Наклонени паралелепипед: свойства, формули и задачи на преподавател по математика. Геометрични фигури

Паралелепипедът се нарича четириъгълна призма, в основата на които са паралелари. Височината на паралелепипеда се нарича разстояние между равнините на нейните бази. На фигурата височината се показва от сегмент . Има два вида паралелепипеди: прави и наклонени. Като правило, преподавателят по математика първо дава съответните дефиниции за призмата и след това ги прехвърля на паралелепипеда. Ще го направим.

Позволете ми да ви напомня, че призмата се нарича права, ако нейните странични ребра са перпендикулярни на основанията, ако няма перпендикулярност - призмата се нарича наклонена. Тази терминология наследява паралелепипед. Право паралелепипед - нищо друго освен разнообразие от директна призма, страничен ръб, който съвпада с височината. Определенията на такива концепции като ръба, ръба и терапията са запазени, които са общи за цялото семейство полиедрия. Появява се концепцията за противоположни лица. PAR ALLPIPEDA има 3 двойки противоположни повърхности, 8 върха на ребрата TI 12.

Диагоналът на паралелепипеда (диагонал на призмата) е сегмент, свързващ двата върха на полихед и не лежи в някоя от нейните лица.

Диагонална секция - напречно сечение на паралелепипед, минавайки през диагонала и диагонал от неговата база.

Свойства на наклонена паралелепипеда:
1) всичките му лица са паралелара, а противоположните лица са равни паралелари.
2) Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и са разделени в тази точка наполовина.
3) Всеки паралелепип се състои от шест равни в обема на триъгълните пирамиди. За да покаже ученик, преподавател по математика трябва да отреже от паралелната подкрепа на половин диагонално напречно сечение и да го счупи отделно на 3 пирамида. Техните основи трябва да лежат в различни съоръжения на първоначалния паралепип. Учител по математика ще намери използването на този имот в аналитична геометрия. Използва се за извеждане на силата на пирамидата чрез смесен продукт на вектори.

Формули за обемна сила:
1), където - базовата площ, Н е височина.
2) обемът на паралелепипед е равен на продукта на площта на напречното сечение на страничния ръб.
Учител по математика: Както знаете, формулата е обща за всички призми и ако преподавателят вече е доказал, няма смисъл да се повтаря същото за паралелепипеда. Въпреки това, при работа с студент по средата на ниво (слаба формула не е полезна) на учителя, препоръчително е да действаме с точност към обратното. Призмата трябва да бъде оставена сама и за паралелепипед да проведе чисто доказателство.
3), където ригиране на една от шестте триъгълни пирамиди, чиято се състои от паралелепипед.
4) ако тогава

Площта на страничната повърхност на паралелепипеда е сумата от областите на всичките му лица:
Пълната повърхност на паралелепипеда е сумата от областите на всичките му лица, т.е. площ + две области на основата :.

За работата на преподавател с наклонена паралелепипед:
Задачите на наклонения успоредник на паралелепипед в математиката често не го правят. Вероятността за външния им вид на изпита е доста малка, а дидактиката е неприятно бедна. Още или по-малко прилична задача за обема на наклонените паралелепип води причинява сериозни проблеми, свързани с местоположението на точката H - базата на височината му. В този случай, урокът по математика може да бъде посъветван да отреже паралелепипеда към една от шестте пирамида (които са обсъдени в номера на имота 3), опитайте се да намерите обема си и да го умножите до 6.

Ако страничният ръб на паралелепича има равни ъгли със страните на основата, след това h лежи върху бисектора на ъгъла ABCD база. И ако, например, ABCD - ромб, тогава

Задача Учител по математика:
1) Лицата на паралелепипените равни повърхности с страничен 2см и остър ъгъл. Намерете обема на паралелепипед.
2) В наклонената паралелепипед страничният ръб е 5 cm. Напречното сечение, перпендикулярно на него, е четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали, имащи дължини 6см и 8 cm. Изчислете обема на паралепипеда.
3) В наклонена паралелепипед е известно, че и в досада ABCD е ромб със страна на 2 см и ъгъл. Определете обема на паралелепипед.

Учител по математика, Александър Колпаков

или (еквивалентно) полихед с шест лица, които са паралелари. Шестоъгълник.

Паралелограми, от които е паралелепипед гражданина този паралелепипед, страните на тези паралела са пербранипипни ребраи върховете на паралеламите - verters. паралелепипеда. Par Allpipeda има всяко лице паралелограма.

Като правило, всички 2-ри противоположни лица се отличават и наричат \u200b\u200bтях бази на паралелепипедаи останалите лица - странични ръбове на паралелепипеда. Ребрата на паралелепипед, които не принадлежат към основанията странични ребра.

2 лица на паралелепипед, които имат общ ръб в съседствои тези, които нямат общи ребра - . \\ t.

Сегмент, който свързва 2 върха, които не принадлежат към първото лице, е диагонал на паралелепипеда.

Дължината на ребрата на правоъгълните паралелепипеди, които не са паралелни, са линейни измерения (измервания) Pollolepipeda. Правоъгълни паралелепипирани 3 линейни размера.

Видове паралелепипед.

Има няколко вида паралелепипеди:

Директен Това е паралелепипед с ръба перпендикулярна на равнината на фундамента.

Правоъгълна паралелепипед, в която всичките 3 измервания имат еднаква стойност, е куба . Всяка от лицата на куба е равна квадрати .

Произволен паралелепипед.Обемът и съотношенията в наклонената паралелепипед се определят главно от векторната алгебра. Количеството на паралелепипед е еднакво величина на смесения продукт от 3 вектори, които се определят от 3 страни на паралелепипеда (които идват от един връх). Съотношението между дължините на паралелепипезата и ъглите между тях показва твърдението, че детерминанта на грамът на данни от 3 вектори е равен на квадрата на техния смесен продукт.

Свойства на паралелепипед.

• Паралелепидът е симетричен около средата на него е диагонал.
• Всеки сегмент с краищата, които принадлежат към повърхността на паралелепипеда и който преминава през средата на него, е диагонално, той е разделен на две равни части. Всички диагонали на паралелепипеда се пресичат в първата точка и го споделят на две равни части.
• Противоположни лица на паралелепипедните паралелни и имат равни размери.
• Квадратът на диагоналната дължина на правоъгълния паралелепипед е равен

В този урок всеки ще може да изследва темата "правоъгълна паралелепипед". В началото на урока ще повторим какъв са произволни и директни паралепипеда, помнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това помислете какво е правоъгълна паралелепипед и обсъдете неговите основни свойства.

Тема: перпендикулярност на прави и самолети

Урок: правоъгълен паралелепипед

Повърхността, съставена от два равни паралелара на ASFD и 1 в 1 С1 d1 и четири паралелаграми на ABV 1 А1, ASC 1 в 1, CDD 1 C1, DAA 1 D1, наречен паралелепипед (Фиг. 1).

Фиг. 1 паралелепипед

Това означава: имаме две равни паралелара на ASFD и 1 в 1 С 1 d1 (основа), те лежат в паралелни самолети, така че страничните ребра АА 1, BB 1, DD 1, SS 1 са успоредни. Така се нарича, съставена от паралелеограма на повърхността паралелепипед.

По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, от които са съставени паралелепипедът.

1. Обратните лица на паралелепипеда са успоредни и равни.

(Цифрите са равни, т.е. те могат да бъдат комбинирани с налагане)

Например:

AVD \u003d A 1 в 1 С 1 d1 (равен паралелограми по дефиниция), \\ t

AA 1 в 1 V \u003d dd 1 С1С (като АА 1 в 1 V и DD 1 с 1С - противоположните лица на паралелепипеда),

AA 1 d 1 d \u003d BB 1 C ° С (тъй като АА 1 d 1 d и BB 1 С1S е противоположната повърхност на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и са разделени по тази точка наполовина.

Диагоналът на паралелепипед АС 1, в 1 d и 1 С, d1 в интерфекцията в една точка О и всеки диагонал е разделен на тази точка на половина (фиг. 2).

Фиг. 2 диагонала на паралелепипед пресичат и разделят точката на пресичане наполовина.

3. Има три четири равни и паралелни ръбове на паралелепипеда: 1 - AB, a 1 в 1, d1 С1, DC, 2 - AD, A 1 d1, B 1 C1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Определение. Паралелепипедът се нарича директно, ако страничните му ребра са перпендикулярни на основата.

Оставете страничния ръб на AA 1 перпендикулярно на основата (фиг. 3). Това означава, че направото AA 1 е перпендикулярно на директната реклама и AB, които лежат в основната равнина. И това означава, че правоъгълниците лежат встрани на страничните линии. И в основите са произволни паралелари. Означава от ∠bad \u003d φ, ъгълът φ може да бъде всеки.

Фиг. 3 направо паралелепипед

Така че, Direct Paraleralepiped е паралелепипед, в който страничните ребра са перпендикулярни на основите на паралелепипените.

Определение. Паралелепипед се нарича правоъгълна, Ако страничните му ребра са перпендикулярни на основата. Басейните са правоъгълници.

Паралелепипед AVDA 1 в 1 С1 d1 - правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ AVD (страничен ръб, перпендикулярно на равнината на фундамента, т.е., paralypeped direct).

2. ∠VD \u003d 90 °, т.е. в основата е правоъгълник.

Фиг. 4 Правоъгълна паралелепипед

Правоъгълният паралеленпип има всички свойства на произволно паралелепипед. Но има допълнителни свойства, които са получени от определението за правоъгълна паралелепипед.

Така, правоъгълен паралелепипед - Това е паралелепид, чиито странични ребра са перпендикулярни на основата. Основата на правоъгълната паралелапипеда е правоъгълник.

1. При правоъгълна паралелепипед всичките шест лица на правоъгълници.

ABSD и 1 в 1 c 1 d 1 - правоъгълници по дефиниция.

2. Странични ръбове, перпендикулярни на основата. Така че всички странични лица на правоъгълните паралелепипове са правоъгълници.

3. Всички двойни ъгли на правоъгълния паралелепипед директно.

Помислете, например, диедричен ъгъл на правоъгълна паралелепипед с ръба на AV, т.е. диедричен ъгъл между AVB 1 и ABS самолетите.

AV - EDGE, точка А 1 лежи в една и съща равнина - в равнината на ABV 1, и точка D в друга - в равнината А 1 в 1 s 1 d1. След това ъгъла на диедралата все още може да бъде посочен, както следва: ∠ 1 AVD.

Вземете точката А на ръба на AB. AA 1 - перпендикулярно на ръба на AV в равнината на ABV-1, реклама перпендикулярно на ръба на AB в равнината на ABC. Така че, ∠ 1 AD е линейният ъгъл на този диевтрален ъгъл. 1 Ad \u003d 90 °, което означава, че ъгълът на джуджето на ръба на AV е 90 °.

∠ (AVB 1, ABC) \u003d ∠ (AV) \u003d ∠A 1 AVD \u003d ∠a 1 Ad \u003d 90 °.

По същия начин се доказва, че всяко изкопано в ъглите на правоъгълния паралелепипед директно.

Квадратният диагонал на правоъгълния паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му измерения.

Забележка. Дължината на трите ребра, излъчваща се от един връх на правоъгълните паралелепипед, са измервания на правоъгълна паралелепипед. Понякога се наричат \u200b\u200bдължина, ширина, височина.

Получава се: AVDA 1 в 1 С1 d 1 - правоъгълна паралелепип (фиг. 5).

Докажи:

Фиг. 5 Правоъгълна паралелепипед

Доказателство:

Директен SS 1 перпендикулярно на равнината на ABC, а оттам и на правия говорител. Така че, SS триъгълник 1 А е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:

Помислете за правоъгълния триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:

Но Слънцето и рекламата са противоположни посоки на правоъгълника. Така че, Sun \u003d Ad. Тогава:

Като , но тогава. От SS 1 \u003d AA 1, тогава какво се изискваше да докаже.

Диагоналите на правоъгълния паралелепипед са равни.

Означава от измерванията на паралелепипед ABC като a, b, c (виж фиг. 6), след това au 1 \u003d ca 1 \u003d в 1 d \u003d db 1 \u003d