Страница 8 от 12

§ 7. Движение с равномерно ускорени
праволинейно движение

1. Използвайки графика на скоростта спрямо времето, можете да получите формулата за движение на тяло с равномерно праволинейно движение.

Фигура 30 показва графика на проекцията на скоростта на равномерно движение върху оста хот време. Ако поставим перпендикуляр на оста на времето в даден момент ° С, тогава получаваме правоъгълник OABC. Площта на този правоъгълник е равна на произведението на страните ОАи OC. Но дължината на страната ОАе равно на v x, и дължината на страната OC - т, следователно С = v x t. Продуктът от проекцията на скоростта върху оста хи времето е равно на проекцията на преместване, т.е. s x = v x t.

По този начин, проекцията на преместване за равномерно праволинейно движение е числено равна на площта на правоъгълника, ограничена от координатните оси, графиката на скоростта и перпендикуляра, повдигнат към оста на времето.

2. По подобен начин получаваме формулата за проекцията на преместване при праволинейно равномерно ускорено движение. За да направим това, използваме графиката на зависимостта на проекцията на скоростта върху оста хот времето (фиг. 31). Изберете малка област на графиката аби пуснете перпендикулярите от точките аи бна оста на времето. Ако интервалът от време D т, съответстващ на раздела cdна оста на времето е малка, тогава можем да приемем, че скоростта не се променя през този период от време и тялото се движи равномерно. В този случай фигурата cabdсе различава малко от правоъгълник и неговата площ е числено равна на проекцията на движението на тялото за времето, съответстващо на отсечката cd.

Можете да разбиете цялата фигура на такива ивици OABC, и неговата площ ще бъде равна на сумата от площите на всички ленти. Следователно, проекцията на движението на тялото във времето тчислено равно на площта на трапеца OABC. От курса по геометрия знаете, че площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина: С= (ОА + пр.н.е)OC.

Както се вижда от фигура 31, ОА = v 0х , пр.н.е = v x, OC = т. От това следва, че проекцията на изместване се изразява с формулата: s x= (v x + v 0х)т.

При равномерно ускорено праволинейно движение скоростта на тялото по всяко време е равна на v x = v 0х + a x t, следователно, s x = (2v 0х + a x t)т.

Оттук:

За да получим уравнението на движението на тялото, ние заместваме във формулата за проекция на преместване нейния израз чрез разликата в координатите s x = х – х 0 .

Получаваме: х – х 0 = v 0х т+ , или

х = х 0 + v 0х т + .

Според уравнението на движението е възможно да се определи координатата на тялото по всяко време, ако са известни началната координата, началната скорост и ускорението на тялото.

3. На практика често има проблеми, при които е необходимо да се намери изместването на тяло при равномерно ускорено праволинейно движение, но времето на движение е неизвестно. В тези случаи се използва различна формула за проекция на изместване. Нека го вземем.

От формулата за проекцията на скоростта на равномерно ускореното праволинейно движение v x = v 0х + a x tнека изразим времето:

т = .

Замествайки този израз във формулата за проекция на изместване, получаваме:

s x = v 0х + .

Оттук:

s x = , или
–= 2a x s x.

Ако началната скорост на тялото е нула, тогава:

2a x s x.

4. Пример за решение на проблема

Скиорът се движи надолу по планинския склон от състояние на покой с ускорение от 0,5 m/s 2 за 20 s и след това се движи по хоризонталния участък, след като е изминал до спирка от 40 m. С какво ускорение се е движил скиорът по хоризонтална повърхност? Каква е дължината на склона на планината?

Дадено:	Решение
v 01 = 0 а 1 = 0,5 m/s 2 т 1 = 20 с с 2 = 40 м v 2 = 0	Движението на скиора се състои от два етапа: на първия етап, слизайки от склона на планината, скиорът се движи с нарастваща скорост в абсолютна стойност; на втория етап, когато се движи по хоризонтална повърхност, скоростта му намалява. Стойностите, свързани с първия етап на движението, ще бъдат записани с индекс 1, а тези, свързани с втория етап, с индекс 2.
а 2? с 1?

Ще свържем референтната система със Земята, оста хнека насочваме по посока на скоростта на скиора на всеки етап от неговото движение (фиг. 32).

Нека напишем уравнението за скоростта на скиора в края на спускането от планината:

v 1 = v 01 + а 1 т 1 .

В проекции по оста хполучаваме: v 1х = а 1х т. Тъй като проекциите на скоростта и ускорението върху оста хса положителни, модулът на скоростта на скиора е: v 1 = а 1 т 1 .

Нека напишем уравнение, свързващо проекциите на скоростта, ускорението и движението на скиора на втория етап на движение:

–= 2а 2х с 2х .

Като се има предвид, че началната скорост на скиора на този етап от движението е равна на крайната му скорост на първия етап

v 02 = v 1 , v 2х= 0 получаваме

– = –2а 2 с 2 ; (а 1 т 1) 2 = 2а 2 с 2 .

Оттук а 2 = ;

а 2 == 0,125 m/s 2.

Модулът на движение на скиора на първия етап на движение е равен на дължината на планинския склон. Нека напишем уравнението за преместване:

с 1х = v 01х т + .

Следователно дължината на планинския склон е с 1 = ;

с 1 == 100 m.

Отговор: а 2 \u003d 0,125 m / s 2; с 1 = 100 m.

Въпроси за самоизследване

1. Както според графика на проекцията на скоростта на равномерно праволинейно движение върху оста х

2. Както според графиката на проекцията на скоростта на равномерно ускореното праволинейно движение върху оста хот време да се определи проекцията на изместването на тялото?

3. Каква формула се използва за изчисляване на проекцията на преместването на тяло при равномерно ускорено праволинейно движение?

4. Каква формула се използва за изчисляване на проекцията на преместването на тяло, движещо се равномерно и праволинейно, ако началната скорост на тялото е нула?

Задача 7

1. Какъв е модулът на изместване на автомобил за 2 минути, ако през това време скоростта му се е променила от 0 до 72 km/h? Каква е координатата на колата в момента т= 2 минути? Първоначалната координата се приема за нула.

2. Влакът се движи с начална скорост 36 km/h и ускорение 0,5 m/s 2 . Каква е денивелацията на влака за 20 s и неговата координата в момента т= 20 s, ако началната координата на влака е 20 m?

3. Какво е движението на велосипедиста за 5 s след началото на спирането, ако началната му скорост по време на спиране е 10 m/s, а ускорението е 1,2 m/s 2? Каква е координатата на велосипедиста в момента т= 5 s, ако в началния момент от времето е било в началото?

4. Автомобил, движещ се със скорост 54 км/ч, спира при спиране за 15 секунди. Какъв е модулът на преместване на автомобила при спиране?

5. Две коли се движат един към друг от две населени места, разположени на разстояние 2 км едно от друго. Началната скорост на едната кола е 10 m/s и ускорението е 0,2 m/s 2 , началната скорост на другата е 15 m/s и ускорението е 0,2 m/s 2 . Определете часа и координатите на мястото на среща на автомобилите.

Лаборатория №1

Изследване на равномерно ускорено
праволинейно движение

Обективен:

научете как да измервате ускорението при равномерно ускорено праволинейно движение; експериментално установяват съотношението на изминатите от тялото пътища при равномерно ускорено праволинейно движение в последователни равни интервали от време.

Устройства и материали:

улей, статив, метална топка, хронометър, измервателна лента, метален цилиндър.

Работна поръчка

1. Закрепете единия край на улея в подножието на статива, така че да образува малък ъгъл с повърхността на масата. В другия край на улея поставете метален цилиндър в него.

2. Измерете пътеките, изминати от топката в 3 последователни интервала от време, равни на 1 s всеки. Това може да стане по различни начини. Можете да поставите марки върху улея с тебешир, като фиксирате позицията на топката във времеви точки, равни на 1 s, 2 s, 3 s, и измервате разстоянията с_между тези знаци. Възможно е, пускайки топката от една и съща височина всеки път, да измерите пътя с, премина покрай него първо за 1 s, след това за 2 s и за 3 s и след това изчислете пътя, изминат от топката през втората и третата секунда. Запишете резултатите от измерването в таблица 1.

3. Намерете съотношението на пътя, изминат през втората секунда, към пътя, изминат през първата секунда, и пътя, изминат през третата секунда, към пътя, изминат през първата секунда. Направете заключение.

4. Измерете времето, изминало топката по улея и изминатото разстояние от нея. Изчислете неговото ускорение по формулата с = .

5. Използвайки експериментално получената стойност на ускорението, изчислете пътищата, които топката трябва да измине през първата, втората и третата секунда от своето движение. Направете заключение.

маса 1

номер на опит	Експериментални данни					Теоретични резултати
	Време т , С	Път с , см	Време t , С	пътека s, см	Ускорение a, cm/s2	Времет, С	Път с , см
1	1		1

Скоростта (v) е физическа величина, числено равна на пътя (s), изминат от тялото за единица време (t).

пътека

Път (S) - дължината на траекторията, по която се движи тялото, е числено равна на произведението на скоростта (v) на тялото и времето (t) на движение.

Време за пътуване

Времето на движение (t) е равно на отношението на пътя (S), изминат от тялото, към скоростта (v) на движение.

Средната скорост

Средната скорост (vav) е равна на съотношението на сбора от участъците от пътя (s 1 s 2, s 3, ...), изминат от тялото към интервала от време (t 1 + t 2 + t 3 + ...), за които е изминат този път .

Средната скоросте съотношението на дължината на пътя, изминат от тялото, към времето, за което е изминат този път.

Средната скоростпри неравномерно движение по права линия: това е съотношението на целия път към общото време.

Два последователни етапа с различни скорости: къде

При решаване на проблеми - колко етапа на движение ще има толкова много компоненти:

Проекции на вектора на преместване върху координатните оси

Проекция на вектора на изместване върху оста OX:

Проекция на вектора на изместване върху оста OY:

Проекцията на вектор върху ос е нула, ако векторът е перпендикулярен на оста.

Признаци на проекции на изместване: проекцията се счита за положителна, ако движението от проекцията на началото на вектора към проекцията на края се извършва в посока на оста, и отрицателна, ако е срещу оста. В този пример

Модул за движениее дължината на вектора на изместване:

Според питагоровата теорема:

Проекции на движение и ъгъл на наклон

В този пример:

Координатно уравнение (общо):

Радиус вектор- вектор, чието начало съвпада с началото на координатите, а краят - с положението на тялото в даден момент. Проекциите на радиус вектора върху координатните оси определят координатите на тялото в даден момент.

Радиус векторът ви позволява да зададете позицията на материална точка в дадена референтна система:

Равномерно праволинейно движение - определение

Равномерно праволинейно движение- движение, при което тялото за произволни равни интервали от време прави равни премествания.

Скорост при равномерно праволинейно движение. Скоростта е векторна физическа величина, която показва колко движение прави тялото за единица време.

Във векторна форма:

В проекции върху оста OX:

Допълнителни единици за скорост:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min = 1 m/60 s.

Измервателно устройство - скоростомер - показва скоростния модул.

Знакът на проекцията на скоростта зависи от посоката на вектора на скоростта и координатната ос:

Графиката на проекцията на скоростта е зависимостта на проекцията на скоростта от времето:

Графика на скоростта за равномерно праволинейно движение- права линия, успоредна на оста на времето (1, 2, 3).

Ако графиката лежи над оста на времето (.1), тогава тялото се движи в посока на оста OX. Ако графиката е разположена под оста на времето, тогава тялото се движи срещу оста OX (2, 3).

Геометричното значение на движението.

При равномерно праволинейно движение преместването се определя по формулата. Получаваме същия резултат, ако изчислим площта на фигурата под графиката на скоростта в осите. Така че, за да се определи пътят и модулът на преместване по време на праволинейно движение, е необходимо да се изчисли площта на фигурата под графиката на скоростта в осите:

Проекционен график на изместване- зависимост на проекцията на преместването от времето.

Проекционна графика на изместване за равномерно праволинейно движение- права линия, излизаща от началото (1, 2, 3).

Ако правата линия (1) лежи над оста на времето, тогава тялото се движи в посока на оста OX, а ако под оста (2, 3), то срещу оста OX.

Колкото по-голяма е тангенсът на наклона (1) на графиката, толкова по-голям е модулът на скоростта.

Координата на парцела- зависимост на координатите на тялото от времето:

Графични координати за равномерно праволинейно движение - прави линии (1, 2, 3).

Ако с течение на времето координатата се увеличава (1, 2), тогава тялото се движи в посока на оста OX; ако координатата намалява (3), тогава тялото се движи срещу посоката на оста OX.

Колкото по-голяма е тангенсът на наклона (1), толкова по-голям е модулът на скоростта.

Ако графиките на координатите на две тела се пресичат, тогава от пресечната точка трябва да се свалят перпендикулярите на оста на времето и координатната ос.

Относителност на механичното движение

Под относителност разбираме зависимостта на нещо от избора на референтна рамка. Например мирът е относителен; относително движение и относително положение на тялото.

Правилото за събиране на премествания.Векторна сума от премествания

където е изместването на тялото спрямо подвижната отправна система (RFR); - движение на PSO спрямо фиксираната референтна рамка (FRS); - движение на тялото спрямо фиксираната отправна система (FRS).

Добавяне на вектор:

Добавяне на вектори, насочени по една права линия:

Добавяне на вектори, перпендикулярни един на друг

Според Питагоровата теорема

Нека изведем формула, която може да се използва за изчисляване на проекцията на вектора на преместване на тяло, движещо се по права линия и равномерно ускорено за произволен период от време. За да направите това, нека се обърнем към фигура 14. Както на фигура 14, а, така и на фигура 14, b, отсечката AC е графика на проекцията на вектора на скоростта на тяло, движещо се с постоянно ускорение a (при начална скорост v 0).

Ориз. 14. Проекцията на вектора на преместване на тяло, движещо се праволинейно и равномерно ускорено, е числено равна на площта S под графиката

Припомнете си, че при праволинейно равномерно движение на тяло, проекцията на вектора на преместване, направена от това тяло, се определя по същата формула като площта на правоъгълника, затворен под графиката на проекционния вектор на скоростта (виж фиг. 6). Следователно проекцията на вектора на изместване е числено равна на площта на този правоъгълник.

Нека докажем, че в случай на праволинейно равномерно ускорено движение, проекцията на вектора на преместване sx може да се определи по същата формула като площта на фигурата, затворена между графиката AC, оста Ot и отсечките OA и BC, т.е. в този случай проекцията на вектора на изместване, числено равна на площта на фигурата под графиката на скоростта. За да направите това, по оста Ot (виж фиг. 14, а) избираме малък интервал от време db. От точки d и b изчертаваме перпендикуляри на оста Ot, докато те се пресичат с графиката на проекцията на вектора на скоростта в точки a и c.

Така за период от време, съответстващ на отсечката db, скоростта на тялото се променя от v ax на v cx.

За достатъчно кратък период от време проекцията на вектора на скоростта се променя много леко. Следователно движението на тялото през този период от време се различава малко от равномерното, тоест от движението с постоянна скорост.

Възможно е цялата площ на фигурата OASV, която е трапец, да се раздели на такива ленти. Следователно, проекцията на вектора на изместване sx за интервала от време, съответстващ на отсечката OB, е числено равна на площта S на трапеца OASV и се определя по същата формула като тази площ.

Съгласно правилото, дадено в училищните курсове по геометрия, площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина. Фигура 14, b показва, че основите на трапеца OASV са отсечките OA = v 0x и BC = v x, а височината е отсечката OB = t. следователно,

Тъй като v x \u003d v 0x + a x t, a S = s x, тогава можем да напишем:

Така получихме формула за изчисляване на проекцията на вектора на преместване при равномерно ускорено движение.

По същата формула се изчислява и проекцията на вектора на преместване, когато тялото се движи с намаляващ модул на скоростта, само че в този случай векторите на скоростта и ускорението ще бъдат насочени в противоположни посоки, така че техните проекции ще имат различни знаци.

Въпроси

1. Използвайки фигура 14, а, докажете, че проекцията на вектора на изместване по време на равномерно ускорено движение е числено равна на площта на фигурата OASV.
2. Запишете уравнение за определяне на проекцията на вектора на преместване на тяло по време на неговото праволинейно равномерно ускорено движение.

Упражнение 7

Страница 8 от 12

§ 7. Движение с равномерно ускорени
праволинейно движение

1. Използвайки графика на скоростта спрямо времето, можете да получите формулата за движение на тяло с равномерно праволинейно движение.

Фигура 30 показва графика на проекцията на скоростта на равномерно движение върху оста хот време. Ако поставим перпендикуляр на оста на времето в даден момент ° С, тогава получаваме правоъгълник OABC. Площта на този правоъгълник е равна на произведението на страните ОАи OC. Но дължината на страната ОАе равно на v x, и дължината на страната OC - т, следователно С = v x t. Продуктът от проекцията на скоростта върху оста хи времето е равно на проекцията на преместване, т.е. s x = v x t.

По този начин, проекцията на преместване за равномерно праволинейно движение е числено равна на площта на правоъгълника, ограничена от координатните оси, графиката на скоростта и перпендикуляра, повдигнат към оста на времето.

2. По подобен начин получаваме формулата за проекцията на преместване при праволинейно равномерно ускорено движение. За да направим това, използваме графиката на зависимостта на проекцията на скоростта върху оста хот времето (фиг. 31). Изберете малка област на графиката аби пуснете перпендикулярите от точките аи бна оста на времето. Ако интервалът от време D т, съответстващ на раздела cdна оста на времето е малка, тогава можем да приемем, че скоростта не се променя през този период от време и тялото се движи равномерно. В този случай фигурата cabdсе различава малко от правоъгълник и неговата площ е числено равна на проекцията на движението на тялото за времето, съответстващо на отсечката cd.

Можете да разбиете цялата фигура на такива ивици OABC, и неговата площ ще бъде равна на сумата от площите на всички ленти. Следователно, проекцията на движението на тялото във времето тчислено равно на площта на трапеца OABC. От курса по геометрия знаете, че площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина: С= (ОА + пр.н.е)OC.

Както се вижда от фигура 31, ОА = v 0х , пр.н.е = v x, OC = т. От това следва, че проекцията на изместване се изразява с формулата: s x= (v x + v 0х)т.

При равномерно ускорено праволинейно движение скоростта на тялото по всяко време е равна на v x = v 0х + a x t, следователно, s x = (2v 0х + a x t)т.

За да получим уравнението на движението на тялото, ние заместваме във формулата за проекция на преместване нейния израз чрез разликата в координатите s x = х – х 0 .

Получаваме: х – х 0 = v 0х т+ , или

х = х 0 + v 0х т + .

Според уравнението на движението е възможно да се определи координатата на тялото по всяко време, ако са известни началната координата, началната скорост и ускорението на тялото.

3. На практика често има проблеми, при които е необходимо да се намери изместването на тяло при равномерно ускорено праволинейно движение, но времето на движение е неизвестно. В тези случаи се използва различна формула за проекция на изместване. Нека го вземем.

От формулата за проекцията на скоростта на равномерно ускореното праволинейно движение v x = v 0х + a x tнека изразим времето:

Замествайки този израз във формулата за проекция на изместване, получаваме:

s x = v 0х + .

s x = , или
–= 2a x s x.

Ако началната скорост на тялото е нула, тогава:

2a x s x.

4. Пример за решение на проблема

Скиорът се движи надолу по планинския склон от състояние на покой с ускорение от 0,5 m/s 2 за 20 s и след това се движи по хоризонталния участък, след като е изминал до спирка от 40 m. С какво ускорение се е движил скиорът по хоризонтална повърхност? Каква е дължината на склона на планината?

Дадено:
v 01 = 0 а 1 = 0,5 m/s 2 т 1 = 20 с с 2 = 40 м v 2 = 0	Движението на скиора се състои от два етапа: на първия етап, слизайки от склона на планината, скиорът се движи с нарастваща скорост в абсолютна стойност; на втория етап, когато се движи по хоризонтална повърхност, скоростта му намалява. Стойностите, свързани с първия етап на движението, ще бъдат записани с индекс 1, а тези, свързани с втория етап, с индекс 2.
а 2? с 1?

Ще свържем референтната система със Земята, оста хнека насочваме по посока на скоростта на скиора на всеки етап от неговото движение (фиг. 32).

Нека напишем уравнението за скоростта на скиора в края на спускането от планината:

v 1 = v 01 + а 1 т 1 .

В проекции по оста хполучаваме: v 1х = а 1х т. Тъй като проекциите на скоростта и ускорението върху оста хса положителни, модулът на скоростта на скиора е: v 1 = а 1 т 1 .

Нека напишем уравнение, свързващо проекциите на скоростта, ускорението и движението на скиора на втория етап на движение:

–= 2а 2х с 2х .

Като се има предвид, че началната скорост на скиора на този етап от движението е равна на крайната му скорост на първия етап

v 02 = v 1 , v 2х= 0 получаваме

– = –2а 2 с 2 ; (а 1 т 1) 2 = 2а 2 с 2 .

Оттук а 2 = ;

а 2 == 0,125 m/s 2.

Модулът на движение на скиора на първия етап на движение е равен на дължината на планинския склон. Нека напишем уравнението за преместване:

с 1х = v 01х т + .

Следователно дължината на планинския склон е с 1 = ;

с 1 == 100 m.

Отговор: а 2 \u003d 0,125 m / s 2; с 1 = 100 m.

Въпроси за самоизследване

1. Както според графика на проекцията на скоростта на равномерно праволинейно движение върху оста х

2. Както според графиката на проекцията на скоростта на равномерно ускореното праволинейно движение върху оста хот време да се определи проекцията на изместването на тялото?

3. Каква формула се използва за изчисляване на проекцията на преместването на тяло при равномерно ускорено праволинейно движение?

4. Каква формула се използва за изчисляване на проекцията на преместването на тяло, движещо се равномерно и праволинейно, ако началната скорост на тялото е нула?

Задача 7

1. Какъв е модулът на изместване на автомобил за 2 минути, ако през това време скоростта му се е променила от 0 до 72 km/h? Каква е координатата на колата в момента т= 2 минути? Първоначалната координата се приема за нула.

2. Влакът се движи с начална скорост 36 km/h и ускорение 0,5 m/s 2 . Каква е денивелацията на влака за 20 s и неговата координата в момента т= 20 s, ако началната координата на влака е 20 m?

3. Какво е движението на велосипедиста за 5 s след началото на спирането, ако началната му скорост по време на спиране е 10 m/s, а ускорението е 1,2 m/s 2? Каква е координатата на велосипедиста в момента т= 5 s, ако в началния момент от времето е било в началото?

4. Автомобил, движещ се със скорост 54 км/ч, спира при спиране за 15 секунди. Какъв е модулът на преместване на автомобила при спиране?

5. Две коли се движат един към друг от две населени места, разположени на разстояние 2 км едно от друго. Началната скорост на едната кола е 10 m/s и ускорението е 0,2 m/s 2 , началната скорост на другата е 15 m/s и ускорението е 0,2 m/s 2 . Определете часа и координатите на мястото на среща на автомобилите.

Лаборатория №1

Изследване на равномерно ускорено
праволинейно движение

Обективен:

научете как да измервате ускорението при равномерно ускорено праволинейно движение; експериментално установяват съотношението на изминатите от тялото пътища при равномерно ускорено праволинейно движение в последователни равни интервали от време.

Устройства и материали:

улей, статив, метална топка, хронометър, измервателна лента, метален цилиндър.

Работна поръчка

1. Закрепете единия край на улея в подножието на статива, така че да образува малък ъгъл с повърхността на масата. В другия край на улея поставете метален цилиндър в него.

2. Измерете пътеките, изминати от топката в 3 последователни интервала от време, равни на 1 s всеки. Това може да стане по различни начини. Можете да поставите марки върху улея с тебешир, като фиксирате позицията на топката във времеви точки, равни на 1 s, 2 s, 3 s, и измервате разстоянията с_между тези знаци. Възможно е, пускайки топката от една и съща височина всеки път, да измерите пътя с, премина покрай него първо за 1 s, след това за 2 s и за 3 s и след това изчислете пътя, изминат от топката през втората и третата секунда. Запишете резултатите от измерването в таблица 1.

3. Намерете съотношението на пътя, изминат през втората секунда, към пътя, изминат през първата секунда, и пътя, изминат през третата секунда, към пътя, изминат през първата секунда. Направете заключение.

4. Измерете времето, изминало топката по улея и изминатото разстояние от нея. Изчислете неговото ускорение по формулата с = .

5. Използвайки получената експериментално стойност на ускорението, изчислете пътищата, които топката трябва да измине през първата, втората и третата секунда от своето движение. Направете заключение.

маса 1

номер на опит	Експериментални данни					Теоретични резултати
	Време т , С	Път с , см	Време t , С	пътека s, см	Ускорение a, cm/s2	Времет, С	Път с , см
1	1		1

Как, знаейки спирачния път, да определим началната скорост на автомобила и как, знаейки характеристиките на движението, като начална скорост, ускорение, време, да определим движението на автомобила? Ще получим отговори, след като се запознаем с темата на днешния урок: "Преместване при равномерно ускорено движение, зависимостта на координатите от времето при равномерно ускорено движение"

При равномерно ускорено движение графиката изглежда като права линия, която върви нагоре, тъй като проекцията на ускорението е по-голяма от нула.

При равномерно праволинейно движение площта ще бъде числено равна на модула на проекцията на преместването на тялото. Оказва се, че този факт може да бъде обобщен за случая не само на равномерно движение, но и за всяко движение, т.е. да се покаже, че площта под графиката е числено равна на модула на проекцията на преместване. Това се прави строго математически, но ще използваме графичен метод.

Ориз. 2. Графика на зависимостта на скоростта от времето при равномерно ускорено движение ()

Нека разделим графиката на проекцията на скоростта от времето за равномерно ускорено движение на малки интервали от време Δt. Да приемем, че те са толкова малки, че по време на тяхната дължина скоростта практически не се е променила, тоест условно ще превърнем графиката на линейната зависимост на фигурата в стълба. На всяка негова стъпка вярваме, че скоростта не се е променила много. Представете си, че правим интервалите от време Δt безкрайно малки. В математиката казват: правим преминаване до границата. В този случай площта на такава стълба ще съвпада за неопределено време с площта на трапеца, която е ограничена от графиката V x (t). И това означава, че за случай на равномерно ускорено движение можем да кажем, че модулът на проекционното изместване е числено равен на площта, ограничена от графиката V x (t): осите на абсцисата и ординатата и перпендикуляра, спуснат към оста на абсцисата, тоест площта на трапеца OABS, която виждаме на фигура 2.

Проблемът се превръща от физически в математически - намиране на площта на трапец. Това е стандартна ситуация, когато физиците правят модел, който описва определено явление, а след това се задейства математиката, която обогатява този модел с уравнения, закони – което превръща модела в теория.

Намираме площта на трапеца: трапецът е правоъгълен, тъй като ъгълът между осите е 90 0, разделяме трапеца на две форми - правоъгълник и триъгълник. Очевидно общата площ ще бъде равна на сбора от площите на тези фигури (фиг. 3). Нека намерим техните площи: площта на правоъгълника е равна на произведението на страните, тоест V 0x t, площта на десния триъгълник ще бъде равна на половината от произведението на краката - 1/2AD BD, замествайки проекционните стойности, получаваме: 1/2t (V x - V 0x) и, запомняйки закона за промяна на скоростта от времето с равномерно ускорено движение: V x (t) = V 0x + axt, е съвсем очевидно, че разликата в проекциите на скоростите е равна на произведението на проекцията на ускорението ax по време t, тоест V x - V 0x = a x t.

Ориз. 3. Определяне на площта на трапец ( Източник)

Като се има предвид факта, че площта на трапеца е числено равна на модула за проекция на изместване, получаваме:

S x (t) \u003d V 0 x t + a x t 2 / 2

Получихме закона за зависимостта на проекцията на преместването от времето с равномерно ускорено движение в скаларна форма, във векторна форма ще изглежда така:

(t) = t + t 2 / 2

Нека изведем още една формула за проекцията на изместване, която няма да включва времето като променлива. Решаваме системата от уравнения, изключвайки времето от нея:

S x (t) \u003d V 0 x + a x t 2 / 2

V x (t) \u003d V 0 x + a x t

Представете си, че не знаем времето, тогава ще изразим времето от второто уравнение:

t \u003d V x - V 0x / a x

Заместете получената стойност в първото уравнение:

Получаваме такъв тромав израз, квадратираме го и даваме подобни:

Получихме много удобен израз за проекция на преместване за случая, когато не знаем времето на движение.

Нека първоначалната скорост на автомобила, когато е започнало спирането, е V 0 = 72 km / h, крайна скорост V = 0, ускорение a = 4 m / s 2. Разберете дължината на спирачния път. Преобразувайки километри в метри и замествайки стойностите във формулата, получаваме, че спирачният път ще бъде:

S x \u003d 0 - 400 (m / s) 2 / -2 4 m / s 2 = 50 m

Нека анализираме следната формула:

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 t

Проекцията на движение е половината от сбора от проекциите на началната и крайната скорост, умножена по времето на движение. Припомнете си формулата за изместване за средна скорост

S x \u003d V cf t

В случай на равномерно ускорено движение средната скорост ще бъде:

V cf \u003d (V 0 + V k) / 2

Приближихме се до решаването на основния проблем на механиката на равномерно ускореното движение, тоест получаването на закона, според който координатата се променя с времето:

x(t) \u003d x 0 + V 0 x t + a x t 2 / 2

За да научим как да използваме този закон, ще анализираме типичен проблем.

Автомобилът, движещ се от състояние на покой, придобива ускорение от 2 m / s 2. Намерете разстоянието, изминато от колата за 3 секунди и за третата секунда.

Дадено: V 0 x = 0

Нека запишем закона, според който преместването се променя с времето при

равномерно ускорено движение: S x \u003d V 0 x t + a x t 2 /2. 2 в

Можем да отговорим на първия въпрос от проблема, като включим данните:

t 1 \u003d 3 c S 1x \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 3 2 / 2 = 9 (m) - това е пътят, който мина

c кола за 3 секунди.

Разберете колко далеч измина за 2 секунди:

S x (2 s) = a x t 2 / 2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)

И така, ние с вас знаем, че за две секунди колата измина 4 метра.

Сега, като знаем тези две разстояния, можем да намерим пътя, който той измина през третата секунда:

S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)

Равномерно ускорено движениенарича се такова движение, при което векторът на ускорението остава непроменен по големина и посока. Пример за такова движение е движението на камък, хвърлен под определен ъгъл спрямо хоризонта (като се игнорира съпротивлението на въздуха). Във всяка точка от траекторията ускорението на камъка е равно на ускорението на свободното падане. Така изучаването на равномерно ускореното движение се свежда до изследване на праволинейното равномерно ускорено движение. В случай на праволинейно движение векторите на скоростта и ускорението са насочени по правата линия на движение. Следователно скоростта и ускорението в проекциите върху посоката на движение могат да се разглеждат като алгебрични величини. При равномерно ускорено праволинейно движение скоростта на тялото се определя по формулата (1)

В тази формула скоростта на тялото при т = 0 (начална скорост ), = const – ускорение. В проекцията върху избраната ос x уравнение (1) ще бъде записано във вида: (2). На графиката на проекционната скорост υ x ( т), тази зависимост има формата на права линия.

Наклонът на графиката на скоростта може да се използва за определяне на ускорението атяло. Съответните конструкции са направени на фиг. за графика I Ускорението е числено равно на съотношението на страните на триъгълника ABC: .

Колкото по-голям е ъгълът β, който образува графиката на скоростта с оста на времето, т.е. толкова по-голям е наклонът на графиката ( стръмност), толкова по-голямо е ускорението на тялото.

За графика I: υ 0 \u003d -2 m / s, а\u003d 1/2 m / s 2. За графика II: υ 0 \u003d 3 m / s, а\u003d -1/3 m / s 2.

Графиката на скоростта също ви позволява да определите проекцията на преместването s на тялото за известно време t. Нека разпределим някакъв малък интервал от време Δt по оста на времето. Ако този период от време е достатъчно малък, тогава промяната в скоростта през този период е малка, тоест движението през този период от време може да се счита за равномерно с определена средна скорост, която е равна на моментната скорост υ на тяло в средата на интервала Δt. Следователно, изместването Δs през времето Δt ще бъде равно на Δs = υΔt. Това изместване е равно на площта, защрихована на фиг. ивици. Чрез разделяне на интервала от време от 0 до определен момент t на малки интервали Δt, можем да получим, че преместването s за дадено време t по време на равномерно ускорено праволинейно движение е равно на площта на ODEF на трапеца. Съответните конструкции са направени на фиг. за график II. Времето t се приема за 5,5 s.

(3) - получената формула ви позволява да определите преместването с равномерно ускорено движение, ако ускорението не е известно.

Ако заместим израза за скорост (2) в уравнение (3), тогава получаваме (4) - тази формула се използва за написване на уравнението на движението на тялото: (5).

Ако изразим от уравнение (2) времето на движение (6) и го заместим с равенство (3), тогава

Тази формула ви позволява да определите движението в неизвестен момент на движение.

Нека разгледаме как се изчислява проекцията на вектора на преместване на тяло, движещо се равномерно ускорено, ако началната му скорост v 0 е равна на нула. В този случай уравнението

ще изглежда така:

Нека пренапишем това уравнение, като заместим в него вместо проекциите s x и a x модулите s и a на векторите

преместване и ускорение. Тъй като в този случай векторите sua са насочени в една и съща посока, техните проекции имат еднакви знаци. Следователно уравнението за модулите на векторите може да бъде записано:

От тази формула следва, че при праволинейно равномерно ускорено движение без начална скорост, модулът на вектора на преместване е право пропорционален на квадрата на интервала от време, през който е извършено това движение. Това означава, че с увеличаване на времето на движение с n пъти (отчитано от момента на започване на движението), движението се увеличава с n 2 пъти.

Например, ако за произволен период от време t 1 от началото на движението тялото се движи

след това за период от време t 2 = 2t 1 (отчитано от същия момент като t 1) той ще се движи

за период от време t n \u003d nt l - изместване s n = n 2 s l (където n е естествено число).

Тази зависимост на модула на вектора на преместване от времето по време на праволинейно равномерно ускорено движение без начална скорост е ясно отразена на фигура 15, където сегментите OA, OB, OS, OD и OE са модулите на векторите на преместване (s 1, s 2, s 3, s 4 и s 5), извършени от тялото, съответно, за интервали от време t 1 , t 2 = 2t 1 , t 3 = 3t 1 , t 4 = 4t 1 и t 5 = 5t 1 .

Ориз. 15. Модели на равномерно ускорено движение: OA:OB:OS:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

От тази фигура става ясно, че

OA:OB:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

т.е. с увеличаване на интервалите от време, отчитани от началото на движението, с цял брой пъти в сравнение с t 1, модулите на съответните вектори на преместване нарастват като серия от квадрати от последователни естествени числа.

Фигура 15 показва друг модел:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

т.е. модулите на векторите на преместванията, извършвани от тялото за последователни равни периоди от време (всеки от които е равен на t 1) са свързани като поредица от последователни нечетни числа.

Закономерностите (1) и (2) са присъщи само на равномерно ускореното движение. Следователно те могат да се използват, ако е необходимо да се определи дали движението е равномерно ускорено или не.

Нека например да определим дали движението на ушната мида е равномерно ускорено, което се движи с 0,5 cm през първите 20 s движение, 1,5 cm през вторите 20 s и 2,5 cm през третите 20 s.

За да направим това, нека намерим колко пъти движенията, направени във втория и третия интервал от време, са по-големи, отколкото в първия:

Това означава, че 0,5 cm: 1,5 cm: 2,5 cm = 1: 3: 5. Тъй като тези съотношения са поредица от последователни нечетни числа, движението на тялото е равномерно ускорено.

В този случай равномерно ускореният характер на движението се разкрива на базата на редовност (2).

Въпроси

1. Какви формули се използват за изчисляване на проекцията и модула на вектора на преместване на тялото по време на неговото равномерно ускорено движение от състояние на покой?
2. Колко пъти ще се увеличи модулът на вектора на преместване на тялото с увеличаване на времето на неговото движение от покой с n пъти?
3. Запишете как модулите на векторите на преместване на тяло, движещо се равномерно ускорено от състояние на покой, се отнасят един към друг с увеличаване на времето на неговото движение с цял брой пъти в сравнение с t 1.
4. Запишете как модулите на векторите на преместванията, извършвани от тялото в последователни равни интервали от време, се отнасят един към друг, ако това тяло се движи равномерно ускорено от състояние на покой.
5. Каква е целта на използването на закономерности (1) и (2)?

Упражнение 8

1. Влакът, заминаващ от гарата през първите 20 секунди, се движи по права линия и равномерно ускорено. Известно е, че в третата секунда от началото на движението влакът е изминал 2 м. Определете модула на вектора на преместване, направен от влака през първата секунда, и модула на вектора на ускорението, с който се е движил.
2. Автомобил, движещ се равномерно ускорено от състояние на покой, изминава 6,3 м за петата секунда на ускорение Каква скорост е развила колата до края на петата секунда от началото на движението?
3. Някакво тяло през първите 0,03 s движение без начална скорост се движи с 2 mm, през първите 0,06 s - 8 mm, в първите 0,09 s - 18 mm. Въз основа на редовността (1) докажете, че през всичките 0,09 s тялото се движи равномерно ускорено.

Въпроси.

1. Какви формули се използват за изчисляване на проекцията и модула на вектора на преместване на тяло при равномерно ускореното му движение от състояние на покой?

2. Колко пъти ще се увеличи модулът на вектора на преместване на тялото с увеличаване на времето на неговото движение от покой с n пъти?

3. Запишете как модулите на векторите на преместване на тяло, движещо се равномерно ускорено от състояние на покой, се отнасят един към друг с увеличаване на времето на неговото движение с цял брой пъти в сравнение с t 1.

4. Запишете как модулите на векторите на преместванията, извършвани от тялото в последователни равни интервали от време, се отнасят един към друг, ако това тяло се движи равномерно ускорено от състояние на покой.

5. За каква цел могат да се използват закономерности (3) и (4)?

Правилности (3) и (4) се използват, за да се определи дали движението е равномерно ускорено или не (виж стр.33).

Упражнения.

1. Влакът, заминаващ от гарата през първите 20 s, се движи по права линия и равномерно ускорено. Известно е, че в третата секунда от началото на движението влакът е изминал 2 м. Определете модула на вектора на преместване, направен от влака през първата секунда, и модула на вектора на ускорението, с който се е движил.