Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълното илюстрирано ръководство (2019)

ДЯСЕН ТРИЪГЪЛНИК. ПЪРВО НИВО.

В задачите изобщо не е необходим прав ъгъл - долният ляв, така че трябва да се научите как да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в такъв,

и в такива

Какво добро има в правоъгълния триъгълник? Е... първо, има специални хубави имена за партита.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: катета - два, а хипотенузата - само една(единственият и най-дългият)!

Е, имената бяха обсъдени, сега най-важното нещо: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много проблеми, включващи правоъгълен триъгълник. Доказано е от Питагор напълно от незапомнени времена, и оттогава тя донесе много ползи на тези, които я познават. И най-хубавото при нея е, че е проста.

Така, Питагорова теорема:

Помните ли шегата: „Питагорейските панталони са равни от всички страни!“?

Нека нарисуваме същите тези питагорейски панталони и да ги разгледаме.

Не прилича ли на някакви шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с Питагоровата теорема, по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира по следния начин:

„Сума квадратиизграден на крака е равен на квадратна площизградена върху хипотенузата”.

Не звучи ли малко по-различно? И така, когато Питагор начерта твърдението на своята теорема, се оказа точно такава картина.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да запомнят децата по-добре, че сумата от квадратите на краката е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен и измисли тази шега за питагорейските панталони.

Защо сега формулираме питагоровата теорема

Питагор страдал ли е и е говорил за квадрати?

Виждате ли, в древни времена не е имало... алгебра! Нямаше обозначения и т.н. Нямаше надписи. Представяте ли си колко ужасно беше за бедните древни ученици да запомнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да го запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катета.

Е, най-важната теорема за правоъгълен триъгълник беше обсъдена. Ако се интересувате как се доказва, прочетете следващите нива на теория, а сега да отидем по-нататък ... в тъмната гора ... на тригонометрията! Към ужасните думи синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност изобщо не е толкова страшно. Разбира се, "реалните" дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да бъдат намерени в статията. Но ти наистина не искаш, нали? Можем да се радваме: за да решите проблеми за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е за ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат твърдения 1 - 4 с думи. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

А какво ще кажете за ъгъла? Има ли крак, който е срещу ъгъла, тоест противоположния (за ъгъла) крак? Разбира се има! Това е крак!

Но какво да кажем за ъгъла? Вгледай се по-внимателно. Кой крак е в непосредствена близост до ъгъла? Разбира се, кракът. Следователно за ъгъла кракът е съседен и

Сега, внимание! Вижте какво имаме:

Виждате колко страхотно:

Сега да преминем към допирателна и котангенс.

Как мога да го запиша с думи сега? Какъв е кракът по отношение на ъгъла? Отсреща, разбира се - "лежи" срещу ъгъла. А кракът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво направихме?

Виждате ли, че числителят и знаменателят са обърнати?

И сега отново ъглите и направихме размяната:

Резюме

Нека накратко запишем всичко, което научихме.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълен триъгълник е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво представляват катета и хипотенузата? Ако не, тогава погледнете снимката - освежете знанията си

Напълно възможно е да сте използвали питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да постъпим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Виждате колко умно разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами гледате чертежа и се замисляте защо е така.

Каква е площта на по-големия квадрат? Точно така, . По-малка площ? Разбира се, . Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме по две и ги опряхме един към друг с хипотенузи. Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "изрезките" е равна на.

Нека сглобим всичко сега.

Нека трансформираме:

Така че посетихме Питагор – доказахме неговата теорема по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник са изпълнени следните отношения:

Синус остър ъгълравно на отношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на противоположния крак към съседния крак.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на съседния крак към противоположния.

И още веднъж, всичко това е под формата на чиния:

Много е удобно!

Тестове за равенство за правоъгълни триъгълници

I. На два крака

II. На крака и хипотенузата

III. По хипотенуза и остър ъгъл

IV. На крак и остър ъгъл

а)

б)

Внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако е така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИКИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един и същ остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника кракът е бил съседен или в двата триъгълника е противоположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълните триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълниците? Погледнете темата „и обърнете внимание на факта, че за равенство на „обикновените“ триъгълници е необходимо равенството на техните три елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях или три страни . Но за равенството на правоъгълните триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същото е положението със знаците за подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници

I. На остър ъгъл

II. На два крака

III. На крака и хипотенузата

Медиана в правоъгълен триъгълник

Защо това е така?

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Да начертаем диагонал и да разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво се знае за диагоналите на правоъгълника?

И какво следва от това?

Така се оказа, че

1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Каква полза можете да получите от факта, че медианата, изтеглена към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека разгледаме снимката

Вгледай се по-внимателно. Имаме:, тоест разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОПИСАНИЯ КРЪГ. И какво стана?

Нека започнем с това "освен ..."

Нека разгледаме и.

Но имай подобни триъгълницивсички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - две формули за височината на правоъгълен триъгълник.

Нека напишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим сходството:.

Какво се случва сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

И двете формули трябва да бъдат много добре запомнени и тази, която е по-удобна за прилагане. Нека ги запишем отново

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета:.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• на два крака:
• на катета и хипотенузата: или
• по протежение на крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по протежение на крака и срещуположния остър ъгъл: или
• по хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на двата крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния катет към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния крак към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния крак към съседния:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния крак към противоположния:.

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник, медианата, изтеглена от върха прав ъгъл, е равно на половината от хипотенузата:.

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през краката:

Един от клоновете на математиката, с който учениците се справят с най-големи трудности, е тригонометрията. Не е изненадващо: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси по формули, да опростявате изразите и да можете да използвате pi в изчисления. Освен това трябва да можете да прилагате тригонометрия при доказване на теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.

Произход на тригонометрията

Запознаването с тази наука трябва да започне с определяне на синуса, косинуса и тангенса на ъгъла, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.

Исторически, правоъгълните триъгълници са основният обект на изследване в този клон на математическата наука. Наличието на ъгъл от 90 градуса прави възможно извършването на различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на въпросната фигура от двете страни и един ъгъл или от два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязаха този модел и започнаха активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, в астрономията и дори в изкуството.

Първи етап

Първоначално хората говореха за връзката на ъглите и страните изключително на примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на употреба в Ежедневиетоот този раздел по математика.

Изучаването на тригонометрията в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което придобитите знания се използват от учениците по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, работата с която започва в гимназията.

Сферична тригонометрия

По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, в сферичната геометрия започнаха да се използват формули със синус, косинус, тангенс, котангенс, където се прилагат различни правила, а сборът от ъгли в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този раздел не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му поне защото земна повърхност, а повърхността на всяка друга планета е изпъкнала, което означава, че всяка маркировка на повърхността ще бъде вътре триизмерно пространство„Сводеста“.

Вземете глобуса и връвта. Прикрепете връвта към произволни две точки на глобуса, така че да е опъната. Обърнете внимание - взе формата на дъга. Сферичната геометрия, която се използва в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области, се занимава с такива форми.

Правоъгълен триъгълник

След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате в този случай.

Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната, противоположна на ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема нейната числена стойност е равна на корена от сбора на квадратите на другите две страни.

Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата е 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.

Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​крака. Освен това трябва да се помни, че сумата от ъглите в триъгълника в правоъгълна системакоординатите са равни на 180 градуса.

Определение

И накрая, с твърдо разбиране на геометричната основа, може да се обърне към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.

Синусът на ъгъла е съотношението на противоположния крак (тоест страната срещу желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъла е отношението на съседния катет към хипотенузата.

Не забравяйте, че нито синусът, нито косинусът могат да бъдат по-големи от единица! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата. Без значение колко дълъг е катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното съотношение винаги ще бъде по-малко от единица. По този начин, ако имате синус или косинус със стойност, по-голяма от 1 в отговора на проблем, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор определено е грешен.

И накрая, тангенсът на ъгъла е съотношението на противоположната страна към съседната страна. Разделянето на синуса на косинус ще даде същия резултат. Вижте: в съответствие с формулата, ние разделяме дължината на страната на хипотенузата, след това разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. По този начин получаваме същата връзка като при дефиницията на допирателната.

Котангенсът, съответно, е отношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим единицата на допирателната.

И така, разгледахме дефинициите за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да направим формулите.

Най-простите формули

В тригонометрията не можете без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? Но точно това се изисква при решаване на проблеми.

Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да учите тригонометрия, казва, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на ъгъла е равна на единица. Тази формула е пряко следствие от теоремата на Питагор, но спестява време, ако искате да знаете ъгъла, а не страната.

Много ученици не могат да си спомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от единица и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: в края на краищата това е същото твърдение като в първата формула, само двете страни на идентичността бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правила за трансформация и няколко основни формулище можете да покажете необходимите повече сложни формуливърху лист хартия.

Формули за събиране на двоен ъгъл и аргумент

Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сумата и разликата на ъглите. Те са показани на фигурата по-долу. Имайте предвид, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя двойното произведение на синуса и косинуса.

Има и формули, свързани с аргументи за двоен ъгъл. Те са изцяло извлечени от предишните – като тренировка, опитайте се да ги получите сами, като вземете алфа ъгъла, равен на бета ъгъла.

И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да бъдат трансформирани, за да се намали степента на синуса, косинуса и тангенса алфа.

Теореми

Двете основни теореми в основната тригонометрия са теоремата за синусите и теоремата за косинусите. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса и следователно площта на фигурата и величината на всяка страна и т.н.

Теоремата за синусите гласи, че като разделим дължината на всяка страна на триъгълник на стойността на противоположния ъгъл, получаваме същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на дадения триъгълник.

Косинусовата теорема обобщава питагоровата теорема, като я проектира върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сбора на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на съседния до тях ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така теоремата на Питагор се оказва частен случай на косинусовата теорема.

Грешки по невнимание

Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, е лесно да направите грешка поради разсейване на вниманието или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека да разгледаме най-популярните.

Първо, не трябва да преобразувате обикновени дроби в десетични, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора във формата обикновена дробосвен ако в условието не е посочено друго. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от задачата могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат съкратени. В този случай ще губите време за ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или две, защото те се срещат в проблеми на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на "грозните" числа.

Освен това, имайте предвид, че косинусовата теорема се отнася за всеки триъгълник, но не и за питагоровата теорема! Ако по погрешка забравите да извадите двойното произведение на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, вие не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълна липса на разбиране на темата. Това е по-лошо от небрежна грешка.

Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синусът е 30 градуса равно на косинус 60 и обратно. Лесно е да ги объркате, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.

Приложение

Много ученици не бързат да започнат да учат тригонометрия, защото не разбират нейното приложно значение. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, благодарение на които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит, да изпратите изследователска сонда до друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира кола, да се изчисли натоварването на повърхността или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музика до медицина.

Накрая

Значи вие сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и успешно да решавате училищни задачи.

Целият смисъл на тригонометрията се свежда до факта, че неизвестните параметри на триъгълника трябва да бъдат изчислени с помощта на известните параметри. Има шест от тези параметъра: дължините на трите страни и величините на трите ъгъла. Единствената разлика в задачите е, че се дават различни входове.

Вече знаете как да намерите синус, косинус, тангенс въз основа на известни дължини на катета или хипотенузата. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основната цел на тригонометричния проблем е да се намерят корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук обикновената училищна математика ще ви помогне.

Какво е синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл ще помогне да се разбере правоъгълен триъгълник.

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенузата и катетите: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната \ (AC \)); краката са двете останали страни \ (AB \) и \ (BC \) (тези, които са съседни на правия ъгъл), и ако разгледаме краката спрямо ъгъла \ (BC \), тогава кракът \ ( AB \) е съседен крак, а кракът \ (BC \) е противоположен. И така, сега нека да отговорим на въпроса: какви са синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на ъгъл?

Синус ъгълЕ съотношението на противоположния (отдалечен) крак към хипотенузата.

В нашия триъгълник:

\ [\ sin \ beta = \ dfrac (BC) (AC) \]

Косинус на ъгълЕ съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

В нашия триъгълник:

\ [\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) \]

Ъгъл тангенсЕ съотношението на противоположния (отдалечен) крак към съседния (близкия) крак.

В нашия триъгълник:

\ [tg \ beta = \ dfrac (BC) (AB) \]

Котангенс на ъгълЕ съотношението на съседния (близък) крак към противоположния (отдалечен) крак.

В нашия триъгълник:

\ [ctg \ beta = \ dfrac (AB) (BC) \]

Тези определения са необходими помня! За да запомните по-лесно кой крак на какво да разделите, трябва ясно да осъзнаете това допирателнаи cotangenseсамо краката седят, а хипотенузата се появява само в синуси косинус... И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:

Косинус → докосване → докосване → съседен;

Котангенс → докосване → докосване → съседен.

На първо място, трябва да запомните, че синус, косинус, тангенс и котангенс като съотношения на страните на триъгълник не зависят от дължините на тези страни (под един ъгъл). Не вярвайте? След това се уверете, като погледнете снимката:

Помислете например за косинуса на ъгъла \ (\ beta \). По дефиниция, от триъгълника \ (ABC \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) = \ dfrac (4) (6) = \ dfrac (2) (3) \), но можем да изчислим косинуса на ъгъла \ (\ beta \) и от триъгълника \ (AHI \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AH) (AI) = \ dfrac (6) (9) = \ dfrac (2) (3) \)... Виждате, че дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят единствено от големината на ъгъла.

Ако сте разбрали дефинициите, продължете и ги поправете!

За триъгълника \ (ABC \), показан на фигурата по-долу, намираме \ (\ sin \ \ алфа, \ \ cos \ \ алфа, \ tg \ \ алфа, \ ctg \ \ алфа \).

\ (\ начало (масив) (l) \ sin \ \ alpha = \ dfrac (4) (5) = 0,8 \\\ cos \ \ alpha = \ dfrac (3) (5) = 0,6 \\ tg \ \ alpha = \ dfrac (4) (3) \\ ctg \ \ alpha = \ dfrac (3) (4) = 0,75 \ край (масив) \)

Е, разбра ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла \ (\ beta \).

Отговори: \ (\ sin \ \ beta = 0,6; \ \ cos \ \ beta = 0,8; \ tg \ \ beta = 0,75; \ ctg \ \ beta = \ dfrac (4) (3) \).

Единична (тригонометрична) окръжност

Разбирайки понятията за градуси и радиани, ние разгледахме кръг с радиус, равен на \ (1 \). Такъв кръг се нарича единичен... Това е много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека се спрем на това малко по-подробно.

Както можете да видите, този кръг е изграден в декартова координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста \ (x \) (в нашия пример това е радиус \ (AB \)).

Всяка точка от окръжността съответства на две числа: координата по оста \ (x \) и координата по оста \ (y \). И какви са тези числа-координати? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да запомните разглеждания правоъгълен триъгълник. На снимката по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълника \ (ACG \). Той е правоъгълен, тъй като \ (CG \) е перпендикулярен на оста \ (x \).

Какво е \ (\ cos \ \ alpha \) от триъгълник \ (ACG \)? Добре \ (\ cos \ \ алфа = \ dfrac (AG) (AC) \)... Освен това знаем, че \ (AC \) е радиусът единичен кръг, и следователно \ (AC = 1 \). Заменете тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:

\ (\ cos \ \ алфа = \ dfrac (AG) (AC) = \ dfrac (AG) (1) = AG \).

Какво е \ (\ sin \ \ alpha \) от триъгълник \ (ACG \)? Добре, разбира се, \ (\ sin \ alpha = \ dfrac (CG) (AC) \)! Заменете стойността на радиуса \ (AC \) в тази формула и получете:

\ (\ sin \ alpha = \ dfrac (CG) (AC) = \ dfrac (CG) (1) = CG \)

И така, можете ли да ни кажете какви са координатите на точката \ (C \), принадлежаща на кръга? Е, няма начин? И ако разберете, че \ (\ cos \ \ alpha \) и \ (\ sin \ alpha \) са просто числа? На каква координата съответства \ (\ cos \ alpha \)? Е, разбира се, координатата \ (x \)! И на каква координата съответства \ (\ sin \ alpha \)? Точно така, координата \ (y \)! Така че точката \ (C (x; y) = C (\ cos \ alpha; \ sin \ alpha) \).

И какво са тогава \ (tg \ alpha \) и \ (ctg \ alpha \)? Точно така, използваме съответните дефиниции за допирателна и котангенс и получаваме това \ (tg \ alpha = \ dfrac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) = \ dfrac (y) (x) \), а \ (ctg \ alpha = \ dfrac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha) = \ dfrac (x) (y) \).

Ами ако ъгълът е по-голям? Например, както е на тази снимка:

Какво се е променило в този пример? Нека го разберем. За да направите това, отново се обърнете към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник \ (((A) _ (1)) ((C) _ (1)) G \): ъгъл (като съседен на ъгъл \ (\ beta \)). Каква е стойността на синуса, косинуса, тангенса и котангенса за ъгъл \ (((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = 180 () ^ \ circ - \ beta \ \)? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:

\ (\ начало (масив) (l) \ sin \ ъгъл ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (( (A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (1) = ((C) _ (1)) G = y; \\\ cos \ ъгъл ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (1) = ((A) _ (1)) G = x; \\ tg \ ъгъл ((C ) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (((A) _ (1)) G) = \ dfrac (y) ( x); \\ ctg \ ъгъл ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((C) _ (1) )) G) = \ dfrac (x) (y) \ край (масив) \)

Е, както можете да видите, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата \ (y \); стойността на косинуса на ъгъла - координата \ (x \); и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези връзки се прилагат за всякакви завъртания на радиус вектора.

Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста \ (x \). Досега сме завъртели този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо извънредно, ъгъл с определена величина също ще се окаже, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато завъртите радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получавате положителни ъгли, а при въртене по посока на часовниковата стрелка - отрицателен.

И така, знаем, че цялото завъртане на радиус вектора в окръжност е \ (360 () ^ \ circ \) или \ (2 \ pi \). Възможно ли е да се завърти радиус вектора с \ (390 () ^ \ circ \) или \ (- 1140 () ^ \ circ \)? Разбира се можете да! в първия случай, \ (390 () ^ \ circ = 360 () ^ \ circ +30 () ^ \ circ \)по този начин радиус векторът ще направи един пълен оборот и ще спре в позиция \ (30 () ^ \ circ \) или \ (\ dfrac (\ pi) (6) \).

Във втория случай, \ (- 1140 () ^ \ circ = -360 () ^ \ circ \ cdot 3-60 () ^ \ circ \), тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция \ (- 60 () ^ \ circ \) или \ (- \ dfrac (\ pi) (3) \).

По този начин от горните примери можем да заключим, че ъглите, различаващи се с \ (360 () ^ \ circ \ cdot m \) или \ (2 \ pi \ cdot m \) (където \ (m \) е всяко цяло число ) съответстват до същата позиция на радиус вектора.

Фигурата по-долу показва ъгъла \ (\ beta = -60 () ^ \ circ \). Същото изображение съответства на ъгъла \ (- 420 () ^ \ circ, -780 () ^ \ circ, \ 300 () ^ \ circ, 660 () ^ \ circ \)и т.н. Списъкът продължава и продължава. Всички тези ъгли могат да бъдат записани с общата формула \ (\ бета +360 () ^ \ circ \ cdot m \)или \ (\ beta +2 \ pi \ cdot m \) (където \ (m \) е всяко цяло число)

\ (\ начало (масив) (l) -420 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-1); \\ - 780 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-2); \\ 300 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 1; \\ 660 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 2. \ край (масив) \)

Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичния кръг, опитайте се да отговорите на какво са равни стойностите:

\ (\ начало (масив) (l) \ sin \ 90 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 90 () ^ \ circ =? \\\ текст (tg) \ 90 () ^ \ circ =? \\\ текст (ctg) \ 90 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi =? \\\ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi =? \\\ текст (tg) \ 180 () ^ \ circ = \ текст (tg) \ \ pi =? \\\ текст (ctg) \ 180 () ^ \ circ = \ текст (ctg) \ \ pi =? \\\ sin \ 270 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 270 () ^ \ circ =? \\\ текст (tg) \ 270 () ^ \ circ =? \\\ текст (ctg) \ 270 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 360 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 360 () ^ \ circ =? \\\ текст (tg) \ 360 () ^ \ circ =? \\\ текст (ctg) \ 360 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 450 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 450 () ^ \ circ =? \\\ текст (tg) \ 450 () ^ \ circ =? \\\ текст (ctg) \ 450 () ^ \ circ =? \ край (масив) \)

Ето единичен кръг, който да ви помогне:

Имате затруднения? Тогава нека го разберем. И така, ние знаем, че:

\ (\ начало (масив) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x ) (y). \ край (масив) \)

От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени мерки на ъгъла. Е, нека започнем по ред: ъгълът вътре \ (90 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (2) \)съвпада точката с координати \ (\ вляво (0; 1 \ вдясно) \), следователно:

\ (\ sin 90 () ^ \ circ = y = 1 \);

\ (\ cos 90 () ^ \ circ = x = 0 \);

\ (\ текст (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (y) (x) = \ dfrac (1) (0) \ Стрелка надясно \ текст (tg) \ 90 () ^ \ circ \)- не съществува;

\ (\ текст (ctg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (x) (y) = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в \ (180 () ^ \ circ, \ 270 () ^ \ circ, \ 360 () ^ \ circ, \ 450 () ^ \ circ (= 360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ) \ \ )съответстват на точки с координати \ (\ наляво (-1; 0 \ надясно), \ текст () \ наляво (0; -1 \ надясно), \ текст () \ наляво (1; 0 \ надясно), \ текст () \ наляво (0 ; 1 \ вдясно) \), съответно. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Опитайте първо сами и след това проверете отговорите.

Отговори:

\ (\ displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi = 0 \)

\ (\ displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi = -1 \)

\ (\ текст (tg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (tg) \ \ pi = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ текст (ctg) \ 180 () ^ \ circ = \ текст (ctg) \ \ pi = \ dfrac (-1) (0) \ Стрелка надясно \ текст (ctg) \ \ pi \)- не съществува

\ (\ sin \ 270 () ^ \ circ = -1 \)

\ (\ cos \ 270 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ текст (tg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (-1) (0) \ Стрелка надясно \ текст (tg) \ 270 () ^ \ circ \)- не съществува

\ (\ текст (ctg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ sin \ 360 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ cos \ 360 () ^ \ circ = 1 \)

\ (\ текст (tg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \)

\ (\ текст (ctg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ Стрелка надясно \ текст (ctg) \ 2 \ pi \)- не съществува

\ (\ sin \ 450 () ^ \ circ = \ sin \ \ вляво (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ надясно) = \ sin \ 90 () ^ \ circ = 1 \)

\ (\ cos \ 450 () ^ \ circ = \ cos \ \ вляво (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ надясно) = \ cos \ 90 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ текст (tg) \ 450 () ^ \ circ = \ текст (tg) \ \ вляво (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ вдясно) = \ текст (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ стрелка надясно \ текст (tg) \ 450 () ^ \ circ \)- не съществува

\ (\ текст (ctg) \ 450 () ^ \ circ = \ text (ctg) \ left (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ right) = \ text (ctg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

По този начин можем да съставим следната таблица:

Не е необходимо да помните всички тези значения. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките в единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:

\ (\ вляво. \ начало (масив) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x) (y). \ край (масив) \ дясно \) \ \ текст (Трябва да запомни или да може да извежда !! \) !}

Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите при и \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4) \)дадени в таблицата по-долу, трябва да запомните:

Не се страхувайте, сега ще покажем един от примерите за доста просто запаметяване на съответните стойности:

За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синусите и за трите мерки на ъгъла ( \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4), \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi ) (3) \)), както и стойността на тангенса на ъгъла в \ (30 () ^ \ circ \). Знаейки тези \ (4 \) стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица като цяло - косинусните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, тоест:

\ (\ начало (масив) (l) \ sin 30 () ^ \ circ = \ cos \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (2) \ \ \\\ sin 45 () ^ \ circ = \ cos \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \\\ sin 60 () ^ \ circ = \ cos \ 30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (3) )) (2) \ \ край (масив) \)

\ (\ текст (tg) \ 30 () ^ \ circ \ = \ dfrac (1) (\ sqrt (3)) \), знаейки това, можете да възстановите стойностите за \ (\ текст (tg) \ 45 () ^ \ circ, \ text (tg) \ 60 () ^ \ circ \)... Числителят "\ (1 \)" ще съвпада с \ (\ текст (tg) \ 45 () ^ \ circ \ \), а знаменателят "\ (\ sqrt (\ text (3)) \)" ще съвпада с \ (\ текст (tg) \ 60 () ^ \ circ \ \). Стойностите на котангенса се пренасят според стрелките, показани на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелки, тогава ще бъде достатъчно да запомните само \ (4 \) стойности от таблицата.

Координати на точки върху окръжност

Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, като се знаят координатите на центъра на окръжността, нейния радиус и ъгъл на въртене? Е, разбира се, че можете! Нека изведем обща формула за намиране на координатите на точка. Ето, например, имаме такъв кръг:

Дадена ни е тази точка \ (K (((x) _ (0)); ((y) _ (0))) = K (3; 2) \)е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е \ (1,5 \). Необходимо е да се намерят координатите на точката \ (P \), получени чрез завъртане на точката \ (O \) с \ (\ делта \) градуса.

Както можете да видите от фигурата, координатата \ (x \) на точката \ (P \) съответства на дължината на сегмента \ (TP = UQ = UK + KQ \). Дължината на отсечката \ (UK \) съответства на координатата \ (x \) на центъра на окръжността, тоест е равна на \ (3 \). Дължината на отсечката \ (KQ \) може да бъде изразена с помощта на дефиницията на косинуса:

\ (\ cos \ \ delta = \ dfrac (KQ) (KP) = \ dfrac (KQ) (r) \ стрелка надясно KQ = r \ cdot \ cos \ \ delta \).

Тогава имаме, че за точката \ (P \) е координатата \ (x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta = 3 + 1,5 \ cdot \ cos \ \ delta \).

Използвайки същата логика, намираме стойността на координатата y за точката \ (P \). Поради това,

\ (y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 2 + 1,5 \ cdot \ sin \ delta \).

Така че в общ изгледкоординатите на точките се определят по формулите:

\ (\ начало (масив) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ делта \ край (масив) \), където

\ (((x) _ (0)), ((y) _ (0)) \) - координати на центъра на кръга,

\ (r \) - радиус на окръжността,

\ (\ делта \) - ъгъл на завъртане на радиуса на вектора.

Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула, а радиусът е равен на едно:

\ (\ начало (масив) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ cos \ \ delta = \ cos \ \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ sin \ \ delta = \ sin \ \ delta \ край (масив) \)

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
За да правите изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!

Съотношението на противоположния катет към хипотенузата се нарича синусов остър ъгълправоъгълен триъгълник.

\ sin \ alpha = \ frac (a) (c)

Косинус на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Съотношението на близкия крак към хипотенузата се нарича косинус на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

\ cos \ alpha = \ frac (b) (c)

Остра допирателна на правоъгълен триъгълник

Съотношението на противоположния крак към съседния крак се нарича тангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

tg \ alpha = \ frac (a) (b)

Котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Съотношението на съседния крак към противоположния крак се нарича котангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

ctg \ alpha = \ frac (b) (a)

Синус на произволен ъгъл

Извиква се ордината на точката от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \ алфа синус на произволен ъгълротация \ алфа.

\ sin \ alpha = y

Косинус на произволен ъгъл

Нарича се абсцисата на точката от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \ алфа косинус на произволен ъгълротация \ алфа.

\ cos \ алфа = x

Допирателна от произволен ъгъл

Съотношението на синуса на произволен ъгъл на завъртане \ алфа към неговия косинус се нарича тангенс на произволен ъгълротация \ алфа.

tg \ alpha = y_ (A)

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)

Котангенс на произволен ъгъл

Съотношението на косинуса на произволен ъгъл на завъртане \ алфа към неговия синус се нарича котангенс на произволен ъгълротация \ алфа.

ctg \ alpha = x_ (A)

ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)

Пример за намиране на произволен ъгъл

Ако \ alpha е някакъв ъгъл AOM, където M е точка от единичната окръжност, тогава

\ sin \ alpha = y_ (M), \ cos \ alpha = x_ (M), tg \ alpha = \ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ alpha = \ frac (x_ (M)) (y_ (M)).

Например, ако \ ъгъл AOM = - \ frac (\ pi) (4), тогава: ордината на точка M е равна на - \ frac (\ sqrt (2)) (2), абсцисата е \ frac (\ sqrt (2)) (2)и затова

\ sin \ ляво (- \ frac (\ pi) (4) \ дясно) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);

\ cos \ вляво (\ frac (\ pi) (4) \ вдясно) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);

tg;

ctg \ вляво (- \ frac (\ pi) (4) \ дясно) = - 1.

Таблица със стойности на синусите на косинусите на тангенсите на котангентите

Стойностите на основните общи ъгли са дадени в таблицата:

	0 ^ (\ circ) (0)	30 ^ (\ circ) \ вляво (\ frac (\ pi) (6) \ вдясно)	45 ^ (\ circ) \ вляво (\ frac (\ pi) (4) \ вдясно)	60 ^ (\ circ) \ вляво (\ frac (\ pi) (3) \ вдясно)	90 ^ (\ circ) \ вляво (\ frac (\ pi) (2) \ вдясно)	180 ^ (\ circ) \ вляво (\ pi \ вдясно)	270 ^ (\ circ) \ вляво (\ frac (3 \ pi) (2) \ вдясно)	360 ^ (\ circ) \ вляво (2 \ pi \ вдясно)
\ грях \ алфа	0	\ frac12	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac (\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\ cos \ алфа	1	\ frac (\ sqrt 3) (2)	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac12	0	−1	0	1
tg \ алфа	0	\ frac (\ sqrt 3) (3)	1	\ sqrt3	—	0	—	0
ctg \ алфа	—	\ sqrt3	1	\ frac (\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

Инструкции

Подобни видеа

Забележка

Когато се изчисляват страните на правоъгълен триъгълник, познаването на неговите характеристики може да играе:
1) Ако катетът на прав ъгъл лежи срещу ъгъл от 30 градуса, тогава той е равен на половината от хипотенузата;
2) Хипотенузата винаги е по-дълга от всеки от катетите;
3) Ако окръжност е описана около правоъгълен триъгълник, тогава центърът му трябва да лежи в средата на хипотенузата.

Хипотенузата е страната в правоъгълен триъгълник, която е срещу ъгъл от 90 градуса. За да се изчисли дължината му, е достатъчно да се знае дължината на един от краката и размерът на един от острите ъгли на триъгълника.

Инструкции

Уведомете ни един от краката и ъгъла до него. За определеност нека е крак | AB | и ъгъл α. Тогава можем да използваме формулата за тригонометричния косинус - косинус на съотношението на съседния крак към. Тези. в нашата нотация cos α = | AB | / | AC |. От това получаваме дължината на хипотенузата | AC | = | AB | / cos α.
Ако знаем крака | BC | и ъгъл α, тогава ще използваме формулата за изчисляване на синуса на ъгъла - синусът на ъгъла е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата: sin α = | BC | / | AC |. Получаваме, че дължината на хипотенузата се намира като | AC | = | пр.н.е. | / cos α.

За по-голяма яснота помислете за пример. Нека дължината на крака | AB | = 15. И ъгълът α = 60 °. Получаваме | AC | = 15 / cos 60 ° = 15 / 0,5 = 30.
Помислете как можете да проверите резултата си с помощта на Питагоровата теорема. За да направим това, трябва да изчислим дължината на втория крак | BC |. Използвайки формулата за тангенса на ъгъла tan α = | BC | / | AC |, получаваме | BC | = | AB | * тен α = 15 * тен 60 ° = 15 * √3. След това прилагаме теоремата на Питагор, получаваме 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 = 30 ^ 2 => 225 + 675 = 900. Проверката е завършена.

Полезен съвет

След като изчислите хипотенузата, проверете дали получената стойност удовлетворява теоремата на Питагор.

Източници:

• Таблица с прости числа от 1 до 10 000

Краканаречете двете къси страни на правоъгълен триъгълник, които съставят този връх, чиято стойност е 90 °. Третата страна в такъв триъгълник се нарича хипотенуза. Всички тези страни и ъгли на триъгълника са свързани помежду си чрез определени съотношения, които позволяват да се изчисли дължината на крака, ако са известни няколко други параметъра.

Инструкции

Използвайте Питагоровата теорема за крак (A), ако знаете дължината на другите две страни (B и C) на правоъгълен триъгълник. Тази теорема гласи, че сумата от дължините на квадрата е равна на квадрата на хипотенузата. От това следва, че дължината на всеки от краката е равна на корен квадратенот дължините на хипотенузата и втория катет: A = √ (C²-B²).

Използвайте дефиницията на директната тригонометрична функция "синус" за остър ъгъл, ако знаете стойността на ъгъла (α), който лежи срещу изчисления катет, и дължината на хипотенузата (C). Това гласи, че синусът на това известно е отношението на дължината на желания крак към дължината на хипотенузата. Това е, че дължината на желания катет е равна на произведението на дължината на хипотенузата и синуса на известния ъгъл: A = C ∗ sin (α). За същите известни стойности можете да използвате косеканса и да изчислите необходимата дължина, като разделите дължината на хипотенузата на косеканса на известния ъгъл A = C / cosec (α).

Използвайте дефиницията на директната тригонометрична косинусова функция, ако освен дължината на хипотенузата (C), е известна и стойността на острия ъгъл (β), съседен на желания. Косинусът на този ъгъл като съотношението на дължините на желания крак и хипотенузата и от това можем да заключим, че дължината на катета е равна на произведението на дължината на хипотенузата от косинуса на известния ъгъл: A = C∗ cos (β). Можете да използвате дефиницията на функцията на секанс и да изчислите желаната стойност, като разделите дължината на хипотенузата на секанта на известния ъгъл A = C / sec (β).

Изведете желаната формула от подобна дефиниция за производната на допирателната на тригонометричната функция, ако в допълнение към острия ъгъл (α), който лежи срещу желания крак (A), е известна дължината на втория крак (B) . Тангенсът на ъгъла, противоположен на желания крак, е съотношението на дължината на този крак към дължината на втория крак. Това означава, че необходимата стойност ще бъде равна на произведението на дължината на известния катет и тангенса на известния ъгъл: A = B ∗ tg (α). Друга формула може да бъде извлечена от същите известни количества, ако използваме определението на котангенсната функция. В този случай, за да се изчисли дължината на крака, ще е необходимо да се намери съотношението на дължината на известния крак към котангенса на известния ъгъл: A = B / ctg (α).

Подобни видеа

Думата "катет" дойде на руски език от гръцки. В точен превод това означава отвес, тоест перпендикуляр на повърхността на земята. В математиката краката се наричат ​​страни, които образуват прав ъгъл на правоъгълен триъгълник. Страната, противоположна на този ъгъл, се нарича хипотенуза. Терминът "крак" се използва и в архитектурата и заваръчната технология.

Секантът на даден ъгъл се получава чрез разделяне на хипотенузата на съседния крак, тоест secCAB = c / b. Оказва се обратното на косинуса, тоест може да се изрази с формулата secCAB = 1 / cosSAB.
Косекансът е равен на частното на деленето на хипотенузата на противоположния катет и това е обратното на синуса. Може да се изчисли по формулата cosecCAB = 1 / sinCAB

И двата крака са свързани помежду си и котангенса. V този случайдопирателната ще бъде съотношението на страна a към страна b, тоест противоположния крак към съседния. Това съотношение може да се изрази с формулата tgCAB = a / b. Съответно, обратното отношение ще бъде котангенсът: ctgCAB = b / a.

Съотношението между размерите на хипотенузата и двата катета е определено от древногръцкия Питагор. Хората все още използват теоремата, неговото име. Казва, че квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета, тоест c2 = a2 + b2. Съответно, всеки катет ще бъде равен на корен квадратен от разликата между квадратите на хипотенузата и другия катет. Тази формула може да се запише като b = √ (c2-a2).

Дължината на крака може да се изрази и чрез познатите ви отношения. Съгласно теоремите за синусите и косинусите, катетът е равен на произведението на хипотенузата и една от тези функции. Можете да го изразите и или котангенс. Кракът a може да бъде намерен например по формулата a = b * tan CAB. По същия начин, в зависимост от посочената допирателна или, се определя и вторият крак.

В архитектурата се използва и терминът "крак". Нанася се върху йонския капител и се спуска през средата на гърба му. Тоест в този случай този член е перпендикуляр на дадена права.

В технологията на заваряване има "крак на ъглова заварка". Както в други случаи, това е най-краткото разстояние. Тук идваоколо пролуката между една от частите, които трябва да бъдат заварени към границата на шева, разположен на повърхността на другата част.

Подобни видеа

Източници:

• какво е катет и хипотенуза през 2019 г