Умножаване на естествени числа и неговите свойства. Работа (математика)
Ако концертната зала е осветена с 3 полилея 25 електрически крушки, след това електрическите крушки в тези полилеи ще бъдат 25 + 25 + 25, които са 75.
Сумата, в която всички компоненти са равни един на друг, са накратко: вместо 25 + 25 + 25 пишат 25 3. така, 25 3 \u003d 75 (фиг. 43). Номер 75 се нарича работа Числа 25 и 3 и числа 25 и 3 се обадиха мултипликатори.
Фиг. 43. Продуктът от числа 25 и 3
Умножете се умножете m до естественото число n е да намерите количеството n на условията, всеки от които е М.
Изразът m n и стойността на този израз се наричат работа числам.ин.. Числа, които променят повикването мултипликатори. Тези. M и n - мултипликатори.
Работи 7 4 и 4 7 са равни на същия номер 28 (фиг. 44).
Фиг. 44. Производство 7 4 \u003d 4 7
1. Продуктът от две числа не се променя, когато мултипликателите са разрешени.
движение
а. × б. = б. × а. .
Произвежда (5 3) 2 \u003d 15 2 и 5 (3 2) \u003d 5 6 имат една и съща стойност 30. така, 5 (3 2) \u003d (5 3) 2 (фиг. 45).
Фиг. 45. Работа (5 3) 2 \u003d 5 (3 2)
2. За да умножите номера на работата на две числа, първо можете да я умножите на първия мултипликатор, а след това полученият продукт се умножи по втория фактор.
Това свойство на умножение се нарича комбиниране. С помощта на писма е написано така:
но (б. в) \u003d (иб. от).
Сумата на термините, всяка от които е 1, равна на n. Следователно равенството 1 n \u003d n е вярно.
Сумата на термините, всяка от които е нула, е нула. Следователно равенството е 0 n \u003d 0.
За да може програмата за умножение да бъде правилна, когато n \u003d 1 и n \u003d 0 беше договорено, че m 1 \u003d m и m 0 = 0.
Пред умножаването на буквите, знакът за умножение обикновено: вместо 8 х. Напишете 8. х., вместо ноб. пиша ноб..
Намалете знака за умножение и пред скобите. Например, вместо 2 ( a +.б.) Напишете 2. (A +.б.) и вместо това ( х. + 2) (Y + 3) Писане (X + 2) (Y + 3).
Вместо aB.) C Писание аВС.
Когато в записите няма скоби, умножението се извършва в ред от ляво на дясно.
Работи чета, призовавайки всеки множител в родителския случай. Например:
1) 175 60 - Работете сто седемдесет и шест и шестдесет;
2) 80 (х. + 1 7) - производство r.p. R.P.
осемдесет и количеството x и седемнадесет
Ще решим задачата.
Колко трицифрени числа (фиг. 46) могат да бъдат направени от числа 2, 4, 6, 8, ако номерата в номерите не се повтарят?
Решение.
Първият брой числа може да бъде всеки от четириномера на данни, втори - всеки от тридруги, а третата - която и да е от двеостават. Оказва се:
Фиг. 46. \u200b\u200bПроблемът с компилирането на трицифрени числа
Общо тези номера могат да бъдат 4 3 2 \u003d 24 три цифри.
Ще решим задачата.
Съветът на компанията включва 5 души. От своя състав, дъската трябва да избере президента и вицепрезидента. Колко начина може да се направи?
Решение.
Президентът на компанията може да бъде избран за един от 5 души:
Президентът:
След като президентът бъде избран, заместник-председателят може да избере някой от четирите останали членове на борда (фиг. 47):
|
Фиг. 47. Проблемът с изборите
Така че можете да изберете президента с пет начина, и за всеки председател на президента, четири начина, по които можете да изберете заместник-председателя. Следователно, общ брой Начини за избор на президент и заместник-председател на фирмата е: 5 4 \u003d 20 (виж фиг. 47).
Ние все още ще зададем.
От село Аниксеево се провеждат четири пътища в село Болшаро и три пътища в село Виноградов - три пътища (фиг. 48). Колко начина могат да бъдат постигнати от Аникев във Виноградов през село Болово?
Фиг. 48. За да зададените пътища
Решение.
Ако се качите на 1-ви път от в Б, тогава има три начина да продължите пътя (фиг. 49).
Фиг. 49. Опции за път
По същия начин получаваме три начина да продължим пътя, започвайки да се качваме в 2-ри и 3-та и на 4-ия път. Така че, се оказва 4 3 \u003d 12 начина да стигнете от Аникев във Виноградов.
Ние решаваме друга задача.
Семейство, състоящо се от баба, татко, мама, дъщери и син, представи 5 различни чаши. Колко начина могат да бъдат разделени на чаши между членове на семейството?
Решение. На първия член на семейството (например баби) има 5 опции за избор, следното (нека бъде татко) остава 4 опции. Следващият (например мама) ще избере от 3 чаши, следното - на двете, последният получава една останала чаша. Ние показваме тези методи в диаграмата (фиг. 50).
Фиг. 50. Схема за решаване на проблема
Те имаха, че всеки избор на чаша баба съответства на четири възможни избора на татко, т.е. Общо 5 по 4 начина. След като татко избра чаша, мама има три възможности, дъщерята има двама, синът е един, т.е. Общо 3 2 1 начина. Накрая получаваме това за решаване на проблема е необходимо да се намери продукт 5 4 3 2 1.
Обърнете внимание, че имаме продукт от всички естествени числа от 1 до 5. Такива работи са накратко:
5 4 3 2 1 \u003d 5! (Прочетете: "Пет факторат").
Факториални номера - продукта на всички естествени числа от 1 към този номер.
Така че, отговорът е: 5! \u003d 120, т.е. Купите между членовете на семейството могат да бъдат разпределени по двадесет начина.
В тази статия ще се справим с това как умножаване на цели числа. Първо въвеждаме термини и нотация, както и да разберем смисъла на умножаване на две цели числа. След това получаваме правилата за умножаване на две цели положителни, цели отрицателни и цели числа различни знаци. В този случай ще дадем примери с подробно обяснение на решението на решението. Също така повдигаме случаи на умножение на цели числа, когато един от мултипликателите е равен на една или нула. След това ще се научим да проверяваме получения резултат за умножение. И накрая, нека поговорим за умножение на три, четири и повече цели числа.
Навигация.
Условия и уведомяване
За да опишем умножаването на цели числа, ние ще използваме същите термини, с които описахме умножението на естествените числа. Ги припомни.
Умножете целочислените числа се наричат мултипликатори. Резултатът от умножението се нарича работа. Умножаването на действие се обозначава с знак за умножаване на вида "·". В някои източници можете да отговаряте на обозначението за умножение чрез знаци "*" или "×".
Умножаването на цели числа А, В и резултатът от тяхното умножение C е удобно записан с равенство на формуляра A · B \u003d c. В този запис, цяло число А е първият фактор, цяло число В - вторият фактор, а броят C е работа. Видът A · B също ще се нарича работа, както и стойността на този израз c.
Тичам напред, отбелязваме, че продуктът от две цели числа е цяло число.
Значението на умножаването на цели числа
Умножаване на цели положителни числа
Цели положителни числа са естествени числа, така че умножаване на цели положителни числа Тя се извършва съгласно всички правила за умножаване на естествените числа. Ясно е, че в резултат на умножаване на две цели числа ще бъде получено цяло положително число (естествено число). Помислете за няколко примера.
Пример.
Какъв е продуктът от всички положителни числа 127 и 5?
Решение.
Първият фактор 107 ще присъства под формата на сумата на термините за освобождаване от отговорност, която е под формата на 100 + 20 + 7. След това използваме правилото за умножаване на броя на номерата за този номер: 127 · 5 \u003d (100 + 20 + 7) · 5 \u003d 100 · 5 + 20 · 5 + 7,5. Той остава само за завършване на изчислението: 100 · 5 + 20 · 5 + 7 · 5 \u003d 500 + 100 + 35 \u003d 600 + 35 \u003d 635.
По този начин, продуктът на тези цели числа 127 и 5 е 635.
Отговор:
127 · 5 \u003d 635.
За умножаване на многоцелево цяло число, удобно е да се използва метод за умножение от колона.
Пример.
Умножете трицифрено цяло число положително число 712 на двуцифрено цяло число положително число 92.
Решение.
Извършете умножаването на данни на цели числа в колоната: 
Отговор:
712 · 92 \u003d 65 504.
Правилото за умножаване на цели числа с различни признаци, примери
Да се \u200b\u200bформулира правило за умножение на цели числа с различни знаци, ще ни помогнете със следния пример.
Изчисляваме продукта от цялото отрицателно число -5 и цяло положително число 3 въз основа на значението на умножаването. Така (-5) · 3 \u003d (- 5) + (- 5) + (- 5) \u003d - 15. За да запазят валидността на имуществото за умножение, трябва да се извърши равенство (-5) · 3 \u003d 3 · (-5). Това означава, че продуктът 3 · (-5) също е равен на -15. Лесно е да се види, че -15 е равен на продукта на първоначалните модули за множители, откъдето следва, че продуктът на първоначалните цели числа с различни признаци е равен на продукта на първоначалните мултипликатори, взети с минус знак.
Така че имаме правилото за умножаване на цели числа с различни признаци: За да умножите две цели числа с различни знаци, трябва да умножите модулите на тези цифри и да поставите минус знак преди получения номер.
От изразеното правило може да се заключи, че продуктът на цели числа с различни признаци винаги е цялостно отрицателно число. Всъщност, в резултат на мултипликатори модули, ние ще получим цялостен положителен брой и ако имате минус знак преди този номер, той ще стане цял отрицателен.
Помислете за примери за изчисляване на продукта на цели числа с различни признаци, използвайки получения резултат.
Пример.
Умножаване на целочислото положително число 7 към цялото отрицателно число -14.
Решение.
Използваме правилото за умножаване на цели числа с различни признаци. Множителните модули са равни, съответно, 7 и 14. Изчислете продукта на модулите: 7 · 14 \u003d 98. Той остава преди полученият номер да се постави минус знак: -98. Така, 7 · (-14) \u003d - 98.
Отговор:
7 · (-14) \u003d - 98.
Пример.
Изчислете продукта (-36) · 29.
Решение.
Трябва да изчислим продукта на цели числа с различни признаци. За да направите това, изчисляваме продукта на абсолютните величини на множителите: 36 · 29 \u003d 1 044 (умножение е по-добре да се харчат в колоната). Сега поставете подписването на минус пред броя 1 044, получаваме -1 044.
Отговор:
(-36) · 29 \u003d -1 044.
В заключение на този параграф, ние доказваме справедливостта на равенството A · (-b) \u003d - (A · B), където А и Б са произволни цели числа. Специален случай на това равенство е изразено правило за умножаване на цели числа с различни признаци.
С други думи, трябва да докажем, че стойностите на изразите A · (-b) и A · B са противоположни числа. За да го докажете, ще намерим количеството a · (-b) + a · b и се уверете, че е нула. Благодарение на разпределителните свойства на умножаване на цели числа по отношение на добавянето, равенството A · (-b) + A · B \u003d A · ((((- B) + B). Сумата (-b) + B е нула, тъй като сумата от противоположните цели числа, след това a · ((- b) + b) \u003d a · 0. Последната работа е нула от имуществото на умножаване на цяло число на нула. Така, a · (-b) + a · b \u003d 0, следователно, · (-b) и a · b са противоположни числа, където следва равенството a · (-b) \u003d - (a · b) следва. По същия начин може да се покаже, че (-а) · b \u003d - (a · b).
Правило за умножаване на отрицателни цели, примери
За да се получи правило за умножаване на два цели отрицателни числа, ще ни помогнете равенство (-) · (-b) \u003d A · B, което сега доказваме.
В края на предишния параграф показаме, че a · (-b) \u003d - (a · b) и (-a) · b \u003d - (a · б), за да можем да запишем следващата верига от равенства (-А) · (-b) \u003d - (a · (-b)) \u003d - (- (a · b)). И полученият израз - (- (A · б)) не е нищо повече от a · b поради определението за противоположни числа. Така (-a) · (-b) \u003d a · b.
Доказано равенство (-a) · (-b) \u003d a · b ви позволява да формулирате правило за умножаване на цели отрицателни числа: Продуктът от две отрицателни числа е равен на продукта на модулите на тези числа.
От гласовото правило следва, че резултатът от умножаването на две цели отрицателни числа е цяло число положително число.
Помислете за прилагането на това правило при извършване на умножаване на цели отрицателни числа.
Пример.
Изчислете продукта (-34) · (-2).
Решение.
Трябва да умножим две отрицателни цели числа -34 и -2. Използваме съответното правило. За това откриваме множители модули: и. Остава да се изчисли продуктът от числа 34 и 2, който можем да направим. Накратко всичко, което може да бъде написано така (-34) · (-2) \u003d 34 · 2 \u003d 68.
Отговор:
(-34) · (-2) \u003d 68.
Пример.
Умножаване на целочисленото отрицателно число -1 041 към цялото отрицателно число -538.
Решение.
Според правилото за умножаване на цели отрицателни числа, желаната работа е равна на продукта на модулите на множителите. Множителните модули са равни, съответно, 1 041 и 538. Извършете умножение по сцената: 
Отговор:
(-1 041) · (-538) \u003d 560 058.
Умножаване на цяло число на единица
Умножаването на цяло число А на единица води до номер a. Вече споменахме това, когато обсъдихме смисъла на умножаване на две цели числа. Така че · 1 \u003d a. Поради предаването на свойствата на умножаването, равенството a · 1 \u003d 1 · a трябва да бъде справедливо. Следователно, 1 · a \u003d a.
Горните аргументи ни водят до правилото за умножение на две цели числа, единият от които е равен на един. Продукта на две цели числа, в които един от мултипликателите е единицата, равна на друг мултипликатор.
Например, 56 · 1 \u003d 56, 1 · 0 \u003d 0 и 1 · (-601) \u003d - 601. Даваме още няколко примера. Продуктът на цели числа -53 и 1 е -53, и резултатът от умножение на единица и отрицателно цяло число -989 981 е числото -989 981.
Умножаване на цял номер до нула
Съгласихме се, че продуктът от цялото ничение от нула е нула, т.е. 0 \u003d 0. Разнообразието от умножение ни кара да приемем равенството 0 · a \u003d 0. По този начин, продукта на две цели числа, в които поне един от мултипликателите е нула, равен на нула. По-специално, резултатът от умножение на нула до нула е нула: 0 · 0 \u003d 0.
Даваме няколко примера. Продуктът на цяло число положително число 803 и нула е нула; Резултат от умножаването на нула до цялото отрицателно число -51 е нула; Също (-90 733) · 0 \u003d 0.
Отбелязваме също, че продуктът от две цели числа тогава и едва тогава е нула, когато поне един от мултипликателите е нула.
Проверка на резултата от умножаването на цели числа
Проверете резултата от умножаване на две цели числа извършени от разделение. Необходимо е да се раздели получената работа върху един от факторите, ако се получи броят, равен на друг мултипликатор, тогава умножението е изпълнено. Ако някой номер е различен от друг допълнителен, тогава някъде е направена грешка.
Помислете за примерите, в които се проверява резултатът от умножаването на цели числа.
Пример.
В резултат на умножаване на две цели числа -5 и 21, номерът -115 е получен, работата се изчислява правилно?
Решение.
Извършване на чек. За да направите това, ние разделяме изчисления продукт -115 на фактор, например на -5., Проверете резултата. (-17) · (-67) \u003d 1 139.
Умножение на три и повече цели числа
Комбинираното свойство на умножение на цели числа ни позволява определено да определим продукта от три, четири и повече цели числа. В същото време останалите свойства на умножаване на цели числа позволяват да се твърди, че продуктът от три и повече цели числа не зависи от метода за подреждане на скоби и по реда за следване на множителите в работата. Подобни изявления, които оправдахме, когато говореха за умножаването на трите и по-естествени числа. В случай на цели фактори, обосновката е напълно съвпаднала.
Помислете за решението на примера.
Пример.
Изчислете продукта от пет цели числа 5, -12, 1, -2 и 15.
Решение.
Можем последователно отляво на право да заменим два съседни фактора чрез тяхната работа: 5 · (-12) · 1 · (-2) · 15 \u003d (-60) · 1 · (-2) · 15 \u003d (-60) · (-2) · 15 \u003d 120 · 15 \u003d 1 800. Тази възможност за изчисляване на работата съответства на следния метод за полагане на скоби: (((-12)) · 1) · (-2)).
Можем също така да пренаредим някои факторни места и да подредим скоби в противен случай, ако това позволи да се изчисли продуктът от тези пет цели числа по-рационално. Например, е възможно да се пренареждат мултипликатори в следния ред 1 · 5 · (-12) · (-2) · 15, след което скобите подреждат така ((1,5) · (-12)) · ((- 2) · 15). В този случай изчисленията ще бъдат такива: ((1,5) · (-12)) · ((- 2) · 15) \u003d (5 · (-12)) · ((- 2) · 15) \u003d (-60) · (-30) \u003d 1 800.
Както виждаш различни варианти Договореностите на скобите и различен ред на факторите ни доведоха до същия резултат.
Отговор:
5 · (-12) · 1 · (-2) · 15 \u003d 1 800.
Отделно отразяваме, че ако в работата на три, четири и т.н. В цели числа поне един от факторите е нула, тогава работата е нула. Например, продуктът от четири цели числа 5, -90 321, 0 и 111 е нула; Резултатът от умножаване на три цели числа 0, 0 и -1 983 също е нула. Обратното изявление също е вярно: ако работата е нула, тогава поне един от мултипликателите е нула.
Ще анализираме концепцията за умножение чрез примера:
Туристите бяха на път за три дни. Всеки ден те преминаха по същия път от 4200 м. Какво разстояние отидоха в продължение на три дни? Решете задачата по два начина.
Решение:
Помислете подробно задачата.
На първия ден туристите преминаха 4200 метра. В днешния ден същият път беше туристите от 4200 метра и на третия ден - 4200 метра. Пишем математическия език:
4200 + 4200 + 4200 \u003d 12600м.
Следователно виждаме модела 4200 повтори три пъти, следователно можете да замените сумата чрез умножение:
4200⋅3 \u003d 12600м.
Отговор: Туристите преминаха 12 600 метра за три дни.
Помислете за пример:
За да не напишете дълъг вход, можете да го напишете под формата на умножение. Числото 2 се повтаря 11 пъти. Следователно, пример с умножение ще изглежда така:
2⋅11=22
Обобщавам. Какво е умножение?
Умножение- Това е действие, което заменя повторението на n пъти понятието М.
Записването M⋅n и резултатът от този израз се нарича производство на числаи номерата m и n се наричат мултипликатори.
Помислете за това, което е било казано при примера:
7⋅12=84
Изявление 7212 и резултатът 84 се наричат производство на числа.
Номера 7 и 12 се наричат мултипликатори.
В математиката има няколко закона за умножение. Разгледайте ги:
Умножаване на закона за движение.
Помислете за задачата:
Дадохме две ябълки на нашите приятели. Математически запис ще изглежда така: 2⋅5.
Или дадохме 5 ябълки на нашите двама приятели. Математически запис ще изглежда така: 5⋅2.
В първия и втория случай ще разпределим същото количество ябълки, равни на 10 броя.
Ако умножим 2⋅5 \u003d 10 и 5⋅2 \u003d 10, резултатът няма да бъде променен.
Собственост на движението за умножение:
От сменяемите места на множителите работата не се променя.
м.⋅
н.\u003d N⋅.м.
Комбинирания закон за умножаване.
Помислете за примера:
(2⋅3) ⋅4 \u003d 6⋅4 \u003d 24 или 2⋅ (3⋅4) \u003d 2⋅12 \u003d 24 Вземи,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(а.⋅
б.) ⋅
° С.=
а.⋅(б.⋅
° С.)
Собственост на комбиниран закон за умножение:
За да умножите броя на двата номера, първо можете да я умножите до първия фактор, а след това полученият продукт се умножава към втория.
Чрез промяна на няколко мултипликатори на места и влизане в скоби, резултатът или работата няма да се променят.
Тези закони са верни за всички естествени числа.
Умножаване на естествения номер на единица.
Помислете за пример:
71 \u003d 7 или 1⋅7 \u003d 7
а.⋅1 \u003d a или 1⋅а.=
а.
Когато се умножи всеки естествен номер на единица, работата винаги ще бъде същата.
Умножаване на естествения номер на нула.
6⋅0 \u003d 0 или 0⋅6 \u003d 0
а.⋅0 \u003d 0 или 0⋅а.=0
Когато се умножи всяко естествено число до нула, продуктът ще бъде нула.
Въпроси към тема "Умножение":
Какъв е броят на номерата?
Отговор: броят на номерата или умножението на номерата се нарича експресията M⋅n, където m е терминът, и n е броят на повторенията на този термин.
Защо се нуждаете от умножение?
Отговор: За да не пишете дълго добавяне на числа, но да пишете съкратено. Например, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \u003d 3⋅6 \u003d 18
Какъв е резултатът от умножаването?
Отговор: стойността на работата.
Какво означава умножение 3⋅5?
Отговор: 3⋅5 \u003d 5 + 5 + 5 \u003d 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \u003d 15
Ако умножите един милион до нула, каква ще бъде равнището на работа?
Отговор: 0.
Пример номер 1:
Замяна на количеството работа: а) 12 + 12 + 12 + 12 + 12 b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
Отговор: a) 12⋅5 \u003d 60 б) 3⋅9 \u003d 27
Пример номер 2:
Запишете под формата на работа: а) A + A + A + A B) C + C + C + C + C + C + C
Решение:
а) a + a + a + a \u003d 4⋅a
б) C + C + C + C + C + C + C \u003d 7⋅S
Номер 1:
Мама купи 3 бонбони. Във всяка кутия от 8 бонбони. Колко бонбони купи мама?
Решение:
В една кутия от 8 бонбони и имаме такива кутии от 3 броя.
8 + 8 + 8 \u003d 8⋅3 \u003d 24 бонбони
Отговор: 24 бонбони.
Номер на задача 2:
Учителят на рисуването каза, че подготвя осемте си ученика за седем моливи на урока. Колко моливи са били деца?
Решение:
Можете да изчислите сумата на задачата. Първият ученик имаше 7 моливи, вторият ученик имаше 7 моливи и др.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Записът се оказа неудобно и дълго, замени сумата върху работата.
7⋅8=56
Отговорете на 56 моливи.
Да решават много задачи "най-малко и минимум", т.е. На местоположението на най-големите и най-малки променливи стойности можете успешно да използвате някои алгебрични изявления, с които ще се срещнем сега.
x · y.
Помислете за следната задача:
Какви две части трябва да бъдат разбити от този брой, така че работата им да е най-голямата?
Нека този номерно. След това части, на които броят е счупенно, можете да посочите
A / 2 + x и A / 2 - X;
номер х. показва коя величина тези части се различават от половината от номера но. Работата на двете части е равна
( A / 2 + x) · ( A / 2 - X) \u003d 2/4 - x 2.
Ясно е, че парчето части ще се увеличат чрез намаляване х.. С намаление на разликата между тези части. Най-голямата работа ще бъде с x \u003d.0, т.е. В случая, когато двете части са равни A / 2..
Така,
продуктът от две числа, чието количество е непроменено, ще бъде най-високото, когато тези цифри са равни един на друг.
x · · z
Разгледайте същия въпрос за трите номера.
Какви три части трябва да прекъснат този брой, така че работата им да е най-голямата?
При решаването на тази задача ще разчитаме на предишното.
Нека номер но счупени на три части. Да предположим първо, че нито една от частите не са равни A / 3., Тогава между тях има някои, големи A / 3. (И трите не могат да бъдат по-малко A / 3.); Ядосвам
A / 3 + x.
По същия начин сред тях има част, по-малка A / 3.Шпакловка Ядосвам
A / 3 - y.
Числа х. и w. положителен. Третата част ще бъде очевидно равна на
A / 3 + Y - X.
Числа A / 3. и A / 3 + x - y имат същото количество като първите две части от номера нои разликата между тях, т.е. x - Y., по-малко от разликата между първите две части, което е равно x + y.. Както знаем от решението на предишната задача, следва, че работата
A / 3. · ( A / 3 + x - y)
повече от работата на първите две части на броя но.
Така че, ако първите две части от номера но Сменете номера
A / 3. и A / 3 + x - y,
и третата не е промяна, работата ще се увеличи.
Нека една от частите вече е еднаква A / 3.. Тогава другите две са
A / 3 + Z и A / 3 - Z.
Ако направим тези две части с равни A / 3. (Защо сумата няма да се промени), тогава работата ще се увеличи отново и ще стане равна
A / 3 · A / 3 · A / 3 \u003d A 3/27 .
Така,
ако номерът А е разделен на 3 части, не един на друг, тогава продуктът на тези части е по-малък от 3/2 27, т.е. от продукт от три равни в факторите, в количеството компоненти a.
По същия начин можете да докажете тази теорема за четирима множества, за пет и т.н.
x p · y q
Помислете сега по-общ случай.
Под какви стойности x и y експресия x p в q е най-големият, ако x + y \u003d e?
Необходимо е да се намери, с каква стойност x израз
x R ·(a - H.) Q.
достига най-голямата стойност.
Умножете този израз на номера 1 / p q q q q. Получаваме нов израз
x p / p p · (a - X. ) Q / q q,
което очевидно достига най-голямата стойност едновременно, когато е първоначално.
Представете си израза, получен сега във формата
(a - X.) / Q · (a - X.) / Q · ... · (a - X.) / Q. ,
където се повтарят множителите от първия тип пс. Веднъж, и второто - q. време.
Сумата от всички фактори на този израз е равна
X / p + x / p + ... + x / p + (a - X.) / Q +. (a - X.) / Q + ... + (a - X.) / Q. =
\u003d px / p + q ( A - X.) / q \u003d x + a - x \u003d a ,
тези. Величината е постоянна.
Въз основа на преди това заключаваме, че работата
x / p · x / p · ... · x / p · (a - X.) / Q · (a - X.) / Q · ... · (a - X.) / Q.
максима достига равенството на всичките си индивидуални фактори, т.е. кога
x / p \u003d (a - X.) / Q..
Знаейки какво a - x \u003d y, получаваме, пренавиваме членовете, съотношението
X / y \u003d p / q.
Така,
продуктът x p y q е постоянно количеството x + y достига най-голямата стойност, когато
x: y \u003d p: q.
По същия начин, можете да докажете това
работа
x P Y Q Z R, X P Y Q Z R T и т.н.
с постоянството на сумите x + Y + Z, x + y + z + t и т.н. постигане на най-голяма стойност, когато
x: y: z \u003d p: q: r, X: Y: Z: t \u003d p: Q: R: U и т.н.
Идентични термини. Например, 5 * 3 запис показва "5 пъти с вас 3 пъти, т.е. това е просто кратък запис за 5 + 5 + 5. Резултатът от умножението се нарича работаи умножаване на числа - мултипликатори или всъщност. Има и таблици за умножение.
Рекорд
Умножението се обозначава със звездичка *, кръстосана или точка. Вписване
обозначава едно и също нещо. Знакът за умножение често пропуска дали не води до объркване. Например, вместо това те обикновено пишат.
Ако има много фактори, някои от тях могат да бъдат заменени с много. Например, продуктът на цели числа от 1 до 100 може да бъде написан като
Буквата на работата се прилага и в писмото за писма: 
Вижте също
Фондация Wikimedia. 2010.
Гледайте какво е "работа (математика)" в други речници:
- (математика) резултатът от умножаването. Изкуство. Музикален състав. Аудиовизуална работа. Работа в сервиз ... Уикипедия
Работата на два или повече обекта е обобщение в теорията на категориите понятия като Cartesovo, пряк продукт на групи и продукт на топологични пространства. Работата на семейството на обектите е в ... ... Wikipedia
Продуктът на двоичната работа на Koncheker е посочен над произволни матрици. Резултатът е блокова матрица. Продуктът на скумрия не трябва да се бърка с обичайното умножение на матриците. Операцията е кръстена на немски ... ... Wikipedia
История на науката по математика Естествени науки ... Уикипедия
I. Определяне на темата за математиката, връзката с други науки и технологии. Математика (гръцки математик, от знанието на Мато, науката), науката за количествените отношения и пространствени форми валиден мир. "Чисто ... Велика съветска енциклопедия
Теорията на категориите на математиката, изучаваща свойствата на отношенията между математически обектине зависи от вътрешна структура обекти. Някои математици [кой?] Считат теорията за категориите твърде абстрактни и неподходящи за ... ... Wikipedia
Векторът на този термин съществува и други стойности, виж вектора ... Уикипедия
Този термин има други стойности, вижте функцията. Заявка "Дисплей" се пренасочва тук; Виж и други ценности ... Уикипедия
Този термин има други стойности, вижте операцията. Експлоатационен дисплей, съответстващ на един или повече елементи от набора (аргументи) друг елемент (стойност). Терминът "операция" обикновено се прилага за ... ... Wikipedia
Този термин има други значения, виж ротора. Ротор, или вихър вектор диференциален оператор върху векторно поле. Означава (в литературата на Русия) или (на английско-езикова литература), както и векторно умножение ... Wikipedia
Книги
- Набор от маси. Математика. 4-ти клас. 8 таблици + техники ,. \\ t 8 листа трениров албум (68 x 98 cm формат): - Акции. - умножение и разделяне на номера на работата. - добавяне и изваждане на стойности. - умножение и разделяне на стойностите. - Писане на умножение на ...
- Кирик Новгородец - руски учен от XII век в домашната книга на книгата, Симонов Ра. Книгата е посветена на живота и дейностите на първата известна математика и календари, Новгород Монак Кирик (1110 - след 1156 г.), който е написал научен трактат през 1136, ...
