Косинусната стойност от 0. Косинусът на остър ъгъл може да бъде определена с правоъгълен триъгълник - той е равен на съотношението на съседната категория към хипотенузата

Внимание!
Тази тема има допълнителни
Материали в специален раздел 555.
За тези, които са силно "не много ..."
И за тези, които са "много ...")

На първо място, напомням на прост, но много полезен извод от урока "Какво е синус и косинус? Какво е допирателна и котангени?"

Това заключение е:

Синус, косинус, допирателни и котангени са здраво свързани с техните ъгли. Ние знаем едно нещо - това означава, че знаем другия.

С други думи, всеки ъгъл има собствена постоянна синуса и косинус. И почти всеки има своя собствена допирателна и котангента. Защо почти? За това по-долу.

Това знание страхотно помага в проучването! Има много задачи, в които трябва да се преместите от синусите към ъглите и обратно. Съществуват за това таблица на синусите. По същия начин, за задачи с косинус - косинусна маса. И, както вече се досетихте, има таблици за маса и таблица на съдържателите.)

Таблиците са различни. Дълги, където можете да видите какво е равно на, да речем, sin37 ° 6 '. Разкрийте масите на Брейди, търсейки ъгъл от тридесет и седем градуса шест минути и вижте стойността от 0.6032. Ясно е, за да запомните този брой (и хиляди други таблични стойности) не е абсолютно необходимо.

По същество, в наше време, дългите таблици на косинските синуси на допирателите на котарници не са особено необходими. Един добър калкулатор ги заменя напълно. Но това не пречи на съществуването на такива таблици. За обща ерудиция.)

И защо тогава този урок?! - ти питаш.

Но защо. Сред безкрайния брой ъгли има специален, които трябва да знаете всичко. В тези ъгли бяха построени всички училищни геометрия и тригонометрия. Това е вид, тригонометрия "Multiplication Table". Ако не знаете какъв е равен, например, SIN50 °, никой няма да ви осъди.) Но ако не знаете какво е равно на SIN30 °, бъдете готови да получите заслужено две ...

Такива специален Ъглите също се назначават прилично. Учебниците за училище обикновено предлагат да се запомнят таблица на синусовата маса и косинус За седемнадесет ъгли. И разбира се, таблица за таблица и таблица на катастрофата За същите седемнадесет ъгли ... т.е. Предлага се да запомните 68 стойности. Което, между другото, са много сходни помежду си, то се повтаря и променя знаците. За човек без перфектна визуална памет - още една задача ...)

Ще отидем по друг начин. Ние заменяме механичното запаметяване на логиката и топенето. Тогава ще трябва да излезем от 3 (три!) Стойности за таблицата за синусовата маса и косинус. И 3 (три!) Стойности за допирателни маси и таблици за котанеци. И това е. Шест ценности помнете по-лесно от 68, изглежда ми ...)

Всички други необходими значими ще получаваме от тези шест с помощта на мощна легитимна ясла - тригонометричен кръг. Ако не сте изучавали тази тема, отидете по референция, не бъдете мързеливи. Този кръг е не само за този урок. Той е незаменим за цялата тригонометрия незабавно. Не използвайте такъв инструмент просто греха! Не искате? Това е вашият бизнес. Изследвам таблица на синусите. Таблица на косинус. Таблица с табла. Таблица на съдържателите. Всички 68 стойности за различни ъгли.)

Така че, нека започнем. За да започнем, ние прекъсваме всички тези специални ъгли в три групи.

Първа група ъгли.

Помислете за първата група ъгли от седемнадесет години специален. Той е 5 ъгли: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °.

Ето как синусовата маса на котнените засяга за тези ъгли изглежда:

Ъгъл H. (в градуси)	0	90	180	270	360
Ъгъл H. (в радиани)	0
sIN X.	0	1	0	-1	0
cos X.	1	0	-1	0	1
tG X.	0	не есенция.	0	не есенция.	0
cTG X.	не есенция.	0	не есенция.	0	не есенция.

Тези, които искат да си спомнят - не забравяйте. Но аз веднага ще кажа, че всички тези единици и желати са много объркани в главата. Това е много по-силно, отколкото искам.) Затова включваме логиката и тригонометричния кръг.

Ние нарисуваме кръг и празнуваме същите тези ъгли на него: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Забелязах тези ъгли с червени точки:

Веднага можете да видите каква е функцията на тези ъгли. Да! Това са ъглите, които падат точно на оста на координатите! Всъщност, хората са объркани ... но ние няма да бъдем объркани. Нека да разгледаме как да намерим тригонометричните функции на тези ъгли без много запаметяване.

Между другото, позицията на ъгъла на 0 градуса напълно съвпада С позицията на ъгъл от 360 градуса. Това означава, че сините, косините, допирателните в тези ъгли са напълно еднакви. Забелязах ъгъл от 360 градуса, за да затворя кръга.

Да предположим, в сложния стрес на изпита, някак си оцветяват ... Какво е синуса 0 градуса? Изглежда, че е нула ... какво, ако някой?! Механично запаметяване на такова нещо. В тежки условия, съмнение гризането ...)

Спокойно, само спокойно!) Ще ви кажа практическо приемане, което ще даде сто процента правилен отговор и със сигурност ще премахне всякакви съмнения.

Като пример ще опишем как ясно и надеждно определяме, да речем, синус 0 градуса. И в същото време и косинус 0. Това е в тези ценности, достатъчно странно, често хората са объркани.

За да направите това, нарисувайте кръг арбитриче ъгъл х.. През първото тримесечие, до недалеч от 0 градуса. Забележка за осите на синусите и косинуса на този ъгъл х, Всичко е Чин-чин. Като този:

И сега - Внимание! Намалете ъгъла х., донесете движещата се страна на оста ОН. Преместете курсора върху снимката (или докоснете снимки на таблета) и вижте всичко.

Сега включете елементарната логика!. Изглеждаме и мислим: как се държи синкс с намаление на ъгъла X? Когато се приближавате до ъгъла до нула? Намалява! И cosx - увеличава! Остава да разбереш какво ще се случи със синуса, когато ъгълът изобщо се случва? Когато подвижната страна на ъгъла (точка А) се изразходва за оста, и ъгълът ще бъде равен на нула? Очевидно е, че ъгълът на синуса ще отиде на нула. И косинусът ще се увеличи до ... каква е дължината на подвижната страна на ъгъла (радиусът на тригонометричния кръг)? Мерна единица!

Това е отговорът. Sinus 0 градуса е 0. Косинус 0 градуса е равен на 1. Напълно желязо и без съмнение!) Просто защото в противен случай не може да бъде.

Възможно е да се научат (или изясняване) на синуса от 270 градуса, например. Или косинус 180. Начертайте кръг, арбитриче Ъгълът на координатите Вие се интересувате от ос на САЩ, психически преместете страната на ъгъла и да хванете това, което синусът и косинусът ще станат, когато страната на ъгъла е изразходвана за оста. Това е всичко.

Както виждате, не е необходимо да запомняте всичко за тази група ъгли. Не е необходимо тук синусова маса ... Да аз. таблица Косинев - Също така.) Между другото, след няколко приложения на тригонометричен кръг, всички тези ценности ще бъдат запомнени сами. И ако забравят - рисувах кръг за 5 секунди и изяснен. Много по-лесно от призоваването на приятел от тоалетна с риск за сертификат, нали?)

Що се отнася до допирателната и котон - все пак. Привличаме кръга по допирателната линия (Kotangens) - и всичко е веднага видимо. Където са нула, и къде - не съществуват. Какво, не знам за линията на допирателната и котнец? Това е тъжно, но фиксируемо.) Посетихме секцията 555 допирателни и котангени на тригонометричен кръг - и няма проблеми!

Ако разберете как да дефинирате синуса, косинус, допирателни и катангени за тези пет ъгли - поздравявам ви! Само в случай, че ви информирам сега, можете да дефинирате функции всички ъгли, попадащи върху оста. И това е 450 °, и 540 °, и 1800 °, и дори безкрайно число ...) преброени (надясно!) Ъгъл на кръга - и няма проблеми с функциите.

Но само с обратното отброяване на ъглите и има проблеми, да, грешки ... Как да ги избегнем, той е написан в урока: как да нарисувате (броя) всеки ъгъл на тригонометричния кръг в градуси. Той е елементарен, но помага в борбата срещу грешките.)

Но урокът: как да се направи (броя) всеки ъгъл на тригонометричен кръг в радианите - ще бъде по-рязко. В смисъл на възможности. Да речем, определете кой от четирите полу-оси ъгъл

можете след няколко секунди. Не се шегувам! Това е след няколко секунди. Е, разбира се, не само 345 "pi" ...) и 121, и 16 и -1345. Всеки цялостен коефициент е подходящ за моментна реакция.

И ако ъгълът

Мисля! Правилният отговор се получава за 10 секунди. За всяка част от фракционната радиация с двойки в знаменателя.

Всъщност това е добър тригонометичен кръг. Факта, че способността да се работи нещо подобно той автоматично разширява ъглите безкраен комплект Ъгли.

Така че, с пет ъгли от седемнадесет - измислени.

Втора група ъгли.

Следващата група ъгли е 30 °, 45 ° и 60 ° ъгли. Защо тези, а не, например, 20, 50 и 80? Да, по някакъв начин се случи така ... исторически.) Тогава ще се види какви са тези ъгли.

Синусовата маса на косиньорите на допирателите на катастрофата за тези ъгли изглеждат така:

Ъгъл H. (в градуси)	0	30	45	60	90
Ъгъл H. (в радиани)	0
sIN X.	0				1
cos X.	1				0
tG X.	0		1		не есенция.
cTG X.	не есенция.		1		0

Оставих стойностите за 0 ° и 90 ° от предишната маса, за да завърша снимката.) За да се види, че тези ъгли лежат през първото тримесечие и се увеличават. От 0 до 90. Тя ще бъде полезна.

Стойностите на таблицата за ъгли 30 °, 45 ° и 60 ° трябва да бъдат запомнени. Разделете, ако искате. Но тук е възможно да се улесни живота ми.) Обърнете внимание стойности на синусовата маса Тези ъгли. И сравнете С. стойностите на косинусовата маса ...

Да! Те са същото! Подредени само в обратен ред. Увеличава се ъглите (0, 30, 45, 60, 90) - и синусни стойности нараства От 0 до 1. Можете да се уверите, че калкулаторът. И ценности на косин - намаление от 1 до нула. И самите ценности същото. За ъгли 20, 50, 80 не биха работили ...

Следователно полезното заключение. Достатъчно, за да се научи три Стойности за ъгли 30, 45, 60 градуса. И не забравяйте, че синусът се увеличава и Kosinus намалява. Към синусу.) На половината от пътя (45 °) те се срещат, т.е. синус 45 градуса равен на косинус 45 градуса. И тогава отново се различават ... Три ценности могат да бъдат научени, нали?

С тангента - котаренци, картината е изключително същата. Един в един. Само стойностите са различни. Тези стойности (още трима!) Трябва също да научим.

Е, почти запаметяването и приключи. Разбрахте (надявам се) как да се определят стойностите за пет ъгли на осите, попадащи върху оста и научиха стойностите за ъглите 30, 45, 60 градуса. Общо 8.

Остава да се справим с последната група от 9 ъгли.

Това са тези ъгли:
120 °; 135 °; 150 °; 210 °; 225 °; 240 °; 300 °; 315 °; 330 °. За тези ъгли е необходимо да се знае синусовата маса, косинусовата маса и др.

Кошмар, нали?)

И ако добавите ъгъл тук, като: 405 °, 600 ° или 3000 ° и много, много от същите красиви?)

Или ъгли в радиани? Например, за ъглите:

и много други, трябва да знаете всичко.

Смешното нещо, което трябва да знам е всичко - това е невъзможно по принцип. Ако използвате механична памет.

И много лесно, всъщност елементарно - ако използвате тригонометичен кръг. Ако се овладеете с практическа работа с тригонометричен кръг, всички тези ужасни ъгли в градуси ще бъдат лесно и елегантно слизат до старото добро:

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и деривати.

Примери:

(COS (\u206130 ^ °) \u003d \\ t (FRAC (SQRT (3)) (2) \\ t
(COS\u2061) (FRAC (π) (3) (3) \\ t (\u003d \\ t (1) \\ t
(COS\u20612 \u003d -0.416 ... \\ t

Аргумент и стойност

Косинус на остър ъгъл

Косинус на остър ъгъл Тя може да бъде определена с правоъгълен триъгълник - равен е на съотношението на съседния катеш за хипотенуза.

Пример :

1) Нека бъде даден ъгъл и трябва да се определи косинус на този ъгъл.

2) В този ъгъл е завършен правоъгълен триъгълник.

3) Измерване, необходимите страни могат да изчислят косина.

Косинус на остър ъгъл, по-голям от (0) и по-малко (1)

Ако при решаването на проблема със косине остър кът Оказа се повече от 1 или отрицателно, това означава някъде в решението има грешка.

Номер на косинус

Кръгът на броя ви позволява да определите косинуса на произволен брой, но обикновено са косинус на числа, свързани с: (frac (π) (2), \\ t (frac (3π) (4), \\ t (- 2π).

Например, за броя (frac (π) (6) - косинусът ще бъде равен на (frac (sqrt (3)) (2). И за броя (- \\ t (3π) (4), той ще бъде равен на (-) \\ t (FRAC (SQRT (2)) (2) \\ t (приблизително \\ t (- 0, 71)).

Косинус за други, обичайни в практиката на номерата, гледа.

Стойността на косинуса винаги се намира в границите на (- 1) до (1). В този случай косинусът може да бъде изчислен за абсолютно всеки ъгъл и номера.

Косинус на всеки ъгъл

Благодарение на цифровия кръг, можете да дефинирате косинус не само остър ъгъл, но и глупав, отрицателен и дори повече от (360 °) (пълна революция). Как да го направя - по-лесно е да се види веднъж, отколкото (100) веднъж, за да чуете, затова вижте снимката.

Сега обяснение: нека трябва да дефинирате косинуса на ъгъла Колерия с измервателна мярка в (150 °). Ние комбинираме точката ОТНОСНО С центъра на кръга и страната Добре - с ос (x). След това отлагаме (150 °) обратно на часовниковата стрелка. Тогава ордината е смисълът НО Показва ни косинус на този ъгъл.

Ако се интересуваме от ъгъл със степен, например, в (- 60 °) (ъгъл COV.), Ние също така, но (60 °) отлагат по посока на часовниковата стрелка.

И накрая ъгъл повече (360 °) (ъгъл За това) - всичко е подобно на тъп, просто минавайки пълния обхват по посока на часовниковата стрелка, отиваме във втория кръг и "получаваме липса на степени". По-конкретно, в нашия случай, ъгълът (405 °) се отлага като (360 ° + 45 °).

Лесно е да се отгатне, че за полагане на ъгъл, например, в (960 °), вече е необходимо да се правят две завои (360 ° + 360 ° + 240 °)) и за ъгъл в \\ t (2640 °) - цели числа седем.

Струва си да се припомни, че:

Директният ъгъл косинус е нула. Косинусът на глупав ъгъл е отрицателен.

Косинусови знаци на четвъртинки

С помощта на косинусната ос (т.е. оста на абсцисата, избрана във фигурата в червено), може лесно да определи признаците на косина върху цифров (тригонометричен) кръг:

Където стойностите са на оста от (0), косинусът ще има знак плюс (i и iv квартал - зелена зона),
- когато стойностите на оста (0) до (- 1), косинусът ще има минус (II и QIII III и III-лилав регион).

Пример. Определете знака (защото 1).
Решение: Намерете (1) на тригономерен кръг. Ние ще отблъснем от факта, че (π \u003d 3.14). Така че устройството е приблизително три пъти по-близо до нула (точка "start").

Ако държите перпендикулярно на оста на косинус, ще стане очевидно, че (COS\u20611) е положително.
Отговор: плюс.

Комуникация с други тригонометрични функции:

- същия ъгъл (или числа): основната тригонометрична идентичност (SIN ^ 2\u2061x + cos ^ 2\u2061x \u003d 1)
- същия ъгъл (или числа): формула (1 + tg ^ 2\u2061x \u003d) \\ t (1) (cos ^ 2\u2061x) \\ t
- и синус от същия ъгъл (или числа): формула (ctgx \u003d) (frac (cos (x)) (sin\u2061x) \\ t
Други най-често използвани формули виж.

Функция (y \u003d cos (x) \\ t

Ако отложите ъглите в радианите по оста (x), и на оста (Y), стойностите на косинуса, съответстващи на тези ъгли, ние получаваме следната диаграма:

Графиката на това се нарича и има следните свойства:

Областта на дефиницията е всяка стойност на ICA: (D (COS (\u2061x)) \u003d R \\ t
- обхватът на стойностите - от (- 1) до (1) включително: (e (cos (x)) \u003d [- 1; 1] \\ t
- дори: (cos\u2061 (-x) \u003d cos (x) \\ t
- периодично с период (2π): (cos\u2061 (x + 2π) \u003d cos (x) \\ t
- Точка на пресичане с оси на координатите: \\ t
ABSCISSA AXIS: (() (() () ()) (2) \\ t (+ πn \\ t), където
Оста на ортиността: ((0; 1) \\ t
- времеви интервали:
Функцията е положителна на интервали: (((-) \\ t (() \\ t (2) \\ t (+ 2πn; \\ t (2) \\ t ), където (n z)
Функцията е отрицателна на интервали: \\ t (() \\ t) \\ t (+ 2πn) \\ t (+ 2πn) \\ t , където (n z)
- пропуски в увеличаване и спускане:
Функцията се увеличава на интервали: ((π + 2πn; 2π + 2πn), където (n z)
Функция намалява на интервали: ((2πn; π + 2πn), където (n z)
- максими и минимални характеристики:
Функцията има максималната стойност (Y \u003d 1) в точки (x \u003d 2πn), където (n μ)
Функцията има минимална стойност (Y \u003d -1) в точки (x \u003d π + 2πn), където (n z).