Преобразуването на цялостно квадратно уравнение в непълен външен вид (за случая (B \u003d 0)):

За случаите, когато (c \u003d 0) или когато двата коефициента са нулеви - всичко е сходно.

Обърнете внимание, че няма реч за равенството на нула (a), не може да бъде нула, тъй като в този случай се включва:

Решение на непълни квадратни уравнения.

На първо място е необходимо да се разбере, че непълното квадратно уравнение е все още, затова може да бъде решено, както и обичайния квадрат (чрез). За да направите това, просто добавете липсващия компонент на уравнението с нулев коефициент.

Пример : Намерете корените на уравнението (3x ^ 2-27 \u003d 0)
Решение :

		Ние имаме непълно плоско уравнение с коефициент (b \u003d 0). Това означава, че можем да напишем уравнението в следната форма:
(3x ^ 2 + 0 cdot x-27 \u003d 0)		Всъщност тук е същото уравнение, както в началото, но сега тя може да бъде решена като обикновен квадрат. Първо пишем коефициентите.
(a \u003d 3;) (b \u003d 0;) (c \u003d -27;)		Изчислете дискриминацията с формула (d \u003d b ^ 2-4Ac)
(D \u003d 0 ^ 2-4 cdot3 cdot (-27) \u003d \\ t \(=0+324=324\)		Намерете корените на уравнението чрез формули (x_ (1) \u003d \\ t (frac (-b + sqrt (d)) (2a)] и (x_ (2) \u003d \\ t) \\ t )) (2а) \\ t
(x_ (1) \u003d \\ t (FRAC (-0+ SQRT (324)) (2 cdot3) \\ t(\u003d \\ T (18) (6) \\ t (x_ (2) \u003d \\ t (-0-0- sqrt (324)) (2 cdot3) \\ t(\u003d \\ _) \\ _ \\ _1) \\ t		Запишете отговора

Отговор : (x_ (1) \u003d 3); (x_ (2) \u003d - 3)

Пример : Намерете корените на уравнението (- x ^ 2 + x \u003d 0)
Решение :

		Отново, непълно квадратно уравнение, но сега нула е равно на коефициента (c). Рекордно уравнение като цяло.

Квадратични уравнения. Дискриминанта. Решение, примери.

Внимание!
Тази тема има допълнителни
Материали в специален раздел 555.
За тези, които са силно "не много ..."
И за тези, които са "много ...")

Видове квадратни уравнения

Какво е квадратно уравнение? Как изглежда? В полза на квадратно уравнение Ключова дума е "Квадрат". Това означава, че в уравнението преди Трябва да е на площада на площада. Освен него, в уравнението може да бъде (и може да не е!) Просто x (в първа степен) и само номера (свободен член). И не трябва да има ICS до степен, повече две.

Говорейки по математически език, квадратното уравнение е уравнението на формата:

Тук a, b и с - Някои номера. b и C. - всички, и но- Всеки, освен нула. Например:

Тук но =1; б. = 3; ° С. = -4

Тук но =2; б. = -0,5; ° С. = 2,2

Тук но =-3; б. = 6; ° С. = -18

Е, разбираш ...

В тези квадратни уравнения лявата присъща пълен комплект членове. X квадрат с коефициент но,x в първа степен с коефициента б. и свободен пишка с.

Такива квадратни уравнения се наричат пълен.

Какво ако б. \u003d 0, какво правим? Ние имаме x е първата степен изчезват. От умножение до нула това се случва.) Оказва се, например:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4X \u003d 0

И т.н. И ако и двата коефициента, б. и ° С. Равен на нула, все още е по-прост:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Такива уравнения, когато нещо липсва, се нарича непълни квадратни уравнения. Това, което е доста логично.) Моля да забележите, че X присъства на площада във всички уравнения.

Между другото, защо но Не може да бъде нула? И вместо това замествате но Нолик.) Ще изчезнаме на площада! Уравнението ще стане линейно. И вече е решен доста различно ...

Това са всички основни типове квадратни уравнения. Пълна и непълна.

Разтвор на квадратни уравнения.

Решаване на пълни квадратни уравнения.

Квадратните уравнения са просто решени. Според формулите и ясно простите правила. На първия етап, дадено уравнение трябва да бъде доведено до стандартния формуляр, т.е. На ум:

Ако уравнението ви бъде дадено вече в този формуляр - първият етап не е необходим.) Основното нещо е правилно да се дефинират всички коефициенти, но, б. и ° С..

Формулата за намиране на корените на квадратното уравнение изглежда така:

Изразът под знака на корена се нарича дискриминанта. Но за него - по-долу. Както можете да видите, да намерите ICA, ние използваме само a, b и с. Тези. Коефициентите на квадратното уравнение. Просто подредете стойностите a, b и с В тази формула и ние разглеждаме. Заместител със знаците си! Например в уравнение:

но =1; б. = 3; ° С. \u003d -4. Тук и напишете:

Пример е практически решен:

Това е отговорът.

Всичко е много просто. И какво мислиш, че е невъзможно да се направи грешка? Е, да, как ...

Най-често срещаните грешки - объркване с признаци на ценности a, b и с. По-скоро, а не със своите знаци (къде е объркан?), Но със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Ето подробно въвеждане на формулата със специфични номера. Ако има проблеми с компютрите, направи го!

Да предположим, че трябва да решите това:

Тук а. = -6; б. = -5; ° С. = -1

Да предположим, че знаете, че рядко имате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Напишете излишната линия ще отнеме секунди 30. и броя на грешките рязко рязане. Тук пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно, толкова внимателно боя. Но изглежда само. Опитвам. Е, или изберете. Какво е по-добре, бързо или правилно? Също така ще те рита. След известно време ще изчезне толкова внимателно да рисувате всичко. Самата ще бъде прав. Особено ако прилагате практически техники, които са описани точно по-долу. Този зъл пример с куп минус ще бъде решен лесно и без грешки!

Но често, квадратните уравнения изглеждат малко по-различни. Например, подобно:

Разберете?) Да! то непълни квадратни уравнения.

Решение на непълни квадратни уравнения.

Те могат също да бъдат решени по обща формула. Необходимо е само да си представим правилно какво е равно на a, b и с.

Поправено? В първия пример а \u003d 1; b \u003d 4; но ° С.? Изобщо няма никой! Е, да, надясно. В математиката това означава това c \u003d 0. ! Това е всичко. Вместо това заместваме нулевата формула ° С, И всичко ще се окаже. По същия начин с втория пример. Само нула тук не от, но б. !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесни. Без никакви формули. Помислете за първото непълно уравнение. Какво може да се направи там в лявата страна? Можете да направите е за скоби! Да извадим.

И какво от това? И фактът, че работата е нула тогава, и само когато някои от мултипликателите са равни на нула! Не вярвайте? Е, излезте с две ненулеви номера, които ще дадат нула с умножете!
Не работи? Това е нещо ...
Следователно можете уверено да пишете: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете са подходящи. Когато замествате някоя от тях в първоначалното уравнение, ние получаваме вярна идентичност 0 \u003d 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от общата формула. Отбелязвам, че x ще бъде първият и коя секунда е абсолютно безразличен. Удобно за запис в няколко, x 1. - Какво е по-малко и x 2. - Какво повече.

Второто уравнение може също да бъде решено просто. Ние носим 9 от дясната страна. Получаваме:

Остава коренът да се извлече от 9 и това е. Оказва се:

Също два корена . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Така че всички непълни квадратни уравнения са решени. Или чрез създаване на скоба, или чрез просто прехвърляне на номера вдясно, последван от извличането на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от XCA, което по някакъв начин не е ясно и във втория случай това не е нищо за скоби ...

Дискриминанта. Дискриминационна формула.

Магическа дума дискриминанта ! Един рядък ученик в гимназията не чува думата! Фразата "решава чрез дискриминацията" ще вдъхне доверието и ще насърчава. Защото не е необходимо да чакате триковете от дискриминацията! Това е прост и безпроблемно в обращение.) Напомням ви за най-общата формула за решаване . \\ T Квадратни уравнения:

Изразът под знака на корена се нарича дискриминантно. Обикновено дискриминацията е посочена от писмото Д.. Дискриминационна формула:

D \u003d B 2 - 4AC

И какво е забележително изразяване? Защо заслужава специално име? В какво значение на дискриминацията? След всичко -b, или 2а. В тази формула те не се обаждат специално ... букви и писма.

Това е какво. Когато решавате квадратно уравнение за тази формула, е възможно общо три случая.

1. Дискриминантно положително. Това означава, че е възможно да се извлече коренът. Добър корен е извлечен или лош - въпросът е различен. Важно е да се извлече по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминацията е нула. След това получавате едно решение. Тъй като нулевото изваждане в числителя не променя нищо. Строго говорене, това не е един корен, но две идентични. Но в опростената версия е обичайно да се говори за това едно решение.

3. Дискриминацията е отрицателна. От отрицателното число, квадратният корен не се отстранява. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Честно казано, кога просто решение Квадратни уравнения, концепцията за дискриминация не е особено необходима. Заместваме стойностите на коефициентите във формулата, да, вярваме. Всичко това се случва всичко, две корени и едно, а не едно. Въпреки това, когато се решават повече сложни задачибез знание значение и формула дискриминация не достатъчно. Особено - в уравнения с параметри. Такива уравнения са най-висшият пилот в GIA и EGE!)

Така, как да решават квадратни уравнения Чрез дискриминацията, която си спомняш. Или научих, че също не е лошо.) Знам как да определя правилно a, b и с. Знание внимателно Заменете ги в кореновата формула и внимателно пребройте резултата. Вие осъзнахте това ключова дума тук - внимателно?

И сега се обърнете внимание на практическите техники, които драстично намаляват броя на грешките. Най-много заради невниманието. ... за което тогава това се случва и боли ...

Рецепция . Не бъдете мързеливи, преди да разрешите квадратното уравнение, за да го донесете в стандартния формуляр. Какво означава това?
Да предположим, че след всички трансформации сте получили такова уравнение:

Не бързайте да напишете коренната формула! Почти вероятно обърквате коефициентите A, B и S. Изграждане на пример правилно. Първо, X е на площада, а след това без квадрат, след това свободен пишка. Като този:

И не бързайте отново! Минусът пред IX на площада може да е здрав, за да ви разстрои. Забравете лесно ... да се отървете от минус. Как? Да, както се преподава в предишната тема! Необходимо е да се умножи цялото уравнение на -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да записвате формулата за корените, помислете за дискриминацията и примера. Сами. Трябва да имате корени 2 и -1.

Приемане на две. Проверете корените! На теоремата на Виета. Не плаши, ще обясня всичко! Проверка последно нещо уравнението. Тези. Че записахме корените на корените. Ако (както в този пример) коефициент a \u003d 1., Проверете корените лесно. Достатъчно, за да ги умножа. Трябва да има свободен член, т.е. В нашия случай -2. Забележка, не 2, a -2! Безплатен пик с вашия знак . Ако не работи, това означава някъде, където са натрупали. Потърсете грешка.

Ако се е случило - е необходимо да се сгъват корените. Последна и последна проверка. Трябва да се случи коефициентът б. от . \\ T знак. В нашия случай -1 + 2 \u003d +1. И коефициент б.което е пред IX, равно на -1. Така че всичко е правилно!
Жалко е, че е толкова просто за примери, където X е чист, с коефициент a \u003d 1. Но поне проверете при такива уравнения! Ще има по-малко грешки.

Трети . Ако има фракционни коефициенти във вашето уравнение, - да се отървете от фракциите! Многократно уравнение въз основа на общ знаменателКакто е описано в урока "Как да решават уравнения? Идентични трансформации". Когато работите с фракции на грешката, по някаква причина и се изкачете ...

Между другото, обещах зъл пример с куп минус да опростя. Вие сте добре дошъл! Ето го.

За да не се бърка в минусите, уравнението на -1 е доминиращо. Получаваме:

Това е всичко! Решете - едно удоволствие!

Така че, обобщете темата.

Практически съвети:

1. Преди решаване, даваме квадратно уравнение на стандартния формуляр, го изграждаме дясно.

2. Ако отрицателен коефициент е на стойност отрицателен коефициент преди X, премахнете умножението на цялото уравнение на -1.

3. Ако фракционните коефициенти са премахнали фракцията чрез умножаване на цялото уравнение към съответния мултипликатор.

4. Ако x е на квадрата - чист, коефициентът е равен на един, разтворът може лесно да бъде проверен от теоремата на Vieta. Направи го!

Сега е възможно да се изчисли.)

Решават уравнения:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Отговори (в разстройство):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5

x - всеки номер

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

няма решения

x 1 \u003d 0.25
x 2 \u003d 0.5

Всичко се сближава? Отличен! Квадратните уравнения не са главоболие. Първите три се оказаха, а останалите - не? Тогава проблемът не е в квадратни уравнения. Проблемът е в идентични трансформации на уравнения. Разходете се чрез справка, тя е полезна.

Наистина не получава? Или изобщо не работи? Тогава трябва да помогнете на дял 555. Има всички тези примери разглобяват около костите. Представяне главен Грешки в решаването. Разбира се, за прилагането идентични трансформации В решаването на различни уравнения. Помага много!

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и деривати.

Помислете за квадратно уравнение:
(1) .
Корените квадратно уравнение (1) се определят чрез формули:
; .
Тези формули могат да бъдат комбинирани като този:
.
Когато корените на квадратното уравнение са известни, полиномът от втора степен може да бъде представен като произведение на факторите (разлагане на мултипликатори):
.

След това вярваме, че - действителните числа.
Обмисли дискриминантно квадратно уравнение:
.
Ако дискриминацията е положителна, тогава квадратното уравнение (1) има два различни валидни корени:
; .
Тогава разлагането на квадрат три намаляването на факторите има формата:
.
Ако дискриминацията е нула, тогава квадратното уравнение (1) има два многократни (равни) валиден корен:
.
Факторизиране:
.
Ако дискриминацията е отрицателна, тогава квадратното уравнение (1) има два изчерпателно конюгирания корен:
;
.
Тук - въображаема единица;
И - действителните и въображаеми части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако Build. функция за график
,
която е парабола, тогава точката на пресичане на графиката с оста ще бъде корени на уравнението
.
Когато графикът пресича ос абсциса (ос) в две точки.
Когато графиката се отнася до ос абсцисата в една точка.
Когато графикът не пресича ос абсцисата.

По-долу са примери за такива графики.

Полезни формули, свързани с квадратното уравнение

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Изхода на формулата за корените на квадратното уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (F.1) и (F.3):




,
Където
; .

Така че имаме формула за полином от втора степен във формата:
.
Оттук може да се види, че уравнението

извършен в
и.
Това означава, че корените на квадратното уравнение са корени
.

Примери за определяне на корените на квадратното уравнение

Пример 1.

(1.1) .

Решение

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), ние намираме ценностите на коефициентите:
.
Ние намираме дискриминантност:
.
Тъй като дискриминацията е положителна, уравнението има два валидни корен:
;
;
.

От тук получаваме разлагане на квадратни три залози на множители:

.

Функция на графика y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Пресича ос от абсциса в две точки.

Изграждаме функционална графика
.
Графикът на тази функция е Parabola. Тя поставя Asccissa AXIS (ос) на две точки:
и.
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

Отговор

;
;
.

Пример 2.

Намерете корените на квадратното уравнение:
(2.1) .

Решение

Пишаме квадратното уравнение в обща форма:
.
Сравнявайки с първоначалното уравнение (2.1), ние намираме стойностите на коефициентите:
.
Ние намираме дискриминантност:
.
Тъй като дискриминацията е нула, уравнението има два множествени (равни) корен:
;
.

Тогава разлагането на три решения за мултипликатори има формата:
.

Функционална графика y \u003d x 2 - 4 x + 4 Изисква ос от абсюса в една точка.

Изграждаме функционална графика
.
Графикът на тази функция е Parabola. Тя се отнася до ос абсциса (ос) в един момент:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен влиза в разширяването на множителите два пъти:
,
Този корен се нарича няколко. Смята се, че има два равни корени:
.

Отговор

;
.

Пример 3.

Намерете корените на квадратното уравнение:
(3.1) .

Решение

Пишаме квадратното уравнение в обща форма:
(1) .
Пренаписваме първоначалното уравнение (3.1):
.
Сравнете C (1), ние намираме стойностите на коефициентите:
.
Ние намираме дискриминантност:
.
Дискриминацията е отрицателна. Следователно няма валидни корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;

Изграждаме функционална графика
.
Графикът на тази функция е Parabola. Тя не пресича ASCCISSA ос (ос). Следователно няма валидни корени.

Отговор

Няма валидни корени. Ряви са интегрирани:
;
;
.

Известно е, че то е конкретно изпълнение на равенството AH2 + VX + C \u003d O, където А, В и С - реалните коефициенти в неизвестен х, и където ≠ ОН, и В и С ще бъдат нули - едновременно или отделно. Например, c \u003d o, в ≠ или обратно. Почти си спомняме дефиницията на квадратно уравнение.

Спусъка на втората степен е нула. Първият коефициент A ≠ O, B и C може да предприеме всякакви стойности. Тогава стойността на променливата X ще бъде, когато заместването го превръща в правилното числово равенство. Нека да се спрем на реалните корени, въпреки че решенията на уравнението могат също да бъдат напълно наречени уравнението, в което нито една от коефициентите не е равна на, и ≠ o, в ≠, с ≠ за.
Решавам пример. 2x 2 -9x-5 \u003d o, откриваме
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D положителни, след това корените са налични, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5, и вторият х 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -o, 5. Чек ще ви помогне да се уверите, че са правилни.

Тук е поетапно решение на квадрата уравнение

Чрез дискриминацията всяко уравнение може да бъде решено в лявата част на която известният квадрат три-остатъчен при ≠. В нашия пример. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (AH2 + VX + C \u003d O)

Разгледайте какви са непълните уравнения на втората степен

1. aH2 + VH \u003d O. Свободен срок, коефициент с x 0, тук е нула, в ≠ o.
   Как да решите непълна квадратна уравнение от този тип? Ние извършваме X за скоби. Спомняме се, когато продуктът от два мултипликатори е нула.
   x (AX + B) \u003d O, може да е, когато X \u003d O или когато Ax + B \u003d O.
   След като вземете 2-ри, имаме x \u003d -b / a.
   В резултат на това имаме корени x 1 \u003d 0, според изчисленията x 2 \u003d -b / a.
2. Сега коефициентът в X е равен на и не е равен на (≠) за.
   x 2 + c \u003d o. Ние прехвърляме с дясната страна на равенството, получаваме x 2 \u003d -C. Това уравнение само след това има истински корени, когато е положително число (с \u003co),
   X 1 е равен на √ (-C), съответно х 2 - -√ (-С). В противен случай уравнението изобщо няма корени.
3. Последен вариант: B \u003d C \u003d O, т.е. AH2 \u003d O. Естествено, такова просто уравнение има един корен, х \u003d о.

Частни дела

Как да решават непълно костно уравнение, а сега ще вземем каквито и да било видове.

• В цялостно квадратно уравнение, вторият коефициент на X е четен номер.
  Нека k \u003d o, 5b бъде. Имаме формули за изчисляване на дискриминантните и корените.
  D / 4 \u003d k 2 - AC, корените се изчисляват така x 1.2 \u003d (-k ± √ (d / 4)) / a с d\u003e o.
  x \u003d -k / a за d \u003d o.
  Няма корени за d \u003co.
• Има намалени квадратни уравнения, когато коефициентът при X на квадрата е 1, те се вземат за записване на x 2 + px + q \u003d o. Всички горепосочени формули се разпространяват върху тях, изчисленията са малко по-прости.
  Пример, X 2 -4x-9 \u003d 0. Изчислете D: 22 +9, d \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• В допълнение, лесно се използва в него, казва, че количеството на корените на уравнението на уравнението е -P, вторият коефициент с минус (което означава противоположният знак) и продуктът от същите корени ще бъде Q, безплатно член. Проверете как тя може лесно да определя корените на това уравнение. За неплатени (с всички ненулеви коефициенти), тази теорема е приложима така: сумата x 1 + x 2 е равна на -b / a, продуктът x 1 · х 2 е равен на c / a.

Количеството на свободния член С и първият коефициент А е равен на коефициента b. В тази ситуация уравнението има не по-малко от един корен (лесно доказан), първият е непременно равен на -1, а второто / ° C / A, ако съществува. Как да решавате непълно квадратно уравнение, можете да проверите себе си. Толкова лесно, колкото пай. Коефициентите могат да бъдат в някои отношения помежду си.

• x 2 + x \u003d 0, 7x 2 -7 \u003d о.
• Сумата от всички коефициенти е равна на.
  Корените в такова уравнение - 1 и s / a. Пример, 2x 2 -15x + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Съществуват редица други начини за решаване на различни уравнения на втората степен. Тук, например, методът на изолиране от този полином от пълен квадрат. Графични методи някои. Когато често се занимавате с такива примери, научавате се да ги "кликнете", като семена, защото всички начини се случват автоматично.

В модерно общество Възможността за извършване на действия с уравненията, съдържащи променливата на площада, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко на практика в научни и. \\ T технически разработки. Доказателство за това може да обслужва дизайна на морски и речни плавателни съдове, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления траекторите на движението на различни тела, включително космически обекти. Примери с разтвор на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, в проектирането и изграждането на сгради, но и в най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те могат да са необходими в туристическите кампании в спорта, в магазините за пазаруване и в други много общи ситуации.

Ние нарушаваме изразяването на компонентите на множителите

Степента на уравнение се определя чрез максималната стойност на степента в променливата, която съдържа този израз. В случай, че е 2, тогава такова уравнение се нарича точно площад.

Ако езикът на формулите изразява, тогава посочените изрази, без значение как изглеждат, винаги могат да бъдат причинени от формата, когато лявата част на изразяването се състои от три термина. Сред тях: AX 2 (т.е. променливата, издигната на квадрат с нейния коефициент), BX (неизвестен без квадрат със своя коефициент) и C (свободен компонент, т.е. обичайното число). Всичко това в дясната страна е равно на 0. в случая, когато няма нито един от неговите компоненти на термините, с изключение на AX 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Примери с решаването на такива задачи, стойността на променливите, в които е лесно да се намери, трябва да се разглежда първо.

Ако експресията се появи във формата, изглежда по такъв начин, че две, по-точно, Ax 2 и BX, изразът на експресията върху експресията от дясната страна, е най-лесно да се намери променлива за скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x (AX + B). След това става очевидно, че или x \u003d 0 или задачата се намалява до намиране на променлива от следния израз: AX + B \u003d 0. Определеното диктува един от свойствата на умножение. Правилото се казва, че продуктът от два фактора дава в резултат на 0 само ако някой от тях е нула.

Пример

x \u003d 0 или 8x - 3 \u003d 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0.375.

Уравненията от този вид могат да опишат движението на тела под влиянието на тежестта, което започва движение от определена точка, приета в началото на координатите. Тук математическият запис приема следната форма: Y \u003d V 0 T + GT 2/2. Заместването на необходимите стойности, приравняване на дясната страна 0 и намирането на възможни неизвестни, можете да откриете времето, което минава от момента на повишаването на тялото до падането му, както и много други ценности. Но по-късно ще говорим за това.

Разлагане на изразяването на мултипликатори

Описаното по-горе правило прави възможно решаването на задачите и в по-сложни случаи. Разгледайте примери с решаване на квадратни уравнения от този тип.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Тази квадратна тройна е пълна. За да започнем, ние трансформираме израза и го разлагаме за множители. Те се получават две: (x-8) и (x-25) \u003d 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примери с решаване на квадратни уравнения в 9 клас позволяват този метод да намери променлива в изрази не само втората, но дори и третата и четвъртата поръча.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. С разлагането на дясната част на множителите с променлива, те се получават три, т.е. (x + 1), (x-3) и (x-3) и (\\ t X + 3).

В резултат на това става ясно, че това уравнение има три корени: -3; - 3.

Извличане на квадратен корен

Друг случай на непълното уравнение на втория ред е изразът, на езика на писмата, представени по такъв начин, че дясната страна е изградена от компонентите на AX 2 и C. Тук, за стойността на променливата, свободният член се прехвърля на правилната странаи след това от двете части на равенството се извличат корен квадратен. Трябва да се отбележи, че в този случай корените на уравнението обикновено са две. Изключение може да бъде равно на равенството, обикновено не съдържащ термина С, когато променливата е нула, както и опциите за изрази, когато дясната страна се окаже отрицателна. В последен случай Въобще няма решения, тъй като горните действия не могат да бъдат направени с корени. Трябва да се обмислят примери за разтвори на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат -4 и 4.

Изчисляване на парцел

Необходимостта от такива изчисления се появи в дълбока античност, защото развитието на математиката в много отношения в тези далечни времена се дължи на необходимостта от определяне на най-точността на района и периметъра на парцелите.

Примери с решаване на квадратни уравнения, изготвени въз основа на задачи от този вид, трябва да се разглеждат на нас.

Така че, да кажем, че има правоъгълен парцел, чиято дължина е на 16 метра повече от ширината. Трябва да се намери дължина, ширина и периметър на обекта, ако е известно, че площта му е равна на 612 m 2.

Започване на въпрос, първо направете необходимото уравнение. Обозначава с ширината на сайта, след което дължината му ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), която според състоянието на нашия проблем е 612. Това означава, че X (X + 16) \u003d 612.

Разтворът на пълни квадратни уравнения и този израз е именно такъв, не може да се извърши по същия начин. Защо? Въпреки че лявата страна на нея все още съдържа два фактора, продуктът изобщо не е равен на 0, така че тук се използват други методи.

Дискриминанта

На първо място, ние ще произведем необходимото преобразуване, тогава появата на този израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Това означава, че имаме експресия във формата, съответстваща на посочения по-рано стандарт, където a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминантно. Тук изискваните изчисления се правят съгласно схемата: D \u003d B 2 - 4AC. Тази спомагателна стойност не само дава възможност да се намерят желаните стойности във второто уравнение на втори ред, той определя броя възможни опции. В случай d\u003e 0, има две; Когато D \u003d 0 има един корен. В случай на D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминацията е: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Това предполага, че отговорът на нашата задача съществува. Ако знаете, k, разтворът на квадратните уравнения трябва да продължи да използва формулата по-долу. Тя ви позволява да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Втората версия в тази дилема не може да бъде разтвор, тъй като размерите на земята не могат да бъдат измерени в отрицателни стойности, това означава X (т.е. ширината на площадката) е 18 m. Оттук, изчисляваме дължината: 18 + 16 \u003d 34 и периметри 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Примери и цели

Ние продължаваме да проучваме квадратни уравнения. Ще бъдат дадени допълнителни примери и подробно решение на няколко от тях.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Ние прехвърляме всичко в лявата част на равенството, ще направим трансформация, т.е. получаваме формата на уравнението, което се нарича стандарт, и го изравнява с нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

След сгъване, ние определяме дискриминацията: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги според горната формула, което означава, че първият от тях е 4/3, а вторият.

2) Сега разкриват загадките от друг вид.

Разберете, има ли корени тук x 2 - 4x + 5 \u003d 1? За да получите всеобхватен отговор, даваме полином към подходящото познаване и изчисляваме дискриминацията. В посочения пример, разтворът на квадратното уравнение не е необходимо, защото същността на задачата изобщо не е това. В този случай, D \u003d 16 - 20 \u003d 4, което означава, че наистина няма корени.

Vieta теорема

Квадратните уравнения са удобно решени през горните формули и дискриминационни, когато квадратният корен се извлича от последната стойност. Но това не винаги. Въпреки това, има много начини за получаване на променливи в този случай. Пример: решения на квадратни уравнения на теоремата на Виета. Тя е кръстена, след която е живяла през XVI век във Франция и е направила брилянтна кариера поради математическия си талант и дворове. Портрет на него може да се види в статията.

Моделът, който известят известният френски език, е следният. Той доказа, че корените на уравнението в количеството са числено равни на -P \u003d B / A, а техният продукт съответства на Q \u003d C / a.

Сега разгледайте конкретни задачи.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

За простота превръщаме изразяването:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Ние използваме теоремата на Виета, тя ще ни даде следното: количеството на корените е -7 и тяхната работа -18. Оттук, получаваме, че корените на уравнението са числа -9 и 2. Направете чек, уверете се, че тези стойности на променливи са наистина подходящи в изразяването.

Графика и рабола уравнение

Концепции Квадратичната функция и квадратните уравнения са тясно свързани. Примерите за това вече са показани по-рано. Сега помислете малко по-математически загадки. Всяко уравнение на описания тип може да бъде представено. Подобна зависимост, изтеглена под формата на графика, се нарича парабола. Различните й типове са показани на фигурата по-долу.

Всяка Parabola има върха, т.е. точката, от която излизат нейните клонове. В случай, че а\u003e 0, те оставят високо в безкрайност и когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните изображения на функциите помагат за решаването на всякакви уравнения, включително квадрат. Този метод се нарича графика. И стойността на променливата X е координата на абсцисата в точки, където графиката на графиката преминава от 0x. Координатите на върховете могат да бъдат намерени съгласно дадената единствена формула X 0 \u003d -B / 2A. И, заместване на получената стойност към първоначалното уравнение на функцията, можете да научите Y 0, т.е. вторият координат от върховете на Peyabol, принадлежащи към ордината.

Пресичане на клоните на парабола с ос от абсциса

Примери с решения на квадратните уравнения са много, но има общи модели. Помислете за тях. Ясно е, че пресичането на графиката с ос 0x при\u003e 0 е възможно само ако 0 получава отрицателни стойности. И за А.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Според графиката, параболите могат да бъдат дефинирани и корени. Обратното също е вярно. Това означава, че ако получите визуален образ на квадратична функция не е лесно, можете да приравните дясната страна на експресията до 0 и да решите полученото уравнение. И познаването на точките на пресичане с ос 0x, по-лесно е да се изгради график.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи променливата до квадрата, в старите дни не само правят математически изчисления и определяха областта на геометричните фигури. Подобни изчисления на древните бяха необходими за велики открития в областта на физиката и астрономията, както и за компилиране на астрологични прогнози.

Тъй като съвременните данни предлагат, сред първите решения на квадратните уравнения, жителите на Вавилон поемат. Това се случи в четири века преди началото на нашата епоха. Разбира се, техните изчисления в корена се различават от сега приети и се оказаха много примитивни. Например, мезопотамийските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Непознатите също имаха други тънкости от тези, които познават всеки ученик на нашето време.

Може би дори по-рано учени от Вавилон, решението на квадратните уравнения, мъдрец на Индия Будхояма се занимаваше. Това се случи в около осем века преди ерата на Христос. Вярно е, че уравнението на втория ред, методите за решаване, които той води, е най-силно едновременно. В допълнение към него, такива въпроси се интересуват от стари и китайски математици. В Европа уравненията на площад започнаха да се решават само в началото на XIII век, но по-късно те са били използвани в работата си толкова велики учени като Нютон, Декарт и много други.