Ъгли на един кръг. Тригономерен кръг

Този член е събран синусови маси, косинези, допирателни и катастровени вещества. Първо представяме таблицата на основните ценности на тригонометричните функции, т.е. таблицата на синусите, косинус, допирателни и сотици на ъглите 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ... 2π радианец). След това ще дадем таблица на синусите и косините, както и таблицата от допирателни и котангенс V. M. Bradis и покажат как да се използват тези таблици, когато са намерени стойностите на тригонометричните функции.

Навигация.

Таблица на синусите, косинези, допирателни и утайки за ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ... градуси

Библиография.

Алгебра: Проучвания. За 9 cl. среди Shk. / U. Н. Макаричев, Н. Г. Мнение, К. И. Нешков, С. Б. Суворов; Ед. С. А. Теликовски. - М.: Образование, 1990.- 272 г.: IL.- ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. I. Алгебра и Анализ на стартиране: проучвания. за 10-11 cl. среди Шк. - 3RD Ed. - м.: Просвещение, 1993. - 351 ° С.: IL. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебра. и стартиращ анализ: проучвания. за 10-11 cl. Общо образование. Институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Аб Абрамов, Ю. Дудницин и др.; Ед. А. Н. Колмогорова.- 14-ти Ед. - m.: Просвещение, 2004.- 384 г.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
Гусев V. А., Мордович А. Г. Математика (полза за кандидатите в техническите училища): проучвания. полза. - m.; По-висок. Shk., 1984.-351 стр., IL.
Брадис В. М. Четирицифрени математически таблици: За обща формация. проучвания. заведения. - 2-ри. - m.: Drop, 1999.- 96 p.: Il. ISBN 5-7107-2667-2.

Тригонометричен кръг. Един кръг. Числен кръг. Какво е?

Внимание!
Тази тема има допълнителни
Материали в специален раздел 555.
За тези, които са силно "не много ..."
И за тези, които са "много ...")

Много често, термини тригонометричен кръг, единичен кръг, числен кръг Бедните, разбрани от студенти. И напълно напразно. Тези концепции са мощен и универсален асистент във всички раздели на тригонометрията. Всъщност това е правно ястие! Привлече тригонометичен кръг - и веднага видя отговорите! Мустак? Така че нека попитаме, грехът такова нещо няма да използва. Освен това е напълно просто.

За успешна работа с тригонометричен кръг, трябва да знаете само три неща.

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и деривати.

На тригонометричен кръг, в допълнение към ъглите в градуси, наблюдаваме.

Прочетете повече за радианите:

Радийнът се дефинира като ъглов магнитуд на дъгата, чиято дължина е равна на нейния радиус. Съответно, тъй като обиколката е равна на очевидно е, че радианът е подреден в кръг, който е,

1 run 57,295779513 ° ≈ 57 ° 17'44,806 "≈ 206265".

Всеки знае, че радианите са

Така например, a. Така ние научих се да превеждат радиани в ъглите.

Сега, напротив, нека преведем степента на радиани.

Да предположим, че трябва да преведем в радиани. Ще помогнем. Ние правим следното:

Тъй като радианите, след това попълнете таблицата:

Ние тренираме да намерим ценностите на синусите и косинуса в кръг

Нека проверим следното.

Е, добре, ако бъдем помолени да изчислим, да речем, - тук обикновено не се случва объркване - всеки започва да търси в кръг първо.

И ако поискат да изчислят, например, ... много, внезапно, започват да не разбират къде да търсят тази нула ... често го търси в началото на координатите. Защо?

1) Нека да се съгласим отново и завинаги! Какво означава или е аргумент \u003d ъгъл и се намират ъглите на кръга не ги търсете на оста! (Просто отделни точки попадат върху кръга, а на оста ...) и самите ценности на синусите и самите козинера гледат на осите!

2) и!Ако отидем от точката "Старт" крайклок-мъдър (основната посока на заобикаляне на тригонометричния кръг), след това отлагаме положителни ъгли, Стойностите на ъглите растат при шофиране в тази посока.

Ако отидем от точката "Старт" по посока на часовниковата стрелка, ние отлагаме отрицателните ъгли.

Пример 1.

Намерете стойност.

Решение:

Намери на кръга. Ние проектираме точката на оста на синусите (т.е. ние извършваме перпендикулярно от точката до синусовата ос (OU)).

Идват в 0. И така.

Пример 2.

Намерете стойност.

Решение:

Намираме на кръга (преминете обратно на часовниковата стрелка и повече). Ние проектираме точката на синусовите оси (и тя вече Лежи по оста на синусите).

Ние попадаме в -1 по синусната ос.

Забележка, точката е "скриване" такива точки, както (можехме да отидем до една точка, отбелязана по посока на часовниковата стрелка, което означава знак минус) и безкрайно много други.

Можете да донесете тази аналогия:

Представете си тригонометичен кръг като пътека на стадиона.

Можете да бъдете в квадратчето "checkbox", аз отивам от старта обратно на часовниковата стрелка, бягам, да речем, 300 m. Или бягане, да речем, на 100м по часовниковата стрелка (считаме, че дължината на коловоза от 400 м).

Можете също да бъдете в точката "checkbox" (след "стартиране"), бягане, да речем, 700 m, 1100 m, 1500 m и т.н. обратно на часовниковата стрелка. Можете да бъдете в точката "checkbox", работещ 500 m или 900 m и т.н. по часовниковата стрелка от "Start".

Разгънете стадион за психически бягащ в цифров директ. Представете си къде е направо да бъде, например, стойностите от 300, 700, 1100, 1500 и др. Ще видим точките на цифровия директ, равен един на друг. Нека се върнем към кръга. Точките ще "летят" в едно.

Така с тригонометичен кръг. Някога точка е скрита безкрайно много други.

Да кажем ъгли ,,, и т.н. Изобразена с една точка. И ценностите на синуса, косинус в тях, разбира се, съвпадат. (Забелязали ли сте, че сме добавили / приспаднати или? Това е периодът на синусовата и косинусната функция.)

Пример 3.

Намерете стойност.

Решение:

Ние превеждам за лекота на градуси

(По-късно, когато свикнете с тригонометричния кръг, няма да имате нужда да превеждате радиани до степени):

Ще се движим по посока на часовниковата стрелка от точката, която минаваме в Полкруг () и повече

Ние разбираме, че стойността на синусите съвпада със стойността на синусите и е равен

Забележка, ако взехме, например, или и т.н., всички ще получим стойността на синуса.

Пример 4.

Намерете стойност.

Решение:

Въпреки това, ние няма да преведем радианите в градуси, както в предишния пример.

Това означава, че трябва да отидем обратно на часовниковата стрелка с половин четвърт и четвърт от половин тримесечие и да разпространим получената точка на косинусната ос (хоризонтална ос).

Пример 5.

Намерете стойност.

Решение:

Как да отложите на тригонометричен кръг?

Ако преминем или, въпреки че все още ще се намират в точката, ние отрекохме като "начало". Затова можете веднага да отидете до точката в кръга

Пример 6.

Намерете стойност.

Решение:

Ще бъдем на точката (ни води така или иначе на нула). Ние проектираме кръга точка на осната ос (виж тригонометричния кръг), влязаме. I.e.

Тригонометричен кръг - в ръцете ви

Вече сте разбрали, че най-важното е да запомните ценностите на тригонометричните функции на първото тримесечие. В другите квартали всичко е подобно, просто трябва да следвате знаците. И "верижната стълба" на ценностите на тригонометричните функции, се надявате, че няма да забравите.

Как да намеря допирателна и котнеза големи ъгли.

След това, запознат с основните ценности на допирателната и котангента, можете да отидете

На празен кръг модел. Влак!

Координати х. лежането на обиколката на точките са Cos (θ) и координатите y. съответстват на греха (θ), където θ е величината на ъгъла.

Ако ви е трудно да помните това правило, просто не забравяйте, че в чифт (защото; грях) "Синус е на последното място."
Това правило може да се покаже, ако разгледате правоъгълни триъгълници и да определите тези тригонометрични функции (ъглов синус равно на отношението Дължината на обратното и косинус - съседният катех за хипотенуза).

Запишете координатите на четири точки в кръга. "Единичен кръг" е такъв кръг, чийто радиус е равен на един. Използвайте го, за да определите координатите х. и y. В четири точки на пресичане на координатните оси с кръг. Нагоре, отбелязахме тези точки за яснота "Изток", "Север", "Запад" и "Юг", въпреки че те нямат установени имена.

"Изток" съответства на точка с координати (1; 0) .
"Север" съответства на точката с координати (0; 1) .
"Запад" съответства на точката с координати (-1; 0) .
"Юг" съответства на точка с координати (0; -1) .
Това е подобно на обичайния график, така че няма нужда да се запомнят тези стойности, достатъчно е да запомните основния принцип.

Запомнете координатите на точките в първия квадрант. Първият квадрант се намира в горната дясна част на кръга, където координатите х. и y. Вземете положителни стойности. Това са единствените координати, които трябва да запомните:

точка π / 6 има координати () ;
точка π / 4 има координати () ;
точка π / 3 има координати () ;
моля, обърнете внимание, че числителят приема само три стойности. Ако се движите в положителната посока (отляво надясно по оста х. и отдолу нагоре по оста y.), числителят приема стойностите от 1 → √2 → √3.

Прекарайте прави линии и определете координатите на техните пресичащи точки с кръг. Ако прекарвате директни хоризонтални и вертикални линии от точки на един квадрант, втората точка на пресичане на тези линии с кръг ще има координати х. и y. Със същите абсолютни стойности, но други знаци. С други думи, можете да прекарате хоризонтални и вертикални линии от точките на първия квадрант и да подпишете точките на пресичане с кръга същите координати, но в същото време оставете мястото наляво за правилния знак ("+" или "-").

Например, можете да прекарате хоризонтална линия между точки π / 3 и 2π / 3. Тъй като първата точка има координати ( 1 2, 3 2 (DisplaySyle (Frac (1) (2)), (FRAC (SQRT (3)) (2)))), координатите на втората точка (? 12 , ? 3 2 (DisplessSyle (Frac (1) (2)) ,? (FRAC (SQRT (3)) (2)))), където вместо знака "+" или "-" постави въпрос.
Използвайте най-лесния начин: обърнете внимание на знаменателите на координатите в радианите. Всички точки с знаменател 3 имат същите абсолютни координатни стойности. Същото се отнася и за точките с деноминатори 4 и 6.

За да определите координатен знак, използвайте правилата за симетрия. Има няколко начина да се определи къде трябва да се постави знакът "-":

припомнете основните правила за обикновените графики. Оси х. Отрицателно наляво и положително надясно. Оси y. отрицателен отдолу и положителен отгоре;
започнете от първия квадрант и прекарайте линиите в други точки. Ако линията пресича оста y.Координатна х. Променя знака ви. Ако линията пресича оста х.ще промени знака от координатите y.;
не забравяйте, че всички функции са положителни в първия квадрант, само синус е положителен във втория квадрант, само допирател е положителен в третия квадрант, а само косинус е положителен в четвъртия квадрант;
какъвто и метод да използвате, в първия квадрант трябва да бъде (+, +), във втория (- +), в третия (-, -) и на четвърто (+, -).

Проверете дали не сте погрешни. По-долу е даден пълен списък на "специални" координати (с изключение на четири точки върху координатните оси), ако се движите по един кръг обратно на часовниковата стрелка. Не забравяйте, че за да определите всички тези ценности, е достатъчно да запомните координатите на точките само в първия квадрант:

първи квадрант: ( 3 2, 1 2 (DisplaySyle (FRAC (SQRT (3)) (2)), (FRAC (1) (2))); ( 2 2, 2 2 (DisplessSyle (FRAC (SQRT (2)) (2)), (FRAC (SQRT (2)) (2)))); ( 1 2, 3 2 (DisplaySyle (Frac (1) (2)), (FRAC (SQRT (3)) (2))));
втори квадрант: ( - 1 2, 3 2 (DisplaySyle - (Frac (1) (2)), (FRAC (SQRT (3)) (2))); ( - 2 2, 2 2 (DisplaySyle - (FRAC (SQRT (2)) (2)), (FRAC (SQRT (2)) (2)))); ( - 3 2, 1 2 (DisplaySyle - (FRAC (SQRT (3)) (2)), (FRAC (1) (2))));
трети квадрант: ( - 3 2, - 1 2 (DisplaySyle - (FRAC (SQRT (3)) (2)), - (FRAC (1) (2)))); ( - 2 2, - 2 2 (DisplessSyle - (FRAC (SQRT (2)) (2)), - (FRAC (SQRT (2)) (2)))); ( - 1 2, - 3 2 (DisplaySyle - (Frac (1) (2)), - (FRAC (SQRT (3)) (2))));
четвърти квадрант: ( 1 2, - 3 2 (DisplaySyle (Frac (1) (2)), - (FRAC (SQRT (3)) (2))); ( 2 2, - 2 2 (DisplaySyle (FRAC (SQRT (2)) (2)), - (FRAC (SQRT (2)) (2))) \\ t); ( 3 2, - 1 2 (DisplaySyle (FRAC (SQRT (3)) (2)), - (FRAC (1) (2)))).

Много често, термини тригонометричен кръг, единичен кръг, числен кръг Бедните, разбрани от студенти. И напълно напразно. Тези концепции са мощен и универсален асистент във всички раздели на тригонометрията. Всъщност това е правно ястие! Извлечен тригономерен кръг - И веднага видяха отговорите! Мустак? Така че нека попитаме, грехът такова нещо няма да използва. Освен това е напълно просто.

За успешна работа с тригонометричен кръг, трябва да знаете само три неща.

Първо. Необходимо е да се знае какви синусоида, косинус, допирателни и катаходки в приложението към правоъгълния триъгълник. Отидете на връзката, която все още не е. Тогава тук ще бъде ясно.

Второ. Трябва да знаете какво тригонометричен кръг, единичен кръг, числен кръг. Че ще кажа тук и сега.

Трето. Необходимо е да се знае как да преброи ъглите на тригонометричния кръг и какво е степен и радиални мерки на ъглите. Тя ще бъде в следните уроци.

Всичко. Като разбираме с тези три кита, ние получаваме надеждни, надеждни и напълно законни Мамят лист за цялата тригонометрия веднага.

И тогава в училищните учебници с този най-тригонометичен кръг някак не е много ...

Да започнем смалично.

В предишния урок научихте, че синус, косинус, допирателна и катастрофа (т.е. тригонометрични функции) зависят само от ъгъла. И не зависи от дължините на страните правоъгълен триъгълник. От тук интересен въпрос. Нека имаме такъв ъгъл. Да се \u200b\u200bобадим на ye. Писмото е красиво.)

След като има ъгъл, той трябва да има тригонометрични функции! Синус, да кажем, или kotangenes ... и къде да ги вземем? Няма нито хипотенуза, без ролки ...

Как да идентифицираме тригонометричните ъглови функции без правоъгълен триъгълник? Тагове ... Ще трябва да отидем в хазната глобална знания. На средновековни хора. Тези бяха в състояние да ...

На първо място, вземете координатна равнина. Това са най-често срещаните координатни оси, О, хоризонтално, oy - вертикално. И ... да излезе от едната страна на ъгъла към положителната полуо оста о. Горната част на ъгъла, разбира се, в точката О. плътно, не се разкъсва! Втората страна ще остави мобилния телефон, така че ъгълът да може да бъде променен. Плъзгането на нашия ъгъл ще бъде. Краят на неквалифицираната страна на ъгъла ще определи точката НО. Получаваме тази снимка:

Така че ъгълът е прикрепен. И къде е неговият синус, къде е косинусът? Спокоен! Сега всичко ще бъде.

Отбелязваме координатите на точката НО Върху осите. Мишка над мишката върху снимката и виж всичко. На О, това ще бъде точка В, oy - точка От. Ясно е, че В и От -това са някои числа. Координати на точката НО.

Така че тук номер Б.ще бъде косинусът на ъгъла β, и номер C. - Неговият синус!

Защо така? Древните хора ни научиха, че синусите и косинус са връзката на партиите! Които не зависят от страната на страните. И тук координатите на точката дойдоха с ... но! Погледнете триъгълника Oaak.. Правоъгълно, между другото ... Според древното дефиниция на косинус на ъгъла β е равен на отношението на съседния катех за хипотенуза. Тези. OS / O.. Добре, не се обещавам. И косинусът и синусът не зависят от дължините на страните. И обикновено е страхотно! Това означава, че дължините на страните могат да бъдат предприети. Ние имаме пълно право да поемаме дължина Ооа. За единица! Без значение какво. Въпреки че метър, дори на километър, все още не променя синуса. И в този случай

Като този. Ако извършите същите аргументи за синуса, ние получаваме, че синусът на ъгъла β е равен AU.. Но Ab \u003d OS.. Следователно,

Можете да кажете доста прости. Ъгълът на синуса β ще кейрик. Координата на точката А и Косинус - xova.. Думите са нестандартни, но по-добре. Спомням си надежден! И трябва да го запомните. Запомнете желязо. Косинус - на ICSU, синус - на Igrek.

Не, нямаше средновековни хора на древните! Запазено наследство! И отношението на страните беше запазено и способността да се разшири изключително!

Въпреки това, къде тригономерен кръг!? Където един кръг!? Нямаше думи за кръговете!

Право. Но всичко остава нищо. Вземам движеща се страна Ооа. И го обърнете около точката за пълния завой. Какво мислите, каква фигура ще нарисува точка А? Тази нощ! Кръг! Ето я.

Това ще бъде тригонометричен кръг.

Като този. И защо кръгът е тригонометричен? Кръг и кръг ... Въпросът е разумен. Обяснявам. Всяка точка на кръга съответства на две числа. Координата на тази точка по x и координатата на този момент в Y. и координатите на нас какво? Мишката върху снимката. Координати на САЩ - точки в и В. вратовръзка косинус и синус Ъгъл β. Тези. тригонометрични функции. Така че кръгът се нарича тригонометрични.

Не забравяйте, че Ооа. \u003d 1, и Ооа. - радиус, разбираш какво е същото - и един кръг също.

И след синуса и косинус - само някои числа - Този тригонометричен кръг също ще бъде цифрова обиколка.

Три термина в една бутилка.)

В тази тема тези концепции: тригонометричен кръг, единичен кръг и цифров кръг- същото. По-широко, един кръг - Това е всяка обиколка с радиус, равен на един. Тригономерен кръг - Практически термин, само за работа с един кръг в тригонометрията. Какво сме сега и работим. Работете с тригонометричен кръг.

Вече сме изпълнили първата половина на работата. Привлечете тригонометичен кръг с ъгъл (звучи хладно, нали?).

Сега нека да извършим втората половина на работата. Нека направим същото, само напротив. Нека да се отдадем от тригонометричния кръг до ъгъла.

Нека дадем един кръг. Тези. Само кръг, привлечен от координатната равнина с радиус, равен на един. Вземете произволно място в кръга. Отбелязваме нейните координати на точки и с осите. Както помним, координатите му са кОСП. (от ICSU) и sIN р (на iRerere). И синуса с косинус, който отбелязваме. Получаваме тази снимка:

Всичко е ясно? Внимание, въпрос!

Където β!? Къде е ъгълът β, без който синусът и косинусът не се случва!?

Ние донасяме курсора на снимката и ... тук е, тук е ъгъл β! Това е неговият синус и косинус, които са координати на точка А.

Между другото, прикованата страна на ъгъла не се нарича тук. Тя не е необходима в предишни рисунки, само така, за разбиране ... ъгъл винаги Отчита се от положителната посока на оста о. От посоката на стрелката.

И ако един момент и да заеме друго място? Кръг - той е кръг ... да, моля! Навсякъде! Нека да поставим, например, точка и през второто тримесечие, ние отбелязваме координатите, синусите, косинуса, както трябва да бъде. Като този:

Най-наблюдателят ще забележи, че синусът на ъгъла β е положителен (точка От - на положителната полуосна Oy), но косинус - отрицателен! Точка В Се крие върху отрицателната полуо оста.

Ние донасяме курсора на снимката и виждаме yele. Ъгълът β тук е глупав. Какво, между другото, това е силно не в правоъгълен триъгълник. И напразно, какво разширихме възможността?

Хвана същността тригонометричен кръг? Ако вземете точка на всяко място на кръга, координатите му ще бъдат косинус и ъгъл на синуса. Ъгълът се брои от положителната посока на оста, и до права линия, свързваща центъра на координатите с тази точка на кръга.

Това е всичко. Бих искал по-лесно, но никъде. Между другото, моят съвет към вас. Работейки с тригонометичен кръг, рисувайте не само точки на кръга, но самият ъгъл! Както в тези рисунки. Тя ще бъде по-ясна.

Рисуване на този кръг в тригонометрията постоянно ще има. Това не е задължително, това е правният мамят лист, който се радва умни хора. Съмнение? Тогава ме наричаш с паметта Признаци на такива изрази, например: sin130 0, cos150 0, sin250 0, cos330 0? Аз наистина не питам за cos1050 0 или sin (-145 0) ... за такива ъгли в следващия урок той е написан.

И никъде няма да намерите намек. Само на тригонометричния кръг. Рисувам примерни Ъгъла в дясното тримесечие и веднага виждам къде падат синусите и косине. Върху положителни полусъветци или отрицателни. Между другото, определението за признаци на тригонометрични функции непрекъснато се изисква в голямо разнообразие от задачи ...

Или повече, чисто например ... трябва, например, за да разберете, че повече, sin130 0, или sin155 0? Опитайте, умни неща просто ...

И ние сме умни, нарисуваме тригонометичен кръг. И начертайте ъгъл върху него относно 130 градуса. Навън само за товаТой е повече от 90 и по-малко от 180 градуса. Фокусиране на ъгъла, а не за кръг! Тя може да премине движещата се страна на обиколката на ъгъла и да я пресече. Отбелязваме координата на осцилиращата точка на точката на пресичане. Ще бъде sin130 0. Както и в тази снимка:

И тогава, тук нека да нарисуваме ъгъл от 155 градуса. Приблизително рисуване, знаейки, че е повече от 130 градуса. И по-малко от 180. Ние отбелязваме и неговия синус. Преместете курсора върху снимката, вижте всичко. И така, какъв вид синус е повече? Много е трудно да направите грешка! Разбира се, sin130 0 повече от sin155 0!

Дълго? Yah?! Никой не иска от вас напълно да нарисува картина и да осигури анимация! Ще работим с този сайт и за тази задача ще изтеглите тази снимка за 10 секунди:

Другият няма да разбере какъв вид doodle, да ... и вие спокойно и уверено давате правилния отговор! Въпреки че, точността и не се намесва ... и след това можете да нарисувате такъв "кръг", че отговорът ще се окаже ...

Тази задача е само един пример за широките възможности на тригонометричния кръг. Учителят тези възможности е съвсем реален. Какво правим след това.

Най-често трябва да имате с тригонометрични функции в обичайния алгебричен запис. Тип SIN45 0, TG (-3), COS (X + Y) и така нататък. Без никакви снимки и тригонометрични кръгове! Трябва да нарисувате този много кръг. Ръце. Ако, разбира се, искате лесно и правилно да решавате задачи за тригонометрията. Включително най-напредналите. Но не се притеснявайте. Вече на този сайт, в тригонометрия, ще ви дам рисуване на кръг! И вие учите това изключително полезно приемане. Определено.

Да обобщим урока.

В тази нишка преминаваме гладко от тригонометричните функции на ъгъла в правоъгълен триъгълник към тригонометрични функции всеки ъгъл. За да направите това, трябва да овладеем концепциите "Тригонометричен кръг, единичен кръг, числен кръг." Това е много полезно.)

Тук говорих за тригонометричен кръг, който се използва за синус и косинус. Но допирателните и котангените също могат да бъдат вж В кръга! Едно движение с дръжка и вие сте лесно и правилно определени от знака на допирателната - котангент на всеки ъгъл, решават тригонометрични неравенства и обикновено се разклащат тези, обграждащи с техните тригонометрични способности.)

Ако се интересувате от такива перспективи - можете да посетите урока "допирателни и котяни на тригонометричния кръг" в специална раздел 555.

Как изглеждат ъглите на 1000 градуса? Как изглеждат отрицателните ъгли? Какво е тайнственият номер "PI", който неизбежно се среща във всяка част от тригонометрията? И колко страни са "pi" към прикрепените ъгли? Всичко това е в следните уроци.