Квадратни уравнения със синус и косинус. Тригонометрични уравнения

Резюме Теоретични въпроси на диференцирания гостоприемник

За ученици от 1 курс

Специалности 23.02.03 " Поддръжка и ремонт на автомобилния транспорт "

Уравнението. Корен на уравнението. Какво означава да "решаването на уравнението"?

Уравнението е равенство, съдържащо променлива.

Коренът на уравнението е стойността на променливата, която при заместването му в уравнението го превръща в правилното числово равенство.

Решете уравнението е да намерите всичките му корени или да докажете, че няма корени.

Системата на уравнения е комбинация от две или повече уравнения с две и по-неизвестни; Освен това, разтворът на едно от уравненията е едновременно чрез решението на всички останали.

Видове уравнения и тяхното решение: линеен, квадрат.

Линейни уравнения - Това са уравненията на формуляра: AH + B \u003d 0, където А и Б са някои постоянни. Ако не е равна на нула, уравнението има един единствен корен: x \u003d - b: a. Ако a е нула и b е нула, тогава коренът на AH + B \u003d 0 уравнението е произволен номер. Ако a е нула, и b не е нула, тогава уравнението ah + b \u003d 0 няма корени.

Методи за решаване на линейни уравнения

1) Идентични трансформации

2) графичен метод.

Квадратно уравнение - Това е уравнението на типа брадва. 2 + bX. + ° С. \u003d 0, където коефициентите а., б. и ° С. - произволни числа и a ≠ 0.

Нека да се даде квадратното уравнение брадва. 2 + bX. + ° С. \u003d 0. Тогава дискриминацията е номерът Д. = б. 2 − 4ac..

1. ако Д. < 0, корней нет;

2. ако Д. \u003d 0, има точно един корен;

3. ако Д. \u003e 0, корените ще бъдат две.

Ако дискриминационно D\u003e 0, корените могат да бъдат намерени чрез формули: корени квадратно уравнение. Сега се обръщаме, всъщност, към решението. Ако е дискриминант Д. \u003e 0, корените могат да бъдат намерени чрез формули:

Решението на най-простите тригонометрични уравнения

Общ изглед на разтвора на COS X \u003d уравнение, където | А | ≤ 1, определено по формулата:

x \u003d ± arccos (a) + 2πk, k z (цели числа), с | А | \u003e 1 cos x \u003d едно уравнение няма решения сред реалните числа.

Общ поглед върху решението SIN X \u003d уравнение, където | А | ≤ 1, определено по формулата:

x \u003d (- 1) K · arcsin (a) + πk, k z (цели числа), с | А | \u003e 1 уравнението SIN X \u003d A няма решения сред реалните числа.

Общият тип разтвор на уравнението Tg X \u003d A се определя по формулата:

x \u003d ARCTG (a) + πk, k z (цели числа).

Общото изглед на разтвора на CTG X \u003d едно уравнение се определя по формулата:

x \u003d ARCCTG (a) + πk, k z (цели числа).

Разтвор на линейни тригонометрични уравнения

Линейните тригонометрични уравнения имат формата k * f (x) + b \u003d 0, където f (x) е тригонометрична функция и k и b - валидни числа.

За решаване на уравнението, това води до най-простия тип идентични трансформации

Разтвор на линейни - комбинирани тригонометрични уравнения

Линейно комбинирани тригонометрични уравнения имат формата F (KX + B) \u003d A, където F (X) е тригонометрична функция, A, K и B - валидни числа.

За да разрешите уравнението, той се въвежда нова променлива y \u003d kx + b. Полученото най-простото тригонометрично уравнение по отношение на Y и произвежда обратно заместване.

Решаване на тригонометрични уравнения, използващи формулата

Разтвор на тригонометрични уравнения тригонометрични идентичности

При решаването на тригонометрични уравнения, които не са най-проста, идентични трансформации се извършват съгласно следните формули:

Разтвор на квадратни тригонометрични уравнения

Отличителните характеристики на уравненията се намаляват до квадрат:

Уравнението съдържа тригонометрични функции от един аргумент или те лесно се свеждат до един аргумент.

В уравнението има само една тригонометрична функция или всички функции могат да бъдат намалени до един.

Алгоритъм решения:

Заместването се извършва.

Извършва се трансформацията на експресията.

Въвежда се обозначение (например sinx \u003d y).

Решава се квадратно уравнение.

Стойността на определената стойност е заместена и тригонометричното уравнение е решено

Московското министерство на образованието

Държавен бюджет професионалист

Образователна институция на град Москва

"Политехническо техническо училище № 47, наречено след VG Fedorov"

Урок

на дисциплина математика

"Тригонометричните уравнения се намаляват до квадрат"

Учител

Протасевич Олга Николаевна

ПРОФЕСИЯ: Хардуер и софтуер

Дисциплина : Математика

Курс : 1

Семестър : 2

Група :

Урок по тема:

"Тригонометричните уравнения се намаляват до квадрат."

Вид на урока: комбиниран урок

Форма на урока: Колективно обучение по метода на V.K. Dyachenko.

(обучение в малки групи)

Цели Урок:

Образование - разглеждане на общи подходи, обобщава информация за видовете и методите за решаване на тригонометрични уравнения, които са намалени до квадрат; Да формира умения и умения за прилагане на знания при решаването на основни уравнения и използването на знания, придобити в професионални дейности.

Разработване - насърчаване на развитието логично мислене За студенти, развиване на способността да се анализира, разум, сравнение, да се направи изводи, да разберат материал;

Образователен - Образование за познавателен интерес, елементи на културата на комуникацията, насърчавайте учениците за преодоляване на трудностите в процеса на умствена дейност, формирането на работни умения в екипа по труда и обучението.

Урок за задача:

Да се \u200b\u200bзапознаят с основните видове и методите за решаване на тригонометрични уравнения, намалени до квадрат.

Предоставяне на (ресурси):

Хардуер: компютър, мултимедиен проектор.

Софтуер:Microsoft.Excel.

Основни понятия:

Квадратно уравнение; най-простите тригонометрични уравнения; Обратни тригонометрични функции; Тригонометричните уравнения се намаляват до квадрат.

Литература:

Башмаков М.И. Математика: урок за първична и средна професионално образование.- m.; "Академия", 2010. - 256 p.

Dyachenko V. K. - m.; " Популярно образование", 2001. - 496 p.

Методическа литература:

Башмаков М.И. Математика: Книга за учители. Методологичен ръст. - m.; « Академия ", 2013-224 p.

Електронни ресурси:

Материали за сайтове. Социално и педагогическо движение за създаване на колективен метод на обучение:www.kco-kras.ru.

Етапи Урок

Организиране на времето.

Проверете домашното.

Актуализиране на референтните знания.

Изучаване на нов материал.

Консолидация и систематизиране на придобитите знания.

Размисъл. Обобщаване. Домашна работа.

По време на класовете

Организиране на времето.

Учителят поставя целите на урока пред студента:

1) се запознават с основните видове тригонометрични уравнения, намалени до квадрат;

2) Въведение с типични методи за решаване на тригонометрични уравнения, намалени до квадрат.

3) да преподават да прилагат знанията и уменията за решаване на стандартни уравнения;

4) преподаване на работа с представената информация различни форми, извършване на взаимен контрол и самоконтрол, прилагат знанията, придобити в професионалните дейности.

II. . Проверете домашното.

Учителят включва презентация "домашна работа, според която учениците самостоятелно проверяват домашното, ако е необходимо, правят изменения и поправя за работа.

По искане на обучените, учителят коментира решения на уравнения, които са причинили трудности, след което обявява имената на учениците, които в края на урока дават да тестват тетрадката.

№ 1

Отговор:

№ 2

Отговор:

№ 3

Отговор:

№ 4

като след това коренното уравнение няма

Отговор: Няма корени

№ 5

Отговор:

№ 6

Отговор:

III . Актуализиране на референтните знания.

Учителят формира образователни групи / двойки и предлага на издадени формуляри за установяване на кореспонденция между уравнения и отговори: "Имате слайд с учебна задача. Инсталирайте съответствието между уравненията (лявата част на таблицата) и отговорите (дясната част на таблицата). Запишете номера на верни двойки изявления в тетрадката. "

Посочените задачи се дублират върху включеното представяне.

Задаване на съответствие

p / P.

Уравнението

p / P.

Отговор

Няма корени

В края на работата, учителят фронтално проучва представители на групите, след което включва презентационна страница с правилните решения.

Правилни отговори

p / P.

Уравнението

p / P.

Отговор

Няма корени

11.

13.

10.

12.

IV. . Изучаване на нов материал.

Учителят включва представяне на нов материал "тригонометрични уравнения, намалени до квадрат. Видове уравнения и методи на техните решения. "

Предлага учащия да записва необходимите тези и започва да коментира всеки слайд, след което включва презентация.

Ние въвеждаме концепцията:

Обща гледка към квадратното уравнение:

1 вид тригонометрични уравнения, намалени до квадрат - уравнения, алгебрични относителни с една от тригонометричните функции.

Учителят обяснява как да решим.

1. Директно заместване

Замяна ,

няма корени

Отговор:

Подобно решение има уравнение на гледна точка

Замяна

2. Предприятия, изискващи преобразуване по формулата на тригонометрично звено

Замяна , тогава уравнението отнема гледката

Няма корени

Отговор:

Подобно решение има уравнението на формуляра:

заместник , използване на формула за тригонометрична единица

Получаваме уравнението, съдържащо само една тригонометрична функция :

Замяна

3. Предприятия, изискващи преобразуване чрез комуникационна формула tGX. и от tGX.

Ние използваме формулата:

Ударно уравнение на. \\ T

Замяна , тогава уравнението отнема гледката

Отговор:

2 Тип тригонометрични уравнения, намалени до квадрат- хомогенни уравнения, в които всеки термин има същата степен.

Разделяме уравнението въз основа на

Замяна , тогава уравнението отнема гледката

Отговор:

Учителят предлага да обобщи подадените материали и да задава въпроси: "Колко вида са тригонометрични уравнения, които са заседнали до квадрат? Тяхното име? Името как да се решат тригонометрични уравнения, които са намалени до квадрат. "

Учителят изпраща действия на ученика при подготовката на алгоритъма за решаване на уравненията от този тип.

Тригонометричните уравнения, намалени до квадрат, са разделени на два основни вида:

tGX. и от tGX. :

2 тип - хомогенни уравнения, в които всяко облекчение има същата степен:

Учителят е коригиран Алгоритъм решения:

1. Определете вида на уравнението. Ако е необходимо, конвертирайте уравнението, така че в него да присъства само една тригонометрична функция. За да направите това, изберете желаната формула: илиили лишен от

2. Въвежда се замяна (например, sinx \u003d t. , cosx. = t. , tGX. = t. ).

5. Напишете отговора.

За да се осигурят придобитите знания, учителят предлага да се създаде кореспонденция между уравненията и възможните методи на техните решения: "Имате слайд с задачата на изследването.

1. извършват класификацията на уравненията по методи за решение съгласно таблицата по-долу.

(Отпечатаните опции за таблици са на вашите таблици).

2. Поставете номер на метода на решение в съответната графика.

Напълнете таблицата ".

Работата се извършва по двойки.

p / P.

Уравнението

метод

Методи:

1) Въведете нова променлива.

2) Въведете нова променлива

3) Въведете нова променлива.

4) Конвертиране на уравнението чрез прилагане на формулата, въведете нова променлива.

5) Конвертиране на уравнението чрез прилагане на формулата, въведете нова променлива.

6) Разделете всеки член на уравнението, въведете нова променлива.

7) Конвертиране на уравнението чрез прилагане на формулата, умножете членовете на уравнението, въведете нова променлива.

Проверка на задачата се извършва под формата на фронтален разговор.

Лектор: "Имате пързалка с правилните отговори на учебната задача . Извършете чек, като се позовавате на правилните отговори на учебната задача. Извършват работа по грешки в бележника. "

Заготовки със задачи се събират в края на урока.

p / P.

Уравнението

метод

Срок . Консолидация и систематизиране на придобитите знания.

Учителят предлага учащите да продължат да работят в групи.

Лектор: "Решете уравнения. Проверете резултата в редактора Microsoft. Excel . В края на решението представителят на групата отива на образователния съвет и представлява решението на уравнението, извършено от групата. " Учителят проверява решението, оценява работата на групата и, ако е необходимо, показва грешки. "

Учител:

1 ) Обсъдете начините за решаване в групата.

2) Запишете решението и получения отговор на тетрадката.

3) Извършете проверката на резултатите в редактора Microsoft. Excel .

4) Докладвайте готовността за учителя.

5) Обяснете решението си, като го напишат на борда, членове на други групи.

6) Замислено слушайте изпълненията на другарите, задайте въпроси, ако е необходимо.

Борба с групи, които изпълняват изцяло задачите, се предлага да се изпълни задачата на други групи. Съставът на успешните групи се насърчава чрез увеличаване на крайния резултат на единица.

Първа група:

Ние използваме формулата:

Няма корени

като

Отговор:

Втора група:

Ние използваме формулата:

Подмяна, тогава уравнението приема формата

Отговор:;

Трета група:

Ние използваме формулата:

Ударно уравнение на. \\ T

Подмяна, тогава уравнението приема формата

Отговор:

Четвърта група:

Разделяме уравнението въз основа на

Подмяна, тогава уравнението приема формата

Отговор:

Пета група:

Подмяна, тогава уравнението приема формата

Отговор:; .

VII . Размисъл. Обобщаване. Домашна работа.

Лектор: Да обобщим работата ви, като корелира резултатите от вашата дейност с целта.

Повторение концепции:

"Тригонометрични уравнения, които с помощта на преобразуване и заместване на променливата са дадени на квадрати, се наричат \u200b\u200bтригонометрични уравнения, които се намаляват до квадрат."

1 тип - уравнения, алгебрична спрямо една от тригонометричните функции:

- директно заместване - замяна или;

- уравнения, изискващи превръщане по формулата на тригонометрично звено;

- уравнения, изискващи преобразуване чрез комуникационна формула tGX. и S. tGX. :

2 тип - хомогенни уравнения, в които всеки термин има същата степен: разделяме уравнението, след това смените.

Алгоритъм решения:

1. Определете вида на уравнението. Ако е необходимо, конвертирайте уравнението, така че в него ще присъства само една тригонометрична функция.

За да направите това, изберете желаната формула:

или или лишен от

2. Въведе се замяна (например sinx \u003d t. , cosx. = t. , tGX. = t. ).

3. Решете квадратното уравнение.

4. Извършва се обратна замяна и се решава най-простото тригонометрично уравнение.

5. Напишете отговора.

Учителят оценява работата на обучаемите, групите за обучение и обявява оценка.

Лектор: "Запишете домашна работа: Башмаков М.И. Математика: учебник за първичен и вторичен проф. Образование. - m.; "Академия", 2010. Страница 114-115. В стаята 10 решават уравнения номер 4,5,7,9. Page 118. Извършете проверката на резултатите в редактора Microsoft. Excel ».

При решаване на много неща математически задачиОсобено тези, които се срещат до 10 клас, определено дефинирана процедурата за действия, която ще доведе до целта. Тези задачи включват, например, линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, фракционни уравнения и уравнения, които са намалени до квадрат. Принципът на успешно решение на всяка от споменатите задачи е следният: необходимо е да се установи как видът е решен задача, за да се припомни необходимата последователност от действия, които ще доведат до това желания резултат. Отговорете и изпълнете тези действия.

Очевидно е, че успехът или неуспехът в решаването на една или друга задача зависи главно от това колко правилно се определя видът на уравнение, как правилно се възпроизвежда последователността на всички етапи на нейния разтвор. Разбира се, е необходимо да се притежават уменията за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Друга ситуация се получава с тригонометрични уравнения. Установете факта, че уравнението е тригонометрично, абсолютно не е трудно. Трудностите се появяват при определяне на последователността на действията, които биха довели до правилния отговор.

Според появата на уравнението понякога е трудно да се определи нейният тип. И не знаейки вида на уравнението, почти невъзможно е да се избере от няколко десетки тригонометрични формула.

За да разрешите тригонометричното уравнение, трябва да опитате:

1. Създайте всички функции, включени в уравнението на "същите ъгли";
2. създаване на уравнение на "идентични функции";
3. Поставете лявата част на фабричното уравнение и т.н.

Обмисли основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. привеждане на най-простите тригонометрични уравнения

Схематично решение

Етап 1. Експресна тригонометрична функция чрез добре познати компоненти.

Стъпка 2. Намерете функция на аргумента по формули:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n єz.

sin x \u003d a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n z.

tg x \u003d a; X \u003d ARCTG A + πn, n є z.

cTG X \u003d A; x \u003d ARCCTG A + πn, n z.

Стъпка 3. Намерете неизвестна променлива.

Пример.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Решение.

1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n z.

Отговор: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

II. Замяна на променливата

Схематично решение

Етап 1. Създаване на уравнение на алгебрична форма спрямо една от тригонометричните функции.

Стъпка 2. Определете получената функция на променливата t (ако е необходимо, въведете ограниченията на t).

Стъпка 3. Запис и решаване на полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4. Направете замяна.

Стъпка 5. Решаване на най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Решение.

1) 2 (1 - SIN 2 (X / 2)) - 5sin (X / 2) - 5 \u003d 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Нека грях (x / 2) \u003d t, където | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 или e \u003d -3/2, не отговаря на състоянието | t | ≤ 1.

4) SIN (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n z;

x \u003d π + 4πn, n z.

Отговор: x \u003d π + 4πn, n є z.

III. Метода за намаляване на реда на уравнението

Схематично решение

Етап 1. Заменете това линейно уравнение, като използвате формула за намаляване на степента за това:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tG 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2. Решаване на полученото уравнение, използвайки методи I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Решение.

1) Cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) \u003d 5/4.

2) Cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x \u003d 5/4;

3/2 · cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Отговор: x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

IV. Единни уравнения

Схематично решение

Етап 1. Донесе това уравнение на формата

а) sin x + b cos x \u003d 0 (хомогенно уравнение на първа степен)

или към погледа

б) sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x \u003d 0 (хомогенно уравнение на втора степен).

Стъпка 2. Разделят двете части на уравнението

а) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

и да получите уравнението спрямо TG X:

а) tg x + b \u003d 0;

b) tg 2 x + b ARCTG X + C \u003d 0.

Стъпка 3. Решаване на уравнение по известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

sIN 2 x + 3sin x · cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) Tg 2 x + 3tg x - 4 \u003d 0.

3) Нека tg x \u003d t, тогава

т2 + 3T - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 или t \u003d -4, тогава

tg x \u003d 1 или tg x \u003d -4.

От първото уравнение x \u003d π / 4 + πn, n z; От второто уравнение X \u003d -ARCTG 4 + πk, k z.

Отговор: x \u003d π / 4 + πn, n z; x \u003d -Реклет 4 + πk, k z.

V. Метод за превръщане на уравнение, използвайки тригонометрични формули

Схематично решение

Етап 1. Използвайки всякакви тригонометрични формули, води това уравнение на уравнението, решени методи I, II, III, IV.

Стъпка 2. Решаване на получените уравнения известни методи.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x \u003d 0.

Решение.

1) (Sin x + sin 3x) + sin 2x \u003d 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x \u003d 0.

2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0;

sIN 2x \u003d 0 или 2COS X + 1 \u003d 0;

От първото уравнение 2x \u003d π / 2 + πn, n z; От второто уравнение cos x \u003d -1/2.

Имаме x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; От второто уравнение x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k z.

В резултат, x \u003d π / 4 + πn / 2, n z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k z.

Отговор: x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k z.

Уменията и уменията за решаване на тригонометрични уравнения са много важно, тяхното развитие изисква значителни усилия, както от ученика, така и от учителя.

С решаването на тригонометричните уравнения, много предизвикателства на стереометрията, физиката и други са свързани с процеса на решаване на такива задачи, тъй като той завършва много знания и умения, които са закупени в изследването на елементите на тригонометрията.

Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на изучаване на математика и развитие на личността като цяло.

Имате въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ за наставник - Регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайтът, с пълно или частично копиране на позоваването на материала към оригиналния източник.

Можете да поръчате подробно решение на вашата задача !!!

Равенството, съдържащо неизвестна тригонометрична функция ("SIN X, COS X, TG X" или "CTG X") се нарича тригонометрично уравнение, ние ще разгледаме техните формули допълнително.

Най-простите се наричат \u200b\u200bуравнения `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, където 'x` е ъгълът да се намери," a "- всеки номер. Пишем за всяка от тях корените.

1. Уравнение "SIN X \u003d A".

С `| a |\u003e 1 нямате решения.

С `| a | 1 има безкраен брой решения.

Корени с формула: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + pi n, n z`

2. Уравнение `cos x \u003d a`

С `| a |\u003e 1" - както в случай на синус, няма решения между валидни числа.

С `| a | 1 има безкрайни решения.

Корени с формула: `x \u003d pm arccos a + 2 pi n, n z`

Частни дела за синус и косинус в графики.

3. уравнение `tg x \u003d a`

Той има безкраен набор от решения за всякакви стойности на "А".

Формула на корените: `x \u003d ARCTG A + pi n, n z`

4. Уравнение `ctg x \u003d a`

Той също така има безкрайни решения за всякакви стойности на "А".

Формулни корени: `x \u003d ARCCTG A + pi n, n z`

Формулите на корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синус:
За косинус:
За допирателна и котелност:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решението на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

като го превръщат в най-простия;
за решаване на най-простото уравнение, използвайки горните писмени формули на корените и таблиците.

Помислете за основните методи за решения в примерите.

Алгебричен метод.

В този метод променливата се заменя и заместването му в равенство.

Пример. Решаване на уравнение: `2COS ^ 2 (x + \\ t frac pi 6) -3sin (frac pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ t frac pi 6) -3cos (x +] frac pi 6) + 1 \u003d 0`

ние правим замяна: `cos (x + k + pi 6) \u003d y`, след това" 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0 ",

ние откриваме корените: y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, от които следват два случая:

1. "COS (x +" FRAC PI 6) \u003d 1 ", x + \\ t

2. cos (x + \\ t frac pi 6) \u003d 1/2`, `x + \\ t 3- \\ t

Отговор: `x_1 \u003d - frac pi 6 + 2 pi n`,` x_2 \u003d pm frac pi 3- \\ t

Факторизация.

Пример. Разрешаване на уравнение: "SIN X + COS X \u003d 1".

Решение. Преместване на ляво всички членове на равенството: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Използвайки, трансформираме и разлагаме лявата част:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`

"SIN X / 2 \u003d 0", x / 2 \u003d pi n`, `x_1 \u003d 2 pi n`.
"cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0,` tg x / 2 \u003d 1 ",` x / 2 \u003d ARCTG 1 + pi n`, `x / 2 \u003d pi / 4 + pi n`, \\ t `x_2 \u003d pi / 2 + 2 pi n`.

Отговор: `x_1 \u003d 2 pi n`,` x_2 \u003d pi / 2 + 2 pi n`.

Привеждане в хомогенно уравнение

Първоначално това тригонометрично уравнение трябва да бъде доведено до един от двата вида:

"SIN X + B COS X \u003d 0 (хомогенно уравнение на първата степен) или" SIN ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 х \u003d 0 "(хомогенно уравнение на втората степен).

След това разделете двете части на `cos x no 0` - за първия случай и на" cos ^ 2 x ne 0 "- за второто. Получаваме уравнението спрямо tg x`: `tg x + b \u003d 0 и 'a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0', което трябва да решите добре познати методи.

Пример. Решаване на уравнение: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Решение. Ние пишем дясната страна като `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x ',

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` 'sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение на втората степен, ние разделяме левите и десните си части за `cos ^ 2 x ne 0`, получаваме:

"FRAC (SIN ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0``

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Въвеждаме подмяната на `tg x \u003d t`, в резултат на" t ^ 2 + t - 2 \u003d 0 ". Корените на това уравнение: `t_1 \u003d -2` и` t_2 \u003d 1`. Тогава:

`Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d ARCTG (-2) + pi n`, `n z`
"Tg x \u003d 1", `x \u003d ARCTG 1+ pi n`,` x_2 \u003d pi / 4 + pi n`, `n z`.

Отговор. `x_1 \u003d ARCTG (-2) + pi n`,` n z`, `x_2 \u003d pi / 4 + pi n`,` n z`.

Преход към полу-ъгъл

Пример. Разрешаване на уравнение: "11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Решение. Приложици с двойно ъгъл формули, в резултат: 22 sin (x / 2) cos (x / 2) -` '2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Прилагане на алгебричния метод, описан по-горе, ние получаваме:

`Tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 pi n`, `n z`,
"TG X / 2 \u003d 3/4", `x_2 \u003d ARCTG 3/4 + 2 Pi N`,` n z`.

Отговор. `x_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 pi n, n в z`,` x_2 \u003d ARCTG 3/4 + 2 pi n`, `n z`.

Въвеждането на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение "sin x + b cos x \u003d c", където А, В, С - коефициенти, и X е променлива, ние разделяме двете части на` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

"Frac A (sqrt (^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` `frac c (sqrt (A ^ 2) \\ t + B ^ 2)).

Коефициентите в лявата част имат свойствата на синуса и косинуса, а именно сумата от техните квадрати, равна на 1 и техните модули, са не повече от 1. означават следното: "FRAC A (SQRT (A ^ 2 + B) ^ 2) \u003d cos varphi ", frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) \u003d sin varphi", frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d c - Тогава:

`Cos varphi sin x + sin varphi cos x \u003d c`.

Нека разгледаме по-подробно на следващия пример:

Пример. Разрешаване на уравнение: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Решение. Разделяме двете части на равенството на `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, получаваме:

"Frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `frac (4 cos x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `` \\ t FRAC 2 (sqrt \\ t (3 ^ 2 + 4 ^ 2))

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

Обозначава с `3/5 \u003d cos varphi`,` 4/5 \u003d sin varphi`. Тъй като `sin varphi\u003e 0,` cos varphi\u003e 0, след това като спомагателен ъгъл, вземете `varphi \u003d arcsin 4/5`. Тогава нашето равенство ще пише във формата:

`Cos varphi sin x + sin varphi cos x \u003d 2/5`

Чрез прилагане на сумата от сумата на ъглите за синуса, ние пишем нашето равенство в следната форма:

`sin (x + varphi) \u003d 2/5`

`X + varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + pi n`,` n z`,

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + pi n`, `n z`.

Отговор. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + pi n`, `n z`.

Фракционни рационални тригонометрични уравнения

Това са равенство с фракции, в числателите и знаменателите, от които има тригонометрични функции.

Пример. Решаване на уравнение. `Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на равенството в `(1 + cos x)`. В резултат на това получаваме:

"Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `Rac ((1-COS X) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

"FRAC (sin x) (1 + cos x) \u003d` `frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

"FRAC (sin x) (1 + cos x) \u003d` `` \\ t (SIN ^ 2 x) (1 + cos x)

`Frac (sin x) (1 + cos x) -`` '" (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`Frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Като се има предвид, че знаменателят е равен на нула, не може, ние получаваме `1 + cos x не 0,` cos x n -1`, `x ne pi + 2 pi n, n z`.

Ние се радваме на нула числа: "SIN X-SIN ^ 2 x \u003d 0", sin x (1-sin x) \u003d 0 ". След това "sin x \u003d 0" или "1-sin x \u003d 0".

"sin x \u003d 0", `x \u003d pi n`,` n z`
"1-sin x \u003d 0", sin x \u003d -1`, `x \u003d pi / 2 + 2 pi n, n z`.

Като се има предвид, че `x ne pi + 2 pi n, n в z`, решенията ще бъдат" x \u003d 2 pi n, n в z "и` x \u003d pi / 2 + 2 pi n` , "n".

Отговор. `x \u003d 2 pi n`,` n z`, `x \u003d pi / 2 + 2 pi n`,` n z`.

Тригонометрията и тригонометричните уравнения се използват в почти всички сфери на геометрията, физиката, инженерството. Проучването в 10-ия клас започва, задачите са задължително представят за изпита, така че се опитайте да запомните всички формули на тригонометрични уравнения - те определено ще ви използват!

Въпреки това не е необходимо да ги запомните, най-важното е да се разбере същността и да може да се оттегли. Не е трудно, както изглежда. Не забравяйте да гледате видеоклипа.

Урок и презентация по темата: "Решението на най-простите тригонометрични уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите коментарите си, ревюта, желания! Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Наръчници и симулатори в онлайн магазина "Integral" за степен 10 от 1C
Ние решаваме задачите на геометрията. Интерактивни строителни задачи в пространството
Софтуер сряда "1в: математически дизайнер 6.1"

Какво ще изучаваме:
1. Какво е тригонометрични уравнения?

3. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Единни тригонометрични уравнения.
5. Примери.

Какво е тригонометрични уравнения?

Момчета, ние вече изучавахме Аркскин, Арккосинус, Аркнантен и Арккотанген. Сега нека погледнем тригонометричните уравнения като цяло.

Тригонометрични уравнения - уравнения, в които променливата се съдържа под знака на тригонометрична функция.

Повтаряме вида на решението на най-простите тригонометрични уравнения:

1) ако | a | ≤ 1, тогава cos уравнение (x) \u003d a има решение:

X \u003d ± arccos (a) + 2πk

2) ако | a | ≤ 1, тогава уравнението грех (x) \u003d a има решение:

3) ако | a | \u003e 1, след това, тогава уравнението sin (x) \u003d a и cos (x) \u003d a не разполага с разтвори 4) уравнение tg (x) \u003d a има разтвор: x \u003d ARCTG (A) + πk

5) Уравнение на CTG (x) \u003d a има решение: x \u003d ARCCTG (a) + πk

За всички формули K- цяло число

Най-простите тригонометрични уравнения са на формата: t (kx + m) \u003d a, t- всяка тригонометрична функция.

Пример.

Решаване на уравнения: а) SIN (3X) \u003d √3 / 2

Решение:

А) означават 3x \u003d t, тогава нашето уравнение ще пренапише във формата:

Решението на това уравнение ще бъде: t \u003d ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.

От таблицата на стойностите получаваме: t \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Да се \u200b\u200bвърнем към нашата променлива: 3x \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

След това x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Отговор: x \u003d ((((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, където n-цяло число. (-1) ^ n - минус един до степен n.

Повече примери за тригонометрични уравнения.

Разрешаване на уравнения: a) cos (x / 5) \u003d 1 б) tg (3x- π / 3) \u003d √3

Решение:

А) Този път незабавно се придвижваме директно към изчисляването на корените на уравнението:

X / 5 \u003d ± Arccos (1) + 2πk. След това x / 5 \u003d πk \u003d\u003e x \u003d 5πk

Отговор: x \u003d 5πk, където k е цяло число.

Б) Пишаме във формата: 3x- π / 3 \u003d ARCTG (√3) + πk. Ние знаем, че: ARCTG (√3) \u003d π / 3

3x- π / 3 \u003d π / 3 + πk \u003d\u003e 3x \u003d 2π / 3 + πk \u003d\u003e x \u003d 2π / 9 + πk / 3

Отговор: x \u003d 2π / 9 + πk / 3, където k е цяло число.

Разрешаване на уравнения: COS (4X) \u003d √2 / 2. И намерете всички корени на сегмента.

Решение:

Решаване на Б. общ Нашето уравнение: 4x \u003d ± arccos (√2 \u200b\u200b/ 2) + 2πk

4x \u003d ± π / 4 + 2πk;

X \u003d ± π / 16 + πk / 2;

Сега да видим какви корени ще паднат върху нашия сегмент. За K при k \u003d 0, x \u003d π / 16, ние ударихме посочения сегмент.
В k \u003d 1, x \u003d π / 16 + π / 2 \u003d 9π / 16, те дойдоха отново.
В k \u003d 2, x \u003d π / 16 + π \u003d 17π / 16 и тук те не са получили вече и следователно, с голям К, аз също няма да знам.

Отговор: x \u003d π / 16, x \u003d 9π / 16

Два основни решения за методи.

Разгледахме най-простите тригонометрични уравнения, но съществуваме и по-сложно. За да ги разрешите, използвайте метода за въвеждане на нова променлива и метода на разлагане в мултипликатори. Нека разгледаме примери.

Разрешаване на уравнението:

Решение:
За да разрешите нашето уравнение, ние използваме метода за въвеждане на нова променлива, ние означаваме: t \u003d tg (x).

В резултат на замяната получаваме: t 2 + 2t -1 \u003d 0

Намерете корените на квадратното уравнение: t \u003d -1 и t \u003d 1/3

След това tg (x) \u003d - 1 и tg (x) \u003d 1/3, те получават най-простото тригонометрично уравнение, ще намерим неговите корени.

X \u003d ARCTG (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk; x \u003d ARCTG (1/3) + πk.

Отговор: x \u003d -π / 4 + πk; x \u003d ARCTG (1/3) + πk.

Пример за разрешаване на уравнение

Разрешаване на уравнения: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

Решение:

Използваме самоличността: SIN 2 (x) + cos 2 (x) \u003d 1

Нашето уравнение ще бъде под формата: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 \u003d 0

Ние въвеждаме замяната t \u003d cos (x): 2t 2 -3t - 2 \u003d 0

Решението на нашето квадратно уравнение е корените: t \u003d 2 и t \u003d -1 / 2

След това cos (x) \u003d 2 и cos (x) \u003d - 1/2.

Като Косинусът не може да приема стойности повече от един, след това cos (x) \u003d 2 няма корени.

За cos (x) \u003d - 1/2: x \u003d ± arcccos (-1/2) + 2πk; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Отговор: x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Равномерни тригонометрични уравнения.

Определение: уравнението на формата, грях (x) + b cos (x) се нарича хомогенни тригонометрични уравнения в първа степен.

Вижте уравнения

хомогенни тригонометрични уравнения на втора степен.

За да решам хомогенно тригонометрично уравнение на първа степен, ние го разделяме на COS (X): Не можете да се разделяте на косинуса, ако е нула, нека се уверим, че това не е:
Нека cos (x) \u003d 0, след това ASIN (x) + 0 \u003d 0 \u003d\u003e sin (x) \u003d 0, но синусът и косинусът не са в същото време нула, те са получили противоречие, така че можете безопасно да се разделите на нула.

Решаване на уравнение:
Пример: COS 2 (x) + sin (x) cos (x) \u003d 0

Решение:

Ще обобщя: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) \u003d 0

След това трябва да решим две уравнения:

Cos (x) \u003d 0 и cos (x) + sin (x) \u003d 0

Cos (x) \u003d 0 при x \u003d π / 2 + πk;

Помислете за COS уравнение (x) + sin (x) \u003d 0 Разделяме уравнението си на COS (X):

1 + TG (x) \u003d 0 \u003d\u003e tg (x) \u003d - 1 \u003d\u003e x \u003d ARCTG (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk

Отговор: x \u003d π / 2 + πk и x \u003d -π / 4 + πk

Как да решават хомогенни тригонометрични уравнения на втората степен?
Момчета, придържайте се към тези правила винаги!

1. За да видите какво е равно на коефициента a, ако a \u003d 0 след това, нашето уравнение ще бъде изглед COS (X) (BSIN (X) + CCOS (X)), пример за това, което решението за това Предишен слайд

2. Ако ≠ 0, тогава трябва да споделите двете части на косинусовото уравнение на площада, получаваме:

Ние правим подмяната на променливата t \u003d tg (x) получаваме уравнението:

Решаване на пример №: 3

Решаване на уравнение:
Решение:

Разделяме двете части на квадрата на Косинус:

Ние правим подмяната на променливата t \u003d tg (x): t 2 + 2 t - 3 \u003d 0

Намерете корените на квадратното уравнение: t \u003d -3 и t \u003d 1

След това: Tg (x) \u003d - 3 \u003d\u003e x \u003d ARCTG (-3) + πk \u003d -Рекдже (3) + πk

Tg (x) \u003d 1 \u003d\u003e x \u003d π / 4 + πk

Отговор: x \u003d -Реклет (3) + πk и x \u003d π / 4 + πk

Решаване на пример № 4

Решаване на уравнение:

Решение:
Ние трансформираме изразяването си:

Можем да разрешим такова уравнение: x \u003d - π / 4 + 2πk и x \u003d 5π / 4 + 2πk

Отговор: x \u003d - π / 4 + 2πk и x \u003d 5π / 4 + 2πk

Решаване на пример №: 5

Решаване на уравнение:

Решение:
Ние трансформираме изразяването си:

Ние въвеждаме заместващия Tg (2x) \u003d T: 2 2 - 5T + 2 \u003d 0

Решението на нашето квадратно уравнение ще бъде корените: t \u003d -2 и t \u003d 1/2

След това получаваме: tg (2x) \u003d - 2 и tg (2x) \u003d 1/2
2x \u003d -arcc (2) + πk \u003d\u003e x \u003d -Рекг (2) / 2 + πк / 2

2x \u003d ARCTG (1/2) + πk \u003d\u003e x \u003d ARCTG (1/2) / 2 + πk / 2

Отговор: x \u003d -Рес (2) / 2 + πk / 2 и x \u003d ARCTG (1/2) / 2 + πk / 2

Задачи за самостоятелни решения.

1) решаване на уравнение

А) sin (7x) \u003d 1/2 b) cos (3x) \u003d √3 / 2С) cos (-X) \u003d -1 g) tg (4x) \u003d √3 d) ctg (0.5x) \u003d -1.7

2) Решаване на уравнения: SIN (3x) \u003d √3 / 2. И да намерите всички корени на сегмента [π / 2; π].

3) Решаване на уравнение: CTG 2 (x) + 2CTG (x) + 1 \u003d 0

4) решават уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) \u003d 0

5) решаване на уравнение: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) \u003d 0

6) Решаване на уравнение: COS 2 (2x) -1 - COS (x) \u003d √3 / 2 -ин 2 (2х)