Определение. Странично лице- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната му страна съвпада със страната на основата (многоъгълника).

Определение. Странични ребраса общите страни на страничните повърхности. Една пирамида има толкова ръбове, колкото има ъгли в многоъгълника.

Определение. височина на пирамидатае перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.

Определение. апотема- това е перпендикулярът на страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата към страната на основата.

Определение. Диагонално сечение- това е разрез на пирамидата от равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.

Определение. Правилна пирамида- Това е пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска до центъра на основата.

Обем и повърхност на пирамидата

Формула. обем на пирамидатачрез основна площ и височина:

пирамидални свойства

Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да бъде описана окръжност, а центърът на основата съвпада с центъра на окръжността. Също така перпендикулярът, изпуснат от върха, минава през центъра на основата (кръг).

Ако всички странични ребра са равни, тогава те са наклонени към основната равнина под еднакви ъгли.

Страничните ребра са равни, когато образуват равни ъгли с основната равнина или ако може да се опише кръг около основата на пирамидата.

Ако страничните лица са наклонени към равнината на основата под един ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да бъде вписан кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.

Ако страничните лица са наклонени към основната равнина под един ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.

Свойства на правилна пирамида

1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.

2. Всички странични ръбове са равни.

3. Всички странични ребра са наклонени под еднакви ъгли спрямо основата.

4. Апотемите на всички странични лица са равни.

5. Площите на всички странични лица са равни.

6. Всички лица имат еднакви двугранни (плоски) ъгли.

7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.

8. В пирамида може да се впише сфера. Центърът на вписаната сфера ще бъде пресечната точка на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.

9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от плоските ъгли при върха е равна на π или обратно, единият ъгъл е равен на π / n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.

Връзката на пирамидата със сферата

Сфера може да бъде описана около пирамидата, когато в основата на пирамидата лежи полиедър, около който може да се опише кръг (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.

Сфера винаги може да бъде описана около всяка триъгълна или правилна пирамида.

Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако ъглови равнините на вътрешните двугранни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Връзката на пирамидата с конуса

Конусът се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.

Конус може да бъде вписан в пирамида, ако апотемите на пирамидата са равни.

За конус се казва, че е описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.

Конус може да бъде описан около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са равни един на друг.

Свързване на пирамида с цилиндър

За пирамидата се казва, че е вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.

Цилиндър може да бъде описан около пирамида, ако около основата на пирамидата може да бъде описана окръжност.

Определение. пресечена пирамида (пирамидална призма)- Това е полиедър, който се намира между основата на пирамидата и секционната равнина, успоредна на основата. Така пирамидата има голяма основа и по-малка основа, която е подобна на по-голямата. Страничните повърхности са трапецовидни.

Определение. Триъгълна пирамида (тетраедър)- това е пирамида, в която три лица и основата са произволни триъгълници.

Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се допират.

Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват триъгълен ъгъл.

Сегментът, свързващ върха на тетраедъра с центъра на противоположната страна, се нарича медиана на тетраедъра(GM).

Бимедиансе нарича сегмент, свързващ средните точки на противоположни ръбове, които не се допират (KL).

Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите са разделени наполовина, а медианите в съотношение 3: 1, като се започне от върха.

Определение. наклонена пирамидае пирамида, в която един от ръбовете образува тъп ъгъл (β) с основата.

Определение. Правоъгълна пирамидае пирамида, в която една от страничните лица е перпендикулярна на основата.

Определение. Пирамида с остра ъгъле пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.

Определение. тъпа пирамидае пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.

Определение. правилен тетраедърТетраедър, чиито четири лица са равностранни триъгълници. Това е един от петте правилни многоъгълника. В правилния тетраедър всички двугранни ъгли (между лицата) и триедрични ъгли (при връх) са равни.

Определение. Правоъгълен тетраедърнарича се тетраедър, който има прав ъгъл между три ръба във върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен триъгълен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.

Определение. Изоедрален тетраедърНарича се тетраедър, в който страничните лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Лицата на такъв тетраедър са равнобедрени триъгълници.

Определение. Ортоцентричен тетраедъртетраедър се нарича, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха до противоположната страна, се пресичат в една точка.

Определение. звездна пирамидаНарича се полиедър, чиято основа е звезда.

Определение. Бипирамида- полиедър, състоящ се от две различни пирамиди (пирамидите също могат да бъдат отрязани), имащи обща основа, а върховете лежат от противоположните страни на основната равнина.

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на произведението на нейната апотема на половината от периметъра на основата.

Що се отнася до общата повърхност, просто добавяме основната площ отстрани.

Страничната повърхност на правилната пирамида е равна на произведението на полупериметъра на основата и апотема.

доказателство:

Ако страната на основата е a, броят на страните е n, тогава страничната повърхност на пирамидата е:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

където l е апотема и p е периметърът на основата на пирамидата. Теоремата е доказана.

Тази формула се чете така:

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотема на пирамидата.

Общата повърхност на пирамидата се изчислява по формулата:

С пълен =S страна + С главен

Ако пирамидата е неправилна, тогава нейната странична повърхност ще бъде равна на сумата от площите на страничните й лица.

Обем на пирамидата

Сила на звукапирамида е равна на една трета от произведението на площта на основата и височината.

Доказателство. Ще започнем от триъгълна призма. Начертайте равнина през върха A "на горната основа на призмата и срещуположния ръб BC на долната основа. Тази равнина ще отсече триъгълната пирамида A" ABC от призмата. Разлагаме останалата част от призмата в сърцевината на тялото, като начертаваме равнина през диагоналите A "C" и "B" C на страничните повърхности. Получените две тела също са пирамиди. Като имаме предвид триъгълника A"B"C" като основа на един от тях и C за неговия връх, ще видим, че неговата основа и височина са същите като тези на първата пирамида, която отрязахме, следователно пирамидите A"ABC и CA"B"C" са равни. Освен това и двете нови пирамиди CA "B" C "и A" B "BC" също са равни по размер - това ще стане ясно, ако вземем триъгълниците BC "и B" CC " за техните основи. Пирамидите CA" B "C" и A "B" VS имат общ връх A", а техните основи са разположени в една и съща равнина и са равни, следователно пирамидите са равни. И така, призмата се разлага на три пирамиди с еднаква площ, обемът на всяка от тях е равен на една трета от обема на призмата.Тъй като формата на основата е незначителна, тогава като цяло обемът на n-ъгълна пирамида е равен на една трета от обема на призма със същата височина и същата (или равна) основа. Припомняйки формулата, изразяваща обема на призмата, V=Sh, получаваме крайния резултат: V=1/3Sh

При подготовка за изпита по математика студентите трябва да систематизират знанията си по алгебра и геометрия. Бих искал да комбинирам цялата известна информация, например как да изчислим площта на пирамида. Освен това, като се започне от основата и страничните повърхности до цялата повърхност. Ако ситуацията е ясна със страничните лица, тъй като те са триъгълници, тогава основата винаги е различна.

Какво да направите, когато намерите площта на основата на пирамидата?

Може да бъде абсолютно всяка фигура: от произволен триъгълник до n-ъгълник. И тази основа, в допълнение към разликата в броя на ъглите, може да бъде обикновена фигура или неправилна. В задачите на USE, които представляват интерес за учениците, има само задачи с правилните фигури в основата. Затова ще говорим само за тях.

правоъгълен триъгълник

Това е равностранно. Такъв, в който всички страни са равни и се означават с буквата "а". В този случай площта на основата на пирамидата се изчислява по формулата:

S = (a 2 * √3) / 4.

Квадрат

Формулата за изчисляване на нейната площ е най-простата, тук "а" отново е страната:

Произволен правилен n-ъгълник

Страната на многоъгълника има същото обозначение. За броя на ъглите се използва латинската буква n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Как да процедираме при изчисляване на страничната и общата повърхност?

Тъй като основата е правилна фигура, всички лица на пирамидата са равни. Освен това всеки от тях е равнобедрен триъгълник, тъй като страничните ръбове са равни. След това, за да изчислите страничната площ на пирамидата, се нуждаете от формула, състояща се от сумата от еднакви мономи. Броят на термините се определя от броя на страните на основата.

Площта на равнобедрен триъгълник се изчислява по формулата, в която половината от произведението на основата се умножава по височината. Тази височина в пирамидата се нарича апотема. Неговото обозначение е "А". Общата формула за страничната повърхност е:

S \u003d ½ P * A, където P е периметърът на основата на пирамидата.

Има ситуации, когато страните на основата не са известни, но са дадени страничните ръбове (c) и плоския ъгъл при нейния връх (α). След това се предполага да се използва такава формула за изчисляване на страничната площ на пирамидата:

S = n/2 * в 2 sin α .

Задача №1

състояние.Намерете общата площ на пирамидата, ако основата й е със страна 4 cm, а апотемата има стойност √3 cm.

Решение.Трябва да започнете с изчисляване на периметъра на основата. Тъй като това е правилен триъгълник, тогава P = 3 * 4 \u003d 12 см. Тъй като апотемът е известен, можете веднага да изчислите площта на цялата странична повърхност: ½ * 12 * √3 = 6 √3 см 2.

За триъгълник в основата ще се получи следната стойност на площта: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

За да определите цялата площ, ще трябва да добавите двете получени стойности: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Отговор. 10√3 см2.

Задача №2

състояние. Има правилна четириъгълна пирамида. Дължината на страната на основата е 7 мм, страничният ръб е 16 мм. Трябва да знаете неговата повърхност.

Решение.Тъй като полиедърът е четириъгълен и правилен, то основата му е квадрат. След като научите площите на основата и страничните повърхности, ще бъде възможно да се изчисли площта на пирамидата. Формулата за квадрата е дадена по-горе. А при страничните лица всички страни на триъгълника са известни. Следователно можете да използвате формулата на Херон, за да изчислите техните площи.

Първите изчисления са прости и водят до това число: 49 mm 2. За втората стойност ще трябва да изчислите полупериметъра: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 мм. Сега можете да изчислите площта на равнобедрен триъгълник: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Има само четири такива триъгълника, така че при изчисляване на крайното число ще трябва да го умножите по 4.

Оказва се: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Отговор. Желаната стойност е 267,576 mm 2.

Задача №3

състояние. За правилна четириъгълна пирамида трябва да изчислите площта. В него страната на квадрата е 6 см, а височината е 4 см.

Решение.Най-лесният начин е да използвате формулата с произведението на периметъра и апотема. Първата стойност е лесна за намиране. Второто е малко по-трудно.

Ще трябва да си спомним теоремата на Питагор и да помислим, че тя се формира от височината на пирамидата и апотемата, която е хипотенузата. Вторият крак е равен на половината от страната на квадрата, тъй като височината на полиедъра пада в средата му.

Желаната апотема (хипотенузата на правоъгълен триъгълник) е √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Сега можете да изчислите желаната стойност: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Отговор. 96 см2.

Задача №4

състояние.Правилната страна на основата му е 22 мм, страничните ребра са 61 мм. Каква е площта на страничната повърхност на този полиедър?

Решение.Разсъжденията в него са същите като описаните в проблем No2. Само там беше дадена пирамида с квадрат в основата, а сега е шестоъгълник.

На първо място, площта на основата се изчислява по горната формула: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 см 2.

Сега трябва да разберете полупериметъра на равнобедрен триъгълник, който е странична повърхност. (22 + 61 * 2): 2 = 72 см. Остава да се изчисли площта на всеки такъв триъгълник по формулата на Херон, след което да се умножи по шест и да се добави към тази, която се оказа за база.

Изчисления с помощта на формулата на Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) = √ 435600 = 660 cm 2. Изчисления, които ще дадат странична повърхност: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Остава да ги съберем, за да разберем цялата повърхност: 5217,47≈5217 cm 2.

Отговор.Основа - 726√3 cm 2, странична повърхност - 3960 cm 2, цялата площ - 5217 cm 2.

- това е фигура, в основата на която лежи произволен многоъгълник, а страничните лица са представени от триъгълници. Техните върхове лежат в една точка и съответстват на върха на пирамидата.

Пирамидата може да бъде разнообразна - триъгълна, четириъгълна, шестоъгълна и др. Името му може да се определи в зависимост от броя на ъглите, съседни на основата.
Правилна пирамиданаречена пирамида, в която страните на основата, ъглите и ръбовете са равни. Също така в такава пирамида площта на страничните повърхности ще бъде равна.
Формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от площите на всичките й лица:
Тоест, за да се изчисли площта на страничната повърхност на произволна пирамида, е необходимо да се намери площта на всеки отделен триъгълник и да се съберат заедно. Ако пирамидата е пресечена, тогава нейните лица са представени от трапец. За правилната пирамида има друга формула. В него страничната повърхност се изчислява чрез полупериметъра на основата и дължината на апотема:

Помислете за пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на пирамида.
Нека е дадена правилна четириъгълна пирамида. Основна страна б= 6 см и апотема а\u003d 8 см. Намерете площта на страничната повърхност.

В основата на правилна четириъгълна пирамида лежи квадрат. Първо, нека намерим периметъра му:

Сега можем да изчислим площта на страничната повърхност на нашата пирамида:

За да намерите общата площ на полиедър, трябва да намерите площта на неговата основа. Формулата за площта на основата на пирамида може да се различава в зависимост от това кой многоъгълник лежи в основата. За да направите това, използвайте формулата за площта на триъгълник, площ на паралелограмаи т.н.

Помислете за пример за изчисляване на площта на основата на пирамидата, дадена от нашите условия. Тъй като пирамидата е правилна, тя има квадрат в основата си.
квадратна площизчислено по формулата: ,
където a е страната на квадрата. Имаме го равно на 6 см. Така че площта на основата на пирамидата:

Сега остава само да се намери общата площ на полиедъра. Формулата за площта на пирамидата е сумата от площта на нейната основа и нейната странична повърхност.

Преди да изучаваме въпроси за тази геометрична фигура и нейните свойства, е необходимо да разберем някои термини. Когато човек чуе за пирамидата, той си представя огромни сгради в Египет. Ето как изглеждат най-простите. Но те се предлагат в различни видове и форми, което означава, че формулата за изчисление на геометричните фигури ще бъде различна.

Видове фигури

Пирамида - геометрична фигура, обозначаващ и представляващ множество лица. Всъщност това е същият полиедър, в основата на който лежи многоъгълник, а отстрани има триъгълници, които се свързват в една точка - върха. Фигурата е от два основни типа:

• правилно;
• съкратен.

В първия случай основата е правилен многоъгълник. Тук всички странични повърхности са равнимежду тях и самата фигура ще зарадва окото на перфекционист.

Във втория случай има две основи - голяма в самото дъно и малка между горната, повтаряйки формата на основната. С други думи, пресечена пирамида е полиедър със сечение, образувано успоредно на основата.

Условия и обозначения

Основни термини:

• Правилен (равностранен) триъгълникФигура с три еднакви ъгъла и равни страни. В този случай всички ъгли са 60 градуса. Фигурата е най-простата от правилните многогранници. Ако тази фигура лежи в основата, тогава такъв полиедър ще се нарече правилен триъгълен. Ако основата е квадратна, пирамидата ще се нарича правилна четириъгълна пирамида.
• Връх- най-високата точка, където се срещат ръбовете. Височината на върха се формира от права линия, излизаща от върха до основата на пирамидата.
• ръб, крайе една от равнините на многоъгълника. Може да бъде под формата на триъгълник в случай на триъгълна пирамида или под формата на трапец за пресечена пирамида.
• напречно сечение- плоска фигура, образувана в резултат на дисекция. Да не се бърка със секция, тъй като секцията също показва какво се крие зад секцията.
• апотема- сегмент, изтеглен от върха на пирамидата до основата й. Това е и височината на лицето, където е втората точка на височина. Това определение е валидно само по отношение на правилен полиедър. Например - ако не е пресечена пирамида, тогава лицето ще бъде триъгълник. В този случай височината на този триъгълник ще се превърне в апотема.

Формули за площи

Намерете площта на страничната повърхност на пирамидатавсеки тип може да се направи по няколко начина. Ако фигурата не е симетрична и е многоъгълник с различни страни, тогава в този случай е по-лесно да се изчисли общата повърхност чрез съвкупността от всички повърхности. С други думи, трябва да изчислите площта на всяко лице и да ги добавите заедно.

В зависимост от това какви параметри са известни, може да са необходими формули за изчисляване на квадрат, трапец, произволен четириъгълник и др. Самите формули в различни случаисъщо ще бъде различен.

В случай на обикновена фигура намирането на зоната е много по-лесно. Достатъчно е да знаете само няколко основни параметъра. В повечето случаи се изискват изчисления точно за такива цифри. Следователно съответните формули ще бъдат дадени по-долу. В противен случай ще трябва да рисувате всичко на няколко страници, което само ще обърка и обърка.

Основна формула за изчислениестраничната повърхност на правилната пирамида ще изглежда така:

S \u003d ½ Pa (P е периметърът на основата и е апотемът)

Нека разгледаме един от примерите. Полиедърът има основа с отсечки A1, A2, A3, A4, A5 и всички те са равни на 10 см. Нека апотемът е равен на 5 см. Първо трябва да намерите периметъра. Тъй като всичките пет лица на основата са еднакви, може да се намери, както следва: P = 5 * 10 = 50 см. След това прилагаме основната формула: S = ½ * 50 * 5 = 125 см на квадрат .

Странична повърхност на правилна триъгълна пирамиданай-лесният за изчисляване. Формулата изглежда така:

S =½* ab *3, където a е апотема, b е фасетът на основата. Коефициентът три тук означава броя на лицата на основата, а първата част е площта на страничната повърхност. Помислете за пример. Дадена е фигура с апотема от 5 см и лице на основата 8 см. Изчисляваме: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 см на квадрат.

Странична повърхност на пресечена пирамидамалко по-трудно е да се изчисли. Формулата изглежда така: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, където p_01 и p_02 са периметрите на основите и е апотема. Помислете за пример. Да предположим, че за четириъгълна фигура размерите на страните на основите са 3 и 6 cm, апотемата е 4 cm.

Тук, за начало, трябва да намерите периметрите на основите: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 см. Остава да заменим стойностите в основната формула и да получим: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см на квадрат.

По този начин е възможно да се намери страничната повърхност на правилна пирамида с всякаква сложност. Внимавайте да не объркатетези изчисления с общата площ на целия полиедър. И ако все още трябва да направите това, достатъчно е да изчислите площта на най-голямата основа на полиедъра и да я добавите към площта на страничната повърхност на многогранника.

Видео

За да консолидирате информация как да намерите страничната повърхност на различни пирамиди, това видео ще ви помогне.