To, co se nazývá nuly kvadratické funkce. Jak postavit parabolu? Co je to parabola? Jak se řeší kvadratické rovnice? III. Případ, zobrazí se „c“

Funkce formuláře, kde se nazývá kvadratická funkce.

Plot kvadratické funkce - parabola.

Zvažte případy:

PŘÍPAD, KLASICKÝ PARABOL

Tj , ,

Pro sestavení vyplníme tabulku a do vzorce dosadíme hodnoty x:

Označíme body (0; 0); (1; 1); (-1; 1) atd. na souřadnicové rovině (čím menší krok, tím bereme hodnoty x (v tento případ krok 1) a čím více x hodnot vezmeme, tím bude křivka hladší), dostaneme parabolu:

Je snadné vidět, že když vezmeme případ ,,, tj. Dostaneme parabolu symetrickou kolem osy (oh). Je snadné to ověřit vyplněním podobné tabulky:

II PŘÍPAD, „a“ OD JINÉHO

Co se stane, když si vezmeme ,,? Jak se změní chování paraboly? With title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

První obrázek (viz výše) jasně ukazuje, že body z tabulky pro parabolu (1; 1), (-1; 1) byly transformovány na body (1; 4), (1; -4), tj. se stejnými hodnotami se souřadnice každého bodu vynásobí 4. To se stane se všemi klíčovými body v původní tabulce. Uvažujeme obdobně v případě obrázků 2 a 3.

A když se parabola „zvětší“ než parabola:

Shrňme:

1)Znaménko koeficientu odpovídá za směr větví. With title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolutní hodnota koeficient (modul) je zodpovědný za „expanzi“, „kontrakci“ paraboly. Čím větší, tím užší je parabola, tím menší | a |, tím širší je parabola.

III PŘÍPAD, „C“ SE objevuje

Nyní pojďme do hry (tj. Zvažte případ, kdy), budeme uvažovat paraboly formuláře. Není těžké uhodnout (vždy se můžete podívat na tabulku), že parabola se bude posouvat podél osy nahoru nebo dolů, v závislosti na znaménku:

IV PŘÍPAD, „b“ SE ZJISTÍ

Kdy se parabola „odlomí“ od osy a nakonec „kráčí“ po celé rovině souřadnic? Když to přestane být stejné.

Tady, abychom vytvořili parabolu, potřebujeme vzorec pro výpočet vrcholu: , .

Takže v tomto bodě (stejně jako v bodě (0; 0) nového souřadnicového systému) postavíme parabolu, která je již v našich silách. Pokud máme co do činění s případem, pak odsuneme jeden segment jednotky doprava, jeden nahoru, - výsledný bod je náš (podobně, krok doleva, krok nahoru je náš bod); pokud máme do činění například s, pak odsuneme jeden segment jednotky doprava, dva nahoru atd.

Například vrchol paraboly:

Nyní je hlavní věcí pochopit, že na tomto vrcholu postavíme parabolu podle vzoru paraboly, protože v našem případě.

Při konstrukci paraboly po nalezení souřadnic vrcholu je velmije vhodné vzít v úvahu následující body:

1) parabola určitě projde bodem ... Ve skutečnosti dosadíme-li do vzorce x = 0, získáme to. To znamená, že souřadnice průsečíku paraboly s osou (oh) je. V našem příkladu (výše) protíná parabola souřadnici v bodě, protože.

2) osa symetrie paraboly je přímka, takže všechny body paraboly budou kolem ní symetrické. V našem příkladu okamžitě vezmeme bod (0; -2) a vytvoříme jej parabolou symetrickou kolem osy symetrie, dostaneme bod (4; -2), kterým bude parabola procházet.

3) Rovnicí rovnice zjistíme průsečíky paraboly s osou (oh). Abychom to udělali, vyřešíme rovnici. V závislosti na diskriminaci obdržíme jeden (,), dva (title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} ... V předchozím příkladu máme kořen diskriminačního - ne celé číslo, při konstrukci nemá smysl, abychom našli kořeny, ale jasně vidíme, že budeme mít dva průsečíky s osou (oh) ( since title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Pojďme tedy zacvičit

Algoritmus pro konstrukci paraboly, pokud je uvedena ve formuláři

1) určíme směr větví (a> 0 - nahoru, a<0 – вниз)

2) vyhledejte souřadnice vrcholu paraboly podle vzorce.

3) najdeme průsečík paraboly s osou (oy) podél volného členu, vytvoříme bod symetrický k dané parabole vzhledem k ose symetrie (je třeba poznamenat, stane se, že tento bod není rentabilní značka, například protože hodnota je velká ... tento bod přeskočíme ...)

4) V nalezeném bodě - vrcholu paraboly (jako v bodě (0; 0) nového souřadného systému) postavíme parabolu. If title = "(! LANG: Vykreslen QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Průsečíky paraboly s osou (oy) (pokud se ještě „nevynořily“ sami) najdeme řešením rovnice

Příklad 1

Příklad 2

Poznámka 1. Pokud je nám parabola původně dána ve formě, kde jsou nějaká čísla (například), pak bude ještě snazší ji sestavit, protože jsme již dostali souřadnice vrcholu. Proč?

Pojďme vzít čtvercový trojčlen a vyberte v něm celý čtverec: Podívejte, tak to máme. Dříve jsme nazývali vrchol paraboly, tedy nyní ,.

Například, . Označíme vrchol paraboly na rovině, chápeme, že větve směřují dolů, parabola je rozšířena (relativně). To znamená, že provádíme body 1; 3; čtyři; 5 z algoritmu konstrukce paraboly (viz výše).

Poznámka 2. Pokud je parabola dána ve formě podobné tomuto (tj. Je reprezentována jako součin dvou lineárních faktorů), pak okamžitě vidíme průsečíky paraboly s osou (oh). V tomto případě - (0; 0) a (4; 0). U ostatních jednáme podle algoritmu a rozšiřujeme závorky.

U mnoha problémů je nutné vypočítat maximální nebo minimální hodnotu kvadratické funkce. Maximum nebo minimum lze zjistit, pokud je původní funkce napsána ve standardním tvaru: nebo prostřednictvím souřadnic vrcholu paraboly: f (x) = a (x - h) 2 + k (\ Displaystyle f (x) = a (x-h) ^ (2) + k)... Navíc lze pomocí matematických operací vypočítat maximum nebo minimum jakékoli kvadratické funkce.

Kroky

Kvadratická funkce je zapsána ve standardním tvaru

Zapište si funkci do standardního formuláře. Kvadratická funkce je funkce, jejíž rovnice zahrnuje proměnnou x 2 (\ Displaystyle x ^ (2))... Rovnice může, ale nemusí zahrnovat proměnnou x (\ Displaystyle x)... Pokud rovnice obsahuje proměnnou s exponentem větším než 2, nepopisuje kvadratickou funkci. Pokud je to nutné, přineste podobné členy a přeskupte je tak, aby psali funkci ve standardní podobě.

Graf kvadratické funkce je parabola. Větve paraboly směřují nahoru nebo dolů. Pokud je koeficient a (\ Displaystyle a) s proměnnou x 2 (\ Displaystyle x ^ (2)) a (\ Displaystyle a)

Vypočítejte -b / 2a. Hodnota - b 2 a (\ Displaystyle - (\ frac (b) (2a))) Je souřadnice x (\ Displaystyle x) vrcholy paraboly. Pokud je kvadratická funkce napsána ve standardním tvaru A X 2 + B X + C (\ Displaystyle ax ^ (2) + bx + c), použijte koeficienty na x (\ Displaystyle x) a x 2 (\ Displaystyle x ^ (2)) následujícím způsobem:

• Ve funkci jsou koeficienty a = 1 (\ Displaystyle a = 1) a b = 10 (\ Displaystyle b = 10)
• Jako druhý příklad zvažte funkci. Tady a = - 3 (\ Displaystyle a = -3) a b = 6 (\ Displaystyle b = 6)... Proto vypočítejte souřadnici „x“ vrcholu paraboly následujícím způsobem:

1. Najděte odpovídající hodnotu pro f (x). Nahraďte nalezenou hodnotu „x“ do původní funkce, abyste našli odpovídající hodnotu pro f (x). Takto najdete minimum nebo maximum funkce.

   • V prvním příkladu f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\ Displaystyle f (x) = x ^ (2) + 10x-1) vypočítali jste, že souřadnice x vrcholu paraboly je X = - 5 (\ Displaystyle x = -5)... V původní funkci místo x (\ Displaystyle x) náhradní - 5 (\ Displaystyle -5)
   • Ve druhém příkladu f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\ Displaystyle f (x) = - 3x ^ (2) + 6x-4) zjistili jste, že souřadnice x vrcholu paraboly je x = 1 (\ Displaystyle x = 1)... V původní funkci místo x (\ Displaystyle x) náhradní 1 (\ Displaystyle 1) najít jeho maximální hodnotu:

2. Zapište si svou odpověď. Přečtěte si prohlášení o problému. Pokud potřebujete najít souřadnice vrcholu paraboly, zapište si do odpovědi obě hodnoty x (\ Displaystyle x) a y (\ Displaystyle y)(nebo f (X) (\ Displaystyle f (x))). Pokud potřebujete vypočítat maximum nebo minimum funkce, napište do odpovědi pouze hodnotu y (\ Displaystyle y)(nebo f (X) (\ Displaystyle f (x))). Podívejte se znovu na znaménko koeficientu a (\ Displaystyle a) zkontrolovat, zda jste vypočítali maximum nebo minimum.

   Kvadratická funkce je psána z hlediska souřadnic vrcholu paraboly

   1. Napište kvadratickou funkci ve smyslu souřadnic vrcholu paraboly. Taková rovnice má následující tvar:

      Určete směr paraboly. Chcete-li to provést, podívejte se na znaménko koeficientu a (\ Displaystyle a)... Pokud je koeficient a (\ Displaystyle a) pozitivní, parabola směřuje nahoru. Pokud je koeficient a (\ Displaystyle a) negativní, parabola je směrována dolů. Například:

      Najděte minimální nebo maximální hodnotu funkce. Pokud je funkce zapsána z hlediska souřadnic vrcholu paraboly, minimum nebo maximum se rovná hodnotě koeficientu k (\ Displaystyle k)... Ve výše uvedených příkladech:

      Najděte souřadnice vrcholu paraboly. Pokud problém vyžaduje nalezení vrcholu paraboly, jsou jeho souřadnice (h, k) (\ Displaystyle (h, k))... Všimněte si, že když je kvadratická funkce zapsána z hlediska souřadnic vrcholu paraboly, musí být operace odčítání uzavřena v závorkách (X - h) (\ Displaystyle (x-h)), takže hodnota hod (\ Displaystyle h) je bráno s opačným znaménkem.

   Jak vypočítat minimum nebo maximum pomocí matematických operací

   Nejprve zvažte standardní tvar rovnice. Napište kvadratickou funkci ve standardním tvaru: f (x) = a x 2 + b x + c (\ Displaystyle f (x) = sekera ^ (2) + bx + c)... V případě potřeby přineste podobné výrazy a změňte jejich uspořádání, abyste získali standardní rovnici.

   Najděte první derivaci. První derivace kvadratické funkce, která je zapsána ve standardní formě, je f ′ (x) = 2 a x + b (\ Displaystyle f ^ (\ prime) (x) = 2ax + b).

   Nastavte derivaci na nulu. Připomeňme, že derivace funkce se rovná sklonu funkce v určitém bodě. Minimálně nebo maximálně je sklon nulový. Proto, aby bylo možné najít minimální nebo maximální hodnotu funkce, musí být derivace rovna nule. V našem příkladu:

Kvadratická funkce je funkcí formy:
y = a * (x ^ 2) + b * x + c,
kde a je koeficient při nejvyšším výkonu neznámého x,
b - koeficient při neznámém x,
a c je volný termín.
Graf kvadratické funkce je křivka zvaná parabola. Obecná forma parabola je znázorněna na obrázku níže.

Obr.1 Celkový pohled na parabolu.

Existuje několik různých způsobů, jak vykreslit kvadratickou funkci. Zvažujeme hlavní a nejobecnější.

Algoritmus pro vykreslení grafu kvadratické funkce y = a * (x ^ 2) + b * x + c

1. Vytvořte souřadnicový systém, označte jednotkovou čáru a podepište souřadnicové osy.

2. Určete směr větví paraboly (nahoru nebo dolů).
Chcete-li to provést, musíte se podívat na znaménko koeficientu a. Pokud plus - pak jsou větve směřovány nahoru, pokud mínus - pak jsou větve směřovány dolů.

3. Určete souřadnici x vrcholu paraboly.
K tomu musíte použít vzorec Khvershina = -b / 2 * a.

4. Určete souřadnice na vrcholu paraboly.
Za tímto účelem nahraďte hodnotu Khvershiny nalezenou v předchozím kroku do rovnice Vertices = a * (x ^ 2) + b * x + c namísto x.

5. Nakreslete výsledný bod do grafu a nakreslete ním osu symetrie, rovnoběžně s souřadnou osou Oy.

6. Najděte průsečíky grafu s osou Ox.
To vyžaduje řešení kvadratické rovnice a * (x ^ 2) + b * x + c = 0 jedním ze známých způsobů. Pokud rovnice nemá žádné skutečné kořeny, potom graf funkce neprotíná osu Ox.

7. Najděte souřadnice průsečíku grafu s osou Oy.
Za tímto účelem dosaďte do rovnice hodnotu x = 0 a vypočítejte hodnotu y. Toto a bod k němu označíme v grafu symetricky.

8. Najděte souřadnice libovolného bodu A (x, y)
K tomu vybereme libovolnou hodnotu pro souřadnici x a dosadíme ji do naší rovnice. V tomto bodě získáme hodnotu y. Vyneste do grafu bod. A také označte v grafu bod symetrický k bodu A (x, y).

9. Propojte získané body v grafu hladkou čarou a pokračujte v grafu pro extrémní body, na konec souřadnicové osy. Podepište graf buď na odkazové čáře, nebo, pokud to prostor dovolí, podél samotného grafu.

Příklad vykreslování

Jako příklad vytvořme graf kvadratické funkce dané rovnicí y = x ^ 2 + 4 * x-1
1. Nakreslete souřadnicové osy, označte je a označte segment jednotky.
2. Hodnoty koeficientů a = 1, b = 4, c = -1. Protože a = 1, které je větší než nula, jsou větve paraboly směrovány nahoru.
3. Určete souřadnici X vrcholu Khvershina paraboly = -b / 2 * a = -4 / 2 * 1 = -2.
4. Určete souřadnici Y vrcholu paraboly
Vrcholy = a * (x ^ 2) + b * x + c = 1 * ((- 2) ^ 2) + 4 * (- 2) - 1 = -5.
5. Označte horní část a nakreslete osu symetrie.
6. Najděte průsečíky grafu kvadratické funkce s osou Ox. Vyřešte kvadratickou rovnici x ^ 2 + 4 * x-1 = 0.
x1 = -2-√3 x2 = -2 + √3. Získané hodnoty označíme na grafu.
7. Najděte průsečíky grafu s osou Oy.
x = 0; y = -1
8. Vyberte libovolný bod B. Nechť má souřadnici x = 1.
Pak y = (1) ^ 2 + 4 * (1) -1 = 4.
9. Získané body spojíme a graf podepíšeme.

Pokud se chcete podílet na velkém životě, naplňte si hlavu matematikou, zatímco pro to existuje příležitost. Poté vám poskytne velkou pomoc při veškeré vaší práci.

M.I. Kalinin

Jedna z hlavních funkcí školní matematika, pro které je vytvořena úplná teorie a jsou prokázány všechny vlastnosti, je kvadratická funkce... Studenti by měli jasně chápat a znát všechny tyto vlastnosti. Současně existuje mnoho problémů kvadratické funkce - od velmi jednoduchých, které vyplývají přímo z teorie a vzorců, až po ty nejsložitější, jejichž řešení vyžaduje analýzu a hluboké pochopení všech vlastností funkce.

Při řešení problémů kvadratické funkce, velký praktický význam má shodu mezi algebraickým popisem problému a jeho geometrickou interpretací - obrazem v rovině souřadnic náčrtu funkčního grafu. Díky této vlastnosti máte vždy možnost zkontrolovat správnost a konzistenci svého teoretického uvažování.

Zvažme několik úkolů na téma „Kvadratická funkce“ a zabývejme se jejich podrobným řešením.

Cíl 1.

Najděte součet celočíselných hodnot čísla p, pro které je vrchol paraboly y = 1 / 3x 2 - 2px + 12p umístěn nad osou Ox.

Rozhodnutí.

Větve paraboly směřují nahoru (a = 1/3> 0). Protože vrchol paraboly leží nad osou Ox, parabola neprotíná osu úsečky (obr.1). Proto funkce

y = 1 / 3x 2 - 2px + 12p nemá nuly,

a rovnice

1 / 3x 2 - 2px + 12p = 0 nemá žádné kořeny.

To je možné, pokud se diskriminátor poslední rovnice ukáže být záporný.

Pojďme to vypočítat:

D / 4 = p 2 - 1/3 * 12 p = p 2 - 4 p;

p 2 - 4 s< 0;

p (p - 4)< 0;

p patří do intervalu (0; 4).

Součet celočíselných hodnot čísla p z intervalu (0; 4): 1 + 2 + 3 = 6.

Odpovědět: 6.

Všimněte si, že k zodpovězení otázky problému bylo možné vyřešit nerovnost

yv> 0 nebo (4ac - b 2) / 4a> 0.

Cíl 2.

Najděte počet celočíselných hodnot čísla a, pro které jsou vodorovná a svislá osa paraboly y = (x - 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 záporné.

Rozhodnutí.

Pokud má kvadratická funkce tvar

y = a (x - n) 2 + m, pak bod se souřadnicemi (m; n) je vrchol paraboly.

V našem případě

x in = 9a; y in = a 2 + 7a + 6.

Protože úsečka i souřadnice vrcholu paraboly musí být záporné, skládáme systém nerovností:

(9a< 0,
(a 2 + 7a + 6< 0;

Vyřešme výsledný systém:

(A< 0,
((a + 1) (a + 6)< 0;

Představme řešení nerovností na souřadnicích a dáme konečnou odpověď:

a patří do intervalu (-6; -1).

Celočíselné hodnoty čísla a: -5; -čtyři; -3; -2. Jejich počet: 4.

Odpověď: 4.

Cíl 3.

Najděte největší celočíselnou hodnotu m, pro kterou je kvadratická funkce
y = -2x 2 + 8x + 2m bere pouze záporné hodnoty.

Rozhodnutí.

Větve paraboly směřují dolů (a = -2< 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2x 2 + 8x + 2m = 0.

Vydělte koeficienty rovnice -2, dostaneme:

x 2 - 4x - m = 0;

D / 4 = 2 2-1,1 (-m) = 4 + m;

Největší celočíselná hodnota m: -5.

Odpověď: -5.

Abychom mohli odpovědět na otázku problému, bylo možné vyřešit nerovnost y v< 0 или

(4ac - b 2) / 4a< 0.

Úkol 4.

Najděte nejmenší hodnotu kvadratické funkce y = ax 2 - (a + 6) x + 9, pokud je známo, že přímka x = 2 je osou symetrie jejího grafu.

Rozhodnutí.

1) Protože přímka x = 2 je osou symetrie tohoto grafu, pak x in = 2. Použijme vzorec

x in = -b / 2a, pak x in = (a + 6) / 2a. Ale x in = 2.

Udělejme rovnici:

(a + 6) / 2a = 2;

Pak má funkce formu

y = 2x 2 - (2 + 6) x + 9;

y = 2x 2 - 8x + 9.

2) Větve paraboly

Nejmenší hodnota této funkce se rovná souřadnici vrcholu paraboly (obr. 2), které lze snadno najít pomocí vzorce

y in = (4ac - b 2) / 4a.

y in = (4 2 9 - 8 2) / 4 2 = (72 - 64) / 8 = 8/8 = 1.

Nejmenší hodnota uvažované funkce je 1.

Odpověď: 1.

Úkol 5.

Najděte nejmenší celočíselnou hodnotu takového, že se sady hodnot funkce y = x 2 - 2x + a a y = -x 2 + 4x - a neprotínají.

Rozhodnutí.

Najdeme sadu hodnot pro každou funkci.

Metoda I.

y 1 = x 2 - 2x + a.

Použijme vzorec

y in = (4ac - b 2) / 4a.

y in = (4 1 a - 2 2) / 4 1 = (4a - 4) / 4 = 4 (a - 1) / 4 = a - 1.

Protože větve paraboly směřují nahoru, pak

E (y) =.

E (y2) = (-∞; 4 - a].

Výsledné množiny reprezentujeme na souřadnicových úsečkách (obr. 3).

Výsledné sady se neprotínají, pokud je bod se souřadnicí 4 - a umístěn nalevo od bodu se souřadnicí a - 1, tj.

4 - a< a – 1;

Nejmenší celočíselná hodnota a: 3.

Odpověď: 3.

Na zkoušce jsou velmi oblíbené problémy s umístěním kořenů kvadratické funkce, problémy s parametry a problémy, které se redukují na kvadratické funkce. Při přípravě na zkoušky byste jim tedy měli věnovat zvláštní pozornost.

Stále máte otázky? Nejste si jisti, jak vykreslit kvadratickou funkci?
Chcete-li získat pomoc od lektora - zaregistrujte se.

s úplným nebo částečným kopírováním materiálu je vyžadován odkaz na zdroj.

Funkce tvaru y = a * x ^ 2 + b * x + c, kde a, b, c jsou některá reálná čísla, a a se liší od nuly, a x, y jsou proměnné, se nazývá kvadratická funkce. Graf kvadratické funkce y = a * x ^ 2 + b * x + c je čára volaná v matematice parabola. Celkový pohled na parabolu zobrazené na obrázku níže.

Stojí za zmínku, že pokud má funkce koeficient a> 0, pak je parabola směrována svými větvemi nahoru, a pokud a, graf kvadratické funkce je symetrický kolem osy symetrie. Osa symetrie paraboly je přímka vedená bodem x = (- b) / (2 * a), rovnoběžná s osou Oy.

Souřadnice vrcholu paraboly jsou určeny následujícími vzorci:

x0 = (- b) / (2 * a) y0 = y (x0) = (4 * a * c-b ^ 2) / 4 * a.

Obrázek níže ukazuje graf libovolné kvadratické funkce. Vynesení kvadratické funkce. Obrázek také ukazuje vrchol paraboly a osu symetrie.

V závislosti na hodnotě koeficientu a bude vrcholem paraboly minimální nebo maximální hodnota kvadratické funkce. Pro a> 0 je vrchol minimální hodnotou kvadratické funkce a neexistuje žádná maximální hodnota. Při a prochází osa symetrie vrcholem paraboly. Doménou kvadratické funkce je celá sada reálných čísel R.

Kvadratickou funkci y = a * x ^ 2 + b * x + c lze vždy transformovat do tvaru y = a * (x + k) ^ 2 + p, kde k = b / (2 * a), p = (4 * a * cb ^ 2) / (4 * a). Chcete-li to provést, musíte vybrat celý čtverec.

Všimněte si, že bod se souřadnicemi (-k; p) bude vrcholem paraboly. Graf kvadratické funkce y = a * (x + k) ^ 2 + p lze získat z grafu funkce y = a * x ^ 2 pomocí paralelního překladu.

Potřebujete pomoc se studiem?

Předchozí téma: