Алгоритъм за експоненциални неравенства. Показателни уравнения и неравенства
Решаването на повечето математически проблеми по един или друг начин включва трансформиране на числови, алгебрични или функционални изрази. Горното се отнася особено за решението. Във версиите на Единния държавен изпит по математика този тип задачи включват по-специално задача C3. Да се научите да решавате задачи C3 е важно не само за целите на успешното полагане на Единния държавен изпит, но и поради причината, че това умение ще бъде полезно при изучаване на курс по математика в гимназията.
Когато изпълнявате задачи C3, трябва да решавате различни видове уравнения и неравенства. Сред тях са рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични, съдържащи модули (абсолютни стойности), както и комбинирани. В тази статия се разглеждат основните типове експоненциални уравнения и неравенства, както и различни методи за тяхното решаване. Прочетете за решаването на други видове уравнения и неравенства в раздела „” в статиите, посветени на методите за решаване на задачи С3 от Единния държавен изпит по математика.
Преди да започнем да анализираме конкретни експоненциални уравнения и неравенства, като учител по математика, ви предлагам да освежите малко теоретичен материал, който ще ни е необходим.
Експоненциална функция
Какво е експоненциална функция?
Функция на формата г = a x, Където а> 0 и а≠ 1 се извиква експоненциална функция.
Основен свойства на експоненциалната функция г = a x:
Графика на експоненциална функция
Графиката на експоненциалната функция е експонент:
Графики на експоненциални функции (експоненти)
Решаване на експоненциални уравнения
Показателносе наричат уравнения, в които неизвестната променлива се намира само в показатели на някои степени.
За решения експоненциални уравнениятрябва да знаете и да можете да използвате следната проста теорема:
Теорема 1.Експоненциално уравнение а f(х) = а ж(х) (Където а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението f(х) = ж(х).
Освен това е полезно да запомните основните формули и операции със степени:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Пример 1.Решете уравнението:
Решение:Използваме горните формули и заместване:
Тогава уравнението става:
Дискриминантът на полученото квадратно уравнение е положителен:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Това означава, че това уравнение има два корена. Намираме ги:
Преминавайки към обратното заместване, получаваме:
Второто уравнение няма корени, тъй като експоненциалната функция е строго положителна в цялата област на дефиниция. Нека решим второто:
Като вземем предвид казаното в теорема 1, преминаваме към еквивалентното уравнение: х= 3. Това ще бъде отговорът на задачата.
Отговор: х = 3.
Пример 2.Решете уравнението:
Решение:Уравнението няма ограничения за обхвата на допустимите стойности, тъй като радикалният израз има смисъл за всяка стойност х(експоненциална функция г = 9 4 -хположителен и не равен на нула).
Решаваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за умножение и деление на степени:
Последният преход беше извършен в съответствие с теорема 1.
Отговор:х= 6.
Пример 3.Решете уравнението:
Решение:двете страни на първоначалното уравнение могат да бъдат разделени на 0,2 х. Този преход ще бъде еквивалентен, тъй като този израз е по-голям от нула за всяка стойност х(експоненциалната функция е строго положителна в своята област на дефиниция). Тогава уравнението приема формата:
Отговор: х = 0.
Пример 4.Решете уравнението:
Решение:ние опростяваме уравнението до елементарно чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за деление и умножение на степени, дадени в началото на статията:
Разделяне на двете страни на уравнението на 4 х, както в предишния пример, е еквивалентна трансформация, тъй като този израз не е равен на нула за никакви стойности х.
Отговор: х = 0.
Пример 5.Решете уравнението:
Решение:функция г = 3х, стоящ от лявата страна на уравнението, нараства. функция г = —х-2/3 от дясната страна на уравнението намалява. Това означава, че ако графиките на тези функции се пресичат, то най-много една точка. В този случай е лесно да се досетите, че графиките се пресичат в точката х= -1. Други корени няма да има.
Отговор: х = -1.
Пример 6.Решете уравнението:
Решение:ние опростяваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, като имаме предвид навсякъде, че експоненциалната функция е строго по-голяма от нула за всяка стойност хи използвайки правилата за изчисляване на произведението и частното на степените, дадени в началото на статията:
Отговор: х = 2.
Решаване на експоненциални неравенства
Показателносе наричат неравенства, в които неизвестната променлива се съдържа само в показатели на някои степени.
За решения експоненциални неравенстваизисква се познаване на следната теорема:
Теорема 2.Ако а> 1, тогава неравенството а f(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: f(х) > ж(х). Ако 0< а < 1, то показательное неравенство а f(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: f(х) < ж(х).
Пример 7.Решете неравенството:
Решение:Нека представим първоначалното неравенство във формата:
Нека разделим двете страни на това неравенство на 3 2 х, в този случай (поради положителността на функцията г= 3 2х) знакът за неравенство няма да се промени:
Нека използваме заместването:
Тогава неравенството ще приеме формата:
И така, решението на неравенството е интервалът:
преминавайки към обратното заместване, получаваме:
Поради положителността на експоненциалната функция, лявото неравенство се изпълнява автоматично. Използвайки добре известното свойство на логаритъма, преминаваме към еквивалентното неравенство:
Тъй като основата на степента е число, по-голямо от едно, еквивалентен (по теорема 2) е преходът към следното неравенство:
И така, най-накрая получаваме отговор:
Пример 8.Решете неравенството:
Решение:Използвайки свойствата на умножение и деление на степени, пренаписваме неравенството във формата:
Нека въведем нова променлива:
Като се вземе предвид тази замяна, неравенството приема формата:
Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по 7, получаваме следното еквивалентно неравенство:
И така, следните стойности на променливата удовлетворяват неравенството T:
След това, преминавайки към обратното заместване, получаваме:
Тъй като основата на степента тук е по-голяма от единица, преходът към неравенството ще бъде еквивалентен (по теорема 2):
Накрая получаваме отговор:
Пример 9.Решете неравенството:
Решение:
Разделяме двете страни на неравенството с израза:
Той винаги е по-голям от нула (поради положителността на експоненциалната функция), така че не е необходимо да променяте знака за неравенство. Получаваме:
t разположен в интервала:
Преминавайки към обратното заместване, откриваме, че първоначалното неравенство се разделя на два случая:
Първото неравенство няма решения поради положителността на експоненциалната функция. Нека решим второто:
Пример 10.Решете неравенството:
Решение:
Разклонения на парабола г = 2х+2-х 2 са насочени надолу, следователно е ограничен отгоре от стойността, която достига на върха си:
Разклонения на парабола г = х 2 -2х+2 в индикатора са насочени нагоре, което означава, че е ограничен отдолу от стойността, която достига в своя връх:
В същото време функцията също се оказва ограничена отдолу г = 3 х 2 -2х+2, което е от дясната страна на уравнението. То достига най-малката си стойност в същата точка като параболата в експонентата и тази стойност е 3 1 = 3. Така че първоначалното неравенство може да е вярно само ако функцията отляво и функцията отдясно приемат стойност , равно на 3 (пресечната точка на диапазоните от стойности на тези функции е само това число). Това условие е изпълнено в една точка х = 1.
Отговор: х= 1.
За да се научите да решавате експоненциални уравнения и неравенства,необходимо е постоянно да се тренира в решаването им. Различни учебни помагала, задачници по начална математика, сборници със състезателни задачи, часове по математика в училище, както и индивидуални уроци с професионален преподавател могат да ви помогнат в тази нелека задача. От сърце Ви пожелавам успех в подготовката и отлични резултати на изпита.
Сергей Валериевич
P.S. Уважаеми гости! Моля, не пишете искания за решаване на вашите уравнения в коментарите. За съжаление, нямам абсолютно никакво време за това. Такива съобщения ще бъдат изтривани. Моля, прочетете статията. Може би в него ще намерите отговори на въпроси, които не са ви позволили да решите задачата си сами.
Много хора смятат, че експоненциалните неравенства са нещо сложно и неразбираемо. И че да се научиш да ги решаваш е почти велико изкуство, което само Избраните могат да проумеят...
Пълни глупости! Експоненциалните неравенства са лесни. И винаги се решават просто. Е, почти винаги. :)
Днес ще разгледаме тази тема отвътре и отвън. Този урок ще бъде много полезен за тези, които тепърва започват да разбират този раздел от училищната математика. Нека започнем с прости проблеми и да преминем към по-сложни проблеми. Днес няма да има тежка работа, но това, което прочетохте сега, ще бъде достатъчно за решаване на повечето неравенства във всички видове тестове и самостоятелни работи. И на този твой изпит също.
Както винаги, нека започнем с определението. Експоненциално неравенство е всяко неравенство, което съдържа експоненциална функция. С други думи, винаги може да се сведе до неравенство на формата
\[((a)^(x)) \gt b\]
Където ролята на $b$ може да бъде обикновено число или може би нещо по-трудно. Примери? Да моля:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ четворка ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(х))). \\\край (подравняване)\]
Мисля, че смисълът е ясен: има експоненциална функция $((a)^(x))$, тя се сравнява с нещо и след това се иска да се намери $x$. В особено клинични случаи, вместо променливата $x$, те могат да поставят някаква функция $f\left(x \right)$ и по този начин да усложнят малко неравенството. :)
Разбира се, в някои случаи неравенството може да изглежда по-сериозно. Например:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Или дори това:
Като цяло сложността на такива неравенства може да бъде много различна, но в крайна сметка те все пак се свеждат до простата конструкция $((a)^(x)) \gt b$. И ние по някакъв начин ще разберем такава конструкция (в особено клинични случаи, когато нищо не идва на ум, логаритмите ще ни помогнат). Затова сега ще ви научим как да решавате такива прости конструкции.
Решаване на прости експоненциални неравенства
Нека разгледаме нещо много просто. Например това:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Очевидно числото отдясно може да бъде пренаписано като степен на две: $4=((2)^(2))$. Така първоначалното неравенство може да бъде пренаписано в много удобна форма:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
И сега ме сърбят ръцете да "задраскам" двойките в основите на степените, за да получа отговора $x \gt 2$. Но преди да зачеркнем нещо, нека си припомним силите на две:
\[((2)^(1))=2;\квад ((2)^(2))=4;\квад ((2)^(3))=8;\квад ((2)^( 4))=16;...\]
Както можете да видите, колкото по-голямо е числото в степента, толкова по-голямо е изходното число. „Благодаря, Кап!“ - ще възкликне един от учениците. Различно ли е? За съжаление се случва. Например:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ дясно))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Тук също всичко е логично: колкото по-голяма е степента, толкова повече пъти числото 0,5 се умножава по себе си (т.е. разделя се наполовина). Така получената редица от числа намалява, а разликата между първата и втората редица е само в основата:
- Ако основата на степен $a \gt 1$, тогава с увеличаването на експонентата $n$ числото $((a)^(n))$ също ще нараства;
- И обратно, ако $0 \lt a \lt 1$, тогава с нарастване на показателя $n$ числото $((a)^(n))$ ще намалява.
Обобщавайки тези факти, получаваме най-важното твърдение, на което се основава цялото решение на експоненциалните неравенства:
Ако $a \gt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \gt n$. Ако $0 \lt a \lt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \lt n$.
С други думи, ако основата е по-голяма от единица, можете просто да я премахнете - знакът за неравенство няма да се промени. И ако основата е по-малка от единица, тогава тя също може да бъде премахната, но в същото време ще трябва да промените знака за неравенство.
Моля, обърнете внимание, че не сме разгледали опциите $a=1$ и $a\le 0$. Защото в тези случаи възниква несигурност. Да кажем как да решим неравенство от вида $((1)^(x)) \gt 3$? Едно на която и да е сила отново ще даде едно - никога няма да получим три или повече. Тези. няма решения.
С негативни причини всичко е още по-интересно. Например, разгледайте това неравенство:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
На пръв поглед всичко е просто:
нали Но не! Достатъчно е да замените няколко четни и няколко нечетни числа вместо $x$, за да се уверите, че решението е неправилно. Погледни:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Както можете да видите, знаците се редуват. Но има и дробни степени и други глупости. Как, например, бихте наредили да изчислите $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (минус две на степен седем)? Няма начин!
Следователно, за определеност приемаме, че във всички експоненциални неравенства (и уравнения, между другото също) $1\ne a \gt 0$. И тогава всичко се решава много просто:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
Като цяло, запомнете основното правило още веднъж: ако основата в експоненциалното уравнение е по-голяма от единица, можете просто да я премахнете; и ако основата е по-малка от единица, тя също може да бъде премахната, но знакът на неравенството ще се промени.
Примери за решения
И така, нека да разгледаме няколко прости експоненциални неравенства:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\край (подравняване)\]
Основната задача във всички случаи е една и съща: да се намалят неравенствата до най-простата форма $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Точно това ще направим сега с всяко неравенство, като в същото време ще повторим свойствата на степените и експоненциалните функции. Така че, да тръгваме!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Какво можете да правите тук? Е, отляво вече имаме показателен израз - нищо не трябва да се променя. Но отдясно има някакви глупости: дроб и дори корен в знаменателя!
Все пак нека си припомним правилата за работа с дроби и степени:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\край (подравняване)\]
Какво означава? Първо, можем лесно да се отървем от дробта, като я превърнем в степен с отрицателен показател. И второ, тъй като знаменателят има корен, би било хубаво да го превърнем в степен - този път с дробен показател.
Нека приложим тези действия последователно към дясната страна на неравенството и да видим какво ще се случи:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Не забравяйте, че при повишаване на степен на степен показателите на тези степени се събират. И като цяло, когато работите с експоненциални уравнения и неравенства, е абсолютно необходимо да знаете поне най-простите правила за работа със степени:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\край (подравняване)\]
Всъщност току-що приложихме последното правило. Следователно нашето първоначално неравенство ще бъде пренаписано както следва:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Сега се отърваваме от двете в основата. Тъй като 2 > 1, знакът за неравенство ще остане същият:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Това е решението! Основната трудност изобщо не е в експоненциалната функция, а в компетентната трансформация на оригиналния израз: трябва внимателно и бързо да го доведете до най-простата му форма.
Разгледайте второто неравенство:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Горе-долу. Тук ни очакват десетични дроби. Както съм казвал много пъти, във всички изрази със степени трябва да се отървете от десетичните знаци - това често е единственият начин да видите бързо и просто решение. Тук ще се отървем от:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Дясна стрелка ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\край (подравняване)\]
Тук отново имаме най-простото неравенство и дори с основа 1/10, т.е. по-малко от едно. Е, премахваме основите, като едновременно с това променяме знака от „по-малко“ на „повече“ и получаваме:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\край (подравняване)\]
Получихме окончателния отговор: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Моля, обърнете внимание: отговорът е точно набор и в никакъв случай конструкция от формата $x \lt -1$. Защото формално такава конструкция изобщо не е множество, а неравенство по отношение на променливата $x$. Да, много е просто, но не е отговорът!
Важна забележка. Това неравенство може да се реши по друг начин - чрез редуциране на двете страни на степен с основа, по-голяма от единица. Погледни:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Дясна стрелка ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
След такава трансформация отново ще получим експоненциално неравенство, но с основа 10 > 1. Това означава, че можем просто да зачеркнем десетката - знакът на неравенството няма да се промени. Получаваме:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\край (подравняване)\]
Както можете да видите, отговорът беше абсолютно същият. В същото време се спасихме от необходимостта да сменяме знака и като цяло да помним всякакви правила. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Нека обаче това не ви плаши. Без значение какво има в индикаторите, самата технология за решаване на неравенството остава същата. Следователно нека първо отбележим, че 16 = 2 4. Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид този факт:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Ура! Получихме обичайното квадратно неравенство! Знакът не се е променил никъде, тъй като основата е две - число, по-голямо от едно.
Нули на функция на числовата ос
Подреждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очевидно нейната графика ще бъде парабола с клонове нагоре, така че ще има „плюсове ” отстрани. Интересуваме се от областта, където функцията е по-малка от нула, т.е. $x\in \left(2;5 \right)$ е отговорът на първоначалния проблем.
И накрая, разгледайте друго неравенство:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Отново виждаме експоненциална функция с десетична дроб в основата. Нека преобразуваме тази дроб в обикновена дроб:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
В този случай използвахме забележката, дадена по-рано - намалихме основата до числото 5 > 1, за да опростим нашето по-нататъшно решение. Нека направим същото с дясната страна:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ надясно))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид и двете трансформации:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
Базите от двете страни са еднакви и надвишават единица. Няма други термини отдясно и отляво, така че просто „задраскваме“ петиците и получаваме много прост израз:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Тук трябва да сте по-внимателни. Много студенти обичат просто да вземат квадратен корен от двете страни на неравенството и да напишат нещо като $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. При никакви обстоятелства не трябва да се прави това , тъй като коренът на точен квадрат е модул и в никакъв случай оригинална променлива:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\надясно|\]
Работата с модули обаче не е най-приятното изживяване, нали? Така че няма да работим. Вместо това просто преместваме всички членове наляво и решаваме обичайното неравенство, като използваме интервалния метод:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\край (подравняване)$
Отново маркираме получените точки на числовата линия и гледаме знаците:
Моля, обърнете внимание: точките са защриховани Тъй като решавахме нестрого неравенство, всички точки на графиката са защриховани. Следователно отговорът ще бъде: $x\in \left[ -1;1 \right]$ не е интервал, а сегмент.
Като цяло бих искал да отбележа, че няма нищо сложно в експоненциалните неравенства. Смисълът на всички трансформации, които извършихме днес, се свежда до прост алгоритъм:
- Намерете базата, към която ще намалим всички степени;
- Внимателно извършете трансформациите, за да получите неравенство от вида $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Разбира се, вместо променливите $x$ и $n$ може да има много по-сложни функции, но смисълът няма да се промени;
- Зачертайте основите на степените. В този случай знакът за неравенство може да се промени, ако основата $a \lt 1$.
Всъщност това е универсален алгоритъм за решаване на всички подобни неравенства. И всичко останало, което ще ви кажат по тази тема, са само специфични техники и трикове, които ще опростят и ускорят трансформацията. Сега ще говорим за една от тези техники. :)
Метод на рационализация
Нека разгледаме друг набор от неравенства:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\текст( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
И така, какво е толкова специално за тях? Те са леки. Въпреки това, спри! Повишено ли е числото π на някаква степен? Каква безсмислица?
Как да повдигна числото $2\sqrt(3)-3$ на степен? Или $3-2\sqrt(2)$? Писателите на проблеми очевидно са пили твърде много глог, преди да седнат на работа. :)
Всъщност в тези задачи няма нищо страшно. Нека ви напомня: експоненциалната функция е израз във формата $((a)^(x))$, където основата $a$ е всяко положително число освен едно. Числото π е положително - това вече го знаем. Числата $2\sqrt(3)-3$ и $3-2\sqrt(2)$ също са положителни - това лесно се вижда, ако ги сравните с нула.
Оказва се, че всички тези „плашещи“ неравенства се решават не по-различно от простите, разгледани по-горе? И по същия начин ли се решават? Да, това е абсолютно правилно. Въпреки това, използвайки техния пример, бих искал да разгледам една техника, която значително спестява време за самостоятелна работа и изпити. Ще говорим за метода на рационализация. И така, внимание:
Всяко експоненциално неравенство от формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ дясно) \gt 0 $.
Това е целият метод :) Мислехте ли, че ще има някаква друга игра? Нищо подобно! Но този прост факт, написан буквално в един ред, значително ще опрости нашата работа. Погледни:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Така че няма повече експоненциални функции! И не е нужно да помните дали знакът се променя или не. Но възниква нов проблем: какво да правим с проклетия множител \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Не знаем каква е точната стойност на числото π. Капитанът обаче сякаш намеква за очевидното:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\приблизително 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
По принцип точната стойност на π всъщност не ни интересува - за нас е важно само да разберем, че във всеки случай $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, т.е. това е положителна константа и можем да разделим двете страни на неравенството на нея:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Както виждате, в определен момент трябваше да разделим на минус едно - и знакът на неравенството се промени. Накрая разширих квадратичния трином с помощта на теоремата на Виета - очевидно е, че корените са равни на $((x)_(1))=5$ и $((x)_(2))=-1$ . След това всичко се решава с класическия интервален метод:
Решаване на неравенство по интервалния метод Всички точки се премахват, тъй като първоначалното неравенство е строго. Интересуваме се от областта с отрицателни стойности, така че отговорът е $x\in \left(-1;5 \right)$. Това е решението. :)
Да преминем към следващата задача:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Всичко тук обикновено е просто, защото вдясно има единица. И си спомняме, че едно е всяко число, повдигнато на нулева степен. Дори това число да е ирационален израз в основата отляво:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\край (подравняване)\]
Е, нека рационализираме:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Остава само да разбера знаците. Коефициентът $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не съдържа променливата $x$ - той е просто константа и трябва да намерим нейния знак. За да направите това, имайте предвид следното:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]
Оказва се, че вторият фактор не е просто константа, а отрицателна константа! И при разделяне на него знакът на първоначалното неравенство се променя на противоположния:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Сега всичко става напълно очевидно. Корените на квадратния трином отдясно са: $((x)_(1))=0$ и $((x)_(2))=2$. Маркираме ги на числовата ос и разглеждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Случаят, когато се интересуваме от страничните интервали Интересуват ни интервалите, отбелязани със знак плюс. Остава само да напиша отговора:
Да преминем към следващия пример:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ надясно))^(16-x))\]
Е, тук всичко е напълно очевидно: основите съдържат степени с едно и също число. Затова ще напиша всичко накратко:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ляво (16-x \ дясно))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Както можете да видите, по време на процеса на трансформация трябваше да умножим по отрицателно число, така че знакът за неравенство се промени. В самия край отново приложих теоремата на Виета, за да факторизирам квадратичния трином. В резултат на това отговорът ще бъде следният: $x\in \left(-8;4 \right)$ - всеки може да провери това, като начертае числова линия, маркира точките и преброи знаците. Междувременно ще преминем към последното неравенство от нашия „набор“:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Както виждате, в основата отново има ирационално число, а вдясно отново има единица. Следователно пренаписваме нашето експоненциално неравенство, както следва:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ надясно))^(0))\]
Прилагаме рационализация:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Съвсем очевидно е обаче, че $1-\sqrt(2) \lt 0$, тъй като $\sqrt(2)\приблизително 1,4... \gt 1$. Следователно вторият фактор отново е отрицателна константа, на която могат да се разделят двете страни на неравенството:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\край (матрица)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Преместете се в друга база
Отделен проблем при решаването на експоненциални неравенства е търсенето на „правилната“ основа. За съжаление, не винаги е очевидно на пръв поглед върху дадена задача какво да вземем за основа и какво да направим според степента на тази основа.
Но не се притеснявайте: тук няма магия или „тайна“ технология. В математиката всяко умение, което не може да бъде алгоритмизирано, може лесно да се развие чрез практика. Но за това ще трябва да решавате проблеми с различни нива на сложност. Например така:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ край (подравняване)\]
Труден? Страшен? По-лесно е, отколкото да удариш пиле в асфалта! Да опитаме. Първо неравенство:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Е, мисля, че тук всичко е ясно:
Пренаписваме първоначалното неравенство, като свеждаме всичко до основа две:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Да, да, чухте правилно: току-що приложих метода на рационализация, описан по-горе. Сега трябва да работим внимателно: имаме дробно-рационално неравенство (това е такова, което има променлива в знаменателя), така че преди да приравним нещо на нула, трябва да приведем всичко към общ знаменател и да се отървем от постоянния фактор .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Сега използваме метода на стандартния интервал. Нули в числителя: $x=\pm 4$. Знаменателят отива на нула само когато $x=0$. Има общо три точки, които трябва да бъдат маркирани на числовата ос (всички точки са закачени, защото знакът за неравенство е строг). Получаваме:
По-сложен случай: три корена Както можете да предположите, засенчването маркира онези интервали, при които изразът отляво приема отрицателни стойности. Следователно крайният отговор ще включва два интервала наведнъж:
Краищата на интервалите не са включени в отговора, тъй като първоначалното неравенство е строго. Не се изисква допълнителна проверка на този отговор. В това отношение експоненциалните неравенства са много по-прости от логаритмичните: няма ODZ, няма ограничения и т.н.
Да преминем към следващата задача:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Тук също няма проблеми, тъй като вече знаем, че $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, така че цялото неравенство може да бъде пренаписано както следва:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Моля, обърнете внимание: в третия ред реших да не губя време за дреболии и веднага да разделя всичко на (−2). Minul влезе в първата скоба (сега има плюсове навсякъде), а две беше намалено с постоянен коефициент. Точно това трябва да направите, когато подготвяте реални изчисления за самостоятелна и тестова работа - не е необходимо да описвате директно всяко действие и трансформация.
След това влиза в действие познатият метод на интервалите. Нули в числителя: но ги няма. Тъй като дискриминантът ще бъде отрицателен. На свой ред, знаменателят се нулира само когато $x=0$ - точно както последния път. Е, ясно е, че вдясно от $x=0$ дробта ще приема положителни стойности, а вляво - отрицателни. Тъй като се интересуваме от отрицателни стойности, крайният отговор е: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
Какво трябва да правите с десетичните дроби в експоненциалните неравенства? Точно така: отървете се от тях, превръщайки ги в обикновени. Тук ще преведем:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\вдясно))^(x)). \\\край (подравняване)\]
И така, какво получихме в основите на експоненциалните функции? И имаме две взаимно обратни числа:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ дясно))^(x))=((\ляво(((\ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(-1)) \дясно))^(x))=((\ ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(-x))\]
Така първоначалното неравенство може да бъде пренаписано, както следва:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\край (подравняване)\]
Разбира се, когато се умножават степени с една и съща основа, техните показатели се събират, което се случи във втория ред. В допълнение, ние представихме единицата отдясно, също като степен в основата 4/25. Всичко, което остава, е да рационализираме:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Обърнете внимание, че $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, т.е. вторият фактор е отрицателна константа и при разделяне на него знакът за неравенство ще се промени:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
И накрая, последното неравенство от текущия „набор“:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
По принцип идеята на решението тук също е ясна: всички експоненциални функции, включени в неравенството, трябва да бъдат намалени до база „3“. Но за това ще трябва да побърквате малко с корени и правомощия:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\квад 81=((3)^(4)). \\\край (подравняване)\]
Като се вземат предвид тези факти, първоначалното неравенство може да се пренапише, както следва:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\край (подравняване)\]
Обърнете внимание на 2-ри и 3-ти ред на изчисленията: преди да направите нещо с неравенството, не забравяйте да го приведете във формата, за която говорихме от самото начало на урока: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Докато имате някои леви фактори, допълнителни константи и т.н. отляво или отдясно, не може да се извърши рационализация или „зачеркване“ на основанията! Безброй задачи са изпълнени неправилно поради неразбиране на този прост факт. Аз самият постоянно наблюдавам този проблем с моите ученици, когато току-що започваме да анализираме експоненциални и логаритмични неравенства.
Но да се върнем към нашата задача. Нека се опитаме да минем без рационализация този път. Нека си припомним: основата на степента е по-голяма от единица, така че тройките могат просто да бъдат задраскани - знакът за неравенство няма да се промени. Получаваме:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\край (подравняване)\]
Това е всичко. Окончателен отговор: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Изолиране на стабилен израз и замяна на променлива
В заключение предлагам да решим още четири експоненциални неравенства, които вече са доста трудни за неподготвени ученици. За да се справите с тях, трябва да запомните правилата за работа със степени. По-специално, поставяне на общи фактори извън скоби.
Но най-важното е да се научите да разбирате какво точно може да бъде извадено от скоби. Такъв израз се нарича стабилен - той може да бъде обозначен с нова променлива и по този начин да се отърве от експоненциалната функция. И така, нека да разгледаме задачите:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Да започнем от първия ред. Нека запишем това неравенство отделно:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Обърнете внимание, че $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, така че дясната страна може да се пренапише:
Обърнете внимание, че в неравенството няма други експоненциални функции освен $((5)^(x+1))$. И като цяло, променливата $x$ не се появява никъде другаде, така че нека въведем нова променлива: $((5)^(x+1))=t$. Получаваме следната конструкция:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\край (подравняване)\]
Връщаме се към първоначалната променлива ($t=((5)^(x+1))$ и в същото време помним, че 1=5 0 . Ние имаме:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\край (подравняване)\]
Това е решението! Отговор: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Да преминем към второто неравенство:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Тук всичко е същото. Обърнете внимание, че $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Тогава лявата страна може да бъде пренаписана:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \надясно. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Стрелка надясно x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\край (подравняване)\]
Приблизително така трябва да съставите решение за реални тестове и самостоятелна работа.
Е, нека опитаме нещо по-сложно. Ето например неравенството:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Какъв е проблемът тук? Първо, основите на експоненциалните функции отляво са различни: 5 и 25. Въпреки това, 25 = 5 2, така че първият член може да се трансформира:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Както можете да видите, отначало приведохме всичко към една и съща основа и след това забелязахме, че първият член може лесно да бъде намален до втория - просто трябва да разширите експонентата. Сега можете спокойно да въведете нова променлива: $((5)^(2x+2))=t$ и цялото неравенство ще бъде пренаписано, както следва:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\край (подравняване)\]
И отново, никакви затруднения! Краен отговор: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Нека да преминем към последното неравенство в днешния урок:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание, е, разбира се, десетичната дроб в основата на първата степен. Необходимо е да се отървете от него и в същото време да приведете всички експоненциални функции към една и съща основа - числото „2“:
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Стрелка надясно ((16)^(x+1,5))=((\ляво(((2)^(4)) \дясно))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Страхотно, направихме първата стъпка – всичко доведе до една и съща основа. Сега трябва да изберете стабилен израз. Обърнете внимание, че $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ако въведем нова променлива $((2)^(4x+6))=t$, тогава първоначалното неравенство може да бъде пренаписано както следва:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\край (подравняване)\]
Естествено може да възникне въпросът: как открихме, че 256 = 2 8? За съжаление, тук просто трябва да знаете правомощията на две (и в същото време правомощията на три и пет). Е, или разделяме 256 на 2 (можете да разделите, тъй като 256 е четно число), докато получим резултата. Ще изглежда нещо подобно:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Същото важи и с три (числата 9, 27, 81 и 243 са неговите степени) и със седем (числата 49 и 343 също би било хубаво да запомните). Е, петте също имат „красиви“ степени, които трябва да знаете:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\край (подравняване)\]
Разбира се, ако желаете, всички тези числа могат да бъдат възстановени в ума ви, като просто ги умножите последователно едно по друго. Когато обаче трябва да решите няколко експоненциални неравенства и всяко следващо е по-трудно от предишното, тогава последното нещо, за което искате да мислите, са степените на някои числа. И в този смисъл тези проблеми са по-сложни от „класическите“ неравенства, които се решават чрез интервалния метод.
Надявам се, че този урок ви е помогнал да овладеете тази тема. Ако нещо не е ясно, попитайте в коментарите. И ще се видим в следващите уроци. :)
Урок и презентация на тема: "Показателни уравнения и показателни неравенства"
Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.
Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин Интеграл за 11 клас
Интерактивно помагало за 9–11 клас „Тригонометрия“
Интерактивно ръководство за 10–11 клас „Логаритми“
Дефиниция на експоненциалните уравнения
Момчета, изучавахме експоненциални функции, научихме техните свойства и изградихме графики, анализирахме примери за уравнения, в които бяха намерени експоненциални функции. Днес ще изучаваме експоненциални уравнения и неравенства.Определение. Уравнения от вида: $a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a>0$, $a≠1$ се наричат експоненциални уравнения.
Припомняйки си теоремите, които изучавахме в темата "Експоненциална функция", можем да въведем нова теорема:
Теорема. Експоненциалното уравнение $a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a>0$, $a≠1$ е еквивалентно на уравнението $f(x)=g(x) $.
Примери за експоненциални уравнения
Пример.Решете уравнения:
а) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
в) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Решение.
а) Знаем добре, че $27=3^3$.
Нека пренапишем нашето уравнение: $3^(3x-3)=3^3$.
Използвайки горната теорема, откриваме, че нашето уравнение се свежда до уравнението $3x-3=3$; решавайки това уравнение, получаваме $x=2$.
Отговор: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Тогава нашето уравнение може да бъде пренаписано: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
Отговор: $x=0$.
В) Първоначалното уравнение е еквивалентно на уравнението: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Отговор: $x_1=6$ и $x_2=-3$.
Пример.
Решете уравнението: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Решение:
Нека извършим поредица от действия последователно и приведем двете страни на нашето уравнение към едни и същи основи.
Нека извършим няколко операции от лявата страна:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Да преминем към дясната страна:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Оригиналното уравнение е еквивалентно на уравнението:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Отговор: $x=0$.
Пример.
Решете уравнението: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Решение:
Нека пренапишем нашето уравнение: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Нека направим промяна на променливите, нека $a=3^x$.
В новите променливи уравнението ще приеме формата: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Нека извършим обратната промяна на променливите: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
В последния урок научихме, че експоненциалните изрази могат да приемат само положителни стойности, запомнете графиката. Това означава, че първото уравнение няма решения, второто уравнение има едно решение: $x=1$.
Отговор: $x=1$.
Нека си припомним как се решават експоненциални уравнения:
1. Графичен метод.Ние представяме двете страни на уравнението под формата на функции и изграждаме техните графики, намираме точките на пресичане на графиките. (Използвахме този метод в миналия урок).
2. Принципът на равенство на показателите.Принципът се основава на факта, че два израза с еднакви бази са равни тогава и само ако степените (експонентите) на тези основи са равни. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод на променлива замяна.Този метод трябва да се използва, ако уравнението при замяна на променливи опростява формата си и е много по-лесно за решаване.
Пример.
Решете системата от уравнения: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \край (случаи)$.
Решение.
Нека разгледаме двете уравнения на системата поотделно:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Разгледайте второто уравнение:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Нека използваме метода за промяна на променливите, нека $y=2^(x+y)$.
Тогава уравнението ще приеме формата:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Нека преминем към началните променливи, от първото уравнение получаваме $x+y=2$. Второто уравнение няма решения. Тогава нашата начална система от уравнения е еквивалентна на системата: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \край (случаи)$.
Извадете второто от първото уравнение, получаваме: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \край (случаи)$.
$\begin (cases) y=-1, \\ x=3. \край (случаи)$.
Отговор: $(3;-1)$.
Експоненциални неравенства
Да преминем към неравенствата. При решаване на неравенства е необходимо да се обърне внимание на основата на степента. Има два възможни сценария за развитие на събитията при решаване на неравенства.Теорема. Ако $a>1$, тогава експоненциалното неравенство $a^(f(x))>a^(g(x))$ е еквивалентно на неравенството $f(x)>g(x)$.
Ако $0
Пример.
Решаване на неравенства:
а) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Решение.
а) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) В нашето уравнение основата е, когато степента е по-малко от 1, тогава При замяна на неравенство с еквивалентно е необходимо да се смени знака.
$2x-4>2$.
$x>3$.
В) Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Нека използваме метода на интервално решение:
Отговор: $(-∞;-5]U)
