Příklad 1. Funkce je dána F(X) = 3X 2 + 4X- 5. Napište rovnici tečny do grafu funkce F(X) v bodě grafu s úsečkou X 0 = 1.

Řešení. Derivace funkce F(X) existuje pro jakékoli x R. ... Pojďme to najít:

= (3X 2 + 4X- 5) '= 6 X + 4.

Pak F(X 0) = F(1) = 2; (X 0) = = 10. Tečná rovnice je:

y = (X 0) (X – X 0) + F(X 0),

y = 10(X – 1) + 2,

y = 10X – 8.

Odpovědět. y = 10X – 8.

Příklad 2. Funkce je dána F(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Napište rovnici tečny do grafu funkce F(X) rovnoběžně s přímkou y = 2X – 11.

Řešení. Derivace funkce F(X) existuje pro jakékoli x R. ... Pojďme to najít:

= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5) '= 3 X 2 – 6X + 2.

Od tečny ke grafu funkce F(X) v bodě s úsečkou X 0 rovnoběžně s přímkou y = 2X- 11, pak je jeho sklon 2, tj. ( X 0) = 2. Najdeme tuto přímku z podmínky, že 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Tato rovnost platí pouze pro X 0 = 0 a pro X 0 = 2. Protože v obou případech F(X 0) = 5, pak přímka y = 2X + b dotýká se grafu funkce buď v bodě (0; 5), nebo v bodě (2; 5).

V prvním případě platí numerická rovnost 5 = 2 × 0 + b, kde b= 5, a ve druhém případě platí numerická rovnost 5 = 2 × 2 + b, kde b = 1.

Existují tedy dvě tangenty y = 2X+ 5 a y = 2X+ 1 k funkčnímu grafu F(X) rovnoběžně s přímkou y = 2X – 11.

Odpovědět. y = 2X + 5, y = 2X + 1.

Příklad 3. Funkce je dána F(X) = X 2 – 6X+ 7. Napište rovnici tečny do grafu funkce F(X) procházející bodem A (2; –5).

Řešení. Protože F(2) –5, poté bod A nepatří do grafu funkce F(X). Nech být X 0 je přímka dotykového bodu.

Derivace funkce F(X) existuje pro jakékoli x R. ... Pojďme to najít:

= (X 2 – 6X+ 1) '= 2 X – 6.

Pak F(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 - 6. Tečná rovnice je:

y = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,

y = (2X 0 – 6)X– X+ 7.

Od bodu A patří k tečné linii, pak k číselné rovnosti

–5 = (2X 0 - 6) × 2– X+ 7,

kde X 0 = 0 nebo X 0 = 4. To znamená, že bodem A do grafu funkce můžete nakreslit dvě tangenty F(X).

Li X 0 = 0, pak má tečná rovnice tvar y = –6X+ 7. Pokud X 0 = 4, pak tečná rovnice má tvar y = 2X – 9.

Odpovědět. y = –6X + 7, y = 2X – 9.

Příklad 4. Dané funkce F(X) = X 2 – 2X+ 2 a G(X) = –X 2 - 3. Napíšeme rovnici společné tečné přímky do grafů těchto funkcí.

Řešení. Nech být X 1 - úsečka bodu tečnosti požadované přímky s grafem funkce F(X), a X 2 - osa tečného bodu stejné přímky s grafem funkce G(X).

Derivace funkce F(X) existuje pro jakékoli x R. ... Pojďme to najít:

= (X 2 – 2X+ 2) ′ = 2 X – 2.

Pak F(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 - 2. Rovnice tečny je:

y = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,

y = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)

Najděte derivaci funkce G(X):

= (–X 2 - 3) ′ = –2 X.

Tečna je přímka , který se dotýká grafu funkce v jednom bodě a jehož všechny body jsou v nejmenší vzdálenosti od grafu funkce. Proto tečna projde tečnou ke grafu funkce pod určitým úhlem a několik tečen pod různými úhly nemůže projít tečným bodem. Tečné rovnice a normální rovnice grafu funkce jsou konstruovány pomocí derivace.

Rovnice tečny je odvozena z rovnice přímky .

Odvodíme rovnici tečné přímky a poté rovnici normály ke grafu funkce.

y = kx + b .

V něm k je svah.

Odtud získáváme následující záznam:

y - y 0 = k(X - X 0 ) .

Derivační hodnota F "(X 0 ) funkce y = F(X) na místě X0 rovná sklonu k= tg φ tečná ke grafu funkce nakreslené bodem M0 (X 0 , y 0 ) , kde y0 = F(X 0 ) ... Tohle je geometrický význam derivát .

Můžeme tedy nahradit k na F "(X 0 ) a získejte následující rovnice tečny ke grafu funkce :

y - y 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

V problémech kreslení rovnice tečné přímky do grafu funkce (a brzy se k nim přesuneme) je nutné rovnici získanou podle výše uvedeného vzorce zmenšit na rovnice přímky v obecné formě... Chcete -li to provést, musíte přesunout všechna písmena a čísla na levou stranu rovnice a na pravé straně nechat nulu.

Nyní o normální rovnici. Normální je přímka procházející bodem tečnosti ke grafu funkce kolmé na tangens. Normální rovnice :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(y - y 0 ) = 0

Pro zahřátí se předpokládá, že první příklad bude vyřešen samostatně, a pak se uvidí řešení. Existuje každý důvod doufat, že tento úkol nebude pro naše čtenáře „studenou sprchou“.

Příklad 0. Napište tečnou rovnici a normální rovnici do grafu funkce v bodě M (1, 1) .

Příklad 1. Napište tečnou rovnici a normální rovnici do grafu funkce pokud je úsečka tečného bodu.

Pojďme najít derivaci funkce:

Nyní máme vše, co je třeba nahradit v položce uvedené v teoretické referenci, abychom získali rovnici tangens. Dostaneme

V tomto příkladu jsme měli štěstí: sklon se ukázal být roven nule, takže samostatně zredukujte rovnici na obecný pohled nebylo potřeba. Nyní můžeme sestavit normální rovnici:

Na obrázku níže: graf vínové funkce, zelená tangenta, oranžová normálka.

Následující příklad také není složitý: funkce, stejně jako v předchozím, je také polynom, ale sklon se nebude rovnat nule, takže bude přidán ještě jeden krok - přivedení rovnice do obecné podoby.

Příklad 2.

Řešení. Najděte souřadnici dotykového bodu:

Pojďme najít derivaci funkce:

.

Najděte hodnotu derivace v bodě tečny, tj. Ve sklonu tangenty:

Nahradíme všechna data získaná v „prázdném vzorci“ a dostaneme rovnici tangens:

Přeneseme rovnici do obecného tvaru (na levé straně shromáždíme všechna písmena a čísla jiná než nula a napravo ponecháme nulu):

Sestavíme normální rovnici:

Příklad 3. Napište rovnici tečny a rovnici normály do grafu funkce, je -li úsečka tečného bodu.

Řešení. Najděte souřadnici dotykového bodu:

Pojďme najít derivaci funkce:

.

Najděte hodnotu derivace v bodě tečny, tj. Ve sklonu tangenty:

.

Najděte tečnou rovnici:

Než uvedete rovnici do obecné podoby, musíte ji trochu „učesat“: vynásobte číslem 4. Uděláme to a uvedeme rovnici do obecné podoby:

Sestavíme normální rovnici:

Příklad 4. Napište rovnici tečny a rovnici normály do grafu funkce, je -li úsečka tečného bodu.

Řešení. Najděte souřadnici dotykového bodu:

.

Pojďme najít derivaci funkce:

Najděte hodnotu derivace v bodě tečny, tj. Ve sklonu tangenty:

.

Dostaneme tečnou rovnici:

Přeneseme rovnici do obecné podoby:

Sestavíme normální rovnici:

Běžnou chybou při sestavování rovnic tečny a normály je nevšimnout si, že funkce uvedená v příkladu je složitá, a vypočítat její derivaci jako derivaci jednoduché funkce. Následující příklady jsou již z komplexní funkce(odpovídající lekce se otevře v novém okně).

Příklad 5. Napište rovnici tečny a rovnici normály do grafu funkce, je -li úsečka tečného bodu.

Řešení. Najděte souřadnici dotykového bodu:

Pozornost! Tato funkce je složitá, protože argument tangens (2 X) je sama o sobě funkcí. Proto najdeme derivaci funkce jako derivaci komplexní funkce.

Nechť je dána funkce f, která v určitém bodě x 0 má konečnou derivaci f (x 0). Přímka procházející bodem (x 0; f (x 0)), která má sklon f '(x 0), se nazývá tečna.

A co když derivace v bodě x 0 neexistuje? Jsou dvě možnosti:

1. Tečna grafu také neexistuje. Klasický příklad- funkce y = | x | v bodě (0; 0).
2. Tečna se stává svislou. To platí například pro funkci y = arcsin x v bodě (1; π / 2).

Tečná rovnice

Jakákoli nesvislá přímka je dána rovnicí tvaru y = kx + b, kde k je sklon. Tečná přímka není výjimkou, a aby bylo možné sestavit její rovnici v nějakém bodě x 0, stačí znát hodnotu funkce a derivace v tomto bodě.

Nechť je tedy dána funkce y = f (x), která má na segmentu derivaci y = f ‘(x). Potom v libovolném bodě x 0 ∈ (a; b) lze do grafu této funkce nakreslit tečnu, která je dána rovnicí:

y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Zde f '(x 0) je hodnota derivace v bodě x 0 a f (x 0) je hodnota samotné funkce.

Úkol. Je dána funkce y = x 3. Napište rovnici tečné přímky do grafu této funkce v bodě x 0 = 2.

Tečná rovnice: y = f ‘(x 0) · (x - x 0) + f (x 0). Je nám dán bod x 0 = 2, ale bude nutné vypočítat hodnoty f (x 0) a f ‘(x 0).

Nejprve zjistíme hodnotu funkce. Všechno je zde snadné: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Nyní najdeme derivaci: f ‘(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Náhrada derivací x 0 = 2: f ’(x 0) = f‘ (2) = 3 · 2 2 = 12;
Celkem dostaneme: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Toto je tečná rovnice.

Úkol. Napište rovnici tečny do grafu funkce f (x) = 2sin x + 5 v bodě x 0 = π / 2.

Tentokrát nebudeme podrobně popisovat každou akci - naznačíme pouze klíčové kroky. My máme:

f (x 0) = f (π / 2) = 2 sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f' (π / 2) = 2cos (π / 2) = 0;

Tečná rovnice:

y = 0 (x - π / 2) + 7 ⇒ y = 7

PROTI druhý případ Ukázalo se, že přímka je vodorovná, protože jeho sklon je k = 0. Na tom není nic špatného - jen jsme narazili na extrémní bod.

V tomto článku budeme analyzovat všechny typy problémů, které je třeba najít

Vzpomeňme si derivační geometrický význam: je -li tečna nakreslena do grafu funkce v bodě, pak je součinitel sklonu tangenty (rovný tangens úhlu mezi tečnou a kladným směrem osy) roven derivaci funkce na místě.

Vezměte libovolný bod se souřadnicemi na tangens:

A zvažte pravoúhlý trojúhelník:

V tomto trojúhelníku

Odtud

Toto je rovnice tečné přímky nakreslené ke grafu funkce v bodě.

K napsání rovnice tečny nám stačí znát rovnici funkce a bod, ve kterém je tečna nakreslena. Pak můžeme najít a.

Existují tři hlavní typy problémů s tečnou rovnicí.

1. Vzhledem k místu kontaktu

2. Vzhledem ke sklonu tangens, tj. Hodnotě derivace funkce v bodě.

3. Jsou dány souřadnice bodu, kterým je tečna nakreslena, ale která není tečným bodem.

Zvažme každý typ problému.

1. Napište rovnici tečny do grafu funkce na místě .

.

b) Najděte v bodě hodnotu derivátu. Nejprve najdeme derivaci funkce

Nahraďte nalezené hodnoty tečnou rovnicí:

Rozbalme závorky na pravé straně rovnice. Dostaneme:

Odpovědět: .

2. Najděte úsečky bodů, ve kterých jsou tečny ke grafu funkce rovnoběžně s osou úsečky.

Pokud je tečna rovnoběžná s osou úsečky, pak je úhel mezi tečnou a kladným směrem osy nulový, proto je tečna úhlu tečny nulová. Tedy hodnota derivace funkce v bodech tečnosti se rovná nule.

a) Najděte derivaci funkce .

b) Srovnejte derivaci na nulu a najděte hodnoty, ve kterých je tečna rovnoběžná s osou:

Vyrovnáme -li každý faktor na nulu, dostaneme:

Odpověď: 0; 3; 5

3. Napište rovnice tečen do grafu funkce , paralelní rovný .

Tečna je rovnoběžná s přímkou. Koeficient sklonu této přímky je -1. Protože tangenta je rovnoběžná s touto přímkou, je tedy faktor sklonu tangenty také -1. To je známe sklonový faktor tangens, a tudíž, hodnota derivátu v bodě tečnosti.

Toto je druhý typ problému pro nalezení rovnice tečné přímky.

V bodě tečnosti tedy dostaneme funkci a hodnotu derivátu.

a) Najděte body, ve kterých je derivace funkce rovna -1.

Nejprve najdeme rovnici pro derivát.

Srovnejme derivaci s číslem -1.

Pojďme najít hodnotu funkce v bodě.

(podle podmínky)

.

b) Najděte rovnici tečny ke grafu funkce v bodě.

Pojďme najít hodnotu funkce v bodě.

(podle podmínky).

Nahraďte tyto hodnoty tečnou rovnicí:

.

Odpovědět:

4. Napište rovnici tečny ke křivce , procházející bodem

Nejprve zkontrolujte, zda bod není tečným bodem. Pokud je bod tečným bodem, pak patří do grafu funkce a jeho souřadnice musí splňovat rovnici funkce. Nahraďte souřadnice bodu do rovnice funkce.

Title = "(! LANG: 1sqrt (8-3 ^ 2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} není dotykovým bodem.

Toto je poslední typ problému k nalezení tečné rovnice. První věc potřebujeme najít úsečku dotykového bodu.

Pojďme najít hodnotu.

Nechť je bod tečnosti. Bod patří k tangens ke grafu funkce. Pokud dosadíme souřadnice tohoto bodu do tečné rovnice, dostaneme správnou rovnost:

.

Hodnota funkce v bodě je .

Najděte v bodě hodnotu derivace funkce.

Nejprve najdeme derivaci funkce. To .

Derivát v bodě je .

Nahraďte výrazy pro a do tečné rovnice. Dostaneme rovnici pro:

Pojďme vyřešit tuto rovnici.

Snižte čitatele a jmenovatele zlomku o 2:

Zredukujme pravou stranu rovnice na Společným jmenovatelem... Dostaneme:

Zjednodušte čitatele zlomku a vynásobte obě strany - tento výraz je přísně větší než nula.

Získáme rovnici

Pojďme to vyřešit. Chcete -li to provést, ohraničíme obě strany a přejdeme k systému.

Title = "(! LANG: delim (lbrace) (matrix (2) (1) ((64-48 (x_0) +9 (x_0) ^ 2 = 8- (x_0) ^ 2) (8-3x_0> = 0 ))) ()">!}

Pojďme vyřešit první rovnici.

Budeme řešit kvadratická rovnice, dostaneme

Druhý kořen nesplňuje podmínku title = "(! LANG: 8-3x_0> = 0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Zapíšeme rovnici tečné přímky ke křivce v bodě. Chcete -li to provést, dosaďte hodnotu do rovnice - už jsme to zapsali.

Odpovědět:
.

Rovnice tečny ke grafu funkce

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Čeljabinská oblast

Rovnice tečny ke grafu funkce

Článek byl publikován s podporou hotelového komplexu ITAKA +. Při pobytu ve městě stavitelů lodí Severodvinsk nebudete čelit problému nalezení dočasného bydlení. , na webových stránkách hotelového komplexu "ITAKA +" http://itakaplus.ru si můžete snadno a rychle pronajmout byt ve městě na jakékoli období s denní platbou.

Na současná fáze rozvoj vzdělávání jako jeden z jeho hlavních úkolů je formování kreativně myslící osobnosti. Schopnost studentů být kreativní lze rozvíjet pouze tehdy, pokud jsou systematicky zapojeni do základů výzkumné činnosti. Základem pro využití jejich tvůrčích schopností, schopností a talentu studenty jsou formované plnohodnotné znalosti a dovednosti. V tomto ohledu není problém vytvoření systému základních znalostí a dovedností pro každé téma školního matematického kurzu neméně důležitý. Plnohodnotné dovednosti by přitom měly být didaktickým cílem nikoli jednotlivých úkolů, ale jejich pečlivě promyšleného systému. V nejširším smyslu je systém chápán jako soubor vzájemně propojených interakčních prvků, které mají integritu a stabilní strukturu.

Zvažte metodologii, jak naučit studenty, jak sestavit tečnovou rovnici ke grafu funkce. V podstatě jsou všechny problémy s nalezením tečné rovnice redukovány na potřebu vybrat z množiny (svazku, rodiny) přímek ty z nich, které splňují určitý požadavek - jsou tečné k grafu nějaké funkce. Kromě toho lze řadu řádků, ze kterých se provádí výběr, zadat dvěma způsoby:

a) bod ležící na rovině xOy (centrální svazek přímek);
b) sklon (rovnoběžný svazek přímek).

V tomto ohledu jsme při studiu tématu „Tečna grafu funkce“ za účelem izolace prvků systému identifikovali dva typy úkolů:

1) problémy na tangenci, dané bodem, kterým prochází;
2) problém na tangenci, daný jejím sklonem.

Naučit se řešit problémy na tečné přímce bylo provedeno pomocí algoritmu navrženého A.G. Mordkovich. Jeho zásadní rozdíl od již známých spočívá v tom, že úsečka tečného bodu je označena písmenem a (místo x0), v souvislosti s nímž má rovnice tečny tvar

y = f (a) + f "(a) (x - a)

(srovnej s y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Tato metodická technika podle nás umožňuje studentům rychleji a snáze porozumět tomu, kde jsou souřadnice aktuálního bodu zapsány obecná rovnice tečné přímky a kde jsou body dotyku.

Algoritmus pro sestavení rovnice tečny ke grafu funkce y = f (x)

1. Označte abscisu tečného bodu písmenem a.
2. Najděte f (a).
3. Najděte f "(x) af" (a).
4. Nahraďte nalezená čísla a, f (a), f "(a) do obecná rovnice tangens y = f (a) = f "(a) (x - a).

Tento algoritmus lze sestavit na základě vlastního výběru operací studenty a posloupnosti jejich implementace.

Praxe ukázala, že postupné řešení každého z klíčových problémů pomocí algoritmu umožňuje formovat dovednosti psaní rovnice tečny ke grafu funkce ve fázích a kroky algoritmu slouží jako reference body za akce. Tento přístup odpovídá teorii postupného utváření mentálních akcí, kterou vyvinul P.Ya. Galperin a N.F. Talyzina.

V prvním typu úkolů byly identifikovány dva klíčové úkoly:

• tečna prochází bodem křivky (úkol 1);
• tečna prochází bodem, který neleží na křivce (problém 2).

Úkol 1. Vytvořte rovnici tečny ke grafu funkce v bodě M (3; - 2).

Řešení. Bod M (3; - 2) je tečným bodem, protože

1.a = 3 - přímka tečného bodu.
2.f (3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f" (3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - tečná rovnice.

Úloha 2. Napište rovnice všech tečen do grafu funkce y = - x 2 - 4x + 2 procházející bodem M ( - 3; 6).

Řešení. Bod M (- 3; 6) není tečným bodem, protože f (- 3) 6 (obr.2).

2.f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f" (a) = - 2a - 4.
4. y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) je rovnice tečné přímky.

Tečna prochází bodem M (- 3; 6), její souřadnice tedy splňují tečnou rovnici.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) ( - 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Pokud a = - 4, pak je tečná rovnice y = 4x + 18.

Pokud a = - 2, pak má tečná rovnice tvar y = 6.

U druhého typu budou klíčové úkoly následující:

• tangenta je rovnoběžná s nějakou přímkou ​​(problém 3);
• tečna prochází pod určitým úhlem k dané přímce (úkol 4).

Úloha 3. Napište rovnice všech tečen do grafu funkce y = x 3 - 3x 2 + 3, rovnoběžně s přímkou ​​y = 9x + 1.

Řešení.

1.a - úsečka bodu tečnosti.
2.f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f" (a) = 3a 2 - 6a.

Ale na druhé straně f "(a) = 9 (podmínka rovnoběžnosti). Proto je nutné vyřešit rovnici 3a 2 - 6a = 9. Její kořeny jsou a = - 1, a = 3 (obr. 3) ).

4.1) a = - 1;
2) f ( - 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - tečná rovnice;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - tečná rovnice.

Úloha 4. Napište rovnici tečny do grafu funkce y = 0,5x 2 - 3x + 1, procházející pod úhlem 45 ° k přímce y = 0 (obr. 4).

Řešení. Ze podmínky f "(a) = tan 45 ° zjistíme a: a - 3 = 1^ a = 4.

1.a = 4 - přímka tečného bodu.
2.f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x - 7 - tečná rovnice.

Je snadné ukázat, že řešení jakéhokoli jiného problému se omezuje na řešení jednoho nebo několika klíčových problémů. Zvažte následující dva úkoly jako příklad.

1. Napište rovnice tečen k parabole y = 2x 2 - 5x - 2, pokud se tečny protínají v pravých úhlech a jedna z nich se dotkne paraboly v bodě s úsečkou 3 (obr. 5).

Řešení. Protože je dána přímka dotykového bodu, první část řešení se redukuje na klíčový úkol 1.

1.a = 3 - úsečka tečného bodu jedné ze stran pravého úhlu.
2.f (3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f" (3) = 7.
4. y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 je rovnice první tečné přímky.

A - úhel sklonu první tangenty. Protože tečny jsou kolmé, pak je úhel sklonu druhé tečny. Z rovnice y = 7x - 20 první tečny máme tg a = 7. Najít

To znamená, že sklon druhé tangenty je.

Další řešení je redukováno na klíčový úkol 3.

Nechť B (c; f (c)) je tečným bodem druhé přímky, pak

1. - úsečka druhého bodu kontaktu.
2.
3.
4.
- rovnice druhé tangenty.

Poznámka. Sklon tečné přímky lze snáze zjistit, pokud studenti znají poměr koeficientů kolmých přímek k 1 k 2 = - 1.

2. Napište rovnice všech běžných tečen do grafů funkcí

Řešení. Úkol se redukuje na hledání úseček bodů tečnosti běžných tečen, tedy na řešení klíčového problému 1 v obecné podobě, sestavení soustavy rovnic a její následné řešení (obr. 6).

1. Nechť a je úsečka tečného bodu ležícího na grafu funkce y = x 2 + x + 1.
2.f (a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Nechť c je úsečka tečného bodu ležícího na grafu funkce
2.
3. f "(c) = c.
4.

Protože tečny jsou běžné, pak

Takže y = x + 1 a y = - 3x - 3 jsou běžné tečny.

Hlavním cílem zvažovaných úkolů je připravit studenty na sebepoznání typu klíčového úkolu při řešení složitějších problémů, které vyžadují určité výzkumné dovednosti (schopnost analyzovat, porovnávat, zobecňovat, předkládat hypotézu atd.). Tyto úkoly zahrnují jakýkoli úkol, ve kterém je klíčový úkol zahrnut jako součást. Uvažujme jako příklad problém (inverzní k problému 1) najít funkci podle rodiny jejích tangent.

3. Pro které b a c jsou přímky y = x a y = - 2x tečné ke grafu funkce y = x 2 + bx + c?

Řešení.

Nechť t je úsečka tečného bodu přímky y = x s parabolou y = x 2 + bx + c; p je úsečka tečného bodu přímky y = - 2x s parabolou y = x 2 + bx + c. Pak bude rovnice tečny y = x mít tvar y = (2t + b) x + c - t 2, a rovnice tečny y = - 2x bude mít tvar y = (2p + b) x + c - p 2.

Pojďme sestavit a vyřešit soustavu rovnic

Odpovědět:

Úkoly pro nezávislé řešení

1. Napište rovnice tečen nakreslených do grafu funkce y = 2x 2 - 4x + 3 v bodech průsečíku grafu s přímkou ​​y = x + 3.

Odpověď: y = - 4x + 3, y = 6x - 9,5.

2. Při jakých hodnotách a projde tečna nakreslená k grafu funkce y = x 2 - osa v bodě grafu s úsečkou x 0 = 1 bodem M (2; 3)?

Odpověď: a = 0,5.

3. Pro jaké hodnoty p se čára y = px - 5 dotýká křivky y = 3x 2 - 4x - 2?

Odpověď: p 1 = - 10, p 2 = 2.

4. Najděte všechny společné body grafu funkce y = 3x - x 3 a tečnu nakreslenou k tomuto grafu bodem P (0; 16).

Odpověď: A (2; - 2), B ( - 4; 52).

5. Najděte nejkratší vzdálenost mezi parabolou y = x 2 + 6x + 10 a přímkou

Odpovědět:

6. Na křivce y = x 2 - x + 1 najděte bod, ve kterém je tečna k grafu rovnoběžná s přímkou ​​y - 3x + 1 = 0.

Odpověď: M (2; 3).

7. Napište rovnici tečny do grafu funkce y = x 2 + 2x - | 4x | které se ho dotýkají ve dvou bodech. Vytvořte kresbu.

Odpověď: y = 2x - 4.

8. Dokažte, že přímka y = 2x - 1 neprotíná křivku y = x 4 + 3x 2 + 2x. Najděte vzdálenost mezi jejich nejbližšími body.

Odpovědět:

9. Na parabole y = x 2 jsou dva body odebrány úsečkami x 1 = 1, x 2 = 3. Těmito body se protáhne sekans. V jakém bodě paraboly bude tangenta k ní rovnoběžná s nakreslenou sekanou? Zapište sečna a tečna.

Odpověď: y = 4x - 3 - sečna rovnice; y = 4x - 4 - tečná rovnice.

10. Najděte úhel q mezi tečnami ke grafu funkce y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1, nakresleno v bodech s úsečkami 0 a 1.

Odpověď: q = 45 °.

11. V jakých bodech svírá tangenta s grafem funkce úhel 135 ° s osou Ox?

Odpověď: A (0; - 1), B (4; 3).

12. V bodě A (1; 8) ke křivce je nakreslena tangenta. Najděte délku tečny mezi souřadnicovými osami.

Odpovědět:

13. Napište rovnici všech běžných tečen do grafů funkcí y = x 2 - x + 1 a y = 2x 2 - x + 0,5.

Odpověď: y = - 3x a y = x.

14. Najděte vzdálenost mezi tečnami ke grafu funkce rovnoběžně s osou úsečky.

Odpovědět:

15. Určete, v jakých úhlech protíná parabola y = x 2 + 2x - 8 osu úsečky.

Odpověď: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (- 6).

16. Na grafu funkce najděte všechny body, tečny, v nichž každý z těchto grafů protíná kladné poloosy souřadnic, odřízněte od nich stejné segmenty.

Odpověď: A (- 3; 11).

17. Přímka y = 2x + 7 a parabola y = x 2 - 1 se setkávají v bodech M a N. Najděte bod K průsečíku přímek tečných k parabole v bodech M a N.

Odpověď: K (1; - 9).

18. Pro jaké hodnoty b je přímka y = 9x + b tečná ke grafu funkce y = x 3 - 3x + 15?

Odpověď: - 1; 31.

19. Pro jaké hodnoty k má přímka y = kx - 10 pouze jeden společný bod s grafem funkce y = 2x 2 + 3x - 2? Pro nalezené hodnoty k určete souřadnice bodu.

Odpověď: k 1 = - 5, A ( - 2; 0); k 2 = 11, B (2; 12).

20. Při jakých hodnotách b projde tečna nakreslená do grafu funkce y = bx 3 - 2x 2 - 4 v bodě s úsečkou x 0 = 2 bodem M (1; 8)?

Odpověď: b = - 3.

21. Parabola s vrcholem na ose Ox se dotýká přímky procházející body A (1; 2) a B (2; 4) v bodě B. Najděte rovnici paraboly.

Odpovědět:

22. Na jaké hodnotě koeficientu k se parabola y = x 2 + kx + 1 dotýká osy Ox?

Odpověď: k = q 2.

23. Najděte úhly mezi přímkou ​​y = x + 2 a křivkou y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Najděte vzdálenost mezi tečnami generátorů ke grafu funkce s kladným směrem osy Ox, úhlem 45 °.

Odpovědět:

30. Najděte lokus vrcholů všech parabolek tvaru y = x 2 + ax + b dotýkající se přímky y = 4x - 1.

Odpověď: řádek y = 4x + 3.

Literatura

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra a začátek analýzy: 3600 problémů pro školáky a uchazeče o studium na univerzitě. - M., drop, 1999.
2. Mordkovich A. Čtvrtý seminář pro mladé učitele. Téma je „Derivační aplikace“. - M., "Matematika", č. 21/94.
3. Formování znalostí a dovedností na základě teorie postupné asimilace mentálních akcí. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moskevská státní univerzita, 1968.