Свойства на квантовите системи. Квантовите системи и техните свойства

Енергийни нива (атомни, молекулярни, ядрени)

1. Характеристики на състоянието на квантовата система
2. Енергийни нива на атомите
3. Енергийни нива на молекулите
4. Енергийни нива на ядрата

Характеристики на състоянието на квантовата система

Основата за обяснение на свойствата на атомите, молекулите и атомните ядра, т.е. явленията, възникващи в обемни елементи с линейни мащаби от 10 -6 -10 -13 cm, се крият под квантовата механика. Според квантовата механика всяка квантова система (т.е. система от микрочастици, която се подчинява на квантовите закони) се характеризира с определен набор от състояния. Като цяло, този набор от състояния може да бъде или дискретен (дискретен спектър от състояния), или непрекъснат (непрекъснат спектър от състояния). Характеристики на състоянието на изолирана система от явления. вътрешна енергия на системата (наричана по-долу просто енергия), общ ъглов момент (MCM) и паритет.

Енергия на системата.
Една квантова система, намираща се в различни състояния, има най-общо казано различни енергии. Енергията на свързана система може да приеме всякаква стойност. Този набор от възможни енергийни стойности се нарича. дискретен енергиен спектър и се казва, че енергията е квантована. Пример за това е енергията. спектър на атома (виж по-долу). Несвързаната система от взаимодействащи частици има непрекъснат енергиен спектър и енергията може да приема произволни стойности. Пример за такава система е свободен електрон (E) в кулоновото поле на атомното ядро. Непрекъснатият енергиен спектър може да бъде представен като набор от безкрайно голям брой дискретни състояния, между които енергия. празнините са безкрайно малки.

Нарича се състоянието, на което отговаря възможно най-ниската енергия за дадена система. main: всички останали състояния се извикват. възбуден. Често е удобно да се използва конвенционална енергийна скала, в която енергията е основно състояние се счита за отправна точка, т.е. се приема за равна на нула (в тази конвенционална скала енергията се обозначава с буквата д). Ако системата, намирайки се в състояние н(и индекса н=1 се присвоява на main. състояние), има енергия E n, тогава казват, че системата е на енергийно ниво E n. Номер н, номерация U.E., наз. квантово число. Като цяло всеки U.e. може да се характеризира не с едно квантово число, а с комбинация от тях; след това индексирайте нозначава съвкупността от тези квантови числа.

Ако условията n 1, n 2, n 3,..., n kсъответства на същата енергия, т.е. едно U.E., тогава това ниво се нарича изродено, а броят к- множество дегенерации.

При всякакви трансформации на затворена система (както и система в постоянно външно поле) нейната обща енергия остава непроменена. Следователно енергията се отнася към т.нар. запазени ценности. Законът за запазване на енергията следва от еднородността на времето.

Общ ъглов момент.
Това количество е вектор и се получава чрез добавяне на MCD на всички частици, включени в системата. Всяка частица има своя собствена MKD - спинов и орбитален импулс, предизвикан от движението на частицата спрямо общия център на масата на системата. Квантуването на MCD води до факта, че неговите абс. величина Джприема строго определени стойности: , където й- квантово число, което може да приема неотрицателни цели и полуцели стойности (квантовото число на орбитален MKD винаги е цяло число). Проекция на МКД върху кл. име ос маг. квантово число и може да отнеме 2j+1стойности: m j =j, j-1,...,-й. Ако к.-л. момент Дж явл. сумата от два други момента, тогава, според правилата за добавяне на моменти в квантовата механика, квантовото число йможе да приема следните стойности: й=|й 1 -й 2 |, |й 1 -й 2 -1|, ...., |й 1 +й 2 -1|, й 1 +й 2, а. По подобен начин се извършва сумирането на по-голям брой моменти. За краткост е обичайно да се говори за MCD системи й, внушаващ момента, абс. чиято стойност е ; о маг. За квантовото число се говори просто като за проекция на импулса.

По време на различни трансформации на система, разположена в централно симетрично поле, общият MCD се запазва, т.е., подобно на енергията, той се отнася до запазени количества. Законът за запазване на MCD следва от изотропията на пространството. В аксиално симетрично поле се запазва само проекцията на пълния MCD върху оста на симетрия.

Държавен паритет.
В квантовата механика състоянията на една система се описват с т.нар. вълнови функции. Паритетът характеризира изменението на вълновата функция на системата по време на операцията на пространствена инверсия, т.е. промяна на знаците на координатите на всички частици. При такава операция енергията не се променя, докато вълновата функция може или да остане непроменена (четно състояние), или да промени знака си на противоположния (нечетно състояние). Паритет Пприема съответно две стойности. Ако системата работи ядрено или електромагнитно. сили, паритетът се запазва при атомни, молекулни и ядрени трансформации, т.е. това количество също се отнася за запазени количества. Закон за запазване на четността следствие от симетрията на пространството по отношение на огледалните отражения и се нарушава при тези процеси, в които участват слаби взаимодействия.

Квантови преходи
- преходи на системата от едно квантово състояние в друго. Такива преходи могат да доведат както до енергийни промени. състоянието на системата и нейните качества. промени. Това са свързани-свързани, свободно-свързани, свободно-свободни преходи (виж Взаимодействие на радиация с материя), например възбуждане, дезактивиране, йонизация, дисоциация, рекомбинация. Това също е химикал. и ядрени реакции. Преходите могат да възникнат под въздействието на радиация - радиационни (или радиационни) преходи или когато дадена система се сблъска с частица. друга система или частица - нерадиационни преходи. Важна характеристика на явленията на квантовия преход. неговата вероятност в единици. време, което показва колко често ще се случва този преход. Тази стойност се измерва в s -1. Радиационни вероятности преходи между нивата мИ н (m>n) с излъчване или поглъщане на фотон, чиято енергия е равна на , се определя коеф. Айнщайн A mn, B mnИ Bnm. Преход на ниво мна ниво нможе да възникне спонтанно. Вероятност за фотонно излъчване Bmnв този случай е равно A мн. Преходите от типа под въздействието на радиация (индуцирани преходи) се характеризират с вероятностите за излъчване на фотон и поглъщане на фотон, където е енергийната плътност на излъчването с честота.

Възможността за извършване на квантов преход от дадена е.е. на к.-л. друг U.E. означава, че характеристиката вж. времето, през което системата може да бъде в този U.E., разбира се. Дефинира се като реципрочна стойност на общата вероятност за разпад на дадено ниво, т.е. сумата от вероятностите за всички възможни преходи от разглежданото ниво към всички останали. За радиация преходи, общата вероятност е , и . Крайността на времето, съгласно съотношението на неопределеността, означава, че енергията на нивото не може да бъде определена абсолютно точно, т.е. U.E. има определена ширина. Следователно излъчването или поглъщането на фотони по време на квантов преход не се извършва при строго определена честота, а в рамките на определен честотен интервал, лежащ в близост до стойността. Разпределението на интензитета в този интервал се дава от профила на спектралната линия, който определя вероятността честотата на фотон, излъчен или погълнат по време на даден преход, да е равна на:
(1)
където е полуширината на профила на линията. Ако разширяването на U.e. и спектралните линии са причинени само от спонтанни преходи, тогава такова разширяване се нарича. естествено. Ако сблъсъците на системата с други частици играят определена роля в разширението, тогава разширението има комбиниран характер и стойността трябва да бъде заменена със сумата, където се изчислява по подобен начин, но излъчването. вероятностите за преход трябва да бъдат заменени с вероятности за сблъсък.

Преходите в квантовите системи се подчиняват на определени правила за подбор, т.е. правила, установяващи как квантовите числа, характеризиращи състоянието на системата (MCD, паритет и т.н.), могат да се променят по време на преход. Правилата за избор са най-просто формулирани за радиация. преходи. В този случай те се определят от свойствата на началното и крайното състояние, както и от квантовите характеристики на излъчения или погълнат фотон, по-специално неговия MCD и паритет. Най-вероятните са т.нар електрически диполни преходи. Тези преходи се извършват между нива с противоположен паритет, чиито пълни MCD се различават по количество (преходът е невъзможен). В рамките на установената терминология тези преходи се наричат. позволен. Всички други видове преходи (магнитен дипол, електрически квадрупол и т.н.) се наричат. забранено. Значението на този термин е само, че техните вероятности се оказват много по-ниски от вероятностите за диполни електрически преходи. Те обаче не са абсолютно забранено.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принципът на размерното квантуване Целият комплекс от явления, обикновено разбирани под думите „електронни свойства на нискоразмерни електронни системи“, се основава на фундаментален физически факт: промяна в енергийния спектър на електроните и дупки в конструкции с много малки размери. Нека демонстрираме основната идея за квантуване на размера, използвайки примера на електрони, разположени в много тънък метален или полупроводников филм с дебелина a.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принцип на размерното квантуване Електроните във филма са разположени в потенциална яма с дълбочина, равна на работата на изхода. Дълбочината на потенциалната яма може да се счита за безкрайно голяма, тъй като работната функция надвишава топлинната енергия на носителите с няколко порядъка. Типичните стойности на работната функция в повечето твърди вещества са W = 4 -5 Oe. B, няколко порядъка по-висока от характерната топлинна енергия на носители, имащи порядък k. T, равна при стайна температура на 0,026 e. Б. Според законите на квантовата механика, енергията на електроните в такъв кладенец е квантована, т.е. може да приема само някои дискретни стойности En, където n може да приема цели стойности 1, 2, 3, … . Тези дискретни енергийни стойности се наричат ​​нива на квантуване на размера.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принципът на размерното квантуване За свободна частица с ефективна маса m*, чието движение в кристал по посока на оста z е ограничено от непроницаеми бариери (т.е. бариери с безкраен потенциал енергия), енергията на основното състояние се увеличава в сравнение със състоянието без ограничение с количеството. Това увеличение на енергията се нарича енергия на квантуване на размера на частицата. Енергията на квантуване е следствие от принципа на неопределеността в квантовата механика. Ако една частица е ограничена в пространството по оста z в рамките на разстояние a, несигурността на z компонента на нейния импулс се увеличава с количество от порядъка на ħ/a. Съответно, кинетичната енергия на частицата се увеличава с количеството E 1. Следователно, разглежданият ефект често се нарича ефект на квантовия размер.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принцип на размерното квантуване Изводът за квантуване на енергията на електронното движение се отнася само за движение през потенциалната яма (по оста z). Потенциалът на ямката не влияе на движението в равнината xy (успоредно на границите на филма). В тази равнина носителите се движат като свободни носители и се характеризират, както в масивна проба, с непрекъснат енергиен спектър, квадратичен по импулс с ефективна маса. Общата енергия на носителите във филм с квантов размер има смесен дискретен непрекъснат спектър

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принципът на квантуване на размера В допълнение към увеличаването на минималната енергия на частицата, ефектът на квантовия размер води и до квантуване на енергиите на нейните възбудени състояния. Енергиен спектър на филм с квантови размери - импулс на носителите на заряд в равнината на филма

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКА РАЗМЕРНОСТ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принцип на квантуване по размер Нека електроните в системата имат енергия по-малка от E 2 и следователно принадлежат към по-ниското ниво на квантуване по размер. Тогава никакъв еластичен процес (например разсейване върху примеси или акустични фонони), както и разсейването на електрони един върху друг, не може да промени квантовото число n, прехвърляйки електрона на по-високо ниво, тъй като това би изисквало допълнителна енергия. Това означава, че електроните по време на еластично разсейване могат да променят своя импулс само в равнината на филма, т.е. те се държат като чисто двуизмерни частици. Следователно структури с квантови размери, в които е запълнено само едно квантово ниво, често се наричат ​​двумерни електронни структури.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принципът на размерното квантуване Има и други възможни квантови структури, при които движението на носителите е ограничено не в една, а в две посоки, както в микроскопична жица или нишка (квантови нишки или проводници). В този случай носачите могат да се движат свободно само в една посока, по нишката (да я наречем оста x). В напречното сечение (равнина yz) енергията се квантува и приема дискретни стойности Emn (като всяко двуизмерно движение, то се описва от две квантови числа, m и n). Пълният спектър също е дискретно непрекъснат, но само с една непрекъсната степен на свобода:

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Принципът на размерното квантуване Възможно е също да се създават квантови структури, наподобяващи изкуствени атоми, където движението на носителите е ограничено и в трите посоки (квантови точки). В квантовите точки енергийният спектър вече не съдържа непрекъснат компонент, тоест не се състои от поддиапазони, а е чисто дискретен. Както в атома, той се описва с три дискретни квантови числа (без да се брои въртенето) и може да се запише като E = Elmn и, както в атома, енергийните нива могат да бъдат изродени и да зависят само от едно или две числа. Обща характеристика на нискоразмерните структури е фактът, че ако, поне в една посока, движението на носителите е ограничено до много малка област, сравнима по размер с дължината на вълната на де Бройл на носителите, техният енергиен спектър се променя забележимо и става частично или напълно дискретни.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Дефиниции Квантовите точки са структури, чиито размери и в трите посоки са няколко междуатомни разстояния (нулево-измерни структури). Квантови проводници (нишки) - квантови проводници - структури, чиито размери в две посоки са равни на няколко междуатомни разстояния, а в третата - макроскопична стойност (едномерни структури). Квантовите ямки са структури, чийто размер в една посока е няколко междуатомни разстояния (двумерни структури).

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКА РАЗМЕРНОСТ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Минимални и максимални размери Долната граница на квантуване на размера се определя от критичния размер Dmin, при който съществува поне едно електронно ниво в квантово-измерната структура. Dmin зависи от пропускащата зона на проводимост DEc в съответния хетеропреход, използван за получаване на структури с квантови ямки. В квантовата яма съществува поне едно електронно ниво, ако DEc надвишава стойността на h – константата на Планк, me* е ефективната маса на електрона, DE 1 QW е първото ниво в правоъгълна квантова яма с безкрайни стени.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ С НИСКИ РАЗМЕРИ Минимални и максимални размери Ако разстоянието между енергийните нива стане сравнимо с топлинната енергия k. BT, тогава населението на високи нива се увеличава. За квантова точка условието, при което популацията от по-високо разположени нива може да бъде пренебрегната, се записва като E 1 QD, E 2 QD - енергиите съответно на първо и второ ниво на квантуване по размер. Това означава, че ползите от квантуването на размера могат да бъдат напълно реализирани, ако Това условие задава горни граници за квантуване на размера. За Га. Ас-Алкс. Ga 1 -x. Тъй като тази стойност е 12 nm.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ С НИСКО РАЗМЕРЕНИЕ Разпределение на квантовите състояния в структури с ниско измерение Важна характеристика на всяка електронна система, заедно с нейния енергиен спектър, е плътността на състоянията g(E) (броят на състоянията на единица енергиен интервал E ). За триизмерните кристали плътността на състоянията се определя с помощта на циклични гранични условия на Борн-Карман, от които следва, че компонентите на електронния вълнов вектор не се променят непрекъснато, а приемат редица дискретни стойности, тук ni = 0 , ± 1, ± 2, ± 3, и са размерите кристал (във формата на куб със страна L). Обемът на k-пространството за квантово състояние е равен на (2)3/V, където V = L 3 е обемът на кристала.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО-ИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури По този начин броят на електронните състояния на обемен елемент dk = dkxdkydkz, изчислен на единица обем, ще бъде равен на тук, факторът 2 взема предвид две възможни ориентации на въртене. Броят на състоянията на единица обем в реципрочното пространство, т.е., плътността на състоянията) не зависи от вълновия вектор.С други думи, в реципрочното пространство разрешените състояния са разпределени с постоянна плътност.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури В общия случай е практически невъзможно да се изчисли функцията на плътността на състоянията по отношение на енергията, тъй като изоенергийните повърхности могат да имат доста сложна форма. В най-простия случай на закон за изотропна параболична дисперсия, валиден за ръбовете на енергийните ленти, може да се намери броят на квантовите състояния на обем на сферичен слой, затворен между две близки изоенергийни повърхности, съответстващи на енергиите E и E+d. д.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Обем на сферичен слой в k-пространството. dk – дебелина на слоя. Този обем ще представлява d. N състояния Като вземем предвид връзката между E и k според параболичния закон, получаваме Следователно плътността на състоянията в енергията ще бъде равна на m* - ефективната маса на електрона

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО-ИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в структури с намалена размерност Така, в триизмерни кристали с параболичен енергиен спектър, с увеличаване на енергията, плътността на разрешените енергийни нива (плътността на състоянията) ще се увеличи пропорционално на плътността на нивата в зоната на проводимост и във валентната зона. Площта на защрихованите области е пропорционална на броя на нивата в енергийния интервал d. д

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Нека изчислим плътността на състоянията за двумерна система. Общата енергия на носителя за изотропен параболичен закон на дисперсия във филм с квантов размер, както е показано по-горе, има смесен дискретно непрекъснат спектър.В двумерна система състоянията на електрон на проводимост се определят от три числа (n, kx , ky). Енергийният спектър е разделен на отделни двумерни En подзони, съответстващи на фиксирани стойности на n.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Кривите на постоянната енергия са окръжности в реципрочното пространство. Всяко дискретно квантово число n съответства на абсолютната стойност на z-компонентата на вълновия вектор. Следователно обемът в реципрочното пространство, ограничен от затворена повърхност с дадена енергия E в случай на двумерна система, се разделя на a брой секции.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Нека определим зависимостта на плътността на състоянията от енергията за двумерна система. За да направим това, за дадено n намираме площта S на пръстена, ограничен от две изоенергийни повърхности, съответстващи на енергиите E и E+d. E: Тук е големината на двумерния вълнов вектор, съответстващ на дадените n и E; dkr – ширина на пръстена. Тъй като едно състояние в равнината (kxky) съответства на областта, където L 2 е площта на двуизмерен филм с дебелина a, броят на електронните състояния в пръстена, изчислен за единица обем на кристала, ще бъде равно на, като се вземе предвид спинът на електрона

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКА РАЗМЕРНОСТ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Тъй като тук е енергията, съответстваща на дъното на n-та поддиапазон. По този начин, плътността на състоянията в двуизмерен филм, където Q(Y) е единичната функция на Хевисайд, Q(Y) =1 за Y≥ 0 и Q(Y) =0 за Y

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътността на състоянията в двуизмерен филм може също да бъде представена като цяло число, равно на броя на подлентите, чието дъно е под енергията E. Така , за двуизмерни филми с параболичен закон на дисперсия, плътността на състоянията във всяка подзона е постоянна и не зависи от енергията. Всеки поддиапазон има равен принос към общата плътност на състоянията. При фиксирана дебелина на филма, плътността на състоянията се променя рязко, когато не се променя с единица.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО РАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Зависимост на плътността на състоянията на двумерен филм от енергия (а) и дебелина а (б).

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО-ИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури В случай на произволен закон на дисперсия или друг тип потенциална яма, зависимостта на плътността на състоянието от енергията и дебелината на филма може да се различава от тези, дадени по-горе, но основната характеристика - немонотонното поведение - ще остане.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Нека изчислим плътността на състоянията за едномерна структура - квантова нишка. Законът за изотропна параболична дисперсия в този случай може да се запише във формата x е насочен по квантовата нишка, d е дебелината на квантовата нишка по осите y и z, kx е едномерният вълнов вектор. m, n са положителни цели числа, характеризиращи където оста на квантовите поддиапазони. Така енергийният спектър на квантовата нишка е разделен на отделни припокриващи се едномерни поддиапазони (параболи). Движението на електроните по оста x се оказва свободно (но с ефективна маса), а движението по другите две оси е ограничено.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКО-ИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Електронен енергиен спектър за квантова нишка

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова нишка спрямо енергията Брой квантови състояния на интервал dkx, изчислен на единица обем, където е енергията, съответстваща на дъното на подлентата с дадени n и m.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова нишка като функция на енергията Така Следователно Следователно При извеждането на тази формула спиновата дегенерация на състоянията и фактът, че един интервал d е взети предвид. E съответства на два интервала ±dkx от всяка подлента, за която (E-En, m) > 0. Енергията E се измерва от дъното на проводящата лента на масивната проба.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантовата нишка от енергията Зависимост на плътността на състоянията на квантовата нишка от енергията. Числата до кривите показват квантовите числа n и m. Коефициентите на израждане на нивата на поддиапазона са посочени в скоби.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ С НИСКА РАЗМЕРНОСТ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова нишка като функция на енергията В рамките на определен поддиапазон, плътността на състоянията намалява с увеличаване на енергията. Общата плътност на състоянията е суперпозиция на идентични намаляващи функции (съответстващи на отделни поддиапазони), изместени по енергийната ос. При E = E m, n, плътността на състоянията е равна на безкрайност. Поддиапазони с квантови числа n m се оказват двойно изродени (само за Ly = Lz d).

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова точка като функция на енергията С триизмерно ограничение на движението на частиците стигаме до проблема за намиране на разрешени състояния в квант точка или система с нулево измерение. Използвайки приближението на ефективната маса и закона за параболичната дисперсия, за ръба на изотропната енергийна лента спектърът на разрешените състояния на квантова точка с еднакви размери d по трите координатни оси ще има формата n, m, l = 1 , 2, 3 ... - положителни числа, номериращи поддиапазоните. Енергийният спектър на квантовата точка е набор от дискретни разрешени състояния, съответстващи на фиксирани n, m, l.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова точка като функция на енергията Брой състояния в поддиапазони, съответстващи на един набор n, m, l, изчислени за единица обем, Общо брой състояния с еднаква енергия, изчислени за единица обем Израждането на нивата се определя основно от симетрията на проблема. g – коефициент на израждане на ниво

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОИЗМЕРНИ ЕЛЕКТРОННИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова точка като функция на енергията Израждането на нивата се определя основно от симетрията на проблема. Например, за разглеждания случай на квантова точка с еднакви размери във всичките три измерения, нивата ще бъдат три пъти изродени, ако две квантови числа са равни едно на друго и не са равни на третото, и шест пъти изродени, ако всички квантови числа числата не са равни едно на друго. Специфичен тип потенциал може също да доведе до допълнителна, така наречена случайна дегенерация. Например, за разглежданата квантова точка, до трикратно израждане на нивата E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), свързано със симетрията на проблема, се добавя случайно израждане E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 както в първия, така и във втория случай), свързано с формата ограничаващ потенциал (безкрайна правоъгълна потенциална яма).

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Разпределение на квантовите състояния в нискоразмерни структури Плътност на състоянията в квантова точка като функция на енергията Разпределение на броя на разрешените състояния N в зоната на проводимост за квантова точка с еднакви размери във всички три измерения. Числата представляват квантови числа; Факторите на израждане на ниво са посочени в скоби.

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Триизмерни електронни системи Свойствата на равновесните електрони в полупроводниците зависят от функцията на разпределение на Ферми, която определя вероятността един електрон да бъде в квантово състояние с енергия E EF - ниво на Ферми или електрохимичен потенциал, T - абсолютна температура, k - константа на Болцман. Изчисляването на различни статистически величини е значително опростено, ако нивото на Ферми се намира в енергийната празнина и е значително отдалечено от дъното на зоната на проводимост Ec (Ec – EF) > k. T. Тогава в разпределението на Ферми-Дирак единицата в знаменателя може да бъде пренебрегната и тя преминава към разпределението на Максуел-Болцман на класическата статистика. Това е случаят на неизроден полупроводник

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Триизмерни електронни системи Функция на разпределение на плътността на състоянията в зоната на проводимост g(E), функция на Ферми-Дирак за три температури и функция на Максуел-Болцман за триизмерна електронен газ. При T = 0 функцията на Ферми-Дирак има формата на прекъсната функция. За E EF функцията е нула и съответните квантови състояния са напълно свободни. При T > 0 функцията на Ферми. Дирак се размазва в близост до енергията на Ферми, където тя бързо се променя от 1 на 0 и това размазване е пропорционално на k. T, т.е. колкото по-висока е температурата, толкова по-висока е. (Фиг. 1. 4. Гуртов)

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Триизмерни електронни системи Концентрацията на електрони в зоната на проводимост се намира чрез сумиране на всички състояния. Имайте предвид, че като горна граница в този интеграл ще трябва да вземем енергия на горния ръб на проводящата лента. Но тъй като функцията на Ферми-Дирак за енергии E>EF намалява експоненциално бързо с увеличаване на енергията, замяната на горната граница с безкрайност не променя стойността на интеграла. Замествайки стойностите на функциите в интеграла, получаваме -ефективна плътност на състоянията в зоната на проводимост

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Двумерни електронни системи Нека определим концентрацията на носители на заряд в двумерен електронен газ. Тъй като плътността на състоянията на двуизмерен електронен газ получаваме Тук горната граница на интегриране също се приема равна на безкрайност, като се вземе предвид рязката зависимост на функцията на разпределение на Ферми-Дирак от енергията. Интегриране къде

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Двуизмерни електронни системи За неизроден електронен газ, когато В случай на ултратънки филми, когато може да се вземе предвид запълването само на долната подлента За силно израждане на електронния газ, когато където n 0 е цяла част

ЕЛЕКТРОННИ СВОЙСТВА НА НИСКОРАЗМЕРНИ СИСТЕМИ Статистика на носителите в нискоразмерни структури Трябва да се отбележи, че в системите с квантови размери, поради по-ниската плътност на състоянията, състоянието на пълно израждане не изисква изключително високи концентрации или ниски температури и е доста често се реализира в експерименти. Например в n-Ga. Тъй като при N 2 D = 1012 cm-2, дегенерацията ще настъпи вече при стайна температура. В квантовите нишки интегралът за изчислението, за разлика от двумерните и тримерните случаи, не се изчислява аналитично при произволно израждане и прости формули могат да бъдат написани само в ограничаващи случаи. В неизроден едномерен електронен газ в случай на ултратънки нишки, когато е възможно да се вземе предвид запълването само на най-ниското ниво с енергия E 11 концентрация на електрони, където е едномерната ефективна плътност на състоянията

Квантови системи от еднакви частици

Квантовите характеристики на поведението на микрочастиците, които ги отличават от свойствата на макроскопичните обекти, се появяват не само при разглеждане на движението на една частица, но и при анализиране на поведението системи микрочастици . Това най-ясно се вижда в примера на физически системи, състоящи се от еднакви частици - системи от електрони, протони, неутрони и др.

За система от н частици с маси T 01 , T 02 , … T 0 аз , … м 0 н, с координати ( х аз , г аз , z аз), вълновата функция може да бъде представена като

Ψ (х 1 , г 1 , z 1 , … х аз , г аз , z аз , … х н , г н , z н , T) .

За елементарен обем

dV аз = dx аз . dy аз . дз аз

величина

w =

определя вероятността една частица да е в обема dV 1, другото по обем dV 2 и т.н.

По този начин, знаейки вълновата функция на система от частици, може да се намери вероятността за всяка пространствена конфигурация на система от микрочастици, както и вероятността за всяко механично количество, както за системата като цяло, така и за отделна частица, и също така изчислете средната стойност на механичното количество.

Вълновата функция на система от частици се намира от уравнението на Шрьодингер

, Където

Функционален оператор на Хамилтон за система от частици

+ .

мощност функция за аз- о частици във външно поле и

Енергия на взаимодействие аз- о и й- о частици.

Неразличимост на еднаквите частици в кванта

механика

Частици, които имат еднаква маса, електрически заряд, спин и т.н. ще се държи по абсолютно същия начин при същите условия.

Хамилтонианът на такава система от частици с еднакви маси м oi и идентични степенни функции U i може да бъде написано във формата, представена по-горе.

Ако промените системата аз- ей и й- y частици, тогава поради идентичността на еднаквите частици състоянието на системата не трябва да се променя. Общата енергия на системата, както и всички физически величини, характеризиращи нейното състояние, ще останат непроменени.

Принципът на идентичност на еднаквите частици: В система от еднакви частици се реализират само такива състояния, които не се променят, когато частиците се сменят.

Симетрични и антисиметрични състояния

Нека въведем оператора за пермутация на частици в разглежданата система - . Ефектът от този оператор е, че той разменя аз- Еха Ий- y частици на системата.

Принципът на идентичност на идентични частици в квантовата механика води до факта, че всички възможни състояния на система, образувана от идентични частици, се разделят на два типа:

симетричен, за което

антисиметричен, за което

(х 1 , г 1 ,z 1 … х н , г н , z н , T) = - Ψ А ( х 1 , г 1 ,z 1 … х н , г н , z н , T).

Ако вълновата функция, описваща състоянието на системата, е симетрична (антисиметрична) във всеки момент от времето, тогава този тип симетрия остава същата по всяко друго време.

Бозони и фермиони

Наричат ​​се частици, чиито състояния се описват със симетрични вълнови функции бозони Статистика на Бозе-Айнщайн . Бозоните включват фотони, π- И Да се-мезони, фонони в твърди тела, екситони в полупроводници и диелектрици. Всички бозони иматнула или цяло число завъртане .

Наричат ​​се частици, чиито състояния се описват с антисиметрични вълнови функции фермиони . Системите, състоящи се от такива частици, се подчиняват Статистика на Ферми-Дирак . Фермионите включват електрони, протони, неутрони, неутрино и всички елементарни частици и античастици споловин-цяло въртене.

Връзката между въртенето на частица и вида на статистиката остава валидна в случай на сложни частици, състоящи се от елементарни. Ако общият спин на сложна частица е равен на цяло число или нула, тогава тази частица е бозон, а ако е равен на полуцяло число, тогава частицата е фермион.

Пример: α частица() се състои от два протона и два неутрона, т.е. четири фермиона със спинове +. Следователно спинът на ядрото е 2 и това ядро ​​е бозон.

Ядрото на лекия изотоп се състои от два протона и един неутрон (три фермиона). Въртенето на това ядро. Следователно ядрото е фермион.

Принцип на Паули (изключване на Паули)

В системата на идентичнифермиони Не може да има две частици в едно и също квантово състояние.

Що се отнася до система, състояща се от бозони, принципът на симетрия на вълновите функции не налага никакви ограничения върху състоянията на системата. Може да бъде в същото състояние произволен брой еднакви бозони.

Периодична система от елементи

На пръв поглед изглежда, че в един атом всички електрони трябва да запълнят нивото с възможно най-ниската енергия. Опитът показва, че това не е така.

Всъщност, в съответствие с принципа на Паули, в атом Не може да има електрони с еднакви стойности на четирите квантови числа.

Всяка стойност на главното квантово число П отговаря 2 П 2 състояния, различаващи се едно от друго в стойностите на квантовите числа л , м И м С .

Набор от електрони в атом с еднакви стойности на квантово число П образува така наречената черупка. Според броя П

Черупките се делят на подчерупки, различаващи се по квантово число л . Броят на състоянията в подобвивката е 2 (2 л + 1).

Различните състояния в подчерупката се различават по стойности на квантовите числа T И м С .

Черупка

Подчерупка

T С

системата се състои отголямо число идентиченподсистеми, възможна е синхронизация на радиаторите. квантовопреходи към различен... клас няма да излъчва. квантовопреходите съставляват тунелни проходи частици. Тунел квантовопреходите ви позволяват да опишете... Изчисляване квантово- химични параметри на PAS и определяне на връзката структура-активност на примера на сулфонамиди Дипломна работа >> Химия Xn) - вълнова функция за системи отн частици, което зависи от тяхното... пространство. Всъщност електроните с идентиченгърбовете им се опитват да избегнат неточността на резултатите. сулфонамид квантовохимична органична молекула Още... Обща и неорганична химия Учебно ръководство >> Химия Има два електрона едновременно същотокомплект от четири квантово квантовочисла (запълване на орбитали с електрони... близо до енергийната стойност E системи отн частици. За първи път връзката между Е. и вероятността от държав системие създадена от Л. Болцман...

Квантова система

За да се обяснят много свойства на микрочастиците (фотони, електрони и др.), са необходими специални закони и подходи на квантовата механика. Квантовите свойства на микросвета се проявяват чрез свойствата на макросистемите. Микрообектите съставляват определена физическа система, която се нарича квантова. Примери за квантови системи включват: фотонен газ, електрони в метали. Съгласно условията квантова система, квантова частица човек трябва да разбира материален обект, който е описан с помощта на специалния апарат на квантовата механика.

Квантовата механика изследва свойствата и явленията в света на микрочастиците, които класическата механика не може да интерпретира. Такива характеристики например бяха: двойствеността на вълната и частицата, дискретността и съществуването на спинове. Методите на класическата механика не могат да опишат поведението на частиците от микросвета. Едновременните вълнови и корпускулярни свойства на микрочастицата не позволяват да се определи състоянието на частицата от класическа гледна точка.

Този факт е отразен в зависимостта на несигурността на Хайзенберг ($1925):

където $\triangle x$ е грешката при определяне на координатата, $\triangle p$ е грешката при определяне на импулса на микрочастицата. Тази връзка може да се запише като:

където $\triangle E$ е несигурността в енергийната стойност, $\triangle t$ е несигурността във времето. Съотношения (1) и (2) показват, че ако една от величините в тези зависимости е определена с висока точност, то другият параметър има голяма грешка при определяне. В тези отношения $\hbar =1,05\cdot (10)^(-34)J\cdot s$. По този начин състоянието на микрочастицата в квантовата механика не може да бъде описано, като се използват едновременно координати и импулс, което е възможно в класическата механика. Подобна ситуация се отнася за енергията в даден момент от времето. Състояния с определена енергийна стойност могат да се получат само в стационарни случаи (т.е. в случаи, които нямат точна дефиниция във времето).

Имайки корпускулярни и в същото време вълнови свойства, микрочастицата няма точна координата, а е „размазана“ в определена област на пространството. Ако има две или повече частици в определен регион на пространството, не е възможно да ги различим една от друга, тъй като е невъзможно да проследим движението на всяка. От горното следва, че частиците са идентични в квантовата механика.

Някои параметри, свързани с микрочастиците, приемат дискретни стойности, които класическата механика не може да обясни. В съответствие с разпоредбите и законите на квантовата механика, в допълнение към енергията на системата, ъгловият импулс на системата може да бъде дискретен:

където $l=0,1,2,\dots $

spin може да приема следните стойности:

където $s=0,\ \frac(1)(2),\ 1,\ \frac(3)(2),\dots $

Проекцията на магнитния момент върху посоката на външното поле приема следните стойности:

където $m_z$ е магнитно квантово число, което приема стойностите: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

$(\mu )_B$ -- Магнетон на Бор.

За да се опишат математически квантовите характеристики на физическите величини, на всяка величина се присвоява оператор. По този начин в квантовата механика физическите величини се представят от оператори и техните стойности се определят от средната стойност на собствените стойности на операторите.

Състояние на квантовата система

Всяко състояние в квантовата система се описва с помощта на вълнова функция. Тази функция обаче прогнозира параметрите на бъдещото състояние на системата с определена степен на вероятност, а не надеждно, което е фундаментална разлика от класическата механика. Така за параметрите на системата вълновата функция определя вероятностните стойности. Подобна несигурност и неточност на прогнозите най-вече предизвикаха спорове сред учените.

Измерени параметри на квантова система

Най-глобалните разлики между класическата и квантовата механика се крият в ролята на измерване на параметрите на изследваната квантова система. Проблемът с измерванията в квантовата механика е, че когато се опитва да измери параметрите на микросистема, изследователят действа върху системата с макроустройство, като по този начин променя състоянието на самата квантова система. По този начин, когато се опитваме да измерим точно параметър на микрообект (координата, импулс, енергия), ние се сблъскваме с факта, че самият процес на измерване променя параметрите, които се опитваме да измерим, и то значително. Невъзможно е да се направят точни измервания в микрокосмоса. Винаги ще има грешки според принципа на неопределеността.

В квантовата механика динамичните променливи се представят чрез оператори, така че няма смисъл да се говори за числени стойности, тъй като операторът определя действието върху вектора на състоянието. Резултатът също е представен като пространствен вектор на Хилберт, а не като число.

Бележка 1

Само ако векторът на състоянието е собствен вектор на оператора на динамична променлива, тогава неговото действие върху вектора може да се сведе до умножение по число, без да се променя състоянието. В този случай операторът на динамична променлива може да бъде свързан с едно число, което е равно на собствената стойност на оператора. В този случай можем да приемем, че динамичната променлива има определена числена стойност. Тогава динамичната променлива има количествена стойност, независима от измерването.

В случай, че векторът на състоянието не е собствен вектор на оператора на динамична променлива, тогава резултатът от измерването не става еднозначен и те говорят само за вероятността на определена стойност, получена при измерването.

Резултатите от теорията, които са емпирично проверими, са вероятността за получаване на динамична променлива при измерване с голям брой измервания за един и същ вектор на състоянието.

Основната характеристика на квантовата система е вълновата функция, която е въведена от М. Борн. Физическият смисъл най-често се определя не от самата вълнова функция, а от квадрата на нейния модул, който определя вероятността една квантова система да се намира в дадена точка от пространството в даден момент от времето. Основата на микросвета е вероятността. В допълнение към познаването на вълновата функция, за да се опише една квантова система, е необходима информация за други параметри, например за параметрите на полето, с което системата взаимодейства.

Процесите, протичащи в микрокосмоса, са извън границите на човешкото сетивно възприятие. Следователно понятията и феномените, които използва квантовата механика, са лишени от яснота.

Пример 1

Упражнение:Каква е минималната грешка, с която може да се определи скоростта на електрон и протон, ако координатите на частиците са известни с несигурност от $1$ µm.

Решение:

Като основа за решаване на задачата използваме отношението на несигурност на Хайзенберг във формата:

\[\triangle p_x\triangle x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

където $\triangle x$ е несигурността на координатата, $\triangle p_x$ е несигурността на проекцията на импулса на частицата върху оста X. Големината на несигурността на импулса може да се изрази като:

\[\триъгълник p_x=m\триъгълник v_x\наляво(1.2\вдясно).\]

Замествайки дясната страна на израз (1.2) вместо несигурността на проекцията на импулса в израз (1.1), имаме:

От формула (1.3) изразяваме желаната несигурност на скоростта:

\[\triangle v_x\ge \frac(\hbar )(m\триъгълник x)\left(1.4\right).\]

От неравенство (1.4) следва, че минималната грешка при определяне на скоростта на частиците е равна на:

\[\триъгълник v_x=\frac(\hbar )(m\триъгълник x).\]

Знаейки масата на електрона $m_e=9.1\cdot (10)^(-31)kg,$ нека направим изчисленията:

\[\триъгълник v_(ex)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(9,1\cdot (10)^(-31)\cdot (10)^(-6) )=1,1\ cdot (10)^2(\frac(m)(s)).\]

масата на протона е равна на $m_p=1,67\cdot (10)^(-27)kg$, нека изчислим грешката при измерване на скоростта на протона при дадени условия:

\[\триъгълник v_(px)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(1,67\cdot (10)^(-27)\cdot (10)^(-6) )=0,628\ cdot (10)^(-1)(\frac(m)(s)).\]

Отговор:$\триъгълник v_(ex)=1.1\cdot (10)^2\frac(m)(s),$ $\триъгълник v_(px)=0.628\cdot (10)^(-1)\frac( m) (s).$

Пример 2

Упражнение:Каква е минималната грешка при измерване на кинетичната енергия на електрон, ако той се намира в област с размер l.

Решение:

Като основа за решаване на задачата използваме отношението на несигурност на Хайзенберг във формата:

\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \triangle p_x\ge \frac(\hbar )(l)\left(2.1\right).\]

От неравенство (2.1) следва, че минималната импулсна грешка е равна на:

\[\триъгълник p_x=\frac(\hbar )(l)\left(2.2\right).\]

Грешката на кинетичната енергия може да се изрази като:

\[\триъгълник E_k=\frac((\left(\triangle p_x\right))^2)(2m)=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\ надясно))^22\cdot m_e).\]

Отговор:$\триъгълник E_k=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\right))^22\cdot m_e).$

В първата и втората част на учебника се приемаше, че частиците, които изграждат макроскопичните системи, се подчиняват на законите на класическата механика. Оказа се обаче, че за да обясним много свойства на микрообектите, вместо класическата механика, трябва да използваме квантовата механика. Свойствата на частиците (електрони, фотони и др.) в квантовата механика са качествено различни от обичайните класически свойства на частиците. Квантовите свойства на микрообектите, съставляващи определена физическа система, се проявяват и в свойствата на макроскопичната система.

Като такива квантови системи ще разглеждаме електрони в метал, фотонен газ и т.н. По-нататък под думата квантова система или частица ще разбираме определен материален обект, описан от апарата на квантовата механика.

Квантовата механика описва свойствата и особеностите, присъщи на частиците от микросвета, които често не можем да обясним на базата на класически концепции. Такива характеристики включват например частицно-вълновия дуализъм на микрообектите в квантовата механика, открит и потвърден от многобройни експериментални факти, дискретността на различни физични параметри, „спинови“ свойства и др.

Специалните свойства на микрообектите не позволяват тяхното поведение да бъде описано с конвенционалните методи на класическата механика. Например наличието на микрочастица, проявяваща едновременно вълнови и корпускулярни свойства

не позволява едновременно точно измерване на всички параметри, които определят състоянието на една частица от класическа гледна точка.

Този факт е отразен в така наречената връзка на неопределеността, открита през 1925 г. от Хайзенберг, която се състои в това, че неточностите при определяне на координатата и импулса на микрочастицата са свързани с връзката:

Последицата от тази връзка е редица други връзки между различни параметри и по-специално:

където е несигурността в стойността на енергията на системата и несигурността във времето.

И двете горни зависимости показват, че ако едно от количествата е определено с голяма точност, то второто количество се оказва определено с ниска точност. Неточностите тук се определят чрез константата на Планк, която практически не ограничава точността на измерванията на различни величини за макроскопични обекти. Но за микрочастици с ниски енергии, малки размери и моменти, точността на едновременното измерване на отбелязаните параметри вече не е достатъчна.

По този начин състоянието на микрочастицата в квантовата механика не може да бъде едновременно описано с помощта на координати и моменти, както се прави в класическата механика (каноничните уравнения на Хамилтън). По същия начин не можем да говорим за стойността на енергията на частицата в даден момент. Състояния с определена енергия могат да се получат само в стационарни случаи, т.е. не са точно определени във времето.

Притежавайки корпускулярно-вълнови свойства, всяка микрочастица няма абсолютно точно определена координата, а изглежда „размазана“ в пространството. Ако има определена област от пространството на две или повече частици, ние не можем да ги различим една от друга, тъй като не можем да проследим движението на всяка от тях. Това предполага фундаменталната неразличимост или идентичност на частиците в квантовата механика.

Освен това се оказва, че величините, характеризиращи някои параметри на микрочастиците, могат да се променят само в определени части, кванти, откъдето идва и наименованието квантова механика. Тази дискретност на много параметри, които определят състоянията на микрочастиците, също не може да бъде описана в класическата физика.

Според квантовата механика, в допълнение към енергията на системата, дискретни стойности могат да приемат ъгловия импулс на системата или спина, магнитния момент и техните проекции към всяка избрана посока. По този начин квадратът на ъгловия момент може да приема само следните стойности:

Завъртането може да приема само стойности

къде би могло да бъде

Проекцията на магнитния момент върху посоката на външното поле може да приема стойности

където е магнетонът на Бор и магнитното квантово число, приемайки стойността:

За да се опишат математически тези характеристики на физическите величини, всяка физическа величина трябваше да бъде свързана с определен оператор. Следователно в квантовата механика физическите величини се представят чрез оператори и техните стойности се определят като средни стойности на собствените стойности на операторите.

При описанието на свойствата на микрообектите беше необходимо, в допълнение към свойствата и параметрите, срещани в класическото описание на микрочастиците, да се въведат нови, чисто квантови параметри и свойства. Те включват "въртенето" на частицата, което характеризира нейния собствен ъглов импулс, "обменно взаимодействие", принципа на Паули и др.

Тези характеристики на микрочастиците не позволяват те да бъдат описани с помощта на класическата механика. В резултат на това микрообектите се описват от квантовата механика, която отчита отбелязаните характеристики и свойства на микрочастиците.