Jak najít a1 ve vzorci aritmetického postupu. inverzní matice

Služby pro řešení matic online:

Služba pro práci s maticemi umožňuje provádět transformace elementárních matic.
Pokud máte úkol provést složitější transformaci, měla by se tato služba použít jako konstruktor.

Příklad... Vzhledem k tomu, matice A a B, je třeba najít C = A -1 * B + B T,

1. Nejprve byste měli najít inverzní maticeA1 = A-1, pomocí služby pro nalezení inverzní matice;
2. Dále po nalezení matice A1 Udělej to násobení maticA2 = A1 * B pomocí služby násobení matic;
3. Pojďme popravit maticová transpoziceA3 = B T (služba pro nalezení transponované matice);
4. A poslední věc - najděte součet matic Z = A2 + A3(služba pro výpočet součtu matic) - a dostaneme odpověď s nejpodrobnějším řešením!;

Produkt matic

Toto je online služba v dva kroky:

• Představte první faktorovou matici A
• Představte druhou faktorovou matici nebo vektor sloupce B

Násobení matice-vektor

Násobení matice vektorem lze nalézt pomocí služby Násobení matic
(Prvním faktorem bude daná matice, druhým faktorem bude sloupec skládající se z prvků daného vektoru)

Toto je online služba v dva kroky:

• Zadejte matici A, pro kterou musíte najít inverzní matici
• Získejte odpověď s podrobným řešením pro nalezení inverzní matice

Determinant matice

Toto je online služba v jeden krok:

• Zadejte matici A, pro které musíte najít determinant matice

Maticová transpozice

Zde můžete sledovat algoritmus transpozice matice a naučit se, jak tyto problémy vyřešit sami.
Toto je online služba v jeden krok:

• Zadejte matici A k provedení

Hodnost matice

Toto je online služba v jeden krok:

• Zadejte matici A, pro které musíte najít hodnost

Vlastní čísla matice a vlastní vektory matice

Toto je online služba v jeden krok:

• Zadejte matici A, pro které musíte najít vlastní vektory a vlastní čísla (vlastní čísla)

Umocnění matice

Toto je online služba v dva kroky:

• Zadejte matici A, které zvýšíte na sílu
• Zadejte celé číslo q- stupeň

Matice $ A ^ (- 1) $ se nazývá inverzní vzhledem k čtvercové matici $ A $, pokud je splněna podmínka $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ , kde $ E $ Je matice identity, jejíž pořadí se rovná pořadí matice $ A $.

Nedegenerovaná matice - matice, jejíž determinant se nerovná nule. V souladu s tím je zdegenerovaná matice matice, jejíž determinant se rovná nule.

Inverzní matice $ A ^ (- 1) $ existuje právě tehdy, když je matice $ A $ nedegenerovaná. Pokud inverzní matice $ A ^ (- 1) $ existuje, je jedinečná.

Existuje několik způsobů, jak najít inverzi matice, a podíváme se na dva z nich. Tato stránka pojednává o metodě adjoint matrix, která je ve většině kurzů vyšší matematiky považována za standardní. Druhá metoda hledání inverzní matice (metoda elementárních transformací), která zahrnuje použití Gaussovy metody nebo Gauss-Jordanovy metody, je diskutována ve druhé části.

Metoda adjoint (adjoint) matice

Nechť je zadána matice $ A_ (n \ krát n) $. K nalezení inverzní funkce matice $ A ^ (- 1) $ jsou nutné tři kroky:

1. Najděte determinant matice $ A $ a ujistěte se, že $ \ Delta A \ neq 0 $, tj. že matice A je nedegenerovaná.
2. Vytvořte algebraické doplňky $ A_ (ij) $ každého prvku matice $ A $ a zapište matici $ A_ (n \ krát n) ^ (*) = \ left (A_ (ij) \ right) $ z nalezené algebraické doplňky.
3. Napište inverzní matici s ohledem na vzorec $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.

Matice $ (A ^ (*)) ^ T $ je často označována jako navazující (reciproční, adjoint) k matici $ A $.

Pokud je řešení provedeno ručně, pak je první metoda dobrá pouze pro matice relativně malých objednávek: second (), third (), quarter (). K nalezení inverze matice vyššího řádu se používají jiné metody. Například Gaussova metoda, která je popsána v druhé části.

Příklad č. 1

Najděte inverzní hodnotu $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ end (pole) \ vpravo) $.

Protože všechny prvky čtvrtého sloupce jsou rovny nule, pak $ \ Delta A = 0 $ (tj. Matice $ A $ je zdegenerovaná). Protože $ \ Delta A = 0 $, inverzní matice k matici $ A $ neexistuje.

Odpovědět: matice $ A ^ (- 1) $ neexistuje.

Příklad č. 2

Najděte inverzi matice $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) $. Šek.

Používáme metodu adjoint matrix. Nejprve najdeme determinant dané matice $ A $:

$$ \ Delta A = \ vlevo | \ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

Protože $ \ Delta A \ neq 0 $, pak inverzní matice existuje, proto budeme v řešení pokračovat. Nalezení algebraických doplňků

\ begin (zarovnáno) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ end (zarovnáno)

Sestavíme matici z algebraických doplňků: $ A ^ (*) = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ end (array) \ right) $.

Transponujte výslednou matici: $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $ (výsledný matice se často označuje jako adjunkt nebo adjoint matice k matici $ A $). Pomocí vzorce $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ máme:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ left (\ begin (pole) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (pole) \ vpravo) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $$

Nalezne se tedy inverze: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $. Chcete-li zkontrolovat pravdivost výsledku, stačí zkontrolovat pravdivost jedné z rovností: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ nebo $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Zkontrolujme rovnost $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $. Abychom méně pracovali s zlomky, dosadíme matici $ A ^ (- 1) $, která není ve tvaru $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (pole) \ vpravo) $ a jako $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (pole) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (pole) \ vpravo) $:

$$ A ^ (- 1) \ cdot (A) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end ( array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left ( \ begin (array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (pole ) \ vpravo) = E $$

Odpovědět: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $.

Příklad č. 3

Najděte inverzi matice $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) $. Šek.

Začněme výpočtem determinantu matice $ A $. Determinant matice $ A $ je tedy následující:

$$ \ Delta A = \ vlevo | \ begin (pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (pole) \ vpravo | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

Protože $ \ Delta A \ neq 0 $, pak inverzní matice existuje, proto budeme v řešení pokračovat. Najdeme algebraické doplňky každého prvku dané matice:

$$ \ begin (zarovnáno) & A_ (11) = (- 1) ^ (2) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) 9 & 4 \\ 3 & 2 \ end (pole) \ vpravo | = 6; \; A_ (12) = (- 1) ^ (3) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) -4 & 4 \\ 0 & 2 \ end (pole) \ vpravo | = 8; \; A_ (13) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) -4 & 9 \\ 0 & 3 \ end (pole) \ doprava | = -12; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ (3) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) 7 & 3 \\ 3 & 2 \ end (pole) \ vpravo | = -5; \; A_ (22) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) 1 & 3 \\ 0 & 2 \ end (pole) \ vpravo | = 2; \; A_ (23) = (- 1) ^ (5) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) 1 & 7 \\ 0 & 3 \ end (pole) \ doprava | = -3; \\ & A_ (31) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) 7 & 3 \\ 9 & 4 \ end (pole) \ vpravo | = 1; \; A_ (32) = (- 1) ^ (5) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) 1 & 3 \\ -4 & 4 \ end (pole) \ vpravo | = -16; \; A_ (33) = (- 1) ^ (6) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) 1 & 7 \\ -4 & 9 \ end (pole) \ vpravo | = 37. \ end (zarovnáno) $$

Sestavíme matici algebraických doplňků a transponujeme ji:

$$ A ^ * = \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ end (pole) \ right); \; (A ^ *) ^ T = \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (pole) \ right) ... $$

Pomocí vzorce $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ získáme:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ end (pole) \ right) = \ left (\ begin (pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (pole) \ vpravo) $$

Takže $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (pole) \ vpravo) $. Chcete-li zkontrolovat pravdivost výsledku, stačí zkontrolovat pravdivost jedné z rovností: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ nebo $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Zkontrolujme rovnost $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Abychom méně pracovali s frakcemi, dosadíme matici $ A ^ (- 1) $ ne ve tvaru $ \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (pole) \ vpravo) $ a jako $ \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $:

$$ A \ cdot (A ^ (- 1)) = \ left (\ begin (pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (pole) \ right) \ cdot \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (pole) \ right) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (pole) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end (pole) \ right) = E $$

Kontrola proběhla úspěšně, inverzní $ ​​A ^ (- 1) $ byla nalezena správně.

Odpovědět: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (pole) \ vpravo) $.

Příklad č. 4

Najděte inverzní hodnotu $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 & -8 & -3 \ end (pole) \ vpravo) $.

Pro matici čtvrtého řádu je nalezení inverzní matice pomocí algebraických doplňků poněkud obtížné. Takové příklady se však nacházejí ve zkušebních dokumentech.

Chcete-li najít inverzní funkci matice, musíte nejprve vypočítat determinant matice $ A $. Nejlepší způsob, jak to v této situaci udělat, je rozšířit determinant o řádek (sloupec). Vybereme libovolný řádek nebo sloupec a najdeme algebraické doplňky každého prvku vybraného řádku nebo sloupce.

Například pro první řádek dostaneme:

$$ A_ (11) = \ left | \ begin (pole) (ccc) 7 & 5 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \ end (pole) \ vpravo | = 556; \; A_ (12) = - \ left | \ begin (pole) (ccc) 9 & 5 & 2 \\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \ end (pole) \ vpravo | = -300 ; $$ $$ A_ (13) = \ left | \ begin (pole) (ccc) 9 & 7 & 2 \\ 7 & 5 & 7 \\ -4 & 8 & -3 \ end (pole) \ vpravo | = -536; \; A_ (14) = - \ left | \ begin (pole) (ccc) 9 & 7 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ -4 & 8 & -8 \ end (pole) \ right | = -112. $$

Determinant matice $ A $ se vypočítá podle následujícího vzorce:

$$ \ Delta (A) = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) + a_ (14) \ cdot A_ (14) ) = 6 \ cdot 556 + (- 5) \ cdot (-300) +8 \ cdot (-536) +4 \ cdot (-112) = 100. $$

$$ \ begin (zarovnáno) & A_ (21) = - 77; \; A_ (22) = 50; \; A_ (23) = 87; \; A_ (24) = 4; \\ & A_ (31) = -93; \; A_ (32) = 50; \; A_ (33) = 83; \; A_ (34) = 36; \\ & A_ (41) = 473; \; A_ (42) = - 250 ; \; A_ (43) = - 463; \; A_ (44) = - 96. \ end (zarovnáno) $$

Algebraická komplementární matice: $ A ^ * = \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -300 & -536 & -112 \\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96 \ end (pole) \ vpravo) $.

Připojená matice: $ (A ^ *) ^ T = \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ end (pole) \ vpravo) $.

Inverzní matice:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (100) \ cdot \ left (\ begin (pole) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28 / 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ end (pole) \ vpravo) $$

Kontrola, je-li to žádoucí, může být provedena stejným způsobem jako v předchozích příkladech.

Odpovědět: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ end (pole) \ vpravo) $.

Ve druhé části bude zvážen odlišný způsob hledání inverzní matice, který zahrnuje použití transformací Gaussovy metody nebo Gauss-Jordanovy metody.

Vyřešit soustavu lineárních rovnic (3) s ohledem na x 1 použijeme Gaussovu metodu.

Zbývající systémy lineárních rovnic (2) jsou řešeny podobným způsobem.

Nakonec skupina vektorů sloupců x 1, x 2, ..., x n tvoří inverzní A -1.

Všimněte si, že jakmile najdete permutační matice P 1, P 2, ..., P n-1 a vylučovací matice M 1, M 2, ..., M n-1(viz stránka Gaussova eliminační metoda) a konstrukce matice

M = M n-1 P n-1 ... M 2 P 2 M 1 P 1,

systém (2) lze transformovat do formy

• MAx 1 = Me 1,
• MAx 2 = Me 2,
• ......
• MAx n = Me n.

Odtud jsou x 1, x 2, ..., x n, s různými pravými stranami Me 1, Me 2, ..., Me n.

Při výpočtu inverzní matice je pohodlnější přidat matici identity na pravou stranu původní matice a použít Gaussovu metodu ve směru dopředu a dozadu.

Podívejme se na příklad.

Příklad výpočtu inverzní matice

Nechť je nutné najít inverzní matici A -1 pro danou matici A:

Napíšeme matici identity na pravou stranu:

Vybereme otočný prvek „4“ (protože je největší v absolutní hodnotě) a přeskupíme první a třetí řádek:

Použijte Gaussovu výjimku pro první sloupec:

Zaměňte druhý a třetí řádek a použijte Gaussovu výjimku pro druhý sloupec.

Metody pro nalezení inverzní matice. Zvažte čtvercovou matici

Označíme Δ = det A.

Čtvercová matice A se nazývá nedegenerovaný, nebo zvláštní pokud je jeho determinant nenulový, a degenerovat nebo speciální, PokudΔ = 0.

Čtvercová matice B existuje pro čtvercovou matici A stejného řádu, pokud je jejich součin A B = B A = E, kde E je matice identity stejného řádu jako matice A a B.

Teorém . Aby matice A měla inverzní matici, je nutné a dostatečné, aby její determinant byl nenulový.

Inverzní matice matice A, označená A- 1, takže B = A - 1 a vypočítá se podle vzorce

, (1)

kde А i j jsou algebraické doplňky prvků a i j matice A ..

Výpočet A -1 podle vzorce (1) pro matice vyšších řádů je velmi pracný, proto je v praxi vhodné najít A -1 pomocí metody elementárních transformací (EP). Libovolná nesingulární matice A může být redukována na matici identity E pomocí EP pouze sloupců (nebo pouze řádků). Pokud jsou EP na matici A perfektní aplikována ve stejném pořadí na matici identity E, pak je výsledkem inverzní matice. Je vhodné provádět EP přes matice A a E současně a obě matice psát vedle sebe úsečkou. Znovu si všimněte, že při hledání kanonické formy matice pro účely hledání lze použít transformace řádků a sloupců. Pokud potřebujete najít inverzní funkci matice, měly by se v procesu transformace použít pouze řádky nebo pouze sloupce.

Příklad 1... Pro matici najít A -1.

Rozhodnutí.Nejprve najdeme determinant matice A
proto existuje inverzní matice a můžeme ji najít podle vzorce: , kde A i j (i, j = 1,2,3) jsou algebraické doplňky prvků a i j původní matice.

Odkud .

Příklad 2... Pomocí metody elementárních transformací najděte A -1 pro matici: A =.

Rozhodnutí.Původní matici vpravo přiřadíme matici identity stejného řádu: ... Pomocí elementárních sloupcových transformací přivedeme levou „polovinu“ k jednotkové a současně provedeme přesně takové transformace přes pravou matici.
Chcete-li to provést, vyměňme první a druhý sloupec: ~ ... Přidejte první do třetího sloupce a první vynásobte -2 do druhého: ... Od prvního sloupce odečteme druhý zdvojnásobený a od třetího - druhý vynásobený 6; ... Přidejte první sloupec do prvního a druhého: ... Vynásobme poslední sloupec -1: ... Čtvercová matice získaná napravo od svislého pruhu je inverzní k dané matici A. Takže,
.

Při studiu algebry na základní škole (9. ročník) je jedním z důležitých témat studium numerických posloupností, které zahrnují postupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku se budeme zabývat aritmetickým postupem a příklady řešení.

Co je to aritmetický postup?

Abychom tomu porozuměli, je nutné uvést definici uvažovaného postupu a uvést základní vzorce, které budou dále použity při řešení problémů.

Aritmetický nebo algebraický postup je množina uspořádaných racionálních čísel, jejichž každý člen se od předchozího liší o nějakou konstantní částku. Tato hodnota se nazývá rozdíl. To znamená, že znáte libovolného člena uspořádané řady čísel a rozdíl, můžete obnovit celý aritmetický postup.

Uveďme příklad. Další posloupností čísel bude aritmetický postup: 4, 8, 12, 16, ..., protože rozdíl je v tomto případě 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale sadu čísel 3, 5, 8, 12, 17 již nelze připsat uvažovanému typu postupu, protože rozdíl pro něj není konstantní hodnota (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Důležité vzorce

Pojďme nyní uvést základní vzorce, které budou potřebné k řešení problémů pomocí aritmetického postupu. Označme n n-tý člen posloupnosti, kde n je celé číslo. Rozdíl je označen latinským písmenem d. Pak jsou platné následující výrazy:

1. Pro určení hodnoty n-tého členu je vhodný vzorec: a n = (n-1) * d + a 1.
2. Určení součtu prvních n členů: S n = (a n + a 1) * n / 2.

Abychom pochopili všechny příklady aritmetické progrese s řešením v platové třídě 9, stačí si zapamatovat tyto dva vzorce, protože jakékoli problémy uvažovaného typu jsou postaveny na jejich použití. Měli byste také pamatovat na to, že rozdíl v postupu je určen vzorcem: d = a n - a n-1.

Příklad č. 1: nalezení neznámého člena

Uveďme jednoduchý příklad aritmetického postupu a vzorců, které je třeba použít k řešení.

Nechť je uvedena posloupnost 10, 8, 6, 4, ..., je třeba v ní najít pět výrazů.

Z prohlášení o problému již vyplývá, že jsou známy první 4 termíny. Pátý lze definovat dvěma způsoby:

1. Nejprve spočítáme rozdíl. Máme: d = 8 - 10 = -2. Podobně by se dalo vzít další dva členy stojící vedle sebe. Například d = 4 - 6 = -2. Protože je známo, že d = a n - a n-1, pak d = a 5 - a 4, odkud dostaneme: a 5 = a 4 + d. Nahraďte známé hodnoty: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druhá metoda také vyžaduje znát rozdíl uvažované progrese, takže ji nejprve musíte určit, jak je uvedeno výše (d = -2). Když víme, že první člen a 1 = 10, použijeme vzorec pro n číslo sekvence. Máme: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Dosazením n = 5 v posledním výrazu získáme: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Jak vidíte, obě metody řešení vedly ke stejnému výsledku. Všimněte si, že v tomto příkladu je rozdíl d postupu záporný. Takovým sekvencím se říká klesající, protože každý další člen je menší než ten předchozí.

Příklad č. 2: Rozdíl v postupu

Nyní si úkol trochu zkomplikujme, uveďme příklad

Je známo, že v některých se 1. člen rovná 6 a 7. člen se rovná 18. Je nutné najít rozdíl a obnovit tuto posloupnost na 7. člen.

Použijme vzorec k určení neznámého výrazu: a n = (n - 1) * d + a 1. Dosadíme do něj známá data z podmínky, tedy čísla a 1 a 7, máme: 18 = 6 + 6 * d. Z tohoto výrazu můžete snadno vypočítat rozdíl: d = (18 - 6) / 6 = 2. Takto jsme odpověděli na první část úlohy.

Chcete-li obnovit posloupnost až 7 výrazů, měli byste použít definici algebraické posloupnosti, tj. A 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atd. Ve výsledku obnovíme celou sekvenci: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Příklad č. 3: Postup

Ještě více si komplikujme stav problému. Nyní je nutné odpovědět na otázku, jak najít aritmetický průběh. Můžete uvést následující příklad: daná dvě čísla, například - 4 a 5. Je nutné provést algebraický postup, aby se mezi ně vešly další tři výrazy.

Než začneme tento problém řešit, je nutné si uvědomit, jaké místo budou daná čísla zaujímat v budoucím postupu. Protože mezi nimi budou další tři termíny, pak 1 = -4 a 5 = 5. Po stanovení tohoto pokračujeme k problému, který je podobný předchozímu. Opět pro n-tý člen použijeme vzorec, dostaneme: a 5 = a 1 + 4 * d. Odkud: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Zde jsme neobdrželi celočíselnou hodnotu rozdílu, ale je to racionální číslo, takže vzorce pro algebraický postup zůstávají stejné.

Nyní přidejte nalezený rozdíl k 1 a obnovte chybějící členy postupu. Dostaneme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, které se shodovaly s podmínkou problému.

Příklad č. 4: první člen postupu

Pokračujme v uvádění příkladů aritmetického postupu s řešením. Ve všech předchozích problémech byl známý první počet algebraických progresí. Nyní zvažte problém jiného typu: nechť jsou uvedena dvě čísla, kde 15 = 50 a 43 = 37. Je třeba najít číslo, od kterého začíná tato posloupnost.

Dosud používané vzorce předpokládají znalost 1 a d. Ve výpisu problému není o těchto číslech nic známo. Přesto vypíšeme výrazy pro každého člena, o kterém jsou informace: a 15 = a 1 + 14 * d a 43 = a 1 + 42 * d. Obdržel dvě rovnice, ve kterých 2 neznámé veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém se redukuje na řešení soustavy lineárních rovnic.

Nejjednodušší způsob, jak vyřešit tento systém, je vyjádřit 1 v každé rovnici a poté porovnat výsledné výrazy. První rovnice: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnice: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Srovnáme-li tyto výrazy, dostaneme: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odkud je rozdíl d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (jsou uvedena pouze 3 desetinná místa).

Když víme d, můžete použít kterýkoli ze dvou výše uvedených výrazů pro 1. Například první: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Pokud máte pochybnosti o výsledku, můžete jej zkontrolovat, například určit 43 člen postupu, který je uveden v podmínce. Dostaneme: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Malá chyba je způsobena skutečností, že výpočty používaly zaokrouhlování na tisíciny.

Příklad č. 5: částka

Nyní se podívejme na několik příkladů s řešením součtu aritmetického postupu.

Nechť je uveden numerický postup v následujícím tvaru: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak vypočítáte součet těchto 100 čísel?

Díky vývoji výpočetní techniky je možné tento problém vyřešit, to znamená postupně sčítat všechna čísla, což počítač provede, jakmile osoba stiskne klávesu Enter. Problém však lze vyřešit v mysli, pokud věnujeme pozornost tomu, že předložená řada čísel je algebraickou posloupností a její rozdíl je 1. Při použití vzorce pro součet dostaneme: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zajímavé si povšimnout, že tento problém se nazývá „gaussovský“, protože na začátku 18. století ho slavný Němec, přestože mu bylo pouhých 10 let, dokázal vyřešit v hlavě za pár sekund. Chlapec neznal vzorec pro součet algebraické posloupnosti, ale všiml si, že když přidáte ve dvojicích čísla na okrajích posloupnosti, vždy získáte jeden výsledek, tj. 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a protože z těchto částek bude přesně 50 (100/2), pak pro správnou odpověď stačí vynásobit 50 číslem 101.

Příklad č. 6: součet členů od n do m

Dalším typickým příkladem součtu aritmetické posloupnosti je následující: vzhledem k řadě čísel: 3, 7, 11, 15, ... musíte zjistit, jak se bude rovnat součet jejích členů od 8 do 14.

Problém je řešen dvěma způsoby. První z nich zahrnuje hledání neznámých členů od 8 do 14 a poté jejich postupné sčítání. Jelikož existuje jen málo termínů, není tato metoda dostatečně pracná. Navrhuje se však tento problém vyřešit druhou metodou, která je univerzálnější.

Myšlenkou je získat vzorec pro součet algebraické progrese mezi členy m a n, kde n> m jsou celá čísla. Napíšeme dva výrazy pro součet pro oba případy:

1. Sm = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Protože n> m, je zřejmé, že součet 2 zahrnuje první. Poslední závěr znamená, že pokud vezmeme rozdíl mezi těmito součty a přidáme k němu výraz a m (v případě, že vezmeme rozdíl, odečte se od součtu S n), dostaneme potřebnou odpověď na problém. Máme: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + dop. * (1 m / 2). V tomto výrazu je nutné nahradit vzorce pro n a m. Pak dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je poněkud těžkopádný; součet S mn však závisí pouze na n, m, a 1 a d. V našem případě a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosazením těchto čísel získáme: S mn = 301.

Jak je patrné z daných řešení, všechny problémy jsou založeny na znalostech výrazu pro n-tý člen a vzorce pro součet množiny prvních členů. Před pokračováním v řešení kteréhokoli z těchto problémů se doporučuje pečlivě si přečíst stav, jasně pochopit, co je třeba najít, a teprve poté pokračovat v řešení.

Dalším tipem je snaha o jednoduchost, to znamená, že pokud můžete odpovědět na otázku bez použití složitých matematických výpočtů, musíte to udělat právě proto, že v tomto případě je pravděpodobnost chyby menší. Například v příkladu aritmetické progrese s řešením č. 6 by se dalo zastavit na vzorci S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am a zlomit obecný problém do samostatných dílčích úkolů (v tomto případě nejprve najděte členy an am am).

Pokud existují pochybnosti o dosaženém výsledku, doporučuje se jej zkontrolovat, jak tomu bylo u některých uvedených příkladů. Přišli jsme na to, jak najít aritmetický postup. Pokud na to přijdete, není to tak těžké.