Последни примери за дейността на логаритъма. Логаритми: Примери и решения

Фокусът на тази статия - логаритм. Тук ще дадем дефиницията на логаритъма, показваме приетото наименование, ние даваме примери за логаритми и да кажем за естествени и десетични логаритми. След това помислете за основната логаритмична идентичност.

Навигация.

Определение на логаритъма

Концепцията за логаритъма се случва при решаването на проблема в определен смисъл на обратното, когато е необходимо да се намери индикатор за степента според стойността на степента и добре познатата основа.

Но достатъчно предговор, време е да отговорим на въпроса "Какво е логаритъм? Нека дадем подходящата дефиниция.

Определение.

Логаритм номер Б, където a\u003e 0, a ≠ 1 и b\u003e 0 е индикатор за степента, в която трябва да се издигне номер А, за да се получи b.

На този етап отбелязваме, че изразената дума "логаритъм" трябва незабавно да се обади на получения въпрос: "Какво е номерът" и "на каква основа". С други думи, просто логаритъм, както и, и има само логаритъм на числа по някаква причина.

Незабавно представете определяне на логаритъм: Логаритъмът на номера Б, базиран на А, се взема, за да бъде обозначен като log a b. Логаритъмът на номера Б, базиран на E и логаритъм на базата на базата 10, има свои собствени специални обозначения на LNB и LGB, съответно, т.е.

Сега можете да дадете :.
И записи Няма смисъл, тъй като в първия от тях под знака на логаритъма има отрицателно число, във второто - отрицателно число в основата, а в третия - и отрицателен брой под знака на логаритъма и един в основата.

Сега да кажем О. правила за четене на Logarovmov.. Log a b Запис се чете като "логаритъм b въз основа на". Например, log 2 3 е логаритм от три на базата 2 и е логаритъмът на две цяло число две трети на земята корен квадратен от пет. Логаритъм, базиран на e наречен естествен логаритъмИ записът на LNB се чете като "естествен логаритъм". Например, ln7 е естествен логаритъм от седем и ние ще четем като естествен логаритъм pi. Логаритъм на базата на базата 10 също има специално име - десетични логаритъмИ LGB записът се чете като "десетичен логаритъм". Например, LG1 е десетична логаритъма, а LG2,75 е десетичен логаритъм от две цели седемдесет и пет стотни.

Струва си поотделно на термините a\u003e 0, a ≠ 1 и b\u003e 0, при който се дава определението за логаритъм. Нека обясним откъде идват тези ограничения. Да ни помогнат да ни помогнете равенството на видовете, които директно следва от горното определение на логаритъма.

Да започнем с ≠ 1. Тъй като устройството е до степен, равно на едно, равенството може да бъде валидно само при b \u003d 1, но дневникът 1 1 може да бъде всеки валиден номер. Да се \u200b\u200bизбегне този много съперник и се приема a ≠ 1.

Нека оправдаем целесъобразността на условието a\u003e 0. При A \u003d 0, по дефиниция на логаритъма, ще имаме равенство, което е възможно само при b \u003d 0. Но след това Log 0 0 може да бъде всеки различен номер, различен от нула, като нула във всяка не-нулева степен е нула. Избягвайте този много съперник позволява условие a ≠ 0. И с А.<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Накрая, състоянието B\u003e 0 следва от неравенството a\u003e 0, тъй като и стойността на степен с положителна база А е винаги положителна.

В заключение на този елемент, нека кажем, че изразеното определение на логаритъма ви позволява незабавно да укажете стойността на логаритъма, когато номерът под знака за логаритъма е известна степен на основаване. Наистина, дефиницията на логаритъма ви позволява да твърдите, че ако b \u003d a p, тогава логаритъмът на броя b за основата А е равен на p. Това означава, че дневникът на равенството a p \u003d p е валиден. Например, ние знаем, че 2 3 \u003d 8, след това регистрирайте 2 8 \u003d 3. Ще говорим по-подробно в статията.

Днес ще говорим логаровмов Формули и дайте индикативни примери за решения.

Само по себе си предполагат моделите на вземане на решения съгласно основните свойства на логаритмите. Първо да приложите логаритмите за решения, които да ви напомнят, първо всички имоти:

Сега въз основа на тези формули (имоти), ще покажем примери за логаритъм решения.

Примери за логаритми въз основа на формулите.

Логаритм Положителният номер B, базиран на (обозначен от log A b), е индикатор за степента, в която трябва да се предприеме, за да се получи b, с b\u003e 0, a\u003e 0 и 1.

Според дефиницията на log a b \u003d x, което е еквивалентно на x \u003d b, така че регистрирайте a a x \u003d x.

ЛогаритмияПримери:

log 2 8 \u003d 3, защото 2 3 \u003d 8

log 7 49 \u003d 2, защото 7 2 \u003d 49

log 5 1/5 \u003d -1, защото 5 -1 \u003d 1/5

Десетични логаритъм - Това е обикновен логаритъм, в основата на който 10. се обозначава като LG.

log 10 100 \u003d 2, защото 10 2 \u003d 100

Естествен логаритъм - Също така обикновен логаритъм логаритъм, но вече с базата на E (e \u003d 2,71828 ... - ирационален номер). Обозначава като ln.

Формулите или свойствата на логаритмите са желателни за запомняне, защото те ще се нуждаят в бъдеще при решаване на логаритми, логаритмични уравнения и неравенства. Нека работим отново всяка формула за примерите.

Основна логаритмична идентичност
Дневник a b \u003d b
8 2LOG 8 3 \u003d (8 2LOG 8 3) 2 \u003d 3 2 \u003d 9
Логаритъм работи равен на сумата на логаритмите
Log a (bc) \u003d log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 \u003d log 3 (8.1 * 10) \u003d log 3 81 \u003d 4
Логаритъм частен равен на разликата в логаритмите
Log a (b / c) \u003d log a b - log a c
9 log 5 50/9 log 5 2 \u003d 9 log 5 50- log 5 2 \u003d 9 log 5 25 \u003d 9 2 \u003d 81
Свойства на степента на логаритматичния номер и базата на логаритъма
Индикатор на логаритматичния номер log a b m \u003d mlog a b

Индикаторът за основаването на логаритъм log a n \u003d 1 / n * log a b

log a n b m \u003d m / n * log a b,

ако m \u003d n, получаваме дневник a n b n \u003d log a b

log 4 9 \u003d log 2 2 3 2 \u003d log 2 3
Преход към нова база
Log a b \u003d log c b / log c a,
ако c \u003d b, получаваме log b b \u003d 1

след това регистрирайте b \u003d 1 / log b a

log 0.8 3 * log 3 1,25 \u003d log 0.8 3 * log 0.8 1,25 / log 0.8 3 \u003d log 0.8 1,25 \u003d log 4/5 5/4 \u003d -1

Както можете да видите, логаритмите не са толкова сложни, колкото изглежда. Сега преглед на примери за решаване на логаритми, които можем да преминем към логаритмични уравнения. Примери за решаване на логаритмични уравнения ще разгледаме по-подробно в статията: "". Не пропускайте!

Ако имате някакви въпроси относно решението, напишете ги в коментарите към статията.

Забележка: Решихме да получим формирането на друго обучение в чужбина като възможност за развитие на събития.

Един от елементите на алгебрата на примитивното ниво е логаритъм. Името се случи от гръцкия език от думата "номер" или "степен" и означава степента, в която е необходимо да се изгради номер в основата за намиране на краен номер.

Видове логаритъм

log a b е логаритъмът на броя B за базата A (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0);
lG B е десетичен логаритм (логаритъм на базата на 10, a \u003d 10);
lN B е естествен логаритъм (логаритъм въз основа на e, a \u003d e).

Как да решавате логаритми?

Логаритъмът на броя B за основата А е индикатор за степента, която изисква базата на B-субстрат a. Резултатът се произнася така: "Логаритъм Б за основата А". Решението на логаритмичните задачи е, че трябва да определите тази степен по числа в определените номера. Има някои основни правила за определяне или решаване на логаритъм, както и превръщането на самия запис. Използването им се правят логаритмичните уравнения, има производни, интегралите се решават и се извършват много други операции. По принцип решението на самата логаритъм е опростеното им влизане. По-долу са основните формули и свойства:

За всеки; A\u003e 0; a ≠ 1 и за всеки x; Y\u003e 0.

дневник a b \u003d b - основната логаритмична идентичност
log a 1 \u003d 0
log a a a \u003d 1
log a (x · y) \u003d log a x + log a y
log a x / y \u003d log a x - log a y
log a 1 / x \u003d -log a x
log a x p \u003d p log a x
log a k x \u003d 1 / k · log a x, в k ≠ 0
log a x \u003d log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - формула на прехода към нова база
log a x \u003d 1 / log x a

Как да решавате логаритми - стъпка по стъпка инструкция

За да започнете, запишете необходимото уравнение.

Моля, обърнете внимание: Ако има 10 в логаритъма, записът е съкратен, той се оказва десетичен логаритм. Ако си струва естествено число e, след това запишете, рязане към естествен логаритъм. Имайки предвид, че резултатът от всички логаритми е степента, в която броят на основите е издигнат до получаването на броя Б.

Веднага решението е да се изчисли тази степен. Преди да решите изразяването с логаритъм, той трябва да бъде опростен според правилото, т.е. използване на формули. Основните идентичности могат да бъдат намерени чрез връщане на малко назад в статията.

Сгъване и изваждане на логаритми с два различни номера, но със същите бази, замени един логаритъм с продукта или разделянето на номера В и съответно. В този случай можете да приложите прехода към друга база (вж. По-горе).

Ако използвате изрази, за да опростите логаритъма, трябва да се вземат под внимание някои ограничения. И това е: основата на логаритъма А е само положително число, но не е равно на едно. Номерът Б, както и, трябва да бъде повече нула.

Има случаи при опростяване на израза, няма да можете да изчислите логаритъм в цифров вид. Това се случва, че такъв израз няма смисъл, защото много градуси са ирационални числа. С това състояние оставете степента на броя като запис на логаритъм.

Логаритъм номер B (b\u003e 0) въз основа на a (a\u003e 0, a ≠ 1) - индикатор за степента, в която трябва да се вземе номер А, за да се получи b.

Логаритъм номер Б, базиран на 10, може да бъде написан като lG (B)и логаритъм, базиран на E (естествен логаритъм) - ln (b).

Често се използват при решаване на задачи с логаритми:

Свойства на логаритъма

Има четири основни свойства на логаритъма.

Нека a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 и y\u003e 0.

Имот 1. Логаритъм работи

Логаритъм работи равен на сумата на логаритмите:

log a (x ⋅ y) \u003d log a x + log a y

Имот 2. Частен логаритъм

Логаритъм Част равна на разликата в логаритмите:

log a (x / y) \u003d log a x - log a y

Имот 3. Логаритм

Логаритъм Тя е равна на степен по логаритъм:

Ако основата на логаритъма е в степента, другата формула действа:

Имот 4. Hogarithm root

Това свойство може да бъде получено от свойствата на логаритъма на степен, тъй като коренът на N-The степен е равен на 1 / n:

Формулата за прехода от логаритъма в една база към логаритъма с различна база

Тази формула често се използва и при решаването на различни задачи за логаритмията:

Частно дело:

Сравнение на логаритмите (неравенство)

Нека имаме 2 функции f (x) и g (x) под логаритми със същите бази и между тях е знак за неравенство:

За да ги сравните, първо трябва да погледнете в основата на логаритмите A:

Ако a\u003e 0, след това f (x)\u003e g (x)\u003e 0
Ако 0.< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как да решавате проблеми с логаритмите: Примери

Задачи с логаритми Включени в EGE по математика за оценка 11 и задача 7, можете да намерите задачи с решения на нашия уебсайт в съответните раздели. Също така, задачите с логаритми се намират в шега на задачите по математика. Всички примери можете да намерите чрез сайта за търсене.

Какво е логаритъм

Логаритмите винаги са били считани за сложна тема курс за училище математика. Има много различни определения на логаритъм, но повечето учебници по някаква причина използват най-сложните и неуспешни от тях.

Ще определим логаритъма просто и ясно. За да направите това, направете таблица:

Така че, преди да се приспадне.

Логаритми - свойства, формули, как да се реши

Ако вземете номер от долния ред, лесно можете да намерите степен, в която ще трябва да се вземе думата, за да получите този номер. Например, за да получите 16, имате нужда от две за изграждане на четвърта степен. И за да получите 64, имате нужда от двама, за да изградите в шестата степен. Това се вижда от таблицата.

И сега - всъщност, определението за логаритъм:

въз основа на X аргумента е степен, в която трябва да се вземе номер А, за да получите номер X.

Означаване: log a x \u003d b, където е основата, x е аргумент, b - всъщност, какво е равно на логаритъм.

Например, 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (логаритъмът за основата 2 от номер 8 е три, от 2 3 \u003d 8). Със същия успех 2 64 \u003d 6, от 2 6 \u003d 64.

Нарича се работата на намирането на логаритъма на номера на дадена база. Така че, допълнете нашата маса с нов низ:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

За съжаление, не всички логаритми се считат за толкова лесни. Например, опитайте се да намерите дневник 2 5. Числа 5 не в таблицата, но логиката предполага, че логаритъмът ще лежи някъде на сегмента. Защото 2 2.< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат \u200b\u200bирационални: числата след запетая могат да бъдат записани до безкрайност и те никога не се повтарят. Ако логаритъмът е получен ирационален, по-добре е да го оставите: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). Мнозина първоначално объркват къде се намира основата и къде е аргументът. За да се избегнат досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

Преди нас не е нищо повече от определението за логаритъм. Помня: логаритъм е степенВ която Фондацията трябва да бъде взета, за да се получи аргумент. Това е основата, която се изгражда в степен - на снимката, която е маркирана в червено. Оказва се, че основата е винаги долу! Това чудесно правило казвам на учениците си на първия урок - и не възниква объркване.

Как да преброите логаритъма

Ние се занимавахме с дефиницията - остава да се научим да разглеждаме логаритмите, т.е. Отървете се от знака "log". За да започнем, отбелязваме, че от дефиницията следва две важни факта:

Аргументът и базата винаги трябва да бъдат по-големи от нула. Това следва да определи степента на рационален индикатор, към който се намалява определението за логаритъм.
Основата трябва да бъде различна от уреда, тъй като устройството до всяка степен все още остава единство. Поради това въпросът "колко трябва да бъде издигната единицата, за да се получи" лишен от значение ". Няма такава степен!

Такива ограничения се наричат областта на допустимите стойности (OTZ). Оказва се, че нечетният логаритъм изглежда така: log a x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Обърнете внимание, че няма ограничения за броя B (стойността на логаритъма) не се наслагват. Например логаритъм може да бъде отрицателен: log 2 0.5 \u003d -1, защото 0.5 \u003d 2 -1.

Сега обаче обмисляме само цифрови изрази, където да знаем, че Hogarithmът на OTZ не се изисква. Всички ограничения вече са взети под внимание от съставителите на задачите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенства отиват, изискванията на OTZ ще станат задължителни. Наистина, в основата и аргумента, могат да стоят много необосновани структури, които непременно отговарят на горните ограничения.

Сега разгледайте обща схема Изчисления на логаритми. Състои се от три стъпки:

Изпратете основата А и аргумент X под формата на степен с минималната възможна база, голяма единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните фракции;
Решете спрямо променливата B уравнение: x \u003d a b;
Полученият номер Б ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът е ирационален, той ще бъде видим в първата стъпка. Изискването, че базата е по-обединена, е много важна: тя намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Подобно на S. десетични фракции: Ако веднага ги прехвърляте в обикновените, грешките ще бъдат по-малко.

Нека видим как тази схема работи в конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъм: log 5 25

В основата и аргументацията като степен от пет: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Нека и решаваме уравнението:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

Получи отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъм:

Задача. Изчислете логаритъм: log 4 64

Представете си основата и аргументацията като степен на двойки: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
Нека и решаваме уравнението:
log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
Получил отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъм: log 16 1

Представете си основата и аргументацията като степен на две: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
Нека и решаваме уравнението:
log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
Получил отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъм: log 7 14

Представят основата и аргумента като степен от седем: 7 \u003d 7 1; 14 Под формата на степен от седем, тя не изглежда, от 7 1< 14 < 7 2 ;
От предишната точка следва, че логаритъм не се разглежда;
Отговорът не е промяна: log 7 14.

Малко забележка към последния пример. Как да се уверите, че номерът не е точната степен на друг номер? Много просто - достатъчно, за да го разградим на прости фактори. Ако има най-малко два различни фактора в разлагането, броят им не е точна степен.

Задача. Разберете дали точната степен на числото: 8; 48; 81; 35; четиринадесет.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - точна степен, защото Мултипликатът е само един;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - това не е точна степен, тъй като има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3,3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - точна степен;
35 \u003d 7 · 5 - отново не е точна степен;
14 \u003d 7 · 2 - отново, не точна степен;

Отбелязваме и, че самите прости числа са винаги точни степени.

Десетични логаритъм

Някои логаритми се срещат толкова често, че имат специално име и обозначение.

от аргумента X е логаритъм въз основа на базата 10, т.е. Степента, в която трябва да се издигне номер 10, за да получите номер x. Означаване: LG X.

Например, lg 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато учебникът срещне фразата като "Find LG 0.01", знам: Това не е печатна грешка. Това е десетичен логаритъм. Ако обаче сте необичайни за такова обозначение, винаги може да бъде пренаписано:
Lg x \u003d log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно за десетично.

Естествен логаритъм

Има друг логаритъм, който има свое собствено обозначение. В известен смисъл е още по-важно от десетичната запетая. Говорим си За естествения логаритъм.

от аргумента X е логаритъм въз основа на e, т.е. Степента, в която трябва да се издигне номерът e, за да получите номер x. Означаване: LN X.

Мнозина ще попитат: Какво друго в номер Е? Това е ирационален номер, точната му стойност, която да намери и пише невъзможна. Ще дам само първите си фигури:
e \u003d 2,718281828459 ...

Няма да задълбочаваме, че това е номерът и защо се нуждаете. Само не забравяйте, че Е е в основата на естествения логаритъм:
ln x \u003d log e x

По този начин, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; Ln e 16 \u003d 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационален номер. Като цяло естественият логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен това, разбира се, единици: ln 1 \u003d 0.

За естествени логаритми всички правила, които са верни за обикновените логаритми, са валидни.

Вижте също:

Логаритъм. Свойства на логаритъма (степен на логаритми).

Как да подадете номер под формата на логаритъм?

Използваме определението за логаритъм.

Логаритъм е индикатор за степента, в която трябва да се вземе основата, за да получите номера под знака на логаритъма.

Така, за да представлява определен номер C под формата на логаритъм въз основа на A, е необходимо да се постави известна база под знака на логаритъма като база на логаритъма и по отношение на степента на запис на този номер ° С:

Под формата на логаритъм можете да си представите някакъв брой - положителни, отрицателни, цяло число, фракционни, рационални, ирационални:

Така че в стресовите условия на контрола или изпит не се бърка А и С, можете да използвате такова правило за запаметяване:

това, което е надолу, слиза, това е на върха, отидете нагоре.

Например, трябва да изпратите номер 2 като логаритъм на базата на базата 3.

Имаме две номера - 2 и 3. Тези цифри са основата и индикатора на степента, която пишем под знака на логаритъма. Остава да се определи кои от тези номера трябва да бъдат записани, до основата на степента и която е нагоре в показателя.

Базата 3 в записа на логаритъма е под дъното, това означава, че когато представяме двете под формата на логаритъм на базата на базата 3, 3 също записва до основата.

2 стои над тройката. И в степента на деленда, ние пиша първите три, т.е. по отношение на степента:

Логаритмия. Първо ниво.

Логаритмия

Логаритм Положително число б. Базиран на а.където a\u003e 0, a ≠ 1е показателят за степента, в която трябва да се издаде номерът а., Придобивам б..

Определение на логаритъма Можете да записвате накратко така:

Това равенство е справедливо, когато b\u003e 0, a\u003e 0, a. 1. Обикновено се нарича логаритмична идентичност.
Местността на логаритъма се нарича логаритминг.

Свойства на Логанров:

Логаритъм работи:

Логаритъм отдел:

Смяна на базата на логаритъм:

Логаритъм:

Hogarithm root:

Логаритъм с енергийна база:

Десетични и естествени логаритми.

Десетични логаритъм Числата се наричат \u200b\u200bлогаритъм на този номер за база 10 и писане и nbsp lg б.
Естествен логаритъм номерата наричат \u200b\u200bлогаритъма на този номер, базиран д.където д. - ирационален номер, приблизително 2.7. В същото време пишат ln б..

Други алгебри и геометрени бележки

Основните свойства на логаритъма

Логаритмите, като всички номера, могат да бъдат сгънати, приспадане и конвертиране. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени номера, има свои собствени правила, които се наричат основни свойства.

Тези правила трябва непременно да знаят - без тях не се решава сериозна логаритмична задача. Освен това те са доста - всичко може да се научи в един ден. Така че, продължете.

Добавяне и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритми със същите основи: log a x и log a y. След това те могат да бъдат сгънати и приспаднати, и:

log a x + log a y \u003d log a (x · y);
log a x - log a y \u003d log a (x: y).

Така че размерът на логаритмите е равен на логаритъма на работата и разликата е логаритъмът на частния. Моля, обърнете внимание: клавишът тук е същите основания. Ако основите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще спомогнат за изчисляване на логаритмичния израз, дори когато отделните части не се вземат под внимание (виж урока "Какво е логаритъм"). Обърнете внимание на примерите - и се уверете:

Log 6 4 + log 6 9.

Тъй като основите в логаритмите са еднакви, ние използваме сумата от сумата:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 - log 2 3.

Основите са еднакви, използвайки формулата за разлика:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 - log 3 5.

Отново основите са едни и същи, така че имаме:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Както можете да видите, първоначалните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно поотделно. Но след трансформация се получават съвсем нормални номера. Много от тях са изградени в този факт. тестови документи. Но какъв е контролът - такива изрази са изцяло (понякога - почти непроменени) се предлагат на изпита.

Изпълнителна степен от логаритъм

Сега малко усложнява задачата. Какво ще стане, ако в основата или аргумента на логаритъм струва степен? След това индикаторът на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно е да се види, че последното правило следва първите им две. Но по-добре е да го помните, в някои случаи тя значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, когато отговарят на логаритъма от OTZ: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. И повече: Научете се да приложите всички формули не само от ляво на дясно, но и напротив, т.е. Можете да правите номера, обърнати към логаритъма, към самия логаритъм.

Как да решавате логаритъм

Това най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6.

Обадете се на степента в аргумента в първата формула:
log 7 49 6 \u003d 6 · log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Задача. Намерете стойността на изразяването:

Обърнете внимание, че в знаменателя има логаритъм, базата и аргументът, които са точни степени: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Ние имаме:

Мисля, че най-новият пример изисква обяснение. Къде изчезнаха логаритмите? Преди Саму последен момент Работим само с знаменателя. Те представиха основата и аргумента на логаритъм под формата на степени и извършени индикатори - получиха "триетажна" фракция.

Сега нека погледнем основната фракция. Номерът в числителя и знаменател е същото число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим фракцията - 2/4 ще останат в знаменателя. Съгласно правилата на аритметиката, четирите могат да бъдат прехвърлени на числителя, който е направен. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова база

Говорейки за правилата за добавяне и изваждане на логаритми, специално подчертах, че работят само със същите основи. И какво, ако основите са различни? Какво ще стане, ако те не са точни степени от един и същ номер?

Формулите за прехода към нова база идват в спасяването. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека да се даде x x да бъде даден. След това за всеки номер c така че c\u003e 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставите c \u003d x, получаваме:

От втората формула следва, че базата и аргументът на логаритъма могат да бъдат променяни на места, но в същото време изразът "се обръща", т.е. Логаритъм се оказва в знаменателя.

Тези формули са рядкост в конвенционалните цифрови изрази. Оценка на това колко са удобни те, това е възможно само когато решават логаритмични уравнения и неравенства.

Въпреки това, има задачи, които обикновено не са решени навсякъде като преход към нова база. Помислете за няколко такива:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 · log 2 25.

Имайте предвид, че аргументите на двата логаритми са точни степени. Ще обобщя: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; Log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

И сега "инвертирам" втория логаритъм:

Тъй като работата не се променя от пренареждане на мултипликатори, ние спокойно сменихме четирите и един две и след това сортирахме с логаритми.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 · lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм - точни степени. Пишем го и се отървете от индикаторите:

Сега се отървете от десетичния логаритъм, като се обърнете към новата база:

Основна логаритмична идентичност

Често решението е необходимо да се подаде номер като логаритъм за определена база.

В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай номер n става показател за степента в аргумента. Номерът n може да бъде абсолютно всеки, защото е просто логаритъм.

Втората формула всъщност е парафрасирана дефиниция. Нарича се :.

Всъщност какво ще се случи, ако номер Б е в такава степен, че броят B до този начин дава номер a? Право: Оказва се, че това е същото число a. Внимателно прочетете този параграф отново - много "висят" върху него.

Подобно на преходните формули до нова база, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете стойността на изразяването:

Обърнете внимание, че log 25 64 \u003d log 5 8 - просто направи квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Предвид правилата за умножаване на градуси със същата база, получаваме:

Ако някой не е наясно, това е истинска задача на EGE 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две идентичности, че е трудно да се назоват имотите - по-скоро това е следствие от определението за логаритъм. Те непрекъснато се срещат в задачи и, което е изненадващо, създават проблеми дори за "напреднали" ученици.

log a a a \u003d 1 е. Запомни пъти и завинаги: логаритъмът на всяка база А от самата база е равен на един.
log a 1 \u003d 0 е. Базата a може да има някакъв смисъл, но ако аргументът е единица - логаритъм е нула! Защото 0 \u003d 1 е пряка последица от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да практикувате на практика! Изтеглете яслите в началото на урока, отпечатайте го - и решете задачите.

Така че, преди да се приспадне. Ако вземете номер от долния ред, лесно можете да намерите степен, в която ще трябва да се вземе думата, за да получите този номер. Например, за да получите 16, имате нужда от две за изграждане на четвърта степен. И за да получите 64, имате нужда от двама, за да изградите в шестата степен. Това се вижда от таблицата.

И сега - всъщност, определението за логаритъм:

Логаритъмът на основата А от аргумента X е степента, в която трябва да се вземе номер А, за да получите номер X.

Означаване: log a x \u003d b, където е основата, x е аргумент, b - всъщност, какво е равно на логаритъм.

Например, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (логаритъмът за базата 2 от номер 8 е три, от 2 3 \u003d 8). Със същия успех 2 64 \u003d 6, от 2 6 \u003d 64.

Работата на намиране на логаритъма на номера за дадена база се нарича логаритминг. Така че, допълнете нашата маса с нов низ:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

За съжаление, не всички логаритми се считат за толкова лесни. Например, опитайте се да намерите дневник 2 5. Числата 5 не са в таблицата, но логиката предполага, че логаритъмът ще лежи някъде на сегмента. Защото 2 2.< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Аргументът и базата винаги трябва да бъдат по-големи от нула. Това следва да определи степента на рационален индикатор, към който се намалява определението за логаритъм.
Основата трябва да бъде различна от уреда, тъй като устройството до всяка степен все още остава единство. Поради това въпросът "колко трябва да бъде издигната единицата, за да се получи" лишен от значение ". Няма такава степен!

Сега разгледайте общата схема за изчисляване на логаритмите. Състои се от три стъпки:

Изпратете основата А и аргумент X под формата на степен с минималната възможна база, голяма единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните фракции;
Решете спрямо променливата B уравнение: x \u003d a b;
Полученият номер Б ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът е ирационален, той ще бъде видим в първата стъпка. Изискването, че базата е по-обединена, е много важна: тя намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. По същия начин с десетични фракции: ако веднага ги превърнете в обикновени, грешките ще бъдат по-малко.