Формула за скорост на равнинна вълна. Уравнения на равнинни и сферични вълни

Плоската вълна е вълна с плосък фронт. В този случай лъчите са успоредни.

Плоска вълна се възбужда в близост до осцилираща равнина или ако се разглежда малък участък от вълновия фронт на точков източник. Площта на тази област може да бъде толкова по-голяма, колкото по-далеч е от излъчвателя.

Лъчите, покриващи сечението на равнината на разглеждания вълнов фронт, образуват "тръба". Амплитудата на звуковото налягане в плоска вълна не намалява с разстоянието от източника, тъй като няма разпространение на енергия извън стените на тази тръба. На практика това съответства на силно насочено излъчване, например излъчване от електростатични панели с голяма площ, рупорни радиатори.

Сигналите в различните точки на плоския вълнов лъч се различават по фазата на трептенията. Ако звуковото налягане в определен участък от фронта на равнинната вълна е синусоидално, тогава то може да бъде представено в експоненциална форма p zv = p tv-exp (икот).На разстояние Жпо протежение на лъча, той ще изостане от източника на трептения:

Където г/с све времето, необходимо на една вълна да премине от източник до точка на разстояние Жпо гредата k \u003d (o / c zb \u003d 2g/D - вълново число, което определя фазовото отместване между сигналите във фронтовете на плоска вълна, разположени на разстояние Ж.

Реалните звукови вълни са по-сложни от синусоидалните, но изчисленията, направени за синусоидални вълни, са валидни и за несинусоидални сигнали, ако не считаме честотата за константа, т.е. помислете за сложен сигнал в честотната област. Това е възможно, докато процесите на разпространение на вълните остават линейни.

Вълна, чийто фронт е сфера, се нарича сферична вълна. Лъчите в този случай съвпадат с радиусите на сферата. Сферична вълна се образува в два случая.

• 1. Размерите на източника са много по-малки от дължината на вълната, а разстоянието до източника ни позволява да го разглеждаме като точка. Такъв източник се нарича точков източник.
• 2. Източникът е пулсираща сфера.

И в двата случая се приема, че няма преотражения на вълната, т.е. разглежда се само директната вълна. В областта на електроакустиката няма чисто сферични вълни; това е същата абстракция като плоската вълна. В областта на средно-високите честоти конфигурацията и размерите на източниците не ни позволяват да ги разглеждаме нито като точка, нито като сфера. И в областта на ниските честоти поне подът започва да оказва пряко влияние. Единствената вълна, близка до сферичната, се формира в влажна камера с малки размери на излъчвателя. Но разглеждането на тази абстракция дава възможност да се разберат някои важни аспекти на разпространението на звуковите вълни.

На големи разстояния от излъчвателя сферичната вълна се изражда в плоска вълна.

На разстояние Жот излъчвателя, звуковото налягане може да бъде

представени във формата r sv= -^-exp(/ (ко? т - Да се? G)),Където п-младши- амплитуда

звуково налягане на разстояние 1 m от центъра на сферата. Намаляването на звуковото налягане с отдалечаване от центъра на сферата е свързано с разпространението на мощност върху все по-голяма площ - 4 стр. 2.Общата мощност, протичаща през цялата площ на фронта на вълната, не се променя, така че мощността на единица площ намалява пропорционално на квадрата на разстоянието. И налягането е пропорционално на корен квадратен от мощността, така че намалява пропорционално на действителното разстояние. Необходимостта от нормализиране на налягането на определено фиксирано разстояние (1 m в този случай) е свързана със същия факт на зависимостта на налягането от разстоянието, само в обратна посока - с неограничен подход към точков излъчвател, звуковото налягане (както и вибрационната скорост и изместването на молекулите) нараства неограничено.

Вибрационната скорост на молекулите в сферична вълна може да се определи от уравнението за движение на средата:

Обща осцилаторна скорост v m = ^ sv ^ + към g? фаза

/В е звезда килограма

изместване спрямо звуковото налягане f= -arctgf ---] (Фигура 9.1).

Казано по-просто, наличието на фазово изместване между звуковото налягане и скоростта на вибрациите се дължи на факта, че в близката зона, с отдалечаване от центъра, звуковото налягане намалява много по-бързо, отколкото изостава.

Ориз. 9.1. Зависимостта на фазовото изместване φ между звуковото налягане Ри вибрационна скорост v от h/c(разстояние по лъча до дължина на вълната)

На фиг. 9.1 можете да видите две характерни зони:

• 1) близо g/H" 1.
• 2) далеч g/H" 1.

Радиус на сферата на устойчивост на радиация Ж

Това означава, че не цялата мощност се изразходва за радиация, част се съхранява в някакъв реактивен елемент и след това се връща към излъчвателя. Физически този елемент може да се свърже с прикрепената маса на средата, осцилираща с излъчвателя:

Лесно се вижда, че добавената маса на средата намалява с увеличаване на честотата.

На фиг. 9.2 показва честотната зависимост на безразмерните коефициенти на реалните и въображаемите компоненти на радиационната устойчивост. Радиацията е ефективна, ако Re(z(r)) > Im(z(r)). За пулсираща сфера това условие е изпълнено за кг > 1.

плоска вълнае вълна, чийто фронт е равнина. Спомнете си, че предната част е равнофазна повърхност, т.е. повърхност на еднакви фази.

Приемаме, че в точка O (фиг. 5.1) има точков източник, равнина Рперпендикулярно на оста Z, точки М j и М 2лежи в самолет Р.Приемаме също, че източникът O е толкова далеч от равнината R,какво omj | | ОМ 2 .Това означава, че всички точки в равнината R,което е фронтът на вълната, са равни, т.е. при движение в самолет Рняма промяна на състоянието на процеса:

Ориз. 5.1.

Нека решим уравненията на Хелмхолц

по отношение на векторите на полето и изследване на получените решения.

В този случай от шест уравнения остават само две:

Плоски вълни във вакуум

Решението на диференциалните уравнения (5.1) има формата

къде са корените на характеристичното уравнение

Преминавайки от комплексни вектори към техните моментни стойности, получаваме

Първият термин е предната вълна, а вторият е обратната вълна. Разгледайте първия член в уравнение (5.2). На фиг. 5.2, в съответствие с това уравнение, е показано разпределението на напрегнатостта на електрическото поле в момента t и At. Точки 1 и 2 съответстват на максимумите на напрегнатостта на електрическото поле. Позицията на максимума се е изместила с времето Приот разстояние Аз:

Равенството на стойностите на функцията се осигурява от равенството на аргументите: ooAt = kAz.В този случай получаваме уравнението за фазовата скорост

Снимка 5.2.Графика на промените в напрегнатостта на електрическото поле

За вакуум UV =- , C ° = -j2== 3 10 8 m/s.

W 8 oMo-o V E oMo

Това означава, че във вакуум скоростта на разпространение на електромагнитната вълна е равна на скоростта на светлината. Разгледайте втория член в уравнение (5.2):

Дава UV =-. Това съответства на вълна, разпространяваща се към източника.

Да определим разстоянието хмежду полеви точки с фази, различаващи се на 360°. Това разстояние се нарича дължина на вълната. Тъй като

Където Да сее вълновото число (константата на разпространение), тогава

Дължина на вълната на вакуума X 0= c / /, където c е скоростта на светлината.

Фазова скорост и дължина на вълната съответно в други среди

Както следва от формулата за фазовата скорост, тя не зависи от честотата на електромагнитното поле, което означава, че среда без загуби е недисперсна.

Нека установим връзка между посоките на векторите на електрическото и магнитното поле. Да започнем с уравненията на Максуел:

Заменяме векторните уравнения със скаларни, т.е. приравнете проекциите на векторите в последните уравнения:

Вземаме предвид, че в системата (5.3)

тогава получаваме

От условието (5.4) е очевидно, че плоските вълни нямат надлъжни компоненти, тъй като Ез= О, H 2= 0. Съставете скаларното произведение (E, R), изразявайки E xИ E yот изрази (5.4):

Тъй като точковият продукт на векторите е нула, векторите Йои I в плоска вълна са перпендикулярни един на друг. Поради факта, че нямат надлъжни компоненти, ? и I са перпендикулярни на посоката на разпространение. Нека определим отношението на амплитудите на векторите на електрическото и магнитното поле.

Приемате ли това вектор? насочена по оста Х,съответно E y - 0, H X - 0.

От уравнение (5.4) E x=-Аз съм на ~-E x.Следователно =-=,/- -Z,сое котило добресоя v e

където Z е вълновото съпротивление на средата с макроскопични параметри e и p;

Z 0 - вакуумен импеданс. С висока степен на точност тази стойност може да се счита за вълново съпротивление на сух въздух.

Нека запишем изразите за моментните стойности на I и? падаща вълна с помощта на уравнение (5.2). В резултат на това получаваме

по същия начин

Тъй като падащата вълна се движи по оста zамплитуда? и оставам непроменен, т.е. няма затихване на вълната, тъй като няма токове на проводимост и освобождаване на енергия под формата на топлина в диелектрика.

На фиг. 5.3, Аса показани пространствени криви, които са графики на моментните стойности на R и?. Тези графики се изграждат според получените уравнения за момента от времето кошара= 0. За по-късен момент, например за cot + |/ n = p/2,подобни криви са показани на фиг. 5.3, b.

Ориз. 5.3.

А- при a )t= 0; b - при u>t= n/2

Както се вижда на фиг. 5.3, a и b, вектор дкогато вълната се движи, тя остава насочена по оста Х,а векторът I - по оста y,фазово изместване между I и? Не.

Векторът на Пойнтинг на падащата вълна е насочен по оста z.Неговият модул се променя според закона P = C 2 Z sin 2 ^cot + --zj. Тъй като

sin2a = (1 - cos2a)/2, към 1-cosf 2cot+-- z] , т.е. вектор

2 L V v)_

Посочването има постоянен компонент C 2 Z /2и променяща се във времето променлива с двойна ъглова честота.

Въз основа на анализа на решението на вълновите уравнения могат да се направят следните изводи.

• 1. Във вакуум плоските вълни се разпространяват със скоростта на светлината, в други среди скоростта е ^/e,.p r пъти по-малка.
• 2. Векторите на електрическите и магнитните полета нямат надлъжни компоненти и са перпендикулярни един на друг.
• 3. Съотношението на амплитудите на електрическото и магнитното поле е равно на вълновото съпротивление на средата, в която се разпространяват електромагнитните вълни.

: такава вълна не съществува в природата, тъй като фронтът на плоската вълна започва от $-\backslash mathcal(1)$и завършва на $+\backslash mathcal(1)$което очевидно не може да бъде. В допълнение, една плоска вълна би носила безкрайна мощност и ще е необходима безкрайна енергия, за да се създаде плоска вълна. Вълна със сложен (реален) фронт може да бъде представена като спектър от плоски вълни с помощта на преобразуването на Фурие в пространствени променливи.

Квазиплоска вълна- вълна, чийто фронт е близък до плоския в ограничена област. Ако размерите на областта са достатъчно големи за разглеждания проблем, тогава квазиплоската вълна може приблизително да се разглежда като плоска вълна. Вълна със сложен фронт може да бъде апроксимирана чрез набор от локални квазиравнинни вълни, чиито вектори на фазовата скорост са нормални към реалния фронт във всяка от неговите точки. Примери за източници на квазиравнинни електромагнитни вълни са лазерни, рефлекторни и лещовидни антени: фазовото разпределение на електромагнитното поле в равнина, успоредна на апертурата (излъчващ отвор), е близко до равномерното. С увеличаване на разстоянието от отвора фронтът на вълната придобива сложна форма.

Определение

Уравнението на всяка вълна е решение на диференциално уравнение, наречено вълна. Вълново уравнение за функцията $А$се записва във формата

$\backslash Делта\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$Където

• $\backslash Делта$- оператор на Лаплас;
• $A(\backslash vec(r),t)$- желана функция;
• $r$- радиус вектор на желаната точка;
• $v$- скорост на вълната;
• $T$- време.

Едномерен случай

$\backslash Delta\; W\_k\; =\; \backslash cfrac\; (\backslash rho)\; (2)\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V$ $\backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\; (E)\; (2)\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; x)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; =\; \backslash cfrac\; (\backslash rho\; v^2)\; (2)\; \backslash left\; (\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; x)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; .$

Общата енергия е

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Енергийната плътност, съответно, е равна на

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash вдясно)\; .$

Поляризация

Напишете отзив за статията "Плоска вълна"

Литература

• Савелиев И.В.[Част 2. Вълни. Еластични вълни.] // Курс по обща физика / Под редакцията на Л. И. Гладнев, Н. А. Михалин, Д. А. Миртов - 3-то изд. - М .: Наука, 1988. - Т. 2. - С. 274-315. - 496 стр. - 220 000 копия.

Бележки

Вижте също

Откъс, характеризиращ плоската вълна

- Жалко, жалко за младия човек; дай ми писмо
Веднага щом Ростов имаше време да предаде писмото и да разкаже цялата история на Денисов, бързи стъпки с шпори затропаха от стълбите и генералът, отдалечавайки се от него, се премести на верандата. Господата от свитата на суверена изтичаха надолу по стълбите и отидоха при конете. Хазяинът Ене, същият, който беше в Аустерлиц, доведе коня на суверена и по стълбите се чу леко скърцане на стъпала, което Ростов сега разпозна. Забравил за опасността да бъде разпознат, Ростов се премести с няколко любопитни жители на самата веранда и отново, след две години, видя същите черти, които обожаваше, същото лице, същия поглед, същата походка, същата комбинация от величие и кротост ... И чувство на наслада и любов към суверена със същата сила възкръсна в душата на Ростов. Суверенът в униформата на Преображенски, в бели гамаши и високи ботуши, със звезда, която Ростов не познаваше (беше legion d "honneur) [звезда на Почетния легион] излезе на верандата, държейки шапката си под мишница и сложи ръкавица.Той спря,огледа се и всичко осветяваше с поглед обкръжението си.Каза няколко думи на някои от генералите.Позна и бившия началник на дивизията Ростов,усмихна му се и го повика при себе си.
Цялата свита се оттегли и Ростов видя как този генерал говори нещо на суверена за известно време.
Императорът му каза няколко думи и направи крачка, за да се приближи до коня. Отново тълпа от свита и тълпа от улицата, в която беше Ростов, се приближиха до суверена. Спрял до коня и хванал седлото с ръка, императорът се обърнал към кавалерийския генерал и заговорил високо, явно с желание всички да го чуят.
„Не мога, генерале, и следователно не мога, защото законът е по-силен от мен“, каза императорът и постави крака си в стремето. Генералът наведе почтително глава, суверенът седна и препусна по улицата. Ростов, извън себе си от възторг, тичаше след него с тълпата.

На площада, където отиде суверенът, батальонът на Преображенците стоеше лице в лице отдясно, батальонът на френската гвардия в мечи шапки отляво.
Докато суверенът се приближаваше до единия фланг на батальоните, които бяха заели стража, друга тълпа конници скочи на противоположния фланг и пред тях Ростов разпозна Наполеон. Не можеше да е някой друг. Той яздеше в галоп в малка шапка, с Андреевска лента през рамо, в синя униформа, отворена върху бяла камизола, на необичайно чистокръвен арабски сив кон, на червено, бродирано със злато седло. Приближавайки се до Александър, той вдигна шапката си и с това движение кавалерийското око на Ростов не можеше да не забележи, че Наполеон зле и не седи здраво на коня си. Батальоните извикаха: Ура и Виве л „Император! [Да живее императорът!] Наполеон каза нещо на Александър. И двамата императори слязоха от конете си и се хванаха за ръце. Наполеон имаше неприятна фалшива усмивка на лицето си. Александър с нежен изражението му каза нещо.
Ростов не откъсна очи, въпреки тъпченето на конете на френските жандарми, обсаждащи тълпата, следваха всяко движение на император Александър и Бонапарт. Като изненада той беше поразен от факта, че Александър се държеше като равен с Бонапарт и че Бонапарт беше напълно свободен, сякаш тази близост със суверена му беше естествена и позната, като равен се отнасяше към руския цар.
Александър и Наполеон с дълга опашка от свита се приближиха до десния фланг на Преображенския батальон, точно към тълпата, която стоеше там. Тълпата неочаквано се оказа толкова близо до императорите, че Ростов, който стоеше в първите й редици, се уплаши да не го разпознаят.
- Sire, je vous requeste la permission de donner la legion d "honneur au plus brave de vos soldats, [Сър, моля ви за разрешение да дам ордена на Почетния легион на най-храбрия от вашите войници,] каза рязко , точен глас, завършващ всяка буква. Това каза Бонапарт, нисък на ръст, гледащ право в очите на Александър отдолу.
- A celui qui s "est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [На този, който се показа най-храбър по време на войната]", добави Наполеон, произнасяйки всяка сричка, с възмутително спокойствие и увереност за Ростов, който се оглеждаше редиците на руснаците се простираха пред него войници, държаха всичко нащрек и гледаха неподвижно в лицето на своя император.
- Votre majeste me permettra t elle de demander l "avis du colonel? [Ваше величество ще ми позволите ли да попитам мнението на полковника?] - каза Александър и направи няколко припряни крачки към княз Козловски, командир на батальона. Междувременно Бонапарт започна да свали бялата си ръкавица, малка ръка и я разкъса, той я хвърли. Адютантът, който се втурна бързо напред отзад, я вдигна.
- На кого да дам? - не високо, на руски, попита император Александър Козловски.
- На кого нареждате, Ваше Величество? Суверенът направи гримаса на недоволство и, оглеждайки се, каза:
„Да, трябва да му отговориш.
Козловски погледна към редиците с решителен вид и в този поглед улови и Ростов.
„Не съм ли аз?“ — помисли Ростов.
- Лазарев! — заповяда намръщено полковникът; и първият войник Лазарев бодро пристъпи напред.
- Къде си? Спри тук! - шепнеха гласове на Лазарев, който не знаеше накъде да отиде. Лазарев спря, като погледна уплашено полковника и лицето му трепна, както се случва на войниците, повикани на фронта.
Наполеон леко обърна глава назад и дръпна назад малката си пълничка ръка, сякаш искаше да вземе нещо. Лицата на свитата му, които в същия миг се досетиха за какво става въпрос, се смутиха, шепнеха, предаваха си нещо, а пажът, същият, който Ростов беше видял вчера при Борис, изтича напред и почтително се наведе над протегнатата ръка и не я накара да чака нито миг.една секунда, поставете поръчка на червена панделка в него. Наполеон, без да гледа, стисна два пръста. Орденът се озова между тях. Наполеон се приближи до Лазарев, който, въртейки очи, упорито продължаваше да гледа само своя суверен и погледна назад към император Александър, показвайки с това, че това, което прави сега, той прави за своя съюзник. Малка бяла ръка със заповед докосна копчето на войника Лазарев. Сякаш Наполеон знаеше, че за да бъде този войник щастлив, възнаграден и отличаван завинаги от всички останали в света, беше необходимо само ръката на Наполеон да благоволи да докосне гърдите на войника. Наполеон само сложи кръста на гърдите на Лазарев и като отпусна ръката си, се обърна към Александър, сякаш знаеше, че кръстът трябва да се придържа към гърдите на Лазарев. Кръстът наистина се заби.

Започваме изучаването на вълните с най-простия случай на едномерно движение на среда, когато всички характеристики на вълната зависят само от една декартова координата, например координатата x. Повърхностите, на които фазата на дадена вълна има еднаква стойност, се наричат ​​вълнови фронтове. В този случай фронтовете са равнини

Тъй като налягането се променя само в посока, перпендикулярна на фронтовете, скоростта на частиците при едномерно движение също е насочена перпендикулярно на фронтовете.

За едномерно звуково поле може да се намери общо решение на вълновото уравнение, което в този случай приема формата

Нека направим промяна на променливите в това уравнение

Частичните производни на налягането по отношение на и по отношение на x се изразяват чрез производни по отношение на нови променливи, както следва:

Повтаряйки диференциацията, намираме

Замествайки получените изрази във вълновото уравнение, получаваме

От това следва, че частната производна dr/da трябва да бъде независима от променливата; тя може да се счита за произволна

функция от:

Интегрирайки върху a, намираме

където са също произволни функции на техните аргументи. Връщайки се към първоначалните променливи, откриваме, че общото решение на едномерното вълново уравнение - така нареченото "решение на д'Аламберт" - има формата

Всяка функция от или от ще представлява пътуваща равнинна вълна: първата е вълна, движеща се надясно, втората е вълна, пътуваща наляво. Общото решение на едномерния проблем се свежда до сумата от две плоски вълни с произволна форма, движещи се една към друга. Всяка от тези вълни поотделно се движи в посока на положителната (или отрицателната) ос x като твърдо тяло със скорост c.

По този начин въвеждането на концепцията за скорост за равнинна вълна, разпространяваща се в среда, става оправдано. Въпреки това е двусмислено. Въвеждайки тази концепция, ние имплицитно приемаме, че вълната се движи като твърдо тяло по посока на оста x. Но картината изобщо няма да се промени, ако приемем, че смущението се движи като твърдо тяло в посока, която сключва ъгъл с оста x със скорост , както е показано на фиг. 17.1 за синусоида. И двата случая са фундаментално неразличими, тъй като състоянията на смущението на средата във всяка точка от един и същ вълнов фронт са неразличими. Затова засега ще считаме това определение за посоката и големината на скоростта на вълната за условно. По-долу, в гл. III, ще видим, че има и принудителни причини да се приеме точно такова определение, освен очевидното удобство.

Представяме обобщение на най-важните връзки между характеристиките на пътуваща плоска вълна. Нека налягането във вълната е дадено като

където горният знак съответства на вълна, движеща се в положителна посока, а долният знак съответства на отрицателната посока на оста x. Връзката между налягането, скоростта и компресията в пътуваща вълна има формата

Следователно, използвайки (14.2), намираме повече отношения

Секциите на средата, в които компресията (а оттам и налягането) са положителни, се движат по посока на вълната, а секциите с отрицателно налягане се движат към вълната. Частиците, при които звуковото налягане е нула, също имат скорост, равна на нула.

Ориз. 17.1. Двуизмерен профил на налягане в плоска синусоидална вълна в равнина, минаваща през посоката на разпространение на вълната. Вълново движение в посока a със скорост c е неразличимо от движение в посока със скорост .

Ако винаги считаме посоката на вълната за положителна, тогава компресираните участъци ще се движат в положителна посока, а разредените участъци от средата ще се движат в отрицателна посока, а във формули (17.2) и (17.3) винаги можете да вземете знакът плюс. Съотношението на скоростта на частиците към налягането в пътуващата вълна при този избор на положителна посока във всеки момент е равно на стойността

Това съотношение се нарича вълнова проводимост на средата. Тя не зависи от формата на вълната, а само от свойствата на средата.

Стойността на проводимостта на обратната вълна се нарича вълново съпротивление на средата.

Всички дадени тук формули са валидни само при липса на дисперсия.

Полученият от нас запис на плоска бягаща вълна е свързан с избора на оста х в посоката на разпространение на вълната. Да пишем

уравнение на равнинна вълна във векторна форма. Това ще позволи в бъдеще да се получи израз за плоска вълна във всяка координатна система.

За да направим това, въвеждаме вектор, перпендикулярен на вълновите фронтове и равен по абсолютна стойност на реципрочната на скоростта: Векторът ще се нарича вектор на бавността на вълната. Нека обозначим радиус вектора на произволна точка от средата, изтеглен от началото на координатите, с Очевидно, Следователно, уравнението на пътуваща равнинна вълна може да бъде записано като

Ориз. 17.2. Вектор на забавяне на плоска вълна и неговите проекции върху координатни оси и координатни равнини. Удебелените стрелки са векторът на забавяне на оригиналната вълна и векторите на забавяне на следите на вълната по оста x и в равнината

Последният запис не е свързан с избора на координатна система. Ако за равнинна движеща се вълна зависимостта на налягането от времето в дадена точка е известна и е известен векторът на бавност 5, тогава вълновото уравнение ще бъде получено чрез заместване на времето в тази зависимост с бином (където радиус векторът се извлича от дадена точка). Връзката (17.2) между скоростта на частиците и налягането в плоска вълна може да бъде записана с помощта на вектора на бавността във векторна форма:

Използвайки (17.5), можем да напишем израза за вълната в координатна форма за всяко местоположение на координатните оси спрямо посоката на разпространение на вълната:

Ето проекциите на вектора на бавността върху координатните оси; ъглите на вектора на забавяне с координатните оси (фиг. 17.2).

„Следата“ на плоска вълна по някаква ос, например по оста, може да се разглежда като едномерна вълна, движеща се по оста x. По подобен начин „следата" на вълна върху някаква равнина, например равнина, може да се разглежда като двумерна вълна, движеща се по равнина. Времевата зависимост на всички величини, характеризиращи вълната, е еднаква във всички следи, както в оригинала

вълна, но бавността на следите е различна: те са равни на проекциите на вектора на бавността на оригиналната вълна върху съответните оси или равнини. И така, бавността на следата по оста x е , а бавността на следата в равнината е .

Векторът на бавността на оригиналната плоска вълна и бавността на нейните следи върху осите и равнините на координатите са в същата връзка помежду си като вектора на скоростта на движеща се материална точка и скоростта на нейните проекции върху осите и върху самолет. С вълновия подход към акустичните процеси векторът на бавността е понятие, което има пряко физическо значение, точно както векторът на скоростта има значение в механиката на материалните точки. Концепцията за вектор на скоростта за вълни няма повече смисъл от концепцията за вектор на бавност за движеща се точка. Само за едномерни движения, когато скоростта или бавността могат да се разглеждат като скалари и няма въпрос за проекции или следи от разглеждания обект, би било възможно да се приложи концепцията за скорост и бавност на еднаква основа както за вълните и за материални точки. Винаги е приложимо за тези и за други обекти и концепцията за бавност или скорост по модул. В този смисъл обикновено се говори за скорост на вълните, а не за бавност; но това се казва само по навик: ние по-често обсъждаме движението на телата, отколкото на вълните.

Фактът, че за вълните понятието вектор на скоростта няма смисъл и понятието вектор на бавността на вълната заема негово място, е свързано с фундаменталната разлика между механиката на вълните и механиката на материалните точки, за която вече говорихме относно в § 1.

> Сферични и плоски вълни

Научете се да различавате сферични и плоски вълни. Прочетете каква вълна се нарича плоска или сферична, източника, ролята на вълновия фронт, характеристиката.

сферични вълнивъзникват от точков източник в сферичен модел и апартаментса безкрайни успоредни равнини, нормални към вектора на фазовата скорост.

Учебна задача

• Изчислете източници на сферични и плоски вълнови модели.

Ключови точки

• Вълните създават конструктивни и разрушителни смущения.
• Сферичните възникват от един точков източник в сферична форма.
• Плоската вода е честота, чиито вълнови фронтове действат като безкрайни успоредни равнини със стабилна амплитуда.
• В действителност няма да се получи идеална плоска вълна, но мнозина се доближават до такова състояние.

Условия

• Разрушителна интерференция - вълните се намесват една в друга и точките не съвпадат.
• Конструктивен - вълните се намесват и точките са разположени в еднакви фази.
• Вълновият фронт е въображаема повърхност, простираща се през осцилиращи точки в средната фаза.

сферични вълни

Какво е сферична вълна? Кристиан Хюйгенс успява да разработи метод за определяне на метода и мястото на разпространение на вълната. През 1678 г. той предполага, че всяка точка, която среща светлинно препятствие, се превръща в източник на сферична вълна. Сумирането на вторичните вълни изчислява изгледа по всяко време. Този принцип показа, че при контакт вълните създават разрушителна или конструктивна намеса.

Конструктивните се образуват, ако вълните са напълно във фаза една с друга, а крайната се усилва. При разрушителните вълни те не съвпадат по фаза и крайната просто се редуцира. Вълните произхождат от един точков източник, така че те се образуват в сферичен модел.

Ако вълните се генерират от точков източник, тогава те действат като сферични

Този принцип прилага закона за пречупване. Всяка точка от една вълна създава вълни, които си взаимодействат конструктивно или разрушително.

плоски вълни

Сега нека разберем какъв вид вълна се нарича плоска вълна. Равнината представлява честотна вълна, чиито фронтове са безкрайни успоредни равнини със стабилна амплитуда, разположени перпендикулярно на вектора на фазовата скорост. В действителност е невъзможно да се получи истинска плоска вълна. Само плосък с безкрайна дължина може да се мери с него. Вярно, много вълни се доближават до това състояние. Например антената генерира поле, което е приблизително плоско.

Плоските показват безкраен брой вълнови фронтове, нормални към страната на разпространението