Sčítání translačních a rotačních pohybů. Pohyb šroubu

Pohyb vpřed,
- rotace kolem pevné osy,
- plochý pohyb,
- kulový pohyb,
- volný pohyb.

Translační pohyb tuhého tělesa - je to pohyb, při kterém jakákoli přímka spojená s tělem během jeho pohybu zůstává rovnoběžná s jeho výchozí polohou.

Příklady translačního pohybu: pohyb pedálů jízdního kola vzhledem k jeho rámu, pohyb pístů ve válcích spalovacího motoru vzhledem k válcům, pohyb kabin ruských kol vzhledem k Zemi atd.

Problém kinematiky translačního pohybu tuhého tělesa je redukován na problém kinematiky hmotného bodu.

Teorém . Během translačního pohybu všechny body tělesa opisují totožné (při superponování se shodují) trajektorie a v každém časovém okamžiku mají stejnou rychlost a zrychlení co do velikosti a směru.

Důkaz.

Pokud vyberete dva body tuhého tělesa A A V, pak jsou poloměrové vektory těchto bodů vztaženy vztahem

Bodová trajektorie A je křivka, která je určena funkcí a trajektorií bodu B je křivka, která je určena funkcí. Trajektorie bodu B se získá přenesením trajektorie bodu A v prostoru podél vektoru AB, která v průběhu času nemění svou velikost a směr (AB = konst). V důsledku toho jsou trajektorie všech bodů tuhého tělesa stejné.

Rozlišujme výraz s ohledem na čas

Dostaneme

Rozlišujme rychlost s ohledem na čas a získáme výraz a B = a A. V důsledku toho jsou rychlosti a zrychlení všech bodů tuhého tělesa stejné.

Pro specifikaci translačního pohybu tuhého tělesa stačí zadat pohyb jednoho z jeho bodů

Rotační pohyb- druh mechanického pohybu. Když se hmotný bod otáčí, popisuje kružnici. Při rotačním pohybu absolutně tuhého tělesa popisují všechny jeho body kružnice umístěné v rovnoběžných rovinách. Středy všech kružnic leží na stejné přímce, kolmé k rovinám kružnic a nazývané osa rotace. Osa otáčení může být umístěna uvnitř těla nebo mimo něj. Osa rotace v daném referenčním systému může být buď pohyblivá, nebo stacionární. Například v referenční soustavě spojené se Zemí je osa rotace rotoru generátoru v elektrárně stacionární.

Volbou určitých os rotace můžete získat komplexní rotační pohyb - sférický pohyb, kdy se body tělesa pohybují po koulích. Při rotaci kolem pevné osy, která neprochází středem tělesa nebo rotujícím materiálovým bodem, se rotační pohyb nazývá kruhový.

Rotace je charakterizována úhlem měřeným ve stupních nebo radiánech, úhlovou rychlostí (měřenou v rad/s) a úhlovým zrychlením (jednotka rad/s²).

6. Vztah mezi úhlovým a lineárním parametrem

Pro změnu vektoru poloměru nakresleného do bodu A z libovolného bodu O na ose rotace tělesa máme . Rozdělme obě strany tohoto výrazu s přihlédnutím k tomu, že a , - Eulerův vzorec.

Modul rychlosti. Zjistěme celkové zrychlení bodu A z Eulerova vzorce pomocí pravidla pro derivování součinu dvou funkcí nebo .

Pojďme určit, který člen představuje normálové a které tečné zrychlení:

- druhé období, - první termín;

nebo, uvažovat jinak: protože osa rotace je nehybná, pak - toto je; -

Tyto projekce rovnat se ; ,

A modul plné akcelerace - .

Celkové vektory zrychlení bodů tuhého tělesa ležících na stejném poloměru nakresleném kolmo k ose rotace jsou vzájemně rovnoběžné a jejich modul se zvyšuje úměrně vzdálenosti od osy. Úhel charakterizuje směr vzhledem k poloměru a je roven

, to nezávisí na .

Tak, lineární a úhlové parametry spolu souvisí následujícím způsobem :

Můžete provést následující analogie mezi translačními a rotačními typy pohybu: so, with: , ; na : , .

7. Dynamika. Hmotnost a hybnost tělesa. Základní zákony dynamiky.

Dynamika – toto je obor mechaniky, který studuje pohyb těles pod vlivem sil, které na ně působí. Při studiu veličin, které jsou charakterizovány nejen velikostí, ale i směrem (například rychlost, zrychlení, síla atd.), se využívá jejich vektorový obrázek.

Hmotnost

Hmotnost- fyzikální veličina, která je mírou setrvačnosti těles ( inertní hmota) a jejich gravitační vlastnosti ( gravitační hmotnost)

Setrvačnost - poddajnost tělesa změnám jeho rychlosti (velikosti nebo směru).

Jednotky hmotnosti v SI:

Vlastnosti hmoty:
- aditivita: - hmotnost soustavy je rovna součtu hmotností jejích jednotlivých prvků;
- nezávislost na rychlosti;
- stálost hmoty pro izolovaný systém těles a nezávislost na procesech v nich probíhajících: - zákon zachování hmoty.

Tělesný impuls

- hybnost(podle Newtona) ; puls(moderní název).

Klasická dynamika v mechanice (hlavní odvětví mechaniky) je založena na třech Newtonových zákonech.

Newtonův první zákon: každý hmotný bod (těleso) si zachovává klidový nebo rovnoměrný přímočarý pohyb do dopad z jiných těl ji nedonutí tento stav změnit.

Touha tělesa udržet si klidový stav nebo rovnoměrný přímočarý pohyb se nazývá setrvačnost. Proto se také nazývá první Newtonův zákon zákon setrvačnosti.

Mechanický pohyb je relativní a jeho povaha závisí na vztažné soustavě. První Newtonův zákon není splněn v každém referenčním rámci a nazýváme ty systémy, vůči nimž je splněn inerciální referenční systémy.

Inerciální referenční systém je referenční systém, vůči kterému je hmotný bod, bez vnějších vlivů, buď v klidu, nebo se pohybují rovnoměrně a přímočaře. První Newtonův zákon uvádí existenci inerciálních vztažných soustav.

Ze zkušenosti je známo, že pod stejnými vlivy mění různá tělesa rozdílně rychlost svého pohybu, tj. jinými slovy nabývají různá zrychlení. Zrychlení závisí nejen na velikosti nárazu, ale také na vlastnostech samotného tělesa (jeho hmotnosti).

Pro popis vlivů zmíněných v prvním Newtonově zákonu je zaveden pojem síla. Pod vlivem sil

tělesa buď mění rychlost pohybu, tj. nabývají zrychlení (dynamický projev sil), nebo se deformují, tj. mění svůj tvar a velikost (statický projev sil).

V každém časovém okamžiku je síla charakterizována číselnou hodnotou, směrem v prostoru a bodu

aplikací. Tak, platnost - jedná se o vektorovou veličinu, která je mírou mechanického působení na těleso od jiných těles nebo polí, v důsledku čehož těleso nabývá zrychlení nebo mění svůj tvar a velikost.

Druhý Newtonův zákon- základní zákon dynamiky translačního pohybu - odpovídá na otázku, jak se mění mechanický pohyb hmotného bodu (tělesa) vlivem sil na něj působících.

Uvažujeme-li působení různých sil na stejné těleso, ukáže se, že zrychlení, které těleso získá, je vždy úměrné výslednici působících sil: .

Při působení stejné síly na tělesa s různou hmotností dochází k jejich zrychlení

ukázat se jinak, totiž

Vzhledem k tomu, že síla a zrychlení jsou vektorové veličiny, můžeme psát

Poměr vyjadřuje Druhý Newtonův zákon: zrychlení získané hmotným bodem (tělesem), úměrné síle, která jej způsobuje, shoduje se s ním ve směru a je nepřímo úměrné hmotnosti

hmotný bod (tělo).

V koeficientu úměrnosti SI Komu - 1. Poté nebo

Vzhledem k tomu, že hmotnost hmotného bodu (těla) je v klasické mechanice konstantní veličinou, lze ji do výrazu zahrnout pod derivační znaménko:

Tento výraz - obecnější formulace druhého Newtonova zákona: rychlost změny hybnosti hmotného bodu je rovna síle, která na něj působí. Výraz se také nazývá pohybová rovnice hmotného bodu.

Působí-li na těleso více sil, pak ve vzorcích níže F jejich výslednice je implikována

(vektorový součet sil).

Jednotkou síly SI je newton (N): 1 N je síla, která uděluje zrychlení 1 hmotnosti 1 kg ve směru síly: 1 N = 1 kg*. Druhý Newtonův zákon platí pouze v inerciálních vztažných soustavách.

Je určena interakce mezi hmotnými body (tělesy). Třetí Newtonův zákon: každé působení hmotných bodů (těl) na sebe má povahu interakce; síly, kterými na sebe hmotné body působí, jsou vždy stejné velikosti, opačně směřují a působí podél přímky spojující tyto body: , kde - síla působící na první hmotný bod od druhého; - síla působící na druhý hmotný bod od prvního. Tyto síly jsou aplikovány k různým hmotné body (těla), vždy jednat v párech a jsou síly stejné povahy.

Třetí Newtonův zákon, stejně jako první dva, platí pouze v inerciálních vztažných soustavách.

8. Klasifikace sil. Všechno je to o síle.

Platnost je vektorová veličina, která charakterizuje míru vlivu na hmotný bod v libovolném časovém okamžiku od jiných hmotných objektů.

Dimenze síla:

,

Výsledek všech sil, jednající ke zkoumanému bodu, podle princip superpozice

Kde je síla, kterou by těleso působilo na daný bod v nepřítomnosti jiná těla .

Akční linie síla – přímka, po které směřuje vektor síly.

Dvě síly stejně velké a opačně orientované– pokud při aplikaci na tělo nezpůsobují zrychlení.

Typy interakcí: gravitační, elektromagnetické, silné, slabé.

Dva projevy síly:
- statické (deformace těles),

Dynamický (změna rychlosti pohybu).

Klasifikace sil

- Základní síly:
a) gravitační,
b) elektrické.

- Přibližné síly:

a) gravitace;

b) třecí síla;

c) elastická síla (elastická síla);

d) odporová síla.

A) Gravitace v referenční soustavě spojené se Zemí,

Reakční síla zavěšení nebo podpora je síla, kterou ostatní tělesa působí na těleso a omezují jeho pohyb.

Tělesná hmotnost- síla, kterou těleso působí na podpěru nebo závěs.

Pokud je závěs nebo podpěra v klidu vzhledem k Zemi (nebo se pohybuje bez zrychlení):

b) Třecí síla

1) vnější (vyskytuje se v místech dotyku těles a brání jejich relativnímu pohybu);

Kluzné tření (nastává, když se jedno těleso pohybuje dopředu po povrchu druhého);

Valivé tření (vzniká, když se jedno těleso odvaluje po povrchu druhého);

Statické tření (vyskytuje se při pokusu o pohyb);

2) vnitřní (vyskytuje se, když se části kapaliny nebo plynu pohybují)

Empirický zákon pro všechny typy vnějších třecích sil:

Kde je normálová tlaková síla přitlačující dotykové plochy k sobě, je součinitel kluzného tření (klid, odvalování), v závislosti na povaze a stavu ploch (drsnost atd.).

PROTI) Elastická síla

Kde je poloměrový vektor charakterizující posunutí hmotného bodu z rovnovážné polohy, je koeficient úměrnosti pohybu s proměnnou hmotností.

t raketová hmota T, a její rychlost proti, pak po čase dt T - dm a rychlost se vyrovná v+dv. dt

Kde A -

Druhý termín na pravé straně se nazývá reaktivní síla Fp. Li A naproti proti směru, pak raketa zrychluje, a pokud se shoduje s proti, pak se to zpomalí. Tak jsme dostali pohybová rovnice tělesa o proměnné hmotnosti , kterou jako první odvodil I. B. Meshchersky (1859-1935):

kde- Reaktivní síla, který vzniká v důsledku působení přiložené (oddělené) hmoty na těleso.

10. Pohyb tělesa s proměnnou hmotností. Ciolkovského vzorec.

Pohyb některých těles je doprovázen změnou jejich hmotnosti, např. hmotnost rakety klesá v důsledku výronu plynů vznikajících při spalování paliva apod. Tento pohyb je tzv. pohyb s proměnlivou hmotností.

Odvoďme pohybovou rovnici tělesa o proměnné hmotnosti na příkladu pohybu rakety. Pokud v tuto chvíli t raketová hmota T, a její rychlost proti, pak po čase dt jeho hmotnost se sníží o dm a vyrovná se T - dm a rychlost se vyrovná v+dv. Změna hybnosti systému v průběhu času dt

Kde A - rychlost proudění plynu vzhledem k raketě.

Pokud na systém působí vnější síly, pak buď

Za předpokladu F = 0 a za předpokladu, že rychlost emitovaných plynů vzhledem k raketě je konstantní (raketa se pohybuje přímočaře), dostaneme , z čehož

Hodnota integrační konstanty S určíme z výchozích podmínek. Pokud je v počátečním okamžiku rychlost rakety nulová a její startovací hmotnost , Že C= . Proto,

Tento vztah se nazývá Ciolkovského vzorec. Ukazuje, že: 1) čím větší je konečná hmotnost rakety, tím větší by měla být startovací hmotnost rakety; 2) čím větší je rychlost výtoku plynu, tím větší může být konečná hmotnost pro danou startovací hmotnost rakety.

11. Dynamika rotačního pohybu tuhého tělesa.

Základní zákon.

pohyb tuhého tělesa, stejně jako pohyb bodu, může být složitý.

Nechte těleso provést nějaký pohyb vzhledem k souřadnicovému systému 0 X 1 y 1 z 1, který se naopak pohybuje vzhledem k pevným osám 0 xyz.Relativní pohyb tělesa je jeho pohyb vzhledem k pohyblivému souřadnému systému 0 X 1 y 1 z 1. Zjistit přenosný Pohyb tělesa v každém časovém okamžiku by měl být považován za pevně připojený k pohyblivé vztažné soustavě a pohyb, který těleso vykoná s pohyblivou vztažnou soustavou vzhledem k pevné soustavě, bude přenosný pohyb. Pohyb tělesa vzhledem k pevnému souřadnému systému se nazývá absolutní.

Hlavním úkolem kinematiky komplexního pohybu tuhého tělesa je stanovení vztahů mezi kinematickými charakteristikami absolutního, relativního a translačního pohybu. Komplexní pohyb tuhého tělesa se může skládat z translačních a rotačních pohybů nebo může být získán přidáním translačních a rotačních pohybů. V některých kinematických úlohách je daný komplexní pohyb tuhého tělesa rozložen na složky pohybu (analýza); v jiných je požadováno stanovení složitého pohybu v důsledku přidání jednodušších (syntéza). Jak při analýze, tak při syntéze pohybů hovoříme o rozkladu a sčítání pohybů uvažovaných v daném okamžiku (okamžité pohyby).

Sčítání translačních pohybů tuhého tělesa

Nechť se tuhé těleso současně účastní dvou okamžitě translačních pohybů, z nichž jeden je posuvný s rychlostí proti 1, druhý - přenosný s rychlostí proti 2 (obrázek 2.73). Vyberme bod M těla. Pojďme najít absolutní rychlost bodu M

proti A = proti r + proti E = proti 1 + proti 2 . (2.113)

Protože jak relativní, tak přenosný pohyb tuhého tělesa jsou okamžitě translační, relativní, přenosné, a tedy podle vzorce (2.113), absolutní rychlosti všech bodů tělesa budou v každém časovém okamžiku navzájem stejné. (stejné velikosti a rovnoběžné ve směru), tzn. absolutní pohyb tělesa je také okamžitě translační.

Je zřejmé, že tento závěr je aplikovatelný na komplexní pohyb tuhého tělesa, který se skládá ze tří nebo více okamžitých translačních pohybů, pak v obecném případě

Takže v důsledku sečtení okamžitých translačních pohybů tuhého tělesa je výsledný pohyb okamžitě translační.

Komentář. Okamžitý translační pohyb tuhého tělesa se liší od translačního pohybu v tom, že u translačního pohybu v každém časovém okamžiku jsou rychlosti a zrychlení všech bodů tělesa stejné a u okamžitého translačního pohybu v daném časovém okamžiku pouze rychlosti všech body těla jsou stejné.

66, 67 Přidání rotací kolem rovnoběžných os

Uvažujme případ, kdy relativním pohybem tělesa je rotace

s úhlovou rychlostí kolem osy upevněné na klice (obr. 1a) a přenosné - otáčením kliky kolem osy rovnoběžné s , s úhlovou rychlostí . Potom bude pohyb tělesa planparalelní vzhledem k rovině kolmé k osám.

Předpokládejme, že rotace směřují jedním směrem. Znázorněme příčný řez tělesem rovinou kolmou k osám (obr. 1 b). Stopy os v řezu budou označeny písmeny a . Pak a. V tomto případě jsou vektory vzájemně rovnoběžné, kolmé a nasměrované různými směry. Potom je bod okamžitým středem rychlostí, a tedy osou rovnoběžnou s osami a je okamžitou osou otáčení. K určení úhlové rychlosti absolutní rotace tělesa kolem osy a polohy samotné osy, tzn. bodů, použijeme vlastnost středu okamžité rychlosti

.

Dosazením hodnot a do těchto rovností nakonec získáme

Takže při sečtení dvou rotací směřujících stejným směrem kolem rovnoběžných os bude výsledným pohybem tělesa okamžitá rotace s absolutní rychlostí kolem okamžité osy rovnoběžné s daty, jejíž poloha je určena proporcemi (2).

V průběhu času okamžitá osa rotace mění svou polohu a popisuje válcovou plochu.

Uvažujme nyní případ, kdy rotace směřují různými směry (obr. 2).

Předpokládejme, že . Pak, uvažování jako v předchozím případě, pro úhlovou rychlost absolutního pohybu tělesa kolem osy a polohu osy samotné získáme

Při sečtení dvou rotací směrovaných v různých směrech kolem rovnoběžných os tedy bude výsledným pohybem tělesa okamžitá rotace s absolutní úhlovou rychlostí kolem okamžité osy, jejíž poloha je určena proporcemi (4).

Všimněte si, že v tomto případě bod dělí vzdálenost mezi rovnoběžnými osami externě.

Uvažujme zvláštní případ, kdy rotace kolem rovnoběžných os směřují různými směry, ale v absolutní hodnotě (obr. 3).

Takový soubor rotací se nazývá pár rotací a vektory tvoří pár úhlových rychlostí. V tomto případě dostaneme a , tedy = . Pak je okamžitý střed rychlostí v nekonečnu a všechny body tělesa v daném časovém okamžiku mají stejné rychlosti.

V důsledku toho bude výsledný pohyb tělesa translační (nebo okamžitě translační) pohyb s rychlostí číselně rovnou a směrovanou kolmo k rovině procházející vektory a . Dvojice rotací je tedy ekvivalentní okamžitému translačnímu pohybu s rychlostí rovnou momentu dvojice úhlových rychlostí těchto rotací.

Příkladem dvojice úhlových rychlostí je pohyb pedálu jízdního kola vzhledem k rámu jízdního kola (obr. 4).

Tento pohyb je kombinací přenosné rotace klikou kolem osy a relativní rotace pedálu vzhledem ke klice kolem osy. Během celého pohybu zůstává pedál rovnoběžný se svou původní polohou, tzn. dělá pohyb vpřed.

Podívejme se na pár příkladů.

Příklad 1. Klika se otáčí kolem osy ve směru hodinových ručiček s úhlovou rychlostí a disk o poloměru se otáčí kolem osy ve směru hodinových ručiček se stejnou úhlovou rychlostí vzhledem ke klice. Najděte velikost a směr absolutních rychlostí bodů a (obr. 5).

Řešení. Vzhledem k tomu, že úhlové rychlosti přenosného a relativního otáčení jsou stejné velikosti a směřují stejným směrem, leží okamžitý střed otáčení kotouče uprostřed mezi a , tzn. . Velikost absolutní úhlové rychlosti rotace disku kolem bodu je rovna . Odtud najdeme:

, ,

, .

Příklad 2. Klika se otáčí kolem osy s úhlovou rychlostí. Poloměrové ozubené kolo je volně namontováno na klikovém čepu a v záběru se stacionárním poloměrovým ozubením. Najděte absolutní úhlovou rychlost ozubeného kola a jeho úhlovou rychlost vzhledem ke klice (obr. 6).

Řešení. Jelikož je ozubené kolo v záběru se stojícím kolem, je absolutní rychlost bodu záběru ozubeného kola s tímto kolem nulová, tzn. bod je okamžitý střed otáčení ozubeného kola. Odtud nebo ,

Všimněte si, že směr otáčení ozubeného kola se shoduje se směrem otáčení kliky.

Z rovnosti pak zjistíme absolutní úhlovou rychlost ozubeného kola

POHYB ŠROUBŮ- pohyb tuhého tělesa, sestávajícího z přímočarého pohyb vpřed při určité rychlosti A rotační pohyb s určitou úhlovou rychlostí kolem osy aa 1, rovnoběžně se směrem postulátu. rychlost (obr. 1). Těleso provádějící stacionární V.D., tj. V.D., se kterým směr osy aa 1 zůstává beze změny, tzv šroub; osa aa 1 volal osa šroubu; vzdálenost ujetá kterýmkoli bodem těla ležícím na ose aa 1, během jedné revoluce, tzv. krok hšroub, hodnota je parametr šroubu. Pokud je vektor směrován ve směru, ze kterého je vidět, že rotace těla probíhá proti směru hodinových ručiček, pak s vektory nasměrovanými v jednom směru se nazývá šroub. vpravo a v různých směrech - vlevo.

Rychlost a zrychlení jakéhokoli bodu M tělo vzdálené od osy aa 1 na dálku r, jsou číselně stejné

Když parametr R konstantní, stoupání vrtule je také konstantní. V tomto případě každý bod M tělo neleží na ose aa 1, popisuje šroubovicovou čáru, tečna k řezu v libovolném bodě tvoří s rovinou yz, kolmo k ose aa 1, úhel Jakýkoli složitý pohyb tuhého tělesa je obecně složen z řady elementárních nebo okamžitých V.D Osa okamžitého V.D se nazývá. okamžitá osa šroubu. Na rozdíl od osy stacionárního vertikálního pohybu okamžitá spirálová osa plynule mění svou polohu jak vůči vztažné soustavě, ve které je pohyb tělesa uvažován, tak vůči tělesu samotnému, čímž tvoří 2 pravítko (dotyk ale přímka) ) plochy, tzv respektive pevné a pohyblivé axoidy (obr. 2). Geom. V obecném případě lze obraz pohybu tělesa získat rolováním s podélným klouzáním pohyblivého axoidu po stacionárním axoidu, čímž se provádí řada sekvencí. V. d., z něhož se skládá pohyb těla.