Kvantifikátory obecnosti a existence. Kvantifikátory Význam formule predikátové logiky

V souvislosti se zavedením kvantifikátorů je třeba vzít v úvahu následující:

1. Formule predikátové logiky nemůže obsahovat stejnou účelovou proměnnou, která by byla v jedné části formule vázána a v jiné volná.

2. Stejná proměnná nemůže být v oblasti kvantifikátorů, které jsou navzájem duální.

Porušení těchto podmínek se nazývá proměnná kolize.

Jak se stanoví pravdivostní hodnota výroku s kvantifikátorem?

Dokázat tvrzení obecným kvantifikátorem musíte se ujistit, že při dosazování každé z hodnot X do predikátu P(x) to druhé se promění ve pravdivé tvrzení. Jestliže množina X je konečná, pak toto může být děláno výčtem všech případů; je-li množina X nekonečná, pak je nutné provést uvažování v obecné formě.

Prohlášení (x) P(x) false, pokud lze takovou hodnotu zadat AX, při kterém P(x) se změní v nepravdivé tvrzení R(a). Proto, vyvrátit tvrzení obecným kvantifikátorem Stačí uvést příklad.

Prohlášení (x) P(x) true, pokud lze takovou hodnotu zadat AX, při kterém P(x) promění v pravdivé tvrzení R(a). Proto v pořádku ověřit pravdivost tvrzení pomocí kvantifikátoru existence , stačí uvést příklad a tím to dokázat.

V následujících situacích ověřit nepravdivost tvrzení s kvantifikátorem existence (x) P(x), je nutné ověřit nepravdivost každého P(x), P(x), …, P(x). Pokud je sada X To lze samozřejmě provést i hrubou silou. Pokud je jich mnoho X nekonečně, pak je nutné usuzovat v obecné formě.

Příklady.

1. Najděte pravdivostní hodnotu „mezi čísly“ 1, 2, 3, 4 existuje prvočíslo."

Řešení: Výrok obsahuje existenciální kvantifikátor a lze jej tedy reprezentovat jako disjunkci výroků: „ 1 - prvočíslo" nebo " 2 - prvočíslo" nebo " 3 - prvočíslo" nebo " 4 - Prvočíslo". K prokázání pravdivosti disjunkce stačí pravdivost alespoň jednoho tvrzení, například „ 3 je prvočíslo, které je pravdivé. Proto je původní tvrzení také pravdivé.

2. Dokažme, že každý čtverec je obdélník.

Řešení: Příkaz obsahuje obecný kvantifikátor. Proto může být prezentován jako spojení: „čtverec - obdélník“ a „čtverec - obdélník“ a „čtverec - obdélník“ atd. Protože všechny tyto výroky jsou pravdivé, pak spojení těchto výroků je pravdivé, proto je pravdivá původní věta.

3. "Každý trojúhelník je rovnoramenný." Toto je nepravdivé tvrzení. K ověření stačí nakreslit trojúhelník, který není rovnoramenný.a

Sestavit negaci výroku s kvantifikátory nutné:

1) nahradit kvantifikátor obecnosti kvantifikátorem existence a kvantifikátor existence kvantifikátorem obecnosti;

2) nahraďte predikát jeho negací.

Příklad. Formulujme negaci pro následující tvrzení:

a) všechny prvky sady Z dokonce; b) některá slovesa odpovídají na otázku „co dělat?“.

Řešení: a) Nahraďme kvantifikátor obecnosti kvantifikátorem existence a jeho tvrzení jeho negací: některé prvky množiny Z zvláštní.

b) Nahraďme kvantifikátor existence kvantifikátorem obecnosti a jeho vyjádření negací: všechna slovesa neodpovídají na otázku „co dělat?“

Predikát (lat. praedicatum- uvedl, zmínil, řekl) - jakýkoli matematický výrok, ve kterém je alespoň jedna proměnná. Predikát je hlavním předmětem studia v logice prvního řádu.

Predikát je výraz s logickými proměnnými, které mají smysl pro jakékoli platné hodnoty těchto proměnných.

Výrazy: x > 5, x > y – predikáty.

Predikát ( n-místní, popř n-ary) je funkce se sadou hodnot (0,1) (nebo „false“ a „true“), které jsou definovány na množině. Tedy každá množina prvků množiny M charakterizováno buď jako „pravda“ nebo „nepravda“.

Predikát může být spojen s matematickým vztahem: jestliže n-ka patří do relace, pak na ní predikát vrátí 1. Zejména unární predikát definuje vztah příslušnosti k určité množině.

Predikát je jedním z prvků logiky prvního a vyšších řádů. Počínaje logikou druhého řádu lze kvantifikátory umístit na predikáty ve vzorcích.

Predikát se nazývá stejně pravdivé a piš:

pokud na libovolné sadě argumentů nabývá hodnotu 1.

Predikát se nazývá stejně nepravdivé a piš:

pokud na libovolné sadě argumentů nabývá hodnoty 0.

Predikát se nazývá proveditelný, pokud má hodnotu 1 alespoň na jedné sadě argumentů.

Protože predikáty mají pouze dva významy, jsou na ně použitelné všechny operace Booleovy algebry, například: negace, implikace, konjunkce, disjunkce atd.

Kvantifikátor je obecný název pro logické operace, které omezují doménu pravdivosti predikátu. Nejčastěji zmiňované:

Univerzální kvantifikátor(označení: zní: „pro všechny...“, „pro všechny...“ nebo „každý...“, „jakýkoli...“, „pro všechny...“).

Kvantifikátor existence(označení: , zní: „existuje...“ nebo „bude nalezen...“).

Příklady

Označme P(X) predikát" X dělitelné 5." Pomocí obecného kvantifikátoru můžeme formálně napsat následující tvrzení (samozřejmě nepravdivá):

jakékoli přirozené číslo je dělitelné 5;

každé přirozené číslo je násobkem 5;

všechna přirozená čísla jsou násobky 5;

následujícím způsobem:

.

Následující (již pravdivá) tvrzení používají existenciální kvantifikátor:

existují přirozená čísla, která jsou násobky 5;

existuje přirozené číslo, které je násobkem 5;

alespoň jedno přirozené číslo je dělitelné 5.

Jejich formální zápis:

.Úvod do konceptu

Nechť je na množině X prvočísel dán predikát P(x): "Prvočíslo x je liché." Před tento predikát dosadíme slovo „jakýkoli“. Dostaneme nepravdivé tvrzení „jakékoli prvočíslo x je liché“ (tento výrok je nepravdivý, protože 2 je prvočíslo sudé).

Dosazením slova „existuje“ před daný predikát P(x) získáme pravdivé tvrzení „Existuje prvočíslo x, které je liché“ (např. x = 3).

Z predikátu tedy můžete udělat výrok tak, že před predikát umístíte slova „vše“, „existuje“ atd., v logice nazývaná kvantifikátory.

Kvantifikátory v matematické logice

Příkaz znamená, že rozsah proměnné X zahrnuto do domény pravdivosti predikátu P(X).

(„Pro všechny hodnoty (x) platí tvrzení.)

Výrok znamená, že doména pravdivosti predikátu P(X) je neprázdný.

(„Existuje (x), pro které je tvrzení pravdivé“).

Otázka 31 Graf a jeho prvky. Základní pojmy. Incidence, multiplicita, smyčka, spojitost. Typy grafů. Trasa v grafu a její délka. Klasifikace cest. Matice sousedství orientovaných a neorientovaných grafů.

V matematické teorii grafů a informatice je graf souborem neprázdné množiny vrcholů a množiny dvojic vrcholů.

Objekty jsou reprezentovány jako vrcholy nebo uzly grafu a spojení jsou reprezentována jako oblouky nebo hrany. Pro různé oblasti použití se typy grafů mohou lišit směrovostí, omezením počtu spojení a dalšími údaji o vrcholech nebo hranách.

Cesta (nebo řetězec) v grafu je konečná posloupnost vrcholů, ve které je každý vrchol (kromě posledního) připojen k dalšímu v posloupnosti vrcholů hranou.

Orientovaná cesta v digrafu je konečná posloupnost vrcholů v i, pro které všechny páry ( v i,v i+ 1) jsou (orientované) hrany.

Cyklus je cesta, na které se první a poslední vrchol shodují. V tomto případě je délka cesty (nebo cyklu) počtem jejích součástí žebra. Všimněte si, že pokud vrcholy u A proti jsou konce nějaké hrany, pak podle této definice posloupnost ( u,proti,u) je cyklus. Aby se předešlo takovým „degenerovaným“ případům, jsou zavedeny následující pojmy.

Cesta (nebo cyklus) se nazývá jednoduchá, pokud se její okraje neopakují; elementární, pokud je jednoduchý a jeho vrcholy se neopakují. Je snadné vidět, že:

Každá cesta spojující dva vrcholy obsahuje elementární cestu spojující stejné dva vrcholy.

Jakékoliv jednoduché neelementární cesta obsahuje elementární cyklus.

Žádný jednoduchý cyklus procházející nějakým vrcholem (nebo hranou) obsahuje základní(pod)cyklus procházející stejným vrcholem (nebo hranou).

Smyčka je elementární cyklus.

Graf nebo neorientovaný graf G je objednaný pár G: = (PROTI,E

PROTI

E jedná se o množinu dvojic (v případě neorientovaného grafu neuspořádaných) vrcholů, zvaných hrany.

PROTI(a proto E, jinak by šlo o multimnožinu) jsou obvykle považovány za konečné množiny. Mnoho dobrých výsledků získaných pro konečné grafy není pravdivých (nebo se nějakým způsobem liší). nekonečné grafy. Řada úvah se totiž v případě nekonečných množin stává nepravdivými.

Vrcholy a hrany grafu se také nazývají prvky grafu, počet vrcholů v grafu | PROTI| - pořadí, počet hran | E| - velikost grafu.

Vrcholy u A proti se nazývají koncové vrcholy (nebo jednoduše konce) hrany E = {u,proti). Tyto vrcholy zase spojuje hrana. Dva koncové vrcholy stejné hrany se nazývají sousední.

Říká se, že dvě hrany sousedí, pokud mají společný koncový vrchol.

Dvě hrany se nazývají násobky, pokud se množiny jejich koncových vrcholů shodují.

Hrana se nazývá smyčka, pokud se její konce shodují, tzn E = {proti,proti}.

stupeň deg PROTI vrcholy PROTI zavolejte počet hran, které k němu patří (v tomto případě se smyčky počítají dvakrát).

O vrcholu se říká, že je izolovaný, pokud není koncem žádné hrany; visící (nebo list), pokud se jedná o konec právě jedné hrany.

Orientovaný graf (zkrácený digraph) G je objednaný pár G: = (PROTI,A), pro které jsou splněny tyto podmínky:

PROTI je neprázdná množina vrcholů nebo uzlů,

A je to soubor (uspořádaných) párů odlišných vrcholů, nazývaných oblouky nebo směrované hrany.

Oblouk je uspořádaná dvojice vrcholů (v, w), kde je vrchol proti nazvaný začátek a w- konec oblouku. Dá se říci, že oblouk vede shora proti na vrchol w.

Smíšený graf

Smíšený graf G je graf, ve kterém některé hrany mohou být směrovány a některé mohou být neorientované. Psáno jako uspořádaná trojka G: = (PROTI,E,A), kde PROTI, E A A definovány stejně jako výše.

Orientované a neorientované grafy jsou speciální případy smíšených grafů.

Izomorfní grafy (?)

Graf G se nazývá izomorfní vůči grafu H, pokud existuje bijekce F z množiny vrcholů grafu G do množiny vrcholů grafu H, který má následující vlastnost: if v grafu G z vrcholu je hrana A na vrchol B, pak v grafu H F(A) na vrchol F(B) a naopak - pokud je v grafu H z vrcholu je hrana A na vrchol B, pak v grafu G z vrcholu musí být hrana F − 1 (A) na vrchol F − 1 (B). V případě orientovaného grafu musí tato bijekce zachovat i orientaci hrany. V případě váženého grafu musí bijekce zachovat i váhu hrany.

Matice sousedství grafu G s konečným počtem vrcholů n(číslované od 1 do n) je čtvercová matice A velikost n, ve kterém je hodnota prvku a ij rovný počtu hran od i vrchol grafu v j-tý vrchol.

Někdy, zejména v případě neorientovaného grafu, může smyčka (hrana z i vrchol do sebe) se počítá jako dvě hrany, tedy hodnota diagonálního prvku a ii v tomto případě se rovná dvojnásobku počtu smyček kolem i vrchol.

Matice sousedství jednoduchého grafu (neobsahujícího žádné smyčky nebo více hran) je binární matice a obsahuje nuly na hlavní diagonále.

Otázka 32 Funkce. Způsoby zadání. Klasifikace funkcí. Základní elementární funkce a jejich grafy. Složení funkcí. Elementární funkce.

Funkce je matematický pojem, který odráží vztah mezi prvky množin. Můžeme říci, že funkce je „zákon“, podle kterého každý prvek jedné množiny (tzv doména definice ) je uveden do korespondence s některým prvkem jiné množiny (tzv rozsah hodnot ).

Matematický koncept funkce vyjadřuje intuitivní představu o tom, jak jedna veličina zcela určuje hodnotu jiné veličiny. Tedy hodnotu proměnné X jednoznačně definuje význam výrazu X 2, a hodnota měsíce jednoznačně určuje hodnotu měsíce následujícího, také jakákoliv osoba může být srovnávána s jinou osobou - svým otcem. Podobně některé předem vytvořené algoritmy vytvářejí určitá výstupní data na základě měnících se vstupních dat.

Metody pro specifikaci funkce

Analytická metoda

Funkce je matematický objekt, který je binární relací, která splňuje určité podmínky. Funkci lze zadat přímo jako množinu uspořádaných dvojic, například: existuje funkce . Tato metoda je však zcela nevhodná pro funkce na nekonečných množinách (což jsou obvyklé reálné funkce: mocninná, lineární, exponenciální, logaritmická atd.).

Chcete-li zadat funkci, použijte výraz: . přičemž X je proměnná, která prochází doménou definice funkce a y- rozsah hodnot. Tento záznam označuje přítomnost funkčního vztahu mezi prvky množin. X A y může procházet libovolnými soubory objektů jakékoli povahy. Mohou to být čísla, vektory, matice, jablka, barvy duhy. Vysvětlíme na příkladu:

Nechť je soubor jablko, letadlo, hruška, židle a mnoho muž, lokomotiva, náměstí. Definujme funkci f takto: (jablko, osoba), (letadlo, lokomotiva), (hruška, čtverec), (židle, osoba). Zavedeme-li proměnnou x procházející množinou a proměnnou y procházející množinou, lze zadanou funkci analyticky specifikovat jako: .

Číselné funkce lze zadat podobně. Například: kde x prochází množinou reálných čísel a definuje nějakou funkci f. Je důležité pochopit, že výraz sám o sobě není funkcí. Funkce jako objekt je množina (uspořádaných dvojic). A tento výraz jako objekt je rovností dvou proměnných. Definuje funkci, ale není jednou.

V mnoha odvětvích matematiky je však možné pomocí f(x) označit jak funkci samotnou, tak i analytický výraz, který ji definuje. Tato syntaktická konvence je mimořádně pohodlná a oprávněná.

Grafická metoda

Numerické funkce lze také zadat pomocí grafu. Nechť je reálná funkce n proměnných.

Uvažujme nějaký (n+1)-rozměrný lineární prostor nad polem reálných čísel (protože funkce je reálná). Zvolme v tomto prostoru libovolný základ (). Každý bod funkce je spojen s vektorem: . Budeme mít tedy množinu lineárních prostorových vektorů odpovídajících bodům dané funkce podle zadaného pravidla. Body odpovídajícího afinního prostoru budou tvořit určitou plochu.

Vezmeme-li euklidovský prostor volných geometrických vektorů (směrovaných segmentů) jako lineární prostor a počet argumentů funkce f nepřesáhne 2, lze zadanou množinu bodů vizuálně znázornit ve formě kresby (grafu ). Pokud se navíc původní báze považuje za ortonormální, získáme „školní“ definici grafu funkce.

Pro funkce 3 a více argumentů není tato reprezentace použitelná kvůli nedostatku geometrické intuice vícerozměrných prostorů.

Pro takové funkce však lze přijít s vizuální semi-geometrickou reprezentací (například každá hodnota čtvrté souřadnice bodu může být spojena s určitou barvou v grafu)

Proporcionální veličiny. Pokud proměnné y A x jsou přímo úměrné

y = k x,

Kde k- konstantní hodnota ( faktor proporcionality).

Plán přímá úměrnost– přímka procházející počátkem souřadnic a tvořící přímku s osou Xúhel, jehož tečna je rovna k: opálení = k(obr. 8). Proto se také nazývá koeficient proporcionality sklon. Obrázek 8 ukazuje tři grafy pro k = 1/3, k= 1 a k = 3 .

Lineární funkce. Pokud proměnné y A X souvisí rovnicí 1. stupně:

A x + B y = C ,

kde je alespoň jedno z čísel A nebo B není roven nule, pak graf této funkční závislosti je přímka. Li C= 0, pak projde počátkem, jinak ne. Grafy lineárních funkcí pro různé kombinace A,B,C jsou znázorněny na obr.9.

Inverzní úměrnost. Pokud proměnné y A x jsou nepřímo úměrné, pak je funkční vztah mezi nimi vyjádřen rovnicí:

y = k / X,

Kde k- konstantní hodnota.

Inverzně proporcionální graf – hyperbola(obr. 10). Tato křivka má dvě větve. Hyperboly jsou získány, když se kruhový kužel protíná s rovinou (pro kuželosečky viz část „Kužel“ v kapitole „Stereometrie“). Jak je znázorněno na obr. 10, součin souřadnic bodů hyperboly je konstantní hodnota, v našem příkladu rovna 1. V obecném případě je tato hodnota rovna k, což vyplývá z rovnice hyperboly: xy = k.

Hlavní vlastnosti a vlastnosti hyperboly:

X 0, rozsah: y 0 ;

Funkce je monotónní (klesající) při X< 0a v x> 0, ale ne

celkově monotónní díky bodu zlomu X = 0);

Neohraničená funkce, nespojitá v bodě X= 0, liché, neperiodické;

- Funkce nemá žádné nuly.

Kvadratická funkce. Toto je funkce: y = sekera 2 + bx + C, Kde a, b, c- trvalé, A b=C= 0 a y = sekera 2. Graf této funkce čtvercová parabola - OY, který se nazývá osa paraboly.Tečka Ó vrchol paraboly.

Kvadratická funkce. Toto je funkce: y = sekera 2 + bx + C, Kde a, b, c- trvalé, A 0. V nejjednodušším případě máme: b=C= 0 a y = sekera 2. Graf této funkce čtvercová parabola - křivka procházející počátkem souřadnic (obr. 11). Každá parabola má osu symetrie OY, který se nazývá osa paraboly.Tečka Ó nazýváme průsečík paraboly s její osou vrchol paraboly.

Graf funkce y = sekera 2 + bx + C- také čtvercová parabola stejného typu jako y = sekera 2, ale jeho vrchol neleží v počátku, ale v bodě se souřadnicemi:

Tvar a umístění čtvercové paraboly v souřadnicovém systému zcela závisí na dvou parametrech: koeficientu A na X 2 a diskriminační D:D=b 2 – 4ac. Tyto vlastnosti vyplývají z analýzy kořenů kvadratické rovnice (viz odpovídající část v kapitole „Algebra“). Všechny možné různé případy pro čtvercovou parabolu jsou na obr. 12.

Hlavní charakteristiky a vlastnosti čtvercové paraboly:

Rozsah definice funkce:  < X+ (tj. X R), a oblast

hodnoty: … (Odpovězte si na tuto otázku sami!);

Funkce jako celek není monotónní, ale vpravo nebo vlevo od vrcholu

chová se jako monotónní;

Funkce je neomezená, spojitá všude, i když b = C = 0,

a neperiodické;

- na D< 0 не имеет нулей.

Exponenciální funkce. Funkce y = a x, Kde A- volá se kladné konstantní číslo exponenciální funkce.Argument X přijímá jakékoli platné hodnoty; funkce jsou považovány za hodnoty pouze kladná čísla, protože jinak máme vícehodnotovou funkci. Ano, funkce y = 81X má v X= 1/4 čtyř různých hodnot: y = 3, y = 3, y = 3 i A y = 3 i(Zkontrolujte prosím!). Ale považujeme to pouze za hodnotu funkce y= 3. Grafy exponenciální funkce pro A= 2 a A= 1/2 jsou uvedeny na obr. 17. Procházejí bodem (0, 1). Na A= 1 máme graf přímky rovnoběžné s osou X, tj. funkce se změní na konstantní hodnotu rovnou 1. Když A> 1 exponenciální funkce roste a při 0< A < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Rozsah definice funkce:  < X+ (tj. X R);

rozsah: y> 0 ;

Funkce je monotónní: zvyšuje se s A> 1 a klesá na 0< A < 1;

- Funkce nemá žádné nuly.

Logaritmická funkce. Funkce y=log a x, Kde A– volá se konstantní kladné číslo, které se nerovná 1 logaritmický. Tato funkce je inverzní k exponenciální funkci; její graf (obr. 18) získáme otočením grafu exponenciální funkce kolem sečny 1. souřadnicového úhlu.

Hlavní charakteristiky a vlastnosti logaritmické funkce:

Rozsah definice funkce: X> 0 a rozsah hodnot:  < y+

(tj. y R);

Toto je monotónní funkce: zvyšuje se jako A> 1 a klesá na 0< A < 1;

Funkce je neomezená, všude spojitá, neperiodická;

Funkce má jednu nulu: X = 1.

Goniometrické funkce. Při konstrukci goniometrických funkcí používáme radián míra úhlů.Poté funkce y= hřích X je znázorněno grafem (obr. 19). Tato křivka se nazývá sinusoida.

Graf funkce y= cos X znázorněné na obr. 20; to je také sinusovka vyplývající z pohybu grafu y= hřích X podél osy X doleva o 2

Z těchto grafů jsou zřejmé charakteristiky a vlastnosti těchto funkcí:

Doména:  < X+ rozsah hodnot: 1 y +1;

Tyto funkce jsou periodické: jejich perioda je 2;

Omezené funkce (| y| , všude kontinuální, ne monotónní, ale

mající tzv intervaly monotónnosti, uvnitř kterého jsou

chovat se jako monotónní funkce (viz grafy na obr. 19 a obr. 20);

Funkce mají nekonečný počet nul (další podrobnosti viz sekce

"trigonometrické rovnice").

Funkční grafy y= opálení X A y=dětská postýlka X jsou znázorněny na obr. 21 a obr. 22, v tomto pořadí.

Z grafů je zřejmé, že tyto funkce jsou: periodické (jejich perioda ,

neomezené, obecně ne monotónní, ale mají intervaly monotónnosti

(které?), nespojité (jaké body nespojitosti tyto funkce mají?). Kraj

definice a rozsah hodnot těchto funkcí:

Funkce y= Arcin X(obr.23) a y= Arccos X(obr. 24) vícehodnotový, neomezený; jejich definiční obor, respektive rozsah hodnot: 1 X+1 a  < y+ . Protože tyto funkce jsou vícehodnotové, nedělejte to

uvažovány v elementární matematice, jejich hlavní hodnoty jsou považovány za inverzní goniometrické funkce: y= arcsin X A y= arccos X; jejich grafy jsou na obr. 23 a obr. 24 zvýrazněny tlustými čarami.

Funkce y= arcsin X A y= arccos X mají následující vlastnosti a vlastnosti:

Obě funkce mají stejný definiční obor: 1 X +1 ;

jejich rozsah hodnot:  /2 y/2 pro y= arcsin X a 0 y Pro y= arccos X;

(y= arcsin X– zvýšení funkce; y= arccos X - klesající);

Každá funkce má jednu nulu ( X= 0 pro funkci y= arcsin X A

X= 1 pro funkci y= arccos X).

Funkce y= Arktan X(obr.25) a y= Arccot X(obr. 26) - vícehodnotové, neomezené funkce; jejich doména definice:  X+ . Jejich hlavní významy y= arktan X A y= arccot X jsou považovány za inverzní goniometrické funkce; jejich grafy jsou na obr. 25 a obr. 26 zvýrazněny tučnými větvemi.

Funkce y= arktan X A y= arccot X mají následující vlastnosti a vlastnosti:

Obě funkce mají stejnou definiční doménu:  X + ;

jejich rozsah hodnot:  /2<y < /2 для y= arktan X a 0< y < для y= arccos X;

Funkce jsou omezené, neperiodické, spojité a monotónní

(y= arktan X– zvýšení funkce; y= arccot X - klesající);

Pouze funkce y= arktan X má jedinou nulu ( X= 0);

funkce y= arccot X nemá nuly.

Složení funkcí

Jsou-li zadány dvě mapy a , kde , pak má smysl „mapa mezi koncovými body“ od do , daná vzorcem , která se nazývá složení funkcí a a je označena .

obr. 1.30 Zobrazení od konce do