Как да извършвате действия с обикновени дроби. Математика: действия с дроби

1. Добавяне и изваждане на дроби със същия знаменател

При добавяне на дроби със същите знаменатели числителите се събират и

При изваждане на дроби със същия знаменател числителят на втората дроб се изважда от числителя на първата дроб и знаменателят остава същият.

Примери:а); б)

2. Добавяне и изваждане на дроби с различни знаменатели

За да добавите (извадите) дроби с различни знаменатели, трябва:

намалете тези дроби до най -ниския общ знаменател

добавете (извадете) получените дроби (както в параграф 1)

Примери:а)
; б)

3. Добавяне и изваждане на смесени числа

За да добавите смесени числа, трябва:

намалете дробните части на тези числа до най -ниския общ знаменател;

отделно изпълнете добавянето на цели части и отделно частични части. Ако при добавяне на дробните части получите неправилна дроб, изберете цялата част от тази дроб и я добавете към получената цяла част.

Примери:а)
; б)

За да извадите смесени числа, трябва:

намалете дробните части на тези числа до най -ниския общ знаменател; ако дробната част на редуцираната е по -малка от дробната част на извадената, превърнете я в неправилна дроб, като намалите цялата част с една;

отделно изпълнете изваждането на цели части и отделно частични части.

Примери:а)
; б)

4 умножение на дроби

а) За да умножите дроб по естествено число , трябва да умножите числителя му с това число и да оставите знаменателя непроменен

Примери:

б) За да умножите дроб по дроб, необходимо:

1) напишете произведението на числителите в числителя, а произведението на знаменателите в знаменателя;

2) извършете намаление (ако е възможно);

3) извършване на умножение

Примери:а)
; б)

в) За да умножите смесените числа, трябва да ги напишете под формата на неправилни дроби и след това да използвате правилото за умножаване на дроби.

Примери:

5 деление на дроби

За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя

Действия с дроби. В тази статия ще анализираме примери, всичко е подробно с обяснения. Ще разгледаме обикновените дроби. В бъдеще ще анализираме десетичните знаци. Препоръчвам ви да гледате всичко и да го изучавате последователно.

1. Сума от дроби, разлика от дроби.

Правило: при добавяне на дроби с равни знаменатели резултатът е дроб - чийто знаменател остава същият, а неговият числител ще бъде равен на сумата от числителите на дробите.

Правило: когато изчисляваме разликата на дробите със същите знаменатели, получаваме дроб - знаменателят остава същият, а числителят на втория се изважда от числителя на първата дроб.

Официално обозначаване на сумата и разликата на дробите с равни знаменатели:

Примери (1):

Ясно е, че когато се дават обикновени дроби, тогава всичко е просто, но ако се смеси? Нищо сложно ...

Опция 1- можете да ги преобразувате в обикновени и след това да ги изчислите.

Вариант 2- можете отделно да "работите" с цели и дробни части.

Примери (2):

Още:

Ами ако е дадена разликата на две смесени дроби и числителят на първата дроб е по -малък от числителя на втората? Можете също така да действате по два начина.

Примери (3):

* Преведено в обикновени дроби, изчислено разликата, преобразува получената неправилна дроб в смесена.

* Разделен на цели и частични части, получи тройка, след това представи 3 като сума от 2 и 1, като единицата беше представена като 11/11, след което намери разликата между 11/11 и 7/11 и изчисли резултата. Смисълът на горните трансформации е да вземем (изберете) единица и да я представим като дроб с знаменателя, от който се нуждаем, след което можем да извадим друга от тази дроб.

Друг пример:

Заключение: има универсален подход - за да се изчисли сумата (разликата) на смесените дроби с равни знаменатели, винаги можете да ги преведете в неправилни, след което да извършите необходимото действие. След това, ако в резултат получим неправилна дроб, я преобразуваме в смесена.

По -горе разгледахме примери с дроби, които имат равни знаменатели. Ами ако знаменателите са различни? В този случай дробите се свеждат до същия знаменател и се извършва посоченото действие. За промяна (трансформиране) на дроб се използва основното свойство на дроб.

Нека разгледаме няколко прости примера:

В тези примери веднага виждаме как една от дробите може да се трансформира, за да получи равни знаменатели.

Ако обозначим начини за намаляване на дробите до един знаменател, тогава този ще бъде извикан МЕТОД ПЪРВИ.

Тоест, веднага когато "оценявате" дробата, трябва да прецените дали този подход ще работи - ние проверяваме дали по -големият знаменател е разделен на по -малкия. И ако е разделено, тогава извършваме трансформацията - умножаваме числителя и знаменателя, така че знаменателите и на двете дроби да станат равни.

Сега погледнете тези примери:

Този подход не е приложим за тях. Има и начини да доведете дробите до общ знаменател, помислете за тях.

Метод ВТОРИ.

Умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб с знаменателя на втората, а числителя и знаменателя на втората дроб с знаменателя на първата:

* Всъщност ние привеждаме дроби във формата, когато знаменателите станат равни. След това използваме правилото за добавяне на ризи с равни знаменатели.

Пример:

* Този метод може да се нарече универсален и винаги работи. Единственият недостатък е, че след изчисленията може да получите част, която ще трябва да бъде допълнително намалена.

Нека разгледаме един пример:

Може да се види, че числителят и знаменателят се делят на 5:

Метод ТРЕТИ.

Намерете най -малкото общо кратно (LCM) на знаменателите. Това ще бъде общият знаменател. Какво е това число? Това е най -малкото естествено число, което се дели на всяко от числата.

Вижте, тук са две числа: 3 и 4, има много числа, които се делят на тях - това са 12, 24, 36, ... Най -малкото от тях е 12. Или 6 и 15, те се делят на 30, 60, 90 .... Най -малкият 30. Въпросът е - как да определим това най -малко общо кратно?

Има ясен алгоритъм, но често той може да се направи веднага без изчисления. Например, съгласно горните примери (3 и 4, 6 и 15), не е необходим алгоритъм, взехме големи числа (4 и 15) и ги удвоихме и видяхме, че те се делят на второто число, но двойки числа могат да бъдат други, например 51 и 119.

Алгоритъм. За да определите най -малкото общо кратно на няколко числа, трябва:

- разбийте всяко от числата на ОСНОВНИ фактори

- изпишете разлагането на НАЙ -ВАСИЯТ от тях

- умножете го по липсващите фактори на други числа

Нека разгледаме някои примери:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

разширяването на по -голям брой липсва една пет

=> LCM (50,60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 5 ∙ 5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

разширяването на по -голям брой липсва две и три

=> LCM (48.72) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 = 144

* Най -малкото общо кратно на две прости числа е равно на техния продукт

Въпрос! И защо е полезно да се намери най -малкото общо кратно, защото можете да използвате втория метод и просто да отмените получената дроб? Да, можете, но не винаги е удобно. Вижте какъв ще бъде знаменателят за числата 48 и 72, ако просто ги умножите 48 ∙ 72 = 3456. Съгласете се, че е по -приятно да работите с по -малки числа.

Нека разгледаме някои примери:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

разширяването на по -голям брой липсва тройка

=> LCM (51,119) = 3 ∙ 7 ∙ 17

Сега нека приложим първия метод:

* Вижте разликата в изчисленията, в първия случай има минимум от тях, а във втория трябва да работите отделно върху лист хартия и дори частта, която сте получили, трябва да бъде намалена. Намирането на LCM прави работата много по -лесна.

Още примери:

* Във втория пример вече е ясно, че най -малкото числокоято се дели на 40 и 60 е 120.

ОБЩА СУМА! ОБЩ АЛГОРИТМ ИЗЧИСЛЕНИЕ!

- редуцираме дроби до обикновени, ако има цяло число.

- довеждаме дробите до общ знаменател (първо разглеждаме дали един знаменател е разделен на друг, ако е разделен, тогава умножаваме числителя и знаменателя на тази друга дроб; ако не е разделена, ние действаме чрез другата посочените по -горе методи).

- след като сме получили дроби с равни знаменатели, извършваме действия (събиране, изваждане).

- ако е необходимо, намаляваме резултата.

- ако е необходимо, изберете цялата част.

2. Продукт на дроби.

Правилото е просто. При умножаване на дроби техните числители и знаменатели се умножават:

Примери:

Тази статия предоставя общ поглед върху дробите. Тук ще формулираме и обосноваме правилата за събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване на общи дроби A / B, където A и B са някои числа, числени изрази или изрази с променливи. Както обикновено, ние ще предоставим материала с обяснителни примери с подробни описания на решенията.

Навигация по страници.

Общи правила за извършване на действия с числови дроби

Нека се съгласим с общи числови дроби да означават дроби, в които числителят и / или знаменателят могат да бъдат представени не само с естествени числа, но и с други числа или числени изрази. За по -голяма яснота ще дадем няколко примера за такива дроби :, .

Ние знаем правилата, по които те се изпълняват. Съгласно същите правила можете да извършвате действия с общи дроби:

Обосновка на правилата

За да се обоснове валидността на правилата за извършване на действия с общи числови дроби, може да се започне от следните точки:

• дробната лента е по същество знак за разделяне,
• делението на някакво ненулево число може да се разглежда като умножение по обратната на делителя (това веднага обяснява правилото разделяне на дроби),
• свойства на действия с реални числа,
• и неговото обобщено разбиране,

Те ви позволяват да извършите следните трансформации, обосновавайки правилата за добавяне, изваждане на дроби със същите и различни знаменатели, както и правилото за умножаване на дроби:

Примери за

Ще дадем примери за извършване на действия с общи дроби съгласно правилата, научени в предишния параграф. Да кажем веднага, че обикновено след извършване на действия с дроби, получената дроб изисква опростяване, а процесът на опростяване на дроб често е по -сложен от изпълнението на предишните действия. Няма да се спираме на опростяването на дробите (съответните трансформации са обсъдени в статията за преобразуването на дроби), за да не се отклоняваме от интересуващата ни тема.

Нека започнем с примери за добавяне и изваждане на числови дроби със същия знаменател. Първо добавете дробите и. Очевидно знаменателите са равни. Съгласно съответното правило записваме дроб, чийто числител е равен на сумата от числителите на оригиналните дроби, а знаменателят остава същият, имаме. Добавянето е завършено, остава да се опрости получената дроб: ... Така, .

Беше възможно да се проведе решение по различен начин: първо се прави преход към обикновени дроби и след това се извършва добавянето. С този подход имаме .

Сега нека извадим от дробата фракция ... Знаменателите на дроби са равни, следователно действаме според правилото за изваждане на дроби със същите знаменатели:

Нека преминем към примери за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Основната трудност тук се състои в привеждането на дробите до общ знаменател. За общите дроби това е доста обширна тема, ще я анализираме подробно в отделна статия. общ знаменател на дроби... Сега нека се ограничим до двойка общи препоръкитъй като през този моментповече ни интересува техниката на извършване на действия с дроби.

Като цяло процесът е подобен на редуцирането на общите дроби до общ знаменател. Тоест знаменателите се представят под формата на произведения, след това всички фактори се вземат от знаменателя на първата дроб и към тях се добавят липсващите фактори от знаменателя на втората дроб.

Когато знаменателите на добавените или извадените дроби нямат общи фактори, логично е техният продукт да се вземе като общ знаменател. Нека дадем пример.

Да речем, че трябва да добавим дроби и 1/2. Тук като общ знаменател е логично да се вземе произведението на знаменателите на оригиналните дроби, т.е. В този случай допълнителният фактор за първата фракция ще бъде 2. След като умножите числителя и знаменателя с него, дробът ще приеме формата. А за втората дроб допълнителният фактор е изразът. С негова помощ дробът 1/2 се редуцира до формата. Остава да добавим получените дроби със същите знаменатели. Ето обобщение на цялото решение:

В случая на общи дроби вече не говорим за най -ниския общ знаменател, до който обикновените дроби обикновено се свеждат. Въпреки че по този въпрос все още е желателно да се стремим към някакъв минимализъм. С това искаме да кажем, че не трябва да приемате произведението на знаменателите на оригиналните дроби като общ знаменател. Например, изобщо не е необходимо да се взема общия знаменател на дробите и продукта ... Тук можем да вземем като общ знаменател.

Обръщаме се към примери за умножение на общи дроби. Нека умножим дроби и. Правилото за извършване на това действие ни инструктира да запишем дроб, чийто числител е продукт на числителите на оригиналните дроби, а знаменателят е продукт на знаменателите. Ние имаме ... Тук, както и в много други случаи, когато умножавате дроби, можете да отмените дроб: .

Правилото за разделяне на дроби ви позволява да преминете от деление към умножение по реципрочното. Тук трябва да запомните, че за да получите обратното на дадената дроб, трябва да пренаредите числителя и знаменателя на тази дроб. Ето пример за преминаване от общо разделяне на числови дроби към умножение: ... Остава да се извърши умножението и да се опрости получената дроб (ако е необходимо, вижте трансформацията на ирационални изрази):

В заключение на информацията от този параграф, припомнете, че всяко число или числов израз може да бъде представено като дроб със знаменател 1, поради което събирането, изваждането, умножението и разделянето на числа и дроби може да се счита за извършване на съответното действие с дроби, един от който има единица в знаменателя ... Например замяна в израза корен от три дроби, ще преминем от умножаване на дроб по число до умножаване на две дроби: .

Извършване на действия върху дроби, съдържащи променливи

Правилата от първата част на тази статия се прилагат и за извършване на действия с дроби, които съдържат променливи. Нека оправдаем първия от тях - правилото за събиране и изваждане на дроби със същите знаменатели, останалите се доказват по абсолютно същия начин.

Нека докажем, че за всякакви изрази A, C и D (D не е идентично нула) равенството върху обхвата на допустимите стойности на променливите.

Нека вземем набор от променливи от ODV. Нека за тези стойности на променливите изразите A, C и D вземат стойностите a 0, c 0 и d 0. Тогава заместването на стойностите на променливите от избраното множество в израза го превръща в сумата (разликата) на числовите дроби със същите знаменатели на формата, която според правилото за събиране (изваждане) на числово дроби със същите знаменатели, е равно на. Но заместването на стойностите на променливите от избраното множество в израза го превръща в същата част. Това означава, че за избрания набор от стойности на променливи от LDZ, стойностите на изразите и са равни. Ясно е, че стойностите на тези изрази ще бъдат равни за всеки друг набор от стойности на променливи от ODZ, което означава, че изразите и са еднакво равни, тоест доказваното равенство е справедливо .

Примери за добавяне и изваждане на дроби с променливи

Когато знаменателите на добавените или извадените дроби са еднакви, тогава всичко е съвсем просто - числителите се добавят или изваждат, а знаменателят остава същият. Ясно е, че получената след това дроб се опростява, ако е необходимо и възможно.

Обърнете внимание, че понякога знаменателите на дроби се различават само на пръв поглед, но всъщност те са идентично изрази, като например, и, или и. И понякога е достатъчно да се опростят оригиналните дроби, така че идентичните им знаменатели да се "появят".

Пример.

, б) , v) .

Решение.

а) Трябва да извадим дроби със същите знаменатели. Съгласно съответното правило, оставяме знаменателя непроменен и изваждаме числителите, които имаме ... Действието е завършено. Но все пак можете да разширите скобите в числителя и да дадете подобни термини: .

б) Очевидно знаменателите на добавените дроби са еднакви. Затова добавете числителите и оставете знаменателя същия :. Добавянето е завършено. Но е лесно да се види, че получената част може да бъде отменена. Всъщност числителят на получената дроб може да бъде свит по формулата на квадрата на сумата като (lgx + 2) 2 (виж формулите за съкратено умножение), като по този начин се извършват следните трансформации: .

в) Дроби в сумата имат различни знаменатели. Но след като трансформирате една от дробите, можете да продължите към добавянето на дроби със същите знаменатели. Ще покажем две решения.

Първият начин. Знаменателят на първата дроб може да бъде факторизиран с помощта на формулата за разлика в квадратите и след това да се анулира тази дроб: ... Поради това, . Все още не боли да се отървете от ирационалността в знаменателя на дробата: .

Втори начин. Умножаването на числителя и знаменателя на втората дроб с (този израз не изчезва за никаква стойност на променливата x от ODZ за оригиналния израз) ви позволява да постигнете две цели наведнъж: да се отървете от ирационалността и да преминете към добавянето на дроби със същите знаменатели. Ние имаме

Отговор:

а) , б) , v) .

Последният примерни доведе до въпроса за намаляване на дробите до общ знаменател. Там почти случайно стигнахме до същите знаменатели, опростявайки една от добавените дроби. Но в повечето случаи, когато добавяте и изваждате дроби с различни знаменатели, трябва целенасочено да доведете дробите до общ знаменател. За това знаменателите на дробите обикновено се представят под формата на произведения, всички фактори се вземат от знаменателя на първата дроб и към тях се добавят липсващите фактори от знаменателя на втората дроб.

Пример.

Изпълнете действия с дроби: а) , б), в) .

Решение.

а) Няма нужда да правите нищо със знаменателите на дробите. Като общ знаменател ние приемаме продукта ... В този случай изразът е допълнителен фактор за първата дроб и числото 3 за втората дроб. Тези допълнителни фактори довеждат дробите до общ знаменател, което по -късно ни позволява да извършим действието, от което се нуждаем, което имаме

б) В този пример знаменателите вече са представени като продукти и не са необходими допълнителни трансформации. Очевидно факторите в знаменателите се различават само в показателите, затова като общ знаменател вземаме произведението на факторите с най -големите показатели, т.е. ... Тогава допълнителният фактор за първата дроб ще бъде x 4, а за втората - ln (x + 1). Вече сме готови да извършим изваждане на дроби:

в) А в този случайпърво, нека да работим със знаменателите на дробите. Формулите за разликата на квадратите и квадрата на сумата ви позволяват да преминете от първоначалната сума към израза ... Сега е ясно, че тези дроби могат да бъдат редуцирани до общ знаменател ... С този подход решението ще изглежда така:

Отговор:

а)

б)

v)

Примери за умножаване на дроби с променливи

Умножаването на дробите дава дроб, чийто числител е произведение на числителите на оригиналните дроби, а знаменателят е продукт на знаменателите. Тук, както можете да видите, всичко е познато и просто и можем само да добавим, че частта, получена в резултат на извършване на това действие, често се оказва отменяема. В тези случаи тя се намалява, ако, разбира се, е необходимо и оправдано.

В математиката се изучават различни видове числа от самото им създаване. Има много набори и подмножества от числа. Сред тях са цели числа, рационални, ирационални, естествени, четни, нечетни, сложни и дробни. Днес ще анализираме информация за последния набор - дробни числа.

Определяне на дроби

Дробите са числа, съставени от цели части и дроби от едно. Точно като цели числа, има безкраен брой дроби между две цели числа. В математиката действията с дроби се извършват като с цели числа и естествени числа. Това е доста просто и може да се научи за няколко урока.

Статията представя два вида

Обикновени дроби

Обикновените дроби са целочислената част а и две числа, разделени от дробната лента b / c. Обикновените дроби могат да бъдат изключително полезни, ако дробната част не може да бъде представена в рационална десетична нотация. Освен това е по -удобно да се извършват аритметични операции през дробната лента. Горната част се нарича числител, долната част се нарича знаменател.

Дробни действия: Примери

Основното свойство на дроб. Приумножаването на числителя и знаменателя със същото ненулево число води до число, равно на даденото. Това свойство на дроб перфектно помага да се добави знаменателят за добавяне (това ще бъде обсъдено по -долу) или да се намали дробата, за да стане по -удобна за преброяване. a / b = a * c / b * c. Например 36/24 = 6/4 или 9/13 = 18/26

Намаляване до общ знаменател.За да въведете знаменателя на дроб, е необходимо да представите знаменателя под формата на множители и след това да умножите по липсващите числа. Например 7/15 и 12/30; 7/5 * 3 и 12/5 * 3 * 2. Виждаме, че знаменателите се различават по две, затова умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб с 2. Получаваме: 14/30 и 12/30.

Сложни фракции- обикновени дроби с подчертана цяло число. (A b / c) За да представите сложна дроб като обикновена дроб, трябва да умножите числото пред дробата по знаменателя и след това да го добавите с числителя: (A * c + b) / c.

Аритметични операции с дроби

Няма да е излишно да се вземат предвид добре известните аритметични операции само при работа с дробни числа.

Събиране и изваждане.Добавянето и изваждането на обикновените дроби е също толкова лесно, колкото и събирането на цели числа, с изключение на една трудност - наличието на дробна лента. При добавяне на дроби със същия знаменател е необходимо да се добавят само числителите и на двете дроби, знаменателите остават непроменени. Например: 5/7 + 1/7 = (5 + 1)/7 = 6/7

Ако знаменателите на две дроби са различни числа, първо трябва да ги доведете до общо (както е обсъдено по -горе). 1/8 + 3/2 = 1/2 * 2 * 2 + 3/2 = 1/8 + 3 * 4/2 * 4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Изваждането следва абсолютно същия принцип: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Умножение и деление. Действияс дроби чрез умножение се случват по следния принцип: числителите и знаменателите се умножават отделно. V общ изгледформулата за умножение изглежда така: a / b * c / d = a * c / b * d. Освен това, докато умножавате, можете да намалите дробата, като елиминирате същите фактори от числителя и знаменателя. С други думи, числителят и знаменателят се делят на едно и също число: 4/16 = 4/4 * 4 = 1/4.

За да разделите една обикновена дроб на друга, трябва да промените числителя и знаменателя на делителя и да умножите двете дроби, съгласно обсъдения по -рано принцип: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5 * 11/11 * 25 = 1/5

Десетични дроби

Десетичните дроби са по -популярната и често използвана версия на дробни числа. По -лесно е да ги запишете в ред или да ги представите на компютър. Структурата на десетичната дроб е следната: първо се записва цяло число, а след това след десетичната точка се записва дробната част. В основата си десетични знаци- това са сложни обикновени дроби, но тяхната дробна част е представена с число, разделено на кратно на 10. Оттам идва и името им. Операциите с десетични дроби са подобни на операции с цели числа, тъй като те също са написани с десетична нотация. Също така, за разлика от обикновените дроби, десетичните знаци могат да бъдат ирационални. Това означава, че те могат да бъдат безкрайни. Те са написани като 7, (3). Чете се следният запис: седем точки, три десети в периода.

Основни десетични операции

Събиране и изваждане на десетични дроби.Извършването на операции с дроби не е по -трудно, отколкото с цели естествени числа. Правилата са абсолютно подобни на тези, използвани при събиране или изваждане на естествени числа. Те могат да се разглеждат като колона по същия начин, но ако е необходимо, заменете липсващите интервали с нули. Например: 5.5697 - 1.12. За да извършите изваждане в колона, трябва да изравните броя на числата след десетичната запетая: (5.5697 - 1.1200). Така че числовата стойност не се променя и ще бъде възможно да се брои в колона.

Действия с десетични дроби не могат да се извършват, ако една от тях е нерационална. За да направите това, трябва да преведете и двете числа в дроби и след това да използвате описаните по -рано техники.

Умножение и деление.Десетичното умножение е подобно на естественото умножение. Те също могат да бъдат умножени в колона, просто без да обръщате внимание на запетаята, и след това да разделите със запетая в крайната стойност същия брой цифри, като сумата след десетичната запетая е била в две десетични дроби. Например 1,5 * 2,23 = 3,345. Всичко е много просто и не би трябвало да е трудно, ако вече сте усвоили умножението на естествени числа.

Делението също съвпада с разделянето на естествени числа, но с леко отклонение. За да разделите с десетично число в колона, трябва да изхвърлите запетаята в делителя и да умножите дивидента по броя на десетичните знаци в делителя. След това извършете деление както с естествени числа. В случай на непълно разделяне, можете да добавите нули към дивидента вдясно, като добавите и нула в отговора след десетичната запетая.

Примери за действия с десетични дроби.Десетичните дроби са много удобен инструмент за изчисляване на аритметиката. Те съчетават удобството на естествените числа, цели числа и прецизността на обикновените дроби. Освен това е доста лесно да се преведат някои дроби в други. Действията с дроби не се различават от действията с естествени числа.

1. Добавяне: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Изваждане: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. Умножение: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Деление: 3.6: 0.6 = 6

Освен това десетичните знаци са подходящи за представяне на проценти. Така че, 100% = 1; 60% = 0,6; и обратно: 0,659 = 65,9%.

Това е всичко, което трябва да знаете за дробите. Статията разглежда два вида дроби - обикновени и десетични. И двете са доста лесни за изчисляване и ако сте усвоили напълно естествени числа и операции с тях, можете спокойно да започнете да изучавате дробни числа.

1º. Цели числа- това са числа, използвани за броене. Множеството от всички естествени числа се обозначава с N, т.е. N = (1, 2, 3, ...).

Фракциянарича число, състоящо се от няколко части от едно. Обикновена дробсе нарича число от формата, където естествено число нпоказва на колко равни части е разделена единицата и естественото число мпоказва колко такива равни части са взети. Числата ми нсе наричат ​​съответно числители знаменателдроби.

Ако числителят по -малко от знаменателя, тогава се нарича обикновената дроб правилно; ако числителят е равен или по -голям от знаменателя, тогава дробът се извиква погрешно... Извиква се число, състоящо се от цели и частични части смесено число.

Например, - правилни дроби, - неправилни дроби, 1 - смесено число.

2º. При извършване на действия над обикновени дробизапомнете следните правила:

1)Основно свойство на дроб... Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също естествено число, получавате дроб, равна на дадената.

Например, а); б) .

Делението на числителя и знаменателя на дроб от техния общ делител, различен от един, се нарича намаляване на фракцията.

2) За да представите смесеното число като неправилна дроб, трябва да умножите цялата й част по знаменателя на дробната част и да добавите числителя на дробната част към полученото произведение, да запишете получената сума като числител на дробата, и оставете знаменателя същия.

По същия начин всяко естествено число може да бъде записано като неправилна дроб с произволен знаменател.

Например, а), тъй като; б) и т.н.

3) За да напишете неправилна дроб като смесено число (т.е. да изберете цялата част от неправилната дроб), трябва да разделите числителя на знаменателя, да вземете частното от делението като цялата част, остатъкът като числител, оставете знаменателя същия.

Например, а), тъй като 200: 7 = 28 (почивка. 4);
б), тъй като 20: 5 = 4 (почивка 0).

4) За да донесете дробите до най -ниския общ знаменател, трябва да намерите най -малкото общо кратно (LCM) на знаменателите на тези дроби (това ще бъде техният най -нисък общ знаменател), да разделите най -малкия общ знаменател на знаменателите на тези дроби (т.е. намерете допълнителни фактори за дробите), умножете числителя и знаменателя на всяка дроб с нейния допълнителен множител.

Например, нека да доведем дробите до най -ниския общ знаменател:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Означава, ; ; .

5) Правила за аритметични операции с обикновени дроби:

а) Събирането и изваждането на дроби със същия знаменател се извършва съгласно правилото:

б) Събирането и изваждането на дроби с различни знаменатели се извършва съгласно правило а), като първо се редуцират дробите до най -малкия общ знаменател.

в) Когато добавяте и изваждате смесени числа, можете да ги превърнете в неправилни дроби, и след това изпълнете действията съгласно правилата а) и б),