Obrázek ukazuje grafy y kx b. Lineární funkce

Přiřazení vlastností a grafů kvadratická funkce způsobit, jak ukazuje praxe, vážné potíže. To je poněkud zvláštní, protože kvadratická funkce se předává v 8. třídě a následně se celé první čtvrtletí 9. třídy „vytloukají“ vlastnosti paraboly a vykreslují se její grafy pro různé parametry.

Je to dáno tím, že nutí studenty stavět paraboly, prakticky nevěnují čas „čtení“ grafů, tedy neprocvičují porozumění informacím získaným z obrázku. Zřejmě se předpokládá, že po sestavení tuctu grafů chytrý student sám objeví a zformuluje vztah mezi koeficienty ve vzorci a vzhledem grafu. V praxi to nefunguje. K takovému zobecnění je potřeba seriózní zkušenost s matematickým minivýzkumem, kterou samozřejmě většina deváťáků nemá. Mezitím GIA navrhuje určit znaménka koeficientů přesně podle harmonogramu.

Nebudeme od školáků vyžadovat nemožné a jednoduše nabídneme některý z algoritmů pro řešení takových problémů.

Takže funkce formuláře y = ax 2 + bx + c se nazývá kvadratický, jeho grafem je parabola. Jak název napovídá, hlavním pojmem je sekera 2... To znamená A by neměla být nula, ostatní koeficienty ( b a S) se může rovnat nule.

Podívejme se, jak znaménka jejích koeficientů ovlivňují vzhled paraboly.

Nejjednodušší vztah pro koeficient A... Většina školáků sebevědomě odpovídá: „kdyby A> 0, pak větve paraboly směřují nahoru a pokud A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5 x 2 - 3 x + 1

PROTI v tomto případě A = 0,5

A teď pro A < 0:

y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto případě A = - 0,5

Vliv koeficientu S je také dostatečně snadné vysledovat. Představme si, že chceme najít hodnotu funkce v bodě X= 0. Dosaďte ve vzorci nulu:

y = A 0 2 + b 0 + C = C... Ukázalo se, že y = c... To znamená S je pořadnicí průsečíku paraboly s osou y. Tento bod lze obvykle snadno najít na grafu. A určit, zda leží nad nulou nebo pod. To znamená S> 0 nebo S < 0.

S > 0:

y = x 2 + 4 x + 3

S < 0

y = x 2 + 4 x - 3

V souladu s tím, pokud S= 0, pak parabola nutně projde počátkem:

y = x 2 + 4x

Obtížnější s parametrem b... Bod, ve kterém to najdeme, závisí nejen na b ale také od A... Toto je vrchol paraboly. Jeho úsečka (souřadnice podél osy X) se zjistí podle vzorce x v = - b / (2a)... Takto, b = - 2х v... To znamená, že postupujeme následovně: na grafu najdeme vrchol paraboly, určíme znaménko její úsečky, to znamená, že se podíváme vpravo od nuly ( x v> 0) nebo doleva ( x v < 0) она лежит.

To však není vše. Pozor si musíme dát i na znaménko koeficientu A... Tedy vidět, kam směřují větve paraboly. A teprve potom podle vzorce b = - 2х v identifikovat znamení b.

Podívejme se na příklad:

Větve směřují nahoru, což znamená A> 0, parabola protíná osu na pod nulou znamená S < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Proto b = - 2х v = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, S < 0.

Lineární funkce se nazývá funkce formuláře y = kx + b daný na množině všech reálných čísel. Tady k- sklon (skutečné číslo), b – volný termín (skutečné číslo), X Je nezávislá proměnná.

V konkrétním případě, pokud k = 0, dostaneme konstantní funkci y = b, jejímž grafem je přímka rovnoběžná s osou Ox procházející bodem se souřadnicemi (0; b).

Li b = 0, pak dostaneme funkci y = kx, který je přímá úměrnost.

b – délka segmentu, která je odříznuta čárou podél osy Oy, počítáno od počátku.

Geometrický význam koeficientu k – úhel sklonu přímka ke kladnému směru osy Ox se počítá proti směru hodinových ručiček.

Vlastnosti lineární funkce:

1) Definičním oborem lineární funkce je celá reálná osa;

2) Li k ≠ 0, pak rozsah hodnot lineární funkce je celá reálná osa. Li k = 0, pak se rozsah hodnot lineární funkce skládá z čísla b;

3) Rovnoměrnost a lichost lineární funkce závisí na hodnotách koeficientů k a b.

A) b ≠ 0, k = 0, proto, y = b - sudé;

b) b = 0, k ≠ 0, proto y = kx - liché;

C) b ≠ 0, k ≠ 0, proto y = kx + b je obecná funkce;

d) b = 0, k = 0, proto y = 0 - sudá i lichá funkce.

4) Lineární funkce nemá vlastnost periodicity;

5) Průsečíky se souřadnicovými osami:

Vůl: y = kx + b = 0, x = -b/k, tedy (-b / k; 0)- průsečík s osou úsečky.

oj: y = 0k + b = b, tedy (0; b)- průsečík se souřadnicovou osou.

Poznámka: Pokud b = 0 a k = 0, pak funkci y = 0 zmizí pro jakoukoli hodnotu proměnné X... Li b ≠ 0 a k = 0, pak funkci y = b nezmizí pro žádnou hodnotu proměnné X.

6) Na koeficientu k závisí intervaly konstantního znaménka.

A) k > 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

y = kx + b- je pozitivní na X z (-b / k; + ∞),

y = kx + b- je negativní na X z (-∞; -b / k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- je pozitivní na X z (-∞; -b / k),

y = kx + b- je negativní na X z (-b / k; + ∞).

C) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitivní v celé oblasti definice,

k = 0, b< 0; y = kx + b je negativní v celé doméně.

7) Intervaly monotonie lineární funkce závisí na koeficientu k.

k > 0, tedy y = kx + b se zvyšuje v celé oblasti definice,

k< 0 , tedy y = kx + b klesá v celé oblasti definice.

8) Grafem lineární funkce je přímka. K sestavení přímky stačí znát dva body. Poloha přímky v souřadnicové rovině závisí na hodnotách koeficientů k a b... Níže je tabulka, která to jasně ilustruje.

Lineární funkce je funkcí tvaru y = kx + b, kde x je nezávisle proměnná, kab jsou libovolná čísla.
Grafem lineární funkce je přímka.

1. Postavit funkční graf, potřebujeme souřadnice dvou bodů patřících do grafu funkce. Chcete-li je najít, musíte vzít dvě hodnoty x, dosadit je do rovnice funkce a z nich vypočítat odpovídající hodnoty y.

Například pro vykreslení funkce y = x + 2 je vhodné vzít x = 0 a x = 3, pak se souřadnice těchto bodů budou rovnat y = 2 a y = 3. Získáme body A (0; 2) a B (3; 3). Spojíme je a dostaneme graf funkce y = x + 2:

2. Ve vzorci y = kx + b se číslo k nazývá koeficient úměrnosti:
je-li k> 0, pak funkce y = kx + b roste
pokud k
Koeficient b ukazuje posun grafu funkce podél osy OY:
je-li b> 0, pak graf funkce y = kx + b získáme z grafu funkce y = kx posunutím jednotek b nahoru podél osy OY
pokud b
Níže uvedený obrázek ukazuje grafy funkcí y = 2x + 3; y = 1/2 x + 3; y = x + 3

Všimněte si, že ve všech těchto funkcích je koeficient k Nad nulou, a funkce jsou vzrůstající. Navíc, čím větší je hodnota k, tím větší je úhel sklonu přímky ke kladnému směru osy OX.

Ve všech funkcích b = 3 - a vidíme, že všechny grafy protínají osu OY v bodě (0; 3)

Nyní zvažte grafy funkcí y = -2x + 3; y = - 1/2 x + 3; y = -x + 3

Tentokrát ve všech funkcích koeficient k méně než nula, a funkcí pokles. Koeficient b = 3 a grafy, stejně jako v předchozím případě, protínají osu OY v bodě (0; 3)

Uvažujme grafy funkcí y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3

Nyní ve všech rovnicích funkcí jsou koeficienty k rovné 2. A máme tři rovnoběžné přímky.

Ale koeficienty b jsou různé a tyto grafy protínají osu OY v různých bodech:
Graf funkce y = 2x + 3 (b = 3) protíná osu OY v bodě (0; 3)
Graf funkce y = 2x (b = 0) protíná osu OY v bodě (0; 0) - počátku.
Graf funkce y = 2x-3 (b = -3) protíná osu OY v bodě (0; -3)

Pokud tedy známe znaménka koeficientů k a b, můžeme si hned představit, jak vypadá graf funkce y = kx + b.
Li k 0

Li k> 0 a b> 0, pak má graf funkce y = kx + b tvar:

Li k> 0 a b, pak má graf funkce y = kx + b tvar:

Li k, pak má graf funkce y = kx + b tvar:

Li k = 0, pak se funkce y = kx + b změní na funkci y = b a její graf vypadá takto:

Pořadnice všech bodů grafu funkce y = b se rovnají b If b = 0, pak graf funkce y = kx (přímá úměrnost) prochází počátkem:

3. Samostatně si všimneme grafu rovnice x = a. Grafem této rovnice je přímka rovnoběžná s osou OY, jejíž všechny body mají úsečku x = a.

Například graf rovnice x = 3 vypadá takto:
Pozornost! Rovnice x = a není funkce, takže odpovídá jedna hodnota argumentu různé významy funkce, která neodpovídá definici funkce.

4. Podmínka pro rovnoběžnost dvou přímek:

Graf funkce y = k 1 x + b 1 je rovnoběžný s grafem funkce y = k 2 x + b 2, jestliže k 1 = k 2

5. Podmínka pro kolmost dvou přímek:

Graf funkce y = k 1 x + b 1 je kolmý ke grafu funkce y = k 2 x + b 2, pokud k 1 * k 2 = -1 nebo k 1 = -1 / k 2

6. Průsečíky grafu funkce y = kx + b se souřadnicovými osami.

S osou OY. Úsečka libovolného bodu náležejícího k ose OY je nulová. Proto, abyste našli průsečík s osou OY, musíte do rovnice funkce místo x dosadit nulu. Dostaneme y = b. To znamená, že průsečík s osou OY má souřadnice (0; b).

S osou OX: Pořadnice libovolného bodu patřícího k ose OX je nula. Proto, abyste našli průsečík s osou OX, musíte do rovnice funkce místo y dosadit nulu. Dostaneme 0 = kx + b. Proto x = -b/k. To znamená, že průsečík s osou OX má souřadnice (-b / k; 0):

5. Monomiální se nazývá součin číselných a abecedních faktorů. Součinitel se nazývá číselný faktor monomiálu.

6. Chcete-li napsat monomial ve standardním tvaru, musíte: 1) Vynásobte číselné faktory a dejte jejich součin na první místo; 2) Vynásobte stupně se stejnými základy a výsledný produkt vložte za číselný faktor.

7. Polynom se nazývá algebraický součet několika monočlenů.

8. Chcete-li vynásobit jednočlen polynomem, je nutné vynásobit monočlen každým členem polynomu a výsledné součiny sečíst.

9. Chcete-li vynásobit polynom polynomem, je nutné vynásobit každý člen jednoho polynomu každým členem druhého mnohočlenu a výsledné součiny sečíst.

10. Přímou čáru můžete nakreslit libovolnými dvěma body a navíc pouze jedním.

11. Dvě přímky mají buď pouze jeden společný bod, nebo nemají společné body.

12. Říká se, že dva geometrické tvary jsou stejné, pokud se mohou překrývat.

13. Bod segmentu, který jej rozděluje na polovinu, tj. na dva stejné segmenty, se nazývá střed segmentu.

14. Paprsek vycházející z vrcholu úhlu a rozdělující jej na dva stejné úhly se nazývá sečna úhlu.

15. Zploštělý úhel je 180°.

16. Úhel se nazývá pravý úhel, pokud je 90°.

17. Úhel se nazývá ostrý, pokud je menší než 90°, tedy menší než pravý úhel.

18. Úhel se nazývá tupý, pokud je větší než 90°, ale menší než 180°, to znamená větší než pravý úhel, ale menší než rozvinutý úhel.

19. Dva rohy, ve kterých je jedna strana společná a další dvě jsou prodloužením jednoho druhého, se nazývají sousední.

20. Součet sousedních úhlů je 180°.

21. Dva rohy se nazývají svislé, pokud jsou strany jednoho rohu prodloužením stran druhého.

22. Vertikální úhly jsou stejné.

23. Dvě protínající se čáry se nazývají kolmé (nebo vzájemně

kolmé), pokud svírají čtyři pravé úhly.

24. Dvě přímky kolmé na třetí se neprotínají.

25 faktor polynomu- znamená jej znázornit jako součin několika monočlenů a polynomů.

26. Metody faktorizace polynomu:

a) odstranění společného činitele ze závorek,

b) použití vzorců pro zkrácené násobení,

c) způsob seskupování.

27. Chcete-li vyčlenit polynom faktorem společného faktoru mimo závorky, potřebujete:

a) najít tento společný faktor,

b) umístěte jej mimo závorky,

c) vydělte každý člen polynomu tímto faktorem a sečtěte získané výsledky.

Testy rovnosti pro trojúhelníky

1) Pokud se dvě strany a úhel mezi nimi jednoho trojúhelníku rovnají dvěma stranám a úhel mezi nimi jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky stejné.

2) Jsou-li strana a dva sousední úhly jednoho trojúhelníku shodné se stranou a dvěma sousedními úhly jiného trojúhelníku, pak jsou tyto trojúhelníky stejné.

3) Pokud se tři strany jednoho trojúhelníku rovnají třem stranám jiného trojúhelníku, pak jsou tyto trojúhelníky stejné.

Vzdělávací minimum

1. Faktorizace pomocí zkrácených násobicích vzorců:

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

2. Vzorce pro zkrácené násobení:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

3. Úsek spojující vrchol trojúhelníku se středem protější strany se nazývá medián trojúhelník.

4. Nazývá se kolmice vedená z vrcholu trojúhelníku k přímce obsahující opačnou stranu výška trojúhelník.

5. V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly na základně stejné.

6. V rovnoramenném trojúhelníku je osa vedená k základně středem a výškou.

7. Obvod volala geometrický obrazec, skládající se ze všech bodů roviny umístěných v dané vzdálenosti od tohoto bodu.

8. Segment spojující střed s libovolným bodem kružnice se nazývá poloměr kruhy .

9. Úsek spojující dva body kružnice se nazývá akord.

Tětiva procházející středem kružnice se nazývá průměr

10. Přímá úměrnost y = kx , kde X - nezávislé proměnné, Na - nenulové číslo ( Na - koeficient proporcionality).

11. Graf přímé úměrnosti Je přímka přes počátek.

12. Lineární funkce se nazývá funkce, kterou lze specifikovat vzorcem y = kx + b , kde X - nezávislé proměnné, Na a b - nějaká čísla.

13. Graf lineární funkce Je přímka.

14 X - argument funkce (nezávislá proměnná)

na - funkční hodnota (závislá proměnná)

15. Na b = 0 funkce má formu y = kx, jeho graf prochází počátkem.

Na k = 0 funkce má formu y = b, jeho graf je vodorovná čára procházející bodem ( 0; b).

Korespondence mezi grafy lineární funkce a znaménky koeficientů k a b

1.Nazývají se dvě přímky v rovině paralelní, pokud se nepřekrývají.