Равнин нормален вектор, координати на равнинен нормален вектор. Нормалният вектор на правата (нормален вектор) Нормалният вектор на правата x 3 има координати

Когато изучаваме уравненията на права линия на равнина и в триизмерно пространство, ние разчитаме на алгебрата на векторите. В този случай насочващият вектор на правата линия и нормалният вектор на правата линия са от особено значение. В тази статия ще разгледаме по-отблизо нормалния вектор на права линия. Нека започнем с определяне на нормален вектор на права линия, даваме примери и графични илюстрации. След това се обръщаме към намирането на координатите на нормалния вектор на права линия, използвайки добре познатите уравнения на права линия, като същевременно показваме подробни решения на проблемите.

Навигация в страницата.

Нормален вектор на права линия - определение, примери, илюстрации.

За да разберете материала, трябва да имате ясно разбиране за права линия, равнина, както и да знаете основните дефиниции, свързани с векторите. Затова ви препоръчваме първо да опресните паметта на материала на статиите, права линия в равнина, права линия в пространството, идеята за равнина и т.н.

Нека дадем дефиницията на нормалния вектор на права линия.

Определение.

Нормален вектор на права линияе всеки ненулев вектор, лежащ на произволна права, перпендикулярна на дадената.

От дефиницията на нормалния вектор на права линия става ясно, че има безкраен набор от нормални вектори на дадена права линия.

Дефинирането на нормалния вектор на правата линия и определянето на вектора на посоката на правата линия ни позволяват да заключим, че всеки нормален вектор на дадена права линия е перпендикулярен на всеки вектор на посоката на тази права линия.

Нека дадем пример за нормален вектор на права линия.

Нека Oxy бъде даден в самолета. Един от набора от нормални вектори на координатната линия Ox е координатният вектор. Действително, векторът е различен от нула и лежи на координатната права Oy, която е перпендикулярна на оста Ox. Множеството от всички нормални вектори на координатната линия Ox в правоъгълната координатна система Oxy може да бъде определено като .

В правоъгълна координатна система Oxyz в триизмерно пространство нормалният вектор на правата Oz е вектор. Координатният вектор е и нормален вектор на правата Oz. Очевидно всеки ненулев вектор, лежащ във всяка равнина, перпендикулярна на оста Oz, ще бъде нормален вектор на правата Oz.

Координати на нормалния вектор на права линия - намиране на координатите на нормалния вектор на права линия по известните уравнения на тази права линия.

Ако разгледаме права линия в правоъгълна координатна система Oxy, тогава уравнението на права линия върху някаква равнина ще й съответства и нормалните вектори на правата линия ще бъдат определени от техните координати (виж статията). Това повдига въпроса: "как да намерим координатите на нормалния вектор на права линия, когато знаем уравнението на тази права линия"?

Нека намерим отговора на въпроса, поставен за прави линии, дадени на равнината от различни видове уравнения.

Ако права линия върху равнина се определя от общото уравнение на права линия на формата , то коефициентите A и B представляват съответните координати на нормалния вектор на тази права линия.

Пример.

Намерете координатите на някакъв нормален вектор на права линия .

Решение.

Тъй като правата линия е дадена от общото уравнение, можем веднага да запишем координатите на нейния нормален вектор - те са съответните коефициенти пред променливите x и y. Тоест нормалният вектор на права линия има координати.

Отговор:

Едно от числата A или B в общото уравнение на правата може да бъде нула. Това не трябва да ви обърква. Нека да разгледаме един пример.

Пример.

Изберете всеки нормален вектор.

Решение.

Дадено ни е непълно общо уравнение на правата. Може да се пренапише като , откъдето веднага се виждат координатите на нормалния вектор на тази права линия:.

Отговор:

Уравнението на права линия в отсечки на формата или уравнението на права линия с наклон лесно се свежда до общото уравнение на права линия, от което се намират координатите на нормалния вектор на тази права линия.

Пример.

Намерете координатите на нормалния вектор на права линия.

Решение.

Много лесно е да се премине от уравнението на права линия на сегменти към общото уравнение на права линия: ... Следователно, нормалният вектор на тази права има координати.

Отговор:

Ако правата линия се определя от каноничното уравнение на правата линия върху равнината на формата или параметричните уравнения на правата линия върху равнината на формата , то координатите на нормалния вектор са малко по-трудни за получаване. От тези уравнения веднага се виждат координатите на насочващия вектор на правата линия -. Намерете координатите на нормалния вектор на тази права линия и позволява.

Можете също да получите координатите на нормалния вектор на права линия, ако приведете каноничното уравнение на права линия или параметричните уравнения на права линия към общото уравнение. За това се извършват следните трансформации:

Като начин да предпочетете - зависи от вас.

Нека покажем решения на примери.

Пример.

Намерете някакъв нормален вектор .

Решение.

Векторът на посоката на правата линия е вектор. Нормален вектор на права линия е перпендикулярно на вектора, то е равно на нула: ... От това равенство, давайки на n x произволна ненулева реална стойност, намираме n y. Тогава нека n x = 1 , следователно, нормалният вектор на оригиналната линия има координати.

Второ решение.

Преминаваме от каноничното уравнение на правата линия към общото уравнение:. Сега се виждат координатите на нормалния вектор на тази линия.

Отговор:

За да изучавате уравненията на права линия, трябва да имате добро разбиране на векторната алгебра. Важно е да се намери вектора на посоката и нормалния вектор на правата линия. Тази статия ще разгледа нормален вектор на права линия с примери и фигури, намиране на нейните координати, ако са известни уравненията на правите. Ще бъде разгледано подробно решение.

За да направите материала по-лесен за усвояване, трябва да разберете понятията за линия, равнина и дефиниции, които са свързани с векторите. Първо, нека се запознаем с концепцията за праволинейния вектор.

Определение 1

Нормалният вектор на правата линиявсеки ненулев вектор, който лежи на която и да е права, перпендикулярна на дадената, се нарича.

Ясно е, че има безкраен набор от нормални вектори, разположени на дадена права линия. Помислете за фигурата по-долу.

Получаваме, че правата е перпендикулярна на една от двете дадени успоредни прави, тогава нейната перпендикулярност се простира до втората успоредна права. Следователно откриваме, че наборите от нормални вектори на тези успоредни прави съвпадат. Когато правите a и a 1 са успоредни и n → се счита за нормален вектор на правата линия a, той също се счита за нормален вектор за правата линия a 1. Когато правата a има директен вектор, тогава векторът t · n → е различен от нула за всяка стойност на параметъра t и също е нормален за правата a.

Използвайки дефиницията на нормален и посока вектори, можем да заключим, че нормален вектор е перпендикулярен на посоката. Нека да разгледаме един пример.

Ако е дадена равнината O x y, тогава наборът от вектори за O x е координатният вектор j →. Счита се, че не е нула и принадлежи на координатната ос O y, перпендикулярна на O x. Целият набор от нормални вектори по отношение на O x може да се запише като t j →, t ∈ R, t ≠ 0.

Правоъгълната система O x y z има нормален вектор i → свързан с правата O z. Векторът j → също се счита за нормален. Оттук се вижда, че всеки ненулев вектор, разположен във всяка равнина и перпендикулярен на O z, се счита за нормален за O z.

Координати на нормалния вектор на права линия - намиране на координатите на нормалния вектор на права линия с помощта на известните уравнения на права линия

Когато разглеждаме правоъгълна координатна система O x y, откриваме, че уравнението на права линия върху равнина й съответства, а определянето на нормалните вектори се извършва по координати. Ако уравнението на права линия е известно, но е необходимо да се намерят координатите на нормалния вектор, тогава е необходимо от уравнението A x + B y + C = 0 да се идентифицират коефициентите, които съответстват на координатите на нормален вектор на дадена права линия.

Пример 1

Дадена е права линия от вида 2 x + 7 y - 4 = 0 _, намерете координатите на нормалния вектор.

Решение

По условие имаме, че правата линия е дадена от общото уравнение, което означава, че е необходимо да се запишат коефициентите, които са координатите на нормалния вектор. Това означава, че координатите на вектора са 2, 7.

Отговор: 2 , 7 .

Има моменти, когато A или B от уравнението е равно на нула. Нека разгледаме решението на такава задача с пример.

Пример 2

Посочете нормален вектор за дадена права y - 3 = 0.

Решение

По хипотеза ни е дадено общото уравнение на правата линия, така че го записваме по този начин 0 x + 1 y - 3 = 0. Сега можем ясно да видим коефициентите, които са координатите на нормалния вектор. Оттук получаваме, че координатите на нормалния вектор са 0, 1.

Отговор: 0, 1.

Ако уравнение е дадено в сегменти от вида xa + yb = 1 или уравнение с наклон y = kx + b, тогава е необходимо да се сведе до общото уравнение на права линия, където можете да намерите координатите на нормален вектор на дадена права линия.

Пример 3

Намерете координатите на нормалния вектор, като се има предвид уравнението на правата линия x 1 3 - y = 1.

Решение

Първо, трябва да преминете от уравнението в сегментите x 1 3 - y = 1 към общото уравнение. Тогава получаваме, че x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0.

От тук се вижда, че координатите на нормалния вектор имат стойност 3, - 1.

Отговор: 3 , - 1 .

Ако правата се дефинира от каноничното уравнение на правата в равнината x - x 1 ax = y - y 1 ay или от параметричното x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ, тогава се получават координати става по-трудно. Според тези уравнения може да се види, че координатите на вектора на посоката ще бъдат a → = (a x, a y). Възможността за намиране на координатите на нормалния вектор n → е възможна поради условието за перпендикулярност на векторите n → и a →.

Възможно е да се получат координатите на нормален вектор чрез редуциране на каноничните или параметричните уравнения на права линия до общото. Тогава получаваме:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0

За решението можете да изберете всеки удобен метод.

Пример 4

Намерете нормалния вектор на дадена права x - 2 7 = y + 3 - 2.

Решение

От правата x - 2 7 = y + 3 - 2 става ясно, че векторът на посоката ще има координати a → = (7, - 2). Нормалният вектор n → = (n x, n y) на дадена права е перпендикулярен на a → = (7, - 2).

Нека разберем на какво е равен точков продукт. За да намерим скаларното произведение на векторите a → = (7, - 2) и n → = (n x, n y), пишем a →, n → = 7 n x - 2 n y = 0.

Стойността на n x е произволна, трябва да намерите n y. Ако n x = 1, от това получаваме, че 7 1 - 2 n y = 0 ⇔ n y = 7 2.

Следователно нормалният вектор има координати 1, 7 2.

Вторият начин на решаване се свежда до това, че е необходимо да се стигне до общата форма на уравнението от каноничната. За това ние се трансформираме

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Резултатът от координатите на нормалния вектор е 2, 7.

Отговор: 2, 7или 1 , 7 2 .

Пример 5

Посочете координатите на нормалния вектор на правата линия x = 1 y = 2 - 3 · λ.

Решение

Първо, трябва да извършите трансформация, за да преминете към общата форма на права линия. Нека изпълним:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

От тук се вижда, че координатите на нормалния вектор са - 3, 0.

Отговор: - 3 , 0 .

Нека разгледаме методи за намиране на координатите на нормален вектор с уравнението на права линия в пространството, дадено от правоъгълна координатна система O x y z.

Когато една права е дефинирана с помощта на уравненията на пресичащите се равнини A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, тогава нормалният вектор на равнината се отнася до A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, тогава получаваме векторите във формата n 1 → = (A 1, B 1, C 1) и n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

Когато линията е дефинирана с помощта на каноничното уравнение на пространството, което има формата x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az или параметрично, което има формата x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az · λ, следователно ax, ay и az се считат за координати на вектора на посоката на дадената права линия. Всеки ненулев вектор може да бъде нормален за дадена права линия и да бъде перпендикулярен на вектора a → = (a x, a y, a z). От това следва, че координатите на нормата с параметрични и канонични уравнения се намират с помощта на координатите на вектор, който е перпендикулярен на даден вектор a → = (a x, a y, a z).

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Нормален вектор

Плоска повърхност с две нормали

В диференциалната геометрия, нормалное права линия, ортогонална (перпендикулярна) на допирателна линия към определена крива или допирателна равнина към определена повърхност. Говорете и за нормална посока.

Нормален векторкъм повърхност в дадена точка е единичен вектор, приложен към дадена точка и успореден на нормалната посока. За всяка точка на гладка повърхност можете да посочите два нормални вектора, които се различават по посока. Ако върху повърхност може да бъде определено непрекъснато поле от нормални вектори, тогава се казва, че това поле дефинира ориентацияповърхност (тоест подчертава една от страните). Ако това не може да се направи, повърхността се извиква неориентиран.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Нормален вектор" в други речници:

нормален вектор- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. нормален вектор вок. Normalenvektor, m rus. нормален вектор, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur нормален, m ... Fizikos terminų žodynas

Тази статия или раздел се нуждае от ревизия. Моля, подобрете статията в съответствие с правилата за писане на статии. Векторът Дарбу е векторът на посоката на моментната ос на въртене, около която се върти придружаващият триедър на кривата L в ... ... Wikipedia

Електродинамика на непрекъснати среди Електродинамика на непрекъснати среди ... Уикипедия

Векторът на Дарбу е насочващият вектор на моментната ос на въртене, около която се върти придружаващият триедър на кривата L, когато точка M се движи равномерно по кривата L. Векторът на Дарбу лежи в изправящата равнина на кривата L и се изразява чрез единицата ... ... Уикипедия

Градиент (от лат. Gradiens, род. Case gradientis ходене), вектор, показващ посоката на най-стръмната промяна на някаква стойност, чиято стойност се променя от една точка в пространството в друга (вижте теорията на полетата). Ако количеството е изразено ... ...

Векторът на посоката d на моментната ос на въртене около рояка, придружаващ триедъра на кривата L, се върти с равномерното движение на точка M по кривата L. D. c. лежи в изправящата равнина на кривата L и се изразява чрез единичните вектори на главната нормала ... Енциклопедия по математика

Тази статия или раздел се нуждае от ревизия. Моля, подобрете статията в съответствие с правилата за писане на статии. Хипертоп ... Уикипедия

Graphics pipeline е хардуерно-софтуерен комплекс за визуализация на 3D графика. Съдържание 1 Елементи на 3D сцена 1.1 Хардуер 1.2 Интерфейси за програмиране ... Wikipedia

Математическа дисциплина, в която се изучават свойствата на операциите върху вектори от евклидовото пространство. В този случай концепцията за вектор е математическа абстракция на величини, характеризиращи се не само с числова стойност, но и ... ... Голяма съветска енциклопедия

Този термин има други значения, вижте Самолет. Тук се пренасочва заявката за равномерност. Необходима е отделна статия по тази тема ... Wikipedia

За да използвате координатния метод, трябва да познавате добре формулите. Има три от тях:

На пръв поглед изглежда заплашително, но само малко практика и всичко ще работи чудесно.

Задача. Намерете косинуса на ъгъла между векторите a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Тъй като координатите на векторите са ни дадени, ние ги заместваме в първата формула:

Задача. Направете уравнение за равнината, минаваща през точките M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), ако е известно, че не минава през източникът.

Решение. Общото уравнение на равнината: Ax + By + Cz + D = 0, но тъй като желаната равнина не минава през началото на координатите - точката (0; 0; 0) - тогава поставяме D = 1. Тъй като това равнината минава през точките M, N и K, тогава координатите на тези точки трябва да превърнат уравнението в правилно числово равенство.

Заместете вместо x, y и z координатите на точката M = (2; 0; 1). Ние имаме:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

По същия начин за точките N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получаваме уравненията:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

И така, имаме три уравнения и три неизвестни. Нека съставим и решим системата от уравнения:

Получаваме, че уравнението на равнината има вида: - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0.

Задача. Равнината е дадена от уравнението 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Намерете координатите на вектора, перпендикулярен на дадената равнина.

Решение. Използвайки третата формула, получаваме n = (7; - 2; 4) - това е всичко!

Изчисляване на координатите на векторите

Но какво ще стане, ако в задачата няма вектори - има само точки, лежащи върху прави линии, и трябва да изчислите ъгъла между тези прави линии? Това е просто: като знаете координатите на точките - началото и края на вектора - можете да изчислите координатите на самия вектор.

За да намерите координатите на вектор, извадете координатите на началото от координатите на неговия край.

Тази теорема работи по същия начин както в равнината, така и в пространството. Изразът "изваждане на координати" означава, че координатата x на друга точка се изважда от координатата x на една точка, след което същото трябва да се направи с координатите y и z. Ето няколко примера:

Задача. В пространството има три точки, дадени от техните координати: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) и C = (- 4; 3; - 2). Намерете координатите на векторите AB, AC и BC.

Да разгледаме вектор AB: началото му е в точка A, а краят му е в точка B. Следователно, за да се намерят неговите координати, е необходимо да се извадят координатите на точка A от координатите на точка B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

По същия начин началото на вектора AC все още е същата точка A, но краят е точка C. Следователно имаме:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

И накрая, за да намерите координатите на вектора BC, трябва да извадите координатите на точка B от координатите на точка C:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Отговор: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Обърнете внимание на изчисляването на координатите на последния BC вектор: много хора правят грешки, когато работят с отрицателни числа. Това се отнася до променливата y: точка B има y = - 1, а точка C y = 3. Получаваме точно 3 - (- 1) = 4, а не 3 - 1, както вярват мнозина. Не правете такива глупави грешки!

Изчисляване на вектори на посоката за прави линии

Ако прочетете внимателно проблем C2, ще бъдете изненадани да откриете, че там няма вектори. Има само прави линии и равнини.

Да започнем с прави линии. Тук всичко е просто: на всяка права линия има поне две различни точки и, обратно, всякакви две различни точки определят една права линия ...

Някой разбира ли какво пише в предния параграф? Самият аз не го разбрах, така че ще обясня по-просто: в задача C2 правите линии винаги са дадени от двойка точки. Ако въведем координатна система и разгледаме вектор с начало и край в тези точки, получаваме така наречения вектор на посоката за права линия:

Защо е необходим този вектор? Въпросът е, че ъгълът между две прави линии е ъгълът между техните вектори на посоката. Така преминаваме от неразбираеми прави линии към конкретни вектори, чиито координати лесно се изчисляват. Колко лесно е? Разгледайте примери:

Задача. В куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 са начертани прави AC и BD 1. Намерете координатите на векторите на посоката на тези линии.

Тъй като дължината на ръбовете на куба не е посочена в условието, ние задаваме AB = 1. Въвеждаме координатна система с начало в точка A и оси x, y, z, насочени по линиите AB, AD и AA 1, съответно. Единичният сегмент е равен на AB = 1.

Сега нека намерим координатите на вектора на посоката за линията AC. Нуждаем се от две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). От тук получаваме координатите на вектора AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - това е векторът на посоката.

Сега нека се заемем с правата линия BD 1. Също така има две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Получаваме вектора на посоката BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Отговор: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Задача. В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, са начертани линии AB 1 и AC 1. Намерете координатите на векторите на посоката на тези линии.

Нека представим координатна система: началото е в точка A, оста x съвпада с AB, оста z съвпада с AA 1, оста y образува равнината OXY с оста x, която съвпада с ABC самолет.

Първо, нека се занимаваме с правата линия AB 1. Тук всичко е просто: имаме точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Получаваме вектора на посоката AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Сега ще намерим вектора на посоката за AC 1. Все едно - единствената разлика е, че точка C 1 има ирационални координати. И така, A = (0; 0; 0), така че имаме:

Отговор: AB 1 = (1; 0; 1);

Малка, но много важна забележка за последния пример. Ако началото на вектора съвпада с началото, изчисленията са значително опростени: координатите на вектора са просто равни на координатите на края. За съжаление това важи само за векторите. Например, когато работите със самолети, наличието на произход върху тях само усложнява изчисленията.

Изчисляване на нормални вектори за равнини

Нормалните вектори не са вектори, които се справят или се справят добре. По дефиниция нормален вектор (нормален) към равнина е вектор, перпендикулярен на тази равнина.

С други думи, нормал е вектор, перпендикулярен на всеки вектор в дадена равнина. Със сигурност сте срещали такова определение - обаче, вместо вектори, говорехме за прави линии. Точно по-горе обаче беше показано, че в задача C2 можете да оперирате с всеки удобен обект - дори права линия, дори вектор.

Нека ви напомня още веднъж, че всяка равнина се дефинира в пространството от уравнението Ax + By + Cz + D = 0, където A, B, C и D са някои коефициенти. Без да губим общността на решението, можем да приемем D = 1, ако равнината не минава през началото, или D = 0, ако минава. Във всеки случай координатите на нормалния вектор към тази равнина са n = (A; B; C).

Така че, равнината също може успешно да бъде заменена с вектор - същата норма. Всяка равнина се определя в пространството от три точки. Как да намерим уравнението на равнината (а оттам и на нормалите), вече обсъдихме в самото начало на статията. Този процес обаче създава проблеми за мнозина, така че ще дам още няколко примера:

Задача. Секция A 1 BC 1 е начертана в куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Намерете вектора на нормата за равнината на този участък, ако началото е в точка A и осите x, y и z съвпадат съответно с ръбовете AB, AD и AA 1.

Тъй като равнината не минава през началото, нейното уравнение изглежда така: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коефициент D = 1. Тъй като тази равнина минава през точки A 1, B и C 1, координатите на тези точки превръщат уравнението на равнината в правилно числово равенство.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

По същия начин, за точки B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получаваме уравненията:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но вече знаем коефициентите A = - 1 и C = - 1, така че остава да намерим коефициента B:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Получаваме уравнението на равнината: - A + B - C + 1 = 0, Следователно координатите на нормалния вектор са равни на n = (- 1; 1; - 1).

Задача. Сечение AA 1 C 1 C е начертано в куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 C. Намерете нормален вектор за равнината на този участък, ако началото е в точка A и осите x, y и z съвпадат с ръбове AB, AD и AA 1 съответно.

В този случай равнината минава през началото, така че коефициентът D = 0, а уравнението на равнината изглежда така: Ax + By + Cz = 0. Тъй като равнината минава през точките A1 и C, координатите на тези точки превърнете уравнението на равнината в правилно числово равенство.

Заместете вместо x, y и z координатите на точка A 1 = (0; 0; 1). Ние имаме:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

По същия начин, за точка C = (1; 1; 0) получаваме уравнението:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Поставяме B = 1. Тогава A = - B = - 1, а уравнението на цялата равнина има вида: - A + B = 0, Следователно координатите на нормалния вектор са равни на n = (- 1; 1; 0).

Най-общо казано, в горните задачи е необходимо да се състави система от уравнения и да се реши. Ще има три уравнения и три променливи, но във втория случай едно от тях ще бъде свободно, т.е. приемат произволни стойности. Ето защо имаме право да поставим B = 1 – без да се засяга общостта на решението и правилността на отговора.

Много често в задачата C2 се изисква работа с точки, които разделят сегмента наполовина. Координатите на такива точки се изчисляват лесно, ако са известни координатите на краищата на отсечката.

И така, нека сегментът се дефинира от краищата му - точки A = (x a; y a; z a) и B = (x b; y b; z b). Тогава координатите на средата на отсечката - ние го обозначаваме с точка H - могат да бъдат намерени по формулата:

С други думи, координатите на средата на отсечката са средноаритметичната стойност на координатите на краищата му.

Задача. Единичният куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 се поставя в координатната система така, че осите x, y и z са насочени по ръбовете съответно AB, AD и AA 1, а началото съвпада с точка A. Точка K е средата на ръба A 1 B 1 . Намерете координатите на тази точка.

Тъй като точка K е средата на отсечката A 1 B 1, нейните координати са равни на средноаритметичната стойност на координатите на краищата. Нека запишем координатите на краищата: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Сега нека намерим координатите на точка K:

Задача. Единичният куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е поставен в координатната система така, че осите x, y и z да са насочени по ръбовете AB, AD и AA 1, съответно, и началото съвпада с точка A. Намерете координати на точката L, в която те пресичат диагоналите на квадрата A 1 B 1 C 1 D 1.

От курса по планиметрия е известно, че пресечната точка на диагоналите на квадрат е еднакво отдалечена от всичките му върхове. По-специално, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L е средата на сегмент A 1 C 1. Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), така че имаме:

Отговор: L = (0,5; 0,5; 1)

Равнин нормален вектор е вектор, който е перпендикулярен на дадена равнина. Очевидно всяка равнина има безкрайно много нормални вектори. Но един ще ни е достатъчен, за да решим проблемите.

Ако равнината е дадена от общото уравнение , след това векторът е нормален вектор на дадената равнина... Просто възмутително. Всичко, което трябва да направите, е да "премахнете" коефициентите от уравнението на равнината.

Три екрана очакват обещаното, така че нека се върнем към Пример № 1 и да го проверим. Нека ви напомня, че там се изискваше да се построи уравнението на равнината с помощта на точка и два вектора. В резултат на решението получихме уравнението. Ние проверяваме:

Първо заместваме координатите на точката в полученото уравнение:

Получава се правилно равенство, което означава, че точката наистина лежи в тази равнина.

Второ, премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината:. Тъй като векторите са успоредни на равнината, а векторът е перпендикулярен на равнината, трябва да се случат следните факти: ... Лесно е да се провери перпендикулярността на векторите точков продукт:

Заключение: уравнението на равнината е намерено правилно.

По време на моята проверка всъщност цитирах следното теоретично твърдение: вектор успоредно на равнината ако и само ако .

Нека решим важен проблем, свързан с урока:

Пример 5

Намерете единичния нормален вектор на равнината .

Решение: Единичен вектор е вектор, чиято дължина е единица. Нека означим този вектор с. По принцип пейзажът изглежда така:

Съвсем ясно е, че векторите са колинеарни.

Първо премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината:.

Как да намеря единичния вектор? За да намерите единичния вектор , необходимо всекивекторна координата разделено на дължината на вектора .

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Проверка: това, което искахме да проверим.

Читатели, които внимателно са проучили последния параграф от урока Точково произведение на векторивероятно забеляза това единични векторни координати Точно са косинусите на посоката на вектора :

Нека се отклоним от анализирания проблем: когато ви е даден произволен ненулев вектор, а по условие се изисква да се намери косинусите му на посоката (последните задачи на урока Точково произведение на вектори), тогава всъщност намирате единичен вектор, колинеарен на дадения.

Всъщност две задачи в една бутилка.

Необходимостта от намиране на единичен нормален вектор възниква в някои задачи на математическия анализ.

Разбрахме как да извлечем нормалния вектор, сега ще отговорим на обратния въпрос.