула
6. - дизюнкция с единица
7. - връзка с единица
8. - законът за двойното отрицание
9. - комутативност на връзката
10. – комутативност на дизюнкцията
11. - асоциативност на съюза
12. - дизюнкционна асоциативност
13. – дистрибутивност на съюза
14. – дистрибутивна дизюнкция
15. - закони на идемпотентността
16. 
; 
- абсорбционни закони
17. 
; 
- Законите на Де Морган
18. 
е законът, изразяващ импликацията чрез дизюнкция
19. 
- закон на контрапозицията
20. - закони, изразяващи еквивалентност чрез други логически операции
Законите на логиката се използват за опростяване на сложни формули и за доказване, че формулите са идентично верни или неверни.
Еквивалентни трансформации. Опростяване на формули
Ако в еквивалентни формули навсякъде заместим една и съща формула вместо някаква променлива, тогава новополучените формули също ще се окажат еквивалентни в съответствие с правилото за заместване. По този начин произволен брой нови еквивалентности могат да бъдат получени от всяка еквивалентност.
Пример 1:Ако в закона на Де Морган вместо хзаместител, вместо Yзаместител, тогава получаваме нова еквивалентност. Валидността на получената еквивалентност се проверява лесно с помощта на таблицата на истината.
Ако има формула, която е част от формулата Е, се замени с формула, еквивалентна на формулата, тогава получената формула ще бъде еквивалентна на формулата Е.
Тогава за формулата от Пример 2 можем да направим следните замествания:
- законът за двойното отрицание;
- закон на Де Морган;
- законът за двойното отрицание;
– законът за асоциативността;
е законът за идемпотентността.
Чрез свойството транзитивност на отношението на еквивалентност можем да твърдим това 
.
Замяната на една формула с друга, еквивалентна на нея, се нарича еквивалентна трансформация формули.
Под опростяване формули, които не съдържат знаци за импликация и еквивалентност, разбират еквивалентна трансформация, която води до формула, която не съдържа отрицания на неелементарни формули (по-специално двойни отрицания) или съдържа общо по-малък брой знаци за връзка и дизюнкция от оригинала един.
Пример 2.2:Нека опростим формулата 
.
На първата стъпка приложихме закона, който трансформира импликацията в дизюнкция. На втората стъпка беше приложен комутативният закон. На третата стъпка беше приложен законът за идемпотентността. На четвърто - законът на Де Морган. И на петата - законът за двойното отрицание.
Забележка 1. Ако определена формула е тавтология, то всяка еквивалентна на нея формула също е тавтология.
По този начин еквивалентни трансформации могат да се използват и за доказване на идентичната истинност на определени формули. За да направите това, тази формула трябва да бъде намалена чрез еквивалентни трансформации до една от формулите, които са тавтологии.
Забележка 2. Някои тавтологии и еквивалентности се комбинират по двойки (законът на противоречието и законът на алтернативата, комутативните, асоциативните закони и др.). В тези кореспонденции т.нар принцип на дуалността .
Наричат се две формули, които не съдържат признаци за импликация и еквивалентност двойствен , ако всеки от тях може да се получи от другия чрез замяна на знаците съответно с .
Принципът на дуалността гласи следното:
Теорема 2.2:Ако две формули, които не съдържат знаци за импликация и еквивалентност, са еквивалентни, тогава техните дуални формули също са еквивалентни.
нормални форми
нормална формае синтактично недвусмислен начин за писане на формула, която изпълнява дадена функция.
Използвайки известните закони на логиката, всяка формула може да се трансформира в еквивалентна формула на формата 
, където и всеки е или променлива, или отрицание на променлива, или съвкупност от променливи или техни отрицания. С други думи, всяка формула може да бъде сведена до еквивалентна формула на проста стандартна форма, която ще бъде дизюнкция на елементи, всеки от които е конюнкция на отделни различни логически променливи, със или без знак за отрицание.
Пример 2.3:В големи формули или с множество трансформации е обичайно да се пропуска знакът за връзка (по аналогия със знака за умножение): . Виждаме, че след извършените трансформации формулата е дизюнкция на три конюнкции.
Тази форма се нарича дизюнктивна нормална форма (DNF). Извиква се единичен елемент от DNF елементарен съюз или съставна единица.
По същия начин всяка формула може да бъде сведена до еквивалентна формула, която ще бъде конюнкция на елементи, всеки от които ще бъде дизюнкция на логически променливи със или без знак за отрицание. Тоест всяка формула може да се сведе до еквивалентна формула на формата 
, където и всеки е или променлива, или отрицание на променлива, или дизюнкция на променливи или техните отрицания. Тази форма се нарича конюнктивна нормална форма
(KNF).
Пример 2.4:
Единичен елемент от CNF се нарича елементарна дизюнкция или съставната на нула.
Очевидно всяка формула има безкрайно много DNF и CNF.
Пример 2.5:Нека намерим няколко DNF за формулата 
.
Перфектни нормални форми
SDNF (перфектна DNF) е такава DNF, в която всяка елементарна връзка съдържа всички елементарни твърдения или техните отрицания веднъж, елементарните връзки не се повтарят.
SKNF (перфектна CNF) е такава CNF, в която всяка елементарна дизюнкция съдържа всички елементарни предложения или техните отрицания веднъж, елементарните дизюнкции не се повтарят.
Пример 2.6: 1) - SDNF
2) 1 - SKNF
Нека формулираме характерните черти на SDNF (SKNF).
1) Всички членове на дизюнкцията (конюнкция) са различни;
2) Всички членове на всяка връзка (дизюнкция) са различни;
3) Нито една конюнкция (дизюнкция) не съдържа едновременно променлива и нейното отрицание;
4) Всяка конюнкция (дизюнкция) съдържа всички променливи, включени в оригиналната формула.
Както виждаме, характеристиките (но не и формите!) отговарят на определението за дуалност, така че е достатъчно да разберете една форма, за да научите как да получите и двете.
Лесно е да се получи SDNF (SKNF) от DNF (CNF) с помощта на еквивалентни трансформации. Тъй като правилата за получаване на перфектни нормални форми също са двойствени, ще анализираме подробно правилото за получаване на SMNF и ще формулираме правилото за получаване на SKNF независимо, използвайки определението за двойственост.
Общото правило за редуциране на формула до SDNF с помощта на еквивалентни трансформации е:
За да се даде формулата Е, което не е идентично невярно, за SDNF, е достатъчно:
1) занесете го в някакъв DNF;
2) премахнете членовете на дизюнкцията, съдържаща променливата заедно с нейното отрицание (ако има такова);
3) от същите членове на дизюнкцията (ако има такива), премахнете всички освен един;
4) премахване на всички еднакви членове на всяка връзка (ако има такива), освен един;
5) ако някоя връзка не съдържа променлива сред променливите, включени в оригиналната формула, добавете член към тази връзка и приложете съответния закон за разпределение;
6) ако получената дизюнкция съдържа същите термини, използвайте предписание 3.
Получената формула е SDNF на тази формула.
Пример 2.7:Нека намерим SDNF и SKNF за формулата 
.
Тъй като DNF за тази формула вече е намерен (вижте Пример 2.5), ще започнем с получаване на SDNF:
2) в получената дизюнкция няма променливи заедно с техните отрицания;
3) в дизюнкцията няма еднакви членове;
4) няма еднакви променливи във връзка;
5) първата елементарна връзка съдържа всички променливи, включени в оригиналната формула, а втората елементарна връзка няма променлива z, така че нека добавим член към него и приложим закона за разпределение: ;
6) лесно се вижда, че същите термини са се появили в дизюнкцията, така че премахваме един (предписание 3);
3) премахнете една от идентичните дизюнкции: 
;
4) в останалите дизюнкции няма идентични термини;
5) никоя от елементарните дизюнкции не съдържа всички променливи, включени в оригиналната формула, така че ние допълваме всяка от тях с конюнкцията : ;
6) в получената връзка няма еднакви дизюнкции, така че намерената съчинителна форма е перфектна.
Тъй като в съвкупността от SKNF и SDNF формулите Е 8 членове, тогава най-вероятно те са намерени правилно.
Всяка удовлетворима (опровержима) формула има един единствен SDNF и един единствен SKNF. Тавтологията няма SKNF, а противоречието няма SDNF.
Определение.Две формули на алгебрата на логиката А и БНаречен еквивалентенако приемат едни и същи логически стойности за всеки набор от стойности на елементарните предложения, включени във формулите.
Еквивалентността на формулите ще бъде отбелязана със знака и нотацията А INозначава, че формулите А и Бса еквивалентни.
Например следните формули са еквивалентни:
Формула А се нарича идентично вярно (или тавтология), ако приема стойност 1 за всички стойности на включените в него променливи.
Например, формулите също са верни , .
Формула АНаречен идентично невярно,ако приема стойност 0 за всички стойности на включените в него променливи.
Например, формулата е идентично невярна.
Ясно е, че връзката на еквивалентност е рефлексивна, симетрична и транзитивна.
Между понятията еквивалентност и еквивалентност има следната връзка: ако формулите АИ INса еквивалентни, тогава формулата А IN- тавтология, и обратно, ако формулата А IN- тавтология, след това формули АИ INса еквивалентни.
Най-важните еквивалентности на алгебрата на логиката могат да бъдат разделени на три групи.
1. Основни еквивалентности:
Нека докажем един от законите за поглъщане. Помислете за формулата . Ако тази формула А= 1 тогава, очевидно, и докато връзката на две верни твърдения. Нека сега във формулата A x = 0. Но тогава, по дефиниция на операцията конюнкция, връзката ще бъде невярна и връзката . Така че във всички случаи стойностите на формулата Аотговарят на стойностите а,и следователно А х.
2. Еквивалентности, изразяващи някои логически операции по отношение на други:
Ясно е, че еквивалентностите 5 и 6 се получават съответно от еквивалентностите 3 и 4, ако вземем отрицания от двете части на последните и използваме закона за елиминиране на двойните отрицания. Следователно първите четири еквивалентности се нуждаят от доказателство. Нека докажем две от тях: първата и третата.
Тъй като за същите логически стойности хИ приса верни формули , , , тогава връзката също ще бъде вярна 
.
Следователно в този случай и двете части на еквивалентността имат еднакви истински стойности.
Нека сега хИ приимат различни логически стойности. Тогава еквивалентността и едно от двете импликации или ще бъдат неверни. По същото време
ще бъде невярно и връзката . Така в този случай и двете части на еквивалентността имат еднакви логически стойности.
Разгледайте еквивалентност 3. Ако хИ приприемат истински стойности едновременно, тогава връзката ще бъде вярна x&yи фалшиво отрицание на връзката. В същото време и двете, и ще бъдат неверни и следователно дизюнкцията също ще бъде невярна .
Нека сега поне една от променливите хили приприема стойността false. Тогава ще има фалшива връзка x&yи истинското му отричане. В същото време отрицанието на поне една от променливите ще бъде вярно и следователно дизюнкцията също ще бъде вярна .
Следователно във всички случаи и двете части на еквивалентността 3 приемат еднакви логически стойности.
Еквивалентности 2 и 4 се доказват по подобен начин.
От еквивалентностите на тази група следва, че всяка формула на алгебрата на логиката може да бъде заменена с еквивалентна на нея формула, съдържаща само две логически операции: конюнкция и отрицание или дизюнкция и отрицание.
По-нататъшно изключване на логически операции не е възможно. Така че, ако използваме само връзка, тогава вече такава формула като отрицание хне може да се изрази с помощта на оператора за свързване.
Има обаче операции, чрез които може да се изрази всяка от петте логически операции, които използваме. Такава операция е например операцията "инсулт на Шефер". Тази операция е символизирана x|yи се определя от следната таблица на истинност:
| х | г | x|y |
Очевидно има еквивалентности:
2) x&y (x|y)|(x|y).
От тези две еквивалентности следва, че всяка формула от алгебрата на логиката може да бъде заменена с еквивалентна формула, съдържаща само операцията "щрих на Шефер".
Забележи, че .
По същия начин може да се въведе операцията 
.
3. Еквивалентности, изразяващи основните закони на алгебрата на логиката:
1. x&y y&x -комутативност на връзката.
2. х при г х- комутативност на дизюнкцията.
3. x& (y& z) (x & y) & z- Асоциативност на съюза.
4. х(из ) (Х y) z е асоциативността на дизюнкцията.
5. x& (y з) (x&y) (x&z)- дистрибутивност на конюнкцията по отношение на дизюнкцията.
6. х (y&z) (Х y)& (x z ) - дистрибутивност на дизюнкцията по отношение на конюнкцията.
Нека докажем последния от изброените закони. Ако х= 1, тогава формулите ще бъдат верни х (да& z), х y, x z . Но тогава връзката също ще бъде вярна (Х y)& (x z ). По този начин, при х= 1 и двете части на еквивалентността 6 приемат еднакви логически стойности (вярно).
Нека сега x = 0. Тогава х (y&z) y&z, x при приИ х z z , и следователно връзката х (y&z) y&z. Следователно тук и двете части на еквивалентността 6 са еквивалентни на една и съща формула y&z,и следователно приемат същите булеви стойности.
§ 5. Еквивалентни преобразувания на формули
Използвайки еквивалентностите на групи I, II и III, е възможно да се замени част от формулата или формула с еквивалентна формула. Такива трансформации на формули се наричат еквивалентен.
Еквивалентните трансформации се използват за доказване на еквивалентности, за привеждане на формули в даден вид, за опростяване на формули.
Формула Асе счита за по-проста от еквивалентната формула IN,ако съдържа по-малко букви, по-малко логически операции. В този случай операциите еквивалентност и импликация обикновено се заменят с операциите на дизюнкция и конюнкция, а отрицанието се нарича елементарни предложения. Нека разгледаме някои примери.
1. Докажете еквивалентност 
.
Използване на еквивалентностите на групи I, II и III
2.
Опростете формулата 
.
Нека напишем верига от еквивалентни формули:
3. Докажете идентичната истинност на формулата
Нека напишем верига от еквивалентни формули:
Булова алгебра
Еквивалентностите от група III казват, че алгебрата на логиката има комутативни и асоциативни закони по отношение на операциите на конюнкция и дизюнкция и разпределителен закон на конюнкция по отношение на дизюнкция; същите тези закони важат и в алгебрата на числата. Следователно, върху формулите на алгебрата на логиката е възможно да се извършат същите трансформации, които се извършват в алгебрата на числата (отваряне на скоби, поставяне в скоби, поставяне в скоби на общия множител).
Но в алгебрата на логиката са възможни и други трансформации, базирани на използването на еквивалентности:
Тази функция ни позволява да стигнем до широкообхватни обобщения.
Помислете за непразно множество Мелементи от всякакво естество ( x,y,z,...} , което дефинира отношението "=" (равно на) и три операции: "+" (събиране), "" (умножение) и "-" (отрицание), предмет на следните аксиоми:
Комутативни закони:
1а. x + y = y + x, 1б. х y = y Х.
Закони за сдружаване:
2а. x + (y + z)= (x + y) + z, 2б. х (при z) = (x y) z.
Закони за разпространение:
3а. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3б. (x y) + z = (x+z) (y + z).
Закони на идемпотентността:
4а. x + x = x, 4б. х х = х.
Законът за двойното отрицание:
Законите на Де Морган:
6а. , 6б . .
Закони за абсорбция:
7а. x + (y Х)= х, 7б. х (y + x) = x.
Такова множество МНаречен булева алгебра.
Ако под основните елементи x, y, z, ...за означаване на твърдения, под операциите "+", "", "-" дизюнкция, конюнкция, отрицание, съответно, и разглеждайте знака за равенство като знак за еквивалентност, тогава, както следва от еквивалентностите на групи I, II и III , всички аксиоми на булевата алгебра са изпълнени.
В тези случаи, когато за определена система от аксиоми е възможно да се изберат конкретни обекти и специфични връзки между тях, така че всички аксиоми да бъдат изпълнени, казваме, че интерпретация(или модел)тази система от аксиоми.
Така че алгебрата на логиката е интерпретация на булевата алгебра. Алгебрата на Бул има и други интерпретации. Например, ако под основните елементи x, y, z, ...комплекти Мозначават множества, под операциите "+", "", "-" съответно обединение, пресичане, допълнение и под знака за равенство - знака за равенство на множествата, тогава стигаме до алгебрата на множествата. Лесно е да се провери, че в алгебрата на множествата всички аксиоми на булевата алгебра са изпълнени.
Сред различните интерпретации на булевата алгебра има интерпретации от технически характер. Един от тях ще бъде разгледан по-долу. Както ще бъде показано, той играе важна роля в съвременната автоматизация.
Функции на алгебрата на логиката
Както вече беше отбелязано, смисълът на формулата на алгебрата на логиката изцяло зависи от значенията на твърденията, включени в тази формула. Следователно формулата на алгебрата на логиката е функция на включените в нея елементарни съждения.
Например формулата е функция
три променливи f(x,y,z).Характеристика на тази функция е фактът, че нейните аргументи приемат една от двете стойности: нула или едно, докато функцията също приема една от двете стойности: нула или едно.
Определение. Алгебра логическа функцияха променливи (или булева функция)Извиква се функция от n променливи, където всяка променлива приема две стойности: 0 и 1, като в същото време функцията може да приема само една от две стойности: 0 или 1.
Ясно е, че идентично верните и идентично неверните формули на алгебрата на логиката са постоянни функции и две еквивалентни формули изразяват една и съща функция.
Нека разберем какъв е броят на функциите на n променливи. Очевидно всяка функция от алгебрата на логиката (както и формулата на алгебрата на логиката) може да бъде дефинирана с помощта на таблица на истината, която ще съдържа 2 n реда. Следователно всяка функция от n променливи приема 2n стойности, състоящи се от нули и единици. По този начин функцията на n променливи е напълно определена от набор от стойности на нули и единици с дължина 2 n. (Общият брой набори, състоящи се от нули и единици с дължина 2 n, е равен на . Следователно броят на различни функции на логическата алгебра Ппроменливи е равно на .
По-конкретно, има четири различни функции на една променлива и шестнадесет различни функции на две променливи. Нека запишем всички функции на алгебрата на логика едно Идве променливи.
Помислете за таблица на истината за различни функции на една променлива. Очевидно изглежда така:
| х | f 1 (x) | f 2 (x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
От тази таблица следва, че две функции на една променлива ще бъдат постоянни: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0 и f 2 (x) Х,И f 3 (x) .
Таблицата на истината за всички възможни функции на две променливи е:
f i = f i (x, y)
| х | г | f1 | f2 | е 3 | f4 | f5 | f6 | f7 | е 8 | f9 | е 10 | е 11 | е 12 | е 13 | е 14 | е 15 | е 16 |
Ясно е, че аналитичните изрази за тези функции могат да бъдат записани по следния начин.
Определение. Две уравнения f 1 (x) = g 1 (x) и f 2 (x) = g 2 (x) се наричат еквивалентни, ако множествата на техните корени са еднакви.
Например уравненията х 2 - 9 = 0 и (2 х + 6)(х- 3) = 0 са еквивалентни, тъй като и двете имат числата 3 и -3 като свои корени. Уравненията (3 х + 1)-2 = х 2- + 1 и х 2+ 1 = 0, тъй като и двете нямат корени, т.е. множествата на техните корени са еднакви.
Определение. Замяната на уравнение с еквивалентно уравнение се нарича еквивалентна трансформация.
Нека сега разберем какви трансформации правят възможно получаването на еквивалентни уравнения.
Теорема 1.Нека уравнението f(x) и g(x)дадено на снимачната площадка и ч(х) е израз, дефиниран в същия набор. След това уравненията f(x) = g(x)(1) и f(x) + h(х) =g(x) + h(х) (2) са еквивалентни.
Доказателство. Означаваме с Т 1 -набор от решения на уравнение (1) и чрез Т 2 -набор от решения на уравнение (2). Тогава уравнения (1) и (2) ще бъдат еквивалентни, ако T 1 \u003d T 2.За да се провери това, е необходимо да се покаже, че всеки корен на Т 1е корен на уравнение (2) и, обратно, всеки корен на Т 2е коренът на уравнение (1).
Нека номерът Ае коренът на уравнение (1). Тогава а? Т 1и при заместване в уравнение (1) го превръща в истинско числово равенство f(a) = g(a), и изразът h(x)преобразува в числов израз ч(а), което има смисъл на снимачната площадка х.Добавете към двете страни на истинското равенство f(a) = g(a)числов израз ч(а). Получаваме, според свойствата на истинските числени равенства, истинското числово равенство f(a) + h(а) =g(a) + h(а), което показва, че Ае коренът на уравнение (2).
И така, доказано е, че всеки корен на уравнение (1) е и корен на уравнение (2), т.е. Т 1с Т2.
Нека сега А -коренът на уравнение (2). Тогава А? Т2и при заместване в уравнение (2) го превръща в истинско числово равенство f(a) + h(а) =g(a) + h(а). Нека добавим към двете части на това равенство числен израз - ч(а), получаваме истинското числово равенство f(x) = g(x),което показва, че числото А -коренът на уравнение (1).
И така, доказано е, че всеки корен на уравнение (2) е и корен на уравнение (1), т.е. Т2с Т 1.
защото Т 1с Т 2И Т 2с Т 1тогава по дефиницията на равни множества Т 1= Т 2, което означава, че уравнения (1) и (2) са еквивалентни.
Тази теорема може да се формулира по различен начин: ако двете страни на уравнението с областта на дефиниция хдобавим същия израз с променлива, дефинирана на същия набор, тогава получаваме ново уравнение, еквивалентно на даденото.
От тази теорема следват следствията, които се използват при решаването на уравненията:
1. Ако добавим едно и също число към двете страни на уравнението, получаваме уравнение, което е еквивалентно на даденото.
2. Ако произволен член (числов израз или израз с променлива) се прехвърли от една част на уравнението в друга, променяйки знака на члена на противоположния, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.
Теорема 2.Нека уравнението f(x) = g(x)набор на снимачната площадка хИ h(x) -израз, който е дефиниран в същия набор и не изчезва за никаква стойност хот много х.След това уравненията f(x) = g(x)И f(x) h(х) =g(x) h(х) са еквивалентни.
Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на теорема 1.
Теорема 2 може да се формулира по различен начин: ако и двете страни на уравнението с домейн хумножаваме по същия израз, който е дефиниран на същото множество и не се нулира върху него, тогава получаваме ново уравнение, еквивалентно на даденото.
Следствието следва от тази теорема: ако и двете части на уравнението се умножат (или разделят) на едно и също число, различно от нула, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.
Решаване на уравнения с една променлива
Решете уравнение 1- х/3 = х/6, х ? Ри обосновете всички трансформации, които ще извършим в процеса на решаване.
| Трансформации | Обосновка за преобразуване |
| 1. Привеждаме изразите от лявата и дясната страна на уравнението до общ знаменател: (6-2 х)/ 6 = х/6 | Извърши идентична трансформация на израза от лявата страна на уравнението. |
| 2. Изхвърлете общия знаменател: 6-2 х = х | Умножихме по 6 и двете части на уравнението (теорема 2), получихме уравнение, еквивалентно на даденото. |
| 3. Прехвърляме израза -2x в дясната страна на уравнението с обратен знак: 6 = х+2х. | Използвахме следствието от теорема 1 и получихме уравнение, еквивалентно на предходното и следователно на даденото. |
| 4. Представяме подобни членове от дясната страна на уравнението: 6 = 3 х. | Извърши идентична трансформация на израза. |
| 5. Разделете двете страни на уравнението на 3: х = 2. | Използвахме следствието от теорема 2, получихме уравнение, еквивалентно на предишното, а оттам и на това |
Тъй като всички трансформации, които извършихме при решаването на това уравнение, бяха еквивалентни, може да се твърди, че 2 е коренът на това уравнение.
Ако в процеса на решаване на уравнението условията на теореми 1 и 2 не са изпълнени, тогава може да възникне загуба на корени или да се появят външни корени. Ето защо е важно, когато се извършват трансформации на уравнението, за да се получи по-просто, да се гарантира, че те водят до уравнение, еквивалентно на даденото.
Помислете например за уравнението x(x - 1) = 2x, x? Р. Нека разделим двете части на х, получаваме уравнението Х - 1 = 2, откъдето х= 3, т.е. това уравнение има един корен - числото 3. Но вярно ли е това? Лесно е да се види, че ако в това уравнение вместо променливата хзаместване на 0, то ще се превърне в истинско числово равенство 0 (0 - 1) = 2 0. И това означава, че 0 е коренът на това уравнение, което загубихме при извършване на трансформации. Нека ги анализираме. Първото нещо, което направихме, беше да разделим двете страни на уравнението на Х,тези. умножено по израз1/ х, но при х= О, няма смисъл. Следователно не изпълнихме условието на теорема 2, което доведе до загуба на корена.
За да сме сигурни, че множеството от корени на това уравнение се състои от две числа 0 и 3, представяме друго решение. Нека преместим израз 2 хот дясно на ляво: x(x- 1) - 2x \u003d 0. Изваждаме скобите от лявата страна на уравнението хи дайте подобни условия: x(x - 3) = 0. Продуктът на два фактора е равен на нула тогава и само ако поне един от тях е равен на нула, следователно х= 0 или х- 3 = 0. От тук получаваме, че корените на това уравнение са 0 и 3.
В началния курс на математиката теоретичната основа за решаване на уравнения е връзката между компонентите и резултатите от действията. Например решаването на уравнението ( х 9):24 = 3 се обосновава, както следва. Тъй като неизвестното е в дивидента, за да намерите дивидента, трябва да умножите делителя по частното: х 9 = 24 3, или х 9 = 72.
За да намерите неизвестния фактор, трябва да разделите продукта на известния фактор: x = 72:9, или x = 8, следователно коренът на това уравнение е числото 8.
Упражнения
1 . Определете кои от следните записи са уравнения с една променлива:
А) ( х-3) 5 = 12 х; г) 3 + (12-7) 5 = 16;
б) ( х-3) 5 = 12; д) ( х-3) г =12х;
V) ( х-3) 17 + 12; д) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Уравнение 2 х 4 + 4х 2 -6 = 0 е дадено върху множеството от естествени числа. Обяснете защо числото 1 е коренът на това уравнение, но 2 и -1 не са неговите корени.
3. В уравнението ( х+ ...)(2х + 5) - (х - 3)(2х+ 1) = 20 едно число се изтрива и се заменя с точки. Намерете изтритото число, ако знаете, че коренът на това уравнение е числото 2.
4. Формулирайте условията, при които:
а) числото 5 е коренът на уравнението f(x) = g(x);
б) числото 7 не е корен на уравнението f(x) = g(x).
5. Определете кои от следните двойки уравнения са еквивалентни в множеството от реални числа:
а) 3 + 7 х\u003d -4 и 2 (3 + 7l х) = -8;
6)3 + 7х= -4 и 6 + 7 х = -1;
в) 3 + 7 х= -4 и l х + 2 = 0.
6. Формулирайте свойствата на връзката на еквивалентност на уравнението. Кои от тях се използват в процеса на решаване на уравнението?
7. Решете уравненията (всички те са дадени на набор от реални числа) и обосновете всички трансформации, извършени в процеса на опростяването им:
а)(7 х+4)/2 – х = (3х-5)/2;
б) х –(3х-2)/5 = 3 – (2х-5)/3;
на 2- х)2-х (х + 1,5) = 4.
8. Ученикът реши уравнение 5 х + 15 = 3 х+ 9 по следния начин: поставете числото 5 извън скобите от лявата страна и числото 3 от дясната страна, получихте уравнението 5 (x+ 3) = 3(х+ 3) и след това разделете двете части в израз х+ 3. Получих равенството 5 = 3 и заключих, че това уравнение няма корени. Ученикът прав ли е?
9. Решете уравнение 2/(2- х) – ½ = 4/((2- х)х); х? Р. Числото 2 коренът на това уравнение ли е?
10. Решете уравненията, като използвате връзката между компонентите и резултатите от действията:
А) ( х+ 70) 4 = 328; в) (85 х + 765): 170 = 98;
б) 560: ( х+ 9) - 56; G) ( х - 13581):709 = 306.
11. Решавайте задачи по аритметичен и алгебричен начин:
а) На първия рафт има 16 книги повече, отколкото на втория. Ако премахнете 3 книги от всеки рафт, тогава на първия рафт ще има един път и половина повече книги, отколкото на втория. Колко книги има на всеки рафт?
б) Велосипедистът е изминал целия път от лагера до гарата, равен на 26 км, за 1 час и 10 минути. През първите 40 минути от това време той е карал със същата скорост, а през останалото време - с 3 km/h по-ниска. Намерете скоростта на велосипедиста на първия етап от пътуването.
